Probabilidad y Estad´ıstica por Mar´ıa Luisa P´erez Segu´ı

Introducci´ on Se presenta aqu´ı el material correspondiente a un curso de Probabilidad y Estad´ıstica, el cual se imparte en la Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´aticas de la Universidad Michoacana. Se propone en las notas un curso introductorio a los vastos temas de probabilidad y estad´ıstica. En vista que el curso va dirigido a estudiantes de segundo a˜ no de una carrera de matem´aticas, los temas no pueden tratarse de manera muy r´ıgida ni abstracta. El enfoque es mediante numerosos ejemplos para ilustrar los principios del razonamiento te´orico en Probabilidad y las aplicaciones de la Estad´ıstica.

Mar´ıa Luisa P´erez Segu´ı Fac. Cs. F´ısico-Matem´aticas Universidad Michoacana de San Nicol´as de Hidalgo

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´Indice

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1.

Qu´ e estudian la Probabilidad y la Estad´ıstica

La probabilidad y la estad´ıstica estudian el comportamiento de procesos aleatorios. Lo “aleatorio” de un proceso puede venir de diferentes lados: Realmente es aleatorio. Falta de informaci´on. Falta de poder deductivo. La estad´ıstica tambi´en, a veces, nos proporciona un resumen de los datos, para que los podamos entender. Esto, claro, lleva sus problemas tambi´en, porque a veces se confunde el resumen de los datos con los datos. Si s´olo tenemos el promedio de las cosas, muchas veces eso no cuenta “toda la historia”. Incluso el promedio, la media, la media geom´etrica, la varianza, el segundo momento, etc, no cuentan toda la historia. En t´erminos generales La probabilidad supone que se conoce exactamente c´omo funciona determinado proceso aleatorio y trata de concluir qu´e se observar´a. La estad´ıstica comienza de las observaciones y trata de inferir c´omo funciona un proceso aleatorio.

Probabilidad Va de lo general a lo particular Perfecta Independiente Muy matem´atica

Estad´ıstica Va de lo particular a lo general Sujeta a todo tipo de errores, interpretaciones, etc. Se necesita entender probabilidad primero Menos matem´atica

Entender los principios de probabilidad y estad´ıstica sirve para tomar decisiones de la vida cotidiana; para no dejarse enga˜ nar por los pol´ıticos, las noticias, etc. La aplicaci´on matem´atica y t´ecnica de la probabilidad y estad´ıstica ha tenido varios grandes ´exitos: Ciencias Naturales: F´ısica, Biolog´ıa, Qu´ımica, etc. Medicina: Revolucionada por la estad´ıstica y estudios doblemente a ciegas. Ciencias Sociales: Pol´ıtica (elecciones), Psicolog´ıa, Econom´ıa, etc. Finanzas: Tambi´en ha ocasionado problemas enormes. Los problemas de mala interpretaci´on de la Estad´ıstica son varios. Podemos enunciar algunos: 1

Confundir causalidad con correlaci´on. Dos cosas est´an correlacionadas si por lo general ocurrren juntas; sin embargo no tiene por qu´e ser cierto que una sea causa de la otra. Un ejemplo muy burdo de esto ser´ıa decir que usar zapatos grandes hace que uno juegue bien basquetbol. Coincidencia. Los sucesos cotidianos son innumerables. Tratar de explicar uno de ellos simplemente porque otro ocurri´o al mismo tiempo es un error muy com´ un. Ejemplos de esto son las supuestas premoniciones, los milagros curativos, etc. Inclusive, la cantidad de eventos que pueden analizarse es enorme, as´ı que algunas gr´aficas se parecen (es decir, existe corrrelaci´on entre ellas) aunque los eventos son completamente ajenos (ver, por ejemplo, http://www.xatakaciencia.com/psicologia/correlacion-noimplica-causalidad-hay-que-decirlo-mas). Encuestas sin representatividad. Aqu´ı un ejemplo extremo ser´ıa preguntar en una avenida a los conductores si tienen coche y luego inferir que casi todas las personas tienen coche.

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2.

Introducci´ on a la Probabilidad

Empezaremos por dar un “modelo general” de c´omo funciona la probabilidad y luego veremos t´ecnicas para calcularla. Es necesario conocer todas las posibilidades que pudieran llegar a ocurrir. Esto, en el mundo real, no ocurre siempre, claro. En determinada situaci´on, al conjunto de todas las posibles situaciones que podr´ıan llegar a ocurrir se le llama espacio muestral. Denotaremos este conjunto por Ω. 2.1 Ejemplo. (a) Si lanzamos una moneda una vez, Ω = {A, S}. (b) Si lanzamos una moneda dos veces, entonces Ω = {AA, AS, SA, SS}. El espacio muestral Ω podr´ıa ser finito o infinito pero, m´as importante que eso, Ω podr´ıa ser discreto o continuo. La probabilidad discreta es cuando no hay noci´on de “cercan´ıa” entre las cosas que pueden ocurrir (usualmente, cuando es finito), como por ejemplo tiros de monedas, dados, votaciones, etc. En la probabilidad continua hay toda una gama de posibilidades muy “cercanas” unas de otras, como temperatura, tiro con arco, etc. Vamos a empezar a estudiar la probabilidad discreta y luego veremos sus “analog´ıas” con la probabilidad continua. B´asicamente, para probabilidad discreta hay que saber contar. Para probabilidad continua hay que saber c´alculo o an´alidis matem´atico. Podemos pensar que la probabilidad continua es el l´ımite de la probabilidad discreta. En un espacio muestral discreto Ω, cada elemento x ∈ Ω tiene asociada un n´ umero entre 0 y 1, que es su probabilidad de ocurrir. Lo denotamos por P (x). Cualquier subconjunto del espacio muestral se llama suceso o evento. La suma de todas las probabilidades en un suceso A es la probabilidad del suceso, denotada por P (A). Si A = Ω se debe tener, por definici´on, P (Ω) = 1 2.2 Nota. Es importante se˜ nalar que el que se puedan sumar las probabilidades individuales de los elementos depende fuertemente del que el espacio sea discreto. Por ejemplo, si tenemos una regi´on circular del plano, lo natural ser´ıa que la probabilidad de escoger un determinado punto en esa regi´on sea 0, pero la suma de 00 s es 0. Para poder estudiar probabilidad de este tipo se necesita introducir conceptos como de medida. Un estudio as´ı corresponde al An´alisis Matem´atico bastante m´as complicado que el prop´osito de este curso. 2.3 Ejemplo. (a) Lanzamos una moneda “justa”. ¿Cu´al es el espacio muestral y cuales son las probabilidades? Ω = {A, S} y las probabilidades son 1/2 para ambas. 3

(b) Lanzamos una moneda y seguimos lanz´andola una y otra vez, hasta que salga a´guila, y entonces nos detenemos. El espacio muestral es Ω = {A, SA, SSA, SSSA, SSSSA, ...} Las probabilidades son: 1 P (A) = , 2

1 P (SA) = , 4

1 P (SSA) = , 8

...

(c) Supongamos que tiramos dos dados y nos fijamos en su suma. Entonces el espacio muestral es Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Sin embargo, es claro aqu´ı que los elementos tienen diferentes probabilidades. ♦ En el ejemplo anterior vimos que en un espacio muestral los elementos pueden tener diferente probabilidad de ocurrir. Muchas veces conviene modificar el espacio para que todos los elementos sean equiprobables, es decir, que tengan la misma probabilidad. Esto facilita el c´alculo de probabilidades y la raz´on es que simplemente se puede tomar la probabilidad de un suceso A como

P (A) =

# veces que ocurre A |A| = # total de casos |Ω|

2.4 Ejemplo. Modificar el ejemplo ?? para lograr equiprobabilidad y calcular la probabilidad de que la suma sea 11 y tambi´en de que sea 12. Soluci´on. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), ...} = {1, 2, . . . , 6}2 Las formas en que se suma 11 son 2: (5, 6) y (6, 5). S´olo hay una forma de lograr 12: (6, 6). 1 2 = 18 y la de Como el espacio muestral tiene 36 elementos, la probabilidad de lograr 11 es 36 1 lograr 12 es 36 . ♦ Pero entonces se vuelve muy importante poder contar cosas de manera eficiente. Dedicaremos a esto la siguiente secci´on. 2.5 Ejercicio. Explicar por qu´e se cuentan por separado las opciones (5, 6) y (6, 5) en ??.

2.1.

Conteo

Esta secci´on es un repaso de los temas b´asicos del conteo. 4

2.6 Ejemplo. ¿Cu´antos n´ umeros enteros de tres o menos cifras hay? Soluci´on. La respuesta a esta pregunta es f´acil: Hay 1000 pues son todos los n´ umeros enteros del 0 al 999. Esta soluci´on no nos ense˜ na gran cosa. Retomemos ahora el problema buscando una soluci´on constructiva; esto es, para cualquier n = 1, 2, 3, . . ., la cantidad de n´ umeros de hasta n + 1 cifras se puede obtener de la cantidad de n´ umeros de hasta n cifras: simplemente se multiplica por 10. Vamos a describir con detalle este procedimiento: N´ umeros de a lo m´as una cifra hay 10, a saber, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para contar los de hasta dos cifras (del 0 al 99) no necesitamos escribirlos todos; basta con observar que la primera cifra puede ser cualquiera de los 10 d´ıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y por cada uno de ´estos hay 10 terminaciones distintas; por ejemplo, los n´ umeros de dos cifras que empiezan con 4 son: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 y 49, diez en total; lo mismo para cada una de las otras decenas. As´ı la cantidad de enteros entre 0 y 99 es 10×10 = 100. El siguiente paso es an´alogo: Para contar los n´ umeros de hasta tres cifras hay que agregar un d´ıgito (posiblemente 0) a cada uno de los 100 n´ umeros de 2 o menos cifras; como hay diez posibilidades la respuesta ser´a 10 × 100 = 1000. ♦ Este procedimiento de “construir sobre lo ya construido” que hemos utilizado se llama procedimiento inductivo . Muchas demostraciones de propiedades y f´ormulas de n´ umeros naturales se basan en ´el. M´as adelante se estudiar´a esto con detalle. El principio combinatorio que manejamos en el ejemplo anterior (y que manejaremos en los siguientes) es: 2.7. Principio Fundamental de Conteo. Si una cierta tarea puede realizarse de m maneras diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de n maneras distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de mn formas diferentes. 2.8 Ejemplo. ¿Cu´antas palabras de tres letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto con dos letras: a y b. (Nota: Son permisibles palabras como bba.) Soluci´on. Procederemos como en el ejemplo anterior. En este caso conviene ilustrarlo haciendo un “diagrama a´rbol”:

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Resolvamos ahora el ejemplo utilizando nuestro Principio Fundamental de Conteo. Con, la primera para la letra inicial, la segunda para la letra central sideremos tres casillas: y la tercera para la letra final. En cada casilla hay dos elecciones posibles: la letra a o la letra b. La respuesta es entonces 2 × 2 × 2 = 8. El procedimiento inductivo es como sigue: En la primera casilla hay 2 posibilidades para elegir la letra. Una vez formada una palabra de una letra: a o b, para agrandarla a una palabra de dos letras hay dos posibilidades, as´ı que palabras de dos letras hay 2 × 2 = 4. Para completar cada una de ´estas a una palabra de tres letras hay dos posibilidades; entonces hay 4 × 2 = 8 palabras de tres letras. ♦ 2.9 Ejemplo. ¿Cu´antas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres n´ umeros a la derecha? (Nota: Consideraremos el alfabeto de 27 letras castellanas. Soluci´on. Seguimos el procedimiento de las casillas del ejemplo anterior: 27 × 27 × 10 × 10 × 10 = 729 000. ♦ | {z } | {z } lugares para letras

lugares para n´ umeros

2.10 Ejemplo. ¿Cu´antas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 4 lienzos de tela de colores distintos y un asta? (Nota: Banderas como rojo-rojo no son permisibles; por otro lado, es importante el color que queda junto al asta, de esta manera banderas como rojo-azul y azul-rojo se consideran distintas.) Soluci´on. En este caso consideramos dos casillas. La de la izquierda, digamos, representa el lienzo junto al asta, el cual tiene 4 elecciones posibles. Una vez elegido ´este, el color para la derecha se puede escoger de 3 formas (pues no se permite la repetici´on de colores). As´ı hay 4 × 3 = 12 formas distintas de formar las banderas. ♦ 2.11 Ejercicio. Escribir todas las banderas que pueden formarse seg´ un el ejemplo anterior si los colores son rojo (R), azul (A), verde (V ) y blanco (B). 6

2.12 Ejemplo. Misma pregunta que en el ejemplo anterior pero ahora suponiendo que no hay asta. (En este caso no habr´a distinci´on entre las banderas rojo-azul y azul-rojo.) Soluci´on. Para resolver este ejemplo analicemos la respuesta del ejemplo anterior. En aqu´el, en la colecci´on total de las 12 banderas posibles podemos aparear cada bandera con su opuesta; por ejemplo la bandera azul-verde la apareamos con la bandera verde-azul. Cada una de las del ejemplo anterior se esta contando dos veces y, por tanto, la respuesta es 12 = 6. ♦ 2 2.13 Ejercicio. En el resultado del ejercicio ?? aparear cada una de las banderas con su opuesta. Dar una lista de 6 banderas que ilustre la respuesta del ejemplo ??. 2.14 Ejemplo. ¿De cu´antas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas numeradas del 1 al 5? Soluci´on. En el asiento #1 se puede sentar cualquiera de las 5 personas; para cada elecci´on de la primera persona, la segunda puede ser cualquiera de las 4 restantes; as´ı en las dos primeras sillas el n´ umero de elecciones posibles es 5 × 4 = 20. Continuamos de manera an´aloga. Para simplificar dibujemos 5 casillas simbolizando los 5 asientos. Sobre cada casilla escribamos el n´ umero respectivo de posibilidades y multipliquemos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. ♦ Si n es un n´ umero natural, el producto de todos los n´ umeros naturales del 1 al n aparece muy frecuentemente en problemas de combinatoria; se llama n factorial o factorial de n y se denota por n!. (As´ı la respuesta del ejemplo ?? es 5! = 120.) Alej´andose de la interpretaci´on de n! como el producto de los naturales de 1 a n, se define 0! = 1; esto permite incluir el caso n = 0 en algunas f´ormulas en las que interviene n!. Entonces 0! 1! 2! 3! 4!

= = = = =

1 1 1×2=2 1×2×3=6 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

Es f´acil darse cuenta que el n´ umero 5 del ejemplo ?? y el que sean personas y asientos en lugar de cualquier otra cosa no es relevante; podemos generalizarlo como sigue:

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El n´ umero Pn de distintas formas en que se pueden ordenar n objetos es n!. Cada una de las listas ordenadas que se forman con los n objetos se llama permutaci´ on (de los objetos). Tenemos entonces que el n´ umero de permutaciones de n objetos es Pn = n!. 2.15 Ejemplo. De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisi´on de 3 para que cada uno visite un museo de una lista de 3 museos. ¿Cu´antas comisiones distintas se pueden formar? Soluci´on. Utilizando el esquema de casillas (cada una representando un museo) como arriba, tenemos que el resultado es 5 × 4 × 3 = 60. ♦

2.16 Ejemplo. De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisi´on de 3 para que juntos visiten un museo (el mismo todos). ¿Cu´antas comisiones diferentes se pueden formar? Soluci´on. Hay que observar que la diferencia entre este ejemplo y el anterior es que no importa el orden en la elecci´on. En el ejemplo anterior hab´ıa distici´on entre las casillas pues cada una representaba un museo en particular distinto a los otros; en ´este no hay distinci´on entre las casillas pues, por ejemplo, una comisi´on en que se haya elegido la sucesi´on de alumnos Ana-Beto-Carlos se considerar´a igual a la sucesi´on Beto-Carlos-Ana y tambi´en igual a la sucesi´on Ana-Carlos-Beto. Nuestro inter´es es entonces determinar en la cantidad 5 × 4 × 3, en cu´antas sucesiones aparece el mismo conjunto de alumnos. Para responder esto conviene plantear esta parte del ejemplo al rev´es: Consideremos un conjunto fijo de 3 personas, por ejemplo el formado por Ana (A), Beto (B) y Carlos (C) y contemos de cu´antas formas se pueden ordenar estos 3. Observemos que el n´ umero de formas es precisamente el n´ umero de permutaciones de las 3 personas, o sea, P3 = 3! = 6. Entonces cada grupo de 3 personas se est´a contando 6 veces en el producto 5 × 4 × 3, as´ı que la respuesta al ejemplo ser´a 5×4×3 = 10. ♦ 3! 2.17 Ejercicio. En los ejemplos ?? y ?? supongamos que el grupo de los 5 alumnos est´a formado por Ana (A), Beto (B), Carlos (C), Daniel (D) y Elena (E). Hacer la lista de los 60 arreglos de estos alumnos en los que se elige 3 para visitar museos distintos, agrupando en esa lista las colecciones que resultan iguales si todos van a un mismo museo. En el ejemplo anterior aprendimos el siguiente principio: 2.18. El n´ umero de colecciones (en las que el orden no importa) con r elementos que se pueden seleccionar dentro de un conjunto de n elementos (n ≥ r ≥ 1) es n × (n − 1) × · · · × (n − (r − 1)) . r! 8


Este n´ umero recibe el nombre de combinaciones de n en r y se denota por nr . Dicho de otra manera,
el n´ umero de subconjuntos de r elementos que tiene un
conjunto con n n elementos es r . (En el ejemplo ??, n = 5 y r = 3 y la respuesta es 53 .) N´otese que la f´ormula ?? no tiene sentido para n = 0; sin embargo s´ı tiene sentido hablar del n´ umero de subconjuntos con 0 elementos dentro de un conjunto con n elementos; sabemos que este n´ umero es 1 pues s´olo hay un conjunto sin elementos que es el llamado conjunto vac´ıo. Definimos entonces   n = 1. 0 2.19 Ejercicio. Sea X = {a, b, c, d, e}. Escribir todos los subconjuntos de X con (a) 0 elementos, (b) 1 elemento, (c) 2 elementos, (d) 3 elementos, (e) 4 elementos y (f) 5 elementos.
Verificar que en cada caso el n´ umero de subconjuntos obtenido sea 5r y que el n´ umero total de subconjuntos sea 25 = 32.
2.20 Ejercicio. Bas´andose en la interpretaci´on de nr como el n´ umero de subconjuntos de r elementos dentro de un conjunto con n elementos, explicar por qu´e     n n = . r n−r 2.21 Ejercicio. Calcular

7 2


,

7 5




,

5 5




y

9 4


.

Con la intenci´on de simplificar la f´ormula ?? sobre las combinaciones de n en r, observemos que, para 1 ≤ r ≤ n − 1, el numerador se puede “completar” a n! multiplicando por (n − r)!; si lo “completamos” deberemos compensar dividiendo tambi´en por (n − r)!. Tendremos entonces que para r = 1, 2, . . . , n − 1, 2.22.

  n n! . = r!(n − r)! r


Recordemos que se ha definido 0! = 1 y n0 = 1; notemos entonces que si sustituimos r = 0 (y, posiblemente tambi´en n = 0) en el lado derecho de la f´ormula ?? obtendremos n! n! = 1. De la misma manera, al sustituir r = n obtendremos n!0! = 1. As´ı, tambi´en en estos 0!n! casos extremos vale la f´ormula ??. 2.23 Ejercicio. Volver a hacer los ejercicios ?? y ?? utilizando la f´ormula ??. 9

2.24 Ejemplo. De un grupo de 10 ni˜ nos y 15 ni˜ nas se quiere formar una colecci´on de 5 j´ovenes que tenga exactamente 2 ni˜ nas. ¿Cu´antas colecciones distintas se pueden formar?
15×14 Soluci´on. La elecci´on de las 2 ni˜ nas se puede hacer de 15 = 2! = 105 formas. Como 2 deben ser 5 en total y
debe haber 2 ni˜ nas exactamente, entonces los ni˜ nos ser´an 3; ´estos se 10 10×9×8 pueden escoger de 3 = 3! = 120 formas. Por tanto el resultado es 105×120 = 12 600. ♦ Como hemos visto, al determinar cantidades buscamos simplificar nuestras cuentas utilizando “homogeneidades” en el problema. Con este prop´osito, en algunas ocasiones es conveniente dividir en casos de manera que en cada uno de ellos haya homogeneidad, y despu´es sumar las respuestas. Un ejemplo muy simple de esto ser´ıa el siguiente: Si tenemos 4 paquetes de 100 hojas de papel y otros 3 paquetes de 200 hojas cada uno, entonces el n´ umero total de hojas que tenemos es 4 × 100 + 3 × 200 = 1000. Comparemos el siguiente ejemplo con el anterior, tomando en cuenta la b´ usqueda de homogeneidades, como acabamos de decir. 2.25 Ejemplo. De un grupo de 10 ni˜ nos y 15 ni˜ nas se quiere formar una colecci´on de 5 j´ovenes que tenga a lo m´as 2 ni˜ nas. ¿Cu´antas colecciones distintas se pueden formar? Soluci´on. Vamos a resolver este ejemplo como el anterior pero separando por casos y despu´es sumando las respuestas de cada uno de los casos.
10
Caso 1: Que la colecci´on tenga 2 ni˜ nas exactamente: 15 = 12 600. 2 3

