2.

MANTENIMIENTO CORRECTIVO

2.1

OBJETIVO DEL MANTENIMIENTO CORRECTIVO El M.C. es el más antiguo junto con el mantenimiento sistemático; sus objetivos radican en colocar en marcha un equipo que se ha descompuesto; es una necesidad latente en el primer instante en el cual los bienes productivos se inventaron. El M.C. en los últimos tiempos ha tenido buenos avances gracias a la técnica de investigación de operaciones. Su organización es igual a la técnica de producción bajo pedido. Para solicitar un servicio de M.C. es necesario que haya sucedido una des_ conpostura en un bien productivo o en uno auxiliar a éste. Es de notar aquí que tanto para el M.C. como para la otra clase de mantenimiento se establecen formatos especiales, estudiados por el departamento de mantenimiento y el de organización y métodos.

2.2

DIVISIÓN DEL MANTENIMIENTO CORT^ECTIVO.

El mantenimiento correctivo contempla dos clases de operaciones de mantenimiento; M.C. ligero y NLC. a fondo, fuera de decir que el M.C. es un pro ducto del azar; algunas veces, y de una mala dirección y administración de los biens productivos. Dada esta clasificación podemos establecer el siguiente esquema: (Fig. 2.1)

M.C.L. t'

M.C.

Reporte — •

Reparación inmediata

It

M.C.F.

i-ig. ¿ . 1

Si bien es claro que se produce un reporte es también claro que hay que establecer una clasificación de las averías. 2.3 CLASES DE AVERIAS Dado que el mantenimiento correctivo se produce por el hecho'de averías producidas al azar es necesario establecer un tipo de clasificación de las averías; dicha clasificación ya se vio anteriormente, pero aquí toma gran importancia en cuento se refiere a la clase del bien pioductivo. No tendrá la misma urgencia que aquella avería que pennite seguir funcionando al equipo aunque no sea en las mejores condiciones que aquella que puede producir una parada parcial del equipo. Para la clasificación que se había tratado en el capítulo II tendremos:

24 -

•• Emergencia Avería

dada

en caso de

-• Urgencia -» Período Normal

Ya aquí entran en función las diferentes políticas que establezcan las em presas, puesto que esta clasificación deberá estar en común acuerdo con planeación de la producción. Gran ayuda ofrece para casos como los de interrupción y absolescencia téc nica de investigación de operaciones que veremos más adelante. 2.4

TEORÍA DE

COLAS APLICADA AL MANTENIMIENTO CORRECTIVO

La teoría de colas o fenómenos de espera tienen anplia relación con la pía neación y la producción. Toda esta teoría está relacionada en la forma de prestar un servicio, pero para el caso particular del mantenimiento habrá que pensar la forma de como y con quien se cuenta para imponer dicho servicio; el tiempo que demora dar un servicio es muy variable. La teoría de colas o líneas de espera han entrado en campos relacionados con la administración que se preocupa en la forma de dar un buen servicio por medio del conocimiento de datos importantes como son: los puntos destinados al servicio, el número de clientes que esperan, etc. En cuanto al M.C. se refiere se da un número conocido de clientes, bienes productivos, que tienen una orden de llegada dado en parámetro de llegadas distinguido por el símbolo X. Es claro que las entradas pueden ser: a. Separadas por intervalos de tienpo iguales. b. Separadas por intervalos de tiempo desiguales pero deteiminados. c. Separadas por intervalos desiguales, conocidos según alguna probabilidad, se dice de dichos intervalos que son aleatorios. Al mismo tiempo de presentarse un tipo de llegadas cualquiera se presenta unaraanerade servicio, que se constituye también como otra magnitud muy a menudo aleatoria, y cuando ocurre su aletoriedad se puede decir que su ley de probabilidad se presenta bajo la forma de una curva exponencial y decimos que \i indica el número de unidades que son atendidas, respecto al servicio t^ue puede ser: i) constante, ii) variable pero determinado, iii) aleatorio; y si consideramos su aleatoricdad podemos decir que la du ración del servicio tien por ley de probabilidad Pi (0 > 6 ) = e'^Q , pudiendo entonces decir, en forma contraria, que las llegadas se coiistitu yen según la Ley Poisson. Dentro del mantenimiento correctivo podemos nosotros suponer un conocimien to previo, de parte del estudiante, en lo que se refiere a la teoría de

