Operaciones de números racionales Yuitza T. Humarán Martínez Adapatado por Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo

• El conjunto de los números racionales consiste de: Fracciones de naturales Opuestos de las fracciones de naturales  Enteros

Profa. Yuitza T. Humarán

Orden de números racionales y la recta numérica

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Recta numérica • A todo número racional le corresponde uno y sólo un punto de la recta.

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-3

-2

-1

0

-3

-2

-1

0

1

1 2

1

2

3 2

2

5 2

3

4

3

4

Números racionales negativos Dos números racionales opuestos están a la misma distancia de cero • el positivo hacia la derecha de cero • el negativo hacia la izquierda de cero.

-3



5 2

-2



3 2

-1



1 2

0

1 2

Opuestos

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1

3 2

2

5 2

3

4

Orden Los números en la recta numérica aumentan siempre de izquierda a derecha. -3

a) b)

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



5 2

-2

5 1  2< 2

3 2

c)

5 2

d)

1 2

>



1 2

>



<

3 2

5 2



3 2

-1



1 2

0

1 2

1

3 2

2

5 2

3

4

Simplificación de fracciones

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Una fracción está en su mínima expresión si el máximo común divisor o factor (MCDiv) del numerador y del denominador es 1.

Ejemplos: (a)

7 24

MCDiv(7,24)=1

(b)

8 35

MCDiv(8,35)=1

Las fracciones se escriben en su mínima expresión mediante la ley fundamental de fracciones. Profa. Yuitza T. Humarán

Ley fundamental de fracciones a Si es una fracción, entonces b a an  b bn

para cualquier número n ≠ 0 y b ≠0.

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Ejemplo 36

Reduzca o simplifique a su mínima 54 expresión.  Determine el máximo común divisor de 36 y 54. MCDiv(36,54) = 18  Exprese el numerador y el denominador como producto del máximo común divisor. 36 2  18  54 3  18

 Utilice ley fundamental de fracciones 36 2  18 2   54 3  18 3

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Otra forma de reducir una fracción es mediante la factorización prima.

1. Se factoriza en números primos el numerador y el denominador. 2. Se aplica la ley fundamental de fracciones a todos los factores del numerador y del denominador que sean iguales.

Del ejemplo anterior: 36 2  2  3  3 2  3  3 2    54 2  3  3  3 3  3  3 3

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Ejercicio Determine si la fracción está o no está en su mínima expresión. De no estarlo, simplifíquela. 1. 4

20

2. 27 54

3. 32 45 Profa. Yuitza T. Humarán

Suma y resta de números racionales

Profa. Yuitza T. Humarán

Si quieres sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador. Considere el siguiente ejemplo. +

2 __ 8

+

=

3 __ 8

=

5 __ 8

Nota que al sumar fracciones con el mismo denominador, el resultado tiene ese denominador. Además, el numerador del resultado es la suma de los numeradores.

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Ejemplo

+

4 __ 5

+

=

2 __ 5

=

6 __ 5

=

1 __ 1 5

Fracciones homogéneas: fracciones con denominadores iguales Profa. Yuitza T. Humarán

Ejemplo Suma lo siguiente: 4 __ 3

=

+

10 __ 3

14 __ 3

Sumas los numeradores. Escribes el mismo denominador.

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Suma de fracciones Sean a, b y c números enteros tal que b ≠ 0, entonces,

a c a+c + = b b b

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Lo mismo ocurre con la resta.

-

7 __ 8

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-

=

2 __ 8

=

5 __ 8

Resta lo siguiente: 10 ___ 12

-

7 ___ 12

Resta los numeradores.

10  7  12

=

3 ___ 12

1 = ___ 4

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Escribe el mismo denominador.

Simplifica.