10 Caso 2: Que la colecci´on tenga exactamente 1 ni˜ na: 15 = 3 150. 1 4

10 Caso 3: Que la colecci´on no tenga ni˜ nas: 15 = 252. 0 5 La respuesta al ejemplo es 12 600 + 3 150 + 252 = 16 002. ♦ 2.26 Ejemplo. Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Cada uno tendr´a una labor espec´ıfica distinta a las dem´as. ¿De cu´antas formas distintas es posible hacer la distribuci´on? Soluci´
on. Escojamos uno por uno los equipos. La elecci´on del primer equipo puede hacerse 15 equipo ya s´olo habr´a 10 personas de d´onde de 5 = 3 003 formas; para elegir el segundo
10 escoger, por tanto ´este se podr´a elegir de 5 = 252 formas. El tercer equipo quedar´a formado autom´aticamente con la elecci´on de los otros dos. Entonces el n´ umero de formas de hacer la elecci´on sucesiva es 3 003 × 252 × 1 = 756 756. ♦ 2.27 Ejemplo. Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Todos los equipos tendr´an la misma labor. ¿De cu´antas formas es posible hacer la 10

distribuci´on? Soluci´on. En este caso no hay distinci´on entre los equipos as´ı que hay que dividir el resultado del ejemplo anterior entre 3!, que es el n´ umero de permutaciones de los equipos. La respuesta es entonces 126 126. ♦ 2.28 Ejemplo. En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. Se quiere formar una fila con todas ellas. ¿De cu´antas maneras distintas puede quedar la fila? Soluci´on. Primera forma. Consideremos todas las permutaciones de las 5 pelotas y contemos cu´antas de esas permutaciones son indistinguibles entre s´ı. Las permutaciones de las 5 pelotas sabemos que son 5! = 120. En cualquiera de las permutaciones fij´emonos en la ubicaci´on de las pelotas rojas; por ejemplo − roja − roja roja. ´estas pueden revolverse entre s´ı (3! veces) formando colecciones indistinguibles, y lo mismo ocurre con las del otro color. Vamos a explicar lo anterior con m´as detalle: Denotemos las pelotas rojas por R1 , R2 y R3 , y las azules por A1 y A2 . Entonces las siguientes listas (en las que se han permutado las rojas pero se han dejado fijas las azules) representan la misma colecci´on:   A1 R1 A2 R2 R3 A1 R1 A2 R3 R2    A1 R2 A2 R1 R3    A1 R2 A2 R3 R1  .   A1 R3 A2 R1 R2  A1 R3 A2 R2 R1 Estas 3! listas deben considerarse como una sola. Adem´as, en cada una de ellas tambi´en se pueden revolver las azules entre s´ı (2! permutaciones). Entonces al considerar las permutaciones de las 5 pelotas, cada arreglo se est´a contando 3! × 2! = 12 veces en lugar de 1. La 5! = 10. respuesta al ejemplo es pues 3!2! Segunda forma. Primero podemos contar las posibilidades para colocar las pelotas rojas en
los 5 lugares disponibles; esto nos dar´a la elecci´on de 3 lugares, que puede hacerse de 5 = 10 maneras. Para colocar las 2 azules ya s´olo sobran 2 lugares as´ı que esto se puede 3
2 hacer de 2 = 1 forma. El resultado es 10 × 1 = 10. ♦ 2.29 Ejercicio. Escr´ıbanse las 10 filas distintas que se pueden formar con las pelotas en el ejemplo ??. 2.30 Ejemplo. En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. ¿Cu´antas filas distintas de 3 pelotas se pueden formar? Soluci´on. Como son 5 pelotas en total pero s´olo se van a considerar filas de 3, hay que dejar dos pelotas sin colocar. Consideraremos los distintos casos por separado y despu´es sumaremos 3! = 3 arreglos las respuestas parciales. Si las dos pelotas que quedan fuera son rojas, hay 1!2! 3! 3! con las restantes. An´alogamente hay 3! = 1 fila que deja las 2 pelotas azules fuera, y 2!1! =3 11

filas que dejan una azul y una roja fuera. La respuesta al ejemplo es 3 + 1 + 3 = 7. ♦ 2.31 Ejercicio. Escribir los 7 arreglos de pelotas del ejemplo ?? . En algunas ocasiones, para poder hacer bien las cuentas, nuestra b´ usqueda de homogeneidad nos lleva a que es m´as f´acil contar lo opuesto de lo que queremos y despu´es restar de un total. Ilustramos esto con el siguiente ejemplo. 2.32 Ejemplo. ¿De cu´antas maneras pueden ordenarse en un estante 3 cuadernos rojos, 4 azules y 2 verdes, si los verdes no deben quedar juntos? Soluci´on. Conviene contar primero todas las ordenaciones posibles y despu´es restar aqu´ellas en las que los verdes quedan juntos. El n´ umero total de filas (incluyendo aqu´ellas en que los 9! verdes quedan juntos es 3!4!2! = 1260. Para contar las que tienen juntos los cuadernos verdes pensemos ´estos como pegados formando un solo cuaderno; ahora determinemos el n´ umero de 8! arreglos con 3 cuadernos rojos, 4 azules y 1 verde; ´este es 3!4! = 280. La respuesta al ejemplo es 1260 − 280 = 980. ♦ 2.33. Los ejemplos siguientes se refieren a la baraja usual de p´ okar: Cada carta tiene un s´ımbolo llamado n´ umero que puede ser cualquiera de los 13 s´ımbolos siguientes: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q o K, y otro s´ımbolo llamado palo que puede ser cualquiera de los 4 siguientes: ♠ (espada), ♥ (coraz´ on), ♦ (diamante) o ♣ (tr´ ebol). Todos los palos se combinan con todos los n´ umeros para formar la baraja completa con 13 × 4 = 52 cartas como se ilustra a continuaci´on: A♥

2♥

3♥

4♥

5♥

6♥

7♥

8♥

9♥

10♥

J♥

Q♥

K♥

A♦

2♦

3♦

4♦

5♦

6♦

7♦

8♦

9♦

10♦

J♦

Q♦

K♦

A♠

2♠

3♠

4♠

5♠

6♠

7♠

8♠

9♠

10♠

J♠

Q♠

K♠

A♣

2♣

3♣

4♣

5♣

6♣

7♣

8♣

9♣

10♣

J♣

Q♣

K♣

Se llama mano de p´ okar cualquier colecci´on de 5 cartas de la baraja. La siguiente nomenclatura es usual: par: dos cartas del mismo n´ umero. tercia: tres cartas del mismo n´ umero. p´ okar: cuatro cartas del mismo n´ umero. full: una tercia y un par. flor: cinco cartas del mismo palo. corrida: cinco cartas con numeraci´on consecutiva (seg´ un el orden en que se escribieron arriba, pero permitiendo A tambi´en como n´ umero final, en seguida de K).
Observemos que el n´ umero total de manos de p´okar es 52 = 2 598 960. 5 12

2.34 Ejemplo. ¿Cu´antas manos de p´okar tienen tercia exactamente (es decir, que no sea full ni p´okar). Soluci´on. Primera forma. Ponemos 5 casillas: las tres primeras para la tercia y las otras dos para las otras cartas. La primera carta se puede escoger arbitrariamente; la segunda s´olo tiene 3 posibilidades pues debe tener el mismo n´ umero que la primera; la tercera ya s´olo puede ser elegida de 2 maneras distintas; como no importa el orden de estas 3 cartas, este n´ umero deber´a dividirse entre 3!. La cuarta carta se debe escoger dentro de las 48 que son de n´ umero distinto al de la tercia. Para la quinta carta ya s´olo sobran 44 cartas pues el n´ umero debe ser tambi´en distinto. La cuarta y quinta pueden haberse escogido en cualquier orden por lo que se deber´a dividir entre 2!. 48 × 44 52 × 3 × 2 × = 54 912. 3! } 2! } | {z | {z tercia

cartas distintas

Segunda forma. Tambi´en formamos primero la tercia pero eligiendo antes el n´ umero que le corresponder´a: Tenemos 13 n´ umeros para escoger y, una vez escogido el n´ umero, las 3 cartas que forman la tercia deben escogerse dentro de 4 posibles; entonces el n´ umero de tercias
4 es 13 3 . Para escoger las otras dos cartas utilizando este mismo m´etodo razonamos como sigue: Hay que escoger 2 n´ umeros (pues queremos que las otras 2 cartas sean de
n´ umeros 12 distintos) dentro de los 12 que sobran; esta elecci´on se puede hacer entonces de 2 formas. En cada uno
de estos n´ umeros que se hayan elegido hay que escoger 1 carta, cosa que puede 4 hacerse de 1 formas. El resultado escrito en esta forma es     2 4 12 4 , 13 × 3 2 1 que, desde luego, tambi´en es igual a 54 912. ♦ 2.35 Ejemplo. ¿Cu´antas manos de p´okar tienen dos pares (distintos) exactamente? Soluci´on. Procedemos como en el ejemplo ??. Primera forma.

1er par

2o par

z }| { z }| { 52 × 3 48 × 3 2! 2! × 44 = 123 552. 2! (Nota: Hay que dividir entre 2! porque no importa el orden entre los dos pares.) Segunda forma.   2 13 4 × 44 = 123 552. ♦ 2 2

13

2.36 Ejemplo. ¿Cu´antas manos de p´okar tienen corrida? Soluci´on. El n´ umero m´as bajo de la corrida puede ser cualquiera de los siguientes: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, que son 10 posibilidades. Pongamos 5 casillas; la primera casilla ser´a para la carta de n´ umero menor, la siguiente casilla ser´a para el siguiente n´ umero, y as´ı sucesivamente hasta la quinta casilla que ser´a para la carta con el n´ umero mayor. Una vez escogido el n´ umero menor para la corrida, todos los dem´as n´ umeros quedan determinados y lo u ´nico que falta escoger es el palo. Entonces la cantidad de corridas es 10×4×4×4×4×4 = 10 240. ♦ Los m´etodos de conteo nos permiten a veces probar ciertas f´ormulas. Un ejemplo muy sencillo de esto es la prueba de la conmutatividad del producto de naturales, la cual estamos acostumbrados a tomarla como verdadera; sin embargo, si lo pensamos con cuidado, para m, n ∈ N, la expresi´on m × n significa, por definici´on, la suma de n consigo mismo m veces, mientras que n × m representa la suma de m consigo mismo n veces. As´ı expresados no es claro por qu´e es v´alida la igualdad m × n = n × m. Sin embargo es claro que ambas expresiones cuentan cu´antos puntos hay en una configuraci´on rectangular de puntos con m renglones y n columnas y, como cuentan lo mismo, entonces son iguales. Veremos otros ejemplos m´as complicados en los que se prueban f´ormulas combinatorias. 2.37 Ejemplo. Probar la f´ormula de Gauss 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) . 2

Soluci´on. Contaremos las colecciones de 2 elementos que pueden escogerse dentro de un conjunto de n + 1 elementos de dos maneras diferentes. La comparaci´on de los dos resultados nos demostrar´a la veracidad de la f´ormula. Consideremos as´ı el conjunto X = {x1 , x2 , . . . , xn+1 }. Pongamos los subconjuntos de X que tienen dos elementos en una lista, como sigue: {x1 , x2 }, {x1 , x3 }, {x1 , x4 }, · · · {x2 , x3 }, {x2 , x4 }, · · · {x3 , x4 }, · · ·

{x1 , xn+1 }, {x2 , xn+1 }, {x3 , xn+1 }, .. . {xn−1 , xn+1 }.

De esta lista es f´acil observar que el n´ umero de subconjuntos de X con 2 elementos es precisamente lo que aparece del lado izquierdo en la igualdad que queremos probar. Por otro lado, sabemos que
el n´ umero de subconjuntos de 2 elementos que tiene un conjunto con n + 1 n+1 elementos es 2 , que es precisamente lo que aparece en el miembro derecho de la igualdad, y as´ı queda completa la demostraci´on. ♦

14

2.38 Ejemplo. Probar que si m, n y r son naturales con 0 ≤ r ≤ m, n, entonces               m n m+n m n m n m n = + + + ··· + . r 0 r 1 r−1 2 r−2 r 0 Soluci´on. Ambas expresiones cuentan la cantidad de subconjuntos de r elementos dentro de de un conjunto de m + n elementos: La de la izquierda lo hace directamente; en la de la derecha se piensa al conjunto de m + n elementos partido en dos conjuntos, uno de m elementos y otro de n elementos; para tomar un subconjunto de r elementos se consideran las distintas posibilidades de cu´antos elementos se escogen dentro del primer conjunt (y el resto dentro del otro). ♦ 2.39 Teorema. Teorema del Binomio de Newton. Sean a y b n´ umeros arbitrarios y sea n un n´ umero natural. Entonces         n n n n−1 n n−r r n n n (a + b) = a + a b + ··· + a b + ··· + b . 0 1 r n Demostraci´on. La expresi´on (a + b)n significa que tenemos que multiplicar a + b consigo mismo n veces. Entonces, al desarrollar todo el producto, los t´erminos que obtenemos est´an dados por todas las posibles elecciones de los n´ umeros a o b en cada uno de los n factores (por ejemplo, (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ). Observemos entonces que los t´erminos obtenidos son de la forma as br , con 0 ≤ s, r ≤ n y s + r = n, es decir, s = n − r. Ahora notemos que an−r br aparece cada vez que se eligi´o b
en r de los factores y a en el resto, as´ı que el n´ umero de veces que aparece n este t´ermino es r . Al agrupar t´erminos semejantes tenemos la f´ormula deseada. ♦ 2.40 Ejercicio. Utilizar el Teorema del Binomio para probar la f´ormula             n n n n n n + + + ··· = + + ··· . 0 2 4 1 3 5 ¿Qu´e interpretaci´on se puede dar a esta f´ormula en t´erminos de subconjuntos de un conjunto? 2.41 Ejemplo. ¿Cu´antos n´ umeros menores que 10 000 no son divisibles ni por 2, ni por 3, ni por 5? Soluci´on. A 10 000 habr´a que restarle la cantidad de n´ umeros divisibles por alguno de 2, 3 o 5. Sin embargo esto hay que hacerlo con cuidado para evitar repeticiones; por ejemplo, los n´ umeros que son divisibles tanto por 2 como por 3 se consideran dos veces: al contar los divisibles por 2 y al contar los divisibles por 3. Vamos a determinar primero, por separado, cu´antos m´ ultiplos hay de cada una de las distintas combinaciones entre 2, 3 y 5.

15

Hay 5 000 n´ umeros divisibles por 2, 3 333 divisibles por 3, 2 000 divisibles por 5, 1 666 divisibles por 6, 1 000 divisibles por 10, 666 divisibles por 15 y 333 divisibles por 30. Al restarle a 10 000 la cantidad de n´ umeros divisibles por 2 y luego los divisibles por 3 y a continuaci´on los divisibles por 5: 10 000 − (5 000 + 3 333 + 2 000), los que son divisibles por 6, por 10 o por 15 pero no por 30 se habr´an quitado dos veces cada uno, y los que son m´ ultiplos de 30 se habr´an quitado tres veces. Entonces al agregar a la cuenta los que son m´ ultiplos de 6, de 10 o de 15, los que son divisibles por 30 se habr´an quitado primero tres veces al restar los m´ ultiplos de 2, de 3, y de 5, y despu´es se habr´an vuelto a sumar tres veces al sumar los m´ ultiplos de 6 y los de 10 y los de 15, as´ı que tendremos que restarlos. La respuesta al ejemplo es pues: 10 000 − (5 000 + 3 333 + 2 000) + (1 666 + 1 000 + 666) − 333 = 2 666. ♦

El m´etodo que se utiliz´o en ejemplo anterior se llama m´etodo de inclusi´on y exclusi´on y en general es como sigue: 2.42 Proposici´ on. Principio de Inclusi´ on y Exclusi´ on. Supongamos que tenemos n conjuntos A1 , A2 , . . . , An (posiblemente con elementos en com´ un). Entonces el n´ umero total k de elementos que tienen entre todos es igual a k1 − k2 + k3 − k4 + − · · · kn , donde k1 es la suma de los elementos que pertenecen a (por lo menos) uno de los conjuntos, k2 es la suma de los elementos que pertenecen a (por lo menos) dos de los conjuntos, y as´ı sucesivamente hasta kn , que es el n´ umero de elementos en com´ un a todos los conjuntos. (Utilizando el lenguaje usual de teor´ıa de conjuntos donde |X| denota el n´ umero de elementos de un conjunto X, ∪ es el s´ımbolo usual de uni´on y ∩ es el s´ımbolo usual de intersecci´on, tenemos: k = |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An |, k1 = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |, k2 = |A1 ∩ A2 | + |A1 ∩ A3 | + · · · + |A1 ∩ An | + |A2 ∩ A3 | + · · · + |An−1 ∩ An |, y as´ı sucesivamente hasta kn = |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |.) Demostraci´on. Tomemos un elemento cualquiera y supongamos, por ejemplo, que el elemento pertenece a los conjuntos Ai1 , Ai2 , . . . , Air para cierta r, y s´olo a ´estos. Entonces el n´ umero de veces que dicho elemento se considera en la suma k1 − k2 + k3 − k4 + − · · · kn es           r r r r r − + − + −··· , 1 2 3 4 r 16


que, por el ejercicio ??, es igual a 0r = 1. Entonces la suma k1 − k2 + k3 − k4 + − · · · kn cuenta cada elemento exactamente una vez, que es lo que quer´ıamos demostrar. ♦ 2.43 Ejercicio. En cierta escuela hay 100 alumnos. De ellos 50 saben ingl´es, 30 saben alem´an y 30 saben franc´es. Adem´as 10 saben ingl´es y franc´es, 14 saben franc´es y alem´an, 11 saben ingl´es y alem´an, y 6 saben los tres idiomas. Determinar cu´antos alumnos no saben ninguno de los tres idiomas. 2.44 Ejercicio. ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden ordenar 8 personas alrededor de una mesa redonda? (Nota: Dos distribuciones se considerar´an iguales si una se puede obtener de la otra mediante un giro.) 2.45 Ejercicio. ¿De cu´antas maneras distintas se pueden sentar 5 personas en una fila de 8 asientos numerados del 1 al 8? 2.46 Ejercicio. ¿Cu´antas diagonales tiene un pol´ıgono regular de n lados? 2.47 Ejercicio. Probar la F´ ormula de Pascal:       n+1 n n = + , r+1 r r+1 para r y n n´ umeros enteros con 0 ≤ r < n. 2.48 Ejercicio. El Tri´ angulo de Pascal est´a definido como el tri´angulo de n´ umeros en el que el rengl´on n´ umero n aparecen los n + 1 n´ umeros           n n n n n , , ,··· , , . 0 1 2 n−1 n Se muestran a continuaci´on los primeros 4 renglones del Tri´angulo de Pascal. Utilizar la f´ormula del ejercicio anterior para construir los 10 primeros renglones. 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

2.49 Ejercicio. Probar de dos maneras distintas (una, viendo que ambos lados de la igualdad cuentan lo mismo, y la otra, usando el teorema del binomio) la siguiente f´ormula para n ∈ N:         n n n n + + + ··· + = 2n . 0 1 2 n

17

2.50 Ejercicio. De un grupo de 24 personas se quiere elegir 5 representantes de la siguiente forma: Pedro y Luis deben estar en el grupo elegido. Hay 8 mujeres en total pero a lo m´as deben figurar 2 en el grupo. ¿De cu´antas maneras distintas puede hacerse la elecci´on? 2.51 Ejercicio. De un grupo de 30 socios de un club se quiere elegir una mesa directiva con un presidente, un secretario y 3 equipos de 2 personas cada uno. ¿Cu´antas mesas directivas distintas se pueden formar? 2.52 Ejercicio. De un conjunto de 10 botes de distintos colores se quiere escoger 5 de tal manera que 3 sean para dulces y 2 sean para chocolates. ¿De cu´antas formas distintas es posible hacer la elecci´on? 2.53 Ejercicio. Se dispone de una colecci´on de 30 pelotas divididas en 5 tama˜ nos distintos y 6 colores diferentes de tal manera que en cada tama˜ no hay los 6 colores. ¿Cu´antas colecciones de 4 pelotas tienen exactamente 2 pares de pelotas del mismo tama˜ no (que no sean las 4 del mismo tama˜ no)?

18

3.

Probabilidad Combinatoria

Intuitivamente, la probabilidad calcula la proporci´on de casos en los que cierto experimento ocurre en relaci´on con el total de resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral. A los subconjuntos del espacio muestral a los que les calculamos la probabilidad se les llama sucesos o eventos.

3.1.

Probabilidad Combinatoria

Analicemos algunos ejemplos en los que el espacio muestral Ω es finito y, en ese caso, definamos la probabilidad de que ocurra un suceso A, en s´ımbolos P (A), como P (A) =

|A| . |Ω|

Aqu´ı se est´a suponiendo que todos los resultados del experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir; m´as adelante se ver´an ejemplos de distinta ´ındole. Se piensa entonces que la probabilidad es una funci´on que va del conjunto de sucesos al conjunto de los n´ umeros racionales. El valor de un suceso es 0 cuando no puede ocurrir y es 1 cuando es seguro que ocurre. En muchos de nuestros problemas aparece el conunto de los n´ umeros naturales del 1 al n. Para simplificar, denotaremos a este conjunto por [n], es decir, [n] = {1, 2, . . . , n}. 3.1 Ejemplo. El experimento consiste en lanzar un dado y observar el n´ umero que queda arriba. Calcular la probabilidad de que el n´ umero que quede arriba sea el 1 y tambi´en calcular la probabilidad de que el n´ umero que quede arriba sea par. Soluci´on. Aqu´ı Ω = [6]. En el primer caso el suceso es A = {1} y P (A) = 61 . En el segundo caso el suceso es B = {2, 4, 6} y P (B) = 63 = 12 . ♦ 3.2 Ejemplo. El experimento es lanzar una moneda 2 veces y observar la sucesi´on de a´guilas a y soles s que se obtiene. Determinar la probabilidad de que se observen dos ´aguilas. Soluci´on. El espacio muestral puede ser Ω = {aa, as, sa, ss} 19

y entonces el suceso es A = {aa} y P (A) = 41 . ♦ 3.3 Ejemplo. Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces se muestren al menos dos a´guilas. Soluci´on. Aqu´ı podemos definir Ω = {aaa, aas, asa, saa, ass, sas, ssa, sss}. El suceso es A = {aas, asa, saa, aaa} y entonces la probabilidad buscada es P (A) =

4 8

= 12 . ♦

3.4 Ejemplo. Determinar la probabilidad de que al lanzar dos dados lo que sumen las caras que se ven arriba sea 6. Soluci´on. Conviene definir Ω = [6] × [6] y entonces A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}, de donde la probabilidad es

