Paradojas de la f¶³sica. Parte 3¤ Jo s ¶ e Ma r ¶ ³a Fila r d o B a s s a lo D e p a r t a m e n t o d e F¶ ³s ic a d e la U FP A 6 6 0 7 5 -9 0 0 B e l¶e m , P a r ¶a , h t t p :/ www.a m a z o n .c o m .b r / b a s s a lo e -m a il: b a s s a lo @a m a z o n .c o m .b r Resumen En este tercero y u ¶ltimo art¶³culo de una serie en que tratamos algunas paradojas de la F¶³sica, vamos a estudiar cuatro de ellas relacionadas con los fen¶ omenos cu¶anticos: el modelo planetario del atomo (Larmor-Rutherford-Bohr), la ecuaci¶ ¶ on de Dirac (Klein), la funci¶on de onda (Einstein-RosenPodolsky-SchrÄodinger) y el momento magn¶etico del ¶ neutr¶ on (Alvarez-Bloch-Gell-Mann-Zweig).

En su trabajo, Lorentz consider¶ o que las part¶³culas el¶ectricas cargadas (\electrones"), de carga q y masa m, estaban sujetas quasi el¶ asticamente a los ¶atomos. De ese modo, demostr¶ o que, en la presencia de un campo magn¶etico de m¶ odulo H, esas part¶³culas oscilaban en la direcci¶ on de ese campo con una frecuencia propia º0 , en cuanto giraban en ¶ orbitas circulares en planos normales a la direcci¶ on de H con la frecuencia dada por:

¶ Paradoja del Modelo Planetario del Atomo (Larmor-Rutherford-Bohr) La primera idea de un modelo at¶omico planetario fue presentada por el f¶³sico alem¶an Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), en 1871 [1], al proponer que un atomo consist¶³a de una parte central masiva que ¶ atra¶³a una nube de part¶³culas electrizadas, casi imponderables, por la acci¶on de una fuerza el¶ectrica. Con todo, para explicar la velocidad ¯nita de la acci¶ on el¶ectrica, consider¶o que esa fuerza el¶ectrica era ligeramente diferente de la fuerza de Coulomb y, adem¶ as, que las part¶³culas m¶oviles no perd¶³an energ¶³a. Gracias a lo anterior, el modelo at¶ omico de Weber era estable.

º = º0 §

qH 4¼mc

(1)

Por su parte, Larmor lleg¶ o tambi¶en al mismo resultado de Lorentz. Con todo, analizando el movimiento circular de las part¶³culas el¶ectricas que hab¶³a considerado, Larmor demostr¶ o que cuando la velocidad (v) de las mismas era mucho menor que la velocidad de la luz en el vac¶³o (c), irradiaban una potencia (energ¶³a/tiempo) que depend¶³a del cuadrado de su aceleraci¶ on centr¶³peta (a), de acuerdo con la expresi¶ on: 2 q 2 a2 PR = (2) 3 4¼"0 c3

Es oportuno reconocer que el f¶³sico alem¶ an Gustav Theodor Fechner (1801-1887) ya hab¶³a presentado en 1826 un modelo semejante al de Weber con la diferencia de que la nube de part¶³culas imponderables era atra¶³da gravitacionalmente por la masiva parte central.

A comienzos del siglo XX se formularon nuevos modelos at¶ omicos. En 1901 [3], el f¶³sico franc¶es Jean Baptiste Perrin (1870-1942; PNF 1903) present¶o la hip¶ otesis de que los electrones en los ¶ atomos se desplazaban en ¶ orbitas alrededor de un n¶ ucleo central, cuyas frecuencias eran del orden de las frecuencias opticas. En 1903 [4] el f¶³sico ingl¶es Joseph John ¶ Thomson (1856-1940; PNF 1906) formul¶ o la primera versi¶ on de su famoso modelo at¶ omico, conocido como \bud¶³n de pasas", seg¶ un el cual el ¶ atomo era considerado como una esfera de radio r (del orden de 10¡8 cm) con una carga positiva total Q distribu¶³da sobre la misma. Tambi¶en consider¶ o que un electr¶on dentro de esa esfera experimentaba una fuerza restauradora de tipo coulombiano. Sin embargo, debido a la p¶erdida de energ¶³a larmoriana, Thomson consider¶ o que los eletrones giraban en c¶³rculos con velocidad angular (!) constante. Con todo, esa hip¶otesis

