7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 76

Pág. 1

1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores. B

sen 34° = BC = 35 = 0,56 AB 62 cos 34° = AC = 51 = 0,82 AB 62

62 mm

35 mm

tg 34° = BC = 35 = 0,68 AC 51 A

Unidad 7. Trigonometría

51 mm

C

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77

Pág. 1

1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°. sen 37° = 0,6 (cos 37°)2 + (0,6) 2 = 1 8 cos 37° = ±√1 – 0,36 = ±0,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8 tg 37° = 0,6 = 0,75 0,8 2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°. sen 28° = 0,53 cos 28° (sen 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 sen 28° = 0,53 cos 28° (0,53 cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 8 0,28(cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 8 8 1,28(cos 28°) 2 = 1 8

√ 1,281

8 cos 28° = ±

Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88 sen 28° = 0,53 · 0,88 8 sen 28° = 0,46

Unidad 7. Trigonometría

8 cos 28° = ±0,88

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 78

Pág. 1

3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fundamentales. sen 45° = 1; sen 45° = cos 45° cos 45° (sen 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1 (cos 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1 8 cos 45° = ± 1 = ± √2 2 2 Solo tomamos el resultado positivo: cos 45° = √2 8 sen 45° = √2 2 2

√

4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fundamentales. sen 30° = 1 2 (sen 30°)2 + (cos 30°)2 = 1 8 1 + (cos 30°)2 = 1 8 cos 30° = ± √3 4 2 Tomamos el resultado positivo: cos 30° = √3 2 tg 30° = 1/2 = 1 = √3 3 √3/2 √3 5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: sen a 0,94 cos a

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.

4/5

√3/2

0,82

tg a

3,5

1

sen a 0,94 0,57

4/5

cos a 0,34 0,82

3/5

tg a

2,76 0,69

4/3

√2 /2 0,27 √3 /2 √2 /2 3,5 √3 /3 1 0,96

1/2

En todos los casos, solo tomaremos los resultados positivos. • sen a = 0,94

• cos a = 0,82

(cos a)2 + (0,94)2 = 1 8 cos a = 0,34 tg a = 0,94 = 2,76 0,34 • sen a = 4 5 2 4 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 3 5 5 tg a = 4/5 = 4 3/5 3

(sen a)2 + (0,82)2 = 1 8 sen a = 0,57 tg a = 0,57 = 0,69 0,82 • tg a = 3,5 = sen a 8 sen a = 3,5 · cos a cos a

()

Unidad 7. Trigonometría

(sen a)2 + (cos a)2 = 1 (3,5 cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 0,27 sen a = 3,5 · 0,27 8 sen a = 0,96

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe • cos a = √3 2 (sen a)2 + √3 2

( )

2

= 1 8 sen a = 1 2

tg a = 1/2 = 1 = √3 3 √3/2 √3

• tg a = 1 sen a = 1; sen a = cos a cos a (sen a)2 + (cos a)2 = 1

(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 cos a = 1 = √2 2 √2 2 √ sen a = 2

6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo? cos 30° = 2 8 √3 = 2 8 L = 4 ≈ 2,3 m L L 2 √3 Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud. 7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8. cos a = 0,8 (sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,8) 2 + (sen a) 2 = 1 8 sen a = ±0,6 Tomamos solo el valor positivo: sen a = 0,6 tg a = 0,6 = 0,75 0,8 8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7. tg a = sen a = 0,7; sen a = 0,7 · cos a cos a (sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 (0,7 cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 1,49(cos a) 2 = 1 8 cos a = ±0,82 Solo tomamos el valor positivo: cos a = 0,82 sen a = 0,7 · 0,82 8 sen a = 0,57

Unidad 7. Trigonometría

Pág. 2

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 79

Pág. 1

Entrénate Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los resultados redondeando a las milésimas. a) sen 86°

b) cos 59°

c) tg 22°

d) sen 15° 25' 43''

e) cos 59° 27'

f ) tg 86° 52'

g) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'') a) sen 86° = 0,998

b) cos 59° = 0,515

c) tg 22° = 0,404

d) sen 15° 25' 43'' = 0,266

e) cos 59° 27' = 0,508

f ) tg 86° 52' = 18,268

g) sen 10° 30'' = 0,174

Unidad 7. Trigonometría

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 80

Pág. 1

1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27° y la hipotenusa 46 m. Halla los dos catetos. b es el cateto opuesto al ángulo de 27°. Por tanto: b sen 27° = b 8 b = 46 · sen 27° = 20,88 m 27° 46 c Análogamente: cos 27° = c 8 c = 46 · cos 27° = 40,99 m 46 46 m

2 ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm? l/2 a

a = 360° : 10 = 36° tg 36° = 5 8 a = 5 = 6,88 a tg 36° La apotema mide 6,9 cm.

