Parte 1: Nociones elementales Parte 2: Isometrías Parte 3: Homotecias Parte 4: Sistemas de coordenadas Parte 5: Cónicas

Material preparado por: Prof. Ana María Tosetti Revisado y complementado por: Ing. Freddy Rabín Catedrático de Matemática

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 1 de 55

Parte 1: Nociones elementales Repasaremos lo principales elementos de la geometría del plano, no se realizará un desarrollo en detalle. Trabajaremos con las nociones intuitivas de punto recta plano y espacio. Se darán algunas definiciones de las figuras más conocidas y de sus propiedades, esta información será muy útil para el desarrollo del resto del curso sobre todo en la parte de geometría analítica Posiciones relativas de dos rectas en el plano Decimos que dos rectas son coplanares cuando existe un plano que las incluye. Dos rectas coplanares son secantes cuando tienen un solo punto en común Dos rectas coplanares son paralelas cuando no son secantes. Por lo tanto dos rectas coplanares son paralelas cuando son coincidentes o no tienen puntos comunes (decimos en este caso que las rectas tienen la misma dirección). SECANTES

PARALELAS DISJUNTAS

PARALELAS COINCIDENTES

A

O sea que dos rectas coplanares pueden cumplir: • s y r son rectas paralelas si y solo si •

s y r son rectas secantes si y solo si

Rectas que se cruzan Cuando consideramos rectas en el espacio estas pueden ser coplanares o no coplanares a estas últimas también se las denomina alabeadas o rectas que se cruzan. Decimos que dos rectas se cruzan cuando no existe ningún plano que las contenga. En este caso la intersección de las rectas es el conjunto vacio pero a diferencia de las paralelas estas son no coplanares. Por ejemplo las rectas r y r´ de la figura se cruzan

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 2 de 55

Así como también las rectas a y b de esta representación: a

b

Triángulo Es un polígono de tres lados, determinado por tres puntos no alineados llamados vértices. Propiedades: 1) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es un ángulo llano ( 180º = radianes) 2) Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos ( Desigualdad triangular)

Clasificación de triángulos La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios: a. Atendiendo a sus lados: • Escalenos (los tres lados distintos , también tienen sus tres ángulos distintos)) • Isósceles (dos lados iguales, también tienen dos ángulos iguales) • Equilátero (los tres lados iguales, también tienen sus tres ángulos iguales )

Escaleno

Equilátero Isósceles

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 3 de 55

b. Atendiendo a sus ángulos: • Rectángulos (si tiene un ángulo recto) • Acutángulos (si los tres ángulos son agudos) • Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso)

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

Puntos y rectas notables de un triángulo Mediatrices y circuncentro de un triángulo Llamamos mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Propiedad: Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento y recíprocamente si un punto equidista de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz. Llamamos mediatrices de un triangulo a las mediatrices de sus lados. Las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, se cortan en un punto C, llamado circuncentro,

A

El circuncentro está a igual distancia de los tres vértices. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices e incentro de un triángulo Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior al ángulo con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 4 de 55

Propiedad: Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Llamamos bisectrices de un triangulo a las bisectrices de sus ángulos Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual distancia de los tres lados. Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro de un triángulo Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado por el vértice opuesto. Las tres rectas que contienen las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Medianas y baricentro de un triángulo Se llaman medianas a los segmentos que tienen por extremos el punto medio de un lado y el vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 5 de 55

Recta de Euler En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados. La recta a la que pertenecen se llama recta de Euler.

Para visualizar mejor esta propiedad es recomendable consultar el siguiente link: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=euler Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se cumple que:

Cuadriláteros Llamamos cuadrilátero a un polígono de cuatro lados Clasificación CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Dos pares de lados paralelos Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos Ningún lado paralelo

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Paralelogramos Trapecios Trapezoides o simplemente cuadriláteros.

Hoja 6 de 55

Lados paralelos dos a dos

1.-PARALELOGRAMO

P A R A L E L O G R A M O S

RECTÁNGULO

Los ángulos opuestos son iguales

Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales. Esto es cuatro ángulos rectos.

CUADRADO

Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo. Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.

ROMBO

Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.

2.-TRAPECIO

Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son paralelos. Un lado perpendicular a las

T R A P E C I O S

TRAPECIO RECTÁNGULO

bases. O bien Tiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES TRAPECIO ESCALENO

Los lados no paralelos son de igual longitud. Trapecio no rectángulo ni isósceles.

