Divisores de tensión y corriente. A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia

Resumen. En esta experiencia se estudian dos circuitos, cada uno con una característica especial, el divisor tensión y el divisor de corriente. En cada circuito se utiliza una con un valor fijo (𝑅𝑜 ) y otra con resistencia variable (𝑅), la cual nos proporcionara diferentes curvas de datos por cada valor de resistencia que se escoja. Con el circuito divisor de tensión, con valores fijos de la resistencia variable se toma el potencial de esta (𝑉𝑅 ), el potencial de entrada (𝑉𝑖𝑛 ) y el potencial de la resistencia fija (𝑉𝑜 ) y con esto se intentará obtener una relación matemática que reproduzca teóricamente los datos experimentales del potencial 𝑉𝑅 y el potencial 𝑉0 en función de la resistencia 𝑅 y el 𝑉𝑖𝑛 . Con el circuito divisor de corriente, para ciertos valores de la resistencia variable se tomará la corriente que pasa por esta (𝐼𝑅 ), el potencial de entrada (𝑉𝑖𝑛 ) y la corriente que pasa por la resistencia fija (𝐼𝑜 ) y con estos se intentara obtener el 𝐼𝑅 y el 𝐼0 en función de la resistencia 𝑅 y el 𝑉𝑖𝑛 .

Introducción. Un divisor de tensión, es una configuración de circuito que reparte la tensión de una fuente entre dos o más impedancias conectadas en serie, en el caso de la presente práctica experimental dicho divisor es llamado divisor resistivo, es decir, aquel que se compone de resistencias como impedancias1. En la (figura 1) se muestra un esquema de un divisor resistivo. Para calcular el voltaje en la resistencia 𝑅, se hace uso de la siguiente ecuación: 𝑉𝑅 = 𝑉𝑖𝑛

𝑅 𝑅0 +𝑅

(1)

Para llegar a esta expresión tuvo que recurrirse a la primera ley de Kirchhoff, cuyo enunciado es: “en un circuito cerrado, la suma algebraica de las tensiones es cero” y la ley de Ohm 𝑉 = 𝐼𝑅

(2)

Otro concepto que aparece en esta práctica experimental es el de divisor de corriente, el cual es un circuito que reparte la corriente eléctrica de una fuente entre dos o más impedancias conectadas en paralelo, también en este caso dichas impedancias son resistencias. El esquema (figura 2) es el de un divisor de corriente con resistencias como Impedancias, para calcular la corriente que pasa por la resistencia 𝑅; se hace uso de la segunda ley de Kirchhoff “en

un nodo, la suma algebraica de las corrientes es igual a cero” y nuevamente de la ley de Ohm (2); obteniendo la siguiente relación matemática: 𝐼𝑅 =

𝑉𝑖𝑛 𝑅+𝑅𝐿

(3)

Donde 𝑅𝐿 es una resistencia limitadora. ________________________________________________________________________________

Descripción del Equipo Experimental. Montaje: Los materiales usados en el experimento son: una fuente de voltaje variable de 20 V, una resistencia fija (𝑅0 ) de 1000Ω, un potenciómetro de resistencia variable 𝑅, una resistencia limitadora (𝑅𝐿 ) de 100 Ω, dos multímetros y cables conectores. Para el divisor de Tensión se monta el circuito de la figura (1) con las resistencias en una configuración en serie, La resistencia variable (R) o potenciómetro se conecta de esa forma por condición de este, ya que en los extremos esta resistencia se anula.

Para el circuito divisor de corriente, se utiliza una resistencia limitadora (𝑅𝐿 ) de 100Ω para evitar que la corriente cause daños en los equipos de medición, después de esto se conecta la resistencia fija y la variable en paralelo como puede verse en la figura (2).