5 cm

a

a 36°

3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos. b

tg a = 48 = 0,676 8 a = 34° 3' 39,27'' 71

48 cm a

b = 90° – 34° 3' 39,27'' = 55° 86' 51,73''

71 cm

4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa. a

87 m c

Unidad 7. Trigonometría

sen 37° = 87 8 a = 87 = 144,56 m a sen 37° 37°

tg 37° = 87 8 c = 87 = 115,45 m c tg 37°

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 81

Pág. 1

■ Practica Razones trigonométricas de un ángulo agudo

a)

b)

25

,6

cm

7m

c)

m

a

a

a

32

8m

m

los:

Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángu-

m

60

1

11

7

2 2 a) sen a = 7 = 0,28; cos a = √25 – 7 = 24 = 0,96; tg a = 7 ≈ 0,29 25 25 24 25 2 2 b) sen a = √11,6 – 8 = 8,4 ≈ 0,724 11,6 11,6

cos a = 8 ≈ 0,69; tg a = 8,4 = 1,05 11,6 8 32 = 32 = 8 ≈ 0,47 2 √ + 60 68 17 cos a = 60 = 15 ≈ 0,88; tg a = 32 = 8 ≈ 0,53 68 17 60 15

c) sen a =

322

^

2

Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso: a)

b)

B

A

C A C

B

^ ^ ^ a) sen B = 2,8 ≈ 0,82; cos B = 2 ≈ 0,59; tg B = 2,8 = 1,4 3,4 3,4 2 ^ ^ ^ b) sen B = 1,3 ≈ 0,34; cos B = 3,6 ≈ 0,95; tg B = 1,3 ≈ 0,36 3,8 3,8 3,6

3

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes trián^ gulos rectángulos (A = 90°): a) b = 56 cm; a = 62,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm

Unidad 7. Trigonometría

Soluciones a “Ejercicios y problemas” ^ sen B = 56 ≈ 0,90 62,3

27,3 cm

a) B

Pág. 2

2 2 ^ cos B = √62,3 – 56 = 27,3 ≈ 0,438 62,3 62,3

62,3 cm

A

^ tg B = 56 ≈ 2,051 27,3

C

56 cm

^ ^ ^ sen C = 27,3 ≈ 0,438; cos C = 56 ≈ 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875 62,3 62,3 56

b)

33,6 = 33,6 ≈ 0,991 √4,52 + 33,62 33,9 ^ cos B = 4,5 ≈ 0,133 33,9 ^

B

sen B =

33,9 cm

4,5 cm

A

C

33,6 cm

^ tg B = 33,6 ≈ 7,467 4,5 ^ ^ ^ sen C = 4,5 ≈ 0,133; cos C = 33,6 ≈ 0,991; tg C = 4,5 ≈ 9,955 33,9 33,9 33,6

c)

2 2 ^ sen B = √36 – 16 ≈ 32,25 ≈ 0,896 36 36 ) ^ cos B = 16 = 0,4 36

B 36 cm

16 cm A

^ tg B = 32,25 ≈ 2,016 16

C

32,25 cm

) ^ ^ ^ sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 ≈ 0,896; tg C = 16 ≈ 0,496 36 36 32,25 4

Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos. A

7 cm

7

6,72 cm

C H 1,96 cm

^

24 cm B

23,04 cm

Halla en cada uno las razones trigonométricas de B y compara los resultados. ¿Qué observas?

El triángulo ABC es rectángulo en A: 242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625 El triángulo AHB es rectángulo en H: 23,042 + 6,722 = 576 = 242 ^ sen B

Unidad 7. Trigonometría

EN

ABC

EN

AHB

7 = 0,28 25 6,72 = 0,28 24

^ cos B

^ tg B

24 7 = 0,96 ≈ 0,292 25 24 23,04 6,72 = 0,96 ≈ 0,292 24 23,04

Soluciones a “Ejercicios y problemas” ^

5

^

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C , ABD y CBD . B

m 5c

1 A

AD = √152 – 122 = 9 cm

12 cm

7

BC = √122 + 162 = 20 cm

D

C

16 cm

sen cos tg

^ A

^ C

ABD

CBD

12 = 0,8 15 9 = 0,6 15 ) 12 = 1, 3 9

12 = 0,6 20 16 = 0,8 20 12 = 0,75 16

9 = 0,6 15 12 = 0,8 15 9 = 0,75 12

16 = 0,8 20 12 = 0,6 20 ) 16 = 1, 3 12

Relaciones fundamentales 6

Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°). cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 ≈ 0,292 0,96

7

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°). sen a =

8

√1 – ( 23 ) =√1 – 49 = √35 ; tg a = √2/35/3 = √25 2

Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°). ° s = √5 c sen a = √5 § cos a ¢ 1 = √6 2 2 sen a + cos a = 1 §£ (√5 c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = 6 √6 sen a = √5 · √6 = √30 6 6

9

Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados: sen a

En todos los casos, solo tomaremos valores positivos.