A continuación se presentan las fórmulas para calcular el área de las figuras más conocidas.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 7 de 55

Para terminar con esta parte del repaso trataremos los conceptos básicos de trigonometría.

Razones trigonométricas

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 8 de 55

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en A; definiremos las razones seno, coseno y tangente, del ángulo C • El seno de C es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno de C es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente de C es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente

Teorema del seno El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 9 de 55

Teorema del coseno El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos, en el se relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 10 de 55

Parte 2: Isometrías Denominamos isometría en el plano a una transformación geométrica conserva las distancias

que

Simetría Axial Una simetría axial de eje e es una transformación, en la cual a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje es la mediatriz del segmento P P´. Por ejemplo el correspondiente del triangulo ABC en la simetria axial de eje e es el triangulo A´B´C´

Propiedades 1) El eje de simetría es una recta doble y unida. Doble significa que se corresponde con ella misma en la isometría y unida que todos sus puntos son fijos. 2) Las rectas perpendiculares al eje son dobles pero no unidas. 3) El eje contiene a la bisectriz del ángulo determinado por dos semirrectas correspondientes con origen en el eje. 4) Si una recta es paralela al eje de simetría, su transformada también lo es y el eje es paralela media. Les recomiendo consultar el siguiente link: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 11 de 55

Simetría central

Una simetría central de centro el punto O, es una transformación del plano en él que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'. Propiedades: 1) El único punto unido es el centro. 2) Las rectas por el centro son doble 3) Las rectas correspondientes que no pasan por el centro son paralelas. Les recomiendo consultar el siguiente link: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simcen

Traslación

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 12 de 55

La traslación es una transformación en la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' de forma que

. Siendo

el vector que

define la traslación. La traslación se designa por Tvr , luego Tvr ( A) = A′ . Propiedades 1) No hay puntos unidos (también llamados fijos) si

no es el vector nulo (en

el caso que lo sea todos los puntos son unidos). 2) Una recta y su correspondiente son paralelas. 3) Las rectas dobles son las de dirección paralela al vector de la traslación. 4) Si el vector de la traslación es el vector nulo esta es la identidad, o sea que cada punto se corresponde con sí mismo. Les recomiendo consultar el siguiente link: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trasla

Rotación

Dados un punto O y un ángulo α, se llama rotación de centro O y ángulo α a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' de modo que:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 13 de 55

El sentido de giro positivo de es el contrario al movimiento de las agujas (antihorario) del reloj. Muchas veces se indica el ángulo en valor absoluto y se indica el sentido diciendo si es antihorario u horario. Propiedades 1) El centro de una rotación pertenece a la mediatriz del segmento determinado por un punto cualquiera y su correspondiente. 2) El ángulo determinado por dos rectas correspondientes es igual al ángulo de rotación. 3) El centro de rotación pertenece a la bisectriz del ángulo formado por dos rectas correspondientes 4) El único punto unido es el centro cuando el ángulo de rotación no es 0. 5) Si el ángulo de rotación es 0 la rotación es la identidad.

Les recomiendo consultar el siguiente link: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=rotaci Veamos ahora algunos ejemplos de composición Llamamos composición de isometrías a la aplicación sucesiva de dos o más isometrías. Composición de simetrías axiales de ejes paralelos

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 14 de 55

• Longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes. • La dirección del vector es perpendicular a los ejes. • El sentido es el de e a e'.

Composición de simetrías axiales de ejes perpendiculares

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 15 de 55

Composición de simetrías centrales con el mismo centro

Si aplicamos sucesivamente una simetría de centro o con una simetría de centro o, cada punto del plano se corresponde con el mismo, o sea que la composición de simetrías axiales de igual centro es la identidad, en este caso decimos que la isometría es involutiva. Composición de traslaciones

r r Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores u y v , se obtiene otra r r traslación cuyo vector es la suma de los vectores u y v .

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 16 de 55

Composición de Rotaciones con el mismo centro

Al aplicar sucesivamente dos Rotaciones de igual centro O y amplitudes α y β en el mismo sentido se obtiene una rotación

de igual centro O y amplitud

igual a la suma de las amplitudes α+β y en el mismo sentido de las anteriores.

