PENSAMIENTO MATEMÀTICO GENERACIÓN 2005

Coordinación General Educativa 2005-2006

PENSAMIENTO MATEMÀTICO CONTENIDOS UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III

RAZONES DE CAMBIO Y FUNCIONES LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES

ACTI VOS UNIDAD I RAZONES DE CAMBIO Y FUNCIONES Actividad 1. Razones de Cambio Actividad 1.1 Razones de Cambio Constantes Actividad 1.2..Razones de Cambio Variables Actividad 1.3 Razones de Cambio Constantes Actividad 2

Concepto de Función

Actividad 2.1 Concepto de Función Actividad 2.2 Interpretación del Concepto de Función Actividad 3

Razones de Cambio Variables

Actividad 3.1 Razones de Cambio Variables Actividad 3.2 Aplicación de Razones de Cambio Variables Actividad 3.3 Funciones Exponenciales Actividad 3.4 Logaritmos Actividad 4

Uso de la Notación Funcional

Actividad 4.1 Uso de la Notación Funcional Actividad 4.2 Operaciones y Composición de Funciones Ejercicios Complementarios

UNIDAD II LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES Actividad 5

Razón de Cambio Instantánea

Actividad 5.1 Razón de Cambio Instantánea Actividad 6

La Derivada

Actividad 6.1 La Derivada Actividad 7

Interpretación Geométrica de la Derivada

Actividad 7.1 Interpretación Geométrica de la Derivada

2

Actividad 8

Derivación de Funciones Algebraicas

Actividad 9

Fórmulas de Derivación

Actividad 10

Fórmulas de Derivación

Actividad 11

Uso de Fórmulas de Derivación

Actividad 12

Uso de Fórmulas de Derivación

Actividad 13

Máximos y Mínimos

Actividad 13.1 Problemas de Máximos y Mínimos Actividad 13.2 Aplicaciones de Máximos y Mínimos Actividad 13.3 Problemas sobre Máximos y Mínimos Actividad 13.4 Problemas sobre Máximos y Mínimos Ejercicios Complementarios

UNIDAD III LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES Actividad 14

El Problema Inverso

Actividad 15

La Integral

Actividad 16

La Integral

Actividad 16.1 La Integral Definida Actividad 17

Teorema Fundamental del Cálculo

Actividad 18

Formulas de Integración

Actividad 18.1 Teorema Fundamental del Cálculo Actividad 19

Uso de Formulas de Integración

Actividad 19.1 Teorema Fundamental del Cálculo Actividad 20

Aplicaciones de la Integral Definida

Actividad 20.1 Aplicaciones de la Integral Definida Actividad 20.2 Aplicaciones de la Integral Definida Actividad 20.3 Aplicaciones de la Integral Definida Ejercicios Complementarios

3

Unidad I RAZONES DE CAMBIO Y FUNCIONES

OBJETIVO GENERAL: A partir de diferentes situaciones practicas, conceptualizar razones de cambio y funciones.

4

ACTIVIDAD 1 RAZONES DE CAMBIO OBJETIVO ESPECIFICO: Establecer el concepto de razón de cambio a partir de la relación que surge entre dos variables en un problema de velocidad. Un corredor se encuentra a 10 m del punto de partida de una pista recta, su velocidad es de 5 m/seg y permanece constante durante 10 segundos, sea x su posición con respecto al punto de partida y t el tiempo transcurrido. En primer lugar se puede establecer la relación en forma tabular, para esto es necesario determinar la posición de la persona para cada segundo transcurrido. En la siguiente en la siguiente tabla determine la posición x para cada valor de t:

t

x

0 1 2 3 4 Se observa que al incrementarse el tiempo se incrementa la distancia recorrida, por

∆t = t f − t i = 1 − 0 = 1 ,

ejemplo de t=0 a t=1 seg. hay un incremento distancia es

el incremento de la

∆x = x f − x i =

De acuerdo a lo anterior complete la siguiente tabla para los incrementos entre cada par de valores de t y x, calcule la razón entre los incrementos:

tf

ti

xf

∆t

xi

∆x

∆x / ∆t

¿Es constante el incremento de x, para cada incremento de tiempo t?

¿Qué representa la razón de los incrementos?

Determine una expresión para calcular la posición x del corredor para cada instante de tiempo t.

5

Usando la expresión anterior, calcule la posición del corredor al cumplirse 8 segundos. Dibuje la gráfica de la relación posición- tiempo en el plano cartesiano

¿A que tipo de gráfica dio origen?

Se puede observar que la razón entre los incrementos de la posición y el tiempo, es la pendiente o inclinación de la gráfica obtenida.

6

ACTIVIDAD 1.1 RAZONES DE CAMBIO CONSTANTES OBJETIVO ESPECIFICO: Establecer el concepto de razón de cambio a partir de la relación que surge entre el capital y el tiempo, en una inversión de dinero. La siguiente Tabla muestra el valor futuro de una inversión que resultaría de aplicar una tasa de interés simple del 12% a un capital inicial de $ 1,000,000 , durante un plazo de 6 años. t(años) 0 1 2 3 4 5 6

C($) 1,000,000 1,240,000 1,360,000 1,480,000 1,600,000 1,720,000 1,840,000

Se observa que al incrementarse el tiempo se incrementa el valor futuro, por ejemplo de t=0 a t=1 hay un incremento

∆t = t f − t i = 1 − 0 = 1 año, el incremento del capital es el interés

∆C = C f − C i = De acuerdo a lo anterior complete la siguiente tabla para los incrementos entre cada par de valores de t y C. Calcule la razón entre los incrementos:

tf

ti

Cf

∆t

Ci

∆C

∆C / ∆t

¿Es constante el incremento del capital C, para cada incremento de tiempo t?

¿Qué representa la razón de los incrementos?

Obtenga una expresión para calcular el valor futuro C para cualquier instante de tiempo t.

7

Usando la expresión anterior, calcule el capital acumulado a los 10 años.

Dibuje la gráfica de la relación capital-tiempo en el plano cartesiano

¿A que tipo de gráfica dio origen?

Se puede observar que la razón entre los incrementos del capital y el tiempo, es la pendiente o inclinación de la gráfica obtenida.

8

ACTIVIDAD 1.2 RAZONES DE CAMBIO VARIABLES OBJETIVO ESPECIFICO: A partir de un conjunto de parejas de datos, determinar si la razón de cambio es constante o variable.

En un cultivo de bacterias, se determina la cantidad de bacterias existentes en intervalos de 6 horas, en la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos: Tiempo Cantidad 0 25 6 75 12 195 18 585 24 635 Usando los datos de la tabla, calcula la razón de cambio para cada intervalo de 6 horas

∆t

∆C

∆C

∆t

¿Se mantiene constante la razón de cambio? De acuerdo al fenómeno, ¿ Cuál de las siguientes gráficas es la más representativa? 635

635

25

635

25 0

24

25 0

24

0

Justifica tu respuesta

Menciona otro tipo de fenómenos que tengan este comportamiento

9

24

ACTIVIDAD 1.3 RAZONES DE CAMBIO CONSTANTES OBJETIVO ESPECIFICO: Interpretar físicamente una razón de cambio negativa en un problema de propagación de una enfermedad.

En una ciudad se ha implementado una campaña para combatir el dengue. Durante un periodo de 6 meses se registraron los casos presentados mensualmente, la información se muestra a continuación: t(mes) 1 2 3 4 5 6

N( número de casos) 40 35 30 25 20 15

Sea t el número de mes y N el número de casos reportados, con la información de la tabla, calcule la razón de cambio entre cada uno de los meses:

∆t

∆N

∆N

∆t

¿Qué interpretación da usted a esta razón de cambio?

De las siguientes gráficas, identifica ¿cuál es la que representa mejor el fenómeno?

10

Justifica tu respuesta:

Menciona otros fenómenos que se comporten de la misma forma.

Encuentra la expresión que predice el fenómeno.

¿Cuándo se combatiría totalmente el fenómeno?

11

ACTIVIDAD 2 CONCEPTO DE FUNCIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Establecer el concepto de función a partir de la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos.

El fabricante de un producto tiene un costo fijo de $100 y costos variables de $2 por cada unidad producida, sea C el costo total de producir x cantidad de unidades, se quiere determinar una expresión para calcular el costo total a partir del número de unidades producidas. En la siguiente tabla calcule el costo total para cada número de unidades fabricadas.

x

C

0 1 2 3 4 5 En base a los datos anteriores determine una expresión para calcular el costo total, en términos de las unidades fabricadas.

Usando la expresión calcule el costo total para una producción de 20 unidades.

Calcule el número de unidades para el cual el costo total es de $200. ¿Qué valores es permitido asignar a la variable x? Justifica tu respuesta.

12

Dibuje la gráfica de la relación entre la producción y el costo total.

¿Qué tipo de gráfica tenemos?

¿Se puede decir que para cada valor de la producción x hay un solo valor del costo C?, Explica tu respuesta.

Una relación que tiene la característica anterior se le llama función, ¿Cómo definirías el concepto de función?

Para representar una función se usa una notación especial, para este caso se dice que el costo total es función del número de unidades, esto se simboliza como:

C = f ( x)

La expresión f(x) se lee “f de x”

Para esta función las razones de cambio

∆C / ∆x

13

¿Son constantes?

ACTIVIDAD 2.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener la función que relaciona dos variables cuando la razón de cambio es constante.

