OBJETIVOS
Comprender el significado físico de momento lineal o cantidad de movimiento como medida de la capacidad de un cuerpo de actuar sobre otros en choques. (movimientos unidimensionales)
Comprender la relación entre impulso (de una fuerza constante) y momento lineal, así como el principio de conservación del momento lineal de un sistema en ausencia de impulso externo.
Comprender la noción de choque elástico e inelástico.
Aplicar la conservación del momento lineal al cálculo de velocidades o masas de partículas que chocan entre sí en choques elásticos e inelásticos unidimensionales.
Comprender cualitativamente los cambios de dirección que se producen en choques no frontales.
Aplicar la conservación del momento lineal al cálculo de velocidades o masas de partículas en el caso de desintegración de un cuerpo en fragmentos (sólo en dos o tres fragmentos)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Has oído hablar de posición, velocidad y aceleración para describir el movimiento de un cuerpo; también has oído hablar de fuerza para explicar las interacciones entre cuerpos. Ahora presentamos otra nueva magnitud que sirve para relacionar el estado de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que actúan sobre él. Todos sabemos que un cuerpo en movimiento tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre en su camino. Llamaremos momento lineal o cantidad de movimiento a la magnitud que nos mide esta capacidad. Matemáticamente, la cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de la velocidad v por la masa de la partícula:

p = mv Unidades:

m [ p ] = [M ][v] = Kg • s

En el Sistema Internacional

• Tiene carácter vectorial, y como m es un escalar, entonces p tiene la misma dirección de V

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Es muy ventajoso trabajar con las componentes en x y en y de la cantidad de movimiento, para dos dimensiones tenemos:

 p x = mvx  p = mv ⇒   p = mv y  y Examen rápido 1: dos objetos tienen igual energía cinética. ¿Cómo se comparan las magnitudes de sus cantidades de movimiento? (a) p1∠p2 (b) p1 = p2 (c) p1 〉 p2 (d) No hay suficiente información para determinar la respuesta

SEGUNDA LEY DE NEWTON EN FUNCIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Sabemos que la segunda ley de Newton se puede expresar matemáticamente como:

Fneta

∆v v f − vi = ma, pero a = = , luego ∆t ∆t

Fneta

 v f − vi  mv f − mvi  = = m , pero p = mv, entonces ∆t  ∆t 

Fneta

∆p = ∆t

La fuerza neta es igual a la variación de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo

IMPULSO El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo:

I = ∆p = p f − pi , de la 2da ley de Newton tenemos que: ∆p = F ⋅ ∆t neta Luego entonces, cuando actúa una sola fuerza constante

I = F ⋅ ∆t

, por lo que

el impulso también se define como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo

TEOREMA DEL IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso de una fuerza ejercida sobre un cuerpo se emplea en variar su momento lineal:

I = F ⋅ ∆t = ∆p = mv f − mvi El impulso impartido por una fuerza durante el intervalo de tiempo t es igual al área bajo la grafica fuerza tiempo desde el inicio hasta el final del intervalo de tiempo o, lo que es lo mismo a F t.

F Impulso

ti

tf

t

TEOREMA DEL IMPULSO-CANTIDAD DE MOVIMIENTO La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama fuerza de impulso. El impulso se puede escribir como: I durante el intervalo.

= Fm ∆t. Donde Fm es la fuerza promedio

F Fm

t ti

Área = Fm ∆t

tf

Una pelota colisionando con una pared rígida

t=o p1

p2

t = ∆t

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando no actúa ninguna fuerza exterior sobre un sistema, la cantidad de movimiento de este se mantiene constante. Sabemos

∑

que

:

F ⋅ ∆ t = ∆ p =

0 = ∆ p =

p

f

p

f

− p

i

− p i , entonces

, si

∑ p

i

F

= 0 , tenemos

=

p

que

f

Un ejemplo de conservación de la cantidad de movimiento es visualizarlo en un choque de dos objetos, antes y después del choque la cantidad de movimiento se conserva (se mantiene constante)

pi = p f ,

entonces pi1 + pi 2 = p f 1 + p f 2

m1vi1 + m2 vi 2 = m1v f 1 + m2v f 2

COLISIONES Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que: m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciarles y finales de las masas m1 y m2. v1f

F21

F12

antes v1i

después

m1 m2

v2i

v2f

CLASIFICACIÓN DE LAS COLISIONES Consideraremos colisiones en una dimensión. Las colisiones se clasifican en: Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:

1 2

mv + m v = mv + m v 2 1 1i

1 2

2 2 2i

1 2

2 1 1f

1 2

Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.).

Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión.

v1f = v2f

2 2 2f

COLISIONES PERFECTAMENTE INELÁSTICAS Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente:

v = v1 f = v2 f

m1v1i + m2 v2i = m1 + m2

Si m2 está inicialmente en reposo, entonces:

m1v1i v= m1 + m2

(*)

Si m1» m2, entonces v ≈ v1i. Si m1« m2, entonces v ≈ 0.

v1i

Si v2i = −v1i , entonces:

v2i

m1

Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0

vf

m1+m2

EL PENDULO BALISTICO El péndulo balístico es un sistema con el que se mide la velocidad de un proyectil que se mueve con rapidez, como una bala. La bala se dispara hacia un gran bloque de madera suspendido de algunos alambres ligeros. La bala es detenida por el bloque y todo el sistema se balancea hasta alcanzar la altura h.

Puesto que el choque es perfectamente inelástico y el momento se conserva, la ecuación (*) proporciona la velocidad del sistema inmediatamente después del choque. La energía cinética inmediatamente después del choque es: 1 2

K=

2

(m1 + m2 )v

Combinando estas dos ecuaciones y aplicando conservación de energía, se puede determinar que:

v1i

( m1 + m2 ) = m1

2 gh

CHOQUES ELÁSTICOS Antes de la colisión v1i

Después de la colisión v1f

v2i

m1

v2f

m2

En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que:

m1v1i + m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f

y 1 2

m1v12i + 12 m2 v22i = 12 m1v12f + 12 m2 v22 f

Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:

v1i + v1 f = v2i + v2 f

CHOQUES ELÁSTICOS Es fácil mostrar que las velocidades finales de los dos objetos son:

m1 − m2 2m2 v1 f = v1i + v2 i m1 + m2 m1 + m2

v2 f

2m1 m2 − m1 = v1i + v2 i m1 + m2 m1 + m2

CHOQUES ELÁSTICOS Si v2i = 0, entonces:

m1 − m2 2m1 v1 f = v1i y v2 f = v1i m1 + m2 m1 + m2

Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades. Si m1 » m2, entonces v1f ≈ v1i y v2f ≈ 2v1i. Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado. Si m1 « m2, entonces v1f ≈ −v1i y v2f ≈ (2 m1/m2)v1i ≈ 0. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la que traía.

COLISIONES http://www.walterfendt.de/ph11s/collision_s.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/c on_mlineal/choques2/choques2.htm