Procedimiento: Primero se montó el circuito de la figura (1), a parte, con uno de los multímetros se fija el valor de la resistencia variable, se modifica nueve veces el valor del potencial de entrada y por cada uno de estos se toma el potencial de la resistencia fija y la variable, luego se repite este proceso para 5 nuevos valores fijos de la resistencia en el potenciómetro, teniendo en cuenta que esta se debe desconectar del circuito para cambiar el valor de la resistencia. En la segunda parte, el esquema del montaje es el mostrado en la (Figura2) y como en la primera parte se fija la resistencia variable y con nueve diferentes valores del potencial de entrada se toman las magnitudes de la corriente

de la resistencia fija y la resistencia variable y se repite esto para cuatro valores más de la resistencia variable.

Análisis de resultados. Divisor de Tensión. Los potenciales de entrada, de la resistencia fija y la resistencia variable se consignaron en La Tabla 1.a y tabla 1.b respectivamente, y con los de la tabla 1.b se escogió hacer la gráfica 1 para facilitar el análisis de las tendencias presentadas en los datos experimentales. En la grafica 1, se muestra el voltaje en el potenciómetro con respecto al voltaje de entrada 𝑉𝑖𝑛 , para los distintos valores de resistencia usados en el experimento.

Gráfica 1 Muestra el voltaje en el potenciómetro en función del voltaje de entrada para valores constantes de R.

Puede verse claramente una dependencia lineal entre los valores graficados, sin embargo, las líneas no se encuentran igualmente distanciadas unas de las otras, de lo que se infiere una dependencia no lineal del 𝑉𝑅 con respecto a la resistencia 𝑅, para ver esto con mayor claridad, se procede a realizar la grafica de 𝑉𝑅 en función de R para los nueve valores fijos de 𝑉𝑖𝑛 grafica 2

Gráfica 2 muestra la dependencia encontrada del voltaje en el potenciómetro, en función del valor re la resistencia fijado en este, para distintos valores del voltaje de entrada.

En esta grafica se comprueba cualitativamente la suposición de una dependencia no lineal entre estas magnitudes, y puede verse, como es de esperarse, y tomando en cuenta las líneas rectas de la grafica 1, que estas curvas de (𝑉𝑅 vs R) se encuentran a una distancia aproximadamente igual. Ahora, se realizan ajustes para obtener las distintas ecuaciones que representan el comportamiento de cada una de las líneas y posteriormente dar una relación unificada que describa el fenómeno. Las ecuaciones lineales encontradas a partir de la grafica 1, son las mostradas en la tabla 2. Para encontrar una ecuación unificada de del comportamiento, se parte de las ecuaciones de la tabla 2, al ser el intercepto muy cercano a cero, puede este despreciarse, así, de la grafica 1 se tiene una ecuación de esta forma: 𝑉𝑅 = 𝑉𝑖𝑛 ∗ 𝛽

(4)

Donde 𝛽 es la pendiente de cada una de las líneas, que como puede observarse, depende de 𝑅; con el fin de encontrar la función 𝑓 𝑅 = 𝛽, se despeja de (4) y se hace el mismo ajuste que se hizo en la grafica 2, ya que esta es la relación entre 𝑉𝑅 y 𝑅 y al dividir entre 𝑉𝑖𝑛 las líneas de la grafica 2 tenderán a ser una sola, con lo que se obtendrá al promediar una sola expresión para 𝛽. La grafica 3 muestra las curvas de 𝑉𝑅 𝑉𝑖𝑛 en función de 𝑅.

Gráfica 3 Muestra la relación entre 𝑽𝑹 𝑽𝒊𝒏 y 𝑹.

