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FÍSICA 1ro. de Bachillerato 2014

Prof. Javier Silveira

NOTAS UNIDAD 1 Parte 4: Ondas Bidimensionales, Reflexión, Refracción e Interferencia Ondas Bidimensionales En la parte anterior vimos que el medio de propagación de una onda puede ser una cuerda tensa, en este caso decimos que la onda es unidimensional, ya que se propaga sólo en la dirección de la cuerda, es decir que la propagación es a lo largo de una recta y por lo tanto en una sola dimensión. Pero si en lugar de considerar una cuerda que tiene una sola dimensión, consideramos la superficie de un líquido contenido en un recipiente, y pensamos en una perturbación en un punto de esa superficie, veremos que la perturbación se propaga tanto a lo largo como a lo ancho, es decir que se propaga en dos dimensiones. Podemos generar ondas de dos dimensiones en un recipiente con agua como el de la figura de abajo. En la figura (a) con un movimiento oscilatorio periódico de la mano se toca un punto de la superficie, por lo que se producen pulsos circulares que se propagarán cubriendo toda la extensión, alejándose del punto de contacto del dedo que es la fuente de la onda. Al igual que en el caso de las ondas en una cuerda se distinguen crestas y valles, siendo los valles los puntos de mínima altura en las ondas, y las crestas los de máxima altura, en este caso las crestas y los valles no son puntos sino que son circunferencias. Como en el caso unidimensional, la longitud de onda λ es la distancia entre dos crestas o entre dos valles sucesivos.

En la figura (b) en lugar de una fuente puntual, como en el caso del dedo, se hace contacto en la superficie a lo largo de una recta mediante el uso de una regla, en este caso se generan pulsos rectos.

Representación de Ondas Bidimensionales Para representar esquemáticamente las ondas en dos dimensiones se trazan únicamente las crestas como se verían si se observan desde una dirección perpendicular a la superficie. Para indicar la dirección y sentido de propagación de los pulsos es necesario trazar también rayos que son rectas con indicación de sentido.

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Como se ve en la siguiente figura los rayos son perpendiculares a las crestas, tanto en el caso de pulsos circulares como en el de pulsos rectos. En el caso de la figura (a) se trata de pulsos circulares, se trazan entonces círculos concéntricos (con el mismo centro) y los rayos son radiales con el sentido alejándose del centro, es decir que se trata de rayos divergentes. ¿Se podrán generar en la superficie de un líquido pulsos circulares convergentes? En la figura (b) se representan pulsos rectos, en este caso las crestas son una serie de rectas paralelas, mientras que los rayos son rectas también paralelas y perpendiculares a las anteriores, en este caso se indica que el sentido de propagación de la onda es de izquierda a derecha. En ambas figuras se indica la longitud de onda λ, que es la distancia entre dos crestas. También si es necesario se pueden representar los valles de las ondas con líneas punteadas, estas líneas estarían justo en el medio de las líneas que representan las crestas.

Reflexión de ondas La reflexión de una onda es el fenómeno que se produce cuando la onda encuentra un obstáculo en su medio de propagación, el efecto es un cambio en el sentido de propagación, y eventualmente también en la dirección de propagación. Veamos primero el caso de la reflexión de un pulso en una cuerda, este caso es unidimensional, por lo tanto la reflexión implicará un cambio en el sentido de propagación, pero no en la dirección. Se comprueba experimentalmente que la reflexión ocurrirá como se ilustra en la figura. Luego de la reflexión cambia el sentido de la velocidad de propagación, pero no su módulo. También se observa que la forma del pulso se invierte de arriba abajo. Si observamos la reflexión en el caso de ondas de dos dimensiones, por ejemplo el caso de un frente de onda recto que se encuentra con una barrera plana como se muestra en la figura, veremos que si trazamos los rayos correspondientes para