0,92

cos a tg a

0,12 0,75

• sen a = 0,92 8 cos a = √1 – (0,92)2 = 0,39 tg a = 0,92 = 2,35 0,39

• tg a = 0,75 sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a cos a Unidad 7. Trigonometría

Pág. 3

7

Soluciones a “Ejercicios y problemas” ((sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6 • cos a = 0,12 8 sen a = √1 – (0,12)2 = 0,99 tg a = 0,99 = 8,27 0,12 10

Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°). Hazlo en tu cuaderno.

Pág. 4

sen a

0,92

0,6

0,99

cos a

0,39

0,8

0,12

tg a

2,35

0,75

8,27

sen a

2/3

√2/3

cos a tg a

2

°sen a > 0 Como a < 90° 8 ¢ £cos a > 0 • sen a = 2 8 cos a = 3

√1 – ( 23 ) =√ 59 = √35 2

tg a = 2/3 = 2 = 2√5 5 √5/3 √5 • cos a = √2 8 sen a = 3

√

√1 – (√32 ) =√ 79 = √37 2

tg a = √7/3 = 7 2 √2/3 • tg a = 2 8 sen a = 2 8 sen a = 2 cos a cos a 2 (sen a) + (cos a)2 = 1 8 4(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 8 cos a = 1 = √5 ; sen a = 2√5 5 5 √5

√7 /3 2√5 /5 cos a √5 /3 √2 /3 √5 /5 2 tg a 2√5 /5 √7/2 sen a

2/3

Calculadora 11

12

Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora: a

15°

55° 20'

72° 25' 40''

85,5°

sen a

0,26

0,82

0,95

0,997

cos a

0,97

0,57

0,30

0,078

tg a

0,27

1,45

3,16

12,71

Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos. a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5 d) sen a = √5 3

e) cos a = 1 √3

f ) tg a = 3 √2

a) a = 35° 27' 2''

b) a = 41° 24' 35''

c) a = 68° 11' 55''

d) a = 48° 11' 23''

e) a = 54° 44' 8''

f ) a = 76° 44' 14''

Unidad 7. Trigonometría

7

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 13

Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a = 0,23

b) cos a = 0,74

c) tg a = 1,75

d) sen a = 1 √2

e) tg a = √3

f ) cos a = √3 2

a) cos a = 0,97; tg a = 0,24

b) sen a = 0,67; tg a = 0,91

c) sen a = 0,87; cos a = 0,5

d) cos a = 0,71; tg a = 1

e) sen a = 0,87; cos a = 0,5

f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58

Unidad 7. Trigonometría

Pág. 5

7

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 82

Pág. 1

■ Aplica lo aprendido 14

Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes ^ triángulos rectángulos (A  = 90°): a) b = 7 cm c = 18 cm b) a = 25 cm b = 7 cm ^ ^ c) b = 18 cm B = 40° d) c = 12,7 cm B = 65° ^ e) a = 35 cm C = 36° a) a = √b 2 + c 2 = √72 + 182 ≈ 19,31 cm ) ^ ^ tg B = b = 7 = 0,38 8 B ≈ 21° 15' 2'' c 18 ^ C = 90° – 21° 15' 2'' = 68° 44' 58'' b) c = √a 2 – b 2 = √252 – 72 = 24 cm ^ ^ sen B = b = 7 = 0,28 8 B ≈ 16° 15' 37'' a 25 ^ C = 90° – 16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' ^

c) C = 90° – 40° = 50° ^ sen B = b 8 sen 40° = 18 8 a ≈ 28 cm a a ^ b 18 tg B = 8 tg 40° = 8 c ≈ 21,45 cm c c ^ d) C = 90° – 65° = 25° ^ tg B = b 8 tg 65° = b 8 b ≈ 27,23 cm c 12,7 ^ cos B = c 8 cos 65° = 12,7 8 a ≈ 30,05 cm a a ^ e) B = 90° – 36° = 54° ^ sen C = c 8 sen 36° = c 8 c ≈ 20,57 cm a 35 ^ b cos C = 8 cos 36° = b 8 b ≈ 28,32 cm a 35 15

Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura? tg 40° = x 8 x = 15,1 m mide el árbol. 18 40° 18 m

Unidad 7. Trigonometría

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 16

En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. Calcula sus ángulos. ) tg a = 10 = 1,1 8 a = 48° 46'' 9