M¶ as tarde, en 1897, los f¶³sicos, el holand¶es Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928; Premio Nobel de F¶³sica, 1902) [2] y el ingl¶es Sir Joseph J. Larmor (1857-1942) en trabajos independientes, utilizaron el ¶atomo planetario para explicar el efecto Zeeman.1 ¤ T r ad u cci¶ on : J os¶ e Lu is C ¶ or d ov a Fr u n z, Dep to. d e Qu ¶³m ica, U A M{I. 1 E n 1896 en la V er h an d lu n gen d er P h y sik alisch en Gesellsch aft zu B er lin 7 (p . 128), el f¶³sico h olan d ¶ es P eter Zeem an (1865-1943; P N F, 1902) an u n ci¶ o el d escu b r im ien to d e q u e las d os l¶³n eas am ar illas (D) d el sod io se sep ar ab an al ser ex am in ad as b ajo la acci¶ on d e u n fu er te cam p o m agn ¶ etico. E ste efecto es con ocid o com o \efecto Zeem an ".

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no fue su¯ciente para estabilizar el ¶atomo thomsoniano.

mo de interacci¶ on entre los electrones y el n¶ ucleo central no estaba bien de¯nido.

Un a~ no despu¶es, en 1904 [5], el f¶³sico japon¶es Hantaro Nagaoka (1865-1950) propuso su modelo at¶ omico de tipo \saturniano": n¶ ucleo central positivo rodeado de anillos de electrones desplaz¶andose con la misma velocidad angular. Con ese modelo, Nagaoka intent¶ o explicar las l¶³neas espectrales y la emisi¶ on de part¶³culas beta (¯) por los elementos pesados.

A pesar del gran ¶exito del modelo de Rutherford, pues consigui¶ o explicar la dispersi¶ on de part¶³culas cargadas (®, ¯) por la materia, hoy conocida como \dispersi¶ on Rutherford", y llev¶ o a determinar la carga del n¶ ucleo, tal modelo presentaba una gran di¯cultad: la estabilidad de la electrosfera, toda vez que los electrones girando en torno al n¶ ucleo bajo la acci¶ on de una aceleraci¶ on centr¶³peta sufrir¶³an una p¶erdida de energ¶³a debido a la radiaci¶ on de Larmor. En consecuencia, los electrones deber¶³an presentar ¶ orbitas espirales y acabar¶³an por caer en el n¶ ucleo. Era una verdadera paradoja.

A ¯n de veri¯car el modelo at¶omico \thomsiano", el f¶³sico ingl¶es Ernest Rutherford (1871-1937; PNQ, 1908) comenz¶ o a estudiar la dispersi¶on de part¶³culas alfa (®)2 por la materia. As¶³, en 1906 [6], Rutherford observ¶ o una peque~ na desviaci¶on, del orden de 2 grados, de esas part¶³culas al atravesar una l¶ amina de mica de 0.003 cm de espesor. En sus investigaciones posteriores, Rutherford cont¶o con la colaboraci¶ on de los f¶³sicos, el alem¶an Hans Wilhelm Geiger (1882-1945) y el ingl¶es Ernest Marsden (1889-1970). De ese modo, les pidi¶o que estudiasen la dispersi¶ on de las part¶³culas ® por una delgada l¶amina de metal. En 1909 [7], observaron que un haz, no muy bien colimado, de cerca de 8000 part¶³culas ®, procedentes de rad¶ on (Rn), al atravesar una l¶amina ¯na de oro, apenas una de ellas era re°ejada, o sea, era dispersada a un ¶ angulo mayor de 90 grados. Al examinar el resultado del experimento de Geiger y Marsden, Rutherford, inicialmente, no le daba cr¶edito pues las grandes desviaciones sufridas por las part¶³culas ® eran contrarias al modelo \thomsiano". Sin embargo, al realizar ¶el mismo nuevos experimentos comprob¶ o esa gran dispersi¶on, de aqu¶³ que, en 1911 [8], propuso un nuevo modelo at¶omico. En este, el ¶ atomo se comportaba como un verdadero sistema planetario en miniatura, formado por una parte central positiva donde se concentraba, pr¶acticamente, toda la masa del ¶atomo |llamada por ¶el \n¶ ucleo{, envuelta por una nube de electrones girando circularmente alrededor de esa parte central |llamada \electrosfera"|, de tal modo que la carga total del ¶atomo fuese nula. Obs¶ervese que este modelo \rutherfordiano" di¯ere ligeramente del modelo \saturniano", pues en el primero los electrones se sujetaban al n¶ ucleo por una fuerza el¶ectrica de tipo coulombiano, en cuanto que, en el segundo, el mecanis2 Las p ar t¶ ³cu las ® car gad a p ositiv am en te, as¶³ com o la p ar t¶³cu la ¯, car gad a n egativ am en te, h ab ¶³an sid o p r op u estas p or Ru th er for d en 1897 com o con stitu y en tes d e la r ad ioactiv id ad , u n n u ev o fen ¶ om en o f¶³sico d escu b ier to p or el f¶³sico fr an c¶ es A n toin e H en r i B ecq u er el (1852-1908), en 1896.

