Primero de Bachillerato Matem´ aticas Jes´ us Garc´ıa de Jal´on de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 2013-2014

1 RA´ICES Y LOGARITMOS

1.1.

Potencias.

Una potencia an , en donde n es un entero positivo es un producto de factores iguales: an = a | · a · a{z· . . . · a} n factores

El factor que se repite a se llama base de la potencia y el n´ umero de veces que se repite, n, es el exponente. As´ı definidas, las potencias tienen las cinco propiedades siguientes: ⋄ Producto de potencias de la misma base: am · an = am+n Para sumar potencias de la misma base, se suman los exponentes. ⋄ Cociente de potencias de la misma base: am = am−n an Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes. ⋄ Potencia de una potencia: n

(am ) = amn Para elevar una potencia a otro exponente, se multiplican ambos exponentes. ⋄ Potencia de un producto: n

(M N ) = M n N n La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. ⋄ Potencia de un cociente: ( )n M Mn = n N N La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. 3

1. RA´ICES Y LOGARITMOS

4

Estas propiedades son sencillas de justificar a partir de la definici´on de potencia como un producto de factores iguales. Por ejemplo, la primera propiedad se demuestra de la siguiente manera: am · an = a | · a · a{z· . . . · a} · |a · a · a{z· . . . · a} m factores

n factores

=a | · a · a{z· . . . · a} m + n factores

= am+n El concepto de potencia puede extenderse a exponentes enteros no positivos de forma que se sigan cumpliendo las propiedades anteriores: ⋄ Si dividimos dos n´ umeros iguales sabemos que el resultado es 1. Dividamos dos potencias iguales: 1=

an = an−n = a0 an

=⇒

a0 = 1

As´ı pues, sea cual sea la base, si el exponente es cero, la potencia vale 1. ⋄ Sea ahora una potencia de exponente negativo. Para que se cumpla la primera propiedad debe ocurrir que: a−n · an = a−n+n = a0 = 1

=⇒

a−n =

1 an

El n´ umero a−n es el inverso de an . As´ı definidas, las potencias de exponente negativo o cero, cumplen las propiedades enumeradas anteriormente. Pero ya no se pueden definir como productos de factores iguales (un n´ umero no puede multiplicarse por s´ı mismo un n´ umero negativo de veces).

1.2.

Ra´ıces.

La ra´ız cuadrada umero N es otro n´ umero que elevado al cuadrado es igual a N . Este n´ umero se √ de un n´ representa por N . Es decir, este n´ umero cumple que: (√ )2 N =N Los n´ umeros positivos tienen dos ra´ıces cuadradas. Por ejemplo hay dos ra´ıces cuadradas de 9 que son +3 y −3 pues cualquiera de estos n´ umeros elevados al cuadrado dan 9. Cuando queramos distinguir entre la ra´ız cuadrada positiva y negativa de un n´ umero√pondremos el signo delante. As´ı, la ra´ız positiva de 3 √ se indica mediante + 3 y la negativa mediante − 3. No existe ra´ız cuadrada de los n´ umeros negativos puesto que cualquier n´ umero al cuadrado es positivo. Por ejemplo, la ra´ız cuadrada de −4 no puede ser ni +2 ni −2 puesto que 22 = (−2)2 = 4. De forma similar se definen las ra´ıces c´ ubicas, cuartas, etc. La ra´ız c´ ubica de N es un n´ umero que elevado al cubo es igual a N . La ra´ız cuarta de N es un n´ umero que elevado a la cuarta es igual a N . Por ejemplo: √ 3 8=2 porque 23 = 8 √ 3 −8 = −2 porque (−2)3 = −8 √ 4 81 = 3 porque 34 = 81 √ 4 81 = −3 porque (−3)4 = 81 Todos los n´ umeros, positivos y negativos, tienen una u ´nica ra´ız c´ ubica. Sin embargo, como en el caso de la ra´ız cuadrada, los n´ umeros positivos tienen dos ra´ıces cuartas y los n´ umeros negativos no tienen ninguna.

1.3. LAS RA´ICES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO. En general, la ra´ız en´esima de un n´ umero N es un n´ umero ( √ )n n N =N

5

√ n N que elevado al exponente n es igual a N :

Esta definici´on, la podemos expresar tambi´en de la siguiente forma: √ n xn = N ⇐⇒ x = N en donde se √ aprecia que la ra´ız permite despejar una inc´ognita que est´a elevada a un exponente. En la expresi´on n N , N es el radicando y n es el ´ındice de la ra´ız. En general, existe una u ´nica ra´ız de ´ındice impar para todos los n´ umeros. Los n´ umeros positivos tienen dos ra´ıces de ´ındice par y los n´ umeros negativos no tienen ninguna. Las ra´ıces tienen las propiedades siguientes: ⋄ Ra´ız de un producto: √ √ √ n n n M ·N = M · N La ra´ız de un producto es igual al producto de las ra´ıces. ⋄ Ra´ız de un cociente: √ √ n M n M = √ n N N La ra´ız de un cociente es igual al cociente de las ra´ıces. ⋄ Ra´ız de una potencia. Siempre que existan las ra´ıces se verifica que: ( √ )m √ n n Nm = N La ra´ız de una potencia es igual a la potencia de la ra´ız. ⋄ Ra´ız de una ra´ız: √ √ m √ n mn N= N La ra´ız de una ra´ız es una ra´ız cuyo ´ındice es el producto de los ´ındices. ⋄ Propiedad de simplificaci´on: √ √ np n N mp = N m El ´ındice de la ra´ız y el exponente del radicando pueden multiplicarse o dividirse por el mismo n´ umero.

1.3.

Las ra´ıces como potencias de exponente fraccionario.

Podemos pensar ahora qu´e sentido podemos darle a una potencia de exponente fraccionario como, por 1 ejemplo 5 2 . Como en el caso de los exponentes negativos no puede considerarse como un producto de factores iguales pues no tiene sentido multiplicar 5 por s´ı mismo media vez. Se trata entonces, de definir este n´ umero de tal forma que se cumplan las propiedades de las potencias que hemos visto. Elevando este n´ umero al cuadrado y aplicando la propiedad de la potencia de otra potencia resulta: ( 1 )2 1 5 2 = 5 2 ·2 = 51 = 5

1. RA´ICES Y LOGARITMOS

6 1

Vemos que umero que, elevado al cuadrado, es igual 5. Pero el n´ umero que elevado al cuadrado √ 5 2 es un n´ es 5 es 5. Por consiguiente: √ 1 52 = 5 En general: 1

an =

√ n a

( puesto que

y si el numerador es distinto de 1: √ m a n = n am puesto que

1

an

)n

= a n ·n = a1 = a 1

( 1 )m ( √ ) √ m m a n = an = n a = n am

Es decir, el denominador del exponente es el ´ındice de la ra´ız y el numerador es el exponente del radicando.

1.4.

Operaciones con radicales.

Vamos a ver algunos ejemplos de las operaciones m´as usuales con radicales. ⋄ Extraer factores de la ra´ız: √ √ √ 128 = 64 · 2 = 8 2 √ √ √ 3 3 3 24 = 8 · 3 = 2 3 √ √ √ 27x5 = 9x4 · 3x = 3x2 3x ⋄ Introducir factores en la ra´ız: √ √ √ 5 6 = 25 · 6 = 150 √ √ √ 3 3 3 3 10 = 27 · 10 = 270 √ √ √ 2x3 5x = 4x6 · 5x = 20x7 ⋄ Multiplicar o dividir radicales. Si las ra´ıces tienen el mismo ´ındice, se multiplican o dividen los radicandos. Si tienen distinto ´ındice, aprovechando la propiedad de simplificaci´on, se reducen a ´ındice com´ un y despu´es se multiplican o dividen los radicandos: √ √ √ √ 18 6 = 18 · 6 = 108 √ √ √ √ √ √ 6 6 6 3 6 5 10 = 53 102 = 53 · 102 = 12500 √ √ √ √ √ √ √ 3 4 12 12 12 12 2x 5x2 ; 3x3 = 26 x6 54 x8 33 x9 = 1080000x23 ⋄ Suma de radicales. Solamente puede encontrarse una expresi´on m´as sencilla en el caso de que los radicales sean semejantes, esto es, radicales en los que despu´es de extraer factores queden ra´ıces iguales. Si no sucede as´ı, la suma se deja indicada. √ √ √ √ 5 6 + 3 6 = (5 + 3) 6 = 8 6 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 50 + 3 32 = 2 25 · 2 + 3 16 · 2 = 2 · 5 2 + 3 · 4 2 = 10 2 + 12 2 = 22 2 √ √ 2− 3 esta suma debe dejarse indicada ⋄ Racionalizar denominadores. Se trata de obtener fracciones equivalentes sin ra´ıces en el denominador. La t´ecnica es diferente seg´ un aparezca o no en el denominador una suma o diferencia de ra´ıces: √ √ √ 5 3 5 3 5 3 5 √ = √ √ = = 2·3 6 2 3 2 3 3 √ √ √ 3 3 2 3 3 5 3 25 3 3 25 √ √ = √ = √ = 3 3 3 3 5 5 5 52 53 √ √ √ 2 2( 3 + 1) 2( 3 + 1) 2( 3 + 1) √ √ = √ = = 3−1 2 3−1 ( 3 − 1)( 3 + 1)

1.5. LOGARITMOS.

1.5.

7

Logaritmos.

Sea a un n´ umero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´ umero N y se representa mediante loga N a la soluci´on de la ecuaci´on ax = N : ax = N =⇒ x = loga N Ejemplos: 3x = 81

=⇒ x = log3 81 = 4

2x = 8

=⇒ x = log2 8 = 3

x

1 5

5 = √ 3x = 3

1 5 = −1 √ =⇒ x = log3 3 = 12

=⇒ x = log5

Tambi´en puede definirse de la siguiente forma. Sea a un n´ umero positivo, se llama logaritmo en base a del n´ umero N y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a para obtener N . Ejemplos: log7 49 = 2

ya que

72 = 49

log5 125 = 3

ya que

53 = 125

1 2

ya que

42 = 2

log4 2 =

1

Primeras propiedades: ⋄ Puesto que para a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´on ax = N no tiene soluci´on en el caso de que N sea negativo o cero. En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los n´ umeros positivos. ⋄ Puesto que a0 = 1, el logaritmo de 1 es igual a 0 en cualquier base: a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0 ⋄ Puesto que a1 = a, el logaritmo de la base es igual a 1: a1 = a ⇐⇒ loga a = 1

1.6.

Propiedades de las logaritmos.

⋄ Logaritmo de un producto. El logaritmo del producto de dos n´ umeros es igual a la suma de los logaritmos de los factores: loga (M N ) = loga M + loga N Demostraci´on: loga M = x =⇒ ax = M loga N = y =⇒ ay = N

} =⇒ loga (M N ) = loga (ax ay ) = loga ax+y = x + y = loga M + loga N

⋄ Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos n´ umeros es igual a la diferencia de los logaritmos de los factores: loga

M = loga M − loga N N

Demostraci´on: loga M = x loga N = y

=⇒ ax = M =⇒ ay = N

} =⇒ loga

ax M = loga y = loga ax−y = x − y = loga M − loga N N a

1. RA´ICES Y LOGARITMOS

8

⋄ Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base: loga M n = n loga M Demostraci´ on: n factores

z }| { loga M = loga (M · M · . . . · M ) n

n sumandos

}| { z = loga M + loga M + . . . + loga M = n loga M ⋄ Logaritmo de una ra´ız. El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo del radicando dividido por el ´ındice de la ra´ız: √ 1 n loga M = loga M n Demostraci´ on: √ 1 1 n loga M = loga M n = loga M n

1.7.

Cambio de base.

Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los logaritmos en otra base b mediante: logb N =

loga N loga b

Demostraci´ on: Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este n´ umero: logb N = x =⇒ bx = N ´ltima igualdad: Aplicando el logaritmo base a en esta u loga bx = loga N =⇒ x loga b = loga N loga N =⇒ x = logb N = loga b Veamos ahora algunas aplicaciones de la f´ormula del cambio de base: ⋄ Calcular con una aproximaci´ on a las mil´esimas log5 60. Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos: log5 60 =

ln 60 ≃ 2,544 ln 5

⋄ Obtener sin calculadora log32 16. Puesto que los dos n´ umeros son potencias de 2, pasando a esta base: log32 16 =

log2 16 4 = log2 32 5

⋄ Demostrar que log a1 N = − loga N . Cambiando a la base a: loga N loga N = − loga N log a1 N = 1 = −1 loga a

1.8. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR´ITMICAS.

1.8.

9

Funciones exponenciales y logar´ıtmicas.

Las funciones definidas por y = ax donde a es un n´ umero positivo cualquiera se llaman funciones exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la funci´on puede escribirse en la base e, es decir como y = ekx con k = ln a positivo o negativo seg´ un que a sea mayor o menor que 1. Como caracter´ısticas m´as importantes de estas funciones destaquemos las siguientes: ⋄ Sea cual sea el valor de x, ekx es positivo. ⋄ El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una as´ıntota horizontal de y = ekx en −∞ o +∞ seg´ un sea k positivo o negativo. ⋄ La curva y = ekx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1).

Figura 1.1: Funci´on exponencial Se llaman funciones logar´ıtmicas las definidas por f (x) = loga x. Con ayuda de la f´ormula del cambio de base de los logaritmos, cualquier funci´on logar´ıtmica puede expresarse como y = k · ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones citaremos: ⋄ Las funciones logar´ıtmicas solo existen para x positivo. ⋄ La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es as´ıntota vertical de y = k · ln x. ⋄ La curva y = k · ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0).

Figura 1.2: Funci´on logar´ıtmica

10

1. RA´ICES Y LOGARITMOS

2 COMBINATORIA

2.1.

Combinatoria.

La combinatoria es la parte de las Matem´aticas que trata de las distintas agrupaciones que pueden formar colecciones finitas de objetos y, en particular, de obtener el n´ umero de las configuraciones posibles. Problemas t´ıpicos de combinatoria ser´ıan calcular el n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados, o de cu´antas maneras diferentes se pueden repartir cinco cartas de una baraja, etc. Ejercicio 1. A una reuni´on asisten 20 personas. Antes de empezar la reuni´on se saludan todos d´andose la mano. ¿Cu´antos saludos han intercambiado? Resolveremos este problema de dos formas diferentes. Modo 1. Un asistente podr´ıa pensar que como ´el ha tenido que saludar a 19 personas (a todos menos a s´ı mismo), y dado que hay 20 personas, el n´ umero saludos es 20 · 19 = 380. Sin embargo, este resultado no es correcto. La raz´on es que procediendo de esta manera, cada saludo se ha contado dos veces: el saludo que han intercambiado A y B se ha contado entre los que hizo A y entre los que hizo B. Por consiguiente, el n´ umero de saludos es exactamente la mitad: 20 · 19 = 190. 2 Modo 2. Una forma de no contar los saludos repetidos ser´ıa la siguiente. Un asistente saluda a los 19 restantes y se retira. Se han completado as´ı 19 saludos y quedan 19 personas. El siguiente asistente saluda ua hasta a los 18 restantes y se retira. Ha efectuado 18 saludos y quedan 18 personas. Este proceso contin´ que solamente quede una persona, en ese momento se habr´an saludado todas y el n´ umero de saludos ha sido: 19 + 18 + 17 + . . . + 2 + 1 = 190. En general, si se re´ unen n personas y se saludan todas entre s´ı, el n´ umero total de saludos est´a dado por: 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 2) + (n − 1) =

n(n − 1) . 2

Esta f´ormula, adem´as de resolver el problema, proporciona un m´etodo para sumar determinada cantidad de n´ umeros consecutivos.

11

12

2. COMBINATORIA

Para contar el n´ umero de agrupaciones en que se pueden disponer los elementos de una colecci´on de objetos, se deben distinguir varias situaciones posibles: ⋄ Que el orden en que aparecen los elementos sea relevante para decidir si las agrupaciones son iguales o no. Por ejemplo, el orden es importante para distinguir entre los posibles resultados de una carrera, sin embargo, en muchos juegos de cartas, no es importante el orden en que te van llegando las cartas al hacer el reparto. ⋄ Que en una misma agrupaci´on puedan aparecer elementos repetidos o no. Por ejemplo, si se van extrayendo cartas de una baraja con reemplazamiento (devolviendo la carta extra´ıda al mazo despu´es de la extracci´on), la misma carta puede aparecer varias veces. Si las extracciones sucesivas se hacen sin reemplazamiento, no pueden aparecer cartas repetidas.

2.2.

Variaciones y permutaciones.

Vamos a considerar en primer lugar agrupaciones ordenadas de objetos en las que, adem´as, los objetos no pueden aparecer repetidos. Lo que caracteriza a este tipo de agrupaciones es que aunque tengan los mismos elementos se consideran diferentes si los elementos est´an en distinto orden. Por ejemplo las palabras cesto y coste tienen las mismas letras, pero son diferentes. El principio b´asico que se aplica para contar disposiciones de este tipo es el siguiente. Regla del producto Supongamos que un objeto consta de dos partes diferentes, que la primera se puede elegir de p maneras y la segunda de q maneras distintas. Entonces, el n´ umero de objetos diferentes que pueden formarse es igual a pq. La regla del producto se extiende sin dificultad a objetos que constan de m´as de dos partes. Ejercicio 2. ¿Cu´ antos men´ us diferentes se pueden hacer con 5 primeros platos, 6 segundos y 4 postres? El n´ umero de men´ us es 5 · 6 · 4 = 120. La raz´on es que con 5 primeros y 6 segundos se pueden formar 30 men´ us. Ahora, combinando cada uno de estos 30 con cada uno de los 4 postres se obtienen un total de 120 men´ us.

Ejercicio 3. Se lanza un dado 3 veces y se van anotando las puntuaciones del primer, del segundo y del tercer lanzamiento. ¿Cu´antos resultados diferente pueden obtenerse? En el primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados diferentes. Para cada uno de los resultados del primer lanzamiento pueden obtenerse 6 resultados para el segundo. As´ı, los resultados de los dos primeros lanzamientos se pueden producir de 6 · 6 = 36 maneras diferentes. Para cada uno de ellas, el resultado del tercer lanzamiento puede darse de 6 maneras. Por consiguiente, para los tres lanzamientos se tienen 36 · 6 = 216 resultados posibles.

Aunque en muchos problemas de disposiciones ordenadas de objetos puede aplicarse la regla del producto, hay casos en que no sucede as´ı. Veamos un ejemplo. Ejercicio 4. En una urna hay cuatro bolas: una roja, una verde y dos azules. Se extraen las cuatro bolas sucesivamente. ¿Cu´antos resultados diferentes pueden obtenerse? Para la primera extracci´on se pueden obtener tres resultados diferentes, bola roja, verde o azul. Sin embargo, para la segunda extracci´on no se puede decir cu´antos resultados diferentes se pueden dar. En efecto, si en la primera extracci´on ha salido bola roja, en la segunda puede darse verde o azul, es decir 2 resultados. Pero si en la primera extracci´on ha salido azul, en la segunda pueden darse 3 resultados, roja, verde y azul. As´ı pues, en este caso no se puede aplicar la regla del producto. M´as adelante se ver´ a c´omo puede tratarse este tipo de problemas. De momento, escribiremos las 12

2.2. VARIACIONES Y PERMUTACIONES.

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disposiciones diferentes que pueden obtenerse: rvaa, rava, raav, vraa, vara, vaar, arva, avra, arav, avar, aarv, aavr.

A continuaci´on veremos algunos tipos de disposiciones de objetos que, por aparecer habitualmente en la resoluci´on de muchos problemas, tienen una denominaci´on especial. De llaman permutaciones de n elementos distintos, a las distintas maneras en que se pueden ordenar estos n elementos. El n´ umero de permutaciones de elementos distintos puede deducirse de la regla del producto: el primer elemento puede elegirse de n formas diferentes, para cada una de ellas el segundo se puede elegir de n − 1 formas, etc. El n´ umero de permutaciones de n elementos se representa por Pn y es igual a: Pn = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1. Al producto de todos los enteros comprendidos entre 1 y n se le llama factorial de n y se representa con el s´ımbolo n!. As´ı pues, el n´ umero de permutaciones de n elementos distintos es n!. Ejercicio 5. Calcular el n´ umero de maneras diferentes en que se puede ordenar un alfabeto de 26 letras. P26 = 26! = 26 · 25 · 24 · · · 2 · 1 = 403291461126605635584000000.

Si a partir de m elementos se forman disposiciones ordenadas de n elementos, se habla de variaciones. Si los elementos no pueden aparecer repetidos, las variaciones se llaman ordinarias; en caso contrario, es decir, si pueden repetirse, se llaman variaciones con repetici´ on. Las variaciones con repetici´on se tratan en otro apartado. Ejercicio 6. Formar las variaciones ordinarias y con repetici´on de tres elementos que pueden formarse con las letras del conjunto A = {a, b, c, d}. Las variaciones ordinarias son: abc, cab,

abd, acb, acd, cad, cba, cbd,

adb, cda,

adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

Las variaciones con repetici´on son: aaa, baa, caa, daa,

aab, bab, cab, dab,

aac, bac, cac, dac,

aad, bad, cad, dad,

aba, bba, cba, dba,

abb, bbb, cbb, dbb,

abc, bbc, cbc, dbc,

abd, bbd, cbd, dbd,

aca, bca, cca, dca,

acb, bcb, ccb, dcb,

acc, bcc, ccc, dcc,

acd, bcd, ccd, dcd,

ada, bda, cda, dda,

adb, bdb, cdb, ddb,

adc, bdc, cdc, ddc,

add, bdd, cdd, ddd.

El n´ umero de variaciones ordinarias puede obtenerse a partir de la regla del producto. El primer elemento se puede elegir de m modos distintos, para cada uno de ellos, el segundo de m − 1 modos, el tercero de m − 2, etc. Llamando Vm,n al n´ umero de variaciones de m elementos tomados de n en n, este n´ umero es igual a: Vm,n = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1), es decir, al producto de n factores enteros decrecientes a partir del n´ umero m. Si en la f´ormula anterior se multiplica y divide por (m − n)(m − n − 1) · · · 1, resulta: Vm,n

= = =

m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1) m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1)(m − n)(m − n − 1) · · · 1 (m − n)(m − n − 1) . . . 1 m! . (m − n)!

14

2. COMBINATORIA

2.3.

Combinaciones.

En muchos casos, el orden en que aparecen los distintos elementos no tiene importancia para la resoluci´on de problema. Por ejemplo, cuando se mezclan 3 colores, el orden en que se haga la mezcla carece de relevancia para el resultado final. En el juego de la loter´ıa primitiva, el orden en que se escogen los 6 n´ umeros tampoco tiene importancia. Sean m objetos distintos. Se llaman combinaciones de estos m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos de n elementos que pueden formarse con los m elementos de partida, de tal forma que los conjuntos se distingan por tener elementos distintos, siendo irrelevante el orden en que est´en colocados. Por ejemplo con los 5 elementos del conjunto {a, b, c, d, e}, pueden formarse las siguientes combinaciones de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. Para calcular el n´ umero de combinaciones, de nuevo es inaplicable la regla del producto. En este caso, por cada combinaci´ on de n elementos, pueden formarse n! variaciones permutando los n objetos. Por ejemplo, con la primera combinaci´ on {a, b, c} se pueden formar las siguientes 6 variaciones: abc,

acb,

bac,

bca,

cab,

cba.

Por consiguiente, el n´ umero de variaciones de m elementos tomados de n en n es n! veces mayor que el n´ umero de combinaciones. Llamando Cm,n al n´ umero de combinaciones de los m elementos tomados de n en n, se tiene Cm,n =

Vm,n m! = . n! n!(m − n)!

Ejercicio 7. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden repartir 5 cartas de una baraja de 40 cartas sin que importe el orden? ¿En cu´antas de ellas no est´a presente el as de oros? ¿En cu´antas est´a presente el as de oros? El n´ umero de maneras es el n´ umero de combinaciones de 40 elementos tomados de 5 en 5: 40 · 39 · 38 · 37 · 36 V40,5 = = 658008. C40,5 = 5! 5·4·3·2·1 Si el as de oros no est´a presente hay que formar grupos de 5 cartas con las 39 que quedan. El n´ umero de modos de elegir 5 cartas de 39 es: V39,5 39 · 38 · 37 · 36 · 35 = = 575757. 5! 5·4·3·2·1 Si el as de oros ha de estar presente deben elegirse 4 cartas entre las 39 restantes para completar el grupo de 5. El n´ umero de modos de elegir 4 de 39 cartas es: C39,5 =

V39,4 39 · 38 · 37 · 36 = = 82251. 4! 4·3·2·1 Obs´ervese que, como cabr´ıa esperar, la suma de los dos u ´ltimos resultados es igual al primero. C39,4 =

2.4.

N´ umeros combinatorios. Binomio de Newton.