Criterios de congruencia de triángulos Decimos que dos figuras son congruentes cuando se corresponden

en una

isometría, si se trata de triángulos esto significa que tienen, ángulos y lados iguales, existen criterios que nos permiten decir cuando dos triángulos son congruentes, recordemos a continuación cuales son. 1. Criterio (L, L, L) Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivamente congruentes:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 17 de 55

2. Criterio (L, A, L) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Criterio (A, L, A) Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los dos ángulos adyacentes congruentes.

4. Criterio (L, L, A>) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de estos lados congruentes.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 18 de 55

Parte 3: Homotecias Una homotecia de centro O y razón k ( k es un real positivo) es una transformación del plano en la cual a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta O P, de . Veamos algunos ejemplos: manera que

Si k es un real negativo en al homotecia de centro O y razon k a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta opuesta a la O P, de manera que . Veamos algún ejemplo:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 19 de 55

Les recomiendo que consulten este link: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homot e1.htm Propiedades • Las rectas correspondientes en una homotecia son paralelas • Las rectas que pasan por el centro de homotecia son dobles • Si la razón de homotecia es 1 la homotecia es la identidad • Si la razón de homotecia es -1 la homotecia es una simetría central cuyo centro es el de homotecia Relación entre las áreas de figuras homotéticas Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:

La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia. La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.

Semejanza La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 20 de 55

Les recomiendo consultar este link: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geo metria/homoteciasysemejanzas/semejanza.gif

Figuras semejantes Decimos que dos figuras son semejantes cuando se corresponden en una semejanza.

Criterios de semejanza de triángulos 1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 21 de 55

3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Teorema de Thales S i d o s rect as cu al es q u i era s e co rt an p o r v ari as re ct as p aral el as , l o s s egm en t o s d et e rm i n ad o s en u n a d e l as rect as s o n p rop o rci o n al es a l o s s egm en t o s co rr es p o n d i en t es en l a o t ra.

Les reco m i en d o co n s u l t ar es t e l i n k :

http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 22 de 55

Ejercicios (1ª Parte) para esta segunda parte Ejercicio 1 Indicar si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas (justificar). 1. Un triangulo isósceles es equilátero 2. Un triángulo rectángulo es obtusángulo 3. Dos rectas que se cruzan tienen al menos un punto en común 4. Un cuadrado es un rombo 5. En un paralelogramo los ángulos opuestos suman 180º 6. Dos restas paralelas no tienen puntos comunes Ejercicio 2 Elegir la opción correcta (justificar). 1. En una simetría central: a) No hay puntos unidos. b) Las rectas que pasan por el centro de simetría son dobles. c) Las rectas correspondientes son perpendiculares. d) Los segmentos correspondientes son proporcionales en razón 1/ 2. 2. En una traslación: a) Las rectas perpendiculares a la dirección del vector de traslación son dobles. b) Las rectas correspondientes son paralelas a la dirección del vector de traslación. c) El vector de traslación está incluido en la mediatriz del segmento determinado por un par de puntos correspondientes. d) No hay puntos unidos. 3. En una simetría axial: a) Las rectas paralelas al eje son dobles. b) Las rectas perpendiculares al eje son dobles. c) No hay puntos unidos. d) Las rectas correspondientes son perpendiculares. 4. En una homotecia: a) No hay puntos unidos. b) Las rectas correspondientes son perpendiculares. c) Las rectas correspondientes son paralelas. d) Los triángulos correspondientes tienen igual área.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 23 de 55

Parte 4: Sistemas de coordenadas Un sistema de de coordenadas ortogonal está formado por dos rectas perpendiculares entre sí, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abscisas y al vertical eje de ordenadas. Se establece una unidad de medida (que puede ser la misma o diferente para los dos ejes) y un sentido positivo y otro negativo en los dos ejes. Un punto del plano queda determinado por un par de números reales, ésta es una relación biunívoca.

El par (x,y) son las coordenadas del punto A , x es su abscisa e y es su ordenada. Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Por información sobre descartes ver http://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc_bio.htm También puede establecerse un sistema de coordenadas en el espacio como lo muestra la siguiente figura.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 24 de 55

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas Primer caso (traslación del sistema de coordenadas): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.

Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X , Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X' , Y'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y') son: x' = x0 + x y' = y0 + y

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 25 de 55

Segundo caso (rotación de los ejes): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X, Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes.

x' = x cosa – y sena y' = x sena + y cosa

Distancia entre dos puntos

La distancia entre los puntos A (a, b) y B (c,d) es:

lo que se deduce de aplicar el teorema de Pitágoras

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 26 de 55

Coordenadas polares

En un sistema de coordenadas polares para ubicar un punto se utiliza la medida del segmento que este punto determina con el origen y el ángulo que este segmento determina con el semieje positivo de abscisas.

Cambio de coordenadas cartesianas a polares Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto rα donde: r = x 2 + y 2 y α queda determinado por el par de ecuaciones x x y y cos(α ) = = y sen (α ) = = . r r x2 + y2 x2 + y2

serán

Cambio de coordenadas polares a cartesianas Si

son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán:

x = r cos

y = r sen

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

.

Hoja 27 de 55

Ecuación de la recta

La recta (r) corresponde a la ecuación

m se denomina pendiente de la recta y es igual a la tangente del ángulo que determina la recta con el semieje positivo de abscisas, n se llama ordenada en el origen y es la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas. Si la recta pasa por los puntos A (

yB

, m y n se obtienen mediante las

siguientes expresiones:

La recta que corresponde a la ecuación x = xv se la denomina recta vertical. La recta que corresponde a la ecuación y = yh se la denomina recta horizontal.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 28 de 55

Otra forma de determinar la ecuación de una recta Si conocemos la pendiente m y un punto A (x0,y0) por el que pasa la recta podemos escribir la ecuación de la recta del modo siguiente: y − y 0 = m ( x − x0 )

Po s i ci o n es r el a ti v a s d e d o s recta s en e l p l a n o

S eca n tes

Dos rect as son s ecan t es si sólo tienen u n p u n t o en co m ú n. El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene u n a s o l a s o l u ci ó n .

Pa ra l el a s n o co i n ci d en tes

Dos rect as son p aral el as n o co i n ci d en t es si no tienen n i n gú n p u n t o en co m ú n. El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene s o l u ci ó n v ací a.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 29 de 55

Condición de paralelismo Si dos rectas son paralelas tienen las mismas pendientes. Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r`

.

Co i n ci d en tes Dos rect as son co i n ci d en t es si tienen t o d o s los p u n t o s son co m u n es (s i , en d efi n i t i v a, s o n l a m i s m a rect a ). El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene i n fi n i t as s o l u ci o n es . Condición de coincidencia Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r`

n= n´.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

Se trata de determinar qué rectas:

son perpendiculares a la primera.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 30 de 55

Sabiendo que:

Siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con dicho semieje. Como sabemos que:

y si la pendiente de la primera recta es:

la de la segunda debe de ser:

Esto es, dada una recta cualquiera:

Cualquier recta de la forma:

es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Semiplano Una recta divide al plano en dos regiones, a la unión de cada una de esta regiones con la recta se la denomina semiplano. A la recta se la llama borde del semiplano. Si la ecuación de la recta es: ax + by = c , las regiones en que ésta divide al plano están dadas por las soluciones de las inecuaciones: ax + by < c

;

ax + by > c

Ejemplo Sea la recta de ecuación : 3x – 2y = 5 Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 31 de 55

Las regiones que define (los semiplanos que define) son:

Ejemplo El conjunto solución del sistema

está representado por el grafico siguiente:

Ejemplo

El conjunto solución del sistema

está representado en el grafico siguiente:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 32 de 55

Distancia de un punto a una recta

Sean el punto A (

y una recta (r): y = ax +b , la distancia entre A y (r) es: d( A, r ) =

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 33 de 55

Ángulo entre dos rectas

Si m1=tan

y m2=tan

, entonces el ángulo

entre las rectas

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

y

cumple:

Hoja 34 de 55

Parte 5: Cónicas Cónicas Cuando un plano corta a una superficie cónica obtenemos una curva que llamamos cónica. Dependiendo de la posición del plano respecto al cono obtenemos una curva u otra: • Si el plano es perpendicular al eje es una circunferencia

• Si el plano es oblicuo al eje y corta a todas las generatrices es una elipse

.

• Si el plano es paralelo al eje es una hipérbola

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 35 de 55

• Si el plano es oblicuo al eje y corta sólo a una generatriz es una parábola.

Si el plano pasa por el vértice, decimos que la cónica es degenerada y puede ser un punto, una recta (también llamada recta doble) o un par de rectas concurrentes.