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el frente incidente y el frente reflejado, y la normal a la superficie, se cumple la ley de la reflexión, es decir, se cumple que i = r. La siguiente es una fotografía de un frente de ondas recto en la superficie de un líquido donde se observa la reflexión: ¿Cómo haría para comprobar que en esta fotografía se cumple la ley i = r? ¿Podrá ser mera casualidad que se cumpla la misma ley que vimos en el caso de la reflexión de los rayos de luz? Que las ondas se reflejen de la misma forma que lo hace la luz, sugiere que la luz puede ser una onda. Esta posibilidad era defendida en el siglo XVII por el físico holandés Christian Huyghens, su teoría, según la cual la luz tiene naturaleza ondulatoria se llama modelo ondulatorio de la luz. Por otro lado, si consideramos una pelota que rebota en una pared, y analizamos su trayectoria antes y después de rebotar, comprobaremos que los ángulos que forman las trayectorias, con una perpendicular a la pared en el punto de contacto, también son iguales, es decir que se cumple también la ley de la reflexión: i = r. Por lo tanto también es posible que la luz consista de pequeñas partículas materiales, esta posibilidad fue defendida por Newton quien formuló el modelo corpuscular de la luz. El debate entre ambos modelos continúa hasta el día de hoy, como veremos, en la historia de la física ocurren descubrimientos que fortalecen o debilitan un determinado modelo.

Refracción de ondas Así como hablamos de reflexión de ondas, siendo la reflexión un fenómeno que inicialmente estudiamos en relación a la luz, ahora veremos que también hay refracción no sólo de la luz, sino también refracción de ondas. En el caso de la luz, vimos que un rayo se refracta cuando pasa de un medio a otro, cuando el ángulo de incidencia no es cero y la velocidad de propagación de la luz es diferente en ambos medios, vimos que el rayo se desviaba. La refracción de ondas la definimos así: es el fenómeno que se produce cuando una onda pasa de un medio de propagación a otro distinto, es decir cuando la onda pasa a un medio donde se propagará con distinta velocidad. En la parte anterior vimos que la velocidad de propagación de una onda depende únicamente del medio (no de la frecuencia ni de la longitud de onda). Primero veamos el caso unidimensional de una onda propagándose por una cuerda. ¿Qué significa en este caso un cambio de medio?

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El medio de propagación en este caso es la propia cuerda, caracterizada por una tensión y una densidad de masa, la tensión debe ser la misma en toda la cuerda, pero la densidad de masa puede variar, por ejemplo si tomamos una cuerda fina y la unimos a una cuerda gruesa.

En la figura (a) de arriba se está ejerciendo cierta tensión sobre una cuerda consistente en dos partes, una fina (1) y una gruesa (2). Asumiendo que ambas fueron fabricadas con el mismo material, la cuerda (1) tiene menor densidad de masa que la (2), por lo tanto las ondas se propagarán más rápidamente en la cuerda (1), expresando lo anterior simbólicamente:

Si se genera una onda en la cuerda (1), su velocidad disminuirá cuando pase a la cuerda (2), como indican los vectores que aparecen en la figura (b). ¿Qué ocurrirá con la frecuencia de la onda al pasar de la cuerda (1) a la (2)? Para responder a esta pregunta fijemos nuestra atención exactamente en la unión de ambas cuerdas. Esa unión, inmediatamente a su izquierda tiene a la cuerda fina, por lo tanto debe oscilar con la frecuencia de la cuerda fina, pero inmediatamente a la derecha, la unión tiene a la cuerda gruesa, por lo tanto debe oscilar con la frecuencia de la cuerda gruesa. Por lo tanto, si la unión oscila con la frecuencia de la cuerda fina y con la frecuencia de la cuerda gruesa a la vez, necesariamente ambas frecuencias deben ser iguales.

La frecuencia de una onda no cambia cuando es transmitida de un medio a otro.

Vimos entonces que no cambia la frecuencia, pero que sí cambia la velocidad de la onda cuando pasa de un medio a otro. ¿Qué ocurrirá entonces con la longitud de onda?

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Para demostrar lo que ocurre recordemos la relación entre v, f y λ de una onda:

Entonces para la cuerda (1) tenemos:

Y para la cuerda (2):

Pero como habíamos visto que v1 > v2, las ecuaciones nos dicen entonces que λ1 > λ2, que es lo que es lo que ya estaba ilustrado en la figura (b) de arriba. Entonces la refracción además de un cambio en la velocidad de propagación de la onda, implica también un cambio en la longitud de onda. Veamos ahora el caso de la refracción de ondas de dos dimensiones. La velocidad de propagación de ondas en la superficie de un líquido depende de la profundidad. Entonces, así como en el caso de ondas en una cuerda el cambio de medio significa un cambio en la densidad de masa, en el caso de ondas en la superficie de un líquido, el cambio de medio es un cambio en la profundidad. A mayor profundidad, mayor velocidad de propagación. Por lo tanto, si un frente de ondas recto se propaga por la superficie de un líquido, y alcanza una frontera que delimita un cambio en la profundidad, veremos lo que muestra la foto de abajo. A la izquierda vemos lo que muestra la foto pero de forma esquemática. Vemos que hay un cambio en la longitud de onda, esto se explica de la misma forma que en el caso de la cuerda, teniendo en cuenta que la frecuencia del frente de ondas no cambia.

