Física Experimental 1

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PRACTICA 5 PENDULO SIMPLE 1. OBJETIVOS Los objetivos de esta práctica son los siguientes: i) Medir la aceleración de la gravedad (g) a través de las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple. ii) Verificar experimentalmente la dependencia del período con la amplitud de las oscilaciones en el péndulo, y determinar el intervalo de amplitud de las pequeñas oscilaciones. Comparar los valores medidos del período con los valores calculados al resolver numéricamente la ecuación de movimiento del péndulo simple. 2. FUNDAMENTO TEORICO El péndulo simple es la idealización de un sistema físico real. Dicho sistema real es una masa (m) suspendida de un soporte mediante un hilo de masa muy pequeña comparada con m. La idealización es una masa puntual, suspendida de un soporte inmóvil mediante un hilo flexible, inextensible y sin masa, que se mueve confinada a un plano. Se desprecia la fuerza de rozamiento entre el aire y la masa. La ecuación de movimiento del péndulo simple es:  

g sin  0 l

(2.1)

donde g es la aceleración gravitatoria, l la longitud del péndulo y  t  el ángulo respecto a la vertical. La ecuación (2.1) es válida para todo valor de  t  , pudiéndose linealizar en torno a la posición de equilibrio estable, si  t  pequeño:  

g  0 l

(2.2)

l

 m Figura 2.1

De aquí en más nos referiremos a ésta como la ecuación de pequeñas oscilaciones. De resolver 2.2 en forma analítica, se puede ver que si el movimiento se restringe al rango en que el ángulo formado por el hilo y la vertical es pequeño, el período se vuelve independiente de la amplitud de la oscilación, esto es, que para cualquier amplitud dentro de ese rango, es aproximadamente constante.

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Ejercicio 1 a) Deducir la ecuación (2.1) a partir del modelo físico correspondiente al péndulo simple. b) Hallar la posición de equilibrio estable y linealizar la ecuación (2.1) para pequeñas oscilaciones en torno a dicha posición. c) Demostrar que la expresión del período, considerando la ecuación linealizada es : T  2

l g

(2.3)

Nota : La expresión del período puede ser usada para la determinación del valor de g, siempre que midamos T y l con suficiente precisión.

3. DESCRIPCION DEL MONTAJE Se utilizará una masa esférica colgando de un soporte, para la medición del período se utilizará un cronometro

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4. PROCEDIMIENTO En la práctica se medirá el periodo de las oscilaciones del pendulo en función de la longitud del hilo, de la masa y del angulo. Pequeñas oscilaciones: 1. Medir la longitud l, recordando que es la distancia del soporte al baricentro de la masa. 2. Poner la masa en movimiento con un ángulo pequeño (menor que 10 grados) procurando que el movimiento esté restringido a un plano. 3. Medir el tiempo para un nro grande de períodos del orden de 20 y anotar el nro de periodos utilizados. 4. .Modificar el valor de l y repetir los pasos anteriores para 5 valores de l. Grandes oscilaciones: 1. Medir el priodo del pendulo en función del angulo

Ejercicio 2 A partir de la ecuación (2.3), obtener una expresión para la incertidumbre en g.

5. TRATAMIENTO DE DATOS 1. Calcular g y su incertidumbre para cada una de las medidas realizadas en el punto 4. 2. Utilizando MATLAB, graficar, obtener la curva de mejor ajuste (regresión lineal) utilizando el método de mínimos cuadrados. A partir de la pendiente calcular g. Con el valor del coeficiente de correlación de la regresión lineal calcular la incertidumbre en g. NOTA : Los valores de T que se grafican son los T promedio para cada valor de l. A los efectos de realizar la regresión lineal se usa el comando polyfit de MATLAB. Para obtener el coeficiente de correlación se usa el comando corrcoef. Los detalles de sintaxis de dichos comandos se pueden obtener usando help polyfit y help corrcoef desde el MATLAB.

6. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL Recordemos que en la sección 2 se había obtenido la ecuación de movimiento de un péndulo simple ubicado en un campo gravitatorio uniforme, y que no soporta otras fuerzas (despreciando cualquier fuerza resistiva), obedece a la siguiente ecuación no lineal:  

g sin  0 l

(2.1)

Esta ecuación no es resoluble analíticamente, pero de su forma se pueden obtener algunas conclusiones. En particular hallaremos una expresión integral para el período en función de las condiciones iniciales (ver ejercicio 3). 3

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En forma independiente de la expresión integral, resolveremos la ecuación diferencial numéricamente la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta, con la ayuda de un computador.

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Ejercicio 3 Encuentre una pre-integral del movimiento del péndulo, integrando una vez la ecuación (2.1). Considere que el péndulo se lanza con velocidad nula. A partir de ella, obtenga una expresión integral para el período. Observe la dependencia del mismo con la amplitud El integrando de la expresión que se halló para el período presenta una singularidad, lo que es inconveniente para el cálculo numérico de dicha integral. Modifique la expresión de forma tal que de eliminar el problema.

Sugerencias:

 1. Aplique la regla de la cadena con el término d 2. Utilice la relación cos

x   1  2sin 2 x 2 

dt .

3. Efectúe el cambio de variable definido por: y  y  x  tal que

 2   sin x

sin x

o

 sin y  2 

donde xo es la amplitud. Siguiendo estos pasos demuestre que el periodo se puede calcular como:  l T  K  4 g  

donde

K

2

 0

   

dx 1  sin 2  

x o  2 , (esta es una integral elíptica que se debe calcular por sin  x  2 

métodos numéricos )

7. CÁLCULO Y MEDICIÓN DEL PERÍODO Para los cálculos numérico y experimental del período se dispone de dos programas en Matlab: Resolución numérica de la ecuación. La resolución numérica se realizará a través del programa pen.m de Matlab. Este solicita la longitud del hilo y los valores iniciales del ángulo para los que se quiere realizar los cálculos (donde estos se pueden dar a través de un vector predefinido). Para calcular el período, el programa integra numéricamente la expresión del período hallada en el ejercicio 4, considerando que la velocidad inicial es nula. Al finalizar la práctica se habrán obtenido dos tablas de valores que nos darán las determinaciones del período experimental (con su incertidumbre) y teórico para cada  o . 5

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Medición del período en función de la amplitud del movimiento 1) Correr el programa en Matlab para el cálculo teórico del período (pen.m) ingresando todos los valores que el mismo va solicitando (Se sugiere ir variando  o de tal modo que se tomen al menos 7 valores entre 5º y 35º ) 2) Anotar los períodos que calcula el programa. 3) Invocar al programa exper.m que mide los períodos experimentales. 4) Ingresar el largo de la tabla N donde N es el número de períodos que se quieran medir, ¿elegiría el mismo número de períodos que en la parte anterior?. 5) Lanzar el péndulo con una amplitud  o que corresponda a uno de los valores utilizados en la parte teórica. 6) Anotar el período promedio y volver al paso 4.

8. INFORME Primera parte: Calculo de g y g para cada valor de l. Gráfica de T2 vs. l Valores de g y g obtenidos por regresión por mínimos cuadrados. Segunda parte: Gráfica teórica período vs. amplitud. Gráfica experimental período vs. amplitud. Nota: Ambas gráficas deben estar en la misma hoja y se debe indicar el intervalo de incertidumbre para cada uno de los datos experimentales.

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9. PRE-INFORME a)Tabla de datos de l, l, T y T con todas las cifras leídas en la PC.

l

l

T

T

b) Repetición de la tabla anterior, ajustando el número de cifras significativas de modo que correspondan a las incertidumbres estimadas.

l

l

T

T

c) Tabla de valores g y g para cada l. L

g

g

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d) Valores de los parámetros de la regresión por mínimos cuadrados, coeficiente de correlación y valores calculados de g y g .

a

b

r

a

b

Misma tabla anterior ajustando los valores por cifras significativas:

a

b

r

a

b

Ahora el resultado obtenido: g

g

e) Tabla de valores de  o , Texp. y Tcalc.. o

Texp

 Texp

Tcalc

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