La soluci¶ on fue presentada por el f¶³sico dan¶es Niels Henrik David Bohr (1885-1963) en los trabajos realizados en 1912{1913. Veamos c¶ omo fue. En sus t¶esis de maestr¶³a (1909) y de doctorado (1911), defendidas en la Universidad de Copenague, Bohr hab¶³a mostrado que las propiedades f¶³sicas de los metales eran incompatibles con el modelo thomsiano. As¶³, en septiembre de 1911, resolvi¶ o ir a Cambridge, Inglaterra, para discutir con el propio Thomson tal incompatibilidad. Como Thomson estaba muy atareado dirigiendo el Laboratorio Cavendish y, probablemente, considerando que su modelo estaba en lo cierto, dirigi¶ o a Bohr con Rutherford, en Manchester. El primer encuentro de Bohr con Thomson no fue muy afortunado ya que, en el libro escrito por Thomson en 1903, Conduction of Electricity Through Gases, publicado por la Cambridge University Press, hab¶³a una f¶ ormula de la que Bohr dijo a Thomson sin miramientos: \Esto est¶ a equivocado" [9]. Al llegar a Manchester, pas¶ o a estudiar te¶ oricamente los resultados de los experimentos del grupo de Rutherford sobre dispersi¶ on de part¶³culas ® por la materia, descritos poco antes, y sus dos grandes di¯cultades: la inestabilidad de los electrones orbitales (electrosfera) y las dimensiones de las ¶ orbitas. En 1910, al estudiar el modelo thomsiano, el f¶³sico austr¶³aco Arthur Erich Haas (1884-1941) hab¶³a encontrado una relaci¶ on entre la constante de Planck h y las dimensiones at¶ omicas. El 14 de diciembre de 1900, el f¶³sico alem¶ an Max Karl Ernest Planck (1858-1947; PNF 1918) comunic¶ o a la Sociedad de F¶³sica de Berl¶³n su c¶elebre expresi¶ on: E = hº

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para representar la energ¶³a (E) de los osciladores arm¶ onicos de frecuencia º. Esa constante h, m¶ as tarde, fue conocida como constante de Planck. Por otro lado, entre 1911 y 1912, el f¶³sico ingl¶es John William Nicholson (1881{1955) encontr¶o una nueva relaci¶ on entre h y las dimensiones at¶omicas usando el modelo saturniano de Nagaoka. Bohr, interesado en la \constituci¶on de los ¶atomos y mol¶eculas", teniendo en vista el modelo de Rutherford, prepar¶ o un memorando, entre junio y julio de 1912, en Manchester, en cuyo ¯nal formul¶o la hip¶otesis de que la estabilidad de los anillos eletr¶onicos resultaba de la proporcionalidad entre la energ¶³a cin¶etica (E) y la frecuencia de rotaci¶on (!) de los electrones: E = k!. Sin embargo, en ese momento, para Bohr, k no ten¶³a ¶ se convenci¶o de esa reninguna relaci¶on con h. El laci¶ on al leer varios art¶³culos, principalmente los de Nicholson, aunque tambi¶en in°uyeron los del f¶³sico holand¶es Antonius Johannes van der Broek (18701926), de 1911, acerca del sistema peri¶odico de los elementos y los del f¶³sico h¶ ungaro Georg von Hevesy (1885-1966), de 1913, sobre las propiedades radioactivas de los ¶atomos. As¶³, en 1913 [10], Bohr public¶ o su famoso modelo at¶omico cu¶antico, basado en dos hip¶otesis: 1. La energ¶³a de cada electr¶on en una con¯guraci¶ on estacionaria est¶a dada por: h E = !¿ ; 2 donde ! es la frecuencia de revoluci¶ on del electr¶ on, y ¿ es un n¶ umero entero; 2. El paso de un sistema entre diferentes estados estacionarios es seguido por la emisi¶ on de una radiaci¶ on homog¶enea cuya frecuencia (º) es la cantidad de energ¶³a emitida, esto es: W2 ¡ W1 est¶ a dada por: W2 ¡ W1 = hº Despu¶es de esos dos postulados, Bohr demostr¶ o que, cuando el momento angular (L) de un electr¶ on en una ¶ orbita circular en torno al n¶ ucleo fuera un m¶ ultiplo de ¹h =

h 2¼

(L = ¿ ¹h)

