( 38

4.

LA FORMA DEL ARBOL y SU VOLUMEN Al trazar un corte verticalmente por la méd'ula de un árbol se obtiene como resultado una Unea característica de su contorno de configurac i6n, llamada éurva del fus te. Algunos árboles presentan un contorno convexo desde el pie hasta una fracci6n de su altura, luego pueeen presentar un contorno recto o c6nca vO hasta las ramas, etc. Las propiedades particulares de los árboles, las influencias ajenas, y las medidas silviculturales provocan divergencias de forma con respecto a la forma ideal que se tenga de ellos. .'

Por ejemplo las especies de hoja ancha subdividen su tronco .ea 'ra. mas gruesas de modo que se pierde el caracter monopodial, especialmente en árboles que crecen aisladamente, pero cuando se aumenta su densidad, las ramas se someten a proces6s naturales, ( como la poda natural), que limitan el tamaño de ellos. Un espaciamiento amplio provoca un reforzado del pie del árbol y levantamientos en ciertos puntos de inflexi6n. Las coníferas aisladas se acercan a una figura de tronco de cono lineal. En conjunto, a veces se vuelven ciHndricos o casi ciIfndricos al igual que las especies de hoja ancha en bosques densos de cierto tipo. Han sido propuestas algunas teorfas para explicar las leyes que regulan la forma del tronco del árbol. Las"teorfas fisiol6gicas " representadas por Pressler y Jaccard, se fundamentan enlas funciones de transporte de savia yagua dentro del tronco y las presiones internas liberadas en él. Las11 teorías mecánicas 11 , representadas por Metzger, Hoenadl, etc. tienen como base las cargas y tensiones dinámicas y mecánicas originadas por viento, densidad del árbol y peso de sus partes, colnO factor muy importante para la configuraci6n del tronco. .

Una teorfa moderada es .aquella que Itonjuga ambas tendencias. Generalmente el corte de una secci6n transversal no señalará una forma circular, sino más bien una forma elfptica u ovalada ya que por acciones de la estática natural, el árbol se refuerza para contrarestar agentes externos. Asf el diámetro mayor se muestra a menudo; como es de esperarse, en la direcci6n del viento, y en los pendientes en la direcci6n de la vertiente. La divergencia de la •

( 39 forma circular, es una consecuencia de la fuerza del viento y de la gra vedad en las ve:rtientes, como se puede observar en los ár~oles localizados en los pe rfmetros de 105 roda1e·s. Esta s ituaci6n se conserva con la altura. Idealmente se sabe que los cuerpos naturales vivos en su crecimiento están sometidos a la ley de la simetría, y será ésta la que se usará para ciertas características ideales del tronco. El árbol crece normalmente en una forma ideal con un tronco derecho y vertical, con sus cortes transversales en forma de crrcu10 cuyo centro 10 constituye la médula, la cual puede considerarse como el eje de simetrfa y de equilibrio deltronco. Un corte longitudinal del tronco que pa!"e por. el eje de simetrfa ·revela en sus lados exteriores una curva de contorno, a cuya rotaci6n alrededor del eje de simetría se debe la forma y volumen del tronco. Entonces, suponiendo que las secciones transversales son de forma circular se considerará el árbol o su tronco, como un cuerpo de rotaci6n que al final resultará ser la comninaci6n de figuras estereométricas (cilindros), paraboides, conos, neiloides, e intermedia s entre ellos). •

!~f" 1)1:' fP'OT4ClO

1 1

1 1

I

La médula corresponde al eje de rotaci6n, la circunferencia transversal es asimilable a la directriz y la recta o curva externa del perímetro longitudinal es la generatriz de un cuerpo de rotaci6n. La mayoría de las veces, la forma del tronco nO es más que una combinaci6n de es tas figuras estereométricas.

1

----( 40 •

•

P:'2ABOLOIPc 'TeUAJC ¿DO

§

§' ti

O

-

---



j-~

DJFEeEN1E'S bE FAGT'OR HCN4

j(

La f6rmula de Huber

V

= 11

b'lh

= ~h.