5 36

∼ 0.14. ♦

Veamos algunas propiedades que ya hemos podido observar en los ejemplos y hagamos algunos comentarios sobre ellas. De aqu´ı en adelante Ω denota al espacio muestral en cuesti´on. 3.5. Propiedad (1). La probabilidad de que algo ocurra es un n´ umero entre 0 y 1. (Esto es obvio pues, como el suceso A es subconjunto del espacio muestral Ω, entonces |A| ≤ |Ω|.) Es 0 cuando es imposible que ocurra (es decir, P (∅) = 0), y es 1 cuando es seguro que debe ocurrir (o sea, P (Ω) = 1). En el caso en que Ω es conjunto finito y todos los elementos son equiprobables, entonces para todo A ⊂ Ω se tiene que P (A) ∈ Q. Propiedad (2). Si dos cosas no pueden ocurrir simult´aneamente, la probabilidad de que ocurra una o la otra (es decir, cualquiera de las dos) es la suma de las probabilidades. En otras palabras, si A y B son sucesos ajenos (es decir, A∩B = ∅, entonces P (A∪B) = P (A)+P (B). (Esto es claro pues |A ∪ B| = |A| + |B|.) Retomemos aqu´ı el ejemplo ?? en el que se pide calcular la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire salgan al menos dos ´aguilas. Arriba calculamos la probabilidad de A ∪ B donde A = {ass, sas, ssa, } y B = {aaa}, pero podr´ıamos haber calculado por separado las probabilidades P (A) = 83 y P (B) = 18 . Observemos que la propiedad (2) no ser´ıa v´alida si no pidi´eramos que los sucesos fueran mutuamente excluyentes, es decir, si hubiera la posibilidad de que ocurrieran simult´aneamente; por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar un dado lo que salga sea un n´ umero 20

mayor que 3 o que sea un n´ umero par es 46 (el suceso es {2, 4, 5, 6}) y no 63 + 36 = 1, que ser´ıa la suma de las probabilidades de los sucesos A = {4, 5, 6} y B = {2, 4, 6} (los casos 4 y 6 son comunes a los dos y se estar´ıan contando dos veces al sumar las probabilidades). Propiedad (3). La probabilidad de que ocurran dos cosas en un orden determinado es el producto de las probabilidades. En este caso estamos diciendo que si A1 es un suceso en un espacio muestral Ω1 y A2 es un suceso en un espacio muestral Ω2 , entonces P (A1 × A2 ) = P (A1 )P (A2 ), lo cual es claro pues dados dos conjuntos A y B, el n´ umero de elementos del producto cartesiano A × B es |A||B|. Retomemos el ejemplo ?? en el que quer´ıamos calcular la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire el resultado en ambas sea a´guila. En lugar de lo hecho arriba, podr´ıamos haber definido Ω = {a, s} y A = {a} y calcular P (A)P (A) = 21 12 = 14 . ♦ Dado A ⊂ Ω denotamos por ¬A al complemento de A, es decir, al conjunto Ω \ A = {x ∈ Ω:x∈ / A} 3.6 Corolario. Si la probabilidad de que algo ocurra es p, entonces la probabilidad de que no ocurra es 1 − p. Demostraci´on. Esto es claro por la propiedad (2) pues para A ⊂ Ω, A y ¬A son conjuntos ajenos cuya uni´on es Ω, as´ı que 1 = P (Ω) = P (A) + P (¬A). ♦ Veamos m´as ejemplos en los que podremos observar que hay que escoger con cuidado el espacio muestral para que represente verdaderamente el problema que se quiere resolver. 3.7 Ejemplo. El experimento es sacar 2 pelotas de una caja en la que hay 2 pelotas rojas y 3 azules. Se quiere calcular la probabilidad de que las dos pelotas escogidas tengan distinto color y compararla con la probabilidad de que tengan el mismo color. Soluci´on. Para definir el espacio muestral conviene numerar las pelotas y pensar que las rojas son la 1 y la 2, y que de la 3 a la 5 son azules; entonces el espacio muestral es Ω = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} y A = {{1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}}, 6 as´ı que P (A) = 10 = 35 = 0.6. La probabilidad de que las dos pelotas tengan el mismo color 4 se calcula considerando el suceso B = {{1, 2}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}, y aqu´ı P (B) = 10 = 3 2 0.4 < P (A) (o, de otra manera, como B = ¬A, P (B) = 1 − P (A) = 1 − 5 = 5 = 0.4). ♦

3.8 Ejemplo. Como en ??, se tiene una caja en la que hay 2 pelotas rojas y 3 azules, pero ahora el experimento consiste en sacar una pelota, observar su color, volverla a meter, y sacar otra vez una pelota. Calcular la probabilidad de que las dos pelotas escogidas tengan distinto color. Comparar con los resultados de ??. 21

Soluci´on. Numeremos las pelotas como en el ejemplo anterior. En este caso Ω = [5] × [5] y A = {(1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2)}, por lo que P (A) = 12 = 0.48, que es menor que el resultado del ejemplo anterior, lo cual 25 resultaba intuitivamente obvio. ♦ 3.9 Ejemplo. Dentro de cierto grupo de 4 caballos numerados del #1 al #4 se ha observado que la frecuencia con que el caballo #1 gana es el doble que con la que gana el #2; que ´este a su vez gana el doble de veces que el #3, y que el #3 gana el doble de veces que el #4. Encontrar la probabilidad de que en la pr´oxima carrera el caballo ganador sea el #3. Soluci´on. Tenemos que representar en el espacio muestral las condiciones de que unos ganan el doble de veces que otros. Podemos entonces asignar al caballo 4 el n´ umero 1, al caballo 3 los n´ umeros 2 y 3, al caballo 2 los n´ umeros 4, 5, 6 y 7, y al caballo 1 los n´ umeros 2 del 8 al 15. De esta manera Ω = [15], A = {2, 3} y la probabilidad es 15 ∼ 0.13. ♦ Para eliminar complicaciones t´ecnicas, en los dos ejemplos siguientes consideraremos el a˜ no con 365 d´ıas (sin contar en ning´ un caso el 29 de febrero) y supondremos que la distribuci´on de los cumplea˜ nos es pareja a lo largo del a˜ no. 3.10 Ejemplo. Encontrar la probabilidad de que una persona determinada haya nacido en enero o febrero. Soluci´on. Ω = [365], A = [59] y P (A) =

59 365

∼ 61 . ♦

3.11 Ejemplo. Encontrar la probabilidad de que en un grupo de 59 personas al menos 2 tengan el mismo cumplea˜ nos. Soluci´on. Notemos que este ejemplo difiere del anterior en que las fechas de cumplea˜ nos no se comparan con fechas fijas sino entre s´ı. Veremos que los resultados son muy distintos. Para resolver el ejemplo resulta m´as f´acil contar la probabilidad opuesta: que no haya ning´ un cumplea˜ nos repetido, y despu´es usar ??. Utilizaremos repetidamente la propiedad (3). Consideremos un orden fijo para las personas. La probabilidad de que el segundo cumplea˜ nos sea 364 distinto del primero es 365 . La probabilidad de que el tercero sea distinto de los dos anteriores es 363 , y as´ı sucesivamente. El resultado es 365 1−

364 × 363 × · · · × 307 , 36558

que es aproximadamente igual a 0.995. Esto quiere decir que de 1000 grupos de 59 personas cada uno, se espera que en s´olo 5 de los grupos no haya cumplea˜ nos comunes. (Comp´arese 22

este resultado con el del ejemplo anterior. Resulta que basta con 23 personas para que la probabilidad de que haya cumplea˜ nos repetidos entre ellas sea mayor que 12 .) ♦ 3.12 Ejemplo. Encontrar la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire 10 veces caigan exactamente 5 a´guilas. Soluci´on. Como antes, escribamos a por a´guila y s por sol. El espacio muestral Ω consta de todas las sucesiones de longitud 10 formadas por a y s, de manera que |Ω| = 210 = 1024. El suceso consta de los elementos de Ω que tienen exactamente 5 a0 s, as´ı que |A| es el n´ umero 0 de formas en que se
pueden escoger 5 posiciones (donde aparezcan las a s) dentro de un total 252 ∼ 0.25. ♦ de 10, es decir, 10 = 252. Entonces P (A) = 1024 5 En forma an´aloga a la resoluci´on del ejemplo anterior tenemos que la probabilidad de
1 20 que de un total de 20 lanzamientos de la moneda 10 salgan a´guila es 220 10 , que es aproximadamente igual a 0.176. Se puede demostrar que mientras m´as lanzamientos se hagan, la probabilidad de que la mitad de las veces salga a´guila es menor. Esto no contradice la afirmaci´on de que si una moneda se lanza al aire un n´ umero grande de veces se espera que un n´ umero cercano a la mitad de las ocasiones caiga a´guila; la explicaci´on para esto es que la idea de “cercan´ıa” debe manejarse en forma relativa al tama˜ no del n´ umero; por ejemplo, en el caso de 10 lanzamientos podr´ıamos decir que los casos en que salieran entre 3 y 7 a´guilas son todos “cercanos” a la mitad, y en el caso de 20 lanzamientos dir´ıamos que los casos “cercanos” a la mitad son entre 5 y 15. 3.13 Ejercicio. Encontrar la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire 10 veces salga ´aguila entre 3 y 7 veces. Como ya hemos visto, se pueden considerar distintos espacios muestrales para resolver un determinado problema y, en cada caso, el suceso del cual se quiere calcular la probabilidad es diferente, as´ı que los c´alculos tambi´en lo son, aunque, claro, el resultado final debe ser el mismo. En el siguiente ejemplo presentamos varias formas de resolver el problema seg´ un el espacio muestral que se escoja. 3.14 Ejemplo. ¿Cu´al es la probabilidad de que al escoger dos subconjuntos de 4 elementos dentro de un conjunto de 10 elementos, los subconjuntos tengan al menos un elemento en com´ un? Soluci´on. Es m´as f´acil contar la probabilidad contraria, es decir, la probabilidad de que los dos subconjuntos escogidos no tengan elementos en com´ un. Consideremos distintos espacios muestrales Ω y los respectivos sucesos A con complemento ¬A: Primera forma. Sea P4 = {A ⊂ [10] : |A| = 4}, es decir, P4 tiene por elementos a los subconjuntos de [10] que tienen 4 elementos. Tomemos Ω = P4 × P4 . En este caso

23

|¬A| =

10 4


6
, as´ı que 4 10 6 4 4
10 2 4





P (A) = 1 − P (¬A) = 1 −

6 4
10 4




=1−

=1−

6·5·4·3 4·3·2·1 10·9·8·7 4·3·2·1

=1−

13 6·5·4·3 = . 10 · 9 · 8 · 7 14

Segunda forma. Sea P4 como arriba. Supongamos que un conjunto de 4 elementos ya est´a escogido; entonces queremos calcular la probabilidad de que al escoger
otro conjunto,
´este 6 10 sea ajeno con el primero. En este caso tomemos Ω = P4 . Aqu´ı |¬A| = 4 , |Ω| = 4 y 6 4
10 4




P (A) = 1 − P (¬A) = 1 −

6·5·4·3 13 6·5·4·3 =1− 4·3·2·1 =1− = . 10 · 9 · 8 · 7 10 · 9 · 8 · 7 14 4·3·2·1

Tercera forma. Como en la segunda forma, supongamos que un conjunto de 4 elementos ya est´a escogido; entonces queremos calcular la probabilidad de que al escoger otro conjunto, ´este sea ajeno con el primero. Sea Ω = {(c1 , c2 , c3 , c4 ) ∈ [10] : ci 6= cj para i 6= j} y supongamos que el conjunto ya escogido tiene elementos a1 , a2 , a3 , a4 ; en este caso ¬A = {(c1 , c2 , c3 , c4 ) ∈ Ω : para cada i, j ci 6= aj }, |¬A| = 6 · 5 · 4 · 3 y |Ω| = 10 · 9 · 8 · 7 y, entonces, P (A) = 1 − P (¬A) = 1 −

6·5·4·3 13 = .♦ 10 · 9 · 8 · 7 14

3.15 Ejercicio. Cuatro equipos A, B, C, D entran a un torneo de basquetbol. Al principio juegan A contra B, y C contra D; en cada juego se elimina al perdedor. Los dos ganadores se enfrentan y el que gane ese juego se determina como ganador del torneo. Escribir un espacio muestral apropiado y el suceso correspondiente para determinar la probabilidad de que B sea el ganador. 3.16 Ejercicio. Un grupo de 3 mujeres y 3 hombres se dividir´a en dos equipos con 3 miembros cada uno. Definir un espacio muestral y el suceso correspondiente que sirvan para encontrar la probabilidad de que en uno de los equipos queden todos los hombres y en el otro todas las mujeres. Los siguientes problemas se refieren al conjunto usual de 28 fichas de domin´o en que cada ficha muestra dos n´ umeros de la colecci´on 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (posiblemente repetidos), como esquematizamos a continuaci´on: 6|6 6|5 6|4 6|3 5|5 5|4 5|3 4|4 4|3 3|3

24

6|2 5|2 4|2 3|2 2|2

6|1 5|1 4|1 3|1 2|1 1|1

6|0 5|0 4|0 3|0 2|0 1|0 0|0

Se llaman fichas dobles aqu´ellas en que los dos n´ umeros mostrados son iguales. Se llama mano de domin´o cualquier umero total de
colecci´on de 7 de las 28 fichas. N´otese que el n´ 28 manos de domin´o es 7 = 1 184 040. 3.17 Ejercicio. ¿Cu´al es la probabilidad de que una mano de domin´o tenga por lo menos 2 fichas dobles? 3.18 Ejercicio. Se dice que una mano de domin´o tiene falla si alguno de los n´ umeros entre el 0 y el 6 no aparece en la mano (cada n´ umero faltante es una falla); por ejemplo la mano {2|1, 5|5, 3|1, 0|0, 1|0, 5|6, 0|2} tiene falla a 40 s. ¿Cu´al es la probabilidad de que una mano de domin´o no tenga falla? 3.19 Ejercicio. Una persona quiere apostar que la suma de lo que muestren dos dados es cierto n´ umero. ¿A qu´e n´ umero le conviene apostar? 3.20 Ejercicio. Se eligen al azar n cartas de la baraja. ¿C´omo debe ser n para que la probabilidad de que entre las cartas elegidas haya (al menos) dos del mismo n´ umero sea 1 mayor que 2 ? ¿Cu´al es la probabilidad si n = 14? 3.21 Ejercicio. En el experimento de escoger un n´ umero entre el 1 y el 60 al azar, sea A el evento de escoger un n´ umero m´ ultiplo de 5, y sea B el evento de escoger un n´ umero m´ ultiplo de 3. ¿Cu´al es la probabilidad de escoger un n´ umero que sea m´ ultiplo de 3 o m´ ultiplo de 5? 3.22 Ejercicio. Calcular la probabilidad de que al lanzar tres veces dos dados, las tres veces los n´ umeros que salgan sean iguales entre s´ı. 3.23 Ejercicio. Se escogen al azar en sucesi´on tres n´ umeros (posiblemente iguales) entre el 1 y el 100. ¿Cu´al es la probabilidad de que se hayan escogido en orden creciente estricto? 3.24 Ejercicio. Lanzamos una moneda al aire 5 veces. Si sabemos que 3 de ellas fueron a´guila, ¿cu´al es la probabilidad de que la primera haya ca´ıdo a´guila? 3.25 Ejercicio. Un dado se lanza al aire 6 veces. ¿Cu´al es la probabilidad de que aparezca cada uno de los seis n´ umeros una vez? 3.26 Ejercicio. Supongamos que de un grupo de 10 enfermedades cada una tiene pro1 de atacar a un animal determinado a lo largo de su vida. ¿Qu´e probabilidad babilidad 10 tiene ese animal de enfermarse de al menos una de esas enfermedades? 3.27 Ejercicio. Isabel escoge 4 puntos de los marcados. ¿Cu´al es la probabilidad de que los puntos escogidos sean los v´ertices de un rect´angulo (con lados horizontales y verticales?

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3.2.

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Funciones de probabilidad

Hasta aqu´ı hemos trabajado con problemas de probabilidad basados en conteo dentro de conjuntos finitos. Sin embargo, es claro que pueden interesarnos casos en los que los conjuntos no sean finitos. Por ejemplo, podr´ıamos preguntar cu´al es la probabilidad de escoger un punto dentro de una regi´on dibujada en un papel al escoger un punto cualquiera del papel. Si el a´rea total del papel es s y el ´area de la regi´on es r, entonces la respuesta deber´ıa ser el n´ umero real (no necesariamente racional) rs ; para lograr esto deberemos tener una concepto de medida clara en nuestros conjuntos y tambi´en una idea de convergencia en el caso infinito. En muchos casos, nuestros espacios muestrales pueden ser conjuntos de n´ umeros reales n n o de R para alg´ un natural n. Decimos que un espacio muestral Ω ⊂ R es discreto si para cualquier producto de intervalos reales I = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] la intersecci´on de I con Ω es finita. Por ejemplo, cualquier espacio muestral finito es discreto y tambi´en lo es Z × Z. El intervalo real (0, 1), Q, { n1 : n ∈ N} y el c´ırculo S 1 = {z ∈ C : ||z|| = 1} no son discretos. Para extender nuestro estudio de probabilidad abstraeremos las condiciones intuitivas de probabilidad que hemos visto como explicamos a continuaci´on. Dado un conjunto arbitrario X, recordemos que el conjunto potencia de X es el conjunto P(X) cuyos elementos son todos los subconjuntos de X, es decir P(X) = {A : A ⊂ X}. Dado un conjunto Ω, llamado espacio muestral, se considera un subconjunto A ⊂ P(Ω) cuyos elementos se llaman sucesos o eventos (es decir, los elementos de A son subconjuntos A de Ω). Dicho conjunto A debe satisfacer algunas propiedades t´ecnicas (que no mencionaremos aqu´ı) de manera que tengan sentido los axiomas que pediremos que satisfaga una funci´on de probabilidad, definida a continuaci´on). Dados Ω y A ⊂ P(Ω), una funci´on de probabilidad en Ω es una funci´on P : A → R que satisface: (P1) P (Ω) = 1. (P2) P (A) ≥ 0 para todo A ∈ A. (P3) Para cualquier familia finita o numerable {Ai : i} de sucesos ajenos por parejas se

26

S P tiene que P ( i Ai ) = i P (Ai ). A (P1), (P2) y (P3) les llamamos axiomas de probabilidad. Es claro que el concepto intuitivo de probabilidad que vimos en los ejemplos finitos al para A ⊂ Ω satisface los axiomas de probabilidad. Tambi´en observemos definir P (A) = |A| |Ω| que para resolver problemas como ??, escogimos un espacio muestral especial que tomaba en cuenta una “medida” para cada caballo; nuestro espacio muestral podr´ıa haber sido el conjunto {1, 2, 3, 4} de los caballos y podr´ıamos haber calculado la funci´on de probabilidad tomando P {4} = p y entonces P {3} = 2p, P {2} = 4p y P {1} = 8p. Como 1 = P {1, 2, 3, 4} = 1 y la respuesta es P {1} + P {2} + P {3} + P {4} = 8p + 4p + 2p + p = 15p, entonces p = 15 2 P {3} = 15 . Dada una funci´on de probabilidad, usando s´olo los axiomas se pueden probar las siguientes propiedades: 3.28 Proposici´ on. Sea P una funci´on de probabilidad en Ω y sea A el conjunto de sucesos de Ω. Se satisfacen entonces la siguientes propiedades. (a) P (∅) = 0. (b) Si A ∈ A y ¬A es el complemento de A entonces P (¬A) = 1 − P (A). (c) Si A ⊂ B entonces P (A) ≤ P (B). (d) Para todo A ∈ A se tiene que P (A) ≤ 1. Demostraci´on. (a) Se deduce de inmediato a partir de (P3) tomando A1 = A2 = ∅: P (∅) = P (∅ ∪ ∅) = P (∅) + P (∅), de donde, cancelando, P (∅) = 0. (b) Tambi´en es claro a partir de (P3) pues A y ¬A son sucesos ajenos cuya uni´on es Ω. Se dejan las demostraciones de (c) y (d) como ejercicio. ♦ 3.29 Nota. Se puso (P3) como axioma, sin considerar un problema de convergencia en el caso numerable; sin embargo, una serie como la descrita siempre
pues de la Pn converge proposici´on anterior se deduce que la sucesi´on de sumas parciales P (A ) k n es creciente i=1 y acotada por 1 = P (Ω). De aqu´ı en adelante, P es una funci´on de probabilidad en un espacio muestral Ω (no necesariamente finito) y A denota el conjunto de sucesos. Para el siguiente ejemplo debemos recordar que para cualquier n´ umero x 6= 1, si n es 1−xn+1 2 n natural, entonces 1 + x + x + · · · + x = 1−x (lo cual se comprueba f´acilmente haciendo la multiplicaci´on (1 + x + x2 + · · · + xn )(1 − x)). Adem´as, las reglas de convergencia en R 1 nos dicen que si x es un real tal que |x| < 1 entonces 1 + x + x2 + · · · = 1−x .

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3.30 Ejemplo. Se lanza una moneda al aire hasta que salga a´guila por primera vez. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que se lance menos de 4 veces? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera vez que salga a´guila sea en un lanzamiento par (es decir en el segundo o en el cuarto, etc.)? (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera vez que salga ´aguila sea en un lanzamiento impar (es decir en el segundo o en el cuarto, etc.)? Soluci´on. Conviene tomar Ω = N en donde cada n ∈ Ω representa el primer lugar en el que apareci´o ´aguila. Entonces P {1} = 21 , P {2} = 12 12 = 14 y, en general, P {n} = 21n ; si A es un suceso con m´as de un elemento, se define P (A) usando Entonces es claro que P (P3). 1 = 1. tambi´en se satisface (P2). El axioma (P1) se satisface pues ∞ i=1 2n (a) Aqu´ı el suceso que debemos considerar A = {1, 2, 3, 4}, as´ı que la soluci´on del ejemplo es P (A) = P {1} + P {2} + P {3} + P {4} =

1 1 1 1 15 + + + = . 2 4 8 16 16

(b) En este caso el suceso es B = {2, 4, 6, · · · } y P (B) = P {2} + P {4} + P {6} + · · · =

∞ X 1 1 = n 4 1− i=1

1 4

−1=

4 1 −1= . 3 3

(c) Usando ??(b) tenemos que la probabilidad es 23 . ♦ 3.31 Nota. Para espacios numerables, si se conoce la probabilidad en los conjuntos de un solo elemento entonces, usando (P3), tambi´en se conoce la probabilidad de cualquier suceso. Sin embargo, al tratar de definir la probabilidad en los conjuntos de un solo elemento hay que tomar en cuenta que la probabilidad del conjunto total debe ser 1. En muchos casos, sobre todo en espacios muestrales continuos, esto no es u ´til (incluso resulta que la probabilidad de los conjuntos de un solo elemento es casi siempre 0). Trabajar con conjuntos en donde no se tiene bien definida una noci´on de medida puede llevar a contradicciones, como veremos en el siguiente ejemplo. 3.32 Ejemplo. ¿Cu´al es la probabilidad de que al escoger un natural al azar el resultado sea un n´ umero par? Soluci´on. Uno tiende a decir que el resultado es 12 , pero vamos a ver que esto no tiene sentido pues, tambi´en parecer´ıa natural tener que P {n} = P {m} para todos los enteros m, n, y esto no es posible ya que, usando (P3), se tendr´ıa que P (N) = ∞, por m´as peque˜ no que escogi´eramos el valor de los P {n}. Nuestra idea de que el resultado deber´ıa ser 21 viene de que estamos acostumbrados a pensar en los n´ umeros naturales en orden y nos gustar´ıa interpretar el problema a partir de los casos finitos, es decir, considerando N = lim [n] y determinando, para cada n ∈ N, la n→∞

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probabilidad de escoger un n´ umero par dentro de [n], la cual, en vista de nuestro concepto natural de probabilidad en los casos finitos, deber´ıa de ser n/2 = 12 si n es par, y (n−1)/2 = 12 n−1 n n n si n es impar. Entonces, interpretando as´ı y pensando en una idea como de una “probabilidad continua” la respuesta a nuestro problema deber´ıa ser el l´ımite, cuando n tiende a infinito, de la sucesi´on (0, 21 , 12 23 , 12 , 12 34 , . . .), que es 21 . Sin embargo, lo que acabamos de hacer es err´oneo. Notemos que la elecci´on de los conjuntos [n] que se aproximan a N es arbitraria; ¿por qu´e no tomar otra sucesi´on creciente de conjuntos cuya uni´on fuera N? Por ejemplo, en lugar de agregar uno a uno los elementos en orden, uno podr´ıa agregar de tres en tres los elementos de manera que se agregaran dos impares y un par, en orden: X1 X2 X3 X4

= = = = .. .