Cuando la razón de cambio entre dos variables se mantiene constante o es aproximadamente constante, se dice que son proporcionales (directa o inversamente); en la actividad anterior se encontró que la razón de cambio entre el costo y el número de unidades es constante:

donde

∆C = k ---------(1) ∆x Recordemos que ∆C = C f − C i y ∆x = x f − xi , si tomamos C f = C y x f = x , la razón de incrementos debe ser igual:

un punto cualquiera

C − Ci = k ---------(2) x − xi Como queremos una expresión para calcular el costo para cualquier valor del número de unidades, despejamos C de la ecuación (2):

C − C i = k ( x − xi ) C = Ci + k ( x − xi ) − − − (3) En el problema que se está considerando k=2 . Si tomamos el punto donde xi=0 y Ci=100, al sustituyendo en la formula (3) nos queda:

C = 100 + 2( x − 0) C = 100 + 2 x Es la misma expresión que se obtuvo en forma inductiva en la actividad anterior . Dibuje la gráfica de la relación entre C y x :

14

Entonces podemos concluir que cualquier toda relación que tenga una razón de cambio constante, su gráfica es una línea recta, a la constante k se le conoce como la pendiente y se representa por la letra m. Si a la variable C que es una variable dependiente, la llamamos “ y ” la expresión resultante es:

y = yi + m( x − xi ) donde m =

y f − yi x f − xi

Y x recibe el nombre de variable independiente Para determinar la ecuación de una línea recta, basta con conocer las coordenadas de dos puntos. Al conjunto de valores que se le asignan y que acepta la variable independiente se le denomina Dominio de la función, mientras que el conjunto de valores que adquiere la variable dependiente, recibe el nombre de Contradominio, Rango, Recorrido, Ámbito. Por todo lo anterior, una función se concibe claramente como una dependencia entre variables.

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ACTIVIDAD 2.2 INTERPRETACION DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener la expresión que relaciona dos cantidades que son directamente proporcionales.

Es muy común que las leyes se enuncien usando las palabras “ directamente proporcional”, por ejemplo Galileo encontró que la distancia que recorre un cuerpo en su caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido, esto se escribe:

yα t 2 Para transformar la proporcionalidad en una igualdad, se introduce una constante. La cual recibe el nombre de constante de proporcionalidad:

y = k t2 El valor de k se calcula a partir de un par de valores conocidos de tiempo y altura, en esta situación se sabe que en el primer segundo el cuerpo recorre 4.9 m, sustituyendo en la ecuación anterior y despejando k:

k=

y 4.9 m = 2 = 4. 9 2 2 t 1 s

La función es:

y = 4.9 t 2 Usando la ecuación calcula la distancia que recorre que ha recorrido el cuerpo al cumplirse de 5 segundos:

Completa la siguiente tabla:

t

t2

∆t ∆t 2

y

0 1 2 3 4 5 ¿Son las razones de cambio

¿Son las razones de cambio

∆y

∆t

∆y

constantes?

∆t 2

constante?

16

∆y

∆y

∆t

∆y

∆t 2

Dibuja la gráfica de y con respecto a t. y

t ¿A qué tipo de gráfico dio origen?

2

Dibuja la gráfica de y con respecto a t : y

t

2

¿ A qué tipo se obtuvo?

¿Cuáles son las conclusiones que puedes obtener de este fenómeno?

17

ACTIVIDAD 3 RAZON DE CAMBIO VARIABLE OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar una razón de cambio que no es constante, a partir de un problema de cálculo de volumen.

Se va a construir un canal para el desagüe de un techo, para esto se tiene una lamina de 40 cm de ancho por 5 m de longitud, el canal se construirá como se muestra en la siguiente figura: 500 cm x 40 cm x

x

x Como en los casos anteriores, podemos determinar una función para calcular el volumen del canal en términos de la cantidad a doblar x, se recomienda que se construya un modelo a escala, tomando diferentes valores de x. Si el volumen del cana se obtiene mediante la formula V = A h , donde A es el área de la base y h la altura, obtenga una expresión para calcular el volumen en función de x V=f(x):

En la expresión obtenida ¿Cuáles son los valores que se le pueden asignar a la variable x y para los cuales queda definido un volumen?, Justifica tu respuesta

Usando el intervalo de valores que se pueden asignar a la variable x, completa la tabla siguiente: 3

x (cms.)

V(cm )

Dibuja la gráfica de los datos obtenidos

18

¿Qué tipo de gráfica se obtuvo?

Usando los valores de la tabla anterior, calcula los incrementos y razones de cambio, para esto completa la siguiente tabla:

xf

xi V f

Vi

∆x

∆V

∆V / ∆x

¿Se mantiene la razón de cambio entre la variable x y V constante?

¿Qué información nos proporciona el signo de las razones de cambio?

Como recordaras la razón de cambio ∆V / ∆x representa la pendiente de una recta, pero en este caso la gráfica es una curva, por lo que la razón de cambio representa la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de la curva, a esta recta se le llama secante, dibuja la recta que pasa por los puntos cuyas abscisas son x= 5 cm y x= 10 cm.

ACTIVIDAD 3.1

19

RAZONES DE CAMBIO VARIABLES OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar y analizar una razón de cambio variable a partir de un problema de Ingresos.

Suponga que una empresa se ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es: x = f(p) x = 1500 – 50p -------- (1) Donde x es la cantidad demandada de uno de sus productos en miles de unidades y p indica el precio en pesos. El ingreso total I logrado con la venta de x unidades se expresa como: I = px --------- ( 2) Con estos datos, ¿Cómo se expresa el ingreso total en función del precio?, I = g(p) , sustituyendo la ecuación (1) en la ( 2 ).

Tomando intervalos de 5 pesos en el precio ¿Cuales serán los precios que se pueden asignar?

Con los valores anteriores completa la tabla:

p

I

20

Construye la graficas con la tabla obtenida:

I

p ¿Qué tipo de grafica obtuviste?

¿Cómo crees que se mantenga la razón de cambio, constante o variable?

¿Que valor de p produce el valor máximo de I?

¿Para que precios no habrá ingreso?

¿Qué cantidad se demandaría a ese precio?

¿Qué sucedería si el precio es mayor de $30?

¿Para cuales precios no habrá ingreso?

¿Para que precios aumenta el ingreso y para cuales disminuye?

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ACTIVIDAD 3.2 APLICACIÓN DE LAS RAZONES DE CAMBIO VARIABLES OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener un modelo que de solución a un problema de ubicación para un puesto de urgencias medicas. La siguiente figura muestra las ubicaciones relativas de tres ciudades a lo largo de una carretera costera. Se trata de lugares muy populares de veraneo. Las tres ciudades piensan que su servicio de rescate y atención medica es insuficiente durante la temporada vacacional. Han decidido apoyar de modo conjunto un servicio de atención en casos de urgencia. La pregunta básica se refiere a la ubicación del servicio. UBICACIÓN RELATIVA DE LAS CIUDADES

x1 = 12 Ciudad

Ciudad Ciudad

millas 0

x 2 = 20 x3 = 30

Al elegir la ubicación, se ha aceptado que la distancia entre el servicio y las ciudades deberá ser lo más corta posible, a fin de garantizar tiempos rápidos de respuesta. Otro factor a considerar es el tamaño de la población veraniega de cada ciudad, cuanto más grande sea la población, mayor será el deseo de situar el servicio cerca de ella. La expresión que utilizaremos para seleccionar la ubicación, es reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas “ p ” en miles, por el cuadrado de la distancia “ d ” que existe entre la ciudad y el servicio.

S = ∑ pd 2 = ∑ p ( x − xi ) 2

Donde x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto y

xi la ubicación

de cada ciudad. De acuerdo a lo anterior completa la siguiente tabla, con los datos de población veraniega: Población Distancias p x1000 x

( x − xi ) 2

p ( x − xi ) 2

i

150 100 200 De la ultima columna, suma las expresiones obtenidas:

S = ∑ p ( x − xi ) 2 =

22

Desarrolla los binomios y simplifica:

Nótese que esta función es cuadrática de la forma f ( x) = ax + bx + c , si graficamos se obtiene una parábola que se abre hacia arriba, como se muestra en la figura: 2

S

x En una parábola el vértice se encuentra en

x=−

b , para nuestro problema, cuales son 2a

y b= . los valores de a = Sustitúyelos en la ecuación del vértice y encuentra en donde se instalará el servicio de respuesta de urgencias.

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ACTIVIDAD 3.3 FUNCIONES EXPONENCIALES OBJETIVO ESPECIFICO: Que el alumno analice, comprenda y maneje situaciones prácticas, donde estén presentes las funciones exponenciales. Una persona invierte $ 1000 en una cuenta bancaria que paga el 10 % de Interés compuesto anual. ¿Cuánto se acumulará en dicha cuenta al cabo de 6 años?. 1.- Elaborar una tabla de valores de la cantidad acumulada contra el tiempo transcurrido ( los intereses generan intereses).

Tiempo (años) 0 1 2 3 4 5 6

Valor acumulado ( $)

2.- Analizando el comportamiento anterior, ¿ Se podrá establecer una Ecuación General para obtener el valor futuro en cualquier tiempo?. 3.- Deduzca dicha ecuación, convirtiendo los valores futuro (F) de la tabla anterior a símbolos, considerando capital inicial (P), tasa de interés ( r ) y tiempo o plazo (t).

Tiempo (años) 0 1 2 3 4 . . t

Valor Futuro ($) P P+Pr=P(1+r) P(1+r)+P(1+r)r =

F=

x

4.- La ecuación obtenida. ¿ Es comparable con la expresión general f(x) = b , donde x representa una variable, b>0 y b≠1 ?.

24

5.- Construya una gráfica con los datos obtenidos en el punto 1.

6.- ¿Qué tipo de gráfica generaron los datos?. 7.- Podemos concluir que el comportamiento del interés compuesto en una inversión, es una Función Exponencial creciente.

8.- Mencione al menos dos ejemplos prácticos, donde se apliquen las funciones exponenciales.

Elabore una lista de las Leyes o Propiedades de los Exponentes.

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ACTIVIDAD 3.4 LOGARITMOS

OBJETIVO ESPECIFICO: Hacer uso de las leyes o propiedades de los logaritmos, en una situación práctica como lo es una inversión de dinero en una cuenta bancaria. En muchas aplicaciones practicas de las Matemáticas, es necesario el manejo de los logaritmos y sus propiedades. El cual se define como el exponente al que hay que elevar una base para obtener cierto número. Esto se representa de la siguiente manera:

y = Log b x, si y solo si x = b y Por ejemplo:

Log 2 4 = 2

porque

22 = 4

A la primera se le llama forma logarítmica y la segunda, forma exponencial. ¿ En cuánto tiempo se acumularán $3500 , si son invertidos $1000 en una cuenta que paga el 8 % de interés compuesto anual ?. Utilizando la expresión general obtenida en la actividad 3.3 y haciendo una analogía con la forma exponencial, despeje la variable que representa al tiempo ( t).