En ocasiones se utiliza otra notaci´on para el n´ umero de combinaciones. Los n´ umeros combinatorios (se lee m sobre n), se definen de la siguiente forma: ( ) { m Cm,n si n ̸= 0 = 1 si n = 0 n Los n´ umeros combinatorios tienen dos propiedades importantes:

( m) n

´ 2.4. NUMEROS COMBINATORIOS. BINOMIO DE NEWTON. ⋄

15

( ) ( ) m m = . n m−n Esta propiedad se entiende f´acilmente con el siguiente ejemplo. Un examen consta de 10 preguntas de las que umero de maneras de escoger las preguntas es ( hay ) que contestar solamente 8. El n´ C10,8 = 10 . Ahora bien, es evidente que es lo mismo escoger las 8 preguntas que se van a 8 contestar, que las 2 preguntas que no se van a contestar. Estas 2 preguntas se pueden escoger de () C8,2 = 82 maneras. Entonces debe ocurrir que ( ) ( ) 10 10 = . 8 2

Esta propiedad se puede interpretar como que el n´ umero de maneras de elegir los elementos que forman parte de una combinaci´ on es igual al n´ umero de manera de elegir los que quedan fuera de dicha combinaci´ on. ( ) ( ) ( ) m m−1 m−1 ⋄ = + . n n n−1 Esta propiedad permite obtener las combinaciones formadas con determinado n´ umero de elementos a partir de las combinaciones formadas con un elemento menos. El Ejemplo 7 puede ayudar a comprender esta propiedad. El n´ umero de combinaciones que se pueden formar ( ) (39con ) las 40 cartas de la baraja son 40 . Este n´ u mero se puede considerar como suma de las en las que no 5 5 ( ) est´a presente el as de oros y las 39 en las que s´ ı est´ a presente. Resulta entonces: 4 ( ) ( ) ( ) 40 39 39 = + . 5 5 4 Aprovechando esta segunda propiedad, los n´ umeros combinatorios pueden disponerse de la siguiente manera: 1 1 1

1 1

1

7

9 10

45

84 120

15

70

1 6

21 56

126 252

1 5

35

126 210

4

20

56

1

10

35

28 36

6

15 21

1 3

10

6

8

1

4 5

1

2 3

1 1

1

7 28

84 210

1 1 8 36

120

1 9

45

1 10

1

que se conoce como tri´angulo (de) Tartaglia o de Pascal. En la primera fila aparecen los n´ umeros combi() natorios para m = 1, es decir 10 y 11 , en la segunda fila est´an los n´ umeros combinatorios para m = 2, (2) (2) (2) umeros que aparecen en los extremos de cada fila son iguales a 1 y los dem´as se 0 , 1 y 2 , etc. Los n´ obtienen sumando los dos n´ umeros que tiene encima (aqu´ı es donde se aplica la segunda propiedad de los n´ umeros combinatorios). Las f´ormulas del cuadrado del binomio: 2

(a + b) = a2 + 2ab + b2

16

2. COMBINATORIA

y del cubo: 3

(a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 se generalizan con ayuda de los n´ umeros combinatorios a la f´ ormula de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n−1 n n−2 2 n n n n (a + b) = a + a b+ a b + ··· + abn−1 + b 0 1 2 n−1 n Si en lugar de una suma queremos hallar la potencia de una diferencia, basta cambiar en la f´ormula de Newton el signo m´as por menos en los t´erminos en los que el exponente de b es impar.

2.5.

Variaciones y permutaciones con repetici´ on.

Vamos a considerar ahora agrupaciones ordenadas de objetos en las que estos pueden aparecer repetidos. ´ El caso m´as sencillo es el de las variaciones con repetici´ on. Estas son iguales que las variaciones ordinarias salvo que los elementos pueden aparecer repetidos. De forma m´as precisa, supongamos que tenemos m objetos diferentes, se llaman variaciones con repetici´on de estos m elementos tomados de n en n a las distintas disposiciones de n elementos distintos o no, que pueden formarse a partir de los m elementos de partida, de forma que se diferencien por tener elementos distintos o por estar dispuestos en distinto orden. Por ejemplo, las variaciones de los elementos {a, b} tomados de 3 en 3, son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb Para calcular las variaciones con repetici´on puede aplicarse la regla del producto, el primer elemento puede elegirse de m formas distintas. Puesto que los elementos pueden repetirse, lo mismo ocurre con el segundo, el tercero, etc. Todos pueden elegirse de m formas. Por consiguiente: V Rm,n = m · m · m · . . . · m = mn Ejercicio 8. A partir de los elementos del conjunto {1, x, 2}, ¿cu´antas variaciones de 14 elementos pueden formarse? Se trata de variaciones con repetici´on de 3 elementos tomados de 14 en 14. El n´ umero de estas variaciones es: V R3,14 = 314 = 4782969

Nos planteamos ahora el siguiente problema: con las letras de la palabra parada, ¿cu´antas ordenaciones distintas podemos formar?. Si en la palabra no apareciesen letras repetidas, se tratar´ıa de permutaciones ordinarias. Puesto que la a se repite 3 veces se trata de permutaciones con repetici´ on. El n´ umero de permutaciones en este caso lo indicaremos como P6,3 . Esto quiere decir que tenemos 6 elementos y uno de ellos se repite 3 veces. En general, el n´ umero de permutaciones con repetici´on se expresa de la siguiente forma: P Rn,r1 ,r2 ,... y as´ı indicamos que tenemos n elementos de los cuales uno se repite r1 veces, otro r2 veces, etc. Podemos calcular el n´ umero de permutaciones con repetici´on de forma similar a como calculamos las combinaciones. Suponiendo que todos los elementos fuesen diferentes, el n´ umero de permutaciones ser´ıa n!. Si un elemento se repite r veces, por cada permutaci´ on con repetici´on hay r! permutaciones ordinarias. de aqu´ı que: P Rn,r1 ,r2 ,... =

n! r1 ! r2 ! . . .

´ MATEMATICA ´ 2.6. INDUCCION

17

Por ejemplo, con las letras de la palabra parada pueden formarse las siguientes permutaciones: P R6,3 =

6! = 120 3!

Ejercicio 9. Calcular el n´ umero de maneras de ordenar las 16 fichas del parch´ıs. Se trata de permutaciones con repetici´on de 16 elementos entre los que se repiten 4 veces las fichas rojas, 4 veces las fichas verdes, 4 veces las fichas amarillas y 4 veces las fichas azules. Por tanto, el n´ umero de permutaciones es: P R16,4,4,4,4 =

2.6.

16! = 63063000 4! 4! 4! 4!

Inducci´ on matem´ atica

Consideremos la f´ormula de Newton escrita en la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 2 n n n n (1 + x) = + x+ x + ··· + xn−1 + x 0 1 2 n−1 n Para demostrar este tipo de teoremas en cuya formulaci´on interviene un par´ametro entero (n en este caso), se utiliza un razonamiento que se conoce como demostraci´on por inducci´on. La demostraci´on por inducci´on consiste en lo siguiente: ⋄ Se demuestra el teorema para un valor inicial n0 que generalmente es 1. ⋄ Se demuestra que si el teorema es cierto para un valor cualquiera del par´ametro h, tambi´en se cumple para el valor siguiente h + 1. ⋄ Con elle queda demostrado el teorema para todos los valores del par´ametro mayores que n0 . Veamos unos ejemplos: Ejercicio 10. Demostrar que para n mayor o igual que 1 se cumple que: n ∑

x2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

x=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

⋄ Para n = 1 se cumple ya que: 1 ∑ x=1

x2 = 1

y

1 · (1 + 1) · (2 · 1 + 1) =1 6

⋄ Supongamos que el teorema se cumple para n = h: h ∑ x=1

x2 = 12 + 22 + 32 + · · · + h2 =

h(h + 1)(2h + 1) 6

Debemos demostrar que en este caso tambi´en se cumple para n = h + 1. Es decir: h+1 ∑ x=1

x2 = 12 + 22 + 32 + · · · + h2 + (h + 1)2 =

(h + 1)(h + 2)(2h + 3) 6

18

2. COMBINATORIA En efecto: h+1 ∑

x2 =

x=1

h ∑

x2 + (h + 1)2

x=1

=

h(h + 1)(2h + 1) + (h + 1)2 6

=

h(h + 1)(2h + 1) + 6(h + 1)2 6

=

(h + 1)(h(2h + 1) + 6(h + 1)) 6

=

(h + 1)(2h2 + 7h + 6) 6

=

(h + 1)(h + 2)(2h + 3) 6

⋄ Como consecuencia de los dos apartados anteriores, el teorema est´a demostrado para n ≥ 1.

Ejercicio 11. Demostrar por inducci´on la f´ormula de Newton para n ≥ 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 2 n n n n (1 + x) = + x+ x + ··· + xn−1 + x 0 1 2 n−1 n ⋄ Es evidente que se cumple para n = 1. ⋄ Supongamos que se cumple para n = h: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h 2 h h h h (1 + x) = + x+ x + ··· + xh−1 + x 0 1 2 h−1 h Demostraremos que, en este caso, tambi´en se cumple para n = h + 1, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h+1 h+1 h+1 2 h + 1 h−1 h+1 h h + 1 h+1 h+1 (1 + x) = + x+ x +· · ·+ x + x + x 0 1 2 h−1 h h+1 En efecto, para n = h + 1: h+1

(1 + x)

= (1 + x)h (1 + x) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] h h h 2 h h h h−1 = + x+ x + ··· + x + x (1 + x) 0 1 2 h−1 h ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) h h h 2 h h h h−1 = + x+ x + ··· + x + x 0 1 2 h−1 h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h 2 h h h h+1 x+ x + ··· + xh−1 + xh + x 0 1 h−2 h−1 h ( ) ( ) ( ) h+1 h+1 h+1 2 = + x+ x + ··· 0 1 2 ( ) ( ) ( ) h + 1 h−1 h+1 h h + 1 h+1 + x + x + x h−1 h h+1

⋄ De los dos apartados anteriores se deduce que la f´ormula se cumple para n ≥ 1.

3 POLINOMIOS Y ECUACIONES

3.1.

Polinomios. Valor num´ erico.

Un polinomio es una expresi´on en la que aparecen operaciones indicadas de sumas y productos entre n´ umeros y una variable x (indeterminada): P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Los n´ umeros a0 , a1 , ..., se llaman coeficientes del polinomio y cada uno de los sumandos es un monomio. El exponente de x en cada sumando es el grado del monomio y el mayor de todos ellos es el grado del polinomio. El coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal del polinomio. El coeficiente del t´ermino de grado cero, esto es, el n´ umero que no multiplica a x se llama t´ ermino independiente del polinomio. Es decir: n: an : a0 :

grado del polinomio coeficiente principal t´ermino independiente

Por ejemplo 2x3 − 4x2 + 7x − 1 es un polinomio de grado 3, su coeficiente principal es 2 y el t´ermino independiente es −1. El polinomio x2 − x es de grado 2, su coeficiente principal es 1 y el t´ermino independiente es 0. El valor num´ erico (o simplemente valor) de un polinomio para x = a es el n´ umero que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. El valor del polinomio P (x) para x = a se representa por P (a). Sea, por ejemplo, el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´erico para x = −3: P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2 = 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2 = 162 − 45 − 12 − 2 = 103 El valor num´erico de un polinomio se calcula f´acilmente mediante la Regla de Ruffini. Supongamos que queremos calcular el valor num´erico para x = a. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden 19

20

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

descendente (completando con ceros cuando falte alg´ un t´ermino). Multiplicamos el primer coeficiente por a y sumamos este producto al segundo coeficiente. El n´ umero as´ı obtenido lo volvemos a multiplicar por a y se lo sumamos al tercer coeficiente. Repitiendo el proceso, el u ´ltimo n´ umero que obtenemos es el valor num´erico del polinomio. Veamos un ejemplo. Sea de nuevo el polinomio: P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2 Calculemos su valor num´erico para x = −3: 2 −3 2

0

−5

4

−2

−6

18

−39

105

−6

13

−35

103

M´as adelante veremos otra forma de interpretar los n´ umeros que se obtienen mediante la regla de Ruffini.

3.2.

Ra´ıces de un polinomio.

Un n´ umero r es ra´ız de un polinomio si el valor num´erico del polinomio para x = r es cero. r ra´ız de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0 Para calcular las ra´ıces del polinomio P (x) se resuelve la ecuaci´on P (x) = 0. De esta manera, resulta sencillo calcular las ra´ıces de los polinomios de primer y segundo grado. Recordemos que para polinomios de segundo grado, la existencia y el n´ umero de las ra´ıces depende del valor del discriminante. Sea el polinomio de segundo grado P (x) = ax2 + bx + c. Las ra´ıces de este polinomios son: r1 =

−b +

√ b2 − 4ac 2a

y

r2 =

−b −

√ b2 − 4ac 2a

El n´ umero ∆ = b2 −4ac se llama discriminante del polinomio. Seg´ un los valores del discriminante tenemos: ⋄ ∆ > 0: el polinomio tiene dos ra´ıces diferentes r1 y r2 . ⋄ ∆ = 0: las dos ra´ıces coinciden. El polinomio tiene por consiguiente una sola ra´ız que podemos llamar r12 . ⋄ ∆ < 0: el polinomio no tiene ra´ıces. Para calcular las ra´ıces de polinomios de grado superior, resulta u ´til la siguiente propiedad: las ra´ıces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´ermino independiente: r ra´ız de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · =⇒

a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0

=⇒

a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · ·

=⇒

a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · )

=⇒

r es divisor de a0

Por ejemplo, las ra´ıces enteras del polinomio x3 − 6x2 + x − 4 han de ser divisores de 4. Por tanto s´olo pueden ser −1, 1, −2, 2, −4 y 4.

3.3. TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESTO.

3.3.

21

Teoremas del factor y del resto.

Teorema del factor. Si r es ra´ız de un polinomio, ´este es divisible por x − r r ra´ız de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x) Demostraci´on: ⋄ Sea r ra´ız del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0. ⋄ Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen: P (x) = (x − r)Q(x) + R ⋄ Para x = r: P (r) = (r − r)Q(r) + R

=⇒

R = P (r) = 0

y por consiguiente P (x) = (x − r)Q(x). De acuerdo con el teorema del factor, si r es una ra´ız de un polinomio, en su descomposici´on factorial aparece un factor x − r. Si este factor aparece repetido dos veces, esto es, si en la descomposici´on factorial aparece el factor (x − r)2 , entonces la ra´ız r se llama doble. Si apareciese el factor (x − r)3 la ra´ız ser´ıa triple, si apareciese (x − r)4 ser´ıa cu´ adruple, etc. Teorema del resto. El valor num´erico del polinomio para x = a es igual al resto de dividir ese polinomio por x − a. Demostraci´on: Supongamos que al dividir P (x) por x − a da un cociente C(x) y un resto R. Estos polinomios cumplen que: P (x) = (x − a)Q(x) + R y para x = a: P (a) = (a − a)Q(a) + R = R

3.4.

Descomposici´ on factorial de un polinomio de segundo grado.

Seg´ un el valor del discriminante ∆ = b2 − 4ac, el polinomio de ax2 + bx + c puede tener cero, una o dos ra´ıces. Si aplicamos el teorema del factor, en cada uno de estos casos, el polinomio se descompone de la siguiente forma: ⋄ ∆ > 0. En este caso, el polinomio tiene dos ra´ıces r1 y r2 . De acuerdo con el teorema del factor, en su descomposici´on factorial deben aparecer los factores x − r1 y x − r2 . Puesto que el coeficiente de x2 es a la descomposici´on en factores debe ser: ax2 + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 ) ⋄ ∆ = 0. El polinomio tiene una sola ra´ız r12 . Este caso es igual que el anterior suponiendo que las dos ra´ıces son iguales. La descomposici´on es: ax2 + bx + c = a(x − r12 )2 ⋄ ∆ < 0. El polinomio no tiene ra´ıces. No puede descomponerse en factores.

22

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

Ejercicio 12. Descomponer en factores los polinomios (a) 18x2 − 9x − 2 (b) 4x2 − 4x + 1 (c) x2 + x + 1 (a) Calculamos las ra´ıces del polinomio 18x2 − 9x − 2: { √ r1 = 23 9 ± 81 + 144 9 ± 15 x= = =⇒ 36 36 r2 = − 61 La descomposici´on factorial es: ( )( ) 2 1 18x2 − 9x − 2 = 18 · x − x+ = (3x − 2) (6x + 1) 3 6 (b) Como en el caso anterior: √ 4 ± 16 − 16 1 x= = 8 2 Puesto que el discriminante es cero, el polinomio tiene una ra´ız doble. Su descomposici´on factorial es: ( )2 1 2 4x2 − 4x + 1 = 4 · x − = (2x − 1) 2 (c) El discriminante de este polinomio es menor que cero. El polinomio no puede descomponerse en factores.

Se llaman polinomios primos o irreducibles aqu´ellos que no pueden descomponerse en factores de grado inferior. Los polinomios de primer grado son primos puesto que multiplicando polinomios de grado inferior (polinomios de grado cero,es decir, n´ umeros) no puede obtenerse un polinomio de primer grado. Acabamos de ver que los polinomios de segundo grado con discriminante menor que cero tambi´en son primos. Puede demostrarse que no existen polinomios primos distintos de estos. En consecuencia, todo polinomio puede descomponerse como producto de polinomios de primer grado y de polinomios primos de segundo grado.

3.5.

Regla de Ruffini.

La regla de Ruffini: 2

0

−5

4

−2

2

−6 −6

18 13

−39 −35

105 103

−3

puede interpretarse como una divisi´on en la que: Dividendo:

2x4 − 5x2 + 4x − 2

Divisor:

x+3

Cociente:

2x3 − 6x2 + 13x − 35

Resto:

103

La regla de Ruffini facilita la b´ usqueda de las ra´ıces enteras de un polinomio y su descomposici´on factorial. Veamos un ejemplo.

3.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

23

Ejercicio 13. Descomponer en factores el polinomio 6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12. ´ Buscamos ra´ıces enteras. Estas deben ser divisores del t´ermino independiente 12. Las posibles ra´ıces enteras son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. Probemos con −1 y +1: 6

−17

−7

40

−12

6

−6 −23

23 16

−16 24

−24 −36

−1

6

−17

−7

40

−12

6

6 −11

−11 −18

−18 22

22 10

1

Vemos que ni −1 ni +1 son ra´ıces del polinomio. Probemos con −2 y +2: 6

−17

−7

40

−12

6

−12 −29

58 51

−102 −62

124 112

−2

6

−17

−7

40

−12

6

12 −5

−10 −17

−34 6

12 0

2

El n´ umero 2 es una ra´ız del polinomio, por consiguiente x − 2 es un factor y podemos escribir: 6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)(6x3 − 5x2 − 17x + 6) Busquemos ahora factorizar 6x3 − 5x2 − 17x + 6. Ya hemos visto que −1, 1 y −2 no son ra´ıces. Probemos de nuevo con 2: 6

−5

−17

6

6

12 7

14 −3

−6 0

2

Tenemos de nuevo la ra´ız 2. Podemos escribir que: 6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)(6x3 − 5x2 − 17x + 6) = (x − 2)(x − 2)(6x2 + 7x − 3) = (x − 2)2 (6x2 + 7x − 3) Las ra´ıces del polinomio 6x2 + 7x − 3 las obtenemos resolviendo la ecuaci´on de segundo grado: { √ r1 = 13 −7 ± 49 + 72 −7 ± 11 2 6x + 7x − 3 = 0 =⇒ x = = =⇒ 12 12 r2 = − 32 con lo que el polinomio factorizado queda finalmente: 6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)2 (6x2 + 7x − 3) ( )( ) 1 3 = (x − 2)2 · 6 x − x+ 3 2 = (x − 2)2 · (3x − 1) (2x + 3)

3.6.

Ecuaciones de primer grado.

El procedimiento general para resolver una ecuaci´on de primer grado es el siguiente: ⋄ Quitar denominadores multiplicando todos los t´erminos de la ecuaci´on por el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todos ellos. ⋄ Quitar par´entesis.

24

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES ⋄ Agrupar t´erminos. ⋄ Despejar la inc´ognita.

Ve´amoslo con un ejemplo: Ejercicio 14. Resolver la ecuaci´on: x−4 −4x + 2 5x + 6 − 4(−2x + 1) − = 2(x − 3) + 5 10 2 ⋄ Multiplicamos ambos miembros por 10 y simplificamos: 10(x − 4) 10(−4x + 2) 10(5x + 6) − 10 · 4(−2x + 1) − = 10 · 2(x − 3) + 5 10 2 2(x − 4) − 40(−2x + 1) − (−4x + 2) = 20(x − 3) + 5(5x + 6) ⋄ Quitamos par´entesis: 2x − 8 + 80x − 40 + 4x − 2 = 20x − 60 + 25x + 30 ⋄ Reducimos y agrupamos t´erminos: 86x − 50 = 45x − 30 86x − 45x = 50 − 30 41x = 20 ⋄ Finalmente despejamos y obtenemos la soluci´on: x=

20 41

Si despu´es de agrupar t´erminos se encontrase una ecuaci´on del tipo 0 · x = b con b ̸= 0 querr´ıa decir que la ecuaci´on no tiene soluci´on, pues ning´ un n´ umero multiplicado por 0 da un producto distinto de cero. Si se encontrase una ecuaci´on 0 · x = 0 querr´ıa decir que todo n´ umero es soluci´on, pues cualquier n´ umero multiplicado por cero da cero.

3.7.

Ecuaciones de segundo grado.

En la ecuaci´on de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se despeja la inc´ognita x mediante la f´ormula conocida: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a El n´ umero de soluciones depende del signo del discriminante ∆ = b2 − 4ac. Si ´este es positivo, la suma de las dos soluciones vale: √ √ −2b b −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac + = =− x1 + x2 = 2a 2a 2a a y su producto: x1 x2 =

−b +

√ √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac b2 − (b2 − 4ac) 4ac c · = = 2 = 2a 2a 4a2 4a a

Si el coeficiente principal vale 1 la suma y el producto de las soluciones son: x1 + x2 = −b ;

x1 x2 = c

(a = 1)

3.7. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

25

Ejercicio 15. Obtener una ecuaci´on de segundo grado cuyas soluciones sean x1 = −3, y x2 = 7. Si a = 1 tenemos queda: x1 + x2 = −3 + 7 = 4 = −b ;

x1 x2 = −3 · 7 = −21 = c

y la ecuaci´on es: x2 − 4x − 21 = 0 A la misma ecuaci´on se llega escribi´endola en forma factorizada: (x + 3) · (x − 7) = 0

Ejercicio 16. Resolver la ecuaci´on: 6x2 − 1 +

2x(3 − x) 5x2 − 2 59 = − 4x2 + 3 6 6

Empezamos quitando denominadores multiplicando todos los t´erminos por 6: 6 · 6x2 − 6 · 1 +

6 · 2x(3 − x) 6 · (5x2 − 2) 6 · 59 = − 6 · 4x2 + 3 6 6

36x2 − 6 + 12x − 4x2 = 5x2 − 2 − 24x2 + 59 Quitamos par´entesis y agrupamos t´erminos en el primer miembro: 32x2 + 12x − 6 = −19x2 + 57 51x2 + 12x − 63 = 0 17x2 + 4x − 21 = 0 √ −4 ± 44 + 4 · 17 · 21 x= 2 · 17

=⇒

x1 = 1 ;

x2 = −

21 17

La f´ormula de la ecuaci´on de segundo grado permite calcular x en ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0 (ecuaciones bicuadradas). Llamando t = x2 estas ecuaciones se escriben: √ √ √ 2 − 4ac −b ± b −b ± b2 − 4ac 2 2 at + bt + c = 0 =⇒ t = x = =⇒ x = ± 2a 2a y de forma parecida se resuelven ecuaciones del tipo ax6 + bx3 + c = 0 y similares. Ejercicio 17. Resolver la ecuaci´on x4 − 13x2 + 36 = 0. Despejando: 2

x =

13 ±

√ 132 − 4 · 36 13 ± 5 = 2 2

que nos da las soluciones: { x = −3 x2 = 9 =⇒ x=3

{ x2 = 4

=⇒

x = −2 x=2

26

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

3.8.

Ecuaciones irracionales.

Se llaman as´ı las ecuaciones en que la inc´ognita aparece bajo el signo de ra´ız. Para resolver estas ecuaciones seguiremos los siguientes pasos: ⋄ Despejar la ra´ız. ⋄ Elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. ⋄ Resolver la ecuaci´on resultante. ⋄ Comprobar las soluciones. El u ´ltimo paso es necesario porque, al elevar al cuadrado, la ecuaci´on que resulta es de grado superior y puede tener m´as soluciones que la ecuaci´on original, aparte de que puede tener soluciones para las que la ra´ız cuadrada no tenga sentido. Por ejemplo, la ecuaci´on x−1=3 tiene una sola soluci´on x = 4, pero la ecuaci´on (x − 1)2 = 32 tiene dos soluciones x = 4 y x = −2. √ Ejercicio 18. Resolver la ecuaci´on 40 − x2 + 4 = x ⋄ Despejamos la ra´ız: √ 40 − x2 = x − 4 ⋄ Elevamos al cuadrado: (√ )2 40 − x2 = (x − 4)2

=⇒

40 − x2 = x2 − 8x + 16

⋄ Resolvemos 0 = 2x − 8x − 24 2

=⇒

x − 4x − 12 = 0 2

=⇒

{ x=6 x = −2

⋄ Si comprobamos las soluciones vemos que x = 6 es v´alida pero x = −2 no lo es, porque para este valor el primer miembro es igual a 10 y el segundo a −2.

3.9.

Ecuaciones de grado superior al segundo.

Estas ecuaciones deben resolverse factorizando el polinomio con los m´etodos aprendidos en el tema anterior. Ejercicio 19. Resolver la ecuaci´on x3 − 6x2 + 3x + 10 = 0. Buscamos una ra´ız entera entre los divisores de 10: 1

−6

3

10

1

1 −5

−5 −2

−2 8

1

1

−6

3

10

1

−1 −7

7 10

−10 0

−1

3.10. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGAR´ITMICAS.

27

Vemos que −1 es una ra´ız del polinomio y que, por consiguiente, x + 1 es un factor. Descomponemos el polinomio en factores y la ecuaci´on queda: (x + 1)(x2 − 7x + 10) = 0 No es preciso seguir descomponiendo el polinomio pues una vez que lo tenemos factorizado en polinomios de primer y segundo grado ya podemos resolver la ecuaci´on. Igualando a cero cada uno de los factores resulta: x+1=0

=⇒

x1 = −1

x − 7x + 10 = 0

=⇒

x2 = 2 ;

2

3.10.

x3 = 5

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas.