{1, 3, 2} {1, 3, 2, 5, 7, 4} {1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6} {1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6, 13, 15, 8}

En este caso, la uni´on tambi´en ser´ıa N, pero en cada conjunto la probabilidad de escoger un n´ umero par ser´ıa 31 as´ı que procediendo de esta manera concluir´ıamos que la probabilidad total es tambi´en 13 . Modificando los conjuntos es posible lograr que cualquier n´ umero entre 0 y 1 sea el l´ımite de las probabilidades de una sucesi´on creciente de conjuntos cuya uni´on es N. ♦ El absurdo de obtener cualquier probabilidad como respuesta en el ejemplo anterior es porque no tenemos bien definida la idea de medida en N: ¿Por qu´e alg´ un conjunto infinito ser´ıa m´as grande que otro? Entonces, el c´alculo de probabilidades depende siempre de la definici´on de nuestra funci´on de probabilidad. En los casos finitos, nuestro sentido com´ un nos ayuda mucho a definir la funci´on de probabilidad, pero en los casos infinitos debemos basarnos en alguna abstracci´on que convenga al problema que queremos resolver o, simplemente, puede trabajarse en abstracto. Estudios de este tipo corresponden a un nivel mucho m´as avanzado que el prop´osito de este curso. Los espacios muestrales continuos son infinitos e, inclusive, pueden no ser numerables. En ellos debe definirse una medida (y, a trav´es de ella, una probabilidad) de alguna manera apropiada cuidando que se satisfagan los axiomas (P1), (P2) y (P3). Para empezar, como vimos en ??, si el espacio muestral es infinito, no es posible que todos los sucesos que constan de un solo elemento tengan la misma probabilidad; tambi´en resulta, como dijimos arriba, que en muchos casos no es posible asignar una probabilidad a cada subconjunto del espacio muestral. El siguiente ejemplo nos describe una forma de definir una funci´on de probabilidad en un espacio muestral continuo. 29

3.33 Ejemplo. Definir una funci´on de probabilidad en el intervalo real [a, b] (con a < b reales) que tome en cuenta la proporci´on de medidas. Soluci´on. Consideremos que los sucesos son intervalos contenidos en [a, b] o uniones finitas o numerables de ´estos. Recordemos que se quiere que el espacio total tenga probabilidad 1. c−d . Se extiende la Entonces, dado un intervalo [c, d] ⊂ [a, b], es natural definir P [c, d] = b−a definici´on a otros sucesos usando (P3). (Observamos que la probabilidad de los conjuntos de un solo elemento es 0.) ♦ 3.34 Nota. En el ejemplo anterior, el mismo resultado lo podr´ıamos haber obtenido usando integrales (que son la generalizaci´on natural de suma) definiendo la funci´on f : R → R por  1 , si x ∈ [a, b], b−a f (x) = 0, si no y para [c, d] ⊂ [a, b], Z P [c, d] =

d

f (x)dx = c

d−c . b−a

En este caso la funci´on escogida f es constante pues se quiere que la probabilidad sea homog´enea de acuerdo a la medida. Sin embargo, como vimos en los casos finitos, en otros problemas puede interesarnos que la distribuci´on de probabilidad no sea homog´enea; en esos casos usaremos la integral de una funci´on f no constante que tome en cuenta la distribuci´on de la probabilidad que requiere el problema. 3.35 Ejercicio. Probar las afirmaciones de ??(c) y (d). 3.36 Ejercicio. Sea Ω = {a, b, c}. ¿Es posible definir una funci´on de probabilidad en Ω que cumpla P {a, b} = 32 , P {a, c} = 13 y P {b, c} = 13 ? 3.37 Ejercicio. Se sabe que hay dos enfermedades que pueden atacar a una poblaci´on de animales en el verano. Tambi´en se sabe que la probabilidad de que un determinado animal adquiera a lo m´as una de las enfermedades es 0.9 y de que adquiera al menos una de las enfermedades es 0.2. Determinar las siguientes probabilidades para un determinado animal: que no adquiera ninguna de las enfermedades, que adquiera una de ellas y que adquiera las 2. 3.38 Ejercicio. Se lanza un dado hasta que aparezca 1 por primera vez. Calcular las siguientes probabilidades. (a) Que se necesite lanzarlo 10 veces. (b) Que se necesite echarlo menos de 5 veces. (c) Que se necesite lanzarlo un n´ umero par de veces.

30

3.39 Ejercicio. Se escoge un n´ umero real r al azar entre 0 y 1 y se traza un c´ırculo en el plano con radio r. ¿Cu´al es la probabilidad que el c´ırculo tenga a´rea menor que π2 ? 3.40 Ejercicio. Se rompe una regla de 30 cm en dos pedazos a lo largo. ¿Cu´al es la probabilidad de que un pedazo tenga al menos el doble de tama˜ no que el otro? 3.41 Ejercicio. En cada turno de un juego, cada una de tres personas lanza una moneda al aire hasta que uno de los resultados sea distinto de los otros dos, y entonces el due˜ no de la moneda distinta pierde. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en el primer turno haya un perdedor? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que se necesite un n´ umero par de lanzamientos para determinar un perdedor?

3.3.

Probabilidad Condicional

Empezaremos esta secci´on con tres ejemplos en los que nuestra intuici´on falla si no se toman en cuenta condiciones que limitan al conjunto que tratamos. La conclusi´on es que hay que tener mucho cuidado con el universo en el que se trabaja. 3.42 Ejemplo. En un programa de concurso hay tres puertas cerradas. S´olo una de ellas tiene detr´as un premio. Un determinado concursante escoge una puerta A, sin abrirla; el animador (que sabe cu´al de las puertas es la buena), abre una de las otras dos puertas, B, mostrando que no hay premio detr´as, y le dice al jugador que abra una de las otras: A o C. Seg´ un las probabilidades, ¿qu´e puerta le conviene abrir al concursante (o es igual)? Soluci´on. Tenemos el espacio muestral Ω = {A, B, C}. En un principio se tiene que la probabilidad es homog´enea, as´ı que P {A} = 13 y, por tanto, P {B, C} = 23 . Sin embargo luego se nos dice que no es B, as´ı que P {B} = 0; la probabilidad de A sigue siendo 13 pero la de {C} ahora tenemos que es 23 , as´ı que le conviene cambiar de opini´on y escoger la puerta C (con el doble de oportunidad de ganar). ♦ 3.43 Ejemplo. En una poblaci´on se sabe que la probabilidad de tener una cierta enfer1 medad es de 10000 . Una prueba de sangre es confiable en un 90 %. Ra´ ul se hizo la prueba y result´o positiva. Est´a muy asustado. ¿Tiene raz´on? Soluci´on. No tiene raz´on. La probabilidad de que tenga la enfermedad es muy remota como veremos a continuaci´on: Supongamos que en la poblaci´on hay 100 000 personas. Hay 10 enfermas y 99 990 sanas. De las 10 enfermas, a 9 les sale positivo y a 1 le sale negativo. De las 99 990 sanas, a 9 999 31

(la d´ecima parte) les sale positivo y al resto 89 991 les sale negativo.

La probabilidad de que est´e enfermo es ¡menos de

1 !: 1000

9 = 0.0009. ♦ 9 + 9 999 3.44 Ejemplo. Paradoja de Simpson. En la admisi´on a una Facultad de F´ısicoMatem´aticas result´o que, tanto en el departamento de Matem´aticas como en el de F´ısica, la proporci´on de mujeres aceptadas con respecto al de solicitantes fue mayor que la de hombres. El director public´o que, con respecto al n´ umero de solicitantes, la proporci´on total de mujeres aceptadas fue mayor que la de hombres. ¿Tiene raz´on? Soluci´on. No necesariamente. Es posible que en el departamento de F´ısica sea mucho mayor la cantidad de hombres solicitantes que la de mujeres y que eso no ocurra en el departamento de Matem´aticas, y las probabilidades relativas no compensan esa diferencia. Por ejemplo, supongamos que en Matem´aticas hubo 40 hombres solicitantes de los cuales se acept´o a 10, y que hubo 20 mujeres solicitantes de las cuales se acept´o a 10. Por otro lado supongamos que hubo 100 hombres solicitantes en F´ısica de los cuales se acept´o a 90, mientras que hubo 10 solicitantes mujeres en F´ısica y que todas fueron aceptadas.

Tenemos que el total de hombres solicitantes fue de 40 + 100 = 140 y de ellos se acept´o a 10 + 90 = 100 y eso da una proporci´on de 57 . Por otro lado, del total de 20 + 10 = 30 mujeres 32

solicitantes se acept´o a 10 + 10 = 20, lo cual hace una proporci´on total de mujeres aceptadas de 23 . ♦ La raz´on detr´as del ejemplo anterior es que en el departamento de F´ısica es mucho mayor la cantidad de hombres solicitantes que la de mujeres, lo cual no ocurre en el departamento de Matem´aticas, y las probabilidades relativas no compensan esa diferencia. Dados dos eventos A y B tales que P (B) 6= 0, la probabilidad condicional P (A|B) de A dado B es la probabilidad que ocurra A cuando ya ocurri´o B. Se calcula as´ı: P (A|B) =

P (A ∩ B) . P (B)

3.45 Observaci´ on. Sea A un suceso distinto del vac´ıo y de Ω. Entonces (a) P (A|A) = 1. (b) P (A|¬A) = 0. (c) Si A y B son ajenos y P (B) 6= 0, entonces P (A|B) = 0. 3.46 Proposici´ on. Sean A y B dos eventos. Entonces: P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|¬B)P (¬B)

3.47 Ejemplo. Supongamos que el Chicharito va a tirar un penalty. Si tira a la izquierda, su probabilidad de meter gol es de 70 %. Si tira a la derecha, su probabilidad de meter gol es de 60 %. Sabemos que tira a la izquierda el 80 % de las veces. ¿Cu´al es su probabilidad de meter gol? Soluci´on. Llamemos G al suceso de que meta gol, I al de que tire hacia la izquierda y D

33

al de que tire a la derecha. Entonces P (G) = P (G|I)P (I) + P (G|D)P (D) 7 8 6 2 = + 10 10 10 10 = 0.68

(1) (2) (3)

Podemos generalizar lo que vimos en el ejemplo en el siguiente teorema. 3.48 Teorema. Teorema de Bayes, primera versi´ on. Sea Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An con los Ai sucesos ajenos por parejas y sea B un suceso. Entonces: P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) + · · · + P (B|An )P (An ). ♦ 3.49 Ejemplo. En una competencia de futbol se usan 3 estadios. Al equipo Kimo le conviene jugar en su estadio pues en ´el tiene probabilidad de 60 % de ganar mientras que en los otros s´olo tiene un 40 %. Se sortear´a el estadio donde le va a tocar jugar ma˜ nana. ¿Qu´e probabilidad tiene de ganar? Soluci´on. Aplicamos el Teorema de Bayes ??. Sea A1 el suceso de que el equipo Kimo juegue en su propio estadio y sea A2 el suceso de que juegue en otro. Entonces P (A1 ) = 31 y P (A2 ) = 23 . Sea B el suceso de que gane. Entonces P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) =

60 1 40 2 7 · + · = .♦ 100 3 100 3 15

3.50 Ejercicio. Todas las tardes, Carmen va a la panader´ıa. El 80 % de las ocasiones encuentra su pan favorito. Se ha observado que si va entre 5 y 6, la probabilidad de que encuentre su pan favorito es de 90 %, pero si va entre 6 y 7 su probabilidad baja a 40 %. ¿Qu´e porcentaje de los d´ıas va a la panader´ıa entre 6 y 7? 3.51 Ejercicio. Supongamos que cierta enfermedad X le da a 1 de cada 1,000 pacientes. Sabemos que alrededor de 5 % de la poblaci´on tiene diabetes y que de la gente que tiene X, el 50 % tambi´en padece diabetes. Si Juanito no padece la enfermedad X, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga diabetes? El siguiente resultado es una segunda interpretaci´on del Teorema de Bayes. 3.52 Corolario. Teorema de Bayes (segunda S versi´on). Sean A1 , A2 , . . . , An sucesos ajenos en un espacio muestral Ω y tales que Ω = i Ai . Si B es otro suceso en Ω, entonces P (Ai |B) =

P (B|Ai )P (Ai ) . P (B|A1 )P (A1 ) + · · · + P (B|An )P (An ) 34

Demostraci´on. Tenemos que P (B|Ai )P (Ai ) = P (B ∩ Ai ) y P (B|A1 )P (A1 ) + · · · + P (B|An )P (An ) = P (B). ♦ 3.53 Ejemplo. Supongamos que se tienen dos monedas, una normal N (con caras A y S) y otra defectuosa D, con dos ´aguilas (A1 y A2 ). Se selecciona una de las monedas al azar y resulta que al lanzarla se obtiene a´guila. ¿Cu´al es la probabilidad de que haya sido la moneda defectuosa? Soluci´on. Sean Ω = {A, S, A1 , A2 } (el conjunto de los posibles resultados), N = {A, S} (el conjunto de los resultados de la moneda normal) y D = {A1 , A2 } (el conjunto de los resultados de la moneda defectuosa). Sea A = {A, A1 , A2 } el suceso de que haya salido a´guila. Buscamos P (D|A). Seg´ un ?? podemos calcularlo como P (A|D)P (D) = P (D|A) = P (A|D)P (D) + P (A|N )P (N )

1 2 2 = .♦ 1 1 1 3 1· + · 2 2 2 1·

3.54 Ejercicio. Volver a hacer el ejemplo ?? usando la segunda versi´on del teorema de Bayes. 3.55 Ejercicio. Supongamos que la probabilidad de que en un juicio un tribunal d´e el veredicto correcto sobre culpabilidad o inocencia de un individuo es 0.9. Supongamos tambi´en que el 80 % de las personas que llegan a ser enjuiciadas es culpable. Si el tribunal decidi´o que el individuo a es culpable. ¿Cu´al es la probabilidad de que, efectivamente, a sea culpable? 3.56 Ejemplo. A cada uno de los miembros de una f´abrica se le aplica una prueba para ver si usa una droga determinada. Se sabe que la prueba es 98 % confiable. Si al Sr. A se le hizo la prueba y sali´o positiva, ¿se puede afirmar que es 98 % seguro que usa la droga? Soluci´on. No, al igual que en el ejemplo anterior, depende de la proporci´on de personas que usan la droga, por ejemplo, supongamos que la f´abrica tiene 10 000 personas y que s´olo 100 de ellas usan la droga. Usamos otra vez el teorema de Bayes. Sean Ω el conjunto de los = .01) empleados, S1 el conjunto de los empleados que usan la droga (entonces P (S1 ) = 10100 000 y S2 el conjunto de los empleados que no la usan (P (S2 ) = .99). Sea U el conjunto de los empleados para los cuales la prueba resulta positiva (P (U |S1 ) = .98 y P (U |S2 ) = .02). Por el teorema de Bayes P (S1 |U ) =

(.98)(.01) 98 = ∼ 33 %. ♦ (.98)(.01) + (.02)(.99) 296

35

3.57 Ejercicio. En el ejemplo anterior, (a) si a A el resultado de la prueba es negativo, ¿cu´al es la probabilidad de que no use la droga? (b) ¿c´omo deber´ıa ser la proporci´on de personas que usan la droga con respecto a los que no la usan, para que si a una persona la prueba le sale positiva entonces se pueda afirmar que la probabilidad de que la use sea de 98 %?

3.4.

Independencia

Dos eventos A y B son independientes si la informaci´on de que ocurra uno de ellos (o no ocurra) no altera para nada si ocurre el otro. Formalmente: P (A|B) = P (A)

B A

o, equivalentemente: P (A ∩ B) = P (A)P (B) Dos eventos son dependientes si no son independientes. B

P (A ∩ B) 6= P (A)P (B)

A

3.58 Ejemplo. (a) Se lanza una moneda dos veces; A es el evento que la primera caiga sol, B que la segunda caiga sol. Entonces A y B son independientes. (b) Se lanza un dado; A es el evento que caiga n´ umero par, B es el evento que caiga 2. Entonces A y B no son independientes. (c) Se lanza un dado dos veces. A es el evento que caigan iguales, B es el evento que el primero sea 4. Entonces A y B son independientes. (d) Se lanzan dos dados. A es el evento que su suma sea un n´ umero par, B es el evento que su producto sea un n´ umero par. Entonces A y B no son independientes. (e) Ω es el espacio de todas las personas; se escoge una al azar y A es el evento “ser fumador” y B es el evento “morir joven”. Entonces A y B no son independientes. Hasta ahora hemos visto qu´e significa que dos eventos sean independientes. Pero, ¿qu´e significa que 3 o m´as eventos lo sean? Por ejemplo, intuitivamente, entendemos que si tiramos 36

una moneda 3 veces, los 3 eventos son independientes. Pero, aunque parezca extra˜ no, podr´ıa ser que hubiera 3 eventos que estuvieran ligados a pesar de que cada pareja no lo estuviera. Por ejemplo, supongamos que tiramos dos dados y sea A el evento que el primero sea par, B el evento que el segundo sea par, y C el evento que la suma de ambos sea par. Claramente cada dos son independientes, pero si se conocen A y B, entonces ya se conoce C, as´ı que en conjunto, los tres no son independientes. Decimos que eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio Ω son independientes si para cualquier subconjunto I ⊂ [n] se tiene que ! \ Y P Ai = P (Ai ). i∈I

i∈I

En la figura se muestran eventos independientes por parejas pero no independientes.

B

A

c 3.59 Observaci´ on. (a) Un evento A es independiente de s´ı mismo s´olo cuando P (A) = 1 o P (A) = 0. (b) Si A1 , A2 , A3 son mutuamente independientes, entonces P (A1 |A2 ∩ A3 ) = P (A1 ). 3.60 Ejemplo. En el experimento de escoger un n´ umero del 1 al 60, sean A el evento de escoger un n´ umero m´ ultiplo de 4, B el evento de escoger un m´ ultiplo de 5 y C el evento de escoger un m´ ultiplo de 6. Determinar la independencia o dependencia de A con B y C. Soluci´on. Vemos que A y B son independientes pues P (A|B) = 41 = P (A); A y C no son independientes ya que P (A|C) = 21 6= P (A), y B y C s´ı son independientes pues P (C|B) = 16 = P (C). En este caso, por ejemplo, la probabilidad de que un n´ umero en [12] 1/6 2 sea m´ ultiplo de 6 dado que se sabe que es m´ ultiplo de 2 es 6 = 1/2 . ♦ 3.61 Ejemplo. Sea a1 , a2 , . . . , an una permutaci´on de [n]. Sea A el suceso de que a1 > a2 y sea B el suceso de que a2 > a3 . ¿Cu´al es la probabilidad de A dado B? ¿Son A y B independientes?

37

Soluci´on. Tenemos que P (A) = P (B) = 21 y P (A ∩ B) = 16 , as´ı que P (A|B) = 13 , es decir, los sucesos no son independientes: el que B ocurra hace que A sea menos probable. ♦ El ejemplo anterior es intuitivamente claro pues el que B ocurra limita las posibilidades para a2 (por ejemplo a2 6= 1). 3.62 Ejercicio. (a) Inventar otro ejemplo de 3 eventos independientes por parejas que no sean independientes. (b) Inventar un ejemplo de 4 eventos que saber 2 de ellos no afecte a un tercero, pero que saber 3 de ellos s´ı afecte al cuarto. 3.63 Ejercicio. Probar que dado n ∈ N existen n sucesos dependientes tales que cualesquiera n − 1 de ellos son independientes. 3.64 Ejercicio. Dar un ejemplo de naturales n, r y s, con r y s primos relativos, tales que el suceso de escoger un m´ ultiplo de r en [n] y el de escoger un m´ ultiplo de s en [n] no sean independientes. 3.65 Ejercicio. Probar que si el que B ocurra hace m´as probable la ocurrencia de A (es decir, P (A|B) > P (A)) entonces el que A ocurra tambi´en hace m´as probable la ocurrencia de B. 3.66 Ejercicio. Se lanzaron 2 dados al aire y uno de ellos mostr´o un n´ umero par. ¿Cu´al es la probabilidad de que ambos hayan sido pares? 3.67 Ejercicio. Probar que si A y B son sucesos independientes entonces tambi´en lo son ¬A y ¬B. 3.68 Ejercicio. Una moneda se lanza al aire dos veces. Sea A el suceso de que la primera vez salga a´guila y sea B el suceso de que los dos lanzamientos den distinto resultado. ¿Son A y B independientes? 3.69 Ejercicio. En una caja hay 4 pelotas numeradas del 1 al 4. Se saca una pelota y despu´es, sin volver a meter la que se sac´o, se saca otra pelota. Sea A el suceso de que la primera pelota tenga el n´ umero 1 y sea B el suceso de que la segunda pelota tenga el n´ umero 1. ¿Son A y B independientes? 3.70 Ejercicio. En un pa´ıs hay tres ciudades C1 , C2 y C3 ; C1 tiene la mitad de los habitantes, C2 la tercera parte y C3 la sexta parte. Los porcentajes de votantes a favor del candidato A en cada ciudad son: en C1 , 25 %, en C2 , 40 % y en C3 , 70 %. (a) Si se escoge un habitante al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que est´e a favor del 38

candidato A? (b) Se escogi´o un votante y result´o que estaba a favor del candidato A. ¿Cu´al es la probabilidad de que pertenezca a la ciudad C1 ?

39

4.

Variables Aleatorias y Esperanza

4.1.

Variables Aleatorias

Hemos dado el nombre de espacio muestral al conjunto que contiene los posibles resultados de un experimento. Sin embargo, no se puede operar con los resultados, por ejemplo, cuando nos interesa contar el n´ umero de a´guilas al lanzar varias monedas al aire o al fijarnos en la suma de lo que mostraban dos dados o al considerar la altura en cent´ımetros de personas. Se introduce, entonces el concepto de variable aleatoria. Dado un conjunto muestral Ω, una variable aleatoria en Ω es una funci´on X : Ω → R. Dada una variable aleatoria X y un n´ umero real a, asociamos a X el suceso [X = a] como {ω ∈ Ω : X(w) = a} = X −1 (a). De la misma manera definimos [X < a], [X > a], [X ≤ a], [X ≥ a], etc. (Por ejemplo, [X ≤ a] = X −1 (−∞, a).)