Como se esperaba, las líneas se superponen, y al hacer un ajuste hiperbólico, que es mismo realizado en la grafica 2, ya que es este el que mejor reproduce los datos experimentales. Los parámetros encontrados partiendo del ajuste, son promediados para encontrar la siguiente expresión: 𝑉𝑅 𝑉𝑖𝑛

=

1.0100±0.0027 𝑅 998.80±8.95 +𝑅

(5)

Ahora, e multiplica por 𝑉𝑖𝑛 llegando a: 𝑉𝑅 = 𝑉𝑖𝑛

1.0100±0.0027 𝑅 998.80±8.95 +𝑅

(6)

Lo cual es muy parecido a la ecuación (1) sabiendo que la resistencia 𝑅0 tiene un valor fijo de (1000 ± 50) Ω y de esta forma se comprueba experimentalmente la ecuación teórica. Ahora, con el fin de comprobar experimentalmente la Primera Ley de Kirchhoff, que viene expresada matemáticamente en este caso como: 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑅 + 𝑉0

(7)

Se hace uso de la Tabla 1.a y 1.b para sumar los valores respectivos de 𝑉𝑅 y 𝑉0 y compararlos con los datos de 𝑉𝑖𝑛 , los resultados son mostrados en la Tabla 3. De la Tabla 3 se encuentra que los valores de las columnas son aproximadamente iguales a los voltajes de entrada, con lo que se prueba la Primera Ley de Kirchhoff. Divisor de corriente. Con el segundo el procedimiento seguido es similar al del divisor de tensión, los datos se consignaron en la Tabla 4.a para los de la corriente que pasa por la resistencia fija y en la Tabla 4.b los datos de la corriente que pasa por el potenciómetro (resistencia variable). Con los datos de la Tabla 4.b se realiza gráfica 4 ,que nos dice la dependencia de la corriente de la resistencia variable en función de la corriente de la resistencia fija.

Gráfica 4 Muestra la dependencia de la corriente del potenciómetro con respecto a al voltaje de entrada.

Se encuentra en la Gráfica 4 una dependencia lineal, aunque puede verse que la distancia no es la misma entre las rectas, y que para una resistencia de (1000±20)Ω la distancia a la línea contigua es notablemente mayor que las distancias entre las demás líneas; de esto se encuentra que el valor de la pendiente de las líneas depende del valor de la resistencia. Para poder analizar esta

dependencia, se realiza la grafica 5, de la corriente 𝐼𝑅 en función de la resistencia 𝑅, para distintos voltajes de entrada 𝑉𝑖𝑛 y se realiza un ajuste sobre las curvas encontradas.

Gráfica 5 Muestra la relación entre la corriente que pasa por el potenciómetro y la resistencia, para valores fijos del voltaje de entrada.

La forma que tienen las curvas mostradas en la gráfica 5, explican el por qué de la pendiente más alejada de las demás que se encontró en la gráfica 4. El ajuste realizado en la anterior grafica es de la forma: 𝐼𝑅 =

1 (𝑎+𝑏∗𝑅)

(8)

Para encontrar una única ecuación, se procede de la misma manera que en el análisis del divisor de tensión, y se dividen los datos de la corriente entre el voltaje para posteriormente graficar dichos resultados en función de la resistencia, las curvas son las mostradas en la grafica 6.

Gráfica 6, Muestra la relación entre 𝑰𝑹

𝑽𝒊𝒏 y 𝑹.

Los parámetros son promediados con el fin de encontrar una única ecuación, la cual es mostrada a continuación: 𝐼𝑅 𝑉𝑖𝑛

=

1 129.213±11.741 + 1.088±0.009 𝑅

(9)

Que al despejar 𝐼𝑅 queda: 𝐼𝑅 =

𝑉𝑖𝑛 129.213±11.741 + 1.088±0.009 𝑅

(10)

Lo cual es aproximadamente igual a la ecuación (3), encontrando un valor para 𝑅𝐿 de 129.213 ± 11.741Ω que es bastante cercano al valor que se conocía de la resistencia limitadora (100 ± 5)Ω. Ahora, se procede a comprobar la segunda ley de Kirchhoff, que es expresada matemáticamente de la siguiente forma: 𝐼 = 𝐼𝑟 + 𝐼𝑜

(11)