Hay que tener en cuenta que de la definici´on de logaritmo loga N = x

⇐⇒

ax = N

se desprende que en igualdades de este tipo, un exponente se despeja como logaritmo de la misma base, y que el argumento de la funci´on logaritmo se despeja como una exponencial de la misma base. Para transformar las ecuaciones hasta obtener igualdades de este tipo deben aplicarse las propiedades de las potencias y logaritmos. Ejercicio 20. Resolver la ecuaci´on ln x3 − ln x = ln(2x + 15) Aplicando la propiedad del logaritmo del cociente: x3 = ln(2x + 15) x ln x2 = ln(2x + 15) ln

x2 = 2x + 15 x2 − 2x − 15 = 0 ´ Las soluciones de esta u ´ltima ecuaci´on son x = 5 y x = −3. Esta u ´ltima no puede ser soluci´on de la ecuaci´on original porque no existen logaritmos de n´ umeros negativos.

Ejercicio 21. Resolver la ecuaci´on 5x+3 − 5x−1 − 3120 = 0 Aplicando las propiedades de las potencias de la misma base: 53 5x −

5x − 3120 = 0 5

Quitando denominadores y despejando: 625 · 5x − 5x − 15600 = 0 (625 − 1)5x = 15600 15600 5x = = 25 624 y, por consiguiente, x = 2.

28

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

3.11.

Inecuaciones.

Una inecuaci´on es una desigualdad que se satisface solamente para algunos valores de las inc´ognitas que son las soluciones de la inecuaci´on. Ejemplos de inecuaciones son: 3x + 5 ≥ x ;

3x2 − 5x + 6 < 0 ;

x−4 ≤5 x+2

Una inecuaci´on puede transformarse en otra equivalente casi con las mismas reglas que una ecuaci´on. Es decir, pueden cambiarse sumandos de uno a otro miembro cambi´andoles el signo y pueden multiplicarse ambos miembros de la desigualdad por el mismo n´ umero positivo. ´ Unicamente hay que tener en cuenta que si se multiplican o dividen los dos miembros por el mismo n´ umero negativo, hay que cambiar el sentido de la desigualdad. Por ejemplo: 5x < 10

=⇒

x<

10 5

=⇒

x

10 −5

=⇒

x > −2

sin embargo

As´ı, una inecuaci´on de primer grado puede resolverse de forma pr´acticamente igual que una ecuaci´on. Veamos un ejemplo. Ejercicio 22. Resolver la inecuaci´on: 2(x − 3) x 3(x − 2) −x≤ + 5 2 10 Aplicamos el mismo procedimiento que para resolver una ecuaci´on de primer grado. Si debemos multiplicar o dividir por un n´ umero negativo, cambiaremos el sentido de la desigualdad: 10 · 2(x − 3) 10 · x 10 · 3(x − 2) − 10 · x ≤ + 5 2 10 4(x − 3) − 10x ≤ 5x + 3(x − 2) 4x − 12 − 10x ≤ 5x + 3x − 6 − 6x − 12 ≤ 8x − 6 − 6x − 8x ≤ −6 + 12 − 14x ≤ 6 x≥

6 −14

o bien

x≥−

3 7

) [ La soluci´on puede expresarse tambi´en como el intervalo − 37 , ∞ .

De forma general, para resolver una inecuaci´on de cualquiera de las formas P (x) < 0 ;

P (x) ≤ 0 ;

P (x) > 0 ;

P (x) ≥ 0

se procede de la forma siguiente: ⋄ Se calculan las ra´ıces del polinomio P (x). ⋄ Las ra´ıces obtenidas en el apartado anterior dividen la recta real en varios intervalos. Se calcula el signo del polinomio en cada uno de los intervalos. ⋄ La soluci´on est´a formada por los intervalos que cumplen la inecuaci´on.

3.11. INECUACIONES.

29

Para ver si el polinomio toma valores positivos o negativos en un intervalo basta probar con un n´ umero del intervalo. Adem´as debe tenerse en cuenta que en las ra´ıces simples (o de multiplicidad impar) el polinomio cambia de signo y en las ra´ıces dobles (o de multiplicidad par) el polinomio no cambia de signo. Veamos un ejemplo. Ejercicio 23. Resolver la inecuaci´on x2 − 2x − 3 > 0 ⋄ Las ra´ıces del polinomio son x1 = 3 y x2 = −1. Son ra´ıces simples. ⋄ Estudiamos el signo del polinomio. Tenemos el siguiente esquema de signos: +

0

−

−1

0

+

3

⋄ Como buscamos los intervalos en los que la funci´on es positiva, la soluci´on es: (−∞, −1) ∪ (3, ∞)

Ejercicio 24. Resolver la inecuaci´on x3 − x2 − 8x + 12 ≤ 0 ⋄ Para calcular las ra´ıces, descomponemos en factores el polinomio buscando sus ra´ıces enteras: 1 2 1

−1 −8

12

2 2 −12 1 −6 0

y tenemos una primera factorizaci´on x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x2 + x − 6). Las ra´ıces de x2 + x − 6 son 2 y −3. Por consiguiente, tenemos que: x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)2 (x + 3) Las ra´ıces del polinomio son x1 = 2 (doble) y x2 = −3. ⋄ El signo del polinomio responde al siguiente esquema: −

0 −3

+

0

+

2

Obs´ervese que en x = 2 que es una ra´ız doble, el polinomio no cambia de signo. ⋄ La soluci´on de la inecuaci´on propuesta es el intervalo (−∞, −3]

Otro tipo de inecuaciones importantes son las de la forma: P (x) 0; Q(x)

P (x) ≥0 Q(x)

donde P (x) y Q(x) son polinomios. Este problema se reduce al caso anterior si tenemos en cuenta que P (x) ´ el signo de Q(x) es igual que el de P (x)Q(x). Unicamente hay que tener en cuenta que en las ra´ıces del denominador no existe la fracci´on y, por consiguiente, no pueden ser soluciones. Ve´amoslo con un ejemplo.

30

3. POLINOMIOS Y ECUACIONES

Ejercicio 25. Resolver la inecuaci´on: 4 − x2 ≥0 x+1 Consideremos la inecuaci´on (4 − x2 )(x + 1) ≥ 0 Las ra´ıces de este polinomio son 2, −2 y −1. Calculemos el signo del polinomio y tengamos en cuenta que la ra´ız del denominador (x = −1), no puede ser soluci´on: +

0

−

−2

∄

+

−1

0

−

2

Hemos indicado con el s´ımbolo ∄ (no existe) la ra´ız del denominador x = −1. Del diagrama de signos se desprende que la soluci´on de la inecuaci´on es (−∞, −2] ∪ (−1, 2].

Ejercicio 26. Resolver la inecuaci´on: x2 − x + 2 ≤2 x La inecuaci´on es equivalente a: x2 − x + 2 −2≤0 x

=⇒

x2 − 3x + 2 ≤0 x

Resolvamos (x2 − 3x + 2)x ≤ 0 eliminando la ra´ız del denominador (x = 0) como posible soluci´on. Las ra´ıces del polinomio producto son x = 1, x = 2 y x = 0: −

∄ 0

+

0 1

La soluci´on es (−∞, 0) ∪ [1, 2].

−

0 2

+

4 TRIGONOMETR´IA

4.1.

´ Angulos

Hasta ahora se han considerado los ´angulos como la porci´on del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen com´ un. De esta manera, la medida de un ´angulo est´a comprendida entre 0 y 360 grados. En este cap´ıtulo, un ´angulo va a ser tambi´en considerado como la medida de un giro. As´ı, los ´angulos podr´an ser mayores de una vuelta (360o ) y podr´an tener dos sentidos: contrario al movimiento del reloj al que asignaremos signo positivo, o seg´ un el movimiento del reloj al que asignaremos ´angulos negativos.

Figura 4.1: Medida de un ´angulo en radianes Representaremos los ´angulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tomando como origen de ´angulos el eje OX. Adem´as de los grados sexagesimales, utilizaremos como unidad para medir ´angulos el radi´an. La medida de un ´angulo en radianes es igual a la longitud del arco dividida por el radio: φ=

longitud del arco l = radio r

Como el arco de circunferencia correspondiente a una vuelta mide 2πr, el ´angulo correspondiente (360o ) mide 2πr/r = 2π radianes. El ´angulo llano (180o ) mide π radianes y el ´angulo recto π/2. Para pasar de 31

4. TRIGONOMETR´IA

32

grados a radianes se multiplica por π/180 y para pasar de radianes a grados por el inverso de este n´ umero 180/π. Un radi´an es aproximadamente 57,2958o . Algunos c´alculos se simplifican utilizando el radi´an como medida de ´angulos. Por ejemplo la longitud de un arco de circunferencia es l = rφ y el ´area de un sector circular es S = 12 r2 φ. ´ Angulos inscritos en una circunferencia. Se llaman as´ı los ´ angulos que tienen su v´ ertice sobre una circunferencia y sus lados son secantes de ella. Los ´ angulos inscritos tienen las siguientes propiedades: ⋄ El ´ angulo inscrito es igual a la mitad del ´ angulo central que abarca el mismo arco. ⋄ Todos los ´ angulos inscritos en el mismo arco son iguales. ⋄ Los ´ angulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

4.2.

Razones trigonom´ etricas de ´ angulos agudos

En un tri´angulo rect´angulo, llamemos a a la hipotenusa y b y c a los catetos; A ser´a el ´angulo recto y B y C los ´angulos agudos tal como se representa en la figura: B es el ´angulo opuesto al cateto b y C es el ´angulo opuesto al cateto c.

Figura 4.2: Tri´angulo rect´angulo Entre los elementos del tri´angulo se cumple una relaci´on entre los lados, el teorema de Pit´agoras: a2 = b2 + c2 y una relaci´on entre los ´angulos: B + C = 90o

(B y C complementarios)

Vamos a definir unas funciones que relacionan los lados y los ´angulos de un tri´angulo rect´angulo. Estas funciones son las siguientes: sen B =

cateto opuesto b = hipotenusa a

cos B =

cateto contiguo c = hipotenusa a

tg B =

cateto opuesto b = cateto contiguo c

Para el ´angulo C, estas funciones ser´ıan: sen C =

c a

cos C =

b a

tg C =

c b

Las rec´ıprocas de estas funciones se llaman cosecante, secante y cotangente: cosec B =

1 sen B

sec B =

1 cos B

cotg B =

1 tg B

´ 4.3. LA ESCUADRA Y EL CARTABON

33

Cuando se utilizan para resolver tri´angulos rect´angulos, las f´ormulas anteriores pueden recordarse de esta manera: { seno del ´angulo opuesto un cateto = hipotenusa × coseno del ´angulo comprendido { un cateto = otro cateto ×

4.3.

tangente del ´angulo opuesto (al 1o ) cotangente del ´angulo comprendido (por el 1o )

La escuadra y el cartab´ on

La escuadra es un tri´angulo rect´angulo is´osceles. Sus ´angulos agudos son ambos iguales a 45◦ . El cartab´on es un tri´angulo rect´angulo cuyos ´angulos agudos son iguales a 30◦ y 60◦ . La escuadra puede considerarse como el tri´angulo rect´angulo que se forma cuando un cuadrado se divide en dos tri´angulos mediante la diagonal. El cartab´on es el tri´angulo resultante de dividir un tri´angulo equil´atero en dos partes iguales mediante una altura. Las proporciones entre las longitudes de los lados de estos tri´angulos aparecen reflejadas en la figura adjunta.

Figura 4.3: La escuadra y el cartab´on De la figura se deducen los siguientes valores para las razones trigonom´etricas de los ´angulos de 30◦ , 45◦ y 60◦ .

30◦ seno coseno tangente

4.4.

1 2 √ 3 2 1 √ 3

45◦ √ 2 2 √ 2 2 1

60◦ √ 3 2 1 2 √ 3

Razones trigonom´ etricas de ´ angulos cualesquiera

Representemos el ´angulo φ sobre una circunferencia centrada en el origen y tomemos el eje de abscisas como origen de ´angulos. A cada ´angulo φ le corresponde un punto de la circunferencia de coordenadas

4. TRIGONOMETR´IA

34

Figura 4.4: Razones trigonom´etricas de ´angulos cualesquiera E(x, y) (extremo del arco). Las razones trigonom´etricas de φ se definen a partir de las coordenadas de este punto: sen φ =

ordenada de E y = radio r

cos φ =

x abscisa de E = radio r

tg φ =

ordenada de E y = abscisa de E x

Si el radio de la circunferencia es igual a 1, el seno es la ordenada y el coseno la abscisa del extremo del arco.

Figura 4.5: Signo de las razones trigonom´etricas Puesto que el seno, coseno y tangente se han definido a partir de las coordenadas de un punto, pueden ser positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto. En la figura 4.5 se han representado los signos de las tres funciones en cada cuadrante. Los puntos de corte de la circunferencia con los ejes de coordenadas se corresponden con los ´angulos de 0o (o 360o ), 90o , 180o y 270o . La abscisa y la ordenada de estos puntos cuando la circunferencia tiene radio 1 son, respectivamente el coseno y el seno de esos ´angulos. Estos valores se han se˜ nalado tambi´en en la figura.

´ DE TRIANGULOS ´ 4.5. RESOLUCION

35

Conocida una de las razones trigonom´etricas de un ´angulo, pueden calcularse las dem´as (salvo el signo) por medio de las siguientes relaciones: ⋄ tg x =

sen x cos x sen x = cos x

y r x r

=

y = tg x x

⋄ sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x + cos2 x = ⋄ 1 + tg2 x =

y2 x2 x2 + y 2 r2 + 2 = = 2 =1 2 2 r r r r

1 cos2 x

Se obtiene de la igualdad anterior dividiendo por cos2 x ⋄ 1 + cotg2 x =

1 sen2 x

Igual que la anterior pero dividiendo por sen2 x La primera de las f´ormulas relaciona las tres funciones de modo que conocidas dos de ellas puede calcularse la tercera. Las siguientes relacionan seno con coseno, coseno con tangente y seno con cotangente.

4.5.

Resoluci´ on de tri´ angulos

Figura 4.6: Teorema del seno Un tri´angulo tiene tres lados a, b y c, y tres ´angulos A, B y C. Conocidos tres de estos elementos que no sean los ´angulos, pueden calcularse los otros tres. Para ello son u ´tiles los siguientes teoremas: Teorema (Teorema del seno). En un tri´ angulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ´ angulos opuestos: a b c = = sen A sen B sen C La constante de proporcionalidad es el di´ ametro de la circunferencia circunscrita al tri´ angulo. Demostraci´ on. En la figura anterior, la altura ha divide el tri´angulo ABC en dos tri´angulos rect´angulos. De aqu´ı que: ha = b sen C = c sen B

=⇒

c b = sen B sen C

4. TRIGONOMETR´IA

36

Figura 4.7: Angulos inscritos y teorema del seno Tambi´en puede demostrarse el teorema del seno a partir de la propiedad de los ´angulos inscritos en una circunferencia: Sea el ´angulo α inscrito en una circunferencia que abarca un arco con una cuerda c (ver figura 4.7). Construimos otro ´angulo sobre el mismo arco en el que uno de sus lados es un di´ametro de la circunferencia. Este ´angulo tambi´en valdr´ a α puesto que est´a inscrito en el mismo arco que el anterior. Pero, dado que el ´angulo inscrito en una semicircunferencia es recto, el tri´angulo A′ BC es rect´angulo y sen α =

c 2R

es decir, el seno de un ´angulo inscrito en una circunferencia es igual al cociente de la cuerda y el di´ametro. A partir del resultado anterior deducimos (figura 4.7 derecha): a   sen A =  2R     a b c b =⇒ 2R = = = sen B =  sen A sen B sen C 2R   c    sen C = 2R es decir, los lados de un tri´angulo son proporcionales a los senos de los ´angulos opuestos y la raz´on de proporcionalidad es el di´ametro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo. Teorema (Teorema del coseno). Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ´ angulo que forman: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C El teorema del coseno permite calcular tambi´en los ´ angulos cuando se conocen los lados: cos A =

b2 + c2 − a2 2bc

cos B =

a2 + c2 − b2 2ac

cos C =

a2 + b2 − c 2 2ab

´ ´ 4.6. AREA DE UN TRIANGULO

37

Figura 4.8: Teorema del coseno Demostraci´ on. De la figura 4.8 se deduce: a2 = m2 + h2 = (b − n)2 + h2 = b2 + n2 − 2bn + h2

(y puesto que n2 + h2 = c2 )

= b2 + c2 − 2bn

(y como n = c cos A)

= b + c − 2bc cos A 2

4.6.

2

´ Area de un tri´ angulo

Como es sabido, el ´area de un tri´angulo es igual a la mitad de la base por la altura. Como base se puede tomar cualquiera de los lados de forma que, por ejemplo: 1 a ha 2 En la figura 4.6, ha = b sen C de modo que: S=

1 a b sen C 2 es decir, el ´area de un tri´angulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ´angulo que forman. S=

Si se conocen los tres lados, puede calcularse el ´area por la f´ormula de Her´on: √ S = p(p − a)(p − b)(p − c) (p = semiper´ımetro) Esta f´ormula puede demostrarse a partir del teorema del coseno como se ver´a m´as adelante. De la f´ormula de Her´on podemos calcular la longitud de las alturas del tri´angulo. En efecto, de: √ 1 S= a ha y S = p(p − a)(p − b)(p − c) 2 se deduce que: 2√ ha = p(p − a)(p − b)(p − c) a e igualmente se obtendr´ıa: 2√ p(p − a)(p − b)(p − c) hb = b 2√ hc = p(p − a)(p − b)(p − c) c

4. TRIGONOMETR´IA

38

4.7.

Reducci´ on al primer cuadrante

Por la simetr´ıa de la circunferencia, basta conocer las razones trigonom´etricas de los ´angulos del primer cuadrante para poder calcular las de todos los ´angulos. Las f´ormulas que relacionan las razones trigonom´etricas de cualquier ´angulo con los del primer cuadrante son las siguientes: ´ que difieren en un n´ umero entero de vueltas. ⋄ Angulos

sen(360o k + φ) = sen φ cos(360o k + φ) = cos φ tg(360o k + φ) = tg φ

´ negativos. ⋄ Angulos

sen(−φ) = − sen φ cos(−φ) = cos φ tg(−φ) = − tg φ

´ ⋄ Angulos suplementarios.

sen(180o − φ) = sen φ cos(180o − φ) = − cos φ tg(180o − φ) = − tg φ

´ AL PRIMER CUADRANTE 4.7. REDUCCION

39

´ ⋄ Angulos que difieren en 180o .

sen(180o + φ) = − sen φ cos(180o + φ) = − cos φ tg(180o + φ) = tg φ

´ ⋄ Angulos que suman 360o

sen(360o − φ) = − sen φ cos(360o − φ) = cos φ tg(360o − φ) = − tg φ

´ ⋄ Angulos complementarios.

sen(90o − φ) = cos φ cos(90o − φ) = sen φ tg(90o − φ) = cotg φ

4. TRIGONOMETR´IA

40

4.8.

Suma de ´ angulos

Figura 4.9: Suma de ´angulos Las razones trigonom´etricas de la suma de dos ´angulos α y β se relacionan con las razones trigonom´etricas de los sumandos por las siguientes f´ormulas: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β tg(α + β) =

tg α + tg β 1 − tg α tg β

De la figura (ver figura 4.9) se deduce que: sen(α + β) = AE = AB + BE = sen α cos β + cos α sen β De la misma forma se obtiene: cos(α + β) = OA = OA′ − AA′ = cos α cos β − sen α sen β La f´ormula de la tangente se obtiene el seno entre el coseno: tg(α + β) =

=

sen(α + β) sen α cos β + cos α sen β = cos(α + β) cos α cos β − sen α sen β sen α cos β cos α sen β + cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β − cos α cos β cos α cos β

=

tg α + tg β 1 − tg α tg β

Las f´ormulas para la diferencia de ´angulos podemos obtenerlas sustituyendo en las f´ormulas de la suma β por −β: sen(α − β) = sen [α + (−β)] = sen α cos(−β) + cos α sen(−β) = sen α cos β + cos α sen β

´ ´ 4.9. ANGULO DOBLE Y ANGULO MITAD

41

y de forma similar: cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β tg α − tg β tg(α − β) = 1 + tg α tg β

´ Angulo doble y ´ angulo mitad

4.9.

Si en las f´ormulas de la suma se hace β = α resulta para el ´angulo doble: sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2 α − sen2 α tg 2α =

2 tg α 1 − tg2 α

A partir de estas f´ormulas podemos deducir otras para el ´angulo mitad.Puesto que: cos2 α + sen2 α = 1 cos2 α − sen2 α = cos 2α Sumado y restando estas dos ecuaciones resulta: cos2 α =

1 + cos 2α ; 2

sen2 α =

1 − cos 2α 2

Estas f´ormulas se utilizar´an posteriormente en el tema de c´alculo integral. Haciendo el cambio α = por tanto 2α = A) obtenemos las siguientes f´ormulas para el ´angulo mitad: √ √ √ A 1 − cos A A 1 + cos A A 1 − cos A sen = cos = tg = 2 2 2 2 2 1 + cos A

A 2

(y

Las ra´ıces deber´an tomarse con signo m´as o menos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ´angulo mitad.

4.10.

F´ ormulas de transformaci´ on en producto

Sumando y restando las f´ormulas de la suma y de la diferencia de ´angulos se obtiene: } { sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen(α + β) + sen(α − β) = 2 sen α cos β =⇒ sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β sen(α + β) − sen(α − β) = 2 cos α sen β Y de la misma forma: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β

}

cos(α − β) = cos α cos β + cos α cos β

{ =⇒

llamando α + β = A y α − β = B (y, por tanto, α =

A+B 2

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sen α sen β

yβ=

A−B 2 ),

estas f´ormulas se pueden escribir:

sen A + sen B = 2 sen

A−B A+B cos 2 2

sen A − sen B = 2 cos

A+B A−B sen 2 2

cos A + cos B = 2 cos

A−B A+B cos 2 2

cos A − cos B = −2 sen

A+B A−B sen 2 2

4. TRIGONOMETR´IA

42

4.11.

Funciones circulares.

Las funciones y = sen x, y = cos x e y = tg x as´ı como sus rec´ıprocas cosecante, secante y cotangente, tienen la particularidad de que son peri´odicas de per´ıodo 2π, es decir toman valores iguales cada 2π radianes. La funci´on tangente tiene un per´ıodo m´as peque˜ no de π radianes. Como se ve (figura 11.7), las gr´aficas de las funciones seno y coseno son iguales pero desfasadas en funci´on tangente tiene as´ıntotas x = ±(2k + 1) π2 para k = 0, 1, 2, . . ..

π 2.

La

Figura 4.10: Funciones circulares Las inversas de estas funciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones se definen de la siguiente manera: ⋄ arsen x es el ´angulo (en radianes) comprendido entre − π2 y

π 2

cuyo seno vale x.

⋄ arcos x es el ´angulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno vale x. ⋄ artg x es el ´angulo comprendido entre − π2 y

4.12.

π 2

cuya tangente vale x.

La f´ ormula de Her´ on

Anteriormente ya vimos la f´ ormula de Her´ on que da el ´ area de un tri´ angulo cuando se conocen los tres lados: S=

√

p(p − a)(p − b)(p − c);

p=

a+b+c 2

Ahora demostraremos esta f´ ormula. Hemos visto que el ´ area de un tri´ angulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno del ´ angulo comprendido: S=

1 bc sen A 2

Por otra parte, por el teorema del coseno sabemos que: cos A =

b2 + c2 − a2 2bc

ormulas para sustituirlo en la primera: La demostraci´ on se basa en obtener el seno de A de la segunda de estas f´ Puesto que sen2 A = 1 − cos2 A = (1 + cos A)(1 − cos A) vamos a calcular los dos factores 1 + cos A y 1 − cos A, a partir del teorema del coseno: 1 + cos A = 1 +

b2 + c2 − a2 b2 + c2 + 2bc − a2 (b + c)2 − a2 (b + c + a)(b + c − a) = = = 2bc 2bc 2bc 2bc

Como hemos llamado p al semiper´ımetro tenemos que b + c + a = 2p y adem´ as: b + c − a = b + c + a − 2a = 2p − 2a = 2(p − a)

´ ´ 4.12. LA FORMULA DE HERON

43

con lo que tenemos que 1 + cos A =

(b + c + a)(b + c − a) 2p · 2(p − a) 2p(p − a) = = 2bc 2bc bc

(4.1)

De la misma forma obtenemos para 1 − cos A: 1 − cos A = 1 −

b2 + c2 − a2 a2 − b2 − c2 + 2bc a2 − (b − c)2 (a + b − c)(a − b + c) = = = 2bc 2bc 2bc 2bc

En funci´ on de semiper´ımetro esto se puede escribir como: 1 − cos A =

(a + b − c)(a − b + c) 2(p − c) · 2(p − b) 2(p − b)(p − c) = = 2bc 2bc bc

Ya podemos obtener el seno de A: sen2 A = (1 + cos A)(1 − cos A) =

2p(p − a) 2(p − b)(p − c) 4p(p − a)(p − b)(p − c) · = bc bc b2 c2

con lo que: sen A =

2 √ p(p − a)(p − b)(p − c) bc

y sustituyendo en la f´ ormula del ´ area: S=

√ 1 1 2 √ bc sen A = bc p(p − a)(p − b)(p − c) = p(p − a)(p − b)(p − c) 2 2 bc

De las f´ ormulas 4.1 y 4.2 y teniendo en cuenta que: √ A 1 − cos A = tg 2 1 + cos A se obtienen las siguientes f´ ormulas para los ´ angulos de un tri´ angulo cuando se conocen los lados: √ √ √ A B C 2p(p − a) 2p(p − b) 2p(p − c) tg = ; tg = ; tg = 2 (p − b)(p − c) 2 (p − a)(p − c) 2 (p − a)(p − b) que se conocen como f´ ormulas de Briggs.

(4.2)

44

4. TRIGONOMETR´IA

5 ´ NUMEROS COMPLEJOS

5.1.