Inclusive, para un conjunto de reales S, [X ∈ A] es el suceso X −1 (A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A}. As´ı, en la situaci´on en que X es la estatura de una persona en cent´ımetros, [X < 170] consiste de todas las personas que miden menos de 170 cm, y en la situaci´on en que X es el n´ umero de a´guilas al lanzar 10 monedas, el evento [X = 1] consta de todos los lanzamientos que constan de exactamente un a´guila. Muchas veces nos queremos olvidar de Ω y, simplemente, pensar en la probabilidad de la variable aleatoria X. Si Ω es un espacio muestral discreto y X es variable aleatoria en Ω, entonces la densidad de X es la funci´on pX : R → [0, 1] definida por pX (a) = P [X = a]. La distribuci´on cumulativa 40

de X es la funci´on FX : R → [0, 1] dada por FX (a) := P [X ≤ a] =

X

pX (a).

b≤a

Notemos que estamos tratando el caso en que la variable aleatoria X es discreta, es decir, el rango de X, {X(ω) : ω ∈ Ω}, es un subconjunto discreto de reales. As´ı, a partir de las probabilidades de los conjuntos de un solo elemento se pueden obtener, usando (P3), las probabilidades de todos los conjuntos. Por ejemplo, en el espacio de probabilidad que resulta al lanzar una moneda 10 veces, en donde X calcula el n´ umero de a´guilas, se tiene que
10

10 5




fX (5) =

+

pX (5) =

5 210

10 4

+ 210




+

10 3




10 2




+

10 1




+

10 0


.

4.1 Ejemplo. Supongamos que lanzamos un dado y nos fijamos en los resultados posibles (todos con la misma probabilidad); entonces la variable aleatoria X : [6] → R est´a definida por X(ω) = ω y, para i = 1, 2, . . . , 6 tenemos que y pX (i) = 16 y FX (i) = i6. Las gr´aficas de estas funciones son las siguientes. .. ... .. ... ... .. . .. ... ... ... ... ... .. . .. .. ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... .. . ... .. ... ... ... ..

1 − 6

0

• • • • • • | | | | | | 1 2 3 4 5 6

.. ... .. ... ... .. . ................................................................................................................................................................................................................................................................... .. ... ... ....................................................................................... ... ... ... ........................................................ .. . .. .. .................................................................................... ... ... .................................................................................... ... ... ... ....................................................................................... ... ... .......................................................................................................................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... .. . ... .. ... ... ... ..

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

|

pX

• −1 { • ) − { • ) − { • ) − { • ) − { − • ) { ) | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7

FX

4.2 Ejemplo. Si la variable aleatoria es X : [6] → R definida por X(i) = i2 − 6, entonces las gr´aficas de pX y de FX se parecen en las alturas pero est´an diferentemente distribuidas horizontalmente. En los dos ejemplos anteriores se dice que la distribuci´on es homog´enea. 41

4.3 Ejemplo. Consideremos la variable aleatoria X : {a, s}2 → R definida por X(ω) = n´ umero de a0 s en el elemento ω del espacio muestral. Tenemos pX (0) = 14 , pX (1) = 12 y pX (2) = 14 , as´ı que FX (−∞, 0) = 0, FX [0, 1) = 14 , FX [1, 2) = 14 + 12 = 34 y FX [2, ∞) = 1 + 12 + 41 = 1. 4 .. ... ... .. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... .. . .. ... ........................................................ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...................................................................................... ... ... ... . .................................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... .. ... ... .. ... ...

1 − 2

•

1 • − 4

0

•

| | | 1 2 3

3 4

− • )

1 2

−

1 4

• ) −

0

pX

4.2.

•

1 −

.. ... .. . .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. . .. ... ... . .... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... .. ... ... .. ... ...

)

| | | 1 2 3

FX

Esperanza

Vamos a considerar promedios de variables aleatorias discretas. La idea es la misma que la del siguiente ejemplo. 4.4 Ejemplo. A lo largo del semestre, un alumno obtuvo en cada una de 7 tareas la calificaci´on de 8 y en cada una de 5 tareas una calificaci´on de 10. ¿Cu´al es el promedio de las 12 tareas? Soluci´on. El promedio es la suma de todas las calificaciones dividida entre el n´ umero de calificaciones: 106 7 × 8 + 5 × 10 = = 8.83. ♦ 12 12 Sea X una variable aleatoria discreta. La esperanza, media, valor esperado, promedio o primer momento de X, denotado por E(X), es el promedio de los valores de X, considerando la repetici´on, es decir, 4.5. E(X) =

X

a · P [X = a] =

a∈R

X a∈R

42

a · pX (a).

Notemos que, en el caso finito, la esperanza tambi´en se puede calcular como 1 X X(ω), E(X) = |Ω| ω∈Ω lo cual coincide con nuestra idea de promedio de valores. En otras palabras, si a1 , ..., an son los posibles valores que puede tomar X, entonces E(X) = a1 P [X = a1 ] + a2 P [X = a2 ] + · · · + an P [X = an ].

4.6 Ejemplo. (a) ¿Cu´al es el valor esperado del n´ umero que sale al lanzar un dado? (b) ¿Cu´al es el valor esperado de la suma de lo que muestren dos dados que se lanzan? Soluci´on. (a) El promedio es 1+2+3+4+5+6 = 3.5 6 o, puesto en los t´erminos de ??, tomando la variable aleatoria como X(a) = a, para a ∈ Ω = [6], E(X) = 1 · pX (1) + 2 · pX (2) + · · · + 6 · pX (6) = 1 ·

1 1 1 + 2 · + · · · + 6 · = 3.5. 6 6 6

(b) En este caso, Ω = [6] × [6] y la variable aleatoria est´a definida por X(a, b) = a + b. La esperanza de X es E(X) = 2 · pX (2) + 3 · pX (3) + 4 · pX (4) + · · · + 11 · pX (11) + 12 · pX (12) = 2·

1 2 3 2 1 +3· +4· + · · · + 11 · + 12 · 36 36 36 36 36

=

2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + · · · + 11 · 2 + 12 · 1 36

=

252 = 7. ♦ 36

Despu´es veremos que en el ejemplo anterior no es casualidad que el resultado del promedio de dos dados sea el doble del promedio de un dado (ver ??). 4.7 Ejemplo. ¿Cu´antas ´aguilas se espera que salgan si se lanza una moneda 2 veces? Soluci´on. Aqu´ı Ω el conjunto de sucesiones de longitud 2 en {a, s} y X es la variable aleatoria en Ω definida por X(ω) = n´ umero de a´guilas de ω. En este caso, E(X) = 2 · pX (2) + 1 · pX (1) + 0 · pX (0) = 2 · 14 + 1 · 12 + 0 · 14 = 1, 43

o tambi´en 1 1 E(X) = (X(a, a) + X(a, s) + X(s, a) + X(s, s)) = (2 + 1 + 1 + 0) = 1. ♦ 4 4 4.8 Ejemplo. Como en ??, el experimento es sacar 2 pelotas de una caja en la que hay 2 pelotas rojas y 3 azules. ¿Cu´antos colores distintos se esperan? Soluci´on. La variable aleatoria a considerar est´a definida por X(ω) = n´ umero de colores de ω, donde ω es cualquier conjunto de dos pelotas de la caja. Por ?? sabemos que la probabilidad de que salgan los dos colores es pX (2) = 0.6 y la de que las dos pelotas tengan el mismo color es pX (1) = 0.4. Entonces 4 6 +1· = 1.6. ♦ 10 10 4.9 Ejemplo. Se escogen al azar 3 n´ umeros distintos entre el 1 y el 100. En promedio, ¿cu´al es el valor del menor de esos tres?

98 Soluci´on. El 1 aparece como menor en 99 ternas, el 2 en , etc., as´ı que la respuesta 2 2 es


1 · 99 + 2 · 98 + · · · + 98 · 22 2 2
. 100 E(X) = 2 · pX (2) + 1 · pX (1) = 2 ·

3

Ahora, el numerador es igual a
99 2

+ +

98 2




98 2




+

97 2

+

97 2

+





97 2




+ ··· +

2 2

+ ··· +

2 2

+ ··· +

2 2






=

100 3

=

99 3

=

98 3




+
+


+ .. . +

2 2




=

+
3

=

=
101

3

4

.

Entonces la respuesta es 101 4
100 3


=

101 · 100 · 99 · 98 3! · = 25.25. ♦ 100 · 99 · 98 · 97 4!

Observemos que, dada una variable aleatoria X en Ω, pX es, en efecto, una funci´on de probabilidad que traduce la probabilidad P definida en sucesos (subconjuntos) de Ω en una probabilidad de sucesos (subconjuntos) de R. De hecho, ya hab´ıamos hecho esto, sin decirlo, como explicamos en el siguiente ejemplo. 44

4.10 Ejemplo. El experimento consiste en lanzar una moneda al aire hasta que salga a´guila por primera vez. ¿En qu´e lanzamiento se espera que esto ocurra? Soluci´on. Aqu´ı consideramos la variable aleatoria X que asigna, a cada sucesi´on infinita de a0 s y s0 s, el primer lugar en el que aparece a (si no aparece, podr´ıamos asignarle cualquier valor no natural, por ejemplo −1, con probabilidad 0). Como el conjunto es infinito, ya no podemos calcular la esperanza tomando el promedio en la forma acostumbrada y, de hecho, es m´as dif´ıcil adivinar la esperanza de X. Veamos que se espera que salga ´aguila alrededor del segundo lanzamiento, recordando que pX (i) = 21i : E(X) =

∞ P i=1

=

1 2

i 2i

=

∞ P i=1

i 2i

=

1 2

+ 42 + 38 + · · ·


+ 14 + 81 + · · · +

1 4


+ 18 + · · · +

1 8


+ ··· +

1 16


+ ··· + ···

= 1 + 21 + 41 + 18 + · · · = 2. ♦ 4.11 Ejemplo. Alejandra y Delia van a jugar un juego. Alejandra lanzar´a un dado y le dar´a una moneda a Delia cada vez que lo que salga en el dado no sea 2. Si se quiere que ninguna de las dos jugadoras tenga ventaja, ¿cu´antas monedas deber´a pagar Delia cada vez que salga el 2? Soluci´on. Aqu´ı tenemos Ω = [6] y X(ω) = 1 si ω 6= 2. Se quiere encontrar X(2) de tal manera que E(X) = 0. Sea z = X(2). Tenemos, PX (1) = 65 , PX (z) = 16 y E(X) = 0. Entonces 0 = 1 · 65 + z · 16 , de donde z = −5, de manera que Delia tendr´a que pagar 5 monedas a Alejandra en caso de que salga 2 en el dado. ♦ 4.12 Ejemplo. En un juego se lanzan tres dados. Un jugador apuesta a cualquiera de los n´ umeros del 1 al 6 y gana 1 peso por cada vez que salga ese n´ umero en alg´ un dado (as´ı, si sale 1 en los 3 dados, entonces gana 3 pesos), pero pierde un peso si no sale ninguna vez. ¿Cu´al es su ganancia esperada en cada apuesta? Soluci´on. Es claro que el n´ umero al que le apuesta es irrelevante, as´ı que digamos que apuesta al 1. Sea Ω = [6] × [6] × [6] y sea X : [6]3 → R definida por  −1, si ω tiene cero 10 s,    1, si ω tiene un 1, X(ω) == 2, si ω tiene dos 10 s,    3, si ω tiene tres 10 s.

45

Entonces pX (−1) =


5 3 6

pX (1) = 3 ·

1 6

pX (2) = 3


1 2 5 6 6

pX (3) =


1 3 6

=


5 2 6

=

125 , 216

=

=

75 , 216

15 216

y

1 , 216

de donde E(X) = (−1) ·

125 75 15 1 −125 + 108 17 +1· +2· +3· = =− ∼ −.08. 216 216 216 216 216 216

Observemos que esto quiere decir que se espera que pierda alrededor de 8 pesos por cada 100 que apueste. ♦ Dados un conjunto {Xi : i = 1, 2, . . . , k} de variables aleatorias en un conjuntoP muestral Ω P y reales c1 , c2 , . . . , ck , definimos otra variable aleatoria X = i ci Xi por X(ω) = i ci Xi (ω). 4.13 Proposici´ on. (a) Si X es una variable aleatoria constante tal que X(ω) = c para todo ω ∈ Ω, entonces E(X) = c. (b) Linealidad de la esperanza. Si X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias en Ω y c1 , c2 , . . . , cn son reales, entonces ! X X E ci X i = ci E(Xi ). i

i

(c) Si X ≤ Y (es decir, si X y Y son variables aleatorias en Ω y para todo ω ∈ Ω se tiene que X(ω) ≤ Y (ω)), entonces E(X) ≤ E(Y ). Demostraci´on. (a) pX (c) = 1 y pX (a) = 0 si a 6= c. (b) HagamosP el caso finito para ilustrar (el caso infinito tiene demostraci´on m´as rebuscada). Sea X = i ci Xi . De la definici´on tenemos n n n P P P P P 1 ci Xi (ω) E(X) = E ( ci Xi ) = ( ci Xi ) (ω) = |Ω| i=1

=

n P

1 ci |Ω|

i=1

P

ω∈Ω i=1 n P

Xi (ω) =

ω∈Ω

ω∈Ω i=1

ci E(Xi ).

i=1

(c) Es claro. ♦ Aqu´ı queda de manifiesto lo que hab´ıamos dicho de que no era sorprendente que el resultado de ??(b) fuera el doble del de ??(a).

46

En los siguientes dos ejemplos la respuesta es obvia, como mostramos en la primera soluci´on; sin embargo conviene analizar las otras dos soluciones pues la segunda calcula directamente el promedio y la tercera usa la linealidad de la esperanza ??. 4.14 Ejemplo. Cu´antos elementos se espera que tenga un subconjunto de [n] escogido al azar? Soluci´on. Primera forma. Para cada r ≤ n los conjuntos con r elementos son la misma cantidad que los conjuntos con n − r elementos, as´ı que el promedio es n2 . Segunda forma. Sea Ω = P[n], el conjunto de subconjuntos de [n]. Sea X la variable aleatoria definida en Ω por X(ω) = n´ umero de elementos de ω. Entonces   n n 1X r . E(X) = n 2 r=0 r

n , agrupando t´erminos y multiplicando por 2/2, tenemos Ahora, considerando que nr = n−r que   n 1 1 X n n n = n+1 (n · 2n ) = . E(X) = n+1 r 2 2 2 r=0 Tercera forma. Consideremos Ω y X como en la soluci´on anterior y definamos, para i = 1, . . . , n, la variable aleatoria Xi por  1, si i ∈ ω, Xi (ω) = 0, si no. P Claramente X = i Xi y P [Xi = 1] = P [Xi = 0] = 12 para toda i, y as´ı  n n  X X 1 1 n E(X) = E(Xi ) = 1· +0· = .♦ 2 2 2 i=1 i=1 Una variable aleatoria (como las Xi del ejemplo anterior) que s´olo toma valores 0 o 1 se llama variable aleatoria indicadora. Su esperanza coincide con la probabilidad de que su valor sea 1. 4.15 Ejemplo. A una fiesta asisten n personas. Cada una lleva un regalo y ´estos se sortean, de manera que a cada persona le toque un regalo. ¿A cu´antas personas se espera que les toque su propio regalo? Soluci´on. Aqu´ı podemos pensar que el espacio muestral consta de todas las permutaciones (a1 , a2 , . . . , an ) de n elementos, y la variable aleatoria X que nos interesa calcula el n´ umero de puntos fijos, es decir, cu´antos ai son iguales a i (por ejemplo, si n = 8, en la permutaci´on (4, 1, 3, 8, 2, 6, 5, 7) los puntos fijos son dos: en 3 y en 6). Definamos, para cada i ∈ [n], la variable aleatoria que tiene el valor 1 cuando i es punto fijo y 0 cuando no. Entonces n X (n − 1)! 1 X= Xi y P [Xi = 1] = = , n! n i=1 47

de donde E(X) = 1. ♦ 4.16 Ejercicio. Probar que dada X : Ω → R variable aleatoria, pX es una funci´on de probabilidad en R (es decir, satisface (P1), (P2) y (P3)). 4.17 Ejercicio. En una caja hay 10 pelotas rojas, 9 pelotas azules y 7 pelotas blancas. Si se extraen 5 pelotas de la caja, ¿cu´antas pelotas blancas se espera que salgan? 4.18 Ejercicio. En cierto examen de opci´on m´ ultiple con 5 opciones en cada respuesta y 100 preguntas se califica como sigue: por cada respuesta correcta se otorga +1 punto, por cada respuesta incorrecta se otorga − 14 de punto, y por cada pregunta sin contestar se otorgan 0 puntos. Qu´e calificaci´on esperar´ıa obtener alguien que contestara todo el examen al azar? 4.19 Ejercicio. Determinar cu´antas fichas dobles se espera que tenga una mano de domin´o, primero de manera intuitiva y despu´es usando variables aleatorias indicadoras. 4.20 Ejercicio. Dada una permutaci´on (a1 , . . . , an ) de [n], para i ≥ 2 digamos que ai es valle si ai es menor que ambos ai−1 y ai+1 . Cu´al es el valor esperado para el n´ umero de valles de una permutaci´on de [n]? 4.21 Ejercicio. Un grupo de n j´ovenes compite cada d´ıa en saltos de longitud. Nunca se repiten las distancias que logran. En un d´ıa promedio, cu´antas veces se rompe el r´ecord de ese mismo d´ıa (considerando que el primero que compite rompe r´ecord, por vacuidad)? (Sugerencia: Usar variables aleatorias indicadoras notando que en una permutaci´on (a1 , a2 , . . . , an ) en la posici´on i se rompe r´ecord si, y s´olo si, ai es el menor del conjunto {ai , ai+1 , . . . , an }. 4.22 Ejercicio. En un torneo hay 6 equipos y cada uno juega una vez contra cada uno de los dem´as equipos. Si todos los equipos tienen la misma probabilidad de ganar, al final del torneo ¿cu´antas veces se espera que haya tres equipos A, B, C tales A le gan´o a B, B le gan´o a C y C le gan´o a A? (Sugerencia: Calcular primero la probabilidad que tiene una terna de v´ertices cualquiera de ser como las indicadas. Escribir la variable aleatoria que cuenta el n´ umero de ternas dirigidas como suma de variables aleatorias indicadoras.) Terminemos esta secci´on con algunos ejemplos interesantes. Los siguientes dos ejemplos van en contra de nuestra intuici´on. 4.23 Ejemplo. Dados m´agicos. Se tienen los siguientes dados: El dado naranja tiene n´ umeros 5, 5, 5, 1, 1, 1. El dado azul tiene n´ umeros 4, 4, 4, 4, 0, 0. El dado verde tiene n´ umeros 3, 3, 3, 3, 3, 3. El dado rojo tiene n´ umeros 6, 6, 2, 2, 2, 2. 48

Natalia toma el dado naranja, Anabel toma el azul, Vicente toma el verde y Ra´ ul toma el rojo. Probar que si cada uno lanza su dado y apuesta 1 peso a que en su dado sale un n´ umero mayor que en el del otro, entonces la esperanza de ganancia de cada una de las siguientes competencias son todas de 13 : [N vsA] Natalia contra Anabel. [AvsV ] Anabel contra Vicente. [V vsR] Vicente contra Ra´ ul. [RvsN ] Ra´ ul contra Natalia. Soluci´on. Observemos que en cada caso hay 36 combinaciones y contemos en cu´antas gana cada uno. [N vsA] Cada uno de los tres 50 s de N gana a las seis posibilidades de A; los tres 10 s de N ganan, cada uno, contra los dos 00 s de A. Entonces, de las 36 opciones, N gana 3 · 6 + 3 · 2 = 24, es decir,   1 12 1 E(N vsA) = 1 · 18 + 1 · 6 + (−1) · 12 = = . 36 36 3 [AvsV ] De la misma manera, los cuatro 40 s de A ganan a las seis posibilidades de V pero los dos 00 s pierden y entonces   1 12 1 E(AvsN ) = 1 · 24 + (−1) · 12 = = . 36 36 3 [V vsR] Los 30 s de V pierden, cada uno, contra los dos 60 s de N pero ganan las otras veces y as´ı   1 12 1 E(V vsR) = 1 · 24 + (−1) · 12 = = . 36 36 3 [RvsN ] Como arriba, 1 E(RvsN ) = 36

  12 1 1 · 12 + 1 · 12 + (−1) · 12 = = .♦ 36 3

4.24 Nota. El ejemplo anterior lo sintetizamos por: N > A > V > R > N. 4.25 Ejercicio. Dados Shippuden. Se tienen los siguientes dados. El dado azul tiene n´ umeros 1, 1, 1, 13, 13, 13. El dado verde tiene n´ umeros 0, 3, 3, 12, 12, 12. El dado rojo tiene n´ umeros 2, 2, 2, 11, 11, 14. 49

Probar que, con la notaci´on de ?? se tiene que A>V >R>A

pero

2A < 2V < 2R < 2A

4.26 Ejemplo. ¿Cu´antos novios conviene a tener antes de casarse? Supongamos que uno piensa que a lo m´as debe tener n novios/as (por ejemplo, si se decidiera empezar a probar novios a los 17, tener un novio cada 2 a˜ nos y elegir a lo m´as a los 34 a˜ nos, entonces 34−16 n ser´ıa 2 = 9). Tambi´en supongamos que se decide tener a novios de prueba a los que se desechar´ıa (y no se podr´ıa volver con ninguno de ellos) y despu´es se decidir´ıa por el primero que superara a esos a. ¿La pregunta es: Aqu´ı se pueden hacer dos preguntas Versi´on rom´antica. ¿C´omo debe ser a en relaci´on con n, si se quiere maximizar la probabilidad de quedarse con el mejor? Versi´on pr´actica. ¿C´omo debe ser a en relaci´on con n, si se quiere maximizar la esperanza (el promedio)? Soluci´on. Para entender bien el problema, tomemos n = 9, digamos que todos los candidatos est´an ordenados del 1 al 9, siendo 9 el que habr´ıa sido mejor, luego el 8, etc. Si se determinara que a = 4 entonces, analicemos con cu´al novio se quedar´ıa uno en el caso de las siguientes permutaciones de candidatos (que ser´ıa seg´ un van apareciendo como candidatos): Para Para Para Para

(4, 1, 5, 2, 3, 6, 8, 7, 9) (8, 4, 9, 3, 5, 1, 6, 7, 2) (6, 2, 1, 8, 4, 3, 9, 5, 7) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

la la la la

elecci´on elecci´on elecci´on elecci´on

ser´ıa ser´ıa ser´ıa ser´ıa

el el el el

6. 2. 9. 5.

A continuaci´on se tiene una simulaci´on hecha por computadora para n = 30 y diversos valores de a de la versi´on rom´antica, es decir, de la probabiidad de escoger a n. La gr´afica muestra que a deber´ıa ser entre 11 y 12.

50

La siguiente es la gr´afica de la versi´on pr´actica, es decir, para n = 30 y diversos valores de a se muestra la calificaci´on promedio del novio elegido. El m´aximo aparece para a alrededor de 5.

Trabajaremos aqu´ı la versi´on rom´antica pues la otra es demasiado complicada. Entonces veamos cu´ando se elige al candidato n. Separemos en casos seg´ un la posici´on 1 de n. La probabilidad de que n est´e en una posici´on determinada es n . Si est´a en la posici´on a + 1 seguro ser´a el seleccionado. Entonces esto contribuye en a la probabilidad.