F = P(1 + r ) t Para dicho despeje se requiere aplicar algunas leyes de los Logaritmos:

1. − Log b ( MN ) = Log b M + Log b N M  2. − Log b   = Log b M − Log b N N 3. − Log b M a = aLog b M Donde b es cualquier base positiva y diferente de 1. Las más utilizadas son la base (logaritmos naturales) y la base 10 (logaritmos comunes).

26

e

EJERCICIOS I.- Pasar a la forma exponencial, cada expresión dada: a) Log3 27 = 3. b) Log 64 4 = 1/3. c) Log 10 000 = 4. II.- Pasar a la forma logarítmica, cada expresión dada: a) (25)

½

= 5.

4

b) (2) = 16. c) (10)5 = 100 000.

III.-. Encontrar el valor de x, en las siguientes ecuaciones: a) Log2 ( 3x + 4 ) = 5. b) Log3 ( x – 1 ) – Log3 ( 5x + 6 ) = 2. IV.- Encontrar el valor de b, y o x, según sea el caso: a) Logb 49 = 2. b) Log5 x = 3. c) Log144 12 = y. d) Loge 10= y V.- Expresar con un solo logaritmo, la siguiente expresión. 2

3 Logb 8 + Logb 4 – 5 Logb 3.

VI.- Si Log 2 = 0.3010 y Log 3 = 0.4771.Obtener los siguientes valores: a) Log 75. b) Log

60

.

VII.- Encontrar el valor de Log2 5.

27

ACTIVIDAD 4 USO DE LA NOTACIÓN FUNCIONAL OBJETIVO ESPECIFICO: Utilizar la notación funcional para evaluar una función en diferentes valores de su variable independiente. Como se mencionó en las actividades anteriores, cuando se tiene una función se puede representar usando la notación f(x), esta nos sirve para indicar en que valor se evalúa la función, por ejemplo sea

f ( x) = x 2 + 1

y se pide calcular el valor que le asigna la función para x=2,

entonces escribimos:

f (2) = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5 Esto significa que la función f(x) le asigna un valor de 5 al valor de x=2, a los valores que asignamos a la variable independiente, en este caso x, se le llama dominio de la función y a los valores que asigna la función a cada valor de x se le llama contradominio, en el caso de que no se especifique el dominio de una función se consideran todos aquellos valores reales que se pueden sustituir en la variable independiente que tengan un correspondiente valor real de la variable dependiente, por ejemplo la función :

f ( x) =

4 x−2

Se puede sustituir cualquier valor de x, excepto x=2 puesto que este valor produce una división entre cero. Por lo que f(2) no esta definido. Evalúa cada una de las siguientes funciones en el valor indicado:

f ( x) = 3x 2 + 3 x − 2

calcular

f (3) = f (−2) = f (a + 1) =

g ( x) =

x +1 x−3

g ( 4) = g (3) =

h(t ) = t + 1

h(8) = h(−5) =

Investiga en bibliografía adecuada, ¿Cómo se clasifican las funciones de acuerdo a su tipo?

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ACTIVIDAD 4.1 USO DE LA NOTACIÓN FUNCIONAL OBJETIVO ESPECIFICO: Ejercitar la obtención de valores funcionales, operaciones y composición de funciones. Evalúa cada una de las siguientes funciones en el valor indicado y simplifica las operaciones.

f ( x) = 5 − x 2

j (t ) =

;

g ( x) = x 2 + 2 ;

h( x ) = 9 − x 2 ;

t 2 − 4t + 3 x 3 − 2x 2 ; k ( x) = t −1 x−2 Calcular:

f ( 4) = f (−4) = f (a ) = g (5) = g (−5) = h ( 2) = i ( x + 1) = i (3) = j ( 2) = k ( 2) =

k (x + 1) =

f [ g ( 2) ] = g [h(1)] =

3 f (2) − 5 g (6) 2 h ( 0)

29

i ( x) = x 2 − 9

ACTIVIDAD 4.2 OPERACIONES Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES OBJETIVO ESPECIFICO: Efectuar operaciones y composición de funciones

Existen muchas situaciones prácticas en las cuales se requiere aplicar una operación o una composición de funciones. Usando las siguientes funciones realiza las operaciones que se indican:

f ( x) = 5 − x 2

;

g ( x) = x 2 + 2 ;

h( x ) = 9 − x 2 ;

i ( x) = x 2 − 9

a) f(x)+g(x) = b) g(3)+f(1)= c) g(x)-f(x)= d) h(x).i(x)= e) h(x) / i(x)=

Realizar las siguientes composiciones entre funciones: a) f [g(2)]=

b) g[h(0)]=

c) i [f (2)]=

Se observa que en una función compuesta f [ g(x)] , el dominio de f es el contradominio de la función g.

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.-¿Es la diferencia entre dos valores de una variable? 2.- ¿Qué es una razón de cambio? 3.- ¿Qué indica el signo de la razón de cambio? 4.- ¿En una recta decreciente como es la razón de cambio? 5.- ¿En una parábola como es la razón de cambio? 6.- ¿Qué es la pendiente de una recta y como se calcula? 7.- ¿Qué es una función? 8.- ¿Como se llama la variable a la que se asignan valores? 9.-¿ En una función cuadrática, como se sabe si tiene un máximo o un mínimo? 10.- De las siguientes proposiciones señale cuáles son falsas o verdaderas: a) b) c) d) e) f)

Si la razón de cambio es positiva, entonces representa una función decreciente...........( La gráfica de una función constante, es una recta horizontal..........................................( 2 La ecuación y = x, representa una función......................................................................( La función cuadrática tiene como dominio a los números reales.....................................( 2 Si f (x)= √x y g(x) = x + 1.Entonces g(f(4)) no está definido............................................( El salario que recibe una persona por comisiones, es una función..................................(

) ) ) ) ) )

11.- En los siguientes conjuntos de puntos, menciona cuales corresponden a una función y cuales no: a) (2,2),(-2,-1),(2,1),(3,-3) b) (1,3),(2,3),(3,3),(4,4) c) (-1,0),(0,2),(0,3),(-1,2) d) (3,3),(2,-3),(5,2),(0,-1) 12.- Determina la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A) P1(4,-2) P2(5,4)

B) P1(-3,-3) P2(2,-3)

C) P1(-4,-5) P2(-5,-4)

13.- En cada una de las siguientes parábolas localice su vértice y determine si es un máximo o un mínimo. 2

2

A) y = 2x -3x+2

2

B) f(x)= - x + 5

C) g(x)= -3x + 2x 2

14.- ¿ El punto P(2, -3) pertenece a la gráfica de la función f(x)= x + 5x –2 ?.

x −2 x −1 2

15.- Sean la funciones A) f(-3)

f ( x) = 2 x 2 + 2 x − 1

B) g(2)

F) f(x+2)-f(2)

g ( x) =

calcula

C) 2f(-3)+5g(-1)

D) f(t+1)

G) f(x+h)-f(x)

H) El dominio de g. I) El dominio de f.

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E) g(s-1)

16.- Un recipiente con agua se pone al fuego y su temperatura aumenta 5 °C cada minuto que pasa, si la temperatura inicial del agua es de 20 °C: A) complete la siguiente tabla Tiempo Temperatura t T 0 1 2 3 4 5 B) ¿Cómo es la razón de cambio? C) Encuentre la ecuación para calcular la temperatura T en función del tiempo t D) Dibuje la Gráfica de los datos. 17.- La demanda de cierto producto en función del precio se obtiene mediante la expresión x = 5000 − 40 p , donde p es el precio y x el número de unidades, si el ingreso se obtiene mediante la ecuación I= x p , determine: A) B) C) D) E)

La ecuación de ingreso en términos de p Determine el intervalo de valores que se le pueden asignar a p Tomando los precios de 10 en 10 grafique la ecuación de ingreso Determine a que precio se tiene el ingreso máximo y cual es ese ingreso Calcule la razón de cambio del ingreso con respecto al precio entre los valores de p=20 y p=30

18.- Se quiere construir una caja en forma de prisma de base cuadrada, sin tapa, a partir de una lamina de cartón de 50 cm por 50 cm, para esto se cortaran en las esquinas cuadrados idénticos y las caras resultantes se doblarán para formar el prisma como se muestra en la figura: x x x x

x x

x

x

x x Sea x la longitud que se va a cortar en las esquinas, determine una expresión para calcular el volumen de la caja en función de esta cantidad V=f(x) , determine el intervalo de valores que se le pueden asignar a la variable x, dibuja la grafica de la función y calcule el volumen máximo de la caja.

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UNIDAD 2 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

Objetivo General: Utilizar la derivada como una herramienta en el planteamiento y solución de problemas de optimización.

