Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones 5.1.- Integración con Mathematica o Integrales indefinidas e integrales definidas Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión, variable] Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada Integrate[expresión,{variable,a,b}] Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b]. Ambas instrucciones pueden también indicarse directamente mediante los símbolos:

(integral indefinida)

(integral definida)

que figuran en la paleta BasicInput.

o Integración de expresiones simbólicas Mathematica también nos permite calcular la integral de determinadas expresiones simbólicas. Lo que hace el programa es, en definitiva, mostrarnos la fórmula de integración de determinadas expresiones.

Y, por supuesto, Mathematica conoce el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

y la regla de Leibniz

o Integrales impropias Para calcular integrales impropias aplicamos la definición correspondiente según se trate de integrales impropias de 1ª, 2ª o 3ª especie.

Ejemplo 5.1 Calcular las siguientes integrales impropias:

La integral es convergente.

La integral es convergente.

La integral es divergente.

Mathematica calcula directamente integrales impropias en el caso de que se trate de integrales convergentes y nos presenta un mensaje en aquellos casos en los que la integral no sea convergente.

o Valor aproximado de una integral El programa Mathematica tiene, como era de esperar, sus limitaciones a la hora de calcular ciertas integrales. De hecho, no siempre es capaz de darnos el valor exacto de una integral y en ocasiones dicho resultado viene expresado en términos de ciertas funciones especiales que el programa tiene definidas. Sin embargo, en ambas situaciones podemos pedirle que nos dé un valor aproximado de la integral.

En este ejemplo, Mathematica nos devuelve el valor exacto de la integral en términos de la función especial Erf (que se denomina función error y viene dada por

Erf ( z ) =

2

π

∫

z

0

2

e − z dz ,

es decir, se trata de la integral de la función de densidad de la distribución de Gauss o distribución normal de media 0 y desviación típica 1). Para obtener un valor aproximado podemos utilizar el comando N

Sin embargo, Mathematica dispone de una instrucción específica, NIntegrate, para calcular el valor aproximado de una integral definida y cuya sintaxis es la siguiente: NIntegrate[expresión, {variable,a,b}] Calcula un valor aproximado de la integral de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b].

Aunque el resultado mostrado por las instrucciones anteriores es el mismo, hemos de indicar que la forma de operar es bien distinta. Fuerza al programa a calcular el valor exacto de la integral y a continuación nos muestra un valor aproximado. Aplica fórmulas de integración numérica para calcular directamente un valor aproximado de la integral.

Observación: Las fórmulas de integración numérica que utiliza Mathematica al aplicar la instrucción NIntegrate funcionan bastante bien cuando se trata de calcular valores aproximados de integrales definidas en intervalos acotados. Por el contrario, no ocurre lo mismo si aplicamos la instrucción NIntegrate para calcular valores aproximados de integrales impropias definidas en intervalos no acotados.

El programa nos devuelve el valor exacto de la integral impropia en términos de la función especial Si(z). Ahora con el comando N podemos obtener un valor aproximado.

Sin embargo, si utilizamos la función NIntegrate, obtenemos:

Mathematica nos avisa de que el resultado mostrado no es demasiado fiable. De hecho, el resultado mostrado es muy distinto del resultado real.

5.2.- Aplicaciones de la integral o Cálculo de áreas de recintos planos El área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b] viene dada por

Si conocemos los puntos de corte de ambas gráficas en el intervalo [a,b], la integral anterior puede calcularse como

En el caso particular de que g = 0 se obtiene el área limitada por la curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b]

Si conocemos los puntos de corte de la gráfica y = f (x) con el eje OX, la integral anterior se puede calcular como:

Mathematica permite visualizar al área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b], mediante la instrucción FilledPlot, cuya sintaxis es la siguiente: FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b]. FilledPlot[f[x],{x,a,b}] Visualiza el área limitada por las curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b]. Para utilizar al instrucción FilledPlot hay que cargar el paquete Graphics`FilledPlot`

Ejemplo 5.2 a) Calcular el área limitada por la parábola y = x2 -3x y el eje OX en el intervalo [-1,1]. El área viene dada por

•

Definimos la función

•

Visualizamos el área que queremos calcular

•

Calculamos los puntos de corte con el eje OX

•

Calculamos el área

Mathematica puede calcular directamente la integral anterior en la forma

b) Calcular el área limitada por las parábolas y = x2 -2x e y = x2 -2x en el intervalo [-1,3] •

Definimos las funciones

•

Visualizamos el área que queremos calcular

•

Calculamos los puntos de corte de ambas gráficas

•

Calculamos el área

También en este caso podríamos haber calculado el área directamente en la forma

 x = t − sen t entre t = 0 y t = π.  y = 1 − cos t

c) Calcular el área limitada por la cicloide 

Si entre los puntos de abscisa a = x(t1) y b = x(t2) las ecuaciones paramétricas

 x = x(t ) , t ∈ [t1 , t 2 ]   y = y (t ) definen una función integrable y = f (x), entonces el área encerrada por la curva y el eje de abscisas viene dada por