Cuerpos

Un cuerpo conmutativo es un conjunto de n´ umeros que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Los n´ umeros racionales, esto es, los n´ umeros que pueden escribirse en forma de fracci´on, forman un cuerpo conmutativo que se representa por la letra Q. Los n´ umeros reales, formados por los racionales e irracionales, se representan por la letra R y tambi´en tienen estructura de cuerpo conmutativo. Sin embargo el conjunto de los n´ umeros enteros Z no es un cuerpo pues, en general, los n´ umeros enteros no se pueden dividir, por ejemplo, el cociente de 7 entre 3 no es un n´ umero entero. De forma m´as precisa, un cuerpo conmutativo F es un conjunto con cuyos elementos pueden hacerse dos operaciones, suma y producto y estas operaciones tienen las propiedades siguientes: ⋄ Propiedades de la suma: 1. Asociativa. Para sumar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a + b) + c = a + (b + c) 2. Elemento neutro o cero. Existe un elemento que se le suele llamar cero con la propiedad: a+0=a 3. Elemento sim´etrico u opuesto. Para cada elemento a del cuerpo existe otro elemento (representado generalmente por −a) con la propiedad de que al sumar ambos se obtiene el elemento neutro: a + (−a) = 0 4. Conmutativa. El resultado de la suma es independiente del orden de los sumandos: a+b=b+a La existencia de elemento opuesto hace que exista siempre la diferencia de los n´ umeros. La diferencia es la suma de un elemento y el opuesto del otro: a − b = a + (−b) 45

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

46 ⋄ Propiedades del producto:

1. Asociativa. Para multiplicar tres elementos pueden asociarse como se quiera (a · b) · c = a · (b · c) 2. Elemento neutro o unidad. Existe un elemento que se le suele llamar uno con la propiedad: a·1=a 3. Elemento sim´etrico o inverso. Para cada elemento a del cuerpo salvo para el cero, existe otro elemento (representado generalmente por a−1 ) con la propiedad de que al multiplicar ambos se obtiene el elemento unidad: a · a−1 = 1 4. Conmutativa. El producto es independiente del orden de los factores: a·b=b·a La existencia de elemento inverso garantiza que se puedan dividir dos n´ umeros salvo si el divisor es cero. El cociente es el producto del primer elemento por el inverso del segundo: a/b = a · b−1 ⋄ Propiedades de la suma y el producto Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c Dado un cuerpo F y un n´ umero a no perteneciente al cuerpo, siempre puede encontrarse un cuerpo que contenga a ambos, es decir, al cuerpo umero a. Por ejemplo, si consideramos el √ cuerpo Q de √ F y al n´ los n´ umeros racionales y el n´ umero 2 que no es racional, los n´ umeros de la forma a + b 2 con a y b √ racionales, forman un cuerpo que incluye a todos los racionales y a 2.

5.2.

N´ umeros complejos

Tanto el conjunto Q de los n´ umeros racionales como el conjunto R de los n´ umeros reales son cuerpos. La necesidad de ampliar el cuerpo de los racionales, surge del hecho de que muchas funciones, como por ejemplo las ra´ıces o el logaritmo, no tienen sentido dentro de este conjunto. Seg´ un hemos visto, en el conjunto de los n´ umeros reales tampoco pueden definirse algunas funciones como la ra´ız cuadrada o el logaritmo para n´ umeros negativos. La ampliaci´on del concepto de n´ umero a los n´ umeros complejos permite extender el dominio de estas funciones a todos los n´ umeros. Para construir los n´ umeros complejos vamos a a˜ nadir a los n´ umeros reales un n´ umero i que llamaremos umero i es una ra´ız de −1. unidad imaginaria y que cumple que i2 = −1, es decir, el n´ Si queremos que el nuevo conjunto sea un cuerpo, para que est´e definida la multiplicaci´on, debemos a˜ nadir umero real. Estos n´ umeros, producto de un n´ umero real todos los n´ umeros de la forma bi donde b es un n´ por la unidad imaginaria, se llaman n´ umeros imaginarios puros. Adem´as, puesto que los n´ umeros se pueden sumar, deben existir los n´ umeros de la forma a + bi donde a y b son n´ umeros reales. Estos n´ umeros son suma de un n´ umero real y un n´ umero imaginario puro. Veremos que con n´ umeros de la forma a + bi con a, b ∈ R pueden definirse la suma y la multiplicaci´on con todas las propiedades de un cuerpo conmutativo. Estos n´ umeros forman el cuerpo de los n´ umeros

´ 5.2. NUMEROS COMPLEJOS

47

complejos y esta representaci´ on de los complejos como suma de un n´ umero real y un n´ umero imaginario puro se llama forma bin´ omica del n´ umero complejo. El cuerpo de los n´ umeros se representa por C. Por consiguiente, un n´ umero complejo a + bi est´a formado por dos n´ umeros reales a y b. El n´ umero a se llama parte real del complejo, y el n´ umero b (el que aparece multiplicando a la unidad imaginaria) se denomina parte imaginaria del complejo. Esto es similar a los n´ umeros fraccionarios que estan compuestos por dos n´ umeros enteros, el numerador y el denominador. De la misma forma que los n´ umeros reales se representan sobre una recta, los n´ umeros complejos se representan en un plano llamado Plano de Argand, tomando la parte real sobre el eje de abscisas (que llamaremos eje real ) y la parte imaginaria sobre el eje de ordenadas (eje imaginario). El punto representativo de un n´ umero se llama afijo del complejo.

Figura 5.1: Plano complejo o de Argand En esta representaci´ on, los afijos de los n´ umeros reales est´an sobre el eje de abscisas y los n´ umeros imaginarios puros sobre el eje de ordenadas. De ah´ı los nombres de eje real y eje imaginario con que designamos estos ejes. Los complejos que tienen la misma parte real y parte imaginaria del mismo valor y signo contrario, es decir, los complejos a + bi y a − bi, se llaman conjugados. El conjugado de un complejo z se representa por z ∗ o tambi´en por z¯. Los afijos de estos complejos son puntos sim´etricos respecto al eje real. Los n´ umeros reales son conjugados de s´ı mismos. En la figura siguiente pueden verse los afijos de algunos pares de complejos conjugados.

Figura 5.2: N´ umeros complejos conjugados

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

48

5.3.

Operaciones con complejos en forma bin´ omica

⋄ Suma y diferencia. La suma de complejos en forma bin´omica se obtiene sumando las partes reales e imaginarias de los dos complejos: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i Por ejemplo: (−5 + 2i) + (3 − i) = −2 + i (−5 + 2i) − (3 − i) = −8 + 3i ⋄ Producto. Los complejos se multiplican como si fuesen binomios y el polinomio resultante se reduce teniendo en cuenta que i2 = −1: (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac − bd + (ad + bc)i Por ejemplo: (6 − 2i) · (1 + 5i) = 6 + 30i − 2i − 10i2 = 6 + 28i + 10 = 16 + 28i El producto de un complejo por su conjugado es un n´ umero real positivo. En efecto, sea z = a + bi: zz ∗ = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2 i2 = a2 + b2 La ra´ız cuadrada positiva de este n´ umero se llama m´odulo del complejo y se representa por |z|: √ √ |z| = zz ∗ = a2 + b2 Por ejemplo: z = 7 − 5i

=⇒

|z| =

√ √ 72 + 52 = 84

⋄ Cociente. La divisi´on de un complejo por un n´ umero real es muy sencilla, basta dividir por ese n´ umero tanto la parte real como la parte imaginaria: a + bi a b = + i c c c Si el divisor es un n´ umero complejo, puede reducirse al caso anterior multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = = = 2 + 2 i c + di (c + di)(c − di) c2 + d2 c + d2 c + d2 Por ejemplo: (1 + 2i)(−2 − 3i) −2 − 3i − 4i − 6i2 4 − 7i 4 7 1 + 2i = = = = − i −2 + 3i (−2 + 3i)(−2 − 3i) 22 + 32 13 13 13 ⋄ Propiedades de los complejos conjugados. Definidas las operaciones de esta forma, el conjugado de un complejo tiene las siguientes propiedades: ∗

− (z1 + z2 ) = z1∗ + z2∗ ∗

− (z1 z2 ) = z1∗ + z2∗ ( )∗ z1 z∗ − = 1∗ z2 z2

´ 5.4. POTENCIA Y RA´IZ CUADRADA EN FORMA BINOMICA

5.4.

49

Potencia y ra´ız cuadrada en forma bin´ omica

La potencia de un n´ umero complejo puede calcularse mediante la f´ormula del binomio de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m−1 m m−2 2 m m m (a + b) = a + a b+ a b + ··· + b 0 1 2 m Para un complejo en forma bin´omica, la f´ormula de Newton se escribe como: ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m−1 m m−2 2 2 m mm a + a bi + a b i + ··· + b i (a + bi)m = 0 1 2 m Para calcular las potencias de la unidad imaginaria tenemos en cuenta lo siguiente: i0 i1 i2 i3

=1 =i = −1 = i · (−1) = −i

i4 i5 i6 i7

= i · (−i) = −i2 = 1 =i·1=i = i · i = −1 = i · (−1) = −i

i8 = i · (−i) = −i2 = 1 i9 = i · 1 = i i10 = i · i = −1 i11 = i · (−1) = −i

Puede verse que las potencias de i se repiten en el orden i, −1, −i, 1, y que cuando el exponente es m´ ultiplo de 4 la potencia vale 1. En general, puede escribirse: in = in mod 4 donde n mod 4 significa el resto de dividir n entre 4 (se lee n m´odulo 4). Ejercicio 27. Calcular (2 − 5i)3 . Aplicando la f´ormula del binomio y teniendo en cuenta que i2 = −1 e i3 = −i: (2 − 5i)3 = 23 − 3 · 22 · 5i + 3 · 2 · 52 i2 − 53 i3 = 8 − 60i − 150 + 125i = −142 + 65i

Supongamos ahora que queremos calcular la ra´ız cuadrada del complejo a + bi, esto es, queremos calcular un n´ umero complejo x + yi que cumpla: (x + yi)2 = a + bi Desarrollando el cuadrado e igualando la parte real y la parte imaginaria de cada n´ umero resulta: { x2 − y 2 = a 2 2 x − y − 2xyi = a + bi =⇒ 2xy = b resolviendo el sistema se obtienen las dos ra´ıces cuadradas. Hay que recordar que x e y son n´ umeros reales. M´as adelante veremos un m´etodo mejor para calcular las potencias y ra´ıces de n´ umeros complejos. √ Ejercicio 28. Calcular la ra´ız cuadrada 21 − 20i = x + yi. √ Sea 21 − 20i = x + yi. Seg´ un hemos visto se cumple que x2 − y 2 = 21 2xy = −20

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

50 Despejando y en la segunda ecuaci´on y sustituyendo en la primera: y=

−20 −10 = 2x x

=⇒

x2 −

100 = 21 x2

=⇒

x4 − 21x2 − 100 = 0

Resolviendo la ecuaci´on bicuadrada se obtiene x = −5 y x = 5. Los valores correspondientes de y son 2 y −2. Por consiguiente, las dos ra´ıces son −5 + 2i y 5 − 2i. Comprobemos, por ejemplo, el primer resultado: (−5 + 2i)2 = 25 − 20i + 4i2 = 25 − 20i − 4 = 21 − 20i

5.5.

Forma polar y trigonom´ etrica del n´ umero complejo

Figura 5.3: M´odulo y argumento de un complejo El afijo de un n´ umero complejo puede determinarse, en lugar de por sus coordenadas cartesianas, por ´ sus coordenadas polares. Estas son el m´ odulo r y el argumento φ. El m´odulo es la distancia del afijo del complejo al origen de coordenadas. Si conocemos la parte real a y la parte imaginaria b del complejo, el m´odulo es: √ r = a2 + b2 El m´odulo de un complejo es un n´ umero real positivo. Se suele representar tambi´en escribiendo el complejo entre barras, por ejemplo |z|, o |a + bi|. El argumento de un complejo es el ´angulo que forma el segmento que une el origen y el afijo del complejo con el semieje real positivo. En realidad, un complejo tiene infinitos argumentos que difieren en un m´ ultiplo de 2π, pues si φ es un argumento tambi´en lo es φ + 2kπ donde k es un n´ umero entero. El argumento se relaciona con la parte real y la parte imaginaria del complejo por: tg φ =

b a

siempre determinando el ´angulo teniendo en cuenta el cuadrante en el que se encuentra el afijo del complejo. Un complejo en forma polar se escribe como rφ . Por ejemplo 2 π3 es el complejo que tiene de m´odulo 2 y argumento π3 . √ Ejercicio 29. Calcular el m´odulo y el argumento del n´ umero complejo −1 + 3i. El m´odulo del complejo es: √ √ r = 1+3= 4=2

´ 5.6. PRODUCTO Y COCIENTE EN FORMA TRIGONOMETRICA

51

El afijo del n´ umero se encuentra en el segundo cuadrante de modo que el argumento es: tg φ =

√ √ 3 =− 3 −1

φ=π−

=⇒

π 2π + 2kπ = + 2kπ 3 3

(k ∈ Z)

Si se conocen el m´odulo y el argumento, la parte real y la parte imaginaria se obtienen mediante a = r cos φ b = r sen φ de forma que el complejo a + bi puede escribirse como a + bi = r cos φ + ir sen φ = r(cos φ + i sen φ) Esta manera de escribir el complejo, sustituyendo r y φ en la u ´ltima expresi´on, se llama forma trigonom´etrica del n´ umero complejo. Por ejemplo, un complejo en forma trigonom´etrica ser´ıa 3(cos π3 +i sen π3 ). Este complejo tiene de m´odulo 3 y argumento π3 . Ejercicio 30. Calcular la expresi´on en forma bin´omica del complejo de m´odulo 2 y argumento 225o . El argumento 225o es igual a

5π 4

(

2 5π 4

5.6.

5π 5π = 2 cos + i sen 4 4

radianes. Pasando primero a la forma trigonom´etrica tenemos que: )

( √ √ ) √ √ 2 2 =2 − −i = − 2 − 2i 2 2

Producto y cociente en forma trigonom´ etrica

Sean los complejos: z1 = r1 (cos φ1 + i sen φ1 ) z2 = r2 (cos φ2 + i sen φ2 ) Multipliquemos los dos n´ umeros: z1 z2 = r1 (cos φ1 + i sen φ1 ) · r2 (cos φ2 + i sen φ2 ) [ ] = r1 r2 cos φ1 cos φ2 + i cos φ1 sen φ2 + i sen φ1 cos φ2 + i2 sen φ1 sen φ2 = r1 r2 [cos φ1 cos φ2 − sen φ1 sen φ2 + i(sen φ1 cos φ2 + cos φ1 sen φ2 )] = r1 r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sen(φ1 + φ2 )] ´ Esta es la forma trigonom´etrica de un complejo de m´odulo r1 r2 y de argumento φ1 + φ2 . Llegamos por tanto a la siguiente conclusi´on: para multiplicar dos complejos en forma polar o trigonom´etrica, se multiplican sus m´odulos y se suman sus argumentos. No es dif´ıcil imaginar que para dividir complejos se dividir´an sus m´odulos y se restar´an sus argumentos. En efecto, dividamos en forma trigonom´etrica multiplicando numerador y denominador por el conjugado

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

52 del denominador: z1 r1 (cos φ1 + i sen φ1 ) = z2 r2 (cos φ2 + i sen φ2 ) =

r1 (cos φ1 + i sen φ1 )(cos φ2 − i sen φ2 ) r2 (cos φ2 + i sen φ2 )(cos φ2 − i sen φ2 )

=

r1 (cos φ1 cos φ2 − i cos φ1 sen φ2 + i sen φ1 cos φ2 − i2 sen φ1 sen φ2 ) r2 (cos2 φ2 + sen2 φ2 )

=

r1 [cos φ1 cos φ2 + sen φ1 sen φ2 + i(sen φ1 cos φ2 − cos φ1 sen φ2 )] r2

=

r1 [cos(φ1 − φ2 ) + i(sen φ1 − φ2 )] r2

=

r1 [cos(φ1 − φ2 ) + i(sen φ1 − φ2 )] r2

Como hab´ıamos previsto resulta que el complejo cociente de otros dos, tiene como m´odulo el cociente de sus m´odulos y como argumento la diferencia de sus argumentos, Ejercicio 31. Calcular en forma polar el cociente: (1 + i)3i √ √ 2 − 2i En primer lugar, calculamos los complejos en forma polar. Es f´acil ver que: √ 1 + i = 2 π4 3i = 3 π4 √ √ 2 − 2i = 2 7π 4 Entonces: (1 + i)3i √ √ = 2 − 2i

( √ ) √ 2 π4 3 π2 3 2 = 2 7π 2 π 4 4

5.7.

7π +π 2− 4

( √ ) 3 2 = 2

−π

( √ ) 3 2 = 2

π

Potencia y ra´ız en forma polar

Puesto que la potencia de exponente natural no es sino un producto de factores iguales, podemos aplicar la regla de c´alculo de productos para calcular las potencias: los m´odulos deber´an multiplicarse y los argumantos sumarse. Puesto que al multiplicar n veces el m´odulo r por s´ı mismo se obtiene rn y al sumar el argumento φ consigo mismo n veces se obtiene nφ se tiene que: n

[r(cos φ + i sen φ)] = rn (cos nφ + i sen nφ) Si r = 1, la expresi´on anterior se escribe como cos nφ + i sen nφ = (cos φ + i sen φ)n que se conoce como f´ormula de Moivre. La f´ormula de Moivre permite calcular el seno y el coseno de los ´angulos doble, triple, cu´adruple, etc, de un ´angulo cualquiera φ a partir de sen φ y cos φ.

5.7. POTENCIA Y RA´IZ EN FORMA POLAR

53

Ejercicio 32. A partir de la f´ormula de Moivre, obtener cos 3x y sen 3x. Desarrollando la f´ormula de Moivre para n = 3 resulta: (cos 3φ + i sen 3φ) = (cos φ + i sen φ)3 = cos3 φ + 3 · cos2 φ · i sen φ + 3 cos φ · i2 sen2 φ + i3 sen3 φ = cos3 φ + 3i cos2 φ sen φ − 3 cos φ sen2 φ − i sen3 φ donde se ha tenido en cuenta que i2 = −1 y i3 = −i. Igualando partes reales e imaginarias resulta: cos 3φ = cos3 φ − 3 cos φ sen2 φ sen 3φ = 3 cos2 φ sen φ − sen3 φ

Dado que la ra´ız es la funci´on inversa de la potencia, para calcular la ra´ız en´esima de un complejo, habr´a que extraer la ra´ız del m´odulo y dividir el argumento por el ´ındice de la ra´ız. Pero aqu´ı es preciso tener en cuenta que a un complejo le corresponden infinitos argumentos que difieren en un m´ ultiplo entero de 2π de forma que ( ) √ √ φ + 2kπ φ + 2kπ n n r(cos φ + i sen φ) = r cos + i sen (k ∈ Z) n n Esto no quiere decir que un complejo tenga infinitas ra´ıces, una para cada valor de k. Para k = 0 se obtiene la ra´ız ( √ φ φ) n r cos + i sen n n Se obtienen ra´ıces diferentes para k = 1, 2, 3, · · · , n − 1 pero para k = n resulta: ( ) (φ ) (φ )) √ √ ( φ + 2nπ φ + 2nπ n r cos + i sen = n r cos + 2π + i sen + 2π n n n n umero complejo tiene que es igual que la ra´ız obtenida para k = 0. De aqu´ı deducimos que todo n´ exactamente n ra´ıces en´esimas. √ Todas las ra´ıces de un n´ umero complejo rφ tienen el mismo m´odulo n r. Puesto que el sentido gr´afico del m´odulo es la distancia al origen del afijo del complejo, los afijos de todas las ra´ıces en´esimas se encuentran √ en la circunferencia de centro el origen y radio n r. Las ra´ıces pueden obtenerse unas de otras sumando al argumento el ´angulo 2π ıces quintas del n´ umero complejo i. n . En la figura 5.4 pueden verse las ra´

Figura 5.4: Ra´ıces quintas de un n´ umero complejo

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

54 Ejercicio 33. Calcular las ra´ıces quintas de i.

√ El n´ umero i tiene de m´odulo 1 y argumento π2 . El m´odulo de todas las ra´ıces ser´a 5 1. La primera ra´ız tiene π como argumento π2 : 5 = 10 . Las restantes ra´ıces pueden obtenerse de ´esta sumando 2π ı obtenemos: 5 . As´ π π + i sen 10 10 ( ) ( ) π 2π π 2π π π = cos + + i sen + = cos + i sen 10 5 10 5 2 2 ( ) ( ) π 2π π 2π 9π 9π = cos + + i sen + = cos + i sen 2 5 2 5 10 10 ( ) ( ) 13π 13π 9π 2π 9π 2π = cos + + i sen + = cos + i sen 10 5 10 5 10 10 ( ) ( ) 13π 2π 17π 13π 2π 17π = cos + + + i sen + i sen = cos 10 5 10 5 10 10

z1 = cos z2 z3 z4 z5

5.8.

Forma exponencial de un n´ umero complejo

La funci´on exponencial para n´ umeros imaginarios se define por la f´ormula de Euler: eix = cos x + i sen x As´ı, un n´ umero complejo z de m´odulo r y argumento φ, puede escribirse como: z = reiφ En particular, eiφ representa un complejo de m´odulo 1 y argumento φ. Las reglas que hemos obtenido para las operaciones con complejos en forma polar, se deducen de forma inmediata de las propiedades de la funci´on exponencial: z1 z2 = r1 eiφ1 r2 eiφ2 = (r1 r2 ) ei(φ1 +φ2 ) z1 r1 eiφ1 r1 i(φ1 −φ2 ) = = e z2 r2 eiφ2 r2 ( )n z n = reiφ = rn einφ ( ) n1 √ √ φ+2kπ 1 n z = z n = rei(φ+2kπ) = n r ei n

5.9.

N´ umeros complejos y transformaciones geom´ etricas

Una correspondencia entre n´ umeros complejos del tipo z ′ = vz + w; v, w ∈ C asocia a cada complejo z ′ otro n´ umero complejo z . Tambi´en puede considerarse como una transformaci´on de los puntos del plano, de tal forma que el afijo de z se desplaza al afijo de z ′ . La transformaci´on m´as simple tiene la forma z ′ = z + w. Como puede verse en la figura 5.5, representa una traslaci´on de vector w.

´ ´ 5.9. NUMEROS COMPLEJOS Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

55

Figura 5.5: Traslaci´on de vector w Hemos visto que el producto de dos complejos tiene como m´odulo el producto de los m´odulos y como argumento la suma de los argumentos. Por ello, si se multiplica un complejo z por otro de m´odulo 1 y argumento φ, es decir, si se multiplica por eiφ , el m´odulo no cambia y el argumento aumenta en φ unidades (figura 5.6). Por consiguiente, la transformaci´on z ′ = eiφ z se puede interpretar geom´etricamente como un giro de ´angulo φ alrededor del origen. Si la rotaci´on se produce alrededor del afijo de un complejo c, el resultado z ′ considerado como un vector, es la suma del vector c y del vector z − c girado un ´angulo φ. Esta transformaci´on se expresa mediante: z ′ = c + (z − c)eiφ En general, la transformaci´on z ′ = eiφ z +w representa un giro de ´angulo φ. Si queremos calcular el centro de giro, buscamos el punto que queda invariante en la transformaci´on igualando z ′ = z = c: c = eiφ c + w

=⇒

c(1 − eiφ ) = w

=⇒

c=

w 1 − eiφ

Figura 5.6: Rotaci´on alrededor del origen o de un punto cualquiera Una homotecia de centro c y raz´on k ∈ R es una transformaci´on que hace corresponder a un punto z otro punto z ′ que cumple (ver figura 5.7): ⋄ El punto z ′ se encuentra en la recta cz.

´ 5. NUMEROS COMPLEJOS

56

Figura 5.7: Homotecia de centro c ⋄ La raz´on de las distancias de los dos puntos a c es k: cz ′ = k · cz. La homotecia de centro c y raz´on k ∈ R se puede representar por la ecuaci´on: z ′ − c = k(z − c)

=⇒

z ′ = c + k(z − c)

Podemos decir que una transformaci´on del tipo z ′ = kz + w; k ∈ R, k ̸= 1 representa una homotecia de raz´on k. El centro de la homotecia podemos encontrarlo calculando el punto invariante de la transformaci´ on, es decir, haciendo z ′ = z = c: w c = kc + w =⇒ c(1 − k) = w =⇒ c = 1−k En general, la transformaci´on z ′ = vz + w: ⋄ Si v = 1 es una traslaci´on de vector w. ⋄ Si v = eiφ , es un giro de ´angulo φ alrededor del punto c =

w . i − eiφ

w . 1−k ⋄ En los dem´as casos es el producto de un giro de ´angulo φ = arg v y de una homotecia de raz´on w . k = |v|. El centro en ambos casos es c = 1−v ⋄ Si v = k es real y k ̸= 1 es una homotecia de raz´on k de centro c =

Ejercicio 34. En una circunferencia de centro C(5, 2) se inscribe un cuadrado. Si uno de sus v´ertices es el punto P1 (−2 − 1), calcular los restantes. Sea c = 5 + 2i el complejo que tiene como afijo el centro de la circunferencia y z1 = −2 − i el que tiene como afijo el v´ertice conocido. Los dem´as v´ertices pueden obtenerse girando z1 alrededor de c m´ ultiplos de π2 : π

z2 = c + (z1 − c) ei 2

= 5 + 2i + (−7 − 3i)(cos

π π + i sen ) 2 2

= 5 + 2i − 7i + 3 = 8 − 5i y de forma similar: z3 = c + (z1 − c) ei z4 = c + (z1 − c) e

2π 2

i 3π 2

= 12 + 5i = 2 + 9i

Los v´ertices son P2 (8, −5), P3 (12, 5) y P3 (2, 9).

6 GEOMETR´IA

6.1.

Ecuaci´ on punto-pendiente y expl´ıcita de la recta.