33

ACTIVIDAD 5 RAZON DE CAMBIO INSTANTÁNEA OBJETIVO ESPECIFICO: A partir del análisis de un cuerpo en caída libre, interpretar la velocidad instantánea como un limite al cual se le llama derivada. Un problema muy antiguo es el de determinar la velocidad que tiene un cuerpo en caída libre en cada punto de su trayectoria, se sabe que cuando se deja caer un cuerpo desde una cierta altura, su velocidad se incrementa debido a la fuerza de gravedad, se ha encontrado experimentalmente que la posición del cuerpo, con respecto al punto de donde se dejo caer se obtiene mediante la función:

y=

1 2 gt = f (t ) 2

Donde g es la aceleración de la gravedad, la cual se considera constante con un valor de 2 9,8 m/s al nivel del mar, t es el tiempo transcurrido y y la posición en m, el problema consiste en calcular la velocidad instantánea para t= 3 segundos. Podemos calcular la posición del cuerpo para diferentes valores de t, para esto se te pide completar la siguiente tabla:

t

y = 4.9 t 2 = f (t )

0 1 2 3 4 5 Recordemos que las razones de cambio de la posición con respecto al tiempo representan la velocidad media entre dos valores consecutivos del tiempo, completa la siguiente tabla:

tf

ti y f

∆y

y i ∆t

∆y / ∆t

¿Son las razones de cambio medias constantes? Nuestro problema consiste en calcular la velocidad exactamente en t=3 segundos, la velocidad media entre t=3 y t=4 segundos debe estar cerca del valor de la velocidad que buscamos, si tomamos ahora un ∆t = 0.5 seg. Tendremos la velocidad entre t=3 y t=3.5 seg. La cual debe estar más cercana a la velocidad en t=3 segundos, si ahora hacemos ∆t = 0.1

34

segundos, se obtiene que la velocidad media entre los valores t=3 y t=3.1 seg. que es más cercana a la velocidad en t= 3 segundos. Si continuamos haciendo el ∆t cada vez más pequeño, el valor de la velocidad media se acerca al de la velocidad en el instante t=3, hagamos el proceso anterior en forma tabular:

∆t

t f = 3 + ∆t t i = 3 y f = f (3 + ∆t ) yi = f (3) ∆y f (3 + ∆t ) − f (3) = ∆t ∆t

0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

¿A que valor se acerca el cociente

∆y ∆t

cuando el valor de

∆t

se acerca a cero?

Al proceso de acercamiento anterior se le conoce como el limite y se simboliza de la siguiente manera:

f (3 + ∆t ) − f (3) ∆y = lim ∆t ∆t ∆t → 0 ∆t → 0

lim

En particular a este limite se le conoce como la derivada y para nuestro problema representa la velocidad instantánea.

35

ACTIVIDAD 5.1 RAZONES DE CAMBIO INSTANTÁNEAS OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular la razón de cambio instantánea de una función para un valor de su variable independiente. Dada la función

f ( x) = 8 x 2 + 8 x , calcular la razón de cambio instantánea en x=1.

Como se realizo en la actividad 5, para calcular la razón de cambio instantánea es necesario hacer el proceso de aproximación, para ello completa la siguiente tabla:

∆x

x f = 1 + ∆x

xi = 1 y f = f (1 + ∆x) y i = f (1)

∆y f (1 + ∆x) − f (1) = ∆x ∆x

0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001

¿A que valor se aproxima la razón de cambio media

∆y cuando el valor de ∆x → 0 ? ∆x

Entonces la derivada en x=1 se escribe

f (1 + ∆x ) − f (1) ∆y = lim = ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0

lim

36

ACTIVIDAD 6 LA DERIVADA OBJETIVO ESPECIFICO: Usar la formula de derivación para calcular la velocidad instantánea en diferentes valores del tiempo. Como viste en la actividad anterior, se tuvieron que realizar tablas, cálculos numéricos, gráficas, para obtener el valor de la velocidad instantánea. La formula obtenida para la derivada nos permite ahorrar todo el proceso anterior. Utilizando la formula de derivación calcula la velocidad instantánea en t=3 seg usando la formula de la derivada.

f (3 + ∆t ) − f (3) ∆y = lim ∆t ∆t ∆t → 0 ∆t → 0 Podríamos pensar que al sustituir ∆t = 0 en la lim

expresión se tendría el valor de la

velocidad instantánea, pero que sucede:

∆y f (3 + ∆t ) − f (3) f (3 + 0) − f (3) 0 = lim = = ∆t ∆t 0 0 ∆t → 0 ∆t → 0

lim

Este resultado no es el obtenido por aproximaciones, se observa que lo que causa el problema es la división entre cero, en este limite se busca eliminar el valor de ∆t del denominador, para esto se usa la función 1.- Primero calcular

f (t ) = 4.9t 2 , hagamos las operaciones:

f (3 + ∆t ) = 4.9(3 + ∆t ) 2 =

f (3) = 4.9(3) 2 = 2.- Realizar la operación

f (3 + ∆t ) − f (3) =

3.- Efectuar la división, tratando de sacar

∆t del denominador f (3 + ∆t ) − f (3) = ∆t

∆t

como factor común en el numerador para

eliminarlo con el

4.- Al eliminar la división por cero, entonces se puede calcular el limite sustituyendo

∆t = 0

∆y f (3 + ∆t ) − f (3) = lim = ∆t ∆t ∆t → 0 ∆t → 0

lim

El resultado obtenido se simboliza

f ' (3) =

en t=3”.

37

, el cual se lee “la derivada de la función f

El procedimiento anterior se puede generalizar aun más al tomar un instante cualquiera t, repite el procedimiento para calcular:

f (t + ∆t ) − f (t ) ∆y = lim ∆t ∆t ∆t → 0 ∆t → 0

f ' (t ) = lim

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

El resultado al que debes llegar es

f ' (t ) = 9.8 t

, el cual se puede usar para calcular la

velocidad instantánea para diferentes valores de t. Usando la formula, calcula la velocidad instantáneo en los valores indicados: Para t=4 seg Para t=2.3 seg Para t=5.2 seg. En general si tomamos a

x

como la variable independiente la expresión de la derivada es:

∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = lim ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0

f ' ( x) = lim

38

ACTIVIDAD 6.1 LA DERIVADA OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular la derivada de una función, usando la fórmula que representa su definición. Calcule la derivada de la función derivación.

f ( x) = −2 x 2 + 3x − 10 utilizando la formula de

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x ∆x → 0

f ' ( x) = lim

La consta de cuatro pasos: Paso 1: Obtener

f ( x + ∆x) =

Paso 2: Realizar la operación indicada

f ( x + ∆x) − f ( x)

Paso 3: Efectuar la división entre ∆x , factorizando ∆x en el numerador para eliminarlo con el del denominador:

f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x

Paso 4: Calcular el limite cuando ∆x → 0 , sustituyendo ∆x = 0 :

f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x → 0

f ' ( x) = lim

Evalua la derivada en x = 3 :

39

ACTIVIDAD 7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA OBJETIVO ESPECIFICO: Interpretar la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto.

Al graficar los datos de tiempo y posición del problema de la caída libre de un cuerpo, obtenemos una parábola, como se muestra en la gráfica: f(t)

3 3.1

3.5

4

t

La velocidad media entre los tiempos t=3 y t= 4 seg, es la pendiente de la recta secante que pasa por esos puntos, traza la recta secante en la gráfica anterior. Como queremos saber la velocidad instantánea exactamente en t=3 segundos, podemos hacer el valor de ∆t cada vez más cercano a cero, por ejemplo se ∆t =0.5 segundos, hay que dibujar la recta secante que pasa por t=3 y t= 3.5 segundos, dibújala en la gráfica. Si tomamos ∆t =0.1 los puntos por donde pasa la secante se acercan cada vez más, si continuamos este proceso haciendo ∆t cada vez más pequeño, los puntos prácticamente estarán uno sobre otro y la recta secante tocará a la gráfica en un solo punto, convirtiéndose en una recta tangente, esto solo ocurre en el limite cuando ∆t → 0 , como se menciono en la actividad anterior esto es la derivada.

f (t + ∆t ) − f (t ) ∆y = lim = mT ∆t ∆t ∆t → 0 ∆t → 0

f ' (t ) = lim

40

ACTIVIDAD 7.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

En la actividad 7, se obtuvo que la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente en un punto, es posible obtener la ecuación de esta recta conociendo las coordenadas del punto y la pendiente de la recta ya mencionada, para esto se usará la ecuación:

y = yi + mT ( x − xi )

donde

Obtén la ecuación de la recta tangente a la función

f ' ( xi ) = mT y = x 2 − 8 x + 9 en el punto (3,-6).

Primero hay que derivar la función con la formula:

f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆x ∆x → 0

f ' ( x) = lim

Realiza el proceso de derivación:

Del resultado obtenido f ' ( x) sustituyendo la coordenada x del punto:

= 2 x − 8 , calculamos la pendiente de la tangente

mT = f ' (3) = Sustituyendo en la ecuación de la recta:

y = yi + mT ( x − xi ) Esta es la ecuación de la recta tangente en el punto (3,-6)

41

ACTIVIDAD 8 DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener la derivada de diferentes funciones algebraicas, usando la definición de derivada como formula.

Usando la formula de la derivada

f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆x ∆x → 0

f ' ( x) = lim

derivada de las siguientes funciones:

1.-

f ( x) = 3x 2 + 2 x − 1

2.-

g ( x) =

3.-

h( x ) = x

2 x

42

para calcular la

ACTIVIDAD 9 FORMULAS DE DERIVACIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Derivar funciones algebraicas usando las formulas de derivación

Al utilizar la formula del limita para calcular la derivada de una función, es necesario hacer desarrollos algebraicos que requieren de tiempo y esfuerzo, por este motivo se han obtenido formulas que ayudan a simplificar el trabajo, las usadas para derivar expresiones algebraicas son:

1. − 2. − 3. − 4. − 5. −

d (c ) = 0 dx d ( x) = 1 dx d n ( x ) = nx n −1 dx d [kf ( x)] = k d f ( x) dx dx d [ f ( x) ± g ( x )] = d f ( x) ± d g ( x) dx dx dx