- 25 -

colas, pero dicha suposición no quita que se pueda hacer un repaso y adelantarse al conocimiento, luego, de los fenómenos de espera que realmente se consideran en el M . C , por lo tanto tendremos los puntos siguientes a tratar, (ver títulos siguientes). 2.4.1

Estructura de un fenómeno de espera Para que se de una fila de espera es necesario que las entradas y/o el servicio se produzca a intervalos generales; o puede suceder que la duración del servicio sea mayor que el intervalo que separa las llegas, entonces se da una fila, pero este caso no se trata aquí. Vamos a tener entonces el esquema siguiente, en form.a general: Fuente

r1

o o o o o

V,

1

Sisteraa Línea

1

ü

n tMl

O Ü O L ^

0

Fig

2.2

^

l^sl

o o

0 —>

'

1 oooo Canajles o ÍSJ'JJ_ estapiones

que en forraa particular sería, por ejemplo para el caso de una fila con una estación de servicio. Servicio

O O O Fuente

O OO OO o Línea

m

Fig. 2.3

Servicio

Se utilizará la siguiente nomenclatura: m = número de unidades en el conjunto del fenómeno (puede ser finito) . n = número de unidades en el sistema (haciendo cola o recibiendo servicio). V = número de unidades en la cola. j = número de unidades recibiendo servicio. p = número de estaciones desocupadas. S = número de estaciones.

- 26 -

Así entonces tendremos: que si

n

=

j

n .$ S

n

=

v + j

n > S

Tendremos también las cantidades n, V, j promedios de los anteriores, sabiendo que n, v y j varían con el tienqío y son aleatorias y varían según la ley de probabilidad de que haya n unidades en el sistema. Por lo anterior para tener n,

v, y

j

tendremos que: ^

_

n

=

OpO

+

Pl

+

2p2 +

+ npni

=

^ ^V^ n=0

m infinito o finito. Para el caso de la línea media de espera y de un número S de estaciones, tendremos

_ V

™ =

lPs,i

-

2p3^2

(m-S)p^ = E (n-S)p^ n=S+1

y finalmente para obtener p^ p

=

Spo

+

(S - l)pi + -

+ pg_., =

S E (S - n)pj^ n= O

para estas variables existe la relación de que n

=

v-t-S-p^

v - p ^ = n - S

Hay que tener presente la forma que corao se trate el fenómeno, es decir si es permanente o no. Para el caso de un régimen permanente la probabilidad P por:

está dada

Pn = ( y- )'^ ( 1 -y - ) la cantidad — = il; es llamada factor de utilización. Con este fac y tor tendremos: P^

=

^"^

i ^ - i>)

y también se utiliza la fórmula P„ n

=

li; P„ 1 ^ n - 1

con

P„ o

=

1

- Ij;

- 27 2.4.2

Línea de Espera con una Estación Introducción. Se tratará de buscar la distribución de la variable aleatoria N que representa el número de unidades en el sisteraa. Tendreraos en cuenta solamente el caso de que sean llegadas que siguen la Ley Poisson y los intervalos de tienpo de servicio siguen la ley exponencial. Por lo anterior tendremos: 1. Probabilidad de que una unidad llegue al sistema en el intervalo At, después de t, es infinitamente pequeña siendo igual a XAt. 2. Probabilidad que después.de un tiempo t, At, se produzca un ser vicio es yAt por lo que — es el tiempo medido de servicio. 3. La probabilidad para llegadas dentro de At se desprecia, tiende a cero. 4. Tendremos que X < y.

2.4.3

Procedimiento

(Ecuaciones de nacimiento y muerte)

Las ecuaciones que rigen el fenómeno de espera previamente provienen de las llamadas ecuaciones de nacimiento y muerte, que vendrían a ser un caso particular en esta ocasión. Vamos a decir que la P^ (t -^ At) de que haya n unidades en el sistema en el tienpo t + At está dado por la suma de las siguientes probabilidades independientes: El producto de las probabilidades de que: - haya n unidades en el sistema en el tiempo t que es: Pn (t) - no haya ninguna llegada en el intervalo At: (1 - XAt) - no haya ningún fin de servicio en el intervalo At: (1 - yAt). El producto de probabilidad de que: - haya ( n + 1 ) unidades en el sistema en el tiempo t: P^.-i (t) - haya una llegada en el intervalo At: (1 - XAt) - que haya un fin de servicio en At: yAt. El producto de probabilidad de que: - haya ( n - 1 ) unidades en el sistema en el tiempo t: Pj^.-j (t) - haya una llegada en el intervalo At: XAt - no haya fin de servicio en el intervalo At: (1 - yAt). El producto de probabilidad de que: - haya n unidades de t: Pn (t) - haya una llegada en el intervalo de tien^io At: XAt - haya un fin de servicio en el intervalo de tienpo At: yAt. Por lo que tendremos:

- 28 Pn (t)

(1 - XAt}

{1 - yAt}

=

Pn (t) (1 - XAt - yAt) -^ (j)i(At)

Pn+1 (t)

Í1 - ^^t} {yAt}

=

Pn-n (t) yAt

+ (D2(At)

Pn-1 (t)

{XAt} {1 - yAt}

=

Pn-1 (t) XAt

+ (S3(At)

Pn (t)

{XAt}

{yAt} =

=

O

At ^ O 1

+ l i m -T^r

^

. ^

I

+ yPn+i (t) - ( X - y ) P n ( t ) !

i 0

Ahora para n = O tendreraos la suma de las probabilidades: El producto de las probabilidades que: - haya O unidades en el sistema en el instante t: Po (t) - no haya ninguna unidad en el tiempo At: 1 - XAt. El producto de las probabilidades que: - haya una unidad en el tiempo t: Pj (t) - no haya ninguna unidad en At: 1 - Xt - haya un servicio en At: yAt.

3

Tendremos - Po (t) {1 - XAt} Pl (t) {1 - XAt} {yAt} =

PiyAt

Po (t + At) = Po (t) {1 - XAt} + Limitando tendremos:

+ © (At) yPi (t) yAt + ® (t)

'

• •

i

29 -

(t) __

lim P (t - At) - P

^^

^.^^^^3

,

Pi(t).^(t)

At ^ O ^p„(t) =

-XPo(t)

+ yPi(t)

Si Pn (t) = Pn cuando la probabilidad Pn es independiente de t dado de un proceso estacionario, o sea para el mínimo jf- F (t) = 0 Por lo tanto: XPn-1 + ViPn-i-1 - (X + y) Pn = O n> O ;

y si

a I i=0

-XPo + yPi = O

n = O

Pi = 1

Tendremos: Po

= Po

Pl = f Po P2

= ^

Pl =

Pn

= ^

Pn-1 =

C ^ ) ' Po

C ^ ) " Po

S Pn = Po Í: ( J - ) ^ = 1 n=0

n=0

^

Ahora sabemos que la suma de

a Z n=0

, (-—) ^

-| =

r1 - -^ y

El lector podrá entender el resultado anterior recordando el curso de series que usó en cálculo integral.

Como

a Z

Pi = 1

i=0 podemos decir que

Po

r- = 1 1 -

es decir si H* = —

con

-*

PQ

y X < y

y Será

Po =

1 - I*, y por lo que

P n = (^)"

(1 - V)

= 1-

_X y

- 30 Con "i llamada intensidad de tráfico y que

O < Y n) =

Y^""^

Es decir, según lo anterior, la probabilidad de que liaya la menos una unidad en el sisten'ia dará lugar para N > O así: Pr

(N > 0) =

Y^"*"^

= Y

queriendo decir ésto que dicha probabilidad es igual a la intensidad de tráfico. Ejemplo: Siguiendo con el ejenplo anterior calcule cuál será la probabilidad de hallar más de 7 unidades en sistema? Será: Pr

(N > 7) = Y""*"^ =

(0.875)^ =0.344

2.4.4 Número medio de unidades en el Sistema Estadísticamente será igual a la esperanza matemática de N, o sea: oc

n

=

_

n

E

(N) =

a

=

Z nY n=0

=

(1-Y)

z n Pn n=0

así que

n

oc

(1 - Y) = {Y+

(1 - Y)

2Y^ +

=

Y(l - Y) { ^

(1 - Y + Y2+

=

^íy^)

{Y ^ }

^

Z n=0

n

nY } }

32 -

l'd

- Y) j.^_^3 2 -

— de donde n •-

-^^T^

Y 1 - Y

para e l mismo ejenplo a n t e r i o r -

^

0.875 1 - 0.875

_

7 '

Hay que tener cuidado cuando las llegadas son de tipo Poisson y ol servicio no es tipo exponencial, cuando ésto suceda se deberá utili_ zar la fórmula de Kendall que es: ^

*

2 (1 - Y)

y que tiene su mínimo para ao = O . n- = Y + ^ . Y^ y sera. min .. n^rcuando 0^,2 = —2tendremos: Q y n

2.4.5

^ ^ =

Y +

4/2+4/2 —^—Tí 2 (1

2 Y (1 - Y)

;T7\— Y)

-

=

+

2Y^

»"

\ 2T —(1T - t-— yY)

1 - Y

Número de Unidades en la Línea Se t i e n e que: V = n - 1

para

n < O oc

y además

v

= F (N)

W) =

Ye - yY (1 - Y)

= - ^

-W (y - X) e

Para el caso de no tener que esperar la probabilidad es: - yY (1 - Y) 1 - P

(t > W)

=

1

- Ye

=

y -A

con W = O

34 Es equivalente a decir la probabilidad de no encontrar absolutamente ninguna unidad en el sistema, o sea: 1 - P (N > 0) 2.4.7

=

1-Y

X

Línea de espera con varias estaciones. Aquí se dan los siguientes estados: 1. Para En (n 4 S) las unidades son atendidas en forma directa, no esperan. 2. Para En (n > S) habrá una línea de espera con (n - S) unidades. Además tomamos las mismas suposiciones anteriores y con las ecuaciones de estado: - ^

Po (t) = - XPo (t) +

d -3^

Pn (t) = - (X +

y)

yPi (t)

Pn (t) +

XPn-1 (t) +

(n+1)

yPn+1 (t) con 1 < n < S -^

Pn (t) = - (X + Sy) Pn (t) +

XPn-1 (t) Sy

Pn-nl (t)

con n ^ S Que con el artificio de hacer Pn (t) = ra el caso de máxima se convierten en: XPo

=

XPn-1

+

(n+1)

(X + Sy) Pn

=

XPn-1

+

Sy Pn+1

Obteniendo así: mn Pn = Po - V ; il

=

y de igualar a cero pa-

= yPi

(X + ny) Pn

Pn

Pn

yPn+1

1 < n < S n > S

1 ^ n < S

•

Y^ Po g, gn-s

;

n > S

Quedando por encontrar a P Q .

Con

Z n=0

Pn = 1 y si desarrollamos

"^ Z n=0

Pn =

"" Z n=0

Pn Y " —^-r-i—

36 -

=

=

=

S-1

^

S-1

n=Q

^'

n=1

S-1 Po S Z n=0

^ ^ "•

S-1 Z n=0

^n ^ ^'

Po S

Po { (S - Y)

Po

S n'^',„ J .,

-

S-1 Z n=l

PoY

5-1

w; n

Z n=0

j-r " •

^^ '-' • ^-1 Wt T ^n - ^ ^'

^

P°^ ^ S ^ ^S

+p (^ U .

,1^ o

^

S-1

^n

(S - Y) ( J ^

^^

>:'-1

vu n

p =

P»

^s - "^^ ^ Jo i r

P =

Po

(S - Y)

-^

^-1

fjtt , } l^^ 'J . .