4

Utilizando un proceso similar al anteriormente descrito para Smalian en base a solo dos áreas a cualquier altura entre ellas. se puede escribir

9~ = a + bX

•

(.6 9 ~ = a

En la figura

,

+ bX,

9JZ, = a + bXn

--11..

Sustituyendo X,

y Xn = h

2

~=

-

+ bh/2

a

~11. ;:: a

--

+ bh.

~"-gl --

a+bl a + 2b.t

bl

Se pueden conocer entonces a y b

g, - b¿

a ;:

y.bl = ~n/ a ;:: ~,

-

SI (~" -

8J

-

.)

El volumen quedará entonces como:

V ;::

f,e o

,gs,¡edX ;::

V -- 2 a V

4.10.2.1

Jze

1+

"

(a + bX )

dx -- a X + bX 2

b

l

2b! = 2 ) ( a + b f )

"\d) \- _

-- 2 fi} ;: h ~

D.j'

Error al aplicar Huber a cuerpos estereo-métricos regulares Usando el mismo procedimiento que para Smalian A = V Huber - V verdadero.

•

ze

Z

J

el error

Como se habra deducido previamente el volumen de un sólido conocido su diámetroa cualquier altura sobre el piso J

V ;:: 1

r+1 cuando

a ;::

¿

7T 4

el!

~

ro Ti •

2 • •

.

b'

\

( 70

v = ~.-1 1'+1 para el caso V

Ll=~h

-

--

1 y+ 1

r

.tl h r+ 1

2

r

11

2

)

-

h.

'1

2 h " (1 -

r

r+

1

4.11.2.1.1. ~rror con respecto al cilindro

r

=0

{ 1 - -T ]

=0

Se sabe que para el cilindro

ll==~h

411.2.1.2 Error de Huber con respecto al Para el paraboloide

r

paraboloid~

== 1

El valor obtenido hace hasta el momento más confiable la f6rmula de Huber. 4.11.2.1.3 Error con respecto al Conoide y Neiloide Como

t'

= 2

~- -h 3

-

La fórmula de Huber para el cono entero de volúmenes menores en la tercera parte del volumen exacto. Con respecto al Neiloide ~ = - "l.h, es decir que aplicada al neiloide entero dará solamente la mitad del volumen exacto. Por 10 anterior, se puede apreciar que la f6rmula de Huber es aplicable estrictamente para el cilindro y paraboloide", sieD:.do inaceptable para conoides y neiloides. 4.11.2.1.3 Error con respecto al cono truncado Este volumen

V = h/3

rr/4

( J~ + do

dn

+ J~

) •

..

.' escribir

En la fórmula de Huber es posible en vez de = do + dn 2

S

Con lo cual V Huber

7í 52. h

=~h -

[ d~

Entonces

para el cono truncado

7J

=

4 vh=h 4

(71

h

4

+ d~

+ 2do dn 4

t

dO

; dn

r

]

será

IJ.

( d~ + 2

=

f:¡ = -

do dn + d~ ) - 7T h 434

(d~+

do

dn+~~)

7íh 48

En general entonces,al analizar la f6rmula de Huber, varios autores han hecho estudios para arboles en particular, dando resultados que no tienen validez entre nosotros por lo exclusivos, pero que muestran un camino a seguir cuando se quiera emplear esta f6rmula. 4.11.3 F6rmula de Newton La f6rmula de Newton para el volumen de conoides truncados es

-rr

V = h

-

6

(d~ + d~ + 4 8")

4

Usando el mismo procedimiento que para Smalian y Huber se puede llegar a la f6rmula de Newton • •

l---~~

t I I

~ I

-

, o

"a ~

al" ~ : Ir ci' ':

----

-

r1 -

t i ,'

-

, '1

\

\ l'

•

-

t.;' ~ -::::_-~~ \1r _--- I 11

-

-

-

-

---,

I

I

1

1

I

I r" I

II )(J1.