Para aplicar las formulas anteriores se usa el símbolo

d dx

el cual es un operador que

indica que se va a derivar la función con respecto a la variable x, las formulas 1 a la 3 son las básicas, las formulas 4 y 5 se conocen como Teoremas de Linealidad, estas ultimas sirven para derivar cada termino de la expresión. Derivar la función

f ( x ) = 2 x 2 + x − 5 . Primero aplicamos el operador para indicar que

se va a derivar:

d d f ( x) = [2 x 2 + x − 5] dx dx Ahora usamos la formula 5 para que el operador se aplique sobre cada termino:

f ' ( x) =

d d d (2 x 2 ) + ( x ) − (5) dx dx dx

En el segundo y tercer termino podemos aplicar las formulas básicas, pero en el primer termino debemos usar la formula 4 :

f ' ( x) = 2

d 2 d d ( x ) + ( x) − (5) dx dx dx

El resultado final es:

f ' ( x) = 2(2 x 2−1 ) + 1 − 0 = 4 x + 1

43

Siguiendo el procedimiento anterior deriva las siguientes funciones:

f ( x) = 6 x 3 + 5 x 2 − 2 x + 3

g ( x) = 5 x + 5 x 3

h(t ) =

4 t2

x se puede escribir como x

La expresión se puede escribir como

44

1

2

h(t ) = 4t −2

ACTIVIDAD 10 FORMULAS DE DERIVACIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular derivadas de expresiones donde aparezcan potencias de funciones. En este caso usaremos la formula siguiente:

6. −

d [ f ( x)]n = n[ f ( x)]n−1 d f ( x) dx dx

Derivar

f ( x) = (x + 5)

3

f ' ( x) =

primero aplicamos la formula 6:

d d ( x + 3) 3 = 3( x + 3) 3−1 ( x + 3) dx dx

En la segunda parte de la derivada usamos la formula 5 y enseguida las formulas básicas:

d d  f ' ( x ) = 3( x + 3) 2  ( x) + (3) = 3( x + 3) 2 (1) = 3( x + 3) 2 dx   dx Aplicando el procedimiento anterior derivar las funciones:

f ( x ) = 4(2 x 2 + 3) 3

h( x) =

1 (3 x − x ) 3 3

45

g ( x) = x 2 + 4

r ( x) =

5 1 − x2

46

ACTIVIDAD 11 USO DE FORMULAS DE DERIVACIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Obtener derivadas de productos de funciones.

Para derivar productos de funciones se utiliza la formula: 7.-

d [ f ( x ) g ( x)] = f ( x) d g ( x) + g ( x) d f ( x) dx dx dx

f ( x) = x 3 ( x 2 + 2) 2

Usando la formula 7, derivar la función

. En este caso debemos

usar también la formula para derivar una potencia:

d 3 2 [x ( x + 2) 2 ] = x 3 d ( x 2 + 2) 2 + ( x 2 + 2) 2 d x 3 dx dx dx d   = x 3 2( x 2 + 2) 2−1 ( x 2 + 2) + ( x 2 + 2) 2 (3 x 2 ) dx   = x 3 [2( x 2 + 2) 2−1 (2 x )] + ( x 2 + 2) 2 (3x 2 )

f ' ( x) =

= 4 x 4 ( x 2 + 2) + 3x 3 ( x 2 + 2) 2 La expresión obtenida, puede ser simplificada si usamos la factorización:

= x 3 ( x 2 + 2)[4 x + 3( x 2 + 2)] = x 3 ( x 2 + 2)(4 x + 3x 2 + 6) Aplicando el procedimiento descrito, derivar las funciones:

f ( x) = 4 x 2 ( x 3 − 4) 3

g ( x) = x 2 x − 4

47

ACTIVIDAD 12 USO DE FORMULAS DE DERIVACIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular la derivada de cocientes entre funciones

Otra operación muy común es el cociente entre dos funciones, para derivarlo se usa la formula:

8.-

d  f ( x)  = dx  g ( x ) 

g ( x)

d d f ( x) − f ( x ) g ( x ) dx dx ; para g ( x) ≠ 0 2 [g ( x ) ]

Derivar la derivada del siguiente cociente

 d  x =  2 3 dx  ( x + 5)  2

y' = =

( x 2 + 5) 3

x2 y= 2 ( x + 5) 3

d d 2 x − x 2 ( x 2 + 5) 3 dx dx 2 3 2 [( x + 5) ]

( x 2 + 5) 3 (2 x ) − ( x 2 )[3( x 2 + 5) 2 (2 x )] ( x 2 + 5) 6

=

2 x ( x 2 + 5) 3 − 6 x 3 ( x 2 + 5) 2 2 x ( x 2 + 5) 2 [x 2 + 5 − 3x 2 ] = ( x 2 + 5) 6 ( x 2 + 5) 6

=

2 x (5 − 2 x 2 ) ( x 2 + 5) 4

Derivar las siguientes expresiones:

2x4 f ( x) = ( x − 1) 2

g ( x) =

48

x +1 x

ACTIVIDAD 13 MÁXIMOS Y MÍNIMOS OBJETIVO ESPECIFICO: Establecer un procedimiento para calcular los valores máximos y mínimos de una función, usando la derivada.

En la actividad del calculo del volumen del canalón, se obtuvo la expresión

V = 500(40 − 2 x) x = 20000 x − 1000 x 2 donde el valor de la variable independiente debe pertenecer al intervalo 0 < x < 20 , la gráfica de la función es una parábola, como se muestra en la figura: V

0

xc

20

x

Se observa que existe un valor de x donde V toma el valor máximo en el intervalo, nuestro problema consiste en determinar ese valor, que en este caso es c. Usaremos como herramienta la derivada de la función, recordemos que esta proporciona la pendiente de la recta tangente en un punto a una función, si trazamos tangentes en la gráfica anterior podemos darnos cuneta que todas las rectas tangentes antes de c tienen pendiente positiva y las trazadas después de c tienen pendiente negativa, pero ¿Como es la pendiente de la recta tangente exactamente en c? Es igual a cero, entonces donde la pendiente de la recta tangente es cero, la derivada de la función se hace cero, además si la derivada para un valor anterior a c es positiva y para un valor posterior es negativa, podemos asegurar que en x=c, tenemos un valor máximo. Con base en la discusión anterior, ¿Que debe suceder para que una función tenga un valor mínimo en x=c?, Explica tu respuesta.

Para nuestro problema, primero debemos calcular el valor de x=c donde la derivada se hace cero, a este se le conoce como valor critico. Derivando

V '=

V = 20000 − 1000 x 2

e igualando a cero.

d (20000 x − 1000 x 2 ) = 20000 − 2000 x = 0 dx 49

Despejando el valor de x:

20000 − 2000 x = 0 20000 = 2000 x 20000 x= = 10 cm 2000 Esto significa que en x=10 cm se tiene el valor critico, ahora debemos comprobar que se trata de un máximo, para esto debemos dar un valor antes y uno después del valor critico en la derivada, si cambia de signo de positivo a negativo es un máximo.

x=9.5

V ' (9.5) = 20000 − 2000(9.5) = 1000 (+ )

x=10

x=10.5

V ' (10.5) = 20000 − 2000(10.5) = −1000 (−)

Con lo anterior hemos probado que en x=10 cm se tiene el volumen máximo, cuyo valor se obtiene sustituyendo en la función del volumen.

V (10) = 20000(10) − 1000(10) 2 = 100000 cm 3 = 100 litros De acuerdo al problema resuelto, describe una propuesta de los pasos que se deben seguir para calcular valores máximo y mínimos de una función.

Al procedimiento que describiste se le denomina CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

Investigar el criterio de la segunda derivada para la obtención de máximos y mínimos de una función.

50

ACTIVIDAD 13.1 PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS OBJETIVO ESPECIFICO: Plantear y resolver problemas prácticos sobre máximos y mínimos de una función, usando el criterio de la primera derivada.

Una persona desea cercar un terreno rectangular para un jardín, el cual debe tener una 2 superficie de 1296 m . Determine las dimensiones del terreno para utilizar la menor cantidad de cerca posible. Se puede empezar dibujando el terreno rectangular:

A=1296 m2

y

x La cantidad de cerca a utilizar es el perímetro del terreno, ¿cómo se determina dicho perímetro? P= Como se observa, el perímetro depende de dos variables x y y , para calcular el valor mínimo solo debe haber una variable, para esto utilizaremos la información del área, la cual se calcula como el producto del largo por el ancho A = xy = 1296 , de esta expresión podemos despejar cualquiera de las dos variables, por ejemplo y y sustituirla en la formula del perímetro.

La expresión resultante es

P = 2x +

2592 , de esta función calcularemos el valor critico, el x

cual se obtiene derivando e igualando la derivada a cero:

dP d  2592  =  2x +  =0 dx dx  x 

51

Prueba que el valor critico es un mínimo, tomando un valor un poco menor a este y sustitúyelo en la derivada, después toma un valor un poco mayor y también sustitúyelo en la derivada.

xc

Observa los signos de la derivada antes y después del valor critico, si cambio de negativo a positivo el valor critico es un mínimo. Calcula las dimensiones del terreno y el perímetro mínimo.

52

ACTIVIDAD 13.2 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS OBJETIVO ESPECIFICO: Plantear y resolver problemas donde se requiere calcular el valor máximo o mínimo de una función, usando el criterio de la primera derivada. Un campo rectangular va a ser cercado a lo larga de la orilla de un río (no se requiere cerca a lo largo del río). Si el material de la cerca cuesta $80 por metro lineal para los dos extremos y $120 por metro lineal para el lado paralelo al río, determine las dimensiones del terreno de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $36000. Río

A=xy

Y

X En este problema se quiere maximizar el área, la cual se calcula A = xy y como en la actividad anterior depende de dos variables, analizando la información del problema tenemos la restricción del costo, es decir lo que se gasta para la construcción de la cerca debe ser $36000: Costo del material de los lados paralelos = Costo del lado paralelo al río

=

La suma de estos costos debe ser $36000:

De la expresión resultante despejar y y sustituirla el la formula del área, para obtener:

A = x(225 −

3 x) 4

Completa el procedimiento de calculo del valor critico, determina las dimensiones del terreno e interpreta el resultado.