1 n

Si n est´a en la posici´on a + 2, entonces para que sea seleccionado se necesita que el que qued´o en la posici´on a + 1 no sea m´as grande que los a primeros, o, en otras palabras, que el mejor de los a + 1 quede dentro de los a primeros, y la probabilidad de que eso a a . Esto contribuye en total n1 a+1 a la probabilidad. ocurra es a+1 An´alogamente, si n est´a en la posici´on a + 3 se necesita que el mayor de los primeros a a + 2 quede en las primeras a posiciones y la probabilidad de esto es a+1 ; para un total 1 a de n a+2 . En total queda: 1a 1 a 1 a 1a + + + ... + n a n a + 1 n a + 2 n n a 1 1 1 1 = + + + ... + n a a+1 a+2 n

P (escoger al mejor) =

Ahora, suponiendo que n es grande y que en este caso a tambi´en lo es, la expresi´on es

51

aproximadamente igual a a (ln(n) − ln(a)) n   a n = ln n a Como queremos maximizar la probabilidad, llamemos x = na . As´ı queda   1 x ln x Derivando e igualando a 0 obtenemos lo que queremos:   0   1 1 x ln = ln −1 x x Igualamos a 0 y despejamos x: 1 x= . e Para maximizar la probabilidad de quedarse con el/la mejor posible marido/mujer se deben tener ne novios(as) antes de decidir donde n es el n´ umero esperado de novios(as) que podr´ıa uno tener antes de casarse. La probabilidad de obtenerlo ser´a 1e . (Por ejemplo, si n = 9, entonces la probabilidad de encontrar el mejor candidato como esposo se obtiene con a = 9 ∼ 3 y si n = 30 entonces a = 30 ∼ 11. ♦ e e

4.3.

Variables aleatorias independientes

Decimos que dos variables aleatorias X y Y en Ω son independientes si para todos a, b ∈ R los sucesos X ≤ a y Y ≤ b son independientes, es decir, P [X ≤ a y Y ≤ b] = P [X ≤ a] P [Y ≤ b]. En espacios discretos (como los que hemos trabajado hasta el momento) la definici´on es equivalente a: P [X = a y Y = b] = P [X = a] P [Y = b], puesto que, por ejemplo, P [X = a] = P [X ≤ a] − P [X ≤ a1 ], para alg´ un elemento a1 ∈ R.

52

4.27 Ejemplo. (a) Si X cuenta el n´ umero de ´aguilas cuando lanzamos 5 monedas al aire y Y cuenta el n´ umero de soles, entonces X y Y no son independientes. (b) Si se lanzan 10 monedas al aire y X cuenta el n´ umero de ´aguilas de las primeras 5 monedass y Y el n´ umero de soles que salen en las 5 u ´ltimas, entonces X y Y son independientes. De la misma manera que con eventos, la independencia de variables aleatorias es muy sutil. No es lo mismo que 3 variables sean independientes a que sean independientes por parejas. Adem´as, puede ocurrir que dos variables no sean independientes, pero lo sean dada una tercera. 4.28 Ejemplo. Sea Ω el espacio de humanos y consideremos las siguientes variables aleatorias Z(ω) = n´ umero de zapatos que calza ω. B(ω) = qu´e tan bien juega ω basquetbol. A(ω) = la altura de ω. Entonces es claro que Z y B no son independientes, pues los que usan zapatos m´as grandes tienden a jugar mejor basquetbol por ser m´as altos. Sin embargo Z|A y B|A s´ı son independientes. 4.29 Proposici´ on. Si X y Y son variables aleatorias independientes (en el mismo espacio Ω), entonces E(XY ) = E(X) E(Y ). Demostraci´on. Simplemente hay que expandir lo que significa cada una de esas cosas. P P E(X) E(Y ) = ( xi P [X = xi ]) ( yj P [Y = yj ]) i

j

P = xi yj P [X = xi ]P [Y = yj ] i,j

P = xi yj P [X = xi , Y = yj ] i,j

= E(XY ). ♦ 4.30 Nota. El rec´ıproco no es cierto, es decir, es posible que E(XY ) y E(X) E(Y ) sean iguales a pesar de que X y Y no sean independientes (ver ??). Se define la covarianza de X y Y como Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) E(Y ). M´as adelante veremos el significado de esto (ver ??).

53

5.

5.1.

Varianza y Desviaci´ on Est´ andar

Varianza

La esperanza de una variable aleatoria nos dice el promedio de todos los valores (tomados con repetici´on). Sin embargo esta informaci´on puede ser muy incompleta. Por ejemplo, no es lo mismo que las calificaciones de un grupo de alumnos sean todas de 5 a que la mitad de los alumnos tengan 10 de calificaci´on y la otra mitad tengan 0. La varianza ser´a una medida para expresar qu´e tan alejados est´an los valores de su esperanza. Un intento para medir qu´e tanto se alejan los valores que toma X de su propio promedio µ := E(X), ser´ıa tomar la esperanza de X − µ (es decir E(X − M ), donde M es la variable aleatoria constante con valor µ). Sin embargo, por ??, esta esperanza es 0, as´ı que no tendr´ıamos informaci´on. Consideramos, en su lugar, la esperanza de (X − µ)2 para evitar que se cancelen valores positivos con negativos y, como “elevar al cuadrado” es una funci´on creciente en los n´ umeros positivos, ´esta se puede considerar una buena medida de lo que queremos. Entonces definimos la varianza o segundo momento de una variable aleatoria X : Ω → R como
V ar(X) := E (X − µ)2 , donde µ = E(X). 5.1 Ejemplo. Determinar la varianza si la mitad de los alumnos de un grupo tienen calificaci´on de 10 y la otra mitad tienen 0, y compararla con otras distribuciones similares. Soluci´on. Si todos tienen calificaci´on de 5, la varianza es 0, mientras que si las calificaciones son 0 y 10, la varianza es 1 1 (10 − 5)2 + (0 − 5)2 = 25. 2 2 La escala se ha cambiado al elevar al cuadrado pero mide qu´e tanto se alejan las calificaciones del promedio. Tenemos tambi´en los siguientes casos: Si la mitad de las calificaciones es de 6 y la otra mitad es 4, entonces la varianza es: 1 1 (6 − 5)2 + (4 − 5)2 = 1. 2 2 Cuando la mitad de las calificaciones es de 7 y la otra mitad es de 3, la varianza es 1 1 (7 − 5)2 + (3 − 5)2 = 4. 2 2 54

5.2 Ejemplo. Supongamos que Ω = {a, b, c} y que P (a) = 12 , P (b) = 13 y P (c) = 16 . Digamos que X es la variable aleatoria definida por X(a) = 3, X(b) = 4 y X(c) = 7. ¿Cu´al es la varianza? Soluci´on. Tenemos que E(X) =

3 4 7 + + = 4. 2 3 6

As´ı µ = 4, y si Y = X − µ, entonces Y 2 (a) = (X(a) − µ)2 = (3 − 4)2 = 1, Y 2 (b) = 02 = 0, Y 2 (c) = 32 = 9, de donde V (X) = E((X − µ)2 ) =

1 1 1 1 + 0 + 9 = 2. ♦ 2 3 6

5.3 Proposici´ on. Si X es una variable aleatoria, entonces V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 . Demostraci´on. Sea µ = E(X). Entonces V ar(X) = = = =

E ((X − µ)2 ) E(X 2 − 2Xµ + µ2 ) E(X 2 ) − 2µ2 + µ2 E(X 2 ) − µ2 . ♦

Usualmente es m´as sencillo utilizar ?? para calcular varianza. 5.4 Ejemplo. Sea X la variable aleatoria que mide la suma de 2 dados que se lanzan. ¿Cu´al es la varianza? Soluci´on. E(X)2 =

2·

1 36

+3·

2 36

+4·

3 36

+ · · · + 12 ·


1 2 36

= 72 = 49, E(X 2 ) = 22 ·

1 36

+ 32 ·

2 36

∼ 54.833. Entonces V ar(X) ∼ 54.833 − 49 = 5.833. ♦

55

+ 42 ·

3 36

+ · · · + 122 ·

1 36

5.5 Proposici´ on. Sean X y Y variables aleatorias en un espacio Ω y sea c una constante. Entonces (a) V ar(cX) = c2 V ar(X). (b) V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 Cov(X, Y ). Demostraci´on. V ar(cX) = E ((cX)2 ) − (E(cX))2

(a)

= E(c2 X 2 ) − (cE(X))2 = c2 (E(X 2 ) − E(X)2 ) = c2 V ar(X). (b)

V ar(X + Y ) = E ((X + Y )2 ) − E(X + Y )2 = E (X 2 + Y 2 + 2XY ) − (E(X) + E(Y ))2 = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2 E(XY ) −E(X)2 − E(Y )2 − 2E(X)E(Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 (E(XY ) − E(X)E(Y )) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 Cov(X, Y ). ♦

5.6 Corolario. Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ). En particular, si c ∈ R, V ar(X + c) = V ar(X). ♦

5.2.

Desviaci´ on Est´ andar

Hemos visto que si multiplicamos una variable aleatoria por una constante, la varianza se multiplica por la constante al cuadrado. Esto no nos gusta. Por ejemplo, si una variable aleatoria est´a medida en cent´ımetros y tiene cierta varianza, al medirla en pulgadas su 56

varianza se multiplica por ∼ 2.542 . Nos gustar´ıa una medida que si todo se multiplica por una constante, esa medida se multiplique por esa misma constante. La soluci´on a esto es considerar la ra´ız cuadrada de la varianza. Esto nos lleva a la siguiente definici´on. Dada una variable aleatoria X, la desviaci´on est´andar se define como p p σ(X) := V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 . 5.7 Ejemplo. Encontrar la desviaci´on est´andar de la variable aleatoria de ??. √ Soluci´on. Ya ten´ıamos que la varianza era 2, as´ı que σ(X) = 2 ∼ 1.41. ♦ 5.8 Ejemplo. Encontrar la desviaci´on est´andar de las diferentes variables aleatorias de ??. Soluci´on. Si todos tienen calificaci´on de 5, σ = 0. Si las calificaciones son 0 y 10, σ = 5. Si la mitad de las calificaciones es de 6 y la otra mitad es 4, entonces σ = 1. Cuando la mitad de las calificaciones es de 7 y la otra mitad es de 3, la desviaci´on est´andar es de 2. ♦ 5.9 Ejemplo. Se lanza una moneda 10 veces y se cuenta el n´ umero de ´aguilas. ¿Cu´al es la probabilidad de quedar dentro de una desviaci´on est´andar del promedio (es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria quede a distancia de a lo m´as 1 de la desviaci´on est´andar)? Soluci´on. Sabemos que el promedio es de 5 a´guilas y V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 =

1 210

10 0




· 02 +

10 1




· 12 + · · · +

√

10 10





5 · 102 − 52 = . 2 √

√

Entonces σ(X) = √52 < 2. Queremos la probabilidad de que 5 − √52 < X < 5 + √32 . Como X toma s´olo valores enteros, buscamos la probabilidad de que X sea 4, 5 o 6:       1 10 10 10 + + ∼ 0.65. ♦ 10 4 5 6 2 Despu´es veremos que para este tipo de distribuciones, la probabilidad de quedar a menos de una desviaci´on est´andar del promedio es ∼ 23 (ver ??). 57

5.10 Ejemplo. Supongamos que tiramos dos dados. Sea X la variable aleatoria que representa la suma de los dos dados. Encontrar la desviaci´on est´andar y la probabilidad de quedar a lo m´as a una desviaci´on est´andar del promedio. p Soluci´on. Tenemos que σ(X) = E(X 2 ) − E(X)2 y que E(X) = 7. Usemos la linealidad de la esperanza para calcular E(X 2 ): Supongamos que a y b son las variables aleatorias que denotan el primer dado y el segundo dado, respectivamente. As´ı, X = a + b, de donde X 2 = a2 + 2ab + b2 . Entonces E(X 2 ) = E(a2 ) + 2E(ab) + E(b2 )   2 1 + 22 + · · · + 62 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 + · · · + 5 · 6 + 6 · 6 + = 2 6 36   91 (1 + 2 + 3 + · · · + 6)(1 + 2 + 3 + · · · + 6) = 2 + 6 36   2 91 21 + ∼ 54.83. = 2 6 36 √ √ As´ı, σ(X) ∼ 54.83 − 49 = 5.83 ∼ 2.41. La probabilidad de quedar a lo m´as a distancia de 2.41 del promedio (que es 7) es P [7 − 2.41) ≤ X ≤ 7 + 2.41] = P [X ∈ {5, 6, 7, 8, 9}] =

4+5+6+5+4 24 2 = = .♦ 36 36 3

De ?? tenemos el siguiente corolario. 5.11 Corolario. Sean X y Y variables aleatorias en un espacio Ω y sea c una constante. Entonces (a) σ(cX) = |c| σ(X). (b) σ(X + c) = σ(X). ♦

58

6.

Covarianza y Correlaci´ on

La covarianza y la correlaci´on miden qu´e tanto se parecen dos variables aleatorias X y Y . Ya arriba nos ha aparecido este tipo de relaci´on, la cual formalizamos en este momento (ver ?? y ??). Dadas dos variables aleatorias X y Y en el mismo espacio, definimos la covarianza por: Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ). La correlaci´on entre X y Y es: Corr(X, Y ) :=

Cov(X, Y ) σ(X)σ(Y )

La correlaci´on simplemente es la covarianza “normalizada” (es decir, multiplicada para que sus valores est´en entre -1 y 1). 6.1 Observaci´ on. (a) Cov(X, X) = E(X 2 ) − E(X)2 = V ar(X) y Corr(X, X) = 1. (b) Si X y Y son independientes, Cov(X, Y ) = 0 = Corr(X, Y ). 6.2 Ejemplo. Supongamos que Ω = {a, b} y P (a) = 0.3. Digamos que X y Y son variables aleatorias definidas por X(a) = 1 y X(b) = 5, Y (a) = 2 y Y (b) = 3. ¿Cu´anto valen Cov(X, Y ) y Corr(X, Y )? Soluci´on. E(X) E(Y ) E(XY ) Cov(X, Y ) E(X 2 ) E(Y 2 ) σ(X) σ(Y )

= = = = = = = =

Corr(X, Y ) =

1 · 0.3 + 5 · 0.7 = 3.8, 2 · 0.3 + 3 · 0.7 = 2.7, 2 · 0.3 + 15 · 0.7 = 11.1, 11.1 − 2.7 · 3.8 = 0.84. 1 · 0.3 + 25 · 0.7 = 17.8, 4 · 0.3 + 9 · 0.7 =√7.5, √ √ 3.36 ∼ 1.83, √17.8 − 14.4 ∼ 7.5 − 7.3 ∼ 0.21 ∼ 0.46, 0.84 ∼ 1. ♦ 1.83 · 0.46

La raz´on por la que la correlaci´on en el ejemplo anterior result´o ser 1 no es casualidad. Veremos despu´es que la correlaci´on es bilineal, es decir, Corr(aX + b, cY + d) = Corr(X, Y ) (ver ??) y, como tenemos un espacio que consta de s´olo dos variables, cualesquiera dos variables aleatorias est´an en relaci´on lineal una de otra.

59

6.3 Nota. (a) La correlaci´on no est´a definida si una de las variables es constante pues σ(c) = 0. En este caso usualmente decimos simplemente que Corr(X, c) = 0, pues X y c son independientes. (b) Los valores de la correlaci´on siempre est´an entre -1 y 1. Para probar esto necesitar´ıamos t´ecnicas que se salen del prop´osito de estas notas. (c) Si una variable es un m´ ultiplo positivo de la otra (m´as una constante), entonces la correlaci´on es 1. (Esto ser´a consecuencia de ??.) (d) Si una variable es un m´ ultiplo negativo de la otra (m´as una constante), entonces su correlaci´on es -1. (e) Si las variables tienden a crecer o decrecer juntas, su correlaci´on es positiva. (f) Si las variables tienden a crecer o decrecer inversamente, entonces su correlaci´on es negativa. 6.4 Ejemplo. Intuitivamente, (a) La temperatura de ma˜ nana y la cantidad de helados vendidos ma˜ nana est´an correlacionadas (es decir, la correlaci´on entre las variables aleatorias correspondientes es positiva). (b) La cantidad de comida que como esta semana y mi peso la pr´oxima est´an correlacionadas. (c) La cantidad de papel que se usa hoy en el mundo y mi peso ma˜ nana no est´an correlacionadas. 6.5 Nota. Correlaci´on y causalidad son cosas distintas. Correlaci´on no necesariamente implica causalidad; correlaci´on (positiva) simplemente significa que dos cosas tienden a crecer juntas; causalidad significa que si artificialmente se cambia una de las variables, la otra tambi´en cambia. Ejemplos de sucesos correlacionados pero que ninguno causa el otro son: Hablarle a las plantas y que ´estas crezcan bien. Servir dulces en fiesta de ni˜ nos y que los ni˜ nos est´en hiperactivos. Tener fr´ıo y enfermarse de gripe. (¡Es verdad! Es uno de los mitos m´as extendidos en nuestra cultura: es falso que mojarse o salir al fr´ıo har´a que nos enfermemos. Lo que s´ı es cierto es que ciertas condiciones invernales promueven el desarrollo de los virus de la gripe.) 6.6 Ejercicio. Inventar m´as ejemplos (intuitivos) de sucesos que tengan correlaci´on 1, correlaci´on positiva (no 1), correlaci´on 0, correlaci´on −1 y correlaci´on negativa (no −1). 6.7 Ejercicio. Inventar m´as ejemplos (intuitivos) de sucesos que est´en correlacionados (ya sea positiva o negativamente), pero que ninguno sea causa del otro.

60

6.8 Proposici´ on. Si a y b son reales (a 6= 0) y X y Y son variables aleatorias en Ω, entonces  Corr(X, Y ), si a > 0, Corr(aX + b, Y ) = −Corr(X, Y ), si a < 0. Demostraci´on. Vamos a usar ?? Corr(aX + b, Y ) =

E((aX + b)Y ) − E(aX + b)E(Y ) σ(aX + b)σ(Y )

=

aE(XY ) + bE(Y ) − aE(X)E(Y ) − bE(Y ) |a|σ(X)σ(Y )

=

aE(XY ) − aE(X)E(Y ) |a|σ(X)σ(Y )

= ±Corr(X, Y ). ♦ 6.9 Ejemplo. Supongamos que se lanza un dado 3 veces, que X es la suma de los dos primeros resultados, y que Y es la de los dos segundos. Calcular covarianza y correlaci´on de X y Y. Soluci´on. Tenemos que E(X) = 7 = E(Y ). Digamos que (a, b, c) es el resultado del lanzamiento de los tres dados. Entonces XY (a, b, c) = (a + b)(b + c) = ab + ac + b2 + bc, de donde, viendo a, b y c como variables aleatorias y usando la linealidad de la esperanza, E(XY ) = E(b2 ) + E(ab) + E(ac) + E(bc). Ahora, 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 91 = , 6 6 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 + ··· + 5 · 6 + 6 · 6 212 E(ba) = E(bc) = E(ac) = = , 36 36 E(b2 ) =

As´ı

91 212 +3· − 7 · 7 ∼ 2.92. 6 36 Tambi´en sabemos que σ(X) = 2.41 = σ(Y ) (ver ??), de donde Cov(X, Y ) =

Corr(X, Y ) ∼

61

2.92 ∼ .5. ♦ 5.83

Observamos en el ejemplo anterior que la correlaci´on es .5, es decir, X y Y est´an medianamente relacionadas, lo cual tiene mucho sentido pues la mitad de una (el valor de b) es el mismo en ambas. Puede ser que dos variables aleatorias no tengan correlaci´on (es decir, su correlaci´on sea 0) pero no sean independientes, como veremos en el siguiente ejemplo. 6.10 Ejemplo. Sean X, Y y Z definidas en Ω = {a, b, c, d} como sigue: X(a) = X(b) = 0 y X(c) = 1 = X(d). Y (a) = −1 = Y (c) y Y (b) = 1 = Y (d). Z = XY . Probar que X y Z son dependientes, pero que Corr(X, Z) = 0. Soluci´on. Observemos que Z(a) = 0 = Z(b), Z(c) = −1 y Z(d) = 1. Como P [X = 0 y Z = 0] = 21 pero P [X = 0]P [Z = 0] = 12 12 = 14 , tenemos que X y Z son dependientes. Por otro lado, E(XZ) = E(X 2 Y ) = E(XY ) = E(Z) = 0 ·

1 1 1 + (−1) · + 1 · = 0, 2 4 4

y entonces E(X)E(Z) = E(X) · 0 = 0, de donde Cov(X, Z) = 0 − 0 = 0, y tambi´en Corr(X, Z) = 0. ♦ 6.11 Ejercicio. En un costal hay 10 pelotas de colores: 5 azules, 3 blancas y 2 caf´es. Aleatoriamente Manolo saca una pelota del costal. Si es azul, tiene que pagar 5 pesos; si es blanca tiene que pagar 1 peso; pero si es caf´e, le pagan 10 pesos. ¿Cu´al es la desviaci´on est´andar de la cantidad de dinero que le dan a Manolo? 6.12 Ejercicio. En el mismo caso del problema anterior, supongamos que Manolo se queda las pelotas que va sacando y que puede vender las pelotas azules por 1 peso, las blancas por 2 y las caf´es por 3. Encontrar la correlaci´on entre el dinero que obtiene por jugar el juego y el que obtiene por vender la pelota. 6.13 Ejercicio. Sean X y Y dos variables aleatorias en el mismo espacio muestral, tales que X = Y1 . Probar que si X(ω) > 0 para todo ω ∈ Ω entonces Cov(X, Y ) ≤ 1.

62

7.

Probabilidad Continua

Hasta ahora hemos estado viendo probabilidad en donde el espacio muestral es finito, o discreto. En probabilidad discreta la probabilidad de cada elemento determina la probabilidad de cualquier evento. Sin embargo, en probabilidad continua cada elemento tiene probabilidad 0, pero varios elementos de Ω juntos ya no. Entonces lo importante es la probabilidad de los eventos, es decir, los subconjuntos del espacio muestral. Sin embargo, hay demasiados eventos. Adem´as hay ciertas cosas que se tienen que cumplir para que s´ı se tenga una funci´on de probabilidad. 7.1 Ejemplo. Supongamos que Ω = [0, 1] y que escogemos un punto aleatorio de Ω. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que ese punto sea 1/π? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que ese punto escogido sea menor a 0.4? (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que ese punto escogido sea ≥ 0.7? Soluci´on. (a) P ({ π1 }) = 0. (b) P ([0, 0.4)) = 0.4. (c) P ([0.7, 1]) = 0.3. (Nota. Observamos que no importa si los intervalos son cerrados o abiertos.) ♦ 7.2 Ejemplo. Supongamos que Ω = [0, 1] y que todo tiene la “misma probabilidad” (decimos que la medida es uniforme). ¿Cu´al es la probabilidad de que el n´ umero elegido al azar est´e entre 0.3 y 0.47? Soluci´on. Hay que ver la medida de [0.3, 0.47] con respecto a la medida de [0, 1], as´ı que la respuesta es P ([0.3, 0.47]) = 0.17. ♦ 7.3 Ejemplo. Supongamos que Ω = [1, 8]. Si escogemos un n´ umero al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que el n´ umero sea menor a 5? Soluci´on. B´asicamente queremos P ([1, 5]). Pero ahora la medida “total” es de 8 − 1 = 7, as´ı que la respuesta es 4 P ([1, 5]) = . ♦ 7 7.4 Ejemplo. Dentro del siguiente cuadrado escogemos un punto al azar, sin darle preferencia a ning´ un punto sobre otro. ¿Cu´al es la probabilidad de que caiga en el a´rea sombreada?