. { ----iCi*~ j)

I

71

•

ca

( 72

e.

Observe que el diárre tro di ;::: el tom~do en el punto medio de la altura total que se quiere cubicar. . Se parte de la ecuaci6n de la generatriz 'Y~ a + bX ... e x~ ~5d~JCJ las secciones transversales 8ft., ~o gn. , con alturas o abscisas Xo o , Xl;::: ~ X",;::: 2 ~ h. con ellos se obtiene

=

=

t,= a

+ bxo

+ Cxt

;::: a

Cx~

::: a

~/;:::

a + bx! +

~'l=

a + bxn + Cx!1. ;::: a +lbe

+ b.f+

c

+4

¿t C

ez.

Operando con las ecuaciones anteriores se obtiene

g, -$ o;::: b.l... c ¿

(1)

2-

(2)-:~ - n = b.f + 3 C t z ~n. ~ • (3)

!tt - 2.f,+ 1.;:::

2cR2.

Con lo cual es posible determinar los coeficientes a, b, c. V

;:ze ;:::~ ~%. d x.;::: ;:::ax+ bx'"

j~e o

+ bx + cx 2

( a

+ cx

2

3

le

]

3

V = 6a.R+ 6bt'+ 8 C¿ = 3

dx /). 4b(' 2

D

J

f)'l

A = 2a.(+

)

/J -C 3

(6a +

6b~

+

/)3

8Ct' 3 1

+8C¿ )

Despejando de las ecuaciones anteriores los coeficientes se encuentra.

a ;:::

(4)

b ~;::: J¡

(5)

C/'-=

- fo _ C f

t

.9n - 21, +1c 2

Llevando (5) a (4).

•

( 73

(4g,- 3t. -fn ) + 4'(gn - 2"

~(lT - 3

ComQ

!.

-

~

+

do

4

+3.~

r ¿

17 " dn) 4

h

6

3 V

t

=-h -7T { do 6 4

+

c1; + 4

~~')

La fórmula de Newton vale tanto rara el paraboloide truncado, co mo también para el cono y neiloide truncados. Tanto esta fórmula como la de Smalian tienen como defecto el hacer los cálculos usando la base inferior del tronco, es decir con la base cerca del suelo cuya forma es irregular muy a menudo por lo cual la dete rminación del diámetro do. tropieza con dificultades • • • e lmpreclslones. 4.11.4 F6rmula de Simony La f6rmula de Simony fue publicada en el año de 1876. Vsi =

.h.... . (ZSl/4 + Zg3/4 -

f)

3 Para esta fórmula se divide la altura del tronco en 4 partes iguales.

I "" 1/

I

I

r I

I \

Se miden los diá metros en cada una de estas partes .

•

I

•

,

( 74

En la figura

1=

h/4 •

x, = ,t XI.=

21

x$

=

3'¿

x,.;::

4.f

•

=h 2

Como se sabe la f6rmula general de la generatriz y

S

't

;:: A + BX + CX + DX +

Aplicando como en Smalian ---- etc. la sustitutiva.

~x = a + bx' + cx?+ dx3 Se obtienen las siguientes ecuaciones

g, = a

J)~

t.

+ b~+ e.f+ d¿::

~= a

+

2b~+ 4c¿\ 8

93;::

+

3b

a

3

d1

i + 9 cJ+'" 27 d R! !J'l

11 3

~;:: a + 4b--t + 16 c' + 64d<

Se determinan los coeficientes a, b, c, d Y se llevan a la ecuaci6n del volumen.

1I

V ;::

( a +bx + cx~+ dx 3

)

dx

f

Nota: En la f6rmula de Simony es el área tomada en h/2 y se elimina el problema de usar diámetros en la base . •

,]lJ

I

4.11.5 F6rmula de, cubicaci6n en base al diámetro eromedio El diámetro promedio es el tomado como promedio de los dos diámetros extremos do y dn. d~

= do + dn 2

La f6rmula para el volumen del tronco sera V ;::

1l h • (l m

)

4-

Esta f6rmula de;¡. resultados no muy exactos, lo cual se puede veri•

o"

, ficar

(- 75

..

encontrando 10s!J. para cada figura.