Sin embargo al no conocer 𝐼 fue necesario calcularlo teóricamente mediante la ley de Ohm con la ecuación:

𝐼=

𝑉𝑖𝑛 𝑅𝑒𝑞

(12)

Donde Req es: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅𝐿 +

𝑅𝑜 ∗𝑅 𝑅𝑜 +𝑅

(13)

Los datos calculados se muestran en la tabla 5, posteriormente se comparan estos datos con la suma de datos experimentales (𝐼𝑟 + 𝐼𝑜 ) para llegar a la comprobación de la segunda ley de Kirchhoff. La suma de los datos (𝐼𝑟 + 𝐼𝑜 ) es la mostrada en la tabla 6. Al comparar los datos de ambas tablas, es posible ver la gran similitud de los datos, con lo que puede afirmarse la veracidad de la Segunda Ley de Kirchhoff.

Conclusiones 1. La tensión en la Resistencia variable, es directamente proporcional a la tensión de entrada brindada por la fuente de voltaje, y varia de forma no lineal para distintos valores fijados en la resistencia. 2. En el circuito divisor de Tensión la suma de los potenciales de la resistencia variable y la resistencia fija es igual al voltaje de entrada, es decir, el voltaje no pierde su magnitud total en el recorrido del circuito cerrado, aunque localmente no sea constante. 3. La intensidad de corriente en la resistencia variable del divisor de corriente, es también directamente proporcional al voltaje de entrada, aunque inversamente proporcional al valor de la suma de la resistencia limitadora y el valor fijado de la resistencia variable; y este no depende de la resistencia fija 𝑅0 . 4. Es posible comprobar por medio de este experimento las dos leyes de Kirchhoff. 5. Se encuentra una exactitud bastante buena en los resultados, puesto que los factores externos que influyen en el experimento son muy pocos y como puede verse, no influyen significativamente.

Bibliografía [1] http://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_tensi%C3%B3n [2] Ardila A. M., Física experimental, Segunda edición, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, 2007. [3]Cochran, W.G. y G.M. Cox. 1976. Diseños Experimentales. Ed. Trillas, México. Cap. 5 Experimentos factoriales.

Anexos. Tablas.

Resistencia (±20 Ω)

Vin (±0,2 V) 500 1000 2000 3000 4000 4500

2 1,3 1,0 0,7 0,5 0,4 0,4

Tención de la resistencia fija (Vo) (±0,2 V) 4 6 8 10 12 14 16 2,6 3,9 5,2 6,5 8,0 9,5 10,5 2,0 3,0 4,0 4,9 6,0 7,0 8,0 1,3 2,0 2,6 3,3 4,0 4,6 5,3 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,4 3,9 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 0,7 1,1 1,5 1,8 2,2 2,5 2,9

18 12,0 9,0 6,0 4,4 3,5 3,2

Tabla 1.a) Tenciones de la resistencia fija.

Resistencia (±20 Ω)

Vin (±0,2 V) 500 1000 2000 3000 4000 4500

2 0,65 1,01 1,35 1,52 1,62 1,66

Tención de la resistencia variable (VR) (±0,02 V) 4 6 8 10 12 14 16 18 1,33 2,03 2,72 3,41 4,09 4,79 5,47 6,16 2,04 3,05 4,07 5,09 6,09 7,09 8,12 9,12 2,71 4,07 5,43 6,78 8,13 9,49 10,85 12,17 3,05 4,57 6,10 7,62 9,14 10,66 12,18 13,70 3,25 4,87 6,50 8,12 9,74 11,37 13,00 14,61 3,31 4,98 6,69 8,29 9,96 11,60 13,29 14,93

Tabla 1.b) Tenciones de la resistencia variable.