63

Soluci´on. El a´rea sombreada es la mitad del a´rea total, as´ı que la probabilidad es 12 . ♦ Sea Ω un espacio muestral y sea 2Ω el conjunto de todos los subconjuntos de Ω, es decir, de todos los eventos. Hay razones t´ecnicas que impiden definir la probabilidad en todos los eventos, as´ı que la funci´on de probabilidad s´olo queda definida para algunos eventos a los que llamamos eventos medibles. Al conjunto de todos los eventos medibles lo denotaremos por Σ. Este subconjunto Σ de Ω resulta ser una σ-´algebra, es decir, Σ satisface: Ω ∈ Σ. Si A ∈ Σ, entonces Ω \ A ∈ Σ. Si A1 , A2 , . . . , ∈ Σ, entonces A1 ∪ A2 ∪ · · · ∈ Σ. 7.5 Nota. Se puede deducir que si Σ es σ-´algebra y A1 , A2 , . . . ∈ Σ, entonces A1 ∩ A2 ∩ · · · ∈ Σ. Un espacio de probabilidad consta de un conjunto Ω, una σ-´algebra Σ ⊂ 2Ω y una funci´on de probabilidad P : Σ → [0, 1] que satisface: P (Ω) = 1. P Si A1 , A2 , . . . son ajenos, entonces P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = i P (Ai ). Al igual que lo hicimos en ??, tenemos que P (∅) = 0. Si A ⊂ B con A, B ∈ Σ, entonces P (A) ≤ P (B). Si A ∈ Σ, entonces P (Ω \ A) = 1 − P (A). Se cumple inclusi´on-exclusi´on (en general), por ejemplo, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Algunos de los conceptos que hemos visto en probabilidad discreta se traducen exactamente a probabilidad continua. Para otros tendremos que hacer una adaptaci´on. En general habr´a que intercambiar sumas por integrales. Veamos aqu´ı las traducciones correspondientes. Si A y B son dos eventos tales que P (B) 6= 0, la probabilidad condicional de A dado B se define por P (A ∩ B) P (A|B) = . P (B) 64

Los teoremas de Bayes ?? y ?? siguen siendo ciertos. Dos eventos A y B son independientes si P (A|B) = P (A) o, equivalentemente, si P (A ∩ B) = P (A)P (B). Tambi´en se define para m´as de dos eventos igual que en probabilidad discreta . Para definir variable aleatoria hay que hacer un peque˜ no cambio pues no puede ser cualquier funci´on. Una variable aleatoria es una funci´on medible X : Ω → R, es decir, una funci´on tal que P (a ≤ X ≤ b) est´a definida para cualquiera reales a ≤ b (y tambi´en con intervalos abiertos, semiabiertos, rayos, etc.)

Al igual que en probabilidad discreta, dada una variable aleatoria X, su distribuci´on cumulativa, FX : R → [0, 1], es la funci´on definida por FX (a) := P (X ≤ a). Se tiene que FX es una funci´on creciente, que tiende a 0 cuando a → −∞ y que tiende a 1 cuando a → ∞. 7.6 Ejemplo. Supongamos que Ω es un cuadro de 1 × 1 (donde la esquina inferior izquierda est´a en el origen) y sea Z la variable aleatoria que al punto de coordenadas (x, y) le asocia el n´ umero x + y. Encontrar FZ (1). Soluci´on. Tenemos que FZ (1) = P (Z ≤ 1) = P (x + y ≤ 1). Debemos entonces considerar cu´ales son los puntos del cuadro en donde x + y ≤ 1:

65

As´ı, FZ (1) = 21 . ♦ 7.7 Ejemplo. Supongamos que Ω es un c´ırculo de radio 1 centrado en el origen. Sea W la variable aleatoria tal que W ((x, y)) = x. Encontrar FW (0.5). Soluci´on. FW (0.5) = P (W ≤ 0.5) = P (x ≤ 0.5).

Entonces 2 FW (0.5) = π

Z

0.5

√

1 − x2 dx. ♦

−1

7.8 Nota. Se puede ver que la gr´afica de FW del ejemplo anterior es la siguiente:

Observamos, como ya sab´ıamos, que la funci´on es creciente. Por otro lado, notemos que si Ω es un espacio discreto, la gr´afica de la funci´on cumulativa es escalonada.

66

1

Recordemos que si Ω es un espacio muestral discreto y X es variable aleatoria en Ω, entonces la densidad de X es la funci´on pX : R → [0, 1] definida por pX (a) = P [X = a]. Es claro que aqu´ı tiene que haber un cambio grande en la definici´on. Recordemos que en probabilidad discreta X pX (xi ) = FX (a), xi ≤a

donde los xi son los posibles valores que puede tomar X. Traducimos esta propiedad a probabilidad continua as´ı: Z a pX (x) dx = FX (a), −∞

y queremos que pX sea la funci´on que satisfaga esto, lo cual, por el teorema fundamental del C´alculo, debe ser F 0 (a). Veamos el caso del ejemplo en el c´ırculo. 7.9 Ejemplo. En ??, calcular lim b→a

P (a ≤ W ≤ b) , b−a

es decir, c´omo var´ıa la distribuci´on en un intervalo en relaci´on a la variaci´on del intervalo. Soluci´on. Observemos que 2 FW (b) − FW (a) = π

Z b√ 1 − x2 dx. a

Al dividir entre b − a (es decir, la longitud del intervalo [a, b]) y hacer tender b a a, obtenemos la derivada de FX evaluada en a que es, por el teorema fundamental del C´alculo,

67

2 π

√

1 − a2 . ♦

Sea X una variable aleatoria. Definimos la densidad de X como la funci´on pX : R → R dada por pX (a) = FX0 (a). B´asicamente, pX dice que, aunque la probabilidad de obtener un determinado n´ umero sea 0, hay n´ umeros m´as probables que otros. Por ejemplo, una gr´afica de densidad podr´ıa verse as´ı:

Donde es m´as alta es porque es m´as probable que ese valor (valores cercanos a ´el) salgan. En el caso del ejemplo en el c´ırculo, la gr´afica de la densidad es, precisamente, la de un semic´ırculo (m´as cerca del centro del c´ırculo el a´rea de una franjita vertical es mayor que lejos del centro del c´ırculo). Muchas veces, cuando X es una variable aleatoria continua, la densidad se denota por fX en lugar de pX . Tambi´en se le llama funci´on de masa. 7.10 Corolario. Si la densidad de una variable aleatoria X es pX y A ⊂ R, entonces Z P (X ∈ A) = pX . ♦ A

Por ejemplo, tenemos que P (X ∈ [a, b]) = P (a ≤ X ≤ b) = Z b pX = FX (b) − FX (a).

Rb a

pX . Claro,

a

7.11 Corolario. Supongamos que X es una variable aleatoria. Entonces la densidad pX satisface (a) pX (t) ≥ 0 para toda t ∈ R. R∞ (b) −∞ pX = 1. Demostraci´on. (a) Esto es porque FX es creciente. R∞ (b) −∞ pX = P (−∞ ≤ X ≤ ∞) = 1. ♦

68

7.12 Ejemplo. Supongamos que X es una variable aleatoria y que su distribuci´on cumulativa est´a definida as´ı: ( 0, si t < 0, FX (t) = −t 1 − e , si t ≥ 0. Revisar por qu´e ´esta es una posible distribuci´on cumulativa y determinar la densidad de X. Soluci´on. Es claro que es funci´on de distribuci´on pues es creciente, lim FX (t) = 0 y t→−∞ lim FX (t) = 1. Para calcular la densidad, s´olo hay que derivar FX : t→∞ ( 0, si t < 0, pX (t) = FX0 (t) = −t e , si t ≥ 0. Se ven as´ı:

7.1.

Esperanza continua

Recordemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta X es X E(X) = t · pX (t) t∈Im(X)

En el caso continuo no podemos tomar la suma sobre los valores que toma X porque hay una infinidad de ellos. Cambiamos suma por integral, pues la integral es la forma de sumar infinitamente (cuando esto es posible). 69

Sea X una variable aleatoria. Definimos su esperanza E(X) por Z ∞ E(X) := t · pX (t) dt. −∞

7.13 Ejemplo. Sea X la variable aleatoria cuya distribuci´on cumulativa es   0, si t < 0, FX (t) = t, si 0 ≤ t ≤ 1,   1, si 1 ≤ t. Calcular su esperanza. Soluci´on. Primero debemos calcular su densidad.   0, si t < 0, pX (t) = 1, si 0 ≤ t ≤ 1, .   0, si 1 ≤ t. Entonces Z E(X) =

1

t dt = 0

1 t2 1 = .♦ 2 0 2

7.14 Proposici´ on. Sea g : R → R una funci´on continua cualquiera y sea X una variable aleatoria. Entonces Z ∞ E(g(X)) = g(t) · pX (t) dt. −∞

Demostraci´on. Es claro de la definici´on. ♦ El resultado ?? es muy u ´til. A veces se le llama la ley del estadista inconsciente. 7.15 Ejemplo. Se escoge un n´ umero al azar entre 0 y 1 y luego se eleva al cuadrado. En promedio, ¿cu´anto es el resultado? Soluci´on. Se pregunta por E(X 2 ) donde X es la variable aleatoria de ??. Entonces Z ∞ Z 1 t3 1 1 2 2 E(X ) = t · pX (t)dt = t2 dt = = . ♦ 3 0 3 −∞ 0

70

7.2.

Varianza, Correlaci´ on, Covarianza

Sean X y Y variables aleatorias. Al igual que en el caso discreto, definimos la varianza de X por V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 , la desviaci´on est´andar de X por σ(X) =

p

V ar(X),

la covarianza de X y Y por Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), y la correlaci´on entre X y Y por Corr(X, Y ) =

Cov(X, Y ) . σ(X)σ(Y )

7.16 Ejemplo. Supongamos que X es la variable aleatoria que elige un punto del [0, 1] aleatoriamente y Y elige otro. Encontrar V ar(X), σ(X), Cov(X, Y ), Cov(X, X + Y ) y Corr(X, X + Y ). Soluci´on. 2

2

1

Z

t2 dt − 0.52 =

V ar(X) = E(X ) − E(X) = 0

1 , 12

p σ(X) = 1/12 ∼ 0.288, Como X y Y son independientes, Cov(X, Y ) = 0, Cov(X, X + Y ) = E(X(X + Y )) − E(X)E(X + Y ) = E(X 2 ) + E(XY ) − E(X)2 − E(X)E(Y ) = V ar(X) + 0 = Corr(X, X + Y ) =

1 , 12

V ar(X) σ(X)σ(X + Y )

p 1/12 1/12 1 p = p = p =√ .♦ 2 1/12 1/6 1/6 71

8.

Distribuciones Importantes

Hay algunas distribuciones (es decir, combinaciones de densidad con distribuci´on cumulativa) que aparecen con frecuencia. Algunas de ellas tienen nombre. Primero vamos a entender qu´e significa el hablar de una distribuci´on. Vamos a pensar que Ω ⊂ R es el espacio muestral. Dentro de R ya tenemos una medida dada, en donde un intervalo [a, b] mide b − a. Pero en Ω las cosas pueden medir diferente. Cu´anto mide cada cosa en Ω es a lo que le llamamos una distribuci´on. Para especificarla, usualmente se toma la variable aleatoria X : Ω → R tal que X(a) = a (es decir, no hace nada) y luego se define la densidad y/o distribuci´on cumulativa de X.

8.1.

Distribuci´ on uniforme

La distribuci´on uniforme es la m´as sencilla y natural. Usualmente cuando decimos “tomamos un n´ umero aleatorio entre 0 y 1” o cosas as´ı, nos referimos a esta distribuci´on. Es en la que “todo tiene la misma probabilidad”. Sea Ω un subconjunto medible de R. La distribuci´on uniforme en Ω est´a dada por la siguiente funci´on de densidad: ( 1 , si t ∈ Ω, pX (t) = m(Ω) 0, si no.

8.1 Ejemplo. ¿Cu´al es la funci´on de distribuci´on cumulativa de la distribuci´on uniforme? Soluci´on. Hay que integrar la densidad: Z a Z a FX (a) = pX (t) dt = −∞

−∞

1 m([−∞, a] ∩ Ω) dt = .♦ m(Ω) m(Ω) 72

Por ejemplo, si Ω es un intervalo, simplemente FX (a) es la medida hasta a entre la medida del intervalo. 8.2 Ejemplo. Calcular esperanza, varianza y desviaci´on est´andar de la distribuci´on uniforme en un intervalo [a, b]. Soluci´on. (a) La esperanza es 1 b−a

b

Z a

1 b 2 − a2 b+a t2 b = , t dt = = b−a a 2 b−a 2

lo cual es l´ogico pues es el promedio entre a y b. (b) La varianza es Z a

b

t2 (b + a)2 b 3 − a3 (b + a)2 b2 + ab + b2 b2 + 2ab + b2 1 dt − = − = − = (b − a)2 . b−a 4 3 (b − a) 4 3 4 12

(c) La desviaci´on est´andar es b−a √ ∼ 0.29(b − a). ♦ 12

8.2.

Distribuci´ on de Bernoulli

Es una distribuci´on discreta y sencilla: Toma el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad 1 − p. Es como lanzar una moneda que p de las veces cae a´guila y 1 − p cae sol. Su promedio es p: E(X) = 1 · p + 0 · (1 − p) = p. Su varianza es p(1 − p): V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 12 · P [X = 1] + 02 · P [X = 0] − p2 = p − p2 = p(1 − p). Su desviaci´on est´andar es

p p(1 − p).

73

8.3.

Distribuci´ on Binomial

Si se toman muchas distribuciones de Bernoulli independientes y se suman, se obtiene la distribuci´on binomial. Por ejemplo, si una moneda tiene p de probabilidad de caer a´guila y 1 − p de caer sol, se lanza n veces y se cuenta el n´ umero de ´aguilas, eso es la distribuci´on binomial. Su densidad es

  n k pX (k) = p (1 − p)n−k . k

Su distribuci´on cumulativa es la suma de las densidades anteriores. Su promedio es np por la linealidad de la esperanza, pues definimos las variables aleatorias Xi que toman el valor 1 cuando en el lugar i hay ´aguila y 0 en los otros casos. Su varianza es np(1 − p) (por la aditividad de la varianza en variables independientes). Simulaci´ on en PhET Veamos la simulaci´on en PhET.

La distribuci´on normal, tambi´en llamada campana de Gauss, aparece en todos lados de la naturaleza. B´asicamente aparece siempre que tenemos una serie de cosas independientes que contribuyen en algo. Por ejemplo, se ha observado que las alturas de las personas del mundo est´an distribuidas aproximadamente con una distribuci´on normal. Esto sugiere que hay varios factores independientes que contribuyen a la altura de una persona. La distribuci´on normal es la versi´on continua de la distribuci´on binomial. En la distribuci´on binomial tomamos el l´ımite cuando n tiende a infinito. Veamos en Phet c´omo se ve. Tambi´en se le llama curva de Bell o campana de Gauss.

74

8.3 Ejemplo. Consideremos la variable aleatoria cuya densidad est´a dada por: 1 2 pX (t) = √ e−t . π Dibujar su gr´afica y determinar su promedio. Soluci´on.

Su promedio es 0. ♦ La distribuci´on normal N (µ, σ) de promedio µ y desviaci´on est´andar σ tiene como funci´on de densidad: (t−µ)2 1 pX (t) = √ e− 2σ2 . σ 2π La distribuci´on cumulativa simplemente debe definirse como una integral porque no se puede integrar esa expresi´on normalmente. La gr´afica es la misma campana de antes, simplemente recorrida y/o expandida, de forma que la integral de todo sea 1. Gr´ aficas de Distribuci´ on Normal

75

Otra propiedad muy interesante es la siguiente: 8.4 Ejemplo. Sea N (µ, σ) una distribuci´on normal y supongamos que escogemos un punto con esa distribuci´on. ¿Cu´al es la probabilidad de que quedemos a menos de una desviaci´on est´andar del promedio? Soluci´on. Simplemente habr´ıa que hacer la siguiente integral: Z µ+σ N (µ, σ) µ−σ

Como vimos, eso no se puede resolver as´ı nada m´as. Pero resulta que esa integral no depende de µ ni de σ. Siempre da ∼ 0.682689492137086 = 68.2689492137086 %. Igual si tomamos 2, 3, 4,... desviaciones est´andar. Las probabilidades son como sigue:

76

P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) ∼ 68.2 %. P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ∼ 95.45 %. P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ∼ 99.73 %. Cuando hablan de que algo es “estad´ısticamente significativo” lo que significa es que hay menos de 5 % de probabilidad de que est´e mal. Por ejemplo, si en una elecci´on hacen una encuesta y dicen algo como “el candidato A obtiene el 54.7 % de los votos con un error de ±3 %”, lo que significa es que la probabilidad de que el dato real (es decir, de que la gente que votar´a por el candidato A) est´e entre 51.7 % y 57.7 % es de 95 %. Es decir, 3 % es 2 veces la desviaci´on est´andar de lo que obtuvo la estad´ıstica y 54.7 es el promedio. B´asicamente σ depende del n´ umero de personas encuestadas. 8.5 Ejercicio. Supongamos que las alturas de los alumnos de una universidad est´an distribu´ıdas con una distribuci´on normal con media 165 y desviaci´on est´andar 8. Determinar las probabilidades de que una persona mida menos de 160, que mida m´as de 170 y que mida entre 150 y 180.

8.4.

Teorema del L´ımite Central

Supongamos que tenemos un espacio muestral Ω y una variable aleatoria X. Una muestra de tama˜ no n es la evaluaci´on repetida de X n veces en elementos de Ω. Esto nos da n n´ umeros reales. no n, donde cada muestra tiene su Sea Ω = Ωn el el espacio de todas las muestras de tama˜ probabilidad de ocurrir. Sea X la variable aleatoria que a cada muestra le asocia su promedio. Por ejemplo, si Ω es el espacio que resulta de lanzar un dado y X es la variable aleatoria que resulta de tomar el n´ umero que sali´o, entonces el espacio de todas las muestras de tama˜ no 2, es como lanzar dos dados: {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, . . . , 66} y X ser´a la variable aleatoria que a 11 le asocia 1, a 12 le asocia 1.5, a 13 le asocia 2, etc. Si no todo tiene la misma probabilidad, tampoco las muestras tendr´an la misma probabilidad. En general, podemos pensar que X = id´enticas a X, pero independientes.

X1 +X2 +···+Xn , n

donde las Xi son todas variables

Ahora analicemos c´omo son los par´ametros de X con respecto a los de X. 8.6 Proposici´ on. (a) E(X) = E(X), es decir, el promedio de los promedios es el pro-

77

medio original. V ar(X) . n σ(X) (c) σ(X) = √ . n (b) V ar(X) =

Demostraci´on. (a) Es claro, por la linealidad de la esperanza. (b)

 X1 + X2 + · · · + X n V ar n V ar (X1 + X2 + ... + Xn ) n2 V ar(X1 ) + V ar(X2 ) + · · · + V ar(Xn ) n2 nV ar(X) n2 V ar(X) n 

V ar(X) = = = = =

(c) Es claro, por (b). ♦ Enunciamos, sin demostraci´on, el Teorema del L´ımite Central: 8.7 Teorema. Con las condiciones de arriba, si X tiene varianza finita, entonces  
σ(X) pX ∼ N E(X), σ(X) = N E(X), √ . n El teorema dice, adem´as, qu´e tan r´apido converge cuando n tiende a infinito. En la pr´actica, si n es mayor a 30 se puede pensar que X tiene distribuci´on normal. 8.8 Nota. Esto es muy impresionante: Dice que no importa qu´e distribuci´on tenga X, si se toma una muestra grande y su promedio, entonces la distribuci´on se parece a la normal y la probabilidad de estar lejos del promedio es peque˜ na. 8.9 Ejercicio. Supongamos que hay 4 personas cuyas alturas son: 160, 164, 170, 184. Calcular los promedios de cada dos de ellas (son 6 promedios a calcular) y comparar el promedio de todos estos promedios con el promedio de las 4 estaturas. 8.10 Ejemplo. Supongamos que tenemos una variable aleatoria X cuyo promedio es 100 y su desviaci´on est´andar es de 40. Tomamos una muestra de tama˜ no 64. ¿Cu´al es la probabilidad de que el promedio de la muestra sea menor a 90? Soluci´on. Nuestros datos son: E(X) = 100, σ(X) = 40, n = 64 y nos preguntan P [X < 78

90]. Como n = 64 > 30, podemos suponer que X tiene distribuci´on normal. Entonces E(X) = 100,

40 σ(X) σ(X) = √ = √ = 5. n 64

Como (90 − 100)/5 = −2 (es decir, dos desviaciones est´andar), por ?? la probabilidad de que el promedio de la muestra sea menor a 90 es ∼ 5 %. ♦ 8.11 Ejercicio. Seg´ un un censo, el promedio de edades en M´exico es 40 y la desviaci´on est´andar es de 10. Si tomamos a 100 personas al azar, les preguntamos su edad y tomamos el promedio de los resultados, ¿cu´al es la probabilidad de que el promedio calculado tenga diferencia mayor que 2 con el real?

8.5.

Otras distribuciones importantes

La distribuci´on de Poisson que tiene la siguiente densidad: λk −λ e . k! La distribuci´on hipergeom´etrica, con densidad

K N −k k

n−k
N n

.

8.12 Ejercicio. Supongamos que una moneda tiene probabilidad p de caer en ´aguila. Se lanza hasta obtener la primera a´guila. Sea X la variable aleatoria que cuenta el n´ umero de soles que salen antes de logra la primera a´guila. Calcular las funciones de densidad y de distribuci´on cumulativa. Determinar la esperanza y la varianza de X.

79

9.

Estad´ıstica

9.1.

Datos estad´ısticos.