Suma o Resta de fracciones homogéneas Sean a, b y c números enteros tal que b ≠ 0, entonces,

. Profa. Yuitza T. Humarán

a c ac   b b b a c a c   b b b

Reglas de signos y operaciones con fracciones • Las reglas de signo se usan igual que con lo números enteros. • Se operan los valores absolutos y se decide el signo del resultado.

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Ejemplos: Efectúe la operación y simplifique. a)

8 7  8  (7) 15     3 5 5 5 5

5 10 5  10 5   b)   8 8 8 8

c) Profa. Yuitza T. Humarán

7 11  7    11   7  (11)  4  1    4 4 4 5   4 4

¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?

1 3

+

1 2

Recuerda que sumar fracciones implica contar cuántos pedazos de un mismo tamaño tenemos.

Debemos cambiar las partes a un mismo tamaño en común para poder contarlos. Profa. Yuitza T. Humarán

¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?

1 3

+

1 2

Simbólicamente, debemos representar las fracciones de tal forma que tengan el mismo denominador.

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Mediante equivalencias obtenemos,

= 1 3

2 6

= 1 2

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3 6

Entonces podemos representar la suma, = 1 3

+

1 2

= 2 6

+

3 6

5 6

Así que, 1 1 + 3 2 Profa. Yuitza T. Humarán

2 3 5 = = + 6 6 6

Sumar o resta de fracciones con denominadores distintos 1. Calcular el mínimo común múltiplo (MCM) del conjunto de denominadores (mínimo común denominador (MCD)). 2. Construir fracciones equivalentes que tengan el denominador que se calculó en el paso anterior usando la ley fundamental de fracciones.

a an  b bn 3. Efectuar la operación y simplificar. Profa. Yuitza T. Humarán

Ejemplo anterior revisitado: 1 1 + 3 2

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1 2 = 3 2

1 3 + 23

=

2 3 + 6 6

=

5 6

Ejemplo: Efectúe la operación y simplifique.

(a)

1 3 3 5 1 2 2 15 17  = + = =  10 4 45 10  2 20 20 20

MCM(4, 10) = 20

9 6 2 9 12 (b)  9  6     = = 50 25 50 25  2 50 50 MCM(50, 25) = 50

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= 21  = 50

Multiplicación de números racionales

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Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

a c ac   b d bd Ejemplo: 2 7  3 5

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

2 7 3 5

14  15

Ahora bien, los resultados deben estar expresados en su forma mínima. Para lograr esto, se aconseja que simplifiques antes de efectuar como tal la multiplicación. Ejemplo: 3 10 3 10    43 4 3

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2 35 2 3 2

5  2

Ejemplos 10 21  (a) 7 100

10  21  7 100

3  7 10  10  7 10 

(b)

3 10

11 4 11 4 11  4    12 3 12  3 33 4 11 11   3 3 9

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(c)

 5   4  5  4   =    = 4  5 = 20  3   1  3  3 1 3

Escribes el entero en alguna forma racional.

(d)  2  9 

2 9  2 33     =     =    3 5 3  5 3 5       

Escoges el signo del producto con las reglas de signo. Profa. Yuitza T. Humarán

 23      5 

6 =  5

División de números racionales

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Recíproco Dos números cuyo producto es 1, son recíprocos o inversos multiplicativos uno del otro.

Ejemplos: a)

b) Profa. Yuitza T. Humarán

3  7

8

7 3

1 1 8

1

Dividir por un número equivale a multiplicar por el recíproco del número.

a c a d ad     b d b c bc ¡Si sabes multiplicar puedes dividir!

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Ejemplos Divide y expresa tu resultado en su expresión mínima. 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 a) 4  2  4  3  4  3  2  2  3  3  2  2 1 1   6 3 2

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23 23 b) 2  8  2  3  2  3   3 3 3 8 3  8 3 2  2  2 2  2  2  3 1 1   2 2 4

c)

12 7 3 7 3   3    7 12 1 12

3 7 1 12

7 3 7   1 4  3 4 7 4 7 3     d)       21 2 3 2 4 8

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