En Geometr´ıa Anal´ıtica las rectas se representan mediante ecuaciones de primer grado con dos inc´ognitas. Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuaci´on. Por ejemplo, la ecuaci´on 3x + 4y = 5 representa a una recta. Si queremos obtener puntos de esta recta, basta calcular soluciones de la ecuaci´on. Dando un valor a una de las inc´ognitas y calculando el valor correspondiente de la otra obtenemos un punto. Por ejemplo, en la ecuaci´on anterior, dando a x el valor −1 se obtiene para y: x = −1

=⇒

3(−1) + 4y = 5 ;

4y = 8 ;

y=2

de modo que el punto (−1, 2) es un punto de la recta dada. Una ecuaci´on de primer grado puede escribirse de muchas formas diferentes, con par´entesis, sin par´entesis, con denominadores, sin denominadores, etc. Dependiendo c´omo se escriba la ecuaci´on, sus coeficientes tienen un significado u otro como caracter´ısticas de la recta. Seguidamente, veremos las formas m´as convenientes de escribir la ecuaci´on de una recta. Supongamos que una recta est´a definida por un punto P (x0 , y0 ) y el ´angulo que forma con la direcci´on positiva del eje de abscisas, es decir, por el ´angulo α en la figura 6.1. La tangente de este ´angulo se representa por la letra m y se llama pendiente de la recta. Para que el punto X(x, y) se encuentre sobre la recta debe cumplir que: tg α = m =

y − y0 x − x0

=⇒

y − y0 = m(x − x0 )

Esta forma de escribir la ecuaci´on y − y0 = m(x − x0 ) se llama forma punto-pendiente de la ecuaci´on de la recta. El significado de los coeficientes en este caso est´a claro: representan las coordenadas (x0 , y0 ) de un punto de la recta y la pendiente m. Si se toma como punto para definir la recta, el punto de corte con el eje de ordenada B(0, b), la ecuaci´on queda: y − b = m(x − 0) 57

6. GEOMETR´IA

58

Figura 6.1: Ecuaciones de la recta punto-pendiente y expl´ıcita o bien y = mx + b que se llama ecuaci´ on expl´ıcita de la recta. En esta ecuaci´on, el coeficiente de x es la pendiente, y el t´ermino independiente b representa la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas que recibe el nombre de ordenada en el origen. Ejercicio 35. Calcular en las formas punto-pendiente y expl´ıcita la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos A(−2, 5) y B(3, 1). Podemos calcular la pendiente de la recta como el cociente de las variaciones de y y de x entre los dos puntos conocidos de la recta (figura 6.2): m=

∆y y2 − y1 1−5 −4 = = = ∆x x2 − x1 3 − (−2) 5

Como punto para definir la recta podemos tomar cualquiera de los dos, por ejemplo el punto A. La

Figura 6.2: Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos ecuaci´on punto-pendiente es: 4 y − 5 = − (x + 2) 5 La ecuaci´on expl´ıcita la obtenemos despejando y: y =5−

8 4 x− 5 5

=⇒

4 17 y =− x+ 5 5

´ CANONICA ´ 6.2. ECUACION O SEGMENTARIA.

6.2.

59

Ecuaci´ on can´ onica o segmentaria.

Vamos a suponer ahora que la recta est´a dada por los puntos A(a, 0) y B(0, b) en que la recta corta a los ejes de coordenadas (figura 6.3).

Figura 6.3: Ecuaci´on segmentaria de la recta La pendiente de la recta es: b−0 b =− 0−a a Puesto que la ordenada en el origen de la recta es b, su ecuaci´on expl´ıcita es: m=

b y = − x + b =⇒ (quitando denominadores) bx + ay = ab a y dividiendo por ab los dos miembros resulta: x y + =1 a b Esta es la ecuaci´ on segmentaria o can´ onica de la recta. Los coeficientes a y b de la ecuaci´on son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen, es decir, la abscisa y la ordenada de los puntos de corte con los ejes. Ejercicio 36. Calcular la ecuaci´on segmentaria de la recta 3x + 4y = 24. Resolveremos el problema por dos procedimientos: ⋄ Calculamos las intersecciones e la recta con los ejes de coordenadas. Para calcular la intersecci´on con el eje de abscisas hacemos y = 0 y para calcular la intersecci´on con el eje de ordenadas hacemos x = 0: { { 3x + 4y = 24 3x + 4y = 24 =⇒ A(8, 0) =⇒ B(0, 6) y=0 x=0 Hemos hallado la abscisa en el origen (a = 8) y la ordenada en el origen (b = 6). La ecuaci´on de la recta en forma segmentaria es: x y + =1 8 6 ⋄ Dividiendo los dos miembros de la ecuaci´on por 24: 24 3x 4y + = 24 24 24 Pasando dividiendo al denominador los coeficientes que aparecen en el numerador multiplicando: x y x y =⇒ + =1 24 + 24 = 1 8 6 3 6

6. GEOMETR´IA

60

6.3.

Ecuaci´ on general o impl´ıcita.

No todas las rectas tienen una ecuaci´on que se pueda escribir en una de las formas vistas hasta ahora. Por ejemplo, la pendiente es la tangente del ´angulo que forma la recta con el eje de abscisas. Las rectas paralelas al eje de ordenadas forman un ´angulo de 90o con el eje de abscisas y, por consiguiente, no tienen pendiente, puesto que la tangente de 90o no existe. A veces se dice que estas rectas tienen tangente infinita. Para que la ecuaci´on de una recta pueda escribirse en forma segmentaria, es preciso que la recta corte a los dos ejes en puntos distintos del origen. Por tanto, no podr´an escribirse en forma segmentaria ni las rectas paralelas a cualquiera de los dos ejes ni las rectas que pasan por el origen. Sin embargo, todas las rectas pueden expresarse mediante ecuaciones del tipo: Ax + By + C = 0 Esta forma de escribir la ecuaci´on de primer grado se llama general o impl´ıcita y, como hemos dicho, todas las rectas tienen una ecuaci´on que se puede escribir de esta manera. El problema es que es m´as dif´ıcil encontrar un significado par sus coeficientes A, B y C.

Figura 6.4: Casos particulares de la ecuaci´on de la recta Cuando alguno de los coeficientes de la ecuaci´on es cero, nos encontramos con los siguientes casos particulares: ⋄ Si A = 0 en la ecuaci´on falta la inc´ognita x. La ecuaci´on se suele escribir en la forma y = y0 y se trata de rectas paralelas al eje de abscisas. En particular, la ecuaci´on del eje X es y = 0. ⋄ Si B = 0 en la ecuaci´on falta la inc´ognita y. En este caso se trata de rectas paralelas al eje de ordenadas que se suelen escribir en la forma x = x0 . La ecuaci´on del eje de ordenadas es x = 0. ⋄ Si C = 0 la recta correspondiente pasa por el origen puesto que (0, 0) es una soluci´on de la ecuaci´on. En particular, la recta y = x se llama bisectriz del primer cuadrante y y = −x bisectriz del segundo cuadrante. Ejercicio 37. Calcular las ecuaciones de las paralelas a los ejes por el punto P (1, 3) La paralela al eje OX tiene de ecuaci´on y = 3. La paralela al eje OY tiene de ecuaci´on x = 1.

Ejercicio 38. Calcular el punto de intersecci´on de la recta 2x + 5y − 7 = 0 con la bisectriz del primer cuadrante. Para calcular la intersecci´ on de dos rectas hay que hallar la soluci´on del sistema formado por sus ecua-

´ RELATIVA DE DOS RECTAS. 6.4. POSICION

61

ciones. En este caso, el sistema es: { 2x + 5y − 7 = 0 y=x sistema que tiene por soluci´on el punto P (1, 1).

6.4.

Posici´ on relativa de dos rectas.

Dos rectas o bien se cortan o son paralelas. Cuando dos rectas son paralelas forman el mismo ´angulo con el eje de abscisas y, por consiguiente, tienen la misma pendiente (ver figura 6.5).

Figura 6.5: Rectas paralelas Si las ecuaciones de las dos rectas est´an escritas en forma expl´ıcita o punto-pendiente podemos saber si son paralelas, simplemente comprobando si tienen o no la misma pendiente. En el caso de que una recta est´e escrita en forma impl´ıcita Ax + By + C = 0, podemos obtener su pendiente despejando la inc´ognita y: A C A x− =⇒ m = − B B B Por tanto, si las rectas A1 x + B1 y + C1 = 0 y A2 x + B2 y + C2 = 0 son paralelas, deben tener la misma pendiente y, por consiguiente: Ax + By + C = 0

−

A2 A1 =− B1 B2

=⇒

=⇒

y=−

A1 B1 = A2 B2

Esta es la condici´on de paralelismo de dos rectas cuando sus ecuaciones est´an escritas en forma impl´ıcita. Si adem´as sucede que: A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 las dos ecuaciones tienen las mismas soluciones (una de ellas es igual a la otra multiplicada por un n´ umero). Las dos rectas tienen los mismos puntos y son, por tanto, coincidentes. Ejercicio 39. Calcular la ecuaci´on de la paralela a la recta y = 2x − 5 que pasa por el punto P (3, −7). Si es paralela, debe tener la misma pendiente m = 2. Como adem´as pasa por el punto P (3, −7), su ecuaci´on es: y + 7 = 2 (x − 3)

6. GEOMETR´IA

62

Ejercicio 40. Calcular la ecuaci´on de la paralela a la recta 3x − 5y + 8 = 0 por el punto A(1, 7). Si la ecuaci´on est´a dada en forma impl´ıcita podemos utilizar otro procedimiento (aunque podr´ıamos calcular la pendiente de la recta dada y proceder como en el problema anterior). Puesto que los coeficientes A y B de la recta y su paralela son proporcionales, podemos suponer que son los mismos y las dos ecuaciones difieren simplemente en el coeficiente C. La recta que buscamos es: 3x − 5y + C = 0 umeros son soluci´on de la ecuaci´on. Por tanto: Como la recta pasa por A(1, 7) estos n´ 3·1−5·7+C =0

=⇒

C = 35 − 3 = 32

La ecuaci´on de la paralela es 3x − 5y + 32 = 0.

6.5.

´ Angulo de dos rectas

Se llama ´angulo de dos rectas el menor de los ´angulos que forman.

Figura 6.6: Angulo de dos rectas Sean dos rectas r1 y r2 cuyas ecuaciones en forma expl´ıcita son y = m1 x + b1 y y = m2 x + b2 . En la figura 6.6 vemos que el ´angulo α que forman las dos rectas es: α = α1 − α2 Por consiguiente: tg α = tg(α1 − α2 ) =

tg α1 − tg α2 m1 − m2 = 1 + tg α1 tg α2 1 + m1 m2

Si queremos obtener el ´angulo agudo que forman las dos rectas, deberemos tomar el valor absoluto de esta expresi´on. Tenemos entonces para el ´angulo de dos rectas la siguiente f´ormula: m1 − m2 tg α = 1 + m1 m2 Si las rectas son perpendiculares el denominador debe ser cero. La condici´on para que dos rectas sean perpendiculares es: r1 ⊥ r2

⇐⇒

1 + m1 m2 = 0

⇐⇒

m2 = −

1 m1

Haciendo α = 0 se obtiene la condici´on de paralelismo que ya conocemos: r1 ∥ r2

⇐⇒

m1 = m2

6.6. DISTANCIAS

63

Ejercicio 41. Calcular la ecuaci´on de la recta perpendicular a r : 3x − 5y + 1 = 0 que pasa por P (1, −2). La pendiente de la recta r es m = 53 . La pendiente de la perpendicular tiene que ser m′ = − 53 . Puesto que la recta debe pasar por P (1, −2) su ecuaci´on es: 5 y + 2 = − (x − 1) 3

6.6.

Distancias

⋄ Distancia entre dos puntos. De la figura 6.7 y del teorema de Pit´agoras se desprende que: √ d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Figura 6.7: Distancia entre dos puntos

⋄ Distancia desde el origen a una recta.

Figura 6.8: Distancia del origen a una recta

6. GEOMETR´IA

64

Sea la recta r : Ax + By + C = 0 (ver figura 6.8). La ecuaci´on de la perpendicular a r por el origen es: y=

B x A

La intersecci´ on de esta recta con r es el punto P (x′ , y ′ ). Las coordenadas de este punto se obtienen resolviendo el sistema:  Ax + By + C = 0 B2 x + C = 0 =⇒ A2 x + B 2 x + AC = 0 =⇒ Ax + y = B x A A Despejando: (A2 + B 2 )x + AC = 0

=⇒

x=

−AC A2 + B 2

Las coordenadas del punto P son: −AC −BC y′ = 2 A2 + B 2 A + B2 La distancia del origen a P es: √ √ 2 2 2 2 √ A C + B C C2 |C| d = x′2 + y ′2 = = =√ 2 2 2 2 2 2 (A + B ) A +B A + B2 x′ =

⋄ Distancia de un punto a una recta.

Figura 6.9: Distancia de un punto a una recta Sea el punto P (x0 , y0 ) y la recta r : Ax + By + C = 0. Para calcular la distancia de P a r hacemos una traslaci´on que lleve el punto P al origen: { x′ = x − x0 y ′ = y − y0 La recta trasladada tiene como ecuaci´on: A(x′ + x0 ) + B(y ′ + y0 ) + C = 0

o

Ax′ + By ′ + Ax0 + By0 + C = 0

Aplicando ahora la f´ormula obtenida para la distancia desde el origen a una recta se obtiene: d(P, r) =

|Ax0 + By0 + C| √ A2 + B 2

f´ormula que es f´acil de recordar pues el numerador es el primer miembro de la ecuaci´on impl´ıcita de la recta r sustituyendo, en lugar de las inc´ognitas, las coordenadas de P .

6.7. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ

65

⋄ Distancia entre rectas paralelas. La distancia entre dos rectas paralelas puede calcularse tomando un punto cualquiera de una de ellas y calculando la distancia desde ese punto a la otra recta. Tambi´en puede obtenerse como suma o diferencia de las distancias desde el origen (figura 6.10). Si las ecuaciones de las rectas son r1 : Ax + By + C = 0 y r2 : Ax + By + C ′ = 0, su distancia es: |C − C ′ | d(r1 , r2 ) = √ A2 + B 2

Figura 6.10: Distancia entre dos rectas paralelas

6.7.

Mediatriz y bisectriz

La mediatriz de un segmento es la perpendicular por el punto medio. Tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Figura 6.11: Mediatriz de un segmento

Sea el segmento determinado por los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) (ver figura 6.11). Sea X(x, y) un punto

6. GEOMETR´IA

66 cualquiera de la mediatriz de AB. Se cumple que: d(X, A) = d(X, B) √ √ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2

elevando al cuadrado

(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (x − x2 )2 + (y − y2 )2 Esta es la ecuaci´on de la mediatriz de AB. Simplificando los t´erminos de segundo grado queda: 2x(x2 − x1 ) + 2y(y2 − y1 ) + x21 + y12 − x22 − y22 = 0

Figura 6.12: Bisectriz de dos rectas La bisectriz de dos rectas que se cortan es el conjunto de puntos que equidistan de las dos rectas. Sean las rectas r1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 y r2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 (ver figura 6.12). Si X(x, y) es un punto de la bisectriz, se cumple que: d(X, r1 ) = d(X, r2 ) |A1 x + B1 y + C1 | |A2 x + B2 y + C2 | √ √ = 2 2 A1 + B1 A22 + B22 A2 x + B2 y + C2 A1 x + B1 y + C1 √ √ =± 2 2 A 1 + B1 A22 + B22 Como vemos, hay dos bisectrices b1 y b2 perpendiculares entre s´ı.

6.8.

Vectores

Un vector es un segmento orientado. En un vector podemos distinguir su m´ odulo o longitud, su direcci´ on (la de la recta que lo contiene) y su sentido (hay dos sentidos posibles para cada direcci´on). Cuando al unir los or´ıgenes y los extremos de dos segmentos orientados, la figura que resulte sea un paralelogramo, consideraremos que los dos vectores son iguales, es decir, los dos segmentos son representaciones del mismo vector. Esto quiere decir que cualquier vector lo podemos representar con el origen en el punto que queramos. El opuesto de un vector es el vector que tiene el mismo m´odulo, la misma direcci´on y sentido contrario. Definimos dos operaciones con vectores (figura 6.14):

6.8. VECTORES

67

Figura 6.13: Vectores iguales y opuestos

Figura 6.14: Operaciones con vectores ⋄ La suma de dos vectores se obtiene representando uno a continuaci´on del otro. El vector suma tiene como origen el origen del primer vector y como extremo, el extremo del segundo vector. La diferencia de dos vectores se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. ⋄ Si se multiplica un vector por un n´ umero, el vector resultante tiene la misma direcci´on, el m´odulo queda multiplicado por el n´ umero (positivo) y el sentido es igual u opuesto seg´ un que se multiplique por un n´ umero positivo o negativo. Debemos destacar que cuando se multiplica un vector por un n´ umero no cambia la direcci´on del vector. Tambi´en es cierto que si dos vectores tienen la misma direcci´on, uno de ellos es igual al otro multiplicado por un n´ umero: ⃗u ∥ ⃗v

⇐⇒

⃗u = t⃗v

Una base del conjunto de vectores libres del plano est´a formada por dos vectores {⃗i, ⃗j} no alineados. Todo vector puede descomponerse como suma de dos vectores en las direcciones de ⃗i y de ⃗j (ver figura 6.15): ⃗v = vx⃗i + vy⃗j Los n´ umeros vx y vy se llaman coordenadas del vector ⃗v en la base {⃗i, ⃗j}. En lo sucesivo, representaremos los vectores por sus dos coordenadas entre par´entesis: ⃗u = (ux , uy ) Cuando los vectores est´an dados por sus coordenadas, las operaciones resultan muy sencillas: ⃗u + ⃗v = (ux , uy ) + (vx , vy ) = (ux + vx , uy + vy ) t ⃗u = t (ux , uy ) = (tux , tuy ) En lo que sigue utilizaremos vectores para indicar la posici´on de los puntos y las direcciones de las rectas. −−→ Dado un punto P (x, y) se llama vector de posici´ on del punto al vector OP que va del origen de coordenadas al punto. Las coordenadas de un punto coinciden con las de su vector de posici´on.

6. GEOMETR´IA

68

Figura 6.15: Coordenadas de un vector. Vector dado por su origen y extremo. Vector director de una recta es cualquier vector que tenga la direcci´on de la recta. Como al multiplicar un vector por un n´ umero no cambia la direcci´on, si ⃗u es un vector director de la recta r, tambi´en lo es α⃗u, siendo α un n´ umero cualquiera. Si conocemos el origen y el extremo de un vector, podemos calcular sus coordenadas de la forma siguiente (figura 6.15): −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ OA + AB = OB =⇒ AB = OB − OA −→ −−→ Como las coordenadas de OA y OB coinciden con las coordenadas de A y B, resulta que las coordenadas de un vector pueden obtenerse restando las coordenadas de su extremo menos las coordenadas de su origen. −−→ Ejercicio 42. Calcular las coordenadas del vector AB siendo A(−3, 4) y B(2, 7). Seg´ un hemos visto. −−→ −−→ −→ AB = OB − OA = (2, 7) − (−3, 4) = (5, 3)

Ejercicio 43. Dados los puntos A(−4, 5) y B(5, −1) calcular los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales. −−→ Calculamos en primer lugar el vector AB: −−→ AB = (5, −1) − (−4, 5) = (9, −6) Entonces: −−→ −→ 1 −−→ 1 OP = OA + AB = (−4, 5) + (9, −6) = (−4, 5) + (3, −2) = (−1, 3) 3 3 −−→ −→ 2 −−→ 2 OQ = OA + AB = (−4, 5) + (9, −6) = (−4, 5) + (6, −4) = (2, −1) 3 3

6.9.

Otras formas de la ecuaci´ on de la recta

−−→ ⋄ Supongamos que la recta est´a definida por un punto P dado por su vector de posici´on OP y un −−→ vector director ⃗v . Sea X un punto cualquiera de la recta con vector de posici´on OX. Evidentemente se cumple que: −−→ −−→ −−→ OX = OP + P X −−→ Pero si X est´a sobre la recta, los vectores ⃗v y P X tienen la misma direcci´on y, por consiguiente, −−→ P X es igual a un n´ umero t por ⃗v : −−→ −−→ OX = OP + t⃗v

´ DE LA RECTA 6.9. OTRAS FORMAS DE LA ECUACION

69

Figura 6.16: Ecuaci´on vectorial de la recta Esta es la ecuaci´ on vectorial de la recta dada por el punto P y el vector ⃗v . Se le puede dar una interpretaci´ on f´ısica como la trayectoria de un m´ovil que se mueve con velocidad uniforme ⃗v y que en el momento inicial se encuentra en el punto P . En esta interpretaci´on el par´ametro t ser´ıa el tiempo y en cada instante t la ecuaci´on nos dar´ıa la posici´on del m´ovil. ⋄ Si en la ecuaci´on vectorial representamos los vectores por sus coordenadas resulta: { x = x0 + tvx (x, y) = (x0 , y0 ) + t (vx , vy ) =⇒ y = y0 + tvy Estas son las ecuaciones param´ etricas de la recta. Los coeficientes del par´ametro t son las coordenadas del vector director y los t´erminos independientes son las coordenadas de un punto de la recta (el que se obtiene haciendo t = 0). ⋄ En el caso de que vx y vy sean distintos de cero, puede despejarse t en las ecuaciones param´etricas. Igualando obtenemos la siguiente ecuaci´on: x − x0 y − y0 = vx vy que se llama ecuaci´ on continua de la recta. A veces se escribe tambi´en la forma continua de la ecuaci´on aunque alguna de las coordenadas del vector director sea cero. Por ejemplo: x−3 y−1 = 2 0 Evidentemente no hay que entender que haya que dividir por cero sino que la segunda coordenada del vector director es cero. En este caso, el numerador debe ser tambi´en igual a cero, es decir, se trata de la recta y = 1, una recta paralela al eje de abscisas. Si quitamos denominadores y pasamos todos los t´erminos al primer miembro obtendr´ıamos la ecuaci´on impl´ıcita: vy x − vx y + vx y0 − vy x0 = 0 Comparando con la expresi´on genera de la ecuaci´on impl´ıcita Ax + By + C = 0, igualando coeficientes tenemos que A = vy B = −vx

=⇒

⃗v = (vx , vy ) = (−B, A)

y podemos dar la siguiente interpretaci´ on a los coeficientes A y B de la ecuaci´on impl´ıcita: (−B, A) es un vector director de la recta.

6. GEOMETR´IA

70

Ejercicio 44. Escribir en forma vectorial, param´etrica y continua, la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, −1). −−→ El vector AB = (3, −4) es un vector director de la recta. La ecuaci´on vectorial es: −−→ OX = (2, 3) + t(3, −4) En forma param´etrica, esta ecuaci´on se escribe: { x = 2 + 3t y = 3 − 4t Finalmente, en forma continua: y−3 x−2 = 3 −4

6.10.

C´ onicas

Hasta ahora hemos visto que las soluciones de una ecuaci´on de primer grado con dos inc´ognitas, consideradas ´estas como coordenadas de puntos del plano, forman una l´ınea recta. Las soluciones de las ecuaciones de segundo grado con dos inc´ognitas, es decir, de ecuaciones del tipo. Ax2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 no forman rectas sino un tipo de curvas que se denominan c´onicas o secciones c´onicas porque se obtienen de la intersecci´ on de una superficie c´onica con un plano. En lo que sigue estudiaremos estas curvas defini´endolas como lugares geom´etricos, esto es, como conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

6.10.1.

Circunferencia

Figura 6.17: Circunferencia Se llama as´ı al conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia (radio) de un punto dado (centro de la circunferencia). Sea la circunferencia de centro en el punto C(x0 , y0 ) y radio r. Para que el

´ 6.10. CONICAS

71

punto X(x, y) se encuentre en la circunferencia debe cumplirse que: d(X, C) = r

y sustituyendo resulta

(x − x0 ) + (y − y0 ) = r 2

2

2

Esta es la ecuaci´on de una circunferencia de centro C(x0 , y0 ) y radio r. Desarrollando las potencias se obtiene: x2 + y 2 − 2x0 x − 2y0 y + x20 + y02 − r2 = 0 En general, una ecuaci´on de la forma: x2 + y 2 + Cx + Dy + F = 0 representa una circunferencia en la que las coordenadas del centro (x0 , y0 ) y el radio est´an dados por el sistema: − 2x0 = C − 2y0 = D x20 + y02 − r2 = F

6.10.2.

Elipse

Se llama elipse al conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos (focos) es constante (ver figura 6.18).

Figura 6.18: La elipse y la hip´erbola Una elipse queda definida por los siguientes elementos: ⋄ El semieje mayor a ⋄ El semieje menor b ⋄ La semidistancia focal c ⋄ La excentricidad e Los tres primeros cumplen que a2 = b2 + c2 . La excentricidad se define por la f´ormula: e=

c a

6. GEOMETR´IA

72

La excentricidad es un n´ umero comprendido entre 0 y 1. Si la excentricidad es cero la elipse es una circunferencia; si es igual a 1 es un segmento. A partir de la definici´on y de las relaciones que hemos visto entre sus elementos puede calcularse la ecuaci´on de una elipse centrada en los ejes (ver figura 6.18). La ecuaci´on es: x2 y2 + 2 =1 2 a b

6.10.3.

Hip´ erbola

La hip´erbola es una curva definida por la propiedad de que la diferencia de distancias de sus puntos a dos puntos (focos) es constante. Una hip´erbola queda determinada por los siguientes elementos (ver figura 6.18): ⋄ El semieje real a ⋄ La semidistancia focal c ⋄ El semieje imaginario b definido por c ⋄ La excentricidad e = a

c2 = a2 + b2

La excentricidad de una hip´erbola es siempre mayor o igual a uno. La hip´erbola de excentricidad 1 est´a formada por dos semirrectas. La ecuaci´on de la hip´erbola centrada en los ejes se deduce f´acilmente a partir de la definici´on: x2 y2 − 2 =1 2 a b ´ . La hip´erbola es una curva con as´ıntotas. Estas son rectas con la propiedad de que cuando x se hace muy grande (tiende a infinito) su distancia a la hip´erbola se hace muy peque˜ na (tiende a cero). Lo mismo pasa cuando x se hace muy peque˜ no (tiende a menos infinito). La ecuaci´on de las as´ıntotas es: y=±

6.10.4.

b x a

Par´ abola

Figura 6.19: Par´abola Una par´abola est´a formada por el conjunto de puntos que equidistan de un punto (foco) y una recta (directriz).