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¿Dónde viaja más rápido el frente de ondas, en el medio 1 o en el medio 2? Vemos también que además de un cambio en la longitud de onda, se modifica también la dirección de propagación. Para comprender la desviación hay que analizar el diagrama de la derecha. Vemos que λ1 > λ2, lo cual indica que la velocidad de propagación es mayor en el medio 1 (el de arriba), expresado simbólicamente: v1 > v2. Fijemos la atención ahora en el pulso AB del frente de onda incidente, el punto A ya alcanzó la frontera, pero debido a la inclinación, al punto B aún le falta recorrer la distancia BC para alcanzar la frontera. Cuando el punto B recorra la distancia BC, el punto A habrá estado moviéndose en el medio de abajo, donde la onda se propaga más despacio, por lo tanto para cuando el punto B recorra la distancia BC, el punto A habrá recorrido una distancia menor, la distancia AD. Así que para cuando el pulso atraviese en su totalidad la frontera, habrá cambiado su dirección de propagación. Utilizando trigonometría, considerando los triángulos ABC y ADC y teniendo en cuenta que AD = v2 Δt, y BC = v1 Δt, podríamos demostrar que se cumple:

Donde θ1 y θ2 son los ángulos de incidencia y refracción. Es decir que se cumple la ley de la refracción de la misma forma que se cumple para la luz, esto es claramente un factor a favor de la teoría ondulatoria de la luz, sin embargo, Newton también logró explicar la refracción de la luz con su teoría corpuscular, aunque de forma bastante más compleja.

Difracción La difracción es la propiedad de una onda de rodear un obstáculo al ser interrumpida su propagación parcialmente por él. El caso de la figura de la izquierda se llama difracción por barrera. Vemos que el frente de onda tiende a alcanzar el espacio detrás de la barrera, para ello deja de ser recto, los pulsos se curvan luego de pasar la barrera.

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La difracción no implica un cambio en la longitud de onda, y como no hay cambio de medio, tampoco cambia la velocidad de propagación, sólo cambia la forma del frente de ondas. ¿Se puede hablar de difracción en ondas de una dimensión? El dibujo esquemático de la izquierda y la correspondiente foto muestran el fenómeno llamado difracción por orificio. En este caso el frente de ondas cambia totalmente de forma, deja de ser recto y pasa a ser circular, o más exactamente semicircular. Si se incrementa el tamaño del orificio, como muestra el dibujo de la izquierda, la difracción sigue ocurriendo, pero vemos que la deformación del frente de ondas es menos pronunciada. Para que la difracción sea clara es necesario que el orificio tenga un tamaño del orden de la longitud de onda.

¿Qué ocurrirá con la luz? Si el modelo ondulatorio de la luz es válido se debería poder observar difracción de la luz. En efecto, si realizamos el experimento de la izquierda, donde un haz paralelo de luz pasa por una delgada ranura, veremos que la proyección del haz sobre una pantalla tendrá un ancho mayor que el esperado, esto se puede explicar por difracción de la luz.

Interferencia Es el fenómeno que se produce cuando por un mismo punto del espacio pasan dos o más ondas. Para comenzar veamos el caso más simple de interferencia, el caso unidimensional de dos pulsos que viajan en un cuerda con velocidades de propagación con sentido opuesto. En la figura de la izquierda, vemos en primer lugar arriba, dos pulsos que se van acercando. Los pulsos tienen velocidades de sentido opuesto, el de la izquierda tiene una amplitud y1 y el de la derecha amplitud y2.