53

ACTIVIDAD 13.3 PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS OBJETIVO ESPECIFICO: Resolver problemas donde se requiere calcular el valor máximo o mínimo de una función, usando el criterio de la primera derivada. Se quiere construir una caja cerrada, de base cuadrada que tenga un volumen de 2000 cm3, el material para las caras superior e inferior cuesta $3 el cm2, y el material para las caras 2 laterales cuesta $1.5 el cm , cuales deben se las dimensiones de la caja para minimizar el costo de su construcción.

y

x x Se quiere minimizar el costo total de la caja, el cual depende de las áreas de las caras multiplicado por el costo de cada una de ellas: Costo de las caras superior e inferior = Costo de las caras laterales = La suma de estos costos es el costo total:

La expresión del costo total depende de dos variables, como se conoce el volumen de la caja x y = 2000 , despejamos el valor de y y se sustituye en la expresión del costo total, obteniéndose: 2

C = 6x 2 +

12000 x

Calcule el valor critico y las dimensiones de la caja

54

ACTIVIDAD 13.4 PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular el valor máximo de una función de utilidad

En condiciones de competencia perfecta, una empresa puede vender los artículos que produce a $200 por unidad. Si C(x) pesos es el costo total de la producción diaria cuando se producen x artículos:

C ( x) = 2 x 2 + 40 x + 1400 Determine el número de unidades que deben producirse diariamente a fin de que la empresa obtenga la máxima ganancia total diaria.

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.- ¿Cuál es la diferencia entre una razón de cambio media y una razón de cambio instantánea? 2.- ¿Qué tipos de interpretación tiene la derivada? 3.- ¿Qué valores puede tomar la pendiente de la recta tangente a una curva, justifica tu respuesta? 4.- ¿Qué sucede donde una función tiene un máximo o un mínimo? 5.- ¿Qué diferencia hay entre un máximo relativo y un máximo absoluto? 6.- ¿En la siguiente figura, indica donde se presentan los valores críticos de la función? A

7.-El punto marcado con la letra A, ¿Es un valor critico?, ¿Qué sucede con la derivada en este punto? f ( x + ∆x ) − f ( x ) lim , calcula la derivada de las siguientes funciones. 8.- Usando la formula ∆x ∆x → 0

a) y = 3 x 2 − 6 x + 1

b) h( x ) =

2 x +1

c) g ( x) = x + 1

9.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a las funciones siguientes, para los valores de x indicados (use las formulas de derivación para calcular la pendiente de la recta tangente):

a) f ( x ) = 4 − 6 x 2 x b) g ( x ) = x +1 c) h( x) = 1 − x

en x = 2 en x = 3 en x = −1

10.- Usando las formulas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones, reduzca el resultado a la mínima expresión:

a) f ( x) = 5 x 2 − 3x + 4 d) f (t ) = t 2 (4 − 5t 2 ) 3

b) g ( x) =

2

x2 − 3 x2 e) f ( x) = 2x + 1

56

c) y =

( x 2 − 5) 3 (2 − x) 3

11.- Calcula los valores críticos de las siguientes funciones. Determina si se trata de un máximo o un mínimo:

a) f ( x) = 3 x 2 − 6 x + 1

b) g ( x) = x 3 + 2 x 2 − x + 4 c) y = 3x 2 + 2

9 x

12.- Una persona quiere delimitar un terreno rectangular de 15000 m , para esto usara una cerca perimetral que tiene un costo de $80 el metro lineal, en el frente del terreno se colocará una barda de ladrillos con un costa de $120 el metro lineal, determine las dimensiones del terreno que tenga el menor costo posible de cercado. 13.- La demanda de un producto en función del precio, se da mediante la relación x=600-5p, si el ingreso se calcula I=xp. Calcule a que precio se tiene el ingreso máximo. 14.- Suponga que en el problema anterior el costo del producto se obtiene mediante la ecuación lineal C=320+20x, la utilidad por la venta de los productos se obtiene mediante la formula U=I-C, calcule a que precio se deben vender los productos para maximizar la utilidad. 15.- El número de bacterias de un cultivo por centímetro cúbico en un lago publico t días después de tratamiento químico, esta dado por la función:

B (t ) = 13t 2 − 78t + 650

0 ≤ t ≤ 7 dias

Determine: ¿Cuando el número de bacterias será mínimo ?. 16.- La concentración de cierto medicamento en la sangre después de t minutos de haberse suministrado se da mediante la expresión

C (t ) = 20t +

la concentración mínima del medicamento

57

50 . Determine en que tiempo se tiene t

UNIDAD III LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES

OBJETIVO GENERAL: Aplicar la antiderivada en el planteamiento y solución de problemas de carácter practico.

b

∫

n

f ( x)dx = lim

∑ f ( x )∆x i

i =1

a

n→∞

58

ACTIVIDAD 14 EL PROBLEMA INVERSO OBJETIVO ESPECIFICO: Interpretar la distancia recorrida por un cuerpo como el área bajo la gráfica de una curva, dentro de dos límites. En la actividad 1, se estudio el problema de un corredor cuya velocidad se mantenía constante en 5 m/s y el cual partió de una posición inicial de 10 m, supongamos que se quiere determinar la distancia recorrida por el corredor de t=3 a t=7 segundos de la carrera. Encontramos que la posición del corredor se obtiene con la expresión x = 10 + 5t , entonces para resolver nuestro problema basta calcular la posición en t=7 segundos y restarle la posición en t=3 segundos. Calcula la posición en t=7 segundos: x(7) = Calcula la posición en t=3 segundos: x(3) =

La distancia recorrida es

∆x = x f − xi = x(7) – x(3) =

Completa las siguientes tablas de la velocidad-tiempo, y posición tiempo:

t (seg)

t

V (m/seg)

0 1 2 3 4 5 6 7

(seg)

x (m)

0 1 2 3 4 5 6 7

Gráfica los datos de las tablas anteriores: v

x

t

t

59

Por cada incremento

∆t

de un segundo, la velocidad se mantiene constante, hay un

incremento de distancia ∆x , el cual se puede calcular como ∆x = v∆t . En la gráfica velocidad-tiempo ¿Qué interpretación geométrica tiene este producto?

De acuerdo a la respuesta anterior, la distancia recorrida desde t=3 a t= 7 segundos, ¿Cómo se puede interpretar?

60

ACTIVIDAD 15 LA INTEGRAL OBJETIVO ESPECIFICO: Aproximar el área bajo una curva como una suma de áreas de regiones rectangulares. Un cuerpo parte del reposo y su velocidad es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido, si se sabe que su velocidad es de 5 m/s después de 2 segundos, calcule la distancia que recorre hasta los 7 segundos. Primero debemos encontrar la función que relaciona la velocidad con el tiempo, se nos dice que la velocidad es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido, esto se simboliza:

v α t2 Para transformar la proporcionalidad en una igualdad se introduce una constante que recibe el nombre de constante de proporcionalidad ( k):

v = kt 2 El valor de k se obtiene al sustituir los valores conocidos de velocidad y tiempo:

5 = k (2) 2 5 k = = 1.25 4 La función buscada es v = 1.25 t

2

Completa la siguiente tabla usando la expresión encontrada :

v (m/seg)

t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

61

Con la información de la tabla, se obtiene la siguiente tabla:

v

3

7

t

La distancia recorrida de t=3 hasta t=7 segundos es el área bajo la curva, en este caso el área no se puede calcular fácilmente puesto que no se trata de una figura regular, en la actividad anterior se obtuvo que por cada incremento del tiempo ∆t se tiene un incremento de distancia ∆x el cual se obtenía como el producto de la velocidad constante v por el incremento de tiempo ∆t , ∆x = v∆t representa el área de un rectángulo cuya altura es v y base ∆t , para este problema la velocidad no se mantiene constante en el intervalo, una posible solución es tomar la velocidad media en el intervalo, completa la siguiente tabla:

Intervalo

1 2 3 4

ti 3 4 5 6

tf

vi

vf

∆t

−

v=

vi + v f 2

_

∆x = v ∆t

4 5 6 7 Suma de los ∆x =

∑ ∆x =

La suma de los ∆x es una aproximación del área bajo la curva, se puede mejorar el valor del área tomando ∆t más pequeño, por ejemplo 0.5, se te pide completar la siguiente tabla:

Intervalo

1 2 3 4 5 6 7 8

ti 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

tf

vi

vf

∆t

−

v=

vi + v f 2

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 Suma de los ∆x =

62

∑ ∆x =

_

∆x = v ∆t

Este valor debe estar más cercano al valor del área en el intervalo, la pregunta es ¿Qué tanto debemos de hacer más pequeño el valor de ∆t , para tener el valor exacto?

Si representamos de manera gráfica el procedimiento, se obtiene que la suma _

representa la suma de rectángulos cuya altura es

v y base ∆t

V

3

4

5

6

7

t

Nótese como los rectángulos aproximan el valor del área bajo la curva.

63

∑ ∆x ,

ACTIVIDAD 16 LA INTEGRAL OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular e interpretar la integral como el limite de una suma

En la actividad 15, se obtuvo que la sumatoria de los incrementos de distancia

∑ ∆x

es

el área aproximada bajo la curva y que al hacer ∆t cada vez más pequeños se tenía una aproximación mejor, al valor al que se acerca la sumatoria cuando el incremento de tiempo se acerca a cero es el limite, esto se puede simbolizar:

lim ∑ ∆x = lim ∆t → 0

_

∑ v ∆t = A

∆t → 0 _

Como la velocidad es función del tiempo, se puede escribir como

v = f (t ) , en particular

t puede se cualquier valor en cada intervalo ∆t ,por facilidad tomaremos el valor medio del intervalo, este limite se le conoce como integral definida y como calcula el área en un intervalo

[a, b], se simboliza:

b

∫

f (t )dt = lim

_

∑ f (t )∆t

a

∆t → 0 En general este se puede escribir como: b

_

∫ f ( x)dx = lim ∑ f ( x)∆x

∆x =

donde

a

b−a n

∆x → 0 Para que el valor de ∆x tienda a cero n debe tender a infinito, pero si utilizamos un valor finito de n, tendremos un valor aproximado de la integral, del área. b

∫

f ( x )dx ≈

a

n

_

∑ f ( x i )∆x i =1

Se pide calcular el área aproximada bajo la función x= 6, dividiendo el intervalo en 8 partes.

