PRÁCTICA POLINOMIOS DE TAYLOR. RESTO DE LAGRANGE

CURSO 2014-2015

Prácticas Matlab Práctica 6 (5- XI-2014) Objetivos   

 

Representar una sucesión de términos  Introducir el concepto de serie como suma infinita de los términos de una sucesión.    Comandos de Matlab    Para calcular la suma entre dos valores de una expresión simbólica  symsum(f,a,b) symsum(f,s,a,b)

 

 Ejemplo:  >> syms n >> symsum(1/n,1,inf)

  Para calcular la suma de las componentes de un vector  sum(vector)

   

  Ejemplo:  >> vector=1:100; >> sum(vector) >> sum(vector(20:30))

  Para calcular el límite de una expresión simbólica  limit(expresión,variable,valor)

   

  Ejemplo:  >> syms x >> limit(sin(x)/x,x,0) >> limit((x^2+3)/(x^2+4),x,inf)

  Ejercicios

Introducción 1. Accede a la página de Giematic UC

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MATLAB: POLINOMIOS DE TAYLOR

http://www.giematic.unican.es 2. Pulsa sobre el enlace Series del menú de la izquierda y seguidamente sobre el enlace Material Interactivo. http://www.giematic.unican.es/series-potencias/material-interactivo 3. Elige la unidad didáctica Series numéricas y visualiza el video del apartado Motivación. Recuerda: Una sucesión de números está en progresión geométrica si cada término, salvo el primero, se puede obtener como la anterior por una constante r. Es decir,

a, ar , ar 2 , .... , ar n 1 ,... El número a se llama primer término de la sucesión y al valor de r, razón de la progresión geométrica. Se puede calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica de primer término a y razón r mediante la fórmula

a  ar  ar 2  ...  ar n 1  a

r n 1 r 1

si r  1

Nota: Puedes ver la demostración de esta fórmula si pulsas sobre el botón Inicio de la unidad didáctica Series numéricas Vamos a ver que 2 es la suma de infinitos términos siguientes:

1,

1 1 1 , 2 , 3 ,.... 2 2 2

Realiza los siguientes pasos: a) Observa que:

1 



La “suma” de un solo término es:

1



La suma de los dos primeros términos:

1



La suma de los tres primeros términos: ….

1 2 1 1 1  2 2 2

es decir, el término enésimo es la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica de primer término 1 y razón ½. Escribe su expresión. b) Representa los 10 primeras sumas:

1,  

1 1 1 ,  2 , 2 2 2

1 1 1   2 2 2 23

, ...

MATLAB: PRÁCTICA 3

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¿Qué observas? ¿Cuál es su límite? 

Escribiremos

1

2 n 0

n

2

Apartado (a)  La expresión del término general es:

1 1 1 1   2  ...  n1  2 2 2 Apartado (b)  n=0:9; %Término general de la serie an=1./(2.^n); %Cálculo de cada suma sn(1)=an(1); for k=2:10 %sn(k)=sum(an(1:k)); sn(k)=sn(k-1)+an(k); end %Representación de an y Sn format long plot(n,an,'or',n,sn,'og') legend('an','Sn') %Para calcular el límite debemos calcular %la suma en simbólico syms k n suman=symsum(1/2^k,0,n-1) limit(suman,n,inf)



Como sabes el número 1/3 se puede escribir como 0 '3 . Veamos que 1/3 es la suma de los infinitos sumandos siguientes

0 '3, 0 '03, 0 '003, 0 '0003,.... Realiza los siguientes pasos:

2 

a) Observa que:  La “suma” de un solo término es: 0,3  La suma de los dos primeros términos es: 0,3+0,03  La suma de los tres primeros términos es: 0,3+0,03+0,003 …. es decir, el término enésimo es la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica de primer término 0,3 y razón

101 .

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MATLAB: POLINOMIOS DE TAYLOR

b) Encuentra una expresión para el término enésimo de esta sucesión.    c) ¿Cuál es su límite?  

Escribiremos

3 1  n 3 n 1 10

0 '3  0 '03  0 '003  ...  

 

Apartado (a)  La expresión del término general es:

0 '3  0 '03  0 '003  ...  3 10 n  Apartado (b)  Modifica el código Matlab del ejercicio anterior para adaptarlo a este apartado.

Vamos a ver que

1 es la suma de los infinitos términos de la 1 r

progresión geométrica que tiene por primer término el número 1 y por razón r siempre que

r 1

Realiza los siguientes pasos: a) Observa que:  

La suma de un solo término es. 1 La suma de los dos primeros términos es: 1+r

 La suma de los tres primeros términos es: ….

3 

1 r  r 2

es decir, el término enésimo es la suma de los primeros términos de una sucesión geométrica de primer término 1 y razón r. Encuentra su expresión. b) Representa las 10 primeras sumas

1 , 1 r , 1 r  r2

9

, ... ,

r n 0

o

para r=0.1, -0.1, 0.2, -0.2

o

para r=3

o

para r=-2

n

 1  r  r 2  ...  r 9

MATLAB: PRÁCTICA 3

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¿Qué observas? ¿Cuál es su límite? 

Escribiremos

r n 0

n



1 1 r

si r  1

Apartado (a)  La expresión del término general es:

1  r  r 2  ...  r n 1  Apartado (b)  r=0.3; n=0:9; %Término general de la serie an=r.^n; %Cálculo de cada suma sn(1)=an(1); for k=2:10 %sn(k)=sum(an(1:k)); sn(k)=sn(k-1)+an(k); end %Representación de an y Sn format long plot(n,an,'or',n,sn,'og') legend('an','Sn') %Valor del últimom término de la suma suma=sn(9) %Suma infinita syms x f=1/(1-x); subs(f,r)

Resumen de comandos Estos son los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas  siguientes  y  que  conviene  retener  porque  se  podrán  preguntar  en  las  distintas  pruebas  de  evaluación.     Para obtener la suma de las componentes de un vector:   sum   Para obtener la suma de una expresión simbólica:    symsum   Para calcular el límite de una expresión simbólica:    limit