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el electr¶ on no irradiar¶³a energ¶³a. Bohr, por tanto, resolvi¶ o la paradoja del ¶ atomo de Larmor-Rutherford. Paradoja de la Ecuaci¶ on de Dirac (Paradoja de Klein) El modelo cu¶ antico del ¶ atomo formulado por Bohr, en 1913 [10], para superar las di¯cultades presentadas por el modelo at¶ omico de Rutherford, de 1911, tuvo un gran ¶exito, ya que le permiti¶ o a Bohr obtener la f¶ ormula de Balmer-Rydberg y encontrar una expresi¶ on anal¶³tica para la famosa constante de Rydberg R usada por los espectroscopistas, en funci¶on de la masa de reposo m y la carga el¶ectrica e del electr¶ on, de la constante de Planck h y la carga Z del n¶ ucleo rutherfordiano, o sea: µ ¶ 1 1 º = R ; (m = n + 1; n + 2; : : :) ¡ n2 m2 2¼2 me4 Z 2 R = h3 En 1885, en los Annalen der Physik und Chemie 25 (p. 80), el matem¶ atico y f¶³sico suizo Johann Jakob Balmer (1825-1898) present¶ o una f¶ ormula emp¶³rica para determinar las longitudes de onda ¸ de las l¶³neas espectrales del hidr¶ ogeno, representada por la expresi¶ on: ¸ · m2 ¸ = 3645:6 £ 10¡7 mm m2 ¡ n2 En 1890, en la Kungliga Vetenskaps Akademiens Handlinger 23 (p. 1), el f¶³sico sueco Johannes Robert Rydberg (1854-1919) expres¶ o la f¶ ormula de Balmer en t¶erminos del n¶ umero de onda (inverso de la longitud de onda: 1/¸) y observ¶ o, tambi¶en, que las posiciones de las l¶³neas espectrales de cualquier elemento qu¶³mico presentaban en sus c¶ alculos un factor num¶erico constante, la hoy famosa constante de Rydberg R. Pero, regresemos al modelo de Bohr, aunque ¶el hab¶³a resuelto el problema de los espectroscopistas y encontrado una expresi¶ on para la energ¶³a de los electrones en sus ¶ orbitas E E (eV) = ¡

13:6 n2

n = 1; 2; : : :

el modelo presentaba algunas di¯cultades, entre las cuales, destacaba el hecho de que no permit¶³a saber de qu¶e manera ocurr¶³a la emisi¶ on de radiaci¶on homog¶enea de frecuencia º, cuando un electr¶on transitaba entre dos estados orbitales estacionarios, de acuerdo con el segundo postulado de este modelo.

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El modelo de Bohr recibi¶o diversas contribuciones, muchas realizadas por ¶el mismo en 1913 [Nature 92 (p. 231)] y, en 1915, en trabajos independientes, por los f¶³sicos, el alem¶an Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951) [Sitzungsberichte Bayerischen Akademie Wissenschaften zu MÄ unchen (p. 425; 459)], el japon^es Jun Ishiwara (1881-1947) [Tokyo Sugaku Buturi-gakkakiwi Kizi 8 (p. 106)], y el ingl¶es William Wilson (1875-1965) [Philosophical Magazine 29 (p. 795)], dando lugar al famoso modelo de Bohr-Ishiwara-Wilson-Sommerfeld, en el cual las ¶orbitas eletr¶ onicas son el¶³pticas y giran en torno del centro de masa del sistema electr¶on-n¶ ucleo. Finalmente el modelo de Bohr fue substitu¶³do por la Mec¶ anica Cu¶ antica (MC), desarrollada entre 1925 y 1926, por los trabajos de los f¶³sicos, los alemanes Max Born (1882-1970; PNF 1954), Ernst Pascual Jordan (1902-1980) y Werner Karl Heisenberg (19011976; PNF 1932) y el austr¶³aco Erwin SchrÄodinger (1887-1961; PNF 1933) [11]. Esta MC es presentada por la c¶elebre ecuaci¶on de SchrÄodinger (ES): @ ª(r; t) @t H = T + V (r; t) p2 T = 2m p = ¡i¹hr