Les recomiendo consultar este link: http://www.catedu.es/matematicas_blecua/

Circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto al centro se llama radio de la circunferencia.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 36 de 55

, y elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:

dando lugar a la existencia del radio.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 37 de 55

Observación Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Posiciones relativas de una circunferencia y una recta Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y a una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. Se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante, ∆, las siguientes soluciones:

1) Si ∆ > 0 , dos soluciones: la recta y la circunferencia son secantes.

2) Si ∆ = 0 , una solución: la recta y la circunferencia son tangente.

3) Si ∆ < 0 , solución vacía: la recta y la circunferencia son exteriores.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 38 de 55

Tangentes a una circunferencia en un punto de la circunferencia

Sea la siguiente la ecuación de la circunferencia:

No es difícil demostrar que realizando las sustituciones siguientes se obtiene la ecuación de la , donde T es un punto de la circunferencia. tangente e la circunferencia en T ( cambia por , cambia por x cambia por

, y cambia por

Ejemplo Dada la circunferencia de ecuación para encontrar la ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia en T (1,4) primero verificamos que P es un punto de la circunferencia (simplemente verificando que las coordenadas de T verifican la ecuación de la circunferencia), luego realizamos los cambios indicados obteniendo:

Operando se llega a que la ecuación de la tangente en T es y = 4.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 39 de 55

Tangentes a una circunferencia en un punto exterior a la circunferencia

Para hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P exterior, realizamos los cambios indicado en la parte anterior y obtenemos la denominada recta polar, o sea la recta que une los puntos de tangencia T(1) y T(2) cortando la circunferencia con esta recta encontramos dichos puntos y luego hallamos las rectas por T(1) y P y por T(2) y P.

Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Pueden destacarse los siguientes elementos en una elipse:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 40 de 55

Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto cualquiera de la elipse y cada uno de los focos: PF y PF'. de longitud 2c, c es la semidistancia focal.

Distancia focal: Es el segmento

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor: Es el segmento mayor.

de longitud 2a, a es la medida del semieje

Eje menor: Es el segmento menor.

de longitud 2b, b es la medida del semieje

Ecuación de la elipse (1 er caso) Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y F(c, 0).

b c

Cualquier punto de la elipse cumple: Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 41 de 55

Ecuación de la elipse (2º caso) Si el centro de la elipse C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ). Y la ecuación de la elipse será:

Operando se obtiene una ecuación de la forma:

Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 42 de 55

Pueden destacarse los siguientes elementos en una hipérbola: Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento

.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto cualquiera de la hipérbola y cada uno de los focos: PF y PF' Distancia focal: Es el segmento

de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento

de longitud 2a.

Eje menor: Es el segmento

de longitud 2b.

Asíntotas: Para la hipérbola de la figura, son las rectas de ecuaciones:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 43 de 55

Relación entre las medidas de los semiejes: c 2 = a 2 + b 2 Ecuación de la hipérbola (1 er caso)

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas y los focos son: F'(-c,0) y F(c,0), cualquier punto de la hipérbola cumple: Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ecuación de la hipérbola (2º caso)

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 44 de 55

Si el centro de la hipérbola es C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ) , entonces la ecuación de la hipérbola será:

Operando obtenemos una ecuación de la forma:

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es (ejes en los ejes de coordenadas):

Las asíntotas tienen por ecuación (ejes en los ejes de coordenadas): , es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 45 de 55

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes Ox, Oy a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de -45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

Ejemplo La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y sus focos. Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y como además el punto A pertenece a la curva, tendremos:

El semieje a es la distancia del origen al vértice A:

Calculemos los focos:

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 46 de 55

Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Pueden destacarse los siguientes elementos en una parábola: Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 47 de 55

Ecuación de la parábola (1 er caso)

Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:

Ecuación de la parábola (2º caso)

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 48 de 55

Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:

Observación Una ecuación de la forma a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 es la ecuación de una cónica. Mediante cambios adecuados de coordenadas puede trasformase esta ecuación en una ecuación reducida del tipo de las que ya vimos. Puede suceder también, como caso particular, que se trate de una cónica degenerada. Puede averiguarse de que género (establecemos tres géneros: hiperbólico, elíptico o parabólico incluyendo los casos degenerados en éstos) es la cónica aplicando la siguiente regla: Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , entonces la cónica es de género hiperbólico. Si ∆ = b 2 − 4ac < 0 , entonces la cónica es de género elíptico. Si ∆ = b 2 − 4ac = 0 , entonces la cónica es de género parabólico.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 49 de 55