10 m

b a

b = 180° – 2a = 83° 58' 28''

a

18 m

17

Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 72° y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m. B ^ A = 180° – 72° = 54° 2 cos 54° = 8 8 BC = 8 = 13,6 m cos 54° BC

72°

54°

A

16 m

54° 8m

C

• Perímetro = 13,6 · 2 + 16 = 43,2 m • Altura, h: tg 54° = h 8 h = 8 · tg 54° = 11,01 m 8 16 · 11,01 • Área = ≈ 88,1 m2 2 18

Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? sen 25° = x 8 x ≈ 5,07 cm 12

19

x

Calcula la altura, h, y el área de los siguientes triángulos: a)

b) B

cm

B

A

h

65° D

28 cm

h 32 cm

C

a) sen 65° = h 8 h ≈ 16,3 cm 18 A = 32 · 16,3 = 260,8 cm2 2

Unidad 7. Trigonometría

12 cm

50°

Radio de la circunferencia ≈ 10,14 cm

18

7

D

A

35° 13 cm

C

b) sen 35° = h 8 h ≈ 16,1 cm 18 A = 13 · 16,1 = 104,61 cm2 2

Pág. 2

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 20

Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos: a)

Pág. 3

b) B

B 70°

40°

15 cm

23 cm

A A

C

C

a)

b) B

B

40°

70° 15 cm h A

A C

h

sen 70° = h 8 h ≈ 14,1 cm 15

sen 40° = h 8 h ≈ 14,8 cm 23

Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol?

h 50° 20 m

22

C

tg 50° = h 8 h = 20 · tg 50° = 23,8 m 20

B

Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.

D

60° A

30°

P

sen 60° = 100 8 AB ≈ 115,47 m tg 60° = AB sen 30° = 100 8 BC = 200 m tg 30° = BC cos 45° = 75 8 CD ≈ 106,07 m tg 45° = CD cos 30° = 75 8 DE ≈ 86,6 m tg 30° = DE AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m

Unidad 7. Trigonometría

45°

100 AP 100 PC CQ 75 QE 75

30°

75 m

21

23 cm

100 m

7

C

8 AP ≈ 57,74 m 8 PC ≈ 173,21 m 8 CQ = 75 m 8 QE ≈ 43,3 m

Q

E

7

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 23

Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcula la profundidad del punto B. A x

sen 50° =

30 m 50°

Unidad 7. Trigonometría

25 m 30° 10 m

sen 30° = x 8 x = 12,5 m 25

25 m 30° 10 m y

Pág. 4

A

B

y 8 y ≈ 22,98 m 30

Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m

30 m 50°

B

7

Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 82

Pág. 1

¿Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcular lados y ángulos? ¿Conoces las relaciones entre ellas? 1 a) Si cos a = 0,52, calcula sen a y tg a.

b) Si tg b = 12 , calcula sen b y cos b. 5

a) sen a = √1 – (cos a)2 = √1 – 0,522 = ±0,85; tg a = ±(0,85/0,52) = ±1,63 b) tg b = sen b = 12 °§ sen b = (12/5) cos b 5 cos b ¢ 144 (cos b)2 + (cos b)2 = 1 8 169 (cos b)2 = 1 8 2 (sen b) + (cos b)2 = 1 §£ 25 25 8 (cos b)2 = 25 8 cos b = ± 5 169 13 cos b = 5 8 sen b = 12 · 5 = 12 13 5 13 13 cos b = – 5 8 sen b = – 12 13 13 La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. ¿Sabes manejarla con eficacia? 2 Si sen α = 0,35, ¿cuánto mide α? Halla las otras razones trigonométricas de α con ayuda de la calculadora. α = 20° 29' 14,33'' cos α = 0,94 tg α = 0,37 ¿Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados? 3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo. ^

C = 90° – 50° = 40°

C

b A

sen 50° = b 8 b ≈ 12,26 cm 16

16 cm

c

50°

B

cos 50° = c 8 c ≈ 10,28 cm 16

4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared? Llamamos α al ángulo pedido. cos α = 1,2 8 α = 23° 34' 41,44'' 3 Unidad 7. Trigonometría

Soluciones a la Autoevaluación 5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70° y su altura es de 12 cm. Halla la medida de los lados del triángulo.

x

12 cm 70º

70º

12 cm

7

70º y

sen 70° = 12 8 x = 12 = 12,77 cm x sen 70° cos 70° = y 8 y = 12,77 · cos 70° = 4,37 cm x

Los lados iguales del triángulo miden 12,77 cm, y el lado desigual, 8,74 cm.

Unidad 7. Trigonometría

Pág. 2