Hª(r; t) = i¹h

(3)

En las expresiones anteriores ª(r; t) representa la funci¶ on de onda de SchrÄodinger, H es el operador hamiltoniano, compuesto por la energ¶³a cin¶etica (T ) y la energ¶³a potencial [V (r; t)], ¹h = h=2¼, r y p son, respectivamente, los operadores posici¶on y momento linear. Si bien la ES permiti¶o superar una de las di¯cultades del modelo de Bohr, como era la determinaci¶ on de la forma en que ocurr¶³a la emisi¶on de radiaci¶ on homog¶enea de frecuencia º cuando un electr¶ on transitaba entre dos estados orbitales estacionarios, determinaci¶ on hecha mediante ª, esa ecuaci¶on presentaba, con todo, dos grandes problemas: era norelativista, y no consideraba el spin del electr¶ on. Es oportuno indicar que, en 1925, los f¶³sicos holandeses George Eugene Uhlenbeck (1900-1988) y Samuel Abraham Goudsmit (1902-1978) presentaron en la Naturwissenschaften 13 (p. 953) el concepto de spin, una especie de rotaci¶on interna del electr¶ on que pod¶³a asumir los valores: +¹h=2 (": up) y ¡¹ h=2(#: down). Esos dos problemas fueron resueltos por el f¶³sico

ingl¶es Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF 1933), en 1928 [12], al formular la teor¶³a relativista del electr¶ on en la cual el spin eletr¶ onico aparece naturalmente, adem¶ as de ser intr¶³nsecamente relativista. De ese modo, Dirac propuso que el electr¶ on satisface la siguiente ecuaci¶ on: (i¹ h° ¹ @¹ ¡ mc)© = 0

(4)

En la ecuaci¶ on de Dirac indicada encima, ° ¹ es la matriz de Dirac (matriz 4 £ 4), @¹ = @=@x¹ (¹ = 1; 2; 3; 4), © es el spinor de Dirac (matriz columna) y c es la velocidad de la luz en el vac¶³o. Al aplicar esa ecuaci¶ on a los electrones libres, Dirac observ¶ o que los mismos pod¶³an existir en estados de energ¶³a negativa y continua, variando de ¡mc2 hasta ¡1. La teor¶³a cu¶ antica de la radiaci¶ on desarrollada por el propio Dirac, en 1927 [13], mostraba que un electr¶ on en un estado bohriano excitado, pierde energ¶³a espont¶ aneamente por emisi¶ on de un fot¶ on (°) cayendo, como consecuencia, al estado fundamental. Considerando el resultado ya descrito, el f¶³sico sueco Oskar Benjamin Klein (1894-1977), en 1929 [14], present¶ o la siguiente cuesti¶ on, conocida como paradoja de Klein: Un electr¶ on en el estado fundamental puede emitir un fot¶ on con energ¶³a (hº) mayor que el doble de su energ¶³a de reposo (2mc2 ), o sea, h((2mc2 , y caer en un estado de energ¶³a negativa como hab¶³a sido propuesto por la ecuaci¶ on de Dirac. Una vez en ese estado, el electr¶ on continuar¶³a emitindo fotones ya que no hay l¶³mite m¶³nimo de energ¶³a negativa, pues se extiende hasta ¡1. Esto, con todo, nunca se ha observado experimentalmente. La soluci¶ on para la paradoja de Klein fue presentada por el mismo Dirac, en dos trabajos publicados en 1930 [15]. En ellos a¯rm¶ o que, en condiciones normales, los estados de energ¶³a negativa est¶ an todos ocupados por electrones, el famoso \mar de Dirac". As¶³, las transiciones catastr¶ o¯cas previstas por Klein eran prohibidas por el principio de exclusi¶on de Pauli, el cual fue presentado en 1925 en la Zeitschrift fÄ ur Physik 31 (p. 765), por el f¶³sico alem¶an Wolfgang Pauli Junior (1900-1958; PNF 1945). Este principio dice:

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Dos electrones en un campo de fuerza central nunca pueden estar en estados de energ¶³a de enlace con los mismos cuatro n¶ umeros cu¶ anticos que lo caracterizan en una ¶ orbita bohriana.