Primero debemos calcular

∆x =

b−a = n

64

f ( x) = 2 x 2

en el intervalo de x=2 a

Completar la siguiente tabla: Intervalo n

xi x f

_

x=

xi + x f

_

f ( x)

2

1 2 3 4 5 6 7 8

6

Entonces

∫ (2 x

2

+ 1)dx ≈

2

65

_

f ( x ) ∆x

ACTIVIDAD 16.1 LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular el valor aproximado de una integral definida usando un número finito de subintervalos. Como se menciono en la actividad 16, la integral definida se puede calcular de manera aproximada usando un número finito de intervalos n: b

_

∫ f ( x)dx ≈ ∑ f ( x)∆x

donde

∆x =

a

b−a n

a es el limite inferior de la integral b es el limite superior de la integral ∆x es el ancho de cada intervalo. _

x

es el valor medio de cada intervalo.

Ejemplo: Usando 10 intervalos, calcule el valor aproximado de la integral: 5

∫

x + 5 dx

0

Primero debemos calcular

∆x =

b−a = n

Se te pide completar la siguiente tabla para calcular el valor aproximado de la integral: Intervalo n

xi

xf

_

x=

xi + x f

_

f ( x)

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 _

∑ f ( x)∆x = 5

El valor aproximado de la integral

∫

x + 5 dx

0

66

es:

_

f ( x ) ∆x

ACTIVIDAD 17 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular una integral definida por medio de la antiderivada.

El área bajo una curva en un intervalo se puede calcular por medio del limite de la sumatoria, este proceso es muy laborioso, existe otra forma de calcular el valor exacto de una integral definida, para esto se usa el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO, el cual dice: Sea

f (x)

una función integrable en un intervalo cerrado

b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b a

[a, b], entonces:

= F (b) − F (a) donde F ' ( x) = f ( x)

a

La función F(x) le llama antiderivada y tiene la propiedad de que al derivarse se obtiene la función que se esta integrando, por ejemplo la antiderivada de

que al derivar esta función se obtiene la función original,

f ( x) = x

F ' ( x) =

es

F ( x) =

x2 2

d  x2  2x =x  = dx  2  2

puesto

, esto

significa que para calcular una integral definida, basta encontrar su antiderivada y evaluarla en el limite superior y restarle la función evaluada en el limite inferior, por ejemplo: 4

x2 42 22 ∫2 xdx = 2 = 2 − 2 = 8 − 2 = 6 2 4

¿Es única la antiderivada de una función? Justifica tu respuesta

Si tu respuesta es negativa, propón cuando menos tres antiderivadas de la función

f ( x) = x

67

Por inspección, calcula las siguientes integrales definidas:

4

∫x

2

dx

1

6

∫ ( x + 1)dx 3

2

∫ x dx 3

0

De acuerdo a los resultados obtenidos, ¿Cuál sería la antiderivada de la potencia?

∫x

n

dx =

¿Para que valores de n no es posible usar la formula.? Justifica tu respuesta

68

ACTIVIDAD 18 FORMULAS DE INTEGRACIÓN

OBJETIVO ESPECIFICO: Encontrar la antiderivada de una función por medio de formulas. Como te habrás dado cuenta, para calcular una integral definida es necesario obtener la antiderivada, para esto se han desarrollado formulas, cuando se calcula solamente la antiderivada se dice que la integral es indefinida, al resultado se debe agregar una constante arbitraria (constante de integración c ), puesto que la antiderivada de una función no es única:

1. − ∫ dx = x + c x n +1 2. − ∫ x dx = + c n ≠ −1 n +1 3. − ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx n

4. − ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

∫ (2 x + 1)dx debemos aplicar primero la formula 4: ∫ (2 x + 1)dx = ∫ 2 xdx + ∫1dx

Por ejemplo, para integrar

Enseguida usar la formula 3:

∫ 2 xdx + ∫1dx = 2∫ xdx + 1∫ dx Usando las formulas 1 y 2:

 x1+1   x2  2 ∫ xdx + 1∫ dx = 2 2 + + = x c   2 +x+c 1 1 +     El resultado de la integral es:

∫ (2 x + 1)dx = x

2

+x+c

¿Cómo podemos comprobar que nuestro resultado es correcto?

Realiza la comprobación del resultado obtenido

69

Calcula las siguientes integrales indefinidas usando las formulas de integración:

∫ (3x

∫

2

+ x − 3)dx

x dx

dx

∫x

2

70

ACTIVIDAD 18.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular integrales definidas usando el Teorema Fundamental del Calculo. Una integral definida se puede calcular usando el teorema fundamental del calculo, para esto es necesario primero calcular la antiderivada de la función y enseguida evaluarla en los limites de integración: 1

 x3  1 ( 1 ) + = + = x dx x dx dx ∫−1 ∫−1 ∫−1  3 + c  + [x + c ]−1   −1 1

1

1

2

2

 13    (−1) 3 + c  + [(1 + c) − (−1 + c)] =  + c  −     3  3 8 2 1 1  =  + c + − c  + [1 + c + 1 − c ] = + 2 = 3 3 3  3 Se puede observar que el valor de constante arbitraria se elimina en las dos operaciones, por este motivo en las integrales definidas no es necesario agregar la constante.

x3 ∫ ( x + 1)dx = −∫1 x dx + −∫1 dx = 3 −1 1

1

1

2

2

1

 13 (−1) 3  + x −1 =  −  + (1 − (−1) ) 3 3   −1 1

8 2 1 1 =  +  + (1 + 1) = + 2 = 3 3  3 3 Usando el teorema fundamental del calculo y las formulas de antiderivadas, calcular las siguientes integrales definidas. 3

∫ (1 − x)dx 0

¿Qué indica el valor negativo de la integral? 8

∫ (x

2

+ 2 x − 5)dx

2

71

ACTIVIDAD 19 USO DE FORMULAS DE INTEGRACIÓN OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular integrales indefinidas que contienen potencias de una función En Cálculo Diferencial se usaron formulas para derivar funciones elevadas a una potencia, por ejemplo: 3 f(x) = (x² +5) Su derivada es: f'(x) = 3(x² +5)² 2x Si hacemos la operación inversa, es decir, encontrar una función cuya derivada sea

3( x + 5) 2 2 x , estaremos encontrando la antiderivada, lo que llamamos integral indefinida: 2

∫ 3(2 x

2

+ 3) 2 2 xdx = ( x 2 + 5) 3 + c

Nuestra operación fue sencilla, puesto que conocíamos la función, ahora supongamos que queremos la integral idefinida de (2x²+3)²4x

∫ (2 x

2

+ 3) 2 4 xdx

Para hacer el proceso anterior hay que verificar que la derivada de 2x² + 3 acompañe a la potencia, d/dx(2x²+3) = 4x, como se observa ¡sí lo tenemos!, procedemos en forma análoga al primer ejemplo, solo tendríamos que sumar una unidad al exponente de la potencia, calcula el resultado:

∫ (2 x

2

+ 3) 2 4 xdx =

Derivemos la función obtenida para verificar el resultado:

d [ dx

]=

El resultado no concuerda puesto que nos sobra el valor de 3, esto se puede remediar si dividimos el resultado entre 3:

(2 x 2 + 3) 3 ∫ (2 x + 3) 4 xdx = 3 + c 2

2

72

Verifiquemos de nuevo:

d  (2 x 2 + 3) 3  3(2 x 2 + 3) 2 4 x + c = = (2 x 2 + 3) 2 4 x   dx  3 3  Lo anterior nos sugiere que hay que sumarle uno al exponente de la potencia y dividirla entre el exponente resultante, hagamos otro ejemplo:

∫ (x

3

+ 5) 4 3x 2 dx

3

Verifica que la derivada de x + 5 acompañe a la potencia, encuentra por lo tanto podemos aplicar nuestra regla:

∫ (x

Al derivar

( x 3 + 5) 5 +c 5

3

+ 5) 4 3x 2 dx =

3

d / dx (x3 +5) =

, si se

( x 3 + 5) 5 +c 5

4

obtenemos (x +5) 3x²

Tratemos de generalizar nuestro resultado: Se ha observado que estamos integrando una función elevada a una potencia y además que la derivada de la función acompaña a la potencia:

∫ [ g( x)]

n

g ' ( x )dx

Si se verifica tal condición, la antiderivada se obtendría al sumarle una unidad al exponente y dividir la potencia entre el exponente mas uno:

[g ( x)] ∫ [g ( x)] g ( x)dx =

n +1

n

'

n +1

+c

para n ≠ −1

Para poder expresar lo anterior como un teorema tenemos que demostrarlo en general:

n

Sea f(x)=[g(x)] g'(x) entonces

∫ [ g( x)]

n

g ( x )dx = '

73

[ g ( x)]

n +1

n +1

+c

n ≠ −1

Para demostrar lo anterior basta con derivar

[ g ( x )]

n +1

n +1

+ c y si obtenemos lo que estamos

integrando el teorema quedaría demostrado:

d  [ g ( x )]  dx  n + 1

n +1

 + c= 

Realiza las siguientes integrales:

∫ (6 x

2

− 2) 3 12 xdx =

g ( x) = g ' ( x) =

∫

¿la integral tiene el diferencial completo?

7 x + 5dx = ∫ (7 x + 5) dx = 2

1 2

2

g ( x) = g ' ( x) =

¿la intgral tiene el diferencial completo?

(8 x + 5)dx = ∫ (4 x 2 + 5 x) −3 (8 x + 5)dx = 2 3 + 5 x) g ( x) = g ' ( x) = ¿tiene el diferencial completo?

∫ (4 x

∫ (6 x

2

− 2) 2 xdx

donde g ( x) =

y

g ' ( x) =

En este ejemplo la derivada de g(x) no concuerda con lo que acompaña a la potencia, le hace falta el número 12, para resolver el problema multiplicamos por 12 el valor de x y dividimos entre 12 para no alterar la integral:

∫ (6x 2 − 2) 2 xdx =

1 ( 6 x 2 − 2) 3 2 2 ( 6 x − 2 ) 12 xdx = +c ∫ 12 36

74

A esto se le conoce como completar el diferencial, para que la integral coincida con una formula.