La estad´ıstica se utiliza en muchos lugares: ciencia, seguros, clima, comercio, pol´ıtica, etc. Por un lado se obtienen datos mediante observaci´on y se analizan de manera apropiada, organiz´andolos y resumi´endolos. Por otro lado se busca la forma de inferir la generalidad a partir de datos parciales; para ello deben escogerse muestras en forma apropiada que proporcionen un buen nivel de confianza con respecto a la generalidad. Hay muchos tipos de ilustraciones de datos de tipo estad´ıstico; mostramos a continuaci´on algunos de ellos. 15

1000

8 39 10

800 75

215

600 400

5 150 0

200 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

0

2

4

6

8 10 12

La primera gr´afica podr´ıa representar, por ejemplo, calificaciones de alumnos de un grupo (7 alumnos obtuvieron 0, 5 alumnos obtuvieron 1, 14 obtuvieron 2, etc.). La segunda gr´afica podr´ıa representar que 215 personas de una f´abrica llevan menos de 5 a˜ nos en la empresa, 150 llevan entre 5 y 10 a˜ nos, 75 llevan entre 10 y 15, etc.). La tercera gr´afica podr´ıa representar el promedio de dinero en una cuenta de ahorros a trav´es de los u ´ltimos meses (el primer a˜ no podr´ıa haber tenido $700, el segundo $400, el tercero $400, etc.). Las gr´aficas de barras como la de la izquierda, que representan frecuencias, se llaman histogramas. Notemos tambi´en que la u ´ltima gr´afica representa valores absolutos. Para estudiar la u ´ltima de manera estad´ıstica (como haremos aqu´ı) habr´ıa que transformarla a histograma diciendo cu´antas veces se tuvo cada valor. Notemos que esto es justo lo que hacen las variables aleatorias; en este caso el espacio muestral ser´ıa {400, 500, 600, 700, 800, 900} y se tendr´ıa X(400) = 4, X(500) = 2, X(600) = 1, X(700) = 2, X(800) = 1 y X(900) = 2. El histograma y la gr´afica de probabilidad ser´ıan las siguientes.

80

5

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 200

4 3 2 1 0 400 500 600 700 800 900

400

600

800 1000

En tablas estad´ısticas los datos a analizar pueden ser muy variados: sueldos de empleados de una compan´ıa, poblaci´on de ciudades del mundo, alturas de hombres de un pa´ıs, efectos de una medicina sobre la presi´on arterial de un individuo cada minuto despu´es de hab´ersela tomado, calificaciones de un examen de admisi´on a una universidad, n´ umero de coches que llegan cada minuto a una caseta en la carretera, etc. De costumbre, los datos se ponen en un histograma, por ejemplo n´ umero de empleados en cada sueldo, cantidades de alumnos que obtuvieron cada calificaci´on, etc.). Dada una gr´afica, ya sea histograma o de valores absolutos, uno puede preguntar si es creciente o decreciente, si es asint´otica hacia un cierto valor, etc. Tambi´en son importantes el promedio, el valor mayor, el menor, la mediana o percentil 50 (valor que divide a los valores en dos del mismo tama˜ no) los cuartiles (o percentiles 25, 50 y 75), valores que dividen a todos los datos en 4 partes del mismo tama˜ no (o quintiles, deciles o percentiles). Al analizar un histograma, hay tres datos importantes qu´e revisar: la forma, la media o esperanza y la desviaci´on. En cuanto a la forma, uno puede preguntarse si la gr´afica es sim´etrica con respecto a la media o si est´a alargada hacia uno de los lados. En muchos casos, los datos m´as importantes son la media, (que denotamos usualmente por µ), y la desviaci´on est´andar (denotada usualmente por σ). 9.1 Ejemplo. Los siguientes histogramas muestran dos posibles calificaciones en grupos de 70 alumnos. Por ejemplo, en el primero 5 alumnos obtuvieron 0, 15 alumnos obtuvieron 25, etc.

81

35 30 25 20 15 10 5 0 0

35 30 25 20 15 10 5 0

25 50 75 100

0

25 50 75 100

Ambos tienen misma media µ ( 5·0+15·25+30·50+15·57+5·100 = 50 = 4·0+30·25+2·50+30·75+4·100 ), 70 70 mediana (50, pues hay el mismo n´ umero de personas que sacaron menos de 50 que los que sacaron m´as de 50 en ambos casos), primer cuartil (25, pues 70 ∼ 17 y en ambos casos hay 4 17 personas que sacaron 25 o menos), tercer cuartil (75), m´ınimo (0) y m´aximo (100). En lo que difieren es en la desviaci´on est´andar σ. Calculemos expl´ıcitamente ´estas. En la primera la varianza es  X 70 1 (5(0 − 50)2 + 15(25 − 50)2 + 30(50 − 50)2 + 15(75 − 50)2 + 5(100 − 50)2 ) = 625, 70 i=1 de donde σ = 25. En la segunda la varianza es  X 70 1 (4(0 − 50)2 + 30(25 − 50)2 + 2(50 − 50)2 + 30(75 − 50)2 + 4(100 − 50)2 ) ∼ 821, 70 i=1 de donde σ ∼ 28.66. La explicaci´on de esto es que en la primera los valores est´an m´as cercanos a la media. 9.2 Ejercicio. Calcular la media y la mediana del siguiente histograma y observar que si el eje horizontal fuera un subibaja (sin peso) y las barras tuvieran peso igual a su altura entonces, poniendo un pivote justo en la media el subibaja quedar´ıa equilibrado (pensando que valores m´as alejados ejercen la fuerza proporcional a la lejan´ıa), mientras que en la mediana simplemente se considerar´ıa que hubiera el mismo peso en cada lado (sin considerar la distancia). Obs´ervese tambi´en que un solo valor alejado afecta mucho la media pero no la mediana. Pensar que el histograma representa calificaciones de 7 personas y hacer tambi´en una gr´afica donde en el eje x est´en las personas (numeradas) y en el eje y est´en las calificaciones que obtuvieron; en ese dibujo, marcar la media y la mediana en el eje y.

82

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Los histogramas pueden tener diversas formas y algunas de ellas pueden aproximarse por curvas suaves que tienen descritas por ciertas f´ormulas matem´aticas. Veamos algunos ejemplos: 9.3 Ejemplo. La distribuci´on uniforme se da, por ejemplo, si se lanza un dado 1000 veces y se observa cu´antas veces sale cada valor. Mostramos a continuaci´on un histograma posible de esto y la curva suave que la aproxima. 250 200 150 100 50 0

200

1

2

3

4

5

6 1

2

3

4

5

6

9.4 Ejemplo. Una distribuci´on sesgada a la derecha o con sesgo positivo es como sigue:

y podr´ıa representar algo como salarios de personal de una compa˜ n´ıa. 9.5 Ejemplo. Una distribuci´on exponencial decreciente tiene la forma ilustrada a continuaci´on y puede representar, por ejemplo, la frecuencia con la que un ni˜ no se cae despu´es de haber aprendido a caminar, calculada a lo largo de un a˜ no. 83

9.6 Ejemplo. Una distribuci´on gaussiana o normal es la que produce la llamada curva de Bell y que corresponde a distribuciones como las de tipo binomial. Un histograma de esto (que representa el n´ umero de ´aguilas que salen al lanzar una moneda al aire 10 veces) y la curva suave que lo resume son: 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Este tipo de distribuciones surgen de una gran cantidad de problemas que describen cu´antos objetos se encuentran dentro de una muestra de n (en el caso de la moneda n = 10) cuando la probabilidad de encontrar cada uno es p (en el caso de las monedas p = 12 ). Dados n y p se puede encontrar la gr´afica y, viceversa, dada una muestra, a partir de ella se puede calcular p. Estas distribuciones aparecen frecuentemente en problemas tan variados como la cantidad de objetos defectuosos en una muestra, el efecto de una vacuna, el tiempo de gestaci´on de un animal, las alturas de hombres dentro de una poblaci´on, los promedios de bateo de un grupo de beisbolistas durante un a˜ no, etc. Las distribuciones normales est´an determinadas por su media µ y su desviaci´on est´andar σ, y est´an descritas por la f´ormula 1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

84

1 El factor 2π tiene efecto normalizante: logra que el a´rea bajo la curva sea 1. El punto m´aximo de la gr´afica se encuentra cuando x = µ; la curva cambia de concavidad exactamante cuando x est´a a una desviaci´on de la media: en x = µ − σ y x = µ + σ. El ´area bajo la curva en [µ − σ, µ + σ] en cualquier curva de Bell es 68 % del a´rea total y esto quiere decir que el 68 % de las veces los valores est´an en esa porci´on (por ejemplo, si la gr´afica representa frecuencias de alturas de hombres, entonces el 68 % de los hombres tienen la altura dentro de esos valores de x). De la misma manera, en el intervalo con centro en µ y radio 2σ se encuentra el 95 % de los valores y a 3 desviaciones est´andar de la media se encuentra el 99.7 % de los valores. El n´ umero de desviaciones est´andar de distancia a la media se llama z-score (ver ??).

9.7 Ejemplo. Los siguientes histogramas representan el n´ umero de a´guilas que se espera obtener al lanzar n monedas si la probabilidad de obtener a´guila es p = 12 . Las alturas de (n) las barras en cada x = k son 2kn (de esta manera los histogramas est´an normalizados, es decir, las sumas de todas las alturas en cada histograma son 1). Las desviaciones est´andar (en ´estos y en los siguientes grupos de histogramas) son s   n X n k p (1 − p)n−k (k − µ)2 , σ= k k=0

85

n = 20 p = 1/2 μ = 10 σ = 2.24

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n = 15 p = 1/2 μ = 15/2 = 7.5 σ = 1.94

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

n = 10 p = 1/2 μ = 10/2=5 σ = 1.58

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n=6 p = 1/2 μ = 6/2 = 3 σ = 1.22

0

1

2

3

4

5

6

9.8 Ejercicio. Hacer dibujo del histograma normalizado que representa los valores esperados del n´ umero de a´guilas que salen cuando uno lanza la moneda 8 veces. Calcular la media y la desviaci´on est´andar. Calcular cu´antos valores est´an a distancia de una desviaci´on est´andar de la media, de dos desviaciones est´andar de la media y de 3 desviaciones est´andar de la media. 9.9 Ejemplo. Los siguientes histogramas representan el n´ umero de a´guilas que se espera obtener al lanzar una moneda n = 20 veces si la probabilidad de obtener a´guila es p.

86

n = 20 p = 1/2 μ = 10 σ = 2.24

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n = 20 p = 1/4 μ = 20/4=5 σ =1.94

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n = 20 p = 1/8 μ = 20/8 = 2.5 σ = 1.48

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9.10 Ejercicio. Hacer un histograma que represente los valores esperados del n´ umero de veces que sale un n´ umero menor o igual que 2 cuando se lanza un dado 8 veces. Calcular la media y la desviaci´on est´andar. Calcular cu´antos valores est´an a distancia de una desviaci´on est´andar de la media. 9.11 Nota. Como vimos en ??, los promedios de las muestras se parecen al verdadero promedio. Sin embargo, esto no ocurre con la varianza, puesto recordemos que la varianza se tom´o asignando un n´ umero que reflejara en cierta forma un poco sesgada, qu´e tan alejados de la media est´an los valores. Para obtener una buena aproximaci´on de la varianza real n hay que multiplicar la varianza de la muestra de tama˜ no n por n−1 , es decir, si se toma el promedio de las varianzas de todas las muestras de tama˜ no n y ese promedio se multiplica n , se obtendr´a la varianza total. As´ı, tambi´en la desviaci´on est´andar real se aproxima por n−1 p n multiplicando por n−1 la desviaci´on est´andar de a muestra. 9.12 Ejercicio. Con los datos de ??, calcular el promedio de las varianzas de las muestras de tama˜ no 2 y comparar con la varianza total. Hacer lo mismo con las desviaciones est´andar.

87

9.2.

Correlaci´ on

Ya hemos visto que otro tipo de estudio entre variables aleatorias es la correlaci´on: Se analizan dos o m´as cosas y se ve si se mueven juntas; por ejemplo, se puede ver si la calificaci´on que obtienen los alumnos en un examen de admisi´on a la universidad tiene que ver con su promedio al finalizar su primer a˜ no de estudios. Para esto, pueden ponerse puntos en el plano cartesiano de manera que la primera coordenada sea la calificaci´on del examen de admisi´on y la segunda, la calificaci´on promedio despu´es de un a˜ no. En caso de que los puntos formen una masa con tendencia creciente (como se muestra en el dibujo), se dice que es una correlaci´on positiva.

10 9 8 7 6 5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

M´as precisamente, se analiza si el que un alumno haya obtenido una calificaci´on en el examen de admisi´on a distancia menor que una desviaci´on est´andar de la media (de las calificaciones en el examen de admisi´on) significa que tambi´en su calificaci´on despu´es de un a˜ no est´a a una distancia menor que una desviaci´on est´andar de la media (de los promedios de calificaciones al finalizar el primer a˜ no). Recordemos que la definici´on formal de correlaci´on entre dos variables alatorias X y Y definidas en un espacio muestral Ω es Corr(X, Y ) =

E(XY ) − E(X)E(Y ) . σ(X)σ(Y )

No es dif´ıcil comprobar que si E(X) = µX , E(Y ) = µY , Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, y para cada i, X(ωi ) = xi y Y (ωi ) = yi , entonces    yi −µy xi −µx n X σx σy . Corr(X, Y ) = n i=1 x Observemos que xiσ−µ mide a cu´antas desviaciones est´andar de distancia est´a xi de µx x tomando en cuenta el sentido (es decir, es positivo si xi est´a a la derecha de la media y es

88

x negativo si est´a a la izquierda); mientras m´as se parezcan todos los xiσ−µ a los respectivos x yi −µy , la suma es mayor (y cercana a 1) y si se parecen en valor absoluto pero difieren en σy signo, entonces el valor total es parecido a −1. Entonces, si Corr(X, Y ) ∼ 1, los valores en el conjunto G = {(xi , yi ) : i = 1, 2, . . . , n} se acercan a una recta con pendiente positiva (por ejemplo, si X = Y , entonces xi = yi para toda i y la correlaci´on es 1) y se dice que hay correlaci´on positiva, si Corr(X, Y ) ∼ −1 entonces hay correlaci´on negativa (los valores en la gr´afica est´an acumulados cerca de una recta con pendiente negativa), y si r ∼ 0 entonces no hay relaci´on entre las dos variables.

9.13 Nota. Al igual que en ?? la covarianza real y la covarianza promedio de las muestras no es la misma. Para obtener mejor aproximaci´on de la covarianza real hay que dividir entre n − 1 en lugar de entre n. 9.14 Ejemplo. La siguiente tabla muestra el c´alculo de algunas correlaciones (denotadas por r). Las a0 s, b0 s, c0 s y e0 s son todas permutaciones de los n´ umeros del 1 al 19 (por eso la media en todos es 10 y la desviaci´on est´andar es la misma: 5.48). Las a0 s no se escogieron al azar, ni tampoco las e0 s ni las d0 s pero las b0 s y c0 s, s´ı. Las e0 s se escogieron para mostrar que debe usarse criterio pues la correlaci´on es muy peque˜ na y, sin embargo, es claro que est´an muy relacionados.

89

μ

σ

r

x's distancia a μ dist a μ cuadrada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.00 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 30.00 5.48

a's distancia a μ dist a μ cuadrada (x's-μ)(a's-μ)

1 -9 81 81

3 -7 49 56

2 -8 64 56

6 -4 16 24

4 -6 36 30

5 -5 25 20

14 4 16 -12

9 -1 1 2

8 -2 4 2

10 0 0 0

12 2 4 2

7 11 15 13 19 17 -3 1 5 3 9 7 9 1 25 9 81 49 -6 3 20 15 54 49

18 8 64 64

16 10.00 6 36 30.00 5.48 54 27.05

.90

b's distancia a μ dist a μ cuadrada (x's-μ)(b's-μ)

10 0 0 0

16 6 36 -48

1 -9 81 63

5 -5 25 30

3 -7 49 35

13 3 9 -12

6 -4 16 12

7 -3 9 6

8 -2 4 2

14 4 16 0

4 -6 36 -6

15 5 25 10

9 18 19 12 -1 8 9 2 1 64 81 4 -3 32 45 12

11 1 1 7

2 -8 64 -64

17 10.00 7 49 30.00 5.48 63 9.68

.32

c's c's-media dist a μ cuadrada (x's-μ)(c's-μ)

15 5 25 -45

2 -8 64 64

19 9 81 -63

10 0 0 0

6 -4 16 20

13 3 9 -12

12 2 4 -6

14 4 16 -8

18 8 64 -8

9 -1 1 0

4 -6 36 -6

3 -7 49 -14

17 7 49 21

5 -5 25 -20

8 -2 4 -12

7 -3 9 -21

11 1 1 8

16 10.00 6 36 30.00 5.48 54 -4.89

-.16

d's distancia a μ dist a μ cuadrada (x's-μ)(d's-μ)

9 -1 1 9

9 9 9 -1 -1 -1 1 1 1 8 7 6

10 0 0 0

10 0 0 0

10 0 0 0

10 0 0 0

10 0 0 0

11 1 1 0

11 1 1 1

11 1 1 2

11 1 1 3

11 8 8 1 -2 -2 1 4 4 4 -10 -12

12 2 4 14

11 1 1 8

10 10.00 0 0 1.16 1.08 0 2.11

.36

e's distancia a μ dist a μ cuadrada (x's-μ)(e's-μ)

18 8 64 8

17 7 49 7

14 4 16 0

13 3 9 0

12 2 4 0

11 1 1 0

10 0 0 0

9 -1 1 -1

8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 4 9 16 25 36 49 64 -2 -3 -4 -5 -24 -28 -32

1 -9 81 -9

19 10.00 9 81 30.00 5.48 0 -4.32

-.14

16 6 36 6

15 5 25 5

1 -9 81 -45

La correlaci´on puede aplicarse como sigue: supongamos que alguien dice que meti´o 19 bolas numeradas en una urna y que las fue sacando al azar; por ejemplo, podr´ıa representar que ten´ıa 19 regalos y que dice que los reparti´o al azar entre sus amigos, pero al numerar los regalos en cuanto a qu´e tan buenos eran y tambi´en numerar a los amigos en orden de amistad, se ve que quedaron como en las a0 s de la tabla en las que la correlaci´on con las x0 s fue .9; en ese caso se desecha la suposici´on de que la selecci´on se hizo al azar. 9.15 Ejercicio. Calcular la correlaci´on de los siguientes valores (1, 5), (2, 4), (3, 3) y (4, 2). Comparar con el promedio de las correlaciones de las muestras de tama˜ no 3. 9.16 Ejercicio. Calcular la correlaci´on de los siguientes valores (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) y (5, 10).

90

9.3.

Puntaje Z

El puntaje z (o z-score) mide a cu´antas desviaciones est´andar est´a cada dato del promedio, es decir, si X es una variable aleatoria, su puntaje z es la variable aleatoria definida por: z(X) =

X − E[X] . σ(X)

Enunciamos el siguiente teorema sin demostraci´on. 9.17 Teorema. Teorema de Chebyshev Para todo conjunto de datos, por lo menos una proporci´on de 1 − k12 de los datos caen a k desviaciones est´andar del promedio. Es decir, su puntaje z (en valor absoluto) es de k o menos. Por ejemplo, por lo menos 3/4 = 75 % de los datos deben estar a 2 o menos desviaciones est´andar del promedio. Esto es muy importante en general aunque, en distribuciones particulares, como en las normales, se sabe m´as (ver ??).

91

10. 10.1.

Aplicaciones Inferencia estad´ıstica.

Nuestra mente tiende a establecer relaciones y v´ınculos entre los eventos. Desgraciadamente, como ya vimos en ??, muchas veces se deduce causalidad en forma err´onea. Nuestra formaci´on acad´emica y la comprensi´on correcta de la estad´ıstica nos pueden ayudar a superar esta tendencia y a evaluar en forma m´as objetiva los sucesos. Al dar los conceptos b´asicos de Probabilidad hemos estudiado ya diversos par´ametros asociados a los datos de una poblaci´on (a variables aleatorias definidas en espacios muestrales) como son: el promedio (o esperanza), la mediana, la varianza, la desviaci´on est´andar, etc. Estos mismos valores se llaman estad´ısticas cuando se asocian a datos de una muestra en Estad´ıstica. La Estad´ıstica pretende deducir datos generales a partir de datos obtenidos a partir de muestras. La forma en que se eligen las muestras y c´omo se analizan los datos son la base de su estudio. La inferencia estad´ıstica consiste en concluir datos generales a partir de muestras aleatorias. Su estrategia consiste en hacer una conjetura y, si se espera un cierto resultado pero la muestra analizada se aleja mucho de ese resultado, entonces debe desecharse la conjetura. Un ejemplo de esto es que si se tiene una moneda que se supone est´a equilibrada pero al lanzarla 100 veces resulta que 80 de ellas muestra ´aguila, entonces se descarta la conjetura de que era equilibrada. En lo que sigue estudiaremos tambi´en el significado de “poco probable”. Al escoger una muestra para poder inferir datos sobre la generalidad, se debe buscar que la muestra tenga las mismas caracter´ısticas que la poblaci´on general, lo cual se logra mejor con el azar. 10.1 Ejemplo. En 1936 se hizo una encuesta sobre votaci´on para presidente de Estados Unidos en el que contend´ıan Roosevelt y Landon. La muestra fue enorme y conjetur´o que Landon obtendr´ıa 370 votos electorales contra 161 de Roosevelt; sin embargo el resultado fue que Landon obtuvo 8 votos electorales mientras que Roosevelt obtuvo 523. El error fue que la encuesta se hizo entre suscriptores de una revista (“Literary Digest”), la cual hab´ıa predicho correctamente otras votaciones pero cuyos suscriptores ten´ıan una tendencia pol´ıtica especial. A partir de ese error las compa˜ n´ıas que hacen ese tipo de encuestas son m´as cuidadosas en seleccionar la muestra de manera m´as aleatoria. 10.2 Ejemplo. Se hizo una encuesta radiof´onica preguntando si el tener hijos fortalec´ıa la relaci´on de una pareja o no; 50 000 que ten´ıan hijos llamaron por tel´efono y el 70 % respondieron a la encuesta diciendo que no los tendr´ıan si empezaran de nuevo; inmediatamente se hizo otra encuesta de otra manera y result´o que 91 % de las parejas volver´ıan a tener hijos si empezaran otra vez; el defecto en la primera encuesta fue que la respuesta era voluntaria. 92

Las encuestas que se lanzan a trav´es de Internet, radio, televisi´on, etc. no son confiables, por esta raz´on. Otro punto a considerar al hacer una encuesta es buscar que la gente diga la verdad; por ejemplo, es absurdo, en un sal´on de clase, pedir que los alumnos que hicieron trampa en el examen pasado levanten la mano. Sin embargo, la estad´ıstica nos proporciona un m´etodo interesante para descubrir la respuesta correcta: 10.3 Ejemplo. Supongamos que se le dice a un grupo de 1000 alumnos de una escