MÚLTIPLOS Y DIVISORES 1. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO. 1.1. CONCEPTO DE MÚLTIPLO. Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces, es decir, cuando la división del primero entre el segundo es exacta.

Para indicar abreviadamente que un número es múltiplo de otro escribiremos:

12

(Se lee 12 es múltiplo de 2)

Todos los números, excepto el 0, tienen infinitos múltiplos. Los múltiplos se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales (0, 1, 2, 3…)

 El 0 es múltiplo de cualquier

 Un número siempre es múltiplo de sí

número porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0.

5x0=0



0

mismo porque cualquier número multiplicado por 1 es igual a dicho número.

5x1=5

PARA SABER MÁS  La suma de varios múltiplos de un número también es múltiplo de ese número.

6 y 12 son múltiplos de 3. Su suma 18, también es múltiplo de 3.  La diferencia de dos múltiplos de un número es múltiplo de dicho número.

25 y 10 son múltiplos de 5. Su diferencia 15, también es múltiplo de 5.  El producto de múltiplos de un número es también múltiplo de dicho número.

8 y 10 son múltiplos de 2. Su producto 80 también es múltiplo de 2.



5

1.2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes distinto de cero. Para calcular el m.c.m. seguimos estos pasos: 1º Escribimos las series de múltiplos de cada número. 2º Buscamos los múltiplos comunes a todos los números. 3º Escogemos el menor múltiplo común distinto de cero.

2. DIVISORES DE UN NÚMERO. 2.1. CONCEPTO DE DIVISOR. Un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto de veces, es decir, cuando la división del segundo entre el primero es exacta. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo: Si 30 es múltiplo de 6, entonces 6 es divisor de 30.

Para indicar abreviadamente que un número es divisor de otro escribiremos: 4 = D (12) (Se lee 4 es divisor de 12) Cada número, excepto el 0, tiene una cantidad concreta de divisores.

 El 1 es divisor de cualquier número

 Un número siempre es divisor de sí mismo

porque la división de cualquier número entre 1 siempre es exacta.

porque la división de cualquier número entre sí mismo es siempre exacta.

5 : 1 = 5 y r = 0  1 = D (5)

8 : 8 = 1 y r = 0  8 = D (8)

2.2. CÁLCULO DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO. Para calcular todos los divisores de un número haremos lo siguiente:

 Dividimos el número entre los números naturales: 1, 2, 3…  De cada división exacta se obtienen dos divisores: el divisor y el cociente. Las divisiones enteras no las tendremos en cuenta.

 Dejamos de dividir cuando el cociente sea igual o menor que el divisor.

2.3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Podemos saber fácilmente si un número es divisible entre otro sin necesidad de hacer la división si tenemos en cuenta los criterios de divisibilidad: reglas que nos permiten averiguar, en algunos casos, si un número es o no divisible entre otro. Un número es divisible entre:  Si acaba en cero o en cifra par (2, 4, 6 u 8). 12.078 es divisible entre 2 porque acaba en 8 que es cifra par.  Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 1.428 es divisible entre 3 porque 1+4+2+8 = 15 que es múltiplo de 3.  Si las dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. 5.628 es divisible entre 4 porque 28 (las dos últimas cifras) es múltiplo de 4.  Si acaba en 0 o en 5. 485 es divisible entre 5 porque acaba en 5.  Si es a la vez divisible entre 2 y entre 3. 246 es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 (termina en cifra par) y entre 3 (las cifras suman 12).

 Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. 25.065 es divisible entre 9 porque 2+5+0+6+5 = 18 que es múltiplo de 9.  Si acaba en 0. 5.870 es divisible entre 10 porque acaba en 0.

PARA SABER MÁS OTROS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Un número es divisible entre:

8  Si las tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8. 11  Si la diferencia entre la suma de las cifras del lugar par y la suma de las cifras del lugar impar es 0 ó un múltiplo de 11.

12  Si es divisible entre 3 y entre 4. 15  Si es divisible entre 3 y entre 5. 18  Si es divisible entre 2 y entre 9. 20  Si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20.

2.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para calcular el M.C.D. seguimos estos pasos: 1º Escribimos todos los divisores de cada número. 2º Buscamos los divisores comunes a todos los números. 3º Escogemos el mayor divisor común.

3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. Al comprobar cuántos divisores tienen los números observamos que hay dos números especiales:

 El 1 es el único número que solamente tiene un divisor.  El 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0. Los demás números podemos agruparlos en dos tipos:

 Números primos

 Números compuestos

Solo tienen dos divisores: el 1 y él mismo.

Tienen más de dos divisores.

3.1. CALCULAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O COMPUESTO. Para averiguar si un número es primo o compuesto hacemos lo siguiente:

 Dividimos este número por los números primos 2, 3, 5, 7, 11… hasta llegar a una división exacta o a una división cuyo cociente sea igual o menor que el divisor.

 Si alguna de las divisiones es exacta, el número es compuesto.  Si todas las divisiones son enteras, el número es primo. Ejemplo: veamos si 43 es primo.

Como 6 < 7 y no hemos conseguido ninguna división exacta, el número 43 es primo.

3.2. CRIBA DE ERATÓSTENES. La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para obtener los primeros números primos. Para ello se colocan en un cuadro los números naturales (no tendremos en cuenta el 1 por ser un caso especial).

 Comenzamos por el número 2 (primer nº primo), lo dejamos, pero a partir de él contamos de 2 en 2 y tachamos todos los múltiplos de 2.

 El siguiente número primo que encontramos es 3, lo dejamos y desde él eliminamos todos los múltiplos de 3 contando de 3 en 3.

 El siguiente número que no ha sido eliminado es 5. Lo dejamos y eliminamos los números múltiplos de 5.

 Continuamos con el mismo procedimiento: cuando llegamos al siguiente número que no ha sido eliminado, lo dejamos pero eliminamos todos sus múltiplos. Al final nos habrán quedado solo los números primos.

PARA SABER MÁS Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. - Alejandría, 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego. Poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Se le debe un procedimiento, conocido como la Criba de Eratóstenes, para obtener de un modo rápido todos los números primos menores que un número dado. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

4. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO. Descomponer un número en factores primos (factorizar) es escribir ese número como producto de números primos. Seguimos estos pasos:

 Dividimos el número por el primer número primo que sea divisor.

 El cociente que obtenemos lo colocamos bajo el primer número.

 Si podemos, seguimos dividiendo sucesivamente el cociente obtenido entre el mismo número primo.

 Cuando la división ya no sea exacta, probamos a dividir entre el siguiente número primo.

 Se procede de la misma manera hasta obtener como cociente 1.

 Finalmente escribimos ese número como un producto de potencias de factores primos. 4.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL. Para hallar el m.c.m. de varios números podemos seguir estos pasos: 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman todos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el que aparecen. 3. Se multiplican los factores elegidos.

4.2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL. Para hallar el M.C.D. de varios números podemos seguir estos pasos: 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman solamente los factores primos comunes elevados al menor exponente con el que aparecen. 3. Se multiplican los factores elegidos.