´ 6.10. CONICAS

73

La par´abola viene caracterizada por la distancia entre el foco y la directriz que se denomina par´ ametro de la par´abola. Si el foco se encuentra sobre el eje de abscisas, la directriz es paralela al eje de ordenadas y ambos elementos se encuentran a la misma distancia del origen, la ecuaci´on de la par´abola es: y 2 = 2px Ejercicio 45. Calcular la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 5), B(0, 1) y C(2, 3) y determiar su centro y su radio. ⋄ Primer m´etodo. El centro es equidistante de A y B. Por consiguiente, se encuentra en su mediatriz: y=3 Por ser equidistante de B y C, tambi´en se encuentra en la mediatriz de estos dos puntos: x2 + (y − 1)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 x2 + y 2 − 2y + 1 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 4x + 4y − 12 = 0 x+y−3=0 Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las dos mediatrices: { y=3 x+y−3=0 se obtiene que el centro es el punto (0, 3). El radio es la distancia del centro a uno cualquiera de los puntos: r=2 ⋄ Segundo m´etodo: sea x2 + y 2 + Dx + Ey ∗ F = 0 la ecuaci´on de la circunferencia que buscamos: Por pasar por A(0, 5):

25 + 5E + F = 0

Por pasar por B(0, 1): Por pasar por C(2, 3):

1+E+F =0 4 + 9 + 2D + 3E + F = 0

Resolviendo el sistema se obtiene D = 0, E = −6, F = 5, de modo que la ecuaci´on de la circunferencia es: x2 + y 2 − 6y + 5 = 0 que se puede escribir como: x2 + (y − 3)2 − 4 = 0 y de aqu´ı deducimos que el centro es el punto (0, 3) y que el radio es igual a 2.

Ejercicio 46. Calcular las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las rectas 3x−4y+12 = 0 y 4x + 3y = 0, cuyo centro se encuentra sobre la recta x + 2y + 3 = 0 El centro de la circunferencia debe encontrarse sobre las mediatrices de las tangentes: 3x − 4y + 12 4x + 3y √ = ±√ 2 2 3 +4 42 + 32 Simplificando, obtenemos para las mediatrices las siguientes ecuaciones: y = 7x + 12 12 1 y =− x+ 7 7 Para calcular el centro de la circunferencia debemos resolver el sistema formado por cada una de las bisectrices con la recta dada. Tenemos dos soluciones:

6. GEOMETR´IA

74 ⋄ El centro de la circunferencia es la soluci´on del sistema: { ( ) x + 2y + 3 = 0 9 3 =⇒ C − , − 5 5 y = 7x + 12 El radio es la distancia desde este punto a cualquiera de las rectas tangentes: −4·9 3·3 − 5 9 r = √5 = 2 2 5 4 +3 La ecuaci´on de la circunferencia es: ( )2 ( )2 9 3 81 x+ + y+ = 5 5 25

⋄ Procediendo de la misma manera que en el caso anterior se obtiene la segunda soluci´on. El centro es la soluci´on del sistema: { x + 2y + 3 = 0 =⇒ C ′ (−9, 3) y = − 17 x + 12 7 Calculamos el radio: r′ =

|4 · (−9) + 3 · 3| 27 √ = 5 42 + 32

y la ecuaci´on de la segunda circunferencia es: (x + 9)2 + (y − 3)2 =

729 25

Figura 6.20: Circunferencias tangentes a dos rectas

7 ESTADISTICA

7.1.

Introducci´ on

La Estad´ıstica trata de describir colectividades formadas por un gran n´ umero de objetos. El conjunto de los objetos que se estudian se denomina poblaci´ on. En ocasiones, el estudio se hace a partir de una muestra, esto es, cierto n´ umero de objetos tomados aleatoriamente de la poblaci´on. El n´ umero de objetos de la poblaci´on o de la muestra es su tama˜ no. Sobre la poblaci´on o sobre una muestra se mide una magnitud. Los valores que toma esta magnitud forman la variable estad´ıstica. Si la variable estad´ıstica toma valores num´ericos se dice que es cuantitativa. Si no es as´ı (por ejemplo si se estudia la raza de una poblaci´on de gatos) la variable es cualitativa. Una variable estad´ıstica cuantitativa puede tomar un n´ umero finito de valores o los infinitos valores comprendidos en un cierto intervalo. En el primer caso hablaremos de variable estad´ıstica discreta y en el segundo de variable continua. En realidad la variable nunca es estrictamente continua en el sentido explicado pues la precisi´on de los instrumentos de medida no permite apreciar infinitos valores. En la pr´actica, la variable ser´a continua cuando pueda tomar un n´ umero muy elevado de valores; en este caso, los valores de la variable estad´ıstica se agrupan en intervalos.

7.2.

Frecuencias

La frecuencia o frecuencia absoluta de un valor x de la variable estad´ıstica es el n´ umero de objetos de la poblaci´on que presentan ese valor. Representaremos esta frecuencia por f . La frecuencia de un determinado valor dividido por el n´ umero de elementos de la poblaci´on, esto es, la proporci´on de elementos de la poblaci´on que presenta este valor es la frecuencia relativa que representaremos por h. Evidentemente se cumple que: h=

f N

donde N es el n´ umero de objetos de la poblaci´on. La frecuencia acumulada F de un resultado x es el n´ umero de elementos de la poblaci´on en los que la variable toma valores menores o iguales que x. Dividiendo por el n´ umero de elementos de la poblaci´on se obtiene la frecuencia acumulada relativa H. 75

76

7. ESTADISTICA

Los valores de la variable estad´ıstica y las correspondientes frecuencias se representan en las llamadas tablas de frecuencias, que tienen siguiente forma (se presentan dos tablas, una para variable discreta y otra para variable continua): x

f

h

F

H

x

f

h

F

H

x1

f1

h1

F1

H1

[x0 , x1 )

f1

h1

F1

H1

x2

f2

h2

F2

H2

[x1 , x2 )

f2

h2

F2

H2

x3

f3

h3

F3

H3

[x2 , x3 )

f3

h3

F3

H3

···

···

···

···

···

···

···

···

···

···

xn

fn

hn

Fn

Hn

[xn−1 , xn )

fn

hn

Fn

Hn

De las definiciones se deducen algunas condiciones que deben cumplir estos valores: ⋄ La suma de todas las frecuencias debe ser igual al tama˜ no de la poblaci´on o de la muestra. ⋄ La u ´ltima frecuencia acumulada tambi´en debe ser igual al tama˜ no de la poblaci´on o de la muestra. ⋄ La suma de las frecuencias relativas debe ser 1 y tambi´en la u ´ltima frecuencia relativa acumulada. Tambi´en debe cumplirse que, por ejemplo: F4 = f1 + f2 + f3 + f4 es decir a la suma de las frecuencias absolutas anteriores. O tambi´en: F4 = f4 + F3 o sea, la frecuencia correspondiente m´as la frecuencia acumulada anterior. Relaciones similares deben cumplirse para las frecuencias relativas.

7.3.

Gr´ aficos estad´ısticos

Los valores de la variable estad´ıstica y sus frecuencias pueden representarse gr´aficamente de muchas maneras. Consideraremos solamente los m´as comunes. Para variable discreta se utilizan los diagramas de barras. Los valores de la variable se indican sobre el eje de abscisas y sobre ellos se dibuja una barra de altura proporcional a la frecuencia. Pueden representarse de esta forma tanto las frecuencias absolutas como las frecuencias relativas o las frecuencias acumuladas: Si la variable estad´ıstica es continua se utilizan los histogramas y los diagramas de frecuencias acumuladas. Un histograma consiste en representar los intervalos en que hemos dividido la variable sobre el eje de abscisas y, sobre ´el, se dibuja un rect´angulo de ´area proporcional a la frecuencia correspondiente: Si todos los intervalos (clases) tienen la misma longitud, la altura de los rect´angulos es proporcional a la frecuencia de cada clase. Si los intervalos no tienen todos la misma longitud, las alturas son entonces proporcionales a la densidad de frecuencia. La densidad de frecuencia de una clase es la frecuencia dividida por la longitud del intervalo. Dicho de otra manera, la frecuencia de una clase es igual a la longitud del intervalo por la densidad de frecuancia. Los diagramas de frecuencias acumuladas (absolutas o relativas) se obtienen tomando como ordenada sobre el extremo derecho del intervalo la frecuencia acumulada correspondiente y uniendo los puntos as´ı obtenidos mediante segmentos:

´ 7.3. GRAFICOS ESTAD´ISTICOS

77

Figura 7.1: Diagrama de barras

Figura 7.2: Histograma

Figura 7.3: Diagrama de frecuencias acumuladas

78

7. ESTADISTICA

7.4.

Medidas de tendencia central

La moda es el valor que ocurre con mas frecuentemente. En una tabla de frecuencias es el valor que se corresponde con la frecuancia m´as alta. Si la variable estad´ıstica es continua, la clase modal es la que tiene la frecuancia mas alta o, en caso de que las clases tengan longitudes diferentes, la que tenga la densidad de frecuencia m´as alta. Supongamos que todos los valores obtenidos de la variable estad´ıstica se ordenan de menor a mayor. La mediana ser´ a entonces el valor central, esto es, el valor que deja el mismo n´ umero de t´erminos a su izquierda y a su derecha. Si el n´ umero de t´erminos es par entonces se tomar´a como mediana la media de los valores centrales. La mediana se puede obtener f´acilmente a partir de la tabla de frecuencias relativas acumuladas. Si en la tabla aparece la frecuencia acumulada 0, 50 (o sea el 50 %) entonces la mediana es la media entre el valor de la variable correspondiente a ese 0, 50 y el siguiente. Si no aparece en la tabla el valor 0, 50, entonces es el valor de la variable correspondiente al primer valor de la frecuencia acumulada relativa superior a 0, 50. Si la variable es continua, esto es, si aparece dividida en intervalos, se puede localizar el intervalo mediano tal como se ha expuesto en el p´arrafo anterior. Una vez conocido este intervalo se tomar´a como mediana el valor de la variable correspondiente al 50 % en el pol´ıgono de frecuencias acumuladas relativas. Si el intervalo mediano es (x1 , x2 ) y a los extremos del intervalo les corresponden unas frecuencias acumuladas relativas H1 y H2 , el valor de la mediana est´a dado por: Mediana = x1 +

x2 − x1 (0, 50 − H1 ) H2 − H1

De forma similar, se llaman primero, segundo y tercer cuartil, los valores de la variable correspondientes a frecuencias acumuladas de 0, 25, 0, 50 y 0, 75, es decir, aquellos que dividen al conjunto de valores obtenidos en cuatro partes con el mismo n´ umero de t´erminos. Se representan por Q1 , Q2 y Q3 . El segundo cuartil coincide con la mediana. Pueden obtenerse por f´ormulas similares a la mediana: Q1 = x1 +

x2 − x1 (0,25 − H1 ) H2 − H1

Q2 = x1 +

x2 − x1 (0,50 − H1 ) H2 − H1

Q3 = x1 +

x2 − x1 (0,75 − H1 ) H2 − H1

donde (x1 , x2 ) representa el intervalo en que se encuentra el cuartil y H1 y H2 las frecuencias relativas acumuladas en los extremos del intervalo. La media o media aritm´ etica de una variable estad´ıstica se define como la suma de todos los valores de la variable dividido por el n´ umero de elementos de la poblaci´on: x ¯=

Σx N

La suma de todos los valores de la variable estad´ıstica se puede expresar mediante la suma de cada uno de los valores que toma por sus correspondientes frecuencias. As´ı: x ¯=

Σfi xi = Σhi xi N

fi donde se ha hecho uso de la relaci´on N = hi . En caso de que los datos aparezcan agrupados en intervalos, tomaremos como valor de la variable la marca de clase, es decir, el punto medio del intervalo.

La media es, como hemos visto, un n´ umero que cumple que Σx = N x ¯, es decir, si todos los valores de la variable fuesen iguales a la media, su suma ser´ıa la misma.

´ 7.5. MEDIDAS DE DISPERSION

7.5.

79

Medidas de dispersi´ on

La media nos permite comparar dos poblaciones sobre las que se ha medido la misma magnitud pero no nos permite saber si los valores de la variable est´an pr´oximos a la media o no. Por ejemplo, una media de cinco se puede obtener con dos cincos o con un diez y un cero. Para saber c´omo est´an distribuidos los valores en torno a la media son precisos otros par´ametros. Estos son el rango, el rango intercuart´ılico, la varianza y la desviaci´ on t´ıpica. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estad´ıstica. El rango intercuart´ılico es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. La varianza se define por: σ2 =

Σfi (xi − x ¯ )2 = Σhi (xi − x ¯ )2 N

y su ra´ız cuadrada o desviaci´on t´ıpica: √ √ Σfi (xi − x ¯)2 σ= = Σhi (xi − x ¯)2 N Desarrollando el cuadrado de la diferencia, podemos encontrar otra expresi´on para la varianza: Σfi (xi − x ¯ )2 N ¯2 − Σ2fi xi x ¯ Σfi x2i + Σfi x = N Σfi x2i x ¯2 Σfi 2¯ xΣfi xi = + − N N N Σfi x2i = +x ¯2 − 2¯ xx ¯ N 2 Σfi xi = −x ¯2 N = x¯2 − x ¯2

σ2 =

Esta expresi´on puede recordarse diciendo que la varianza es igual a la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media. La media y la desviaci´on t´ıpica tienen las siguientes propiedades: ⋄ Si se suma el mismo n´ umero a todos los valores de la variable, la media queda incrementada en esa cantidad pero la desviaci´on t´ıpica no var´ıa. ⋄ Si todos los valores de la variable se multiplican por el mismo n´ umero, la media y la desviaci´on t´ıpica quedan multiplicados por ese n´ umero. La multiplicaci´on de todos los valores por un n´ umero puede interpretarse como un cambio de unidades. Esta propiedad dice que la media y la desviaci´on t´ıpica se expresan en las nuevas unidades. El cociente de la desviaci´on t´ıpica y la media se llama coeficiente de variaci´ on: CV =

σ x ¯

Para comparar un valor de la variable estad´ıstica con el resto de los valores obtenidos en una determinada poblaci´on se utilizan las puntuaciones t´ıpicas. En estas se toma como valor cero el de la media y como unidad la desviaci´on t´ıpica. El paso de la variable x al valor t´ıpico z se hace mediante la f´ormula: z=

x−x ¯ σ

¯ + zσ. o, despejando x = x

80

7. ESTADISTICA

7.6.

Ejemplo

Ejercicio. En una encuesta sobre tr´ afico se ha preguntado a 1000 conductores sobre el n´ umero de multas recibidas. Se dispone de la siguiente informaci´ on: No de conductores No de multas

180

280

150

200

110

80

0

1

2

3

4

5

Hacer la tabla de frecuencias con los datos necesarios para calcular: ⋄ La mediana. ⋄ Los cuartiles y el rango intercuart´ılico. ⋄ La moda. ⋄ La media. ⋄ La desviaci´ on t´ıpica. Soluci´ on: Construimos la tabla con las frecuencias, frecuencias acumuladas, productos de las frecuencias por los datos y productos de las frecuencias por los cuadrados de los datos. xi

fi

Fi

fi xi

fi x2i

0

180

180

0

0

1

280

460

280

280

2

150

610

300

600

3

200

810

600

1800

4

110

920

440

1760

5

80

1000

400

2000

Total

1000

2020

6440

Con estos datos tenemos: ⋄ La mediana ser´ıa el valor medio de los datos que, ordenados, ocupasen los lugares 500 y 501. A la vista de la tabls de frecuancias acumuladas, la mediana es Q2 = 2. ⋄ De forma similar calculamos el primer cuartil (media entre los datos que ocupan el lugar 250 y 251) Q1 = 1 y el tercer cuartil Q3 = 3. El rango intercuart´ılico es Q3 − Q1 = 2. ⋄ La moda es el dato con mayor frecuancia. En este caso 1. ⋄ La media es la suma de los fi xi dividido por el n´ umero de datos que es la suma de las fi : x ¯=

2020 = 2,020 1000

⋄ La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media: σ2 =

6440 −x ¯2 = 2, 3596 1000

y la desviaci´on t´ıpica es la ra´ız de la varianza: √ σ = 2, 3596 = 1, 5361

8 PROBABILIDAD

8.1.

Experimentos aleatorios. Probabilidad

Imaginemos que lanzamos un dado. El resultado del lanzamiento puede ser cualquiera de los n´ umeros comprendidos entre 1 y 6, y, en principio, no se puede hacer ninguna predicci´on sobre cu´al de esos resultados va a obtenerse. Si se realizan n lanzamientos, el n´ umero de veces que se obtienen los diversos resultados, es decir, sus frecuencias absolutas son n1 , n2 , n3 , n4 , n5 y n6 . Se llama frecuencia relativa de cada resultado a la relaci´on entre su frecuencia absoluta y n. Por ejemplo, la frecuencia relativa del 3 es f3 = n3 /n. Adem´as, se cumple que n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = n. Dividiendo por n la igualdad anterior, se deduce que la suma de las frecuencias relativas de todos los resultados es igual a 1: f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 1. Cabe esperar que cuando el n´ umero de lanzamientos sea muy grande, las frecuencias relativas de todos los resultados sean aproximadamente iguales y, por consiguiente, tomen valores cercanos a 1/6. Si no sucede esto, si por ejemplo, en la mitad de los lanzamientos se obtiene 5, habr´ıa que pensar que el dado es defectuoso o est´a trucado. El lanzamiento de un dado, la extracci´on de una carta de una baraja, el lanzamiento de una moneda, etc., son ejemplos de lo que se conocen como experimentos aleatorios y se caracterizan por las siguientes propiedades: 1. Cuando se realiza el experimento una sola vez, no es posible hacer ninguna predicci´on sobre cu´al de los posibles resultados se va a obtener. 2. Si el experimento se realiza un gran n´ umero de veces, es posible hacer predicciones sobre la proporci´on de veces que se va a obtener un determinado resultado, es decir, sobre su frecuencia relativa. Se llama probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio a la frecuencia relativa de ese resultado cuando el experimento se repite un gran n´ umero de veces (cuando dicho n´ umero tiende a infinito). Puesto que las frecuencias relativas de los resultados de un experimento (sea aleatorio o no) suman 1, se deduce que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debe ser igual a 1. 81

82

8. PROBABILIDAD

8.2.

C´ alculo de probabilidades

Dado que las probabilidades son las frecuencias relativas de los distintos resultados cuando el experimento se repite un gran n´ umero de veces, un modo de calcular la probabilidad de un resultado consiste en repetir el experimento muchas veces y medir la frecuencia relativa del resultado. A menudo se asignan probabilidades de esta manera. As´ı, cuando se dice que la probabilidad de supervivencia a determinada enfermedad es del 90 %, se est´a diciendo que la frecuencia relativa del resultado que consiste en superar la enfermedad en los casos observados, es del 90 %. En otras muchas ocasiones se asignan las probabilidades atendiendo a la simetr´ıa del problema. Un dado presenta una simetr´ıa tal que no hay raz´on para asignar mayor probabilidad a una cara que a otra. Si los 6 resultados tienen la misma probabilidad y la suma de todas ellas debe ser igual 1, est´a claro que cada posible resultado debe tener una probabilidad igual a 1/6. Se llama espacio muestral de un experimento al conjunto de todos los resultados que puede tener el experimento y se suele representar mediante la letra E. Por ejemplo, el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos monedas y ver el resultado obtenido en cada una de ellas ser´ıa: E = {CC, CX, XC, XX}, donde se ha representado por C el resultado “cara” y por X el resultado “cruz”. Si el experimento consiste en lanzar las dos monedas y contar el n´ umero de caras obtenido, el espacio muestral, dado que pueden obtenerse 0, 1 ´o 2 caras, es: E = {0, 1, 2}. Para calcular probabilidades hay que pensar en un espacio muestral que tenga la mayor simetr´ıa posible y, si cabe, que todos los resultados tengan la misma probabilidad. Una vez asignada la probabilidad a los resultados simples del espacio muestral, pueden calcularse probabilidades para resultados m´as complejos, como por ejemplo del tipo “obtener un n´ umero primo al lanzar dos dados y sumar los puntos de cada uno”. Cuando todos los resultados de un espacio muestral tienen la misma probabilidad, el espacio se llama equiprobable. La probabilidad de un resultado en un espacio equiprobable es igual a 1 dividido por el n´ umero de resultados posibles. Por ejemplo, la probabilidad de sacar el as de oros en una extracci´on aleatoria de una carta de una baraja espa˜ nola es 1/40 porque hay 40 resultados posibles y todos tienen la misma probabilidad. En el experimento de lanzar dos monedas, el espacio muestral E = {CC, CX, XC, XX} es equiprobable y la probabilidad de cada resultado es 1/4. Sin embargo, el espacio muestral del n´ umero de caras obtenido E = {0, 1, 2} no lo es. En general, siempre que sea posible, se tratar´a de dise˜ nar el experimento de forma que el espacio muestral sea equiprobable. Ejercicio 47. El espacio muestral al lanzar una moneda 3 veces y anotar los resultados de cada lanzamiento es E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. Si en cada lanzamiento la probabilidad de obtener “cara” es la misma que la de obtener “cruz ”, los 8 resultados de este espacio muestral tienen la misma probabilidad: 1/8.

Ejercicio 48. Si el experimento consistente en lanzar repetidamente una moneda y contar el n´ umero de lanzamientos efectuados hasta que sale “cara” por primera vez, el espacio muestral no es equiprobable y ser´a: E = {1, 2, 3, . . .}.

8.3. SUCESOS

8.3.

83

Sucesos

Sup´ongase que se ha establecido el espacio muestral de forma que se conocen las probabilidades de todos los resultados que lo componen. Por ejemplo, sea el experimento que consiste en lanzar dos dados. Se puede tomar como espacio muestral el conjunto: E ={11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}, donde la primera cifra de cada n´ umero indica el resultado del primer dado y la segunda cifra el resultado del segundo. El espacio as´ı definido es equiprobable, dado que, por ejemplo, no deber´ıa ser diferente la probabilidad de los resultados 23 y 24 si en el segundo dado la probabilidad de sacar 3 es la misma que la de sacar 4. Razonando de esta manera, se llega a la conclusi´on de que los 36 resultados tienen la misma probabilidad y por tanto, la probabilidad de uno cualquiera de ellos es 1/36. Los resultados que forman el espacio muestral se llaman sucesos elementales. El espacio muestral se ha construido de tal manera que la probabilidad de estos sucesos sea conocida. Sin embargo, a veces es preciso calcular probabilidades de resultados m´as complejos, por ejemplo, “obtener suma 10 al lanzar dos dados”. Para resolver este problema, primero hay que definir el concepto de suceso. Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral, es decir, a un conjunto formado por resultados del espacio muestral. Por ejemplo el suceso A = “sacar suma 10 al lanzar dos dados” se corresponde con el subconjunto A = {46, 55, 64} formado por 3 resultados elementales. En un experimento aleatorio, un suceso se cumple cuando se obtiene como resultado alguno de los que forman parte del suceso. En el ejemplo anterior, se obtendr´a suma 10 si al lanzar los dos dados resulta 6 en el primer dado y 4 en el segundo, 5 en los dos o 4 en el primer dado y 6 en el segundo. Si el experimento de lanzar los dos dados se repite muchas veces, la frecuencia relativa del suceso “obtener suma 10” ser´a el n´ umero de veces que se obtiene el resultado 46 m´as el n´ umero de veces que se obtiene 55 m´as el n´ umero de veces que se obtiene 64, dividido por el n´ umero de veces que se realiza el experimento, es decir, fA =

n46 + n55 + n64 n46 n55 n64 = + + . n n n n

Ahora bien, como n46 /n es la frecuencia relativa del resultado 46, y lo mismo ocurre para los otros dos resultados, se obtiene que: fA = f46 + f55 + f64 . Como, adem´as, las probabilidades son las frecuencias relativas cuando el experimento se repite un gran n´ umero de veces y si se denota por p(A) a la probabilidad de que ocurra el suceso A, resulta que: p(A) = p(46) + p(55) + p(64). En definitiva, se puede afirmar que la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados que lo componen. Obs´ervese que se utiliza la palabra resultados para designar a los elementos del espacio muestral y la palabra suceso para designar un conjunto de resultados. Como se ha dicho si el suceso consta de un solo resultado se llama elemental. En el caso de un espacio muestral equiprobable, si el espacio muestral tiene n resultados, cada uno de ellos tiene probabilidad 1/n. En el ejemplo anterior: p(A) =

1 1 3 1 1 + + = = . 36 36 36 36 12

As´ı pues, la probabilidad de un suceso en el caso de un espacio equiprobable es igual al n´ umero de elementos del suceso (3 en el ejemplo) dividido por el n´ umero de elementos del espacio muestral (36 en

84

8. PROBABILIDAD

el ejemplo). Esta regla fue formulada por el matem´atico franc´es Pierre Simon de Laplace diciendo que “la probabilidad de un suceso es igual al n´ umero de resultados favorables dividido por el n´ umero de resultados posibles”: p=

no de resultados favorables no de resultados posibles

(Regla de Laplace).