Annales de Physique Leipzig 81 (p. 136) otra interpretaci¶ on para ª a¯rmando que la densidad espacial ½ correspondiente a la carga (e) del electr¶on estar¶³a dada por:

En sus trabajos Dirac a¯rm¶o que uno de esos electrones pod¶³a absorber un fot¶on con energ¶³a (hº) mayor que el doble de su masa de reposo

y el electr¶ on, de esa forma, estar¶³a disperso en el espacio como si fuese una \nube".

2

2

2mc ¡ hº > 2mc

y regresar a un estado de energ¶³a positiva y, como resultado, un \hueco" o \antielectr¶on" se generaba en ese \mar", el cual corresponde a un \prot¶ on".3 Es oportuno destacar que, en 1929, los f¶³sicos, el russo Dmitry Vladimirovich Skobeltzyn (1892-1992) y el italiano Bruno Benedetti Rossi (n. 1905), independientemente, encontraron evidencias experimentales de la existencia de un \electr¶on positivo". Ese \electr¶ on" es el \antielectr¶on diraciano", o positr¶ on (e+ ), descubierto por el f¶³sico norte-americano Carl David Anderson (1905-1991; PNF 1935), en 1932 [Proceedings of the Royal Society of London A41 (p. 405); Science 76 (p. 238)]. Quedaba, de este modo, resuelta la paradoja de Klein. 10. Paradoja de la Funci¶ on de Onda (Paradoja de Einstein-Rosen-Podolsky, Paradoja de SchrÄ odinger o del \gato" de SchrÄ odinger). Despu¶es que SchrÄodinger propuso su c¶elebre ecuaci¶ on [ver expresiones (4)], en 1926, surgi¶o una cuesti¶ on intrigante, como fue la de saber el signi¯cado de la funci¶ on de onda de SchrÄodinger (ª). A pesar de que el mismo SchrÄodinger present¶o una interpretaci¶ on, la que cuenta hoy con el mayor n¶ umero de partidarios es la formulada por el f¶³sico alem¶ an Max Born (1882-1970; PNF 1954), en 1926. En sus primeros trabajos realizados sobre la Mec¶anica Ondulat¶ oria, SchrÄodinger trataba a la funci¶on de onda ª apenas como un \campo escalar mec¶anico" que satisfac¶³a formalmente a su ecuaci¶on. Sin embargo, observando que en el ¶atomo de hidr¶ogeno la emisi¶ on de ondas electromagn¶eticas cuando el electr¶ on cambia de ¶ orbita, SchrÄodinger, en 1926, present¶ o en los 3 E n esa ¶ ep oca (1930), Dir ac p en sab a q u e se tr atab a d e u n p r ot¶ on . La id ea d e \an tielectr ¶ on d ir acian o" com o cor r esp on d e a u n p ositr ¶ on s¶ olo su r gi¶ o con su d escu b r im ien to, en 1932.

½ = eªª¤ = ejªj2

Al estudiar Born la dispersi¶ on de un haz de electrones, ¶estos representados por \ondas de materia debroglieanas", observ¶ o que el n¶ umero de electrones difundidos podr¶³a ser calculado a trav¶es de cierta expresi¶ on cuadr¶ atica, constru¶³da a partir de la amplitud de una onda esf¶erica secundaria, onda generada por el ¶ atomo dispersante del haz electr¶ onico incidente. Observando que la estabilidad de las ¶ orbitas de los electrones en el ¶ atomo de Bohr-Ishiwara-WilsonSommerfeld inclu¶³a n¶ umeros enteros, y siendo ese hecho una caracter¶³stica de las ondas estacionarias en el fen¶ omeno de interferencia, el f¶³sico franc¶es, Pr¶³ncipe Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987; PNF 1929), en trabajos realizados entre 1923 y 1927, present¶ o su c¶elebre idea de que el electr¶ on, en su movimento orbital at¶ omico, est¶ a guiado por una \onda de materia" (onda-piloto), cuya longitud de onda (¸) se relaciona con el momento linear (p = mv) del electr¶ on, por medio de la relaci¶ on, ¸ = h=p , de tal modo que: 2¼r = n¸. Con esas dos condiciones, de Broglie, en un art¶³culo publicado, en 1927, en el Journal de Physique 7 (p. 327), obtuvo la famosa regla de cuantizaci¶ on de Bohr: L = n¹ h. Como se~ nalamos anteriormente, Born [16] interpret¶o la funci¶ on de onda de SchrÄ odinger (ª) como una amplitud de probabilidad. Esto signi¯caba que cualquier observable f¶³sico [posici¶ on, momento linear (velocidad), energ¶³a, etc.] de una part¶³cula se encuentra multiplicando la densidad de probabilidad, calculada por la expresi¶ on ª¤ ª = jªj2 por el operador correspondiente a ese observable, e integrando en todo el espacio. A la interpretaci¶ on de Born se sobrepone otra cuesti¶ on. >Ser¶ a siempre posible observar cualquier magnitud f¶³sica? La respuesta a esa pregunta fue dada por Heisenberg. Veamos c¶ omo, al intentar representar, matem¶ aticamente, la trayectoria de un electr¶on