^b

+ -^g-nfj

(s - 1) : )

m S

^ (1 - Y/s) s: )

= S -Y oc

Ahora l a probabilidad P (N > 0) = P (n ^ S) =

"

y

a n=S ^

v^n S! Sn-S

P (t > W) =

"

gS ^ "sT

{e"^^^^ '^^ •

Y n ^ ^ "S" -*

"^^^h

P

Z Pn n=S

"

^

Y S: (1 - Y/S)

(N > 0)

Finalmente: T ts

V —r-

dado que

2.4.8

_ V

SVsi =

« J

u

Y^ (1 -

Y/S)

" (n - S)

"^o

n g/gn-S

Po

=

S+1 S.S: (^1 - Y / S ) ^ ^

Estación Única y un Número limitado de clientes Introducción. Esto es la parte que se conprende en el mantenimiento correctivo, para este caso se tiene un número limitado de bienes productivos. Sea por ejemplo el caso de un taller de mantenimiento donde se producen desperfectos en forma aleatoria seguí la ley Poisson con una tasa X para cada una y se reponen por un mecánico, pues to de sei-vicio, con duración de reparación distribuida según la ley

- 37 exponencial y con una tasa de servicio y Sea la Fig

2.4 n unidades en el sistema

> O QO

OOOO

M.

V unidades en la fila

I

j unidades en servicio

Fig. 2.4

(m-j) unidades totales

.__^

(•j"o""i7

'

Entonces en el intervalo At, después de t, la probabilidad de quene cesite una reparación es XAt + (pt que quede XAt si se desprecia la probabilidad de que lleguen varias en ese mismo intervalo. La probabilidad para que la reparación esté terminada en el intervalo At, después de estar en reparación en un tiem¡")o t, es yAt (haciendo la siposición de despreciar la probabilidad que en ese mismo intervalo se terminen más de una reparación). Podemos decir que para un bien productivo de buena calidad X es pequeña y y relativamente grande, es decir X O

(1 - a)

con n = n-1

- Cn > o

; y

Reenplazando en las expresiones anteriores a rador y divisor por 1 - a tendremos:

^

<

r-l

rn y dividiendo nume-

r 1 ^ P + C, + gC, + g^C, + ^"'' ^ 1 + a + a2+ a^ +

+ gn-l + a n-1

Cn

+ g^'^ Cn-1 + a n-'

<

P ^ C,

+ gC, + g^C, i + a + a^ +

+

Cn

Para el caso de mantenimiento tendremos que reemplazar en el tiempo para el cual r I ^ P + Cl + gC, + ^""1 ^ 1 + a + g' +

+ g"'"* + an-1

Cn .

Ejenplo: Se tiene un número de bienes productivos equivalentes en lo que se refiere a sus fines y modo de enpleo, pero sus costos y la frecuen cia de los reemplazos es diferente. Encontrar YÍ'> (se da a conti^ nuación la tabla de costos). Cuál de los bienes productivos cree

- 51 -

usted debe reenplazarse y cada cuánto? Cuadro 2.1 Bien Productivo

Po + Cl

C2

Ba

2500

600

Bb

3000

120

300

Bc

4000

95

215

240

Bd

6600

90

210

230

Cs

c^

Cs

490

Solución: Dado el cuadro 2.1 tenemos Para Y2 ,

Ba

Y3

Bb

. y-

Bc

Ys

1

3 1

Bd = - y -

(2500 + 600) = 1550 (3000 + 120 + 300) = 1140 (4000 + 95 + 215 + 240) = 1137.50 (6600 + 90 + 210 + 330 + 490) = 1524

La solución ^x corresponde a un bien productivo que se reenplaza cada 4 años, es decir es el mínimo costo. Ejenplo: Se tienen 4 bienes productivos Ba, Bb, Bc, Bd; el primero se compra en $1.700.000; el segundo en $820.000, pero exige un gasto adicional de $880.000 al principio del tercer año, el tercer bien se compró en $950.000 y posteriormente en él hay que invertir para dos p£ ríodos $90.000 y $660.000 respectivamente; el cuarto bien, Bd, se compró en $1.300.000 y se le tiene que hacer para períodos consecutivos los gastos de $90.000, $100.000 y $210.000 respectivamente. Cuál es el costo real si se supone una tasa de interés del IÜ'Ó? Solución: Se tiene que el costo total para los cuatro bienes es igual, pero la tasa de interés hace que el costo real sea diferente así: Primer bien productivo Ba : 1.700.000 Segundo bien productivo Bb : 820.000 + ^ ^ ^ ' " j " = 1.620.000

•i

t ^

- 52 -

Tercer bien productivo Bc:

^jyW-

950.000+^p^+

=

1.577.272.9 1.300.000 + ^ T A J ^

Cuatro bien productivo Bj:

^ 1 2 ^

=

+

^"^'"0° +

1.622.238.9

El tercer equipo es elraenoscostoso si se tiene en cuenta la tasa de aumento del dinero en el tiempo, es decir de todos los costos reales encontrados. El costo del bien B^ es raenor. Ejemplo:

Dado el cuadro 2.2 tenemos

Si se conpra un bien productivo por $900.000 y por costos, Ci, son como se muestran en la tabla siguiente, calcule si se tiene un interés del S% el tierapo óptimo de reemplazo. Ci (miles)

20

30

40

70

80

110

140

150

180

190

200

260

año

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Solución: r = S%

" = TP s - 0 .952 Cuadro 2.2

i-1 a

^ ° (mieles)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20 30 40 70 80 110 140 150 180 190 200 260

1 0.952 0.906 0.863 0.821 0.782 0:744 0.709 0.675 0.642 0.611 0.582

Cl g

P+ZCig^"^

Za

P+ ZCia^'^ Zg

20 28.56 36.24 60.41 65.68 68.02 104.16 106.35 121.5 121.98 122.30 151.35

920 948.56 984.8 1.045.2 1.110.81 1.196.91 1.301.07 1.407.42 1.528.92 1.650.9 1.773.2 1.924.5.

1 1.952 2.858 3.721 4.542 5.324 6.068 6.777 7.452 8.094 8.705 9.287

920 485.9 331.98 280.89 244.58 224.81 214.41 207.89 205.69 203.96 • 203.69 207.22

- 53

P + Ci2 >

12 Z TT Z i=1

2.5.5

• i-1 Cia^ ' .

período óptimo a los 11 años.

a

Curva de Supervivencia de bienes productivos Dentro de la gama de bienes productivos se ha de considerar el tiem po que han de durar, realmente el equipo tendrá una existencia dada por su fabricante pero también dentro de ese valor existirá el valor de probabilidad de que ese tienpo de vida se cumpla. Cada momento nuestros bienes productivos van feneciendo, tales el caso de los focos que se distribuyen en la planta y oficinas de la enpresa. Sea n(t) el número de bienes productivos supervivientes en el tiempo t distinguiendo que para t = O enpiezan su período de vida total, es decir para n(t) = n(0) todos los bienes productivos están en buenas condiciones. Por lo anterior llamaremos mortalidad la diferencia para un período así: n (t - 1) - n (t) Es decir siempre tendremos que para un período t cualquiera habrá un número menor de bienes productivos que los del período anterior, t-l. Sabiendo que n(0) > n(t)

t ?^ O

tendremos: al hacer u (t) =

-Pl

la relación entre el número de bienes productivos supervivientes y el número de bienes productivos que se habían instalado al principio. Al decir nosotros que todos los bienes productivos que tenga la empresa constituyen una población homogénea desde el punto de vista probabilistico, hay que admitir las funciones de probabilidad respectivas a los hechos dados para cualquier tienpo t. Es decir la probabilidad de sui:)ei-vivencia para cada bien productivo después del tierapo t, que llamareraos edad, es:

p (T í ^' = " = S } Si referenciamos la probabilidad contraria tendremos la función de acumulación del tienpo de duración T. P (T < t)

=

1 -u =

nCt)

Lo anterior para casos en los cuales se asocian con un período de tienpo instantáneo, pero cuando ya pensamos, en un intervalo de tiempo para el cual necesitamos saber más oraenoscuantos bienes produc

54

tivos dejan de funcionar hablaremos entonces de otra clase de probabilidad así:

P{ (t- 1) < T