Esta f´ormula da la probabilidad de cualquier suceso cuando se ha conseguido formular el espacio muestral como un conjunto de resultados equiprobables. El suceso que contiene todos los elementos del espacio muestral, es decir, el mismo espacio muestral considerado como suceso, se llama suceso seguro. El suceso que no contiene ninguno de los resultados posibles se llama suceso imposible. La probabilidad del suceso seguro es igual a 1 y la del suceso imposible es igual a 0. Ejercicio 49. Calcular la probabilidad de sacar suma 7 en el lanzamiento de 2 dados. El espacio muestral consta de 36 resultados y es equiprobable: E ={11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}. El suceso “sacar suma 7 ” es: S = {16, 25, 34, 43, 52, 61} y est´a formado por 6 resultados. Seg´ un la regla de Laplace, su probabilidad es: p(S) =

6 1 = . 36 6

Ejercicio 50. Calcular la probabilidad de que al extraer al azar dos cartas de una baraja espa˜ nola, se obtengan 2 reyes. ( ) El espacio muestral est´a formado por todos los posibles modos de sacar dos cartas, o sea C40,2 = 40 2 (4) maneras equiprobables. El suceso “sacar 2 reyes” est´a compuesto por C4,2 = 2 resultados. Aplicando la regla de Laplace se tiene: (4) 4·3 4·3 1 2 2 ) = 40·39 p(“sacar 2 reyes”) = (40 = = . 40 · 39 130 2 2

8.4.

Operaciones con sucesos

A partir de unos sucesos pueden formarse otros. A continuaci´on definiremos el suceso contrario de uno dado, as´ı como los sucesos uni´on e intersecci´on, A ∪ B y A ∩ B, que se obtienen a partir de dos sucesos A y B. El conjunto de resultados que no forman parte del suceso A se llama suceso contrario de A y se ¯ Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado y considerar el suceso “sacar n´ representa por A. umero umero menor que 5”, esto es, mayor o igual que 5”, es decir, A = {5, 6}; su suceso contrario es ”sacar n´ A¯ = {1, 2, 3, 4}. Como la suma de las probabilidades de todos los resultados del espacio muestral es igual a 1, la suma de ¯ ser´a igual a 1, puesto que todos los resultados est´an bien en A o bien en las probabilidades p(A) y p(A) ¯ De aqu´ı se deduce que: A. ¯ = 1 − p(A). p(A) Para entender en qu´e consiste el suceso contrario, as´ı como las operaciones con sucesos, conviene representar los sucesos en un diagrama. El espacio muestral se representa como un rect´angulo y cada suceso

8.4. OPERACIONES CON SUCESOS

85

Figura 8.1: Sucesos A y A¯

como una superficie dentro del rect´angulo. En la Figura 8.1 la parte sombreada representa el suceso contrario de A. En estos diagramas, debe entenderse que los resultados de un suceso son los puntos de la superficie que lo define, y que la probabilidad del suceso es el cociente entre el ´area de esa superficie y la de rect´angulo que representa el espacio muestral. Si se toma ´esta u ´ltima como unidad, la probabilidad de un suceso es simplemente su ´area. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso uni´ on, A ∪ B (se lee “A ´o B”,) al suceso que contiene todos los resultados que est´an contenidos en alguno de los dos sucesos, es decir, el suceso A ∪ B se cumple si se cumplen A, B o ambos. En la Figura 8.2 se ha representado sombreado el suceso A ∪ B. Por ejemplo, en

Figura 8.2: Suceso A ∪ B el lanzamiento de dos dados, sean: A = “obtener suma 10 ” = {46, 55, 64}. B

= “obtener dos n´ umeros iguales” = {11, 22, 33, 44, 55, 66}.

El suceso A ∪ B ser´ıa: A ∪ B = {46, 55, 64, 11, 22, 33, 44, 66}. El suceso intersecci´ on, A ∩ B (se lee “A y B”), est´a compuesto por los resultados que forman parte de los dos sucesos de forma simult´ anea. En el ejemplo anterior: A = “obtener suma 10 ” = {46, 55, 64}. B A∩B

= “obtener dos n´ umeros iguales” = {11, 22, 33, 44, 55, 66}. = {55}.

Recordando que en estos diagramas la probabilidad de un suceso se representa como el ´area de la superficie que representa el suceso cuando se toma como unidad el ´area del rect´angulo, se tiene la siguiente relaci´on entre las probabilidades (ver las Figuras 8.2 y 8.3): p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B). En la f´ormula anterior hay que restar p(A ∩ B) porque si se suman p(A) y p(B), el ´area correspondiente a A ∩ B se contabiliza 2 veces.

86

8. PROBABILIDAD

Figura 8.3: Suceso A ∩ B

Si los sucesos A y B no tienen resultados comunes, se llaman incompatibles (no pueden cumplirse en el mismo experimento). En este caso, p(A ∩ B) = 0 y se tiene que: p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

(A, B incompatibles).

¯ El suceso diferencia A − B se produce cuando se realiza A y no se realiza B. Equivale a A ∩ B.

Figura 8.4: Suceso A − B

De la figura 8.4 se deduce que la probabilidad de A − B es: p(A) = p(A ∩ B) + p(A − B)

=⇒

p(A − B) = p(A) − p(A ∩ B)

la uni´on e intersecci´ on de sucesos cumplen las leyes de Morgan: A∪B =A∩B A∩B =A∪B

8.5.

Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes

La probabilidad de que se cumplan A y B o sea, la probabilidad de A ∩ B puede considerarse compuesta de la probabilidad de que suceda A y de la probabilidad de que se cumpla B una vez que haya sucedido A. Por ejemplo, puede entenderse que el suceso “sacar 2 ases” en la extracci´on de 2 cartas de una baraja de 40 cartas, como 2 extracciones sucesivas de modo que debe salir as en la primera extracci´on y, una vez obtenido el primer as, debe extraerse el segundo as entre las 39 cartas restantes. La probabilidad de A ∩ B se puede obtener a partir de la probabilidad de A y de la de B una vez que ya ha sucedido A. A esta probabilidad de que suceda B una vez que haya sucedido A se le llama probabilidad de B condicionada a A y se representa por p(B/A). Si se sabe que ha sucedido A y se desea saber la probabilidad de B, los u ´nicos resultados posibles son los ´nicos resultados de B que pueden darse son los resultados comunes con resultados del suceso A, y los u

8.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE BAYES

87

Figura 8.5: Probabilidad condicionada

A, es decir, los resultados de A ∩ B. Es como si el espacio muestral estuviese formado por los resultados de A (parte sombreada en la Figura 8.5) y el suceso B lo formasen los resultados de A ∩ B (sombreado mas oscuro). Entonces, comparando las ´areas, se tiene que: p(B/A) =

area de A ∩ B ´ p(A ∩ B) = . ´area de A p(A)

De forma que para la probabilidad de A ∩ B se tiene: p(A ∩ B) = p(A)p(B/A). Si la probabilidad de B no depende de que A haya sucedido o no, es decir, si p(B/A) = p(B), los sucesos A y B se llaman independientes y en ese caso se verifica que: p(A ∩ B) = p(A)p(B)

(A, B independientes).

La regla para calcular la probabilidad de A ∩ B por medio de la probabilidad condicionada permite a menudo simplificar los c´alculos, tratando el problema como pruebas sucesivas en un espacio muestral m´as sencillo. Ejercicio 51. Calcular la probabilidad de que al extraer 3 cartas de una baraja de 40 cartas, resulten las tres de espadas. M´ etodo 1. Consid´erese el espacio muestral ( ) de todas las combinaciones posibles de 3 cartas. Este espacio es equiprobable y est´a compuesto de 40 3 resultados posibles. Los casos favorables son las combinaciones de 3 elementos que se pueden dar con las 10 cartas de espadas, de forma que: (10) 10·9·8 10 · 9 · 8 3 3 3! ) = 40·39·38 p = (40 = = . 40 · 39 · 38 247 3! 3 M´ etodo 2. Si se consideran 3 extracciones sucesivas, se multiplica la probabilidad de que en la primera extracci´on resulte una espada, por la probabilidad de que en la segunda extracci´on resulte otra espada, supuesto que ha salido una en la primera (por tanto quedan 9 espadas entre las 39 cartas), por la probabilidad de que resulte otra espada en la tercera extracci´on supuesto que han salido 2 espadas en las dos primeras extracciones: p=

10 9 8 3 · · = . 40 39 38 247

Hay que notar que en la primera extracci´on el espacio muestral ten´ıa 40 resultados, en la segunda 39 y en la tercera 38.

En muchos problemas es preciso aplicar la regla de la suma y el producto de probabilidades sucesivamente. Sup´ongase que un suceso puede ocurrir de dos formas diferentes incompatibles entre s´ı. Por ejemplo, una determinada prueba para detectar una enfermedad puede dar un resultado positivo con una determinada

88

8. PROBABILIDAD

probabilidad si el paciente padece la enfermedad, pero tambi´en puede dar positivo, con otra probabilidad si el individuo est´a sano. Si A1 es el suceso “padecer la enfermedad ”, A2 es “no padecer la enfermedad ” y S es “obtener un resultado positivo en la prueba”, entonces, el esquema del problema ser´ıa el que se muestra en la Figura 8.6. Como

Figura 8.6: Probabilidad total A1 ∩ S y A2 ∩ S son incompatibles, es p(S) = p(A1 ∩ S) + p(A2 ∩ S), y aplicando ahora la regla del producto de probabilidades, se tiene: p(S) = p(A1 ∩ S) + p(A2 ∩ S) = p(A1 )p(S/A1 ) + p(A2 )p(S/A2 ). Ejercicio 52. En una poblaci´on, el 10 % de sus habitantes padece una determinada enfermedad. Existe una prueba para detectar la enfermedad que da resultado positivo cuando se aplica a enfermos en el 95 % de los casos. La prueba tambi´en da positivo si se aplica a individuos sanos el 10 % de las veces. Calcular la probabilidad de que al aplicar la prueba a un individuo de la poblaci´on elegido al azar, de resultado positivo. Sean S = “Obtener resultado positivo al aplicar la prueba”, A1 = “La persona elegida al azar est´a enferma” y A2 = “La persona elegida al azar est´a sana”. Aplicando la f´ormula anterior resulta que p(S) = p(A1 )p(S/A1 ) + p(A2 )p(S/A2 ) = 0,10 · 0,95 + 0,90 · 0,10 = 0,185.

En situaciones como la del ejemplo anterior, lo que se pretende es, una vez pasada la prueba y habiendo obtenido un resultado positivo, saber cu´al es la probabilidad de que el individuo est´e enfermo, es decir, la probabilidad de A1 cuando ha sucedido S, o sea, p(A1 /S). Si ha sucedido S, hay que considerar a S como espacio muestral (parte sombreada en la Figura 8.6). Teniendo en cuenta c´omo se obten´ıa la probabilidad condicionada, resulta lo que se conoce como Teorema de Bayes: p(A1 /S) =

p(A1 )p(S/A1 ) p(A1 ∩ S) = . p(S) p(A1 )p(S/A1 ) + p(A2 )p(S/A2 )

Cuando un resultado se puede obtener de diversas formas incompatibles (Laplace utilizaba la palabra causas), una vez producido el resultado, el Teorema de Bayes da la probabilidad de que se haya producido a trav´es de una forma determinada. Ejercicio 53. En el ejemplo anterior, si se supone que la prueba ha dado un resultado positivo, ¿cu´al es la probabilidad de que el individuo padezca la enfermedad? Con la notaci´on del ejemplo anterior, resulta que: p(A1 /S) =

p(A1 )p(S/A1 ) 0,10 · 0,95 = ≈ 0,514. p(A1 )p(S/A1 ) + p(A2 )p(S/A2 ) 0,10 · 0,95 + 0,90 · 0,10

9 VARIABLE ALEATORIA

9.1.

Distribuciones de probabilidad

Consideremos el espacio muestral E correspondiente a un experimento aleatorio, por ejemplo, lanzar dos dados. A cada elemento del espacio muestral, es decir, a cada resultado del experimento, podemos asociarle un n´ umero, por ejemplo, la suma de las puntuaciones obtenidas. Estos valores num´ericos asociados a cada resultado forman la variable aleatoria. A cada valor de la variable aleatoria le corresponde una probabilidad. Por ejemplo, en el caso anterior, estas probabilidades ser´ıan: Variable aleatoria

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Probabilidad

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

La variable aleatoria puede ser discreta o continua. En este u ´ltimo caso solo tiene sentido asignar probabilidades a intervalos de valores. La probabilidad asociada a un valor particular de la variable aleatoria es cero. Se llama distribuci´ on de probabilidad al conjunto de una variable aleatoria y de las probabilidades asociadas a cada valor. Si designamos mediante X la variable aleatoria, la probabilidad de que ´esta tome tome un valor particular k lo designaremos por p(X = k). En el caso de que la variable aleatoria sea discreta, podemos considerar que una distribuci´on de probabilidad es una funci´on que asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad: f (k) = p(X = k) Cuando la variable aleatoria sea continua, la asignaci´on de probabilidades se hace mediante una funci´on de densidad que explicaremos m´as adelante. En los dos casos, la funci´ on de distribuci´ on F (x) representa probabilidades acumuladas: F (x) = p(X ≤ x) En general, una distribuci´on de probabilidad de variable discreta se puede expresar mediante una tabla: Variable aleatoria

x1

x2

x3

...

...

xn

Probabilidad

p1

p2

p3

...

...

pn

89

90

9. VARIABLE ALEATORIA

Como en el caso de las frecuencias relativas, la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1. Para una distribuci´on de probabilidad de variable discreta, la media (o esperanza matem´atica) la varianza y la desviaci´on t´ıpica se definen de la misma forma que para la variable estad´ıstica sustituyendo la frecuencia relativa por la probabilidad: µ= σ2 =

9.2.

∑ ∑

pi xi pi (xi − µ)2 =

∑

pi x2i − µ2

La distribuci´ on binomial

La distribuci´on binomial es un caso particular de distribuci´on de probabilidad de variable discreta. Para definirla debemos establecer en primer lugar un experimento aleatorio, a partir de ´el definir la variable aleatoria y finalmente calcular las probabilidades correspondientes. En el caso de la distribuci´on binomial, el experimento aleatorio consiste en una prueba con dos posibles resultados que se repite n veces. Las pruebas que se repiten son independientes (el resultado de una prueba no influye en la siguiente) y a los dos resultados los llamaremos ´exito y fracaso. La variable aleatoria ser´a el n´ umero de ´exitos obtenidos en las n pruebas. Si en cualquiera de las pruebas que se repiten, la probabilidad de ´exito es p, la probabilidad de fracaso es q = 1 − p y el n´ umero de veces que se repite la prueba es n, hablaremos de la distribuci´on binomial B(n, p). Puede demostrarse, que la probabilidad de obtener k ´exitos en las n pruebas est´a dadas por la siguiente f´ormula: ( ) n k n−k p(X = k) = p q k y que en base a esta distribuci´on de probabilidad, la media y la desviaci´on t´ıpica valen: µ = np σ 2 = npq

9.3.

Distribuci´ on de Poisson

La distribuci´on de Poisson es una distribuci´on de probabilidad de variable discreta que expresa la probabilidad de que de que un cierto suceso se produzca n veces durante un intervalo de tiempo cuando el valor medio de este n´ umero es constante y el hecho de que el suceso se produzca o no en un momento dado, no depende de del tiempo transcurrido desde la u ´ltima vez que se produjo. La distribuci´on de Poisson puede utilizarse tambi´en para intervalos de distinta naturaleza como distancia, ´area o volumen. Dado u ´nicamente el valor medio del n´ umero de veces que ocurre un suceso durante un cierto per´ıodo de observaci´ on (n´ umero de llamadas telef´onicas durante una hora, n´ umero de part´ıculas detectadas diariamente, n´ umero de mutaciones en una cadena de ADN por unidad de longitud, etc) y suponiendo que el proceso que produce el suceso es aleatorio, la distribuci´on de Poisson da la probabilidad de que el fen´omeno se produzca 3, 4, 5 u otro n´ umero de veces durante un per´ıodo de observaci´on. Supongamos que el valor medio del n´ umero de veces que ocurre el suceso durante un intervalo de tiempo nos para que el suceso no pueda es m. Dividamos el intervalo en n subintervalos suficientemente peque˜ producirse m´as de una vez en cada subintervalo. En cada uno de estos n subintervalos, el suceso puede on binomial B(n, m o no producirse con probabilidad de ´exito igual a m n . Tenemos una distribuci´ n ). La

´ NORMAL 9.4. LA DISTRIBUCION

91

probabilidad de que se produzcan x ´exitos es: ( )( ) ( n m k m )n−k p(X = k) = 1− k n n n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) mk ( 1− k! nk n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) mk ( = 1− nk k!

=

m )n−k n m )n−k n

Si n es grande comparado con k: n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) ≃1 nk ( m )n−k 1− ≃ e−m n con lo que queda la siguiente distribuci´on de probabilidad: p(X = k) =

mk e−m k!

(distribuci´on de Poisson)

En la distribuci´on de Poisson, tanto el valor esperado como la varianza son iguales a m. La distribuci´on de Poisson de media m la designaremos como Po(m). La distribuci´on binomial B(n, p) y la distribuci´on de Poisson Po(np) asignan las mismas probabilidades cuando n es grande y p peque˜ no.

9.4.

La distribuci´ on normal

La variable aleatoria es continua si puede tomar los infinitos valores de un cierto intervalo [a, b] (a y b pueden ser infinitos). Una distribuci´on de probabilidad de variable continua debe asignar una probabilidad a cualquier intervalo de valores de la variable aleatoria. Esta asignaci´on se hace con ayuda de dos funciones, una funci´on de densidad f (x) y una funci´on de distribuci´on F (x). Veamos el significado de estas funciones. La funci´on de densidad es una funci´on positiva que cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en el intervalo [a, b] es igual al ´area bajo la curva en ese intervalo; o expresado en t´erminos de integrales: ∫

b

p(a < X < b) =

f (x) dx a

Como la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, la funci´on de densidad debe cumplir que el ´area total bajo la curva debe ser 1, o lo que es lo mismo: ∫

+∞

f (x) dx = 1 −∞

Y

............................. ........ ........... ..... ........ y=f (x)....... ..... . . .... . . . . .... . . . .... . . . .... . . . . ..... . . . . . ...... . . . . . ....... . . . . . . ......... ........ . .......... . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . p(a k + 0,5) p(x′ ≥ k) ≃ p(x > k − 0,5)

94

9. VARIABLE ALEATORIA

10 SUCESIONES

10.1.

Sucesi´ on.

Una sucesi´ on es un conjunto infinito de n´ umeros ordenados de tal forma que se puede decir cu´al es el primero, cu´al el segundo, el tercero, etc. Los t´erminos de una sucesi´on se designan mediante a1 , a2 , a3 , · · · , en donde el sub´ındice indica el puesto que ocupa cada t´ermino. Un elemento gen´erico de la sucesi´on o t´ ermino general se representa por an . En una sucesi´on, al n´ umero natural 1 le corresponde el t´ermino a1 de la sucesi´on, al n´ umero natural 2, le corresponde el t´ermino a2 , etc. Por esta raz´on, una sucesi´on puede definirse tambi´en como una correspondencia entre los n´ umeros naturales y los n´ umeros reales. Cuando queremos determinar una sucesi´on particular, podemos hacerlo de dos maneras: ⋄ Mediante una f´ormula para el t´ermino general. Por ejemplo an =

n+1 n

Sustituyendo n por 1, 2, 3, · · · , obtenemos la sucesi´on 2,

3 4 5 , , , ···. 2 3 4

⋄ Mediante una regla de recurrencia, es decir, indicando c´omo puede obtenerse cada t´ermino a partir de los anteriores. Por ejemplo: a1 = 5,

an = an−1 + 3

Esto indica que el primer t´ermino de la sucesi´on es 5 y que cada t´ermino se obtiene sumando 3 al anterior. esto nos permite construir la sucesi´on 5, 8, 11, 14, · · · . Una sucesi´on es creciente si cada t´ermino es mayor o igual que el anterior. Si cada t´ermino es menor o igual que el anterior, la sucesi´on es decreciente. Si una sucesi´on es creciente o decreciente se llama mon´ otona. an creciente

⇐⇒

an+1 ≥ an

an decreciente

⇐⇒

an+1 ≤ an 95

96

10. SUCESIONES

10.2.

L´ımite de una sucesi´ on.

Un entorno sim´ etrico de centro a y radio r es el intervalo abierto (a − r , a + r). El n´ umero a es el centro y el n´ umero r es el radio del entorno ( figura 10.1).

Figura 10.1: Entorno sim´etrico de un punto Un n´ umero x perteneciente al entorno cumple que a − r < x < a + r. Estas dos desigualdades pueden expresarse como: |x − a| < r El valor absoluto de la diferencia x − a es la distancia entre los puntos a y x. As´ı pues, la desigualdad anterior expresa la condici´on de que la distancia de los puntos del entorno al centro es menor que el radio. Algunas sucesiones tienen la propiedad de que sus t´erminos se van aproximando a un n´ umero que se llama el l´ımite de la sucesi´ on, de tal forma que la diferencia entre el l´ımite y los t´erminos del sucesi´on se hace muy peque˜ na. Por ejemplo, es f´acil ver que los t´erminos de la sucesi´on: 1 2 3 4 , , , ,··· 2 3 4 5 son cada vez m´as pr´oximos a 1. Se dice que el l´ımite es 1 o que la sucesi´on tiende a 1. La idea de que los t´erminos de la sucesi´on se aproximan a un l´ımite se expresa matem´aticamente de la siguiente forma: diremos que la sucesi´on an tiene por l´ımite l y escribiremos: l´ım an = l

n→∞

Cuando cualquier entorno de centro l y radio ε (por peque˜ no que sea) contiene un n´ umero infinito de t´erminos de la sucesi´on y fuera queden un n´ umero finito de ellos (figura 10.2).

Figura 10.2: L´ımite de una sucesi´on Tambi´en puede decirse que, dado cualquier n´ umero ε, se cumple que. a partir de un t´ermino aN todos los siguientes cumplen que |an − l| < ε. Cuando los t´erminos de la sucesi´on se hacen muy grandes, es decir, cuando dado cualquier n´ umero M , los t´erminos de la sucesi´on acaban siendo mayores que M , se dice que la sucesi´on tiende a infinito o que el l´ımite de la sucesi´on es infinito: l´ım an = ∞

n→∞

De forma m´as precisa, diremos que el l´ımite de la sucesi´on an es infinito, si dado cualquier n´ umero M (tan grande como queramos) hay infinitos t´erminos de la sucesi´on mayores que M y un n´ umero finito de ellos que son menores que M (figura 10.3). Tambi´en puede decirse que el l´ımite de la sucesi´on an es infinito, si dado cualquier n´ umero M , a partir de un cierto t´ermino aN , todos los t´erminos de la sucesi´on son mayores que M .

´ 10.3. CALCULO DE L´IMITES.

97

Figura 10.3: L´ımite infinito De forma similar puede definirse el l´ımite −∞. Las sucesiones que tienen l´ımite finito se llaman convergentes y las que tienen l´ımite infinito o menos infinito se llaman divergentes.

10.3.

C´ alculo de l´ımites.

Un modo de calcular el l´ımite de una sucesi´on ser´ıa sustituir en la expresi´on del t´ermino general n por un n´ umero muy grande. El resultado deber´ıa ser un n´ umero pr´oximo al l´ımite. Por ejemplo, si en la sucesi´on de t´ermino general: an =

3n + 1 n2

sustituimos n por 1000 obtenemos a1000 =

3001 = 0,003001 1000000

lo que nos hace pensar que el l´ımite debe ser cero. A partir de la definici´on de l´ımite podr´ıamos demostrar que efectivamente el l´ımite es cero. En general, para calcular el l´ımite sustituiremos n por ∞ en la expresi´on del t´ermino general y aplicaremos las siguientes reglas: ⋄ Suma y diferencia. Para todo n´ umero a se verifica que: ∞±a=∞;

∞+∞=∞

⋄ Producto. Si k es un n´ umero distinto de cero: k·∞=∞;

∞·∞=∞

El signo del infinito resultante depende de los signos de los factores. ⋄ Cocientes. Para todo n´ umero k: k =0; ∞

∞ =∞; k

k =∞ 0

En esta u ´ltima regla, debe entenderse que el denominador no es exactamente cero sino una sucesi´on que tiende a cero y que el numerador k es distinto de cero. ⋄ Potencias. Si el exponente tiende a infinito tenemos que: { ∞ si r > 1 ∞ r = 0 si 0 ≤ r < 1 y si la base tiene a infinito: { ∞ si k > 0 ∞k = 0 si k < 0

98

10. SUCESIONES

Con ayuda de estas reglas, podemos calcular muchos l´ımites como podemos ver en el siguiente ejemplo. Ejercicio 54. Calcular los siguientes l´ımites: ⋄ l´ım 3n − 5 = 3 · ∞ − 5 = ∞ − 5 = ∞ n→∞

⋄ l´ım

n→∞

5n + 1 5·∞+1 ∞+1 ∞ = = = =∞ 3 3 3 3

3 3 3 3 = 2 = = =0 n2 + 1 ∞ +1 ∞+1 ∞ ( )n ( )∞ 3 3 ⋄ l´ım 2 − = 2− = (2 − 0)∞ = 2∞ = ∞ n→∞ n ∞ ⋄ l´ım

n→∞

⋄ l´ım 51−n = 51−∞ = 5−∞ = n→∞

1 1 = =0 ∞ 5 ∞

Cuando no pueden aplicarse las reglas generales se habla de casos de indeterminaci´ on. Hay 7 casos de indeterminaci´on: ⋄ Diferencia de infinitos: ∞−∞ ⋄ Producto de cero por infinito: 0·∞ ⋄ Cociente de infinitos y de ceros: ∞ ; ∞

0 0

⋄ Indeterminaciones con potencias: 1∞ ;

∞0 ;

00

No hay una regla general para el c´alculo de estos l´ımites. La t´ecnica a aplicar depende de las funciones que aparezcan en la expresi´on del t´ermino general. En el caso de que el t´ermino general est´e definido por una expresi´on polin´omica, la indeterminaci´on que se presenta es del tipo ∞ − ∞ y se resuelve teniendo en cuenta que el t´ermino de mayor grado es infinitamente mayor que los t´erminos de grado inferior que, por consiguiente se pueden ignorar, como vemos en los siguientes ejemplos. Ejercicio 55. Calcular los siguientes l´ımites: ⋄ l´ım (n2 − 3n + 1) = l´ım n2 = ∞2 = ∞ n→∞

n→∞

⋄ l´ım (5n − n ) = l´ım (−n3 ) = −∞ 2

n→∞

3

n→∞

Podemos ver que el l´ımite de una expresi´on polin´omica es +∞ o −∞ seg´ un que el t´ermino de mayor grado tenga coeficiente positivo o negativo.