Ejercicios (2ª Parte) para esta segunda parte Ejercicio 1 En cada caso se pide hallar la ecuación de la recta que: a) Pase por los puntos A = (2,1) y B = (3,2). b) Pase por el punto A (2,0) y sea paralela a la recta de ecuación 4 x − 2 y = 6 . c) Pase por el punto A (2,0) y sea perpendicular a la recta de ecuación y - x +2 = 0 Ejercicio 2 Dado el segmento de extremos en los puntos A = (2,0) y B = (4,2), hallar la ecuación de la mediatriz de dicho segmento. Realizar el ejercicio de dos formas diferentes: hallando la ecuación de la recta perpendicular por el punto medio del segmento e imponiendo a un punto genérico que esté a igual distancia de los extremos del segmento.

Ejercicio 3 a) Dadas las rectas: (r): y - x – 1 = 0 y (s): y + x -1=0, hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por dichas rectas. Verificar que son rectas perpendiculares entre sí. Representar geométricamente. b) Repetir la parte a) (hallar las bisectrices y representar gráficamente) considerando las rectas: ( r ) y = x y ( s) y = 1.

Ejercicio 4 Dado el triángulo de vértices A = (2,2), B = (1,0) y C = (3,0), hallar las coordenadas de su ortocentro (corte de sus alturas) y su baricentro (corte de sus medianas). Determinar el circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices) del triángulo y verificar la alineación de los tres puntos en la recta de Euler (estos tres puntos notables de cualquier triángulo están alineados).

Ejercicio 5 Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. Corroborar con la representación gráfica. a) ( r ): y - 2x = 0

y (s):y=x+2

b) ( r ): 2x - y -1 = 0 y

(s ) – 6x +3y = 2

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 50 de 55

Ejercicio 6 Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas, discutiendo en función de los parámetros reales a y b: ( r ): a y - x = a - 1 y ( s ): y + x = b + 1 Ejercicio 7 a) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (2,-1) y de radio 3. b) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (3,4) y que pasa por el origen. c) Hallar la ecuación de la circunferencia que tenga por uno de sus diámetros el segmento determinado por los puntos A = (0,2) y B = (-4,6). Ejercicio 8 Hallar las ecuaciones de las circunferencias que sean tangentes a ambos ejes coordenados y que pasen por el punto A = (1,2). Realizar el mismo ejercicio pero pidiéndole que pase por el punto B = (0,1). ¿Siempre habrá dos soluciones al problema planteado?, es decir hallar la ecuación de una circunferencia tangente a ambos ejes y que pase por un punto determinado, en caso que corresponda discutir en función del punto la cantidad de soluciones. Ejercicio 9 Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro pertenezca a la recta de ecuación y=2x+1 y sea tangente a la recta y -1 = 0, en el punto A = (1,1). Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio.

Ejercicio 10 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (1,1), B (1,-1), C (2,0). Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio. Ejercicio 11 Representar gráficamente el conjunto de los puntos ( x , y ) tales que: a) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 b) x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0 c) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 5 = 0 d) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 − a = 0 , discutir en función de a ∈ R

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 51 de 55

Ejercicio 12 Determinar en los siguientes casos la posición relativa entre la recta y la circunferencia dadas, hallando en los casos que corresponda el o los puntos de corte. Representar gráficamente cada caso. a) (r ) : y = − x + 2 (C ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 b) ( r ) : x + y = 2

(C ) : x 2 + y 2 − 2 = 0

c) (r ) : x + y + 1 = 0

(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0

Ejercicio 13 Discutir en función del parámetro real a, la posición relativa de la recta y la circunferencia dadas: 1 ( r ) : y + x = 1 +a (C ) : x 2 + y 2 = . 2 Representar.

Ejercicio 14 Dada la circunferencia (C ) : x 2 + y 2 − 3 = 0 y el punto P = ( 2 , y P ) Determinar yP ≥ 0 , tal que P ∈ (C ) . Hallar la ecuación de la recta tangente a (C ) por el punto P. Use o verifique la condición de perpendicularidad entre rectas.