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en una c¶ amara de niebla o c¶amara de Wilson,4 Heisenberg percibi¶ o que, a pesar de que se observa la trayectoria mediante peque~ nas gotas de agua aisladas en la c¶ amara, tales gotitas, ciertamente, eran mucho mayores que un electr¶on y, de ese modo, s¶ olo se registra una sucesi¶on discreta de lugares, imprecisamente determinados, del electr¶on. Por tanto, la verdadera cuesti¶on, concluy¶o Heisenberg, era representar con la Mec¶anica Cu¶antica, una situaci¶on imprecisa que posee una velocidad determinada. Fue, b¶ asicamente, este razonamiento lo que lo llev¶o a presentar en 1927 [17] su famoso principio de incertidumbre.

^ Ajai = ajai;

a

El lector interesado encontrar¶a algunas lecturas recomendadas al ¯nal de este art¶³culo en el No.18. Aplicando el formalismo de la Mec¶anica Cu¶antica Ondulatoria de SchrÄ odinger (MCOS) a los operadores F^ y ^ G, que representan dos cantidades f¶³sicas F y G, ese principio est¶ a dado por las famosas relaciones de incertidumbre de Heisenberg: (5)

Ve¶ amos el signi¯cado f¶³sico de esas relaciones. Como h(¢F )i y h(¢G)i representan, respectivamente, los valores medios de los errores en las medidas de los observables F y G, la expresi¶on 5 signi¯ca que esas medidas no pueden ser efectuadas con precisi¶on, esto es, con error nulo (si consideraci¶o del error inherente a la medida experimental). ^ representan, respectivamente, el moCuando F^ y G mento linear (px) y la posici¶on (x) de una part¶³cula, esa relaci¶ on toma la siguiente forma: 1 h(¢px )ih(¢x)i ¸ h ¹ 2

De acuerdo al formalismo de la MCOS, el resultado de la medida de un dato observable, representa^ es uno de sus audo por un operador hermitiano A, tovalores a (siempre real), correspondiente al autoestado jai, est¶ a de¯nido por las ecuaciones: X

Es imposible obtener exactamente los valores simult¶ aneos de dos variables, a no ser dentro de un l¶³mite m¶³nimo de exactitud.

1 h(¢F )ih(¢G)i ¸ h ¹ 2

dos por medio de la funci¶ on de onda de SchrÄ odinger (ª).5 En vista de lo anterior, la cuesti¶ on central de la Mec¶ anica Cu¶ antica ser¶³a la de relacionar ª con la medici¶ on del observable deseado. As¶³, desarroll¶ o la famosa teor¶³a del colapso de la funci¶ on de onda ª.

(6)

jaihaj = 1

(7) (8)

Sin embargo, no siempre el estado jªi de un sistema f¶³sico es un autoestado (por ejemplo jai). Por tanto, >c¶ omo encontrar la medida del observable (a, por ejemplo) correspondiente a ese estado? En este caso, el estado del sistema f¶³sico ser¶ a una superposici¶ on de los autoestados jai, o sea: X X jªi = jaihajªi = hajªijai (9) a

a

En la expresi¶ on anterior, hajªi representa la amplitud de probabilidad de encontrar al sistema considerado en el autoestado jai. Este resultado traduce la conocida teor¶³a del colapso a la reducci¶ on de la funci¶ on de onda, ya mencionada. Las aplicaciones de las relaciones de incertidumbre heisenbergianas y de la teor¶³a del colapso de la funci¶ on de onda discutidas arriba fueron (