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Cuando los pulsos se encuentran las formas de ambos comienzan a combinarse. En el momento en que los pulsos están totalmente superpuestos vemos que la cuerda tiene una elongación que es igual a la suma de las elongaciones de ambos pulsos. Este tipo de interferencia se llama interferencia constructiva. Finalmente vemos que después de ocurrida la interferencia cada uno de los pulsos continúa su viaje, con su forma original y con su velocidad original, como si nada hubiese ocurrido. Veamos ahora otro caso, representado en la figura de abajo a la derecha. En el primer dibujo, dos pulsos se están acercando, pero ahora uno es hacia arriba, y el otro hacia abajo, decimos que el primero de la izquierda (y1) tiene elongación positiva, mientras que el segundo (y2) tiene elongación negativa. En el instante de la interferencia, cuando se superponen totalmente ambos pulsos, vemos que la elongación de la cuerda es y1-y2 Luego de la interferencia, cada pulso, también en este caso, sigue su camino como si nada hubiese ocurrido. Observe que acá hay una gran diferencia con los objetos materiales, cuando chocan dos cuerpos materiales, cada uno de ellos será afectado en mayor o menor grado por el choque, su estado en general es muy diferente antes y después del choque. Estudiemos ahora un caso de interferencia en dos dimensiones. En la figura de la izquierda se observan dos frentes de ondas circulares y en fase, lo cual significa que las crestas y valles se generan en ambas fuentes en el mismo instante. Vemos que hay puntos en donde se intercepta una cresta (líneas continuas) de uno de los frentes con un valle (líneas punteadas) del otro frente de ondas. En esos puntos ocurre entonces una interferencia destructiva, esos puntos son llamados nodos, y las líneas que los unen se llaman líneas nodales. Por otro lado hay puntos donde se intercepta una cresta con una cresta de la otra fuente, ahí ocurre interferencia constructiva. También ocurre interferencia constructiva en los puntos donde se intercepta un valle con otro valle, a estos puntos de interferencia

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constructiva se les llama antinodos, también se puede trazar una línea que los una. Entonces en las líneas nodales no habrá oscilación, mientras que entre las líneas nodales sí tendremos oscilación y además del doble de amplitud de la que se tendría en presencia de una sola fuente. Si se realiza el experimento en la superficie de un líquido se obtendrá una imagen como la que se ve en la foto de la derecha. Observe como se distinguen en la fotografía las líneas que antes describimos teóricamente.

Interferencia de la luz Si la luz es una onda, entonces también se debería poder observar el fenómeno de la interferencia de la luz. Las líneas nodales, donde la amplitud de oscilación es cero, en el caso de ondas luminosas corresponderían a zonas oscuras. El experimento sería como se representa a la izquierda. El problema es que si tengo dos fuentes independientes de luz no se puede saber si están en fase, de hecho lo más probable es que no lo estén. La anterior es una de las dificultades que tuvieron que superar los científicos para comprobar la interferencia de la luz. Finalmente un físico inglés llamado Thomas Young logró realizar el experimento en el siglo XIX. El experimento hoy se conoce como experimento de Young. La figura de la izquierda muestra el esquema del experimento definitivo. En lugar de utilizar dos fuentes de luz, se utiliza una sola fuente que luego se difracta por dos ranuras F1 y F2, a partir de las cuales se obtienen dos frentes de onda semicirculares (si pensamos en 3D, debería decir semicilíndricos) que necesariamente estarán en fase, ya que provienen de la misma lámpara.

En la pantalla podrá observarse franjas oscuras, correspondientes a las líneas nodales, y franjas claras, correspondientes a las líneas antinodales.

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Las siguientes figuras permiten comprender mejor el experimento:

El experimento de Young fue un duro golpe para la teoría corpuscular de la luz y un importante fortalecimiento para la teoría onduladora. Con el modelo corpuscular de Newton se pudo explicar con éxito los fenómenos de reflexión y refracción de la luz. Pero con el experimento de Young el modelo corpuscular se desmoronó, ningún físico pudo explicar la interferencia de la luz manteniendo la hipótesis de que la luz se compone de partículas. El siglo XIX fue el siglo del éxito de los modelos ondulatorios, con ellos se pudo explicar eficientemente los fenómenos de la luz y del sonido. En este marco, la frecuencia de una onda luminosa se relaciona con el color, las frecuencia más altas corresponden al color violeta y las más bajas al color rojo. En el caso del sonido la frecuencia se relaciona con el tono, las frecuencias más altas corresponden a los sonidos agudos y las más bajas a los sonidos graves. Como vimos, las ondas requieren de un medio de propagación, en el caso del sonido, el medio de propagación es el aire. Así que si de un recinto cerrado herméticamente extraemos el aire logrando un vacío, se comprueba que el sonido no se puede propagar en por ese espacio. Si la luz es una onda, ¿cuál es su medio de propagación? no es el aire, ya que la luz puede viajar en el vacío. La pregunta anterior fue la que dejó casi sin palabras a los defensores del modelo ondulatorio de la luz. Sin embargo esto no es un problema para el modelo corpuscular, ya que las partículas pueden viajar independientemente de un medio de propagación.