Ejercicio 15 Se consideran la circunferencia (C ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 y el punto P = (2,1). Representar gráficamente el interior y el exterior de ( C ) y escribir la inecuación que los representa. Verificar que P es exterior a ( C ). Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia desde el punto P. Realizarlo de dos formas diferentes: imponiendo que una recta por el punto corte a la circunferencia en un solo punto e imponiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la recta sea igual al radio.

Ejercicio 16 Hallar los puntos de corte de las circunferencias: (C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 y (C2 ) : x 2 + y 2 − 2 y = 0 . Representar gráficamente.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 52 de 55

Ejercicio 17 Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones: x2 + y2 ≤ 4 2 2 2 2  x + y − 2x ≥ 0 x + y − 2x − 2 y ≤ 0   2   x≥0 2 y−x≥0 x + y − 2 y ≤ 0   y ≤1  Ejercicio 18 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A = (-1,2) y B = (-1,6) es 16. Reconocer y representar dicho lugar.

Ejercicio 19 D et erm i n a l as ecu a c i o n es d e l as p ar áb o l as q u e t i en en : a) D e d i r ect ri z x = -3 , d e fo co (3 , 0 ). b ) D e d i re ct ri z y = 4 , d e v ért i ce (0 , 0 ). c) D e fo co (2 , 0 ), d e v ért i ce (0 , 0 ).

Ejercicio 20 H al l ar l as co o rd en a d as d el v ért i c e y d e l o s fo co s , y l as ecu a ci o n es d e l as d i rect ri c es d e l as p a ráb o l as : a) b)

Ejercicio 21 H al l ar l a e cu aci ó n d e l a p aráb o l a d e ej e v ert i cal y q u e p as a p o r l o s p u n t o s : A (6 , 1 ), B(-2 , 3 ), C ( 1 6 , 6 ).

Ejercicio 22 H al l ar l a ecu a ci ó n d e l u gar geo m ét ri co d e l o s p u nt os P (x . y) cu ya s u m a d e d i s t an ci as a l o s p u n t o s fi j o s (4 , 2 ) y ( -2 , 2 ) s ea i gu al a 8 .

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 53 de 55

Ejercicio 23 Hal l ar l o s el em en t o s cara ct erí s t i co s y l a ecu a ci ó n red u ci d a d e l a el i p s e d e fo co s : F '(-3 , 0 ) y F(3 , 0 ), y s u ej e m a yo r m i d e 10 .

Ejercicio 24 Dad a

la

ecu aci ó n

red u ci d a

de

la

el i p s e

x2 y2 + =1, 4 9

h al l ar

l as

co o rd en ad as d e l o s v ért i ces y d e l o s fo c o s .

Ejercicio 25 Hal l ar l a ecu aci ó n d e l a el i p s e d e fo c o F(7 , 2 ), d e v ért i c e A(9 , 2 ) y d e cen t ro C (4 , 2 ). Ejercicio 26 Dad a

la

el i p s e

de

ecu a ci ó n

( x − 6) 2 ( y + 4) 2 + =1, 36 16

h al l ar

su

cen t ro ,

v ért i ces y fo co s . Ejercicio 27 Det erm i n ar l as co o r d en ad as d e l o s fo co s y d e l o s v ért i ces d e l as s i gu i en t es h i p érb o l as . a)

x2 y2 − =1 144 81

c) x2 − 2 y2 = 4

b)

y2 x2 − =1 144 25

d ) 5 y 2 − 4 x 2 = 45

Ejercicio 28 Hal l ar l a e cu a ci ó n d e u n a h i p érb o l a d e e j e m a yo r 8 y d i s t an c i a fo cal 1 0 . Ejercicio 29 El ej e m a yo r d e u n a h i p érb o l a m i d e 1 2 y l a cu rv a p as a p o r el p u n t o P (8 , 1 4 ). Hal l ar s u ecu a c i ó n .

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 54 de 55

BIBLIOGRAFÍA: Fernández Val, Walter, Geometría métrica, plano y espacio: 5ta. Ed. Kapeluz. Fernández Val, Walter, Geometría analítica y álgebra: 5ta. Ed. Kapeluz. Zambra, M., Rodríguez, M. y Belcredi, L., Geometría: Colección Mosaicos. Guido Castelnuovo, Lecciones de geometría analítica. Oteyza, E., Lam, E., Gómez, J., Ramírez, A. y Hernández, C., Geometría analítica: Prentice Hall.

Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)

Hoja 55 de 55