∫ (4 x

2

+ 5) 2 8dx

tratemos de completar con x

g( x) = 4 x 2 + 5 g ' ( x) = 8x 1 (4 x 2 + 5) 3 +c (4 x 2 + 5) 2 8 xdx = ∫ x 3x Verifiquemos el resultado, es decir, la derivada de

 d  (4 x 2 + 5) 3 + c  dx  3x 

=

(4 x 2 + 5) 3 +c 3x

nos debe dar (4x² + 5)² 8.

Derivando como un cociente.

3x[ 3(4 x 2 + 5) 2 8 x] − (4 x 2 + 5) 3 (3) 3(4 x 2 + 5) 2 (12 x − 15) = 9x 2 9x 2

Nuestro resultado no concuerda con el buscado, por este motivo no podemos completar el diferencial con una variable, en este caso la integral no se puede resolver con esta regla. ¿Cuáles son los pasos para aplicar esta regla?

75

ACTIVIDAD 19.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular integrales definidas donde aparezcan potencias de una función.

La formula para integrar potencias de una función, también se puede usar para calcular integrales definidas donde se tengan este tipo de funciones: 1

∫ (x

2

+ 1) 3 xdx

Primero debemos comprobar que el diferencial este completo.

0 1

1 ( x 2 + 1) 4 1  2 4 14  11 2 3 + = + = = x xdx x xdx ( 1 ) 2 ( 1 ) ∫0 ∫  4 − 4 2 4 2 20   0 1  1 15  15 1 = 4 −  =   = g ( x) = x 2 4 2  4  8 2 g ' ( x) = 2 x 1

2

3

Calcular las siguientes integrales definidas: 1

∫

3x + 1 dx

0

2

∫ (x

−2

xdx − 1) 2

2

76

ACTIVIDAD 20 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO ESPECIFICO: Usar la integración definida como una herramienta para resolver problemas prácticos donde se conoce la razón de cambio.

La velocidad instantánea de un automóvil es proporcional al tiempo, se sabe que cuando arranca se encuentra en el origen y que después de 5 segundos su posición es de 80 m, calcule su posición después de 15 segundos. La velocidad instantánea es el cambio instantáneo de la posición con respecto al tiempo

dx , como es proporcional al tiempo, esto se escribe: v= dt dx αt dt Para trasformar la proporcionalidad en una igualdad se introduce una constante:

dx = kt dt Para calcular la posición en 15 segundos, tenemos que obtener la función que relaciona la posición con el tiempo trascurrido x = f (t ) . La velocidad instantánea

v=

dx se puede interpretar como el cociente de dos cantidades dt

muy pequeñas llamadas diferenciales, estos se pueden separar para formar una ecuación:

dx = k t dt A esta ecuación se le llama Ecuación Diferencial y para resolverla se usa el teorema fundamental del calculo, se tiene como condición inicial, que cuando t=0 x=0, como se quiere la posición x en cualquier instante t, integramos: x

t

0

0

∫ dx = ∫ ktdt Resolviendo y usando el teorema fundamental: t

t2  x 0 = k   20 x

 t 2 02  x − 0 = k −  2 2 t2 x=k 2 Para calcular el valor de k, se usa la información de la segunda posición (condición del proceso), tenemos que x= 80 m cundo t=5 segundos.

77

Sustituyendo en la expresión obtenida y despejando k:

t2 2 52 80 = k = k (12.5) 2 80 k= = 6. 4 12.5 x=k

La ecuación resultante es :

t2  x = 6.4  2 x = 3.2 t 2 Calcula la posición para t=15 seg.

¿En que tiempo la posición es de 300 m?

78

ACTIVIDAD 20.1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO ESPECIFICO: Resolver problemas donde se conoce la razón de cambio instantánea, usando la integral definida.

En una empresa se sabe que la razón de cambio instantánea de la utilidad con respecto al número de unidades vendidas es:

x dU = 800 − dx 2 A esta razón se le conoce como utilidad marginal, donde U es la utilidad total y x el número de unidades vendidas. Se pide encontrar la función de utilidad total es términos de las unidades vendidas, si se sabe que la utilidad total es cero cuando el número de unidades vendidas es cero. Primero debemos separar los diferenciales para obtener una ecuación diferencial:

x dU = (800 − )dx 2 Ahora debemos integrar desde la condición inicial x=0 , U=0,( lo que indica que el no vender ninguna unidad, la utilidad es cero), hasta cualquier utilidad U y cualquier número de unidades x: U

x x dU = ∫0 ∫0 (800 − 2 )dx

Resolver la integral:

Evaluar la utilidad para 500 unidades

¿Para que valor de las ventas se tiene la utilidad máxima?

¿Cuál es la utilidad máxima?

79

ACTIVIDAD 20.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO ESPECIFICO: Utilizar la integral definida para resolver problemas donde se conoce la razón de cambio instantánea entre dos variables.

Una organización cívica esta efectuando su campaña anual de recaudación de fondos, que se dedican a un programa de campamento de verano para minusválidos. Los gastos de la compañía se realizan a razón constante de $10000 diarios. Por experiencias se sabe que las aportaciones serán altas en la primera fase de la campaña y tenderán a disminuir con el paso del tiempo. La tasa con que se reciben los fondos por día es:

dD = −100t 2 + 20000 dt Donde t se mide en días y la tasa de cambio en pesos por día. La compañía desea determinar el número de días que debe durar la campaña y cuanto se recauda en ese tiempo. Se observa que la tasa a la que se reciben los donativos, disminuye conforme pasa el tiempo, mientras esta tasa sea mayor a la tasa de los gastos de la campaña se tendrá utilidad, el punto critico a partir del cual se tienen perdidas es cuando la tasa a la que se reciben los donativos es igual a la tasa con que ase efectúan los gastos.

dD = −100t 2 + 20000 = 10000 dt Despeja el valor de t:

El resultado debe ser t=10 días, los donativos totales serán los obtenidos desde t=0 a t=10 días, para esto debemos tener la función de donativos totales, separando la tasa de donativos e integrando:

dD = (−100t 2 + 20000)dt D

t

0

0

2 ∫ dD = ∫ (−100t + 20000)dt

Efectúa la integral y sustituye el valor de t=10 para obtener los ingresos máximos.

¿Cuál es la utilidad total para esos 10 días?

80

ACTIVIDAD 20.3 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO ESPECIFICO: Resolver problemas donde se conoce la razón de cambio instantánea por medio de la integral definida.

En una ciudad se ha encontrado que la tasa a la que se cometen delitos por día, es muy alta a principios del año pero disminuye a mediados de este, la tasa se puede aproximar mediante la ecuación:

dN = 5 − 0.1t dt Donde N es el número de delitos cometidos y t el tiempo en días. Considerando que al principio del año se cometen 80 delitos diarios, se pide determinar en numero de delitos que se cometen después de 30 días. Transformar la razón de cambio en una ecuación diferencial:

Integrar cada miembro, para el número de delitos integrar de 80 a N y para el tiempo de 0 a t:

Sustituir en la ecuación resultante t=30

Calcular el número de delitos cometidos de t=10 a t=40 días.

81

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.- ¿Cuál es la diferencia entre una integral definida y una indefinida? 2.- ¿Por qué es necesario agregar una constante de integración a una integral indefinida? 3.- En la integral como suma, se usaron rectángulos para aproximar el área, ¿ Es posible utilizar otras figuras geométricas?, justifica tu respuesta. 4.- ¿Qué es una antiderivada? 5.- Calcula el valor aproximado de las siguientes integrales usando n = 8 . Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, determine el valor exacto. 1

5

2 ∫ (2 x + 1)dx

∫

1

0

x 2 + 1 xdx

6.-Realiza las siguientes integrales indefinidas

∫ (3x

2

+ 2 x − 1)dx

2

∫ (x

2

+ 1) dx

∫ (3x − 2 ) dx

2

3

0

∫

3 − 5 x 2 xdx

∫ (2 x

xdx 2 + 4) 4

∫

7.- La utilidad marginal de una empresa se obtiene mediante la expresión

3

dx 1− x

dU = 500 − 0.4 x , dx

donde U es la utilidad total y x el número de unidades vendidas, si la utilidad es cero cuando las ventas son cero, determine: a) La ecuación de utilidad total en función del número de unidades b) La utilidad total cuando las ventas son de 400 unidades c) El incremento de utilidad cuando las ventas se incrementan de 500 a 700 unidades d) El nivel de ventas para el cual la utilidad es máxima 8.- Se ha encontrado que la rapidez instantánea de crecimiento de una planta es proporcional a la edad de la misma, sea C el crecimiento en centímetros y t el tiempo en años, si el crecimiento es cero para el tiempo cero y es de 25 cm después de 2 años, determine: a) La expresión que relaciona la rapidez de crecimiento instantáneo con el tiempo dC/dt. b) La expresión para calcular el crecimiento de la planta para cualquier instante t. c) Cuanto creció la planta del año 4 al año 7. 9.- La razón de reacción o de sensibilidad de una persona a una droga especifica t horas después de que se administra, esta dada por la expresión:

ds 3 4 = + dt t 2 t 3 Calcule la intensidad de la reacción desde t=1 hasta t=8 horas. 10.- Una tubería de un plataforma derrama petróleo al mar a razón de

dB = (35t + 80) , donde B dt

es el número de barriles y t el tiempo en horas, calcule el número de barriles que se derramaron el primer día.

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ESCENARIOS INFORMATIVOS Roland E. Larson et. al. 1999 Cálculo y geometría analítica. México, McGraw Hill, 895 pp.

Frank Ayres y Elliot Mendelson 2001 Cálculo. México, McGraw Hill: Serie Shawm, 596 pp. Stefan Banach 1996 Cálculo diferencial e integral. México, Limusa, 387 pp. Páginas de Internet: http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/calculo.html http://euler.us.es/~libros/calculo.html http://archives.math.utk.edu/calculus/crol.htmlhttp://archives.math.utk.edu/calculus/ crol.html http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/calculo2.htm

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