En función de 𝑉𝑖𝑛 Ecuación 𝑉𝑅 = 𝑉𝑅 = 𝑉𝑅 = 𝑉𝑅 = 𝑉𝑅 = 𝑉𝑅 =

−0.0403 ± 0.0037 + 𝑉𝑖𝑛 (0.3446 ± 0.0003) 0.0106 ± 0.0072 + 𝑉𝑖𝑛 (0.5065 ± 0.0006) 0.0028 ± 0.0082 + 𝑉𝑖𝑛 (0.6772 ± 0.0007) 0.0047 ± 0.0033 + 𝑉𝑖𝑛 (0.7611 ± 0.0003) −0,0008 ± 0.0035 + 𝑉𝑖𝑛 (0.8121 ± 0.0003) 0.0069 ± 0.0156 + 𝑉𝑖𝑛 (0.8294 ± 0.0014)

Valor de 𝑅 fijo (R±20)Ω 500 1000 2000 3000 4000 4500

Tabla 2.a muestra las ecuaciones encontradas haciendo uso de un ajuste lineal sobre la grafica 1.

Prueba de la primera ley de Kirchhoft (Vo+VR) (±0,22 V)

Resistencia (±20 Ω)

Vin (±0,2 V) 500 1000 2000 3000 4000 4500 a

2 1,95 2,01 2,05 2,02 2,02 2,06

4 3,93 4,04 4,01 4,05 4,05 4,01

6 5,93 6,05 6,07 6,07 6,07 6,08

8 7,92 8,07 8,03 8,10 8,10 8,19

10 9,91 9,99 10,08 10,12 10,12 10,09

12 12,09 12,09 12,13 12,14 12,14 12,16

14 14,29 14,09 14,09 14,06 14,17 14,10

16 15,97 16,12 16,15 16,08 16,20 16,19

18 18,16 18,12 18,17 18,10 18,11 18,13

Tabla 3) 1 ley de de Kirchhoft.

Resistencia (±20 Ω)

Vin (±0,2 V)

2

Corriente de la resistencia fija (Io) (±0,0002 A) 4 6 8 10 12 14 16

18

1000 0,002 0,003 0,005 0,007 0,008 0,010 0,012 0,013 0,015 2000 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,010 0,012 0,014 0,015 2500 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 3000 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,010 0,012 0,014 0,016 4000 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,010 0,012 0,014 0,016

Tabla 4.a) Corriente de la resistencia fija.

Resistencia (±20 Ω)

Vin (±0,2 V)

Corriente de la resistencia variable (IR) (±0,0002 A) 2 4 6 8 10 12 14 16

18

1000 0,002 0,003 0,005 0,007 0,008 0,010 0,012 0,013 0,015 2000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 2500 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,004 0,005 0,005 0,006 3000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,004 0,005 0,005 4000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,004

Tabla 4.b) Corriente de la resistencia variable.

Resistencia (±25 Ω)

Vin (±0,2 V)

Corrientes de entrada (±0,0002 A) 2 4 6 8 10 12

14

16

18

600 0,003 0,007 0,010 0,013 0,017 0,020 0,023 0,027 0,030 767 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,021 0,023 814 0,002 0,005 0,007 0,010 0,012 0,015 0,017 0,020 0,022 850 0,002 0,005 0,007 0,009 0,012 0,014 0,016 0,019 0,021 900 0,002 0,004 0,007 0,009 0,011 0,013 0,016 0,018 0,020

Tabla 5. Corrientes de entrada 𝑰.

Prueba de la segunda ley de Kirchhoft (Io+IR)

Resistencia (±25 Ω)

Vin (±0,2 V)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

600 0,003 0,007 0,010 0,013 0,016 0,020 0,023 0,026 0,030 767 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,021 0,023 814 0,002 0,005 0,007 0,010 0,012 0,014 0,017 0,018 0,022 850 0,002 0,005 0,007 0,009 0,012 0,014 0,016 0,019 0,021 900 0,002 0,004 0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017 0,020

Tabla 6. Suma de las corrientes que pasan por la resistencia fija y por el potenciómetro.