•

Definimos las ecuaciones paramétricas

•

Dibujamos la gráfica de la cicloide en el intervalo [0,2π]

•

Calculamos el área

o Longitud de un arco de curva Si f es una función de clase 1 en el intervalo [a,b], entonces la longitud del arco de curva y = f (x) en el intervalo [a,b] viene dada por:

 x = x(t ) , t ∈ [t1 , t 2 ] , siendo las  y = y (t )

Si la curva viene dada por las ecuaciones paramétricas 

funciones x(t) e y(t) de clase 1 en el intervalo [a,b], entonces la longitud viene dada por

Ejemplo 5.3 a) Calcular la longitud del arco de curva y = sen x en el intervalo [0,2π]. •

Definimos la función

•

Representamos el arco de curva en el intervalo [0,2π]

•

Calculamos la longitud del arco de curva

Mathematica nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial EllipticE. Para obtener un valor aproximado podemos utilizamos el comando N

 x = cos 3 t b) Calcular la longitud del arco de astroide  , t ∈ [0,2π ] 3  y = sen t •

Definimos las ecuaciones paramétricas

•

Dibujamos la gráfica de la astroide en el intervalo [0,2π]

•

Calculamos la longitud

o Superficies de revolución Podemos imaginar una superficie en R3 como la deformación de una malla rectangular

P(x,v,z) (u,v)

v

u A cada punto (u,v) sobre la malla rectangular le corresponde un punto P(x,y,z) sobre la superficie, siendo  x = x(u , v)   y = y (u , v) , u ∈ [u1 , u 2 ] , v ∈ [v1 , v 2 ]  z = z (u , v)  Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones paramétricas de la superficie.

Mathematica dispone de la instrucción ParametricPlot3D para dibujar la gráfica de una superficie dada en forma paramétrica, cuya sintaxis es la siguiente: ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2}] •

Las ecuaciones paramétricas de una esfera de centro (0,0,0) y de radio r vienen dadas por

 x = r cos u cos v   y = r cos u sen v , u ∈ [0,2π ] , v ∈ [0, π ]  z = r sen u 

•

Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en el intervalo [a,b] vienen dadas por:

x = u   y = f (u ) cos v , u ∈ [a, b] , v ∈ [0,2π ]  z = f (u ) sen v  •

Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OY en el intervalo [a,b] vienen dadas por:

 x = u cos v   y = u sen v , u ∈ [a, b] , v ∈ [0,2π ]  z = f (u )  La siguiente definición nos va a permitir dibujar la superficie de revolución generada por una curva al girar alrededor del eje OX y del eje OY:

Área de una superficie de revolución •

El área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en el intervalo [a,b] viene dada por

•

El área de la superficie de revolución generada al girar la curva y=f(x) alrededor del eje OY en el intervalo [a,b] viene dada por

Ejemplo 5.4 a) Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = x3 en el intervalo [0,1], alrededor del eje OY. •

Definimos la función

•

Representamos la curva en el intervalo [0,1]

•

Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OY

•

Calculamos el área de la superficie de revolución

b) Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = sen x en el intervalo [0,π], alrededor del eje OX. •

Definimos la función

•

Representamos la curva en el intervalo [0,π]

•

Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OY

•

Calculamos el área de la superficie de revolución

o Volúmenes de cuerpos de revolución Método de los discos

Método de las envolventes

Método de las arandelas

Ejemplo 5.5 a) Calcular el volumen del elipsoide de revolución obtenido al girar la elipse de ecuación

alrededor del eje OX con a = 4 y b = 3. •

Definimos función (despejamos la variable y en la ecuación anterior)

Nos quedamos con la parte positiva

•

Representamos la curva en el intervalo [-4,4]

•

Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OX

•

Calculamos el volumen del cuerpo de revolución aplicando el método de los discos

a) Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la región limitada por las curvas y=x2 e y =

x al girar alrededor del eje OX y el eje OY.

•

Definimos las funciones

•

Calculamos los puntos de corte

•

Representamos la región limitada por ambas curvas

•

Calculamos el área del cuerpo de revolución alrededor del eje OX aplicando el método de las arandelas (observemos que g(x) ≥ f (x) en el intervalo [0,1])

•

Calculamos el área del cuerpo de revolución alrededor del eje OY aplicando el método de las envolventes (observemos que la altura de la envolvente en cada punto x viene dada por g(x) – f (x))

1.- Calcular las siguientes integrales o un valor aproximado cuando sea necesario a)

b)

2.- Calcular la derivada de las siguientes funciones: a)

b)

3.- Estudiar el carácter de las siguientes integrales impropias:

4.- Calcular el área limitada por la curva y = x3 - x2 y la recta y = x – 1. Dibuja el área del recinto limitado por ambas. 5.- Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la región limitada por la curva y = ln x y el eje OX en el intervalo [0,e] a) alrededor del eje OX b) alrededor del eje OY.