Si el t´ermino general est´a dado por una funci´on racional, es decir, por un cociente de polinomios en n, se ecnica anterior al numerador presenta una indeterminaci´on del tipo ∞ ∞ . En este caso, se puede aplicar la t´ y al denominador.

´ 10.4. EL NUMERO E.

99

Ejercicio 56. Calcular los siguientes l´ımites: 3n2 − 5n + 6 3n2 3 3 = l´ ım = l´ım = =0 n→∞ n→∞ 2n3 n→∞ 2n 2n3 − 1 ∞

⋄ l´ım

5n4 − 2n + 1 5n4 5n2 ∞ = l´ım = l´ım = =∞ 2 2 n→∞ 2n + 4n + 3 n→∞ 2n n→∞ 2 2

⋄ l´ım

3n2 − n + 6 3n2 = l´ım 2 = 3 2 n→∞ n + 5n − 3 n→∞ n

⋄ l´ım

En consecuencia, si el t´ermino general de la sucesi´on viene dado por una funci´on racional: ⋄ El l´ımite es 0 si el denominador es de mayor grado que el numerador. ⋄ Es ∞ si el numerador es de mayor grado que el denominador. ⋄ Es igual al cociente de los coeficientes de los t´erminos de mayor grado si el numerador y el denominador son del mismo grado.

10.4.

El n´ umero e.

Se llama as´ı al l´ımite de la siguiente sucesi´on: ( e = l´ım

n→∞

1 1+ n

)n

Como se ve se trata de un l´ımite indeterminado del tipo 1∞ . El l´ımite de esta sucesi´on no es infinito, pues puede demostrarse f´acilmente (sabiendo un poco de combinatoria) que todos sus t´erminos son menores que 3. Se ha demostrado que e es un n´ umero irracional cuyas primeras cifras son: e = 2, 718 281 828 459 045 235 36 . . . Con ayuda del n´ umero e pueden calcularse muchos l´ımites indeterminados del tipo 1∞ . En particular, es f´acil ver que si a, b, k son n´ umeros cualesquiera: l´ım

n→∞

( 1+

1 n+a

)n+b =e

)kn ( 1 = ek 1+ n→∞ n ( )n k l´ım 1 + = ek n→∞ n l´ım

( )n k Ejercicio 57. Demostrar l´ım 1 + = ek n→∞ n [( )n )n ) n ·k ) n ]k ( ( ( k 1 1 k 1 k = ek l´ım 1 + = l´ım 1 + n = l´ım 1 + n = l´ım 1+ n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n k k k

100

10. SUCESIONES

10.5.

Progresiones aritm´ eticas y geom´ etricas

Una progresi´ on aritm´ etica es una sucesi´on de n´ umeros en la que cada t´ermino es igual al anterior m´as un n´ umero constante que se llama diferencia de la progresi´on: an = an−1 + d De la definici´on se deduce que: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 4d ···

···

En general se cumple que: an = a1 + (n − 1) · d Aplicando la f´ormula anterior a dos t´erminos de la progresi´on se obtiene: am = a1 + d · (m − 1) an = a1 + d · (n − 1) Restando las dos igualdades resulta: am = an + d · (m − n) f´ormula que permite obtener cualquier t´ermino de la sucesi´on a partir de otro t´ermino y de la diferencia. La suma de los n primeros t´erminos de una progresi´on aritm´etica es: Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an Agrupando los sumandos el primero con el u ´ltimo, el segundo con el pen´ ultimo, etc: Sn = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + · · · Todos los par´entesis son iguales y hay Sn =

n 2

par´entesis. Por consiguiente:

(a1 + an ) · n 2

Una progresi´ on geom´ etrica es una sucesi´on de n´ umeros en que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por un n´ umero constante llamado raz´on de la progresi´on: an+1 = an · r Razonando de forma similar a como se hizo con las progresiones aritm´eticas resulta: an = a1 · rn−1 Aplicando esta f´ormula a dos t´erminos: am = a1 · rm−1 an = a1 · rn−1 Dividiendo miembro a miembro se obtiene: am = an · rm−n

´ ´ 10.5. PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS

101

Si en la expresi´on: Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an multiplicamos por r y restamos, resulta: Sn

= a1 + a2 + a3 + · · · + an

Sn r

=

a1 r + a2 r + · · · + an−1 r + an r

Sn − Sn r = a 1

− an r

De aqu´ı se obtiene la f´ormula para la suma: Sn =

a1 − an r 1−r

Si la raz´on de la progresi´on est´a comprendida entre −1 y 1, el t´ermino an tiende a cero cuando n tiende a infinito. En este caso existe el l´ımite de Sn : S = l´ım Sn = l´ım n→∞

n→∞

a1 a1 − an r = 1−r 1−r

Por consiguiente, para estas progresiones podemos escribir: S∞ =

a1 1−r

−1 f (x2 ) 103

104

11. FUNCIONES

De forma similar, f (x) es decreciente en un intervalo si para puntos x1 , x2 en ese intervalo: x1 > x2

=⇒

f (x1 ) < f (x2 )

La funci´on f (x) tiene un m´ aximo relativo en el punto x0 si en ese punto toma un valor mayor que en los puntos pr´oximos situados tanto a su izquierda como a su derecha. Una funci´on f (x) tiene un m´ınimo relativo en el punto x0 si en ese punto toma un valor menor que en los puntos pr´oximos situados tanto a su izquierda como a su derecha.

Figura 11.1: Intervalos de crecimiento y decrecimiento Tambi´en podemos clasificar los puntos de la gr´afica de una funci´on seg´ un que la tangente quede por encima o por debajo de la curva. Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que la funci´on es convexa en ese punto y si queda por debajo diremos que la funci´on es c´ oncava. Los puntos en que la funci´on cambia de c´oncava a convexa o de convexa a c´oncava se llaman puntos de inflexi´ on de la curva. En estos puntos, la tangente atraviesa la curva.

Figura 11.2: Intervalos de concavidad y convexidad Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que la funci´on es convexa en ese punto y si queda por debajo diremos que la funci´on es c´ oncava. Los puntos en que la funci´on cambia de c´oncava a convexa o de convexa a c´oncava se llaman puntos de inflexi´ on de la curva. En estos puntos, la tangente atraviesa la curva.

11.2. FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO.

105

Una funci´on es par o sim´ etrica respecto al eje de ordenadas si cumple que f (−x) = f (x). Las funciones polin´omicas que tienen solamente potencias pares son sim´etricas respecto al eje de ordenadas. Una funci´on es impar o sim´ etrica respecto al origen si cumple que f (−x) = −f (x). Las funciones polin´omicas que tienen solamente potencias impares son sim´etricas respecto al origen. Una funci´ on peri´ odica de per´ıodo T es aquella cuyos valores se repiten a intervalos de longitud T , es decir que: f (x + T ) = f (x)

Figura 11.3: Funci´on peri´odica

11.2.

Funciones de primer y segundo grado.

Como vimos anteriormente, la representaci´ on gr´afica de las funciones polin´omicas de primer grado f (x) = mx + b es una l´ınea recta de pendiente m y cuya ordenada en el origen es b. La representaci´ on gr´afica de la funci´on polin´omica de segundo grado o funci´on cuadr´atica f (x) = ax2 + bx + c es una par´abola. La par´abola presenta un m´ınimo o un m´aximo seg´ un que el coeficiente de x2 sea positivo o negativo. El m´aximo o m´ınimo de la funci´on es el v´ertice de la par´abola. Las intersecciones de la par´abola con los ejes se obtienen resolviendo el sistema formado por la ecuaci´on de la par´abola y la ecuaci´on de los ejes. { { y = ax2 + bx + c = 0 y = ax2 + bx + c = 0 OX : OY : y=0 x=0 Las coordenadas del v´ertice se calculan de la siguiente forma: la abscisa del v´ertice es el punto medio de las intersecciones (si existen) con el eje OX. Una vez calculada la abscisa, se obtiene la ordenada sustituyendo en la ecuaci´on de la par´abola: x0 = −

b ; 2a

y0 = ax20 + bx0 + c

106

11. FUNCIONES

Figura 11.4: Funci´on cuadr´atica Ejercicio 58. Representar gr´aficamente la funci´on y = x2 − 5x − 14. El punto de intersecci´ on con el eje de ordenadas es la soluci´on del sistema: { y = x2 − 5x − 14 =⇒ A(0, −14) x=0 Los (posibles) puntos de intersecci´ on con el eje de abscisas se obtienen del sistema: { √ y = x2 − 5x − 14 5 ± 25 + 56 5±9 =⇒ x = = 2 2 y=0 Hay dos puntos de intersecci´ on de abscisas −2 y 7. Los puntos son entonces B1 (−2, 0) y B2 (7, 0) El v´ertice tiene como coordenadas x0 =

5 ; 2

y0 =

25 5 81 − 5 · − 14 = − 4 2 4

Con estos datos, la representaci´ on gr´afica ser´ıa:

Ejercicio 59. Representar gr´aficamente la funci´on y = 4x − x2 . Procediendo de forma similar al problema anterior resulta que la intersecci´on con el eje OY es el punto (0, 0), las intersecciones con el eje OX est´an en (0, 0) y (4, 0) y el v´ertice en (2, 4).

´ DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. 11.3. FUNCION

107

La representaci´ on gr´afica es:

Obs´ervese que, puesto que el coeficiente de x2 es negativo, la funci´on presenta un m´aximo al contrario de lo que ocurr´ıa en el ejemplo anterior.

11.3.

Funci´ on de proporcionalidad inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto es constante. Las funciones definidas mediante ecuaciones del tipo: y=

k cx + d

o ´

y=

ax + b cx + d

se llaman funciones de proporcionalidad inversa y la curva correspondiente es una hip´ erbola. Esta curva puede dibujarse calculando sus intersecciones con los ejes:   ax + b ax + b    y=  y= cx + d cx + d    y=0  x=0 y sus as´ıntotas. M´as adelante se ver´ a c´omo se pueden obtener las as´ıntotas de cualquier curva. Para la funci´on de proporcionalidad inversa la as´ıntota vertical se obtiene igualando a cero el denominador y la as´ıntota horizontal dividiendo los coeficientes de x: as´ıntota horizontal: y =

a c

as´ıntota vertical: x =

−d c

Conocidas las as´ıntotas x = x0 e y = y0 , la ecuaci´on de la hip´erbola puede escribirse en la forma: (x − x0 )(y − y0 ) = k donde se pone de manifiesto que las magnitudes inversamente proporcionales son x − x0 e y − y0 . Ejercicio 60. Representar gr´aficamente la funci´on: y=

2x − 5 x−3

La as´ıntota vertical es x − 3 = 0, es decir, x = 3. La as´ıntota horizontal es y = 2 (y igual al cociente de los coeficientes de x).

108

11. FUNCIONES

Figura 11.5: Funci´on de proporcionalidad inversa Calculamos las intersecciones con los ejes. El punto de intersecci´on con el eje de abscisas es:  ) ( y = 2x − 5 5 x−3 ,0 =⇒ A  2 y=0 y el punto de intersecci´ on con el eje de ordenadas:  ( ) y = 2x − 5 5 x−3 =⇒ B 0,  3 x=0 Con estos datos, la gr´afica de la funci´on es la siguiente:

11.4.

Funciones exponenciales y logar´ıtmicas.

Las funciones definidas por y = ax donde a es un n´ umero positivo cualquiera se llaman funciones exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la funci´on puede escribirse en la base e, es decir como y = ekx con k = ln a positivo o negativo seg´ un que a sea mayor o menor que 1. Como caracter´ısticas m´as importantes de estas funciones destaquemos las siguientes: ⋄ Sea cual sea el valor de x, ekx es positivo.

11.5. FUNCIONES CIRCULARES.

109

⋄ El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una as´ıntota horizontal de y = ekx en −∞ o +∞ seg´ un sea k positivo o negativo. ⋄ La curva y = ekx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1).

Figura 11.6: Funciones exponenciales y logar´ıtmicas Se llaman funciones logar´ıtmicas las definidas por f (x) = loga x. Con ayuda de la f´ormula del cambio de base de los logaritmos, cualquier funci´on logar´ıtmica puede expresarse como y = k · ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones citaremos: ⋄ Las funciones logar´ıtmicas solo existen para x positivo. ⋄ La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es as´ıntota vertical de y = k · ln x. ⋄ La curva y = k · ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0).

11.5.

Funciones circulares.

Las funciones y = sen x, y = cos x e y = tg x as´ı como sus rec´ıprocas cosecante, secante y cotangente, tienen la particularidad de que son peri´odicas, es decir toman valores iguales cada 2π radianes. Como se ve (figura 11.7), las gr´aficas de las funciones seno y coseno son iguales pero desfasadas en funci´on tangente tiene as´ıntotas x = ±(2k + 1) π2 para k = 0, 1, 2, . . ..

Figura 11.7: Funciones circulares

π 2.

La

110

11. FUNCIONES

Las inversas de estas funciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones se definen de la siguiente manera: ⋄ arsen x es el ´angulo (en radianes) comprendido entre − π2 y

π 2

cuyo seno vale x.

⋄ arcos x es el ´angulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno vale x. ⋄ artg x es el ´angulo comprendido entre − π2 y

π 2

cuya tangente vale x.

12 L´IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

12.1.

L´ımite cuando la variable tiende a infinito.

Cuando escribimos l´ım f (x) = l

x→∞

queremos decir que cuando la variable x se hace muy grande los valores de la funci´on son muy pr´oximos al n´ umero l. Gr´aficamente ser´ıa as´ı:

Figura 12.1: L´ımite cuando la variable tiende a infinito Vemos que en este caso la gr´afica de la funci´on cuando x se hace muy grande se aproxima a la recta horizontal x = l. Veremos m´as adelante que esta recta se llama as´ıntota horizontal de la funci´on (ver figura 12.1 izquierda). Si el l´ımite es infinito (y de modo muy parecido si es menos infinito) escribimos: l´ım f (x) = ∞

x→∞

111

12. L´IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

112

y significa que eligiendo x suficientemente grande la funci´on toma valores tan grandes como se quiera, es decir, la gr´afica de la funci´on corta a cualquier recta horizontal (ver figura 12.1 derecha).

Figura 12.2: L´ımites cuando x tiende a infinito De forma m´as precisa (figura 12.1): Definici´ on 1 (L´ımite finito cuando x → ∞). El l´ımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a infinito es l, y se escribe: l´ım f (x) = l

x→∞

si dado un n´ umero cualquiera ε mayor que cero, existe un valor de la variable x0 tal que para los valores de x mayores que x0 , la distancia entre los valores de la funci´ on y el l´ımite son menores que ε: ∀ε > 0

∃ x0

|

x > x0 =⇒ |f (x) − l| < ε

Definici´ on 2 (L´ımite infinito cuando x → ∞). Se dice que el l´ımite de la funci´ on f (x) cuando la variable x tiende a infinito es infinito y se escribe: l´ım f (x) = ∞

x→∞

si dado cualquier n´ umero M , existe un valor de la variable x0 a partir del cual los valores de la funci´ on son mayores que M : ∀M

∃ x0

|

x > x0 =⇒ f (x) > M

Los l´ımites cuando la variable tiende a menos infinito se definen de modo similar. Todas las reglas de c´alculo de l´ımites que hemos visto en el tema de sucesiones pueden aplicarse al c´alculo de l´ımites de funciones cuando la variable tiende a infinito. Ejercicio 61. Calcular los siguientes l´ımites: ( ) ⋄ l´ım x2 − 3x3 = −∞ x→∞

x2 − 5x + 2 =0 x→∞ x3 + 4x

⋄ l´ım

x3 − 3x2 + 1 =∞ x→∞ x+ x − 2

⋄ l´ım

1 − x3 1 =− 3 2 x→∞ 2x − 3x + 6 2

⋄ l´ım

´ 12.2. L´IMITE CUANDO LA VARIABLE TIENDE A UN NUMERO FINITO. ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄

113

( )2x 1 l´ım 1 + = e2 x→∞ x )x2 −3x ( 3 = e−3 l´ım 1 − 2 x→∞ x )x+1 ( 1 1 l´ım 1 + = e2 x→∞ 2x + 3 ( )5x+1 10 2 l´ım 1 + =e3 x→∞ 3x + 3 ( )x 2 l´ım 1 − 2 = e0 = 1 x→∞ x +3 ( )x2 2 l´ım 1 + =∞ x→∞ x+1 ( )x2 −1 3 l´ım 1 − = e−∞ = 0 x→∞ 2x + 5 ( )x ( )∞ 2x − 3 2 l´ım = =0 x→∞ 3x + 1 3 )x ( )∞ ( 3 3x + 2 l´ım = =∞ x→∞ 2x + 3 2

12.2.

L´ımite cuando la variable tiende a un n´ umero finito.

Figura 12.3: Limite cuando la variable tiende a un valor finito Cuando escribimos l´ım f (x) = l

x→x0

queremos decir que cuando la variable x toma valores pr´oximos a x0 , pero distintos de x0 , la funci´on f (x) toma valores pr´oximos a l (ver figura 12.3 izquierda). Es importante destacar que el l´ımite de una funci´on en un punto no depende del valor de la funci´on en ese punto sino de los valores que toma en los puntos pr´oximos. Para que haya l´ımite, ni siquiera es necesario que exista la funci´on en ese punto pero debe existir en los puntos pr´oximos. De forma m´as precisa (figura 12.4):

12. L´IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

114

Definici´ on 3 (L´ımite cuando x → x0 ). El l´ımite cuando x tiende a x0 de la funci´ on f (x) es igual a l y se escribe: l´ım f (x) = l

x→x0

si

∀ε > 0

∃δ

|

|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − l| < ε.

Figura 12.4: L´ımite cuando x tiende a un n´ umero finito Si en los puntos pr´oximos a x0 la funci´on toma valores muy grandes, mayores que cualquier n´ umero fijado previamente, diremos que la funci´on tiende a infinito (ver figura 12.3 derecha). l´ım f (x) = ∞

x→x0

El l´ımite igual a menos infinito se define de modo similar. Si el l´ımite x tiende a x0 es infinito (o menos infinito), la recta x = x0 es una as´ıntota vertical de la funci´on.

12.3.

Funciones continuas. Casos de discontinuidad.

Con las funciones que utilizamos habitualmente, si tienen l´ımite finito, suele ocurrir que el l´ımite de la funci´on en un punto x0 coincide con el valor de la funci´on: l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0

En este caso se dice que la funci´on es continua en x0 . Destaquemos que para que una funci´on sea continua en x0 debe cumplirse que: - Existe el l´ımite de la funci´on en el punto x0 . - Existe la funci´on en el punto x0 , es decir, el punto x0 pertenece al dominio de la funci´on. - Ambos n´ umeros l´ım f (x) y f (x0 ) son iguales. x→x0

Cuando una funci´on no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto. Pueden presentarse los siguientes casos: ⋄ Discontinuidad evitable. Hemos dicho que el l´ımite depende del valor que toma la funci´on en los puntos pr´oximos al punto pero es independiente del valor de la funci´on en el punto. As´ı, es posible que una funci´on tenga l´ımite en el punto x0 pero no exista la funci´on en ese punto (o no coincida con el l´ımite). En este caso se dice que la funci´on presenta una discontinuidad evitable. f tiene una discontinuidad evitable en x0

⇐⇒

∃ l´ım f (x) ̸= f (x0 ) x→x0

12.3. FUNCIONES CONTINUAS. CASOS DE DISCONTINUIDAD.

115

Por ejemplo, la funci´on: f (x) =

sen x x

no est´a definida en el punto x = 0 (ver figura 12.5). Sin embargo puede demostrarse queda l´ım

x→0

sen x =1 x

Figura 12.5: Discontinuidad evitable Se llama discontinuidad evitable porque es posible darle un nuevo valor a la funci´on en el punto de discontinuidad de modo que la nueva funci´on as´ı definida sea continua. Por ejemplo en la funci´on anterior, definiendo: { sen x x ̸= 0 x f (x) = 1 x=0 obtenemos una funci´on continua igual a la anterior en todos los puntos salvo en x = 0. ⋄ Salto finito. Algunas funciones tienen l´ımites diferentes seg´ un que la variable se aproxime al punto por la derecha o por la izquierda (ver figura 12.6). Los l´ımites laterales se indican mediante: l´ım f (x) ;

x→x− 0

l´ım f (x)

x→x+ 0

donde los super´ındices − y + indican que x tiende a x0 por la izquierda y por la derecha respectivamente. Que x tiende a x0 por la izquierda significa que x es pr´oximo a x0 pero menor que x0 y que x tiende a x0 por la derecha significa que x es pr´oximo a x0 pero mayor que x0 . Por ejemplo, la funci´on: { −x2 + 4x − 3 x < 2 f (x) = x2 − 4x + 8 x≥2 tiene un salto finito en x = 2, puesto que: l´ım f (x) = 1 ;

x→x− 0

l´ım f (x) = 4

x→x+ 0

⋄ Infinitos. El tercer tipo de discontinuidad son los infinitos de la funci´on, es decir, los puntos x0 tales que: l´ım f (x) = ∞

x→x0

12. L´IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

116

Figura 12.6: Discontinuidades por salto finito y por l´ımite infinito Por ejemplo, la funci´on: f (x) =

x+1 x−1

tiene un punto de discontinuidad en x = 1 ya que (ver figura 12.6): l´ım

x→1

x+1 =∞ x−1

⋄ Discontinuidad esencial. Se produce este tipo de discontinuidad cuando no existen los l´ımites laterales ni son infinitos. Por ejemplo, la funci´on: 1 x no tiene l´ımite cuando x tiende a 0 (figura 12.7). Podemos ver que, cuando la variable es muy pr´ oxima a cero, la funci´on oscila r´apidamente entre −1 y 1 con una frecuencia que tiende a infinito a medida que x tiende a cero. f (x) = sen

Figura 12.7: Discontinuidad esencial

12.4.

As´ıntotas.

Las as´ıntotas son rectas tangentes a la curva en el infinito.

12.4. AS´INTOTAS.

117

En el caso de as´ıntotas verticales, esto significa que cuando x tiende a x0 la distancia entre la curva y la as´ıntota tiende a cero y la pendiente de la curva tiende a infinito. En as´ıntotas horizontales y oblicuas la distancia entre la curva y la as´ıntota tiende a cero y, adem´as, la pendiente de la curva se hace igual a la pendiente de la recta (cero en el caso de la as´ıntota horizontal) cuando x tiende a infinito. Podemos considerar los siguientes tipos de as´ıntota: ⋄ As´ıntotas verticales (ver figura 12.6 derecha): x = x0 as´ıntota vertical de f (x)

⇐⇒

l´ım f (x) = ∞

x→x0

Por ejemplo la funci´on: y=

x+1 x−1

tiene una as´ıntota x = 1 puesto que: l´ım

x→1

x+1 =∞ x−1

⋄ As´ıntotas horizontales (ver figura 12.8 izquierda): y = y0 as´ıntota horizontal de f (x)

⇐⇒

l´ım f (x) = y0

x→∞

Figura 12.8: As´ıntota horizontal y oblicua Por ejemplo, y = 0 es una as´ıntota horizontal de la funci´on y = l´ım

5x porque: x2 + 7

5x =0 +7

x→∞ x2

⋄ As´ıntotas oblicuas (ver figura 12.8 derecha): y = mx + b as´ıntota oblicua de f (x)

⇐⇒

l´ım [f (x) − (mx + b)] = 0

x→∞

Puesto que y (la ordenada de la as´ıntota) y f (x) son iguales cuando x tiende a infinito, podemos calcular la pendiente m de la as´ıntota, del siguiente modo: y = mx + b

=⇒

m=

y−b f (x) − b f (x) = l´ım = l´ım x→∞ x→∞ x x x

12. L´IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

118

Una vez calculada la pendiente, se obtiene la ordenada en el origen b: y = mx + b

=⇒

b = y − mx = l´ım [f (x) − mx] x→∞

Por ejemplo, para obtener la as´ıntota de la funci´on: x3 + x + 7 x2 + 1 se calculan los siguientes l´ımites: f (x) =

1 x3 + x + 7 x3 + x + 7 · = l´ ım · =1 x→∞ x→∞ x x2 + 1 x3 + x ( 3 ) x +x+7 x3 + x + 7 − x3 − x 7 l´ım − 1 · x = l´ ım = l´ım 2 =0 2 2 x→∞ x→∞ x→∞ x + 1 x +1 x +1 l´ım

de forma que la as´ıntota es y = x.

12.5.

Nueva definici´ on de continuidad

Figura 12.9: Funci´on continua Llamemos x = x0 + ∆x (figura 12.9): l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0

=⇒ =⇒ =⇒

l´ım f (x0 + ∆x) = f (x0 )

∆x→0

l´ım [f (x0 + ∆x) − f (x0 )] = 0

∆x→0

l´ım ∆f = 0

∆x→0

donde se ha llamado ∆f a la variaci´on de la funci´on f cuando la variable x cambia en la cantidad ∆x. Esta nueva definici´on puede expresarse de la siguiente forma: una funci´ on es continua, si a variaciones infinitesimales de la variable dependiente, corresponden variaciones infinitesimales de la variable dependiente.

12.6.

Reglas para el c´ alculo de l´ımites

12.6.1.

L´ımites cuando x → ∞

Reglas generales: Para calcular estos l´ımites pueden aplicarse las siguientes reglas: ∞±k =∞

k·∞=∞

(k ̸= 0)

∞ =∞ k

k =∞ 0

12.7. DOS L´IMITES IMPORTANTES { ∞ = k

∞

k>0

0

k1 0

r 0 De acuerdo con el teorema de Bolzano existe un n´ umero ξ comprendido entre 0 y 1 en el que f vale 0. Entonces ξ es una soluci´on de la ecuaci´on.