Cubicaci6n por secciones

•

El volumen de un t ronco o de una troza se puede encontra r cada ve z son maY0t...exactitud dividiéndolo en secciones pequeñas. Al estudiar algun a s de las muchas f6rmulas propuestas para cubicar conoides en el nurnel"a l anterior, se observa que la exactitud va aumentando el grado de comp ~e j idad para solucionar el problema, lo cual puede obviarse (lo complejo), aumentando el tiem.po de trabajo seguramente, o algún otro parámetro . Para la cubicaci6n por secciones se divide el tronco en varias de ellas a las cuales se les dará el tratamiento de cilindros aunque se afecte un poco la precis i6n. 4 .12.1 f6rmula de Breym.an, En 1865 se propone por parte del autor la siguiente f6rmula de cubicaci6n para conoides truncados, partiendo la altura en 3 partes iguales.

+

= h

-8

)

3

tt

~

~ I

go

.

" \ t IT~r~

J. H -

'" 1 , \ 1I I

I

__

(:.1-g~.3

! ,. .L

_____ ~I

'" III \

,

e -*)(, -t

J )J

~

La notaci6n8 1/3 , 2/3 , significa la búsqueda del diámetro.a 1/3, 2/3 etc. de la altura del tronco, Como para las f6rmulas anteriores se recurre a la f6rmula general de la generatriz. ~

~ x

=a

+ bx + exZ+ dx:5 + - - - •

•

n

( 76

,1

y para cada valor de X ;:: O

z

t, 3 ¿ . se "tiene

+ bxo + cx~ + dx;

90= a

=a •

etc. se bus can todos

108

coeficientes.

4.12. Z F6rmula de Smalian para cubicaci6n por secciones Para ello se divide el tronco en cierto número de secciones de igual altura

¿ ..

,~

• seCClones Se calculan los volúmenes de las distintas

=.!{gofá,

VI

--

)

1 -

( $0 + 11)

2

2 V, --

~

( ~, + 8z.)

.-

2

.,,-1 -

V

V1t

--

V

r

-

Vr

-

~

•

( glt-~ + gn-/)

Z

• 1 ( B"-1 g" ) 2 . ¿ (SofÉI +9IfS21---+g,,-zfg.,-'+ ~"-I+g,,) f

2

.t (g. + zg,t28'1.+

---12g~_J I-g't)

2 V7

-

(

/. f

Z

~+t

+ gI

r

g

t.

~

- - -f

7,,-1 )

•

( 77

4.12.3

F6rmula seg1.Úl Huber• Aplicando el mismo proceso anterior, V,

=

V2

=

t ti/. z ¿ 1'(,

I

I

•

, I

Vn /

-,

4 .12 A

• Método de N ewt?n -R ieke- o regla de Si.npson La f6rmula de Newton para cubicaci6n de troncos es

=.l!. (~D +

V

.6

.

Se puede aplicar en dos cualquiera de secciones ellas medir el diámetro do dos !!lecciones en una mero par de secciones.

•

,

4

11.

+

Bn

)

formas, dividiendo el tronco en un número de igual longitud "l." y en cada una de superior, medio e ÍJjlferior; o también uniencon un largo = 2 k I pero tomando un nú -

~~ ~ I I

• I

ql ~f

I

~ I

I

I

I I

I

,

I I

.f

•

, I

I I

I

I I

I I

I

~

I I

1.. ·,

,

,

I

I

I

J I ~n., I I

, \L

~

r ~.. I I

\U

~ ••

I I

~ I I

I

v, I ---

k •

En el primer caso

vJ = •

-6

I

V"/~~

,, I I

- -f (fn-

Vn

( 78 1

+ 4/1[ + ··~n

)

6 Sumando y sustituyendo valores

v

I

=

6 En el segundo caso cuando se unifican dos secciones en una sola con largo z.f ,y se calcula el volumen usando la misma f6rmula de Newton.

=

\,

v

=

1

2

6

Z.t'

V=

( g.

( g~ +

6

Vn =

Z...e

ge .-)

+ 4 &, +

a~

4g~+

+ 4é n-,+ ~'t

(&n-2

) )

6 Vt

=2¿ 6

Vt =

1. -

{~o + ~n

3

Esta última f6rmLlla es la conocida como f6rmula de SII'''lpson. 4.12.5 Cubicaci6n po~ Secciones de Hoenadl. Cuando se estudi6 la teorla del factor m6rfico, se adelant6 en parte éste método. Hoenedlpropone dividir la traza en 5, lO, o más secciones, pero recomendando como 5 al núme ro que puede dar muy buenos resultados. ~ 1

1I

I

I

I I

I

r:¡~.1

I II 1 1\

Ir¡ I

,

I I

,'¡.!toa

_ IJ.¡. _ , 1,

I

,

\ II \

I

III

.d.o,;

~

1\ "I

o. z t.

I

1

I el"" A

I

1

I

__ ' d_~_.i _ _ _

•

fL-

:=

1 ( ,

,.

•-, -,

1,

,

,. ,

I

•

( 87

.. •

•

4.15

Hallazgo ,de la Altura M6rfica usando el Relascopio de Bitterlich. (4) Este concepto se encuentra en alguna literatura de la casa constructora del Relascopio como "medida directa del producto de la altura y el factor m6rfico (mediada! h }I'.

Id

.-

Para ello se basa Bitterlich en el punto de la altura indicadora de Pressler, que como se sabe es aquel punto de la al ... tura de un árbol para el cual se encuentra un diámetro d~D. A. P. /2. Para encontrar este punto llamado "Richpunkt", se recomienda el -qso de la escala de altura 25 del relascopio, en uni6n de la franja de 1, sola o con algunas de las franjitas adyacentes, para lo cual se dan las siguientes normas; de acuerdo a la franja que se use. 4.l5.1.U80 de la escala 1, más las cuatro franjas adyacentes Se busca la distancia correcta desde el árbol, para la cual coincidan el D. A. P. y la franja de 1 más las cuatro siguientes. Se inclina luego el relascopio hasta que algún diámetro del árbol coincida con la franja de "1" solamente .

•

Se lee la escala de 25m entre este punto y la base del árbol (recuerde que L= Lo-(- Lu) ~ Lo Lu •

I

L

~

Lo = altura por encima de la horizontal.

altura total

Lu = altura por debajo de la horizontal.

/

( 88 .H

El resultado L s e multiplica por 2/3, con lo cual se obtiene la altura m6rfica relativa. 4.15.2. Uso de la escala "1", más dos franjas adyacentes. Como en el caso anterior, se procede a buscar la distancia conveniente, en la cual el D. A. P. coincida con la franja "1" más dos adyacentes. Luego se inclina el relascopio hasta el punto en que algún diámetro coincida con el ancho de tres franjas adyacentes de las pequeñas, y se lee entonces la altura en la. escala de 25m, la cual debe ser corregida multiplicando por 8/9. 4.15.3. Uso de la Escala "1" Se procede como en los casos anteriores, obteniendo el punto de Pressler cuando algún diámetro en especial coincida con dos franjitas de las pequeñas, obteniéndose la altura m6rfica, al multiplicar el valor encontrado en la escala de 25lTl por 4/3 4.15.4 Altura M6rfica de árboles inclinados ( con Relascopio) Para árboles inclinados o deformados, se considera la parte más gruesa de ellos como la prolongaci6J'l formal del tronco. Para obtenerla se usa el procedimiento anterior, usando inclinadamente el relascopio y describiendo un cifculo hasta la vertical hipotética que hubiera ocupado el tronco si fuera recto. La siguiente figura aclar a el proceso para troncos bifurcados y para troncos defectuosos o torcidos.

l' I1

I1 \.~-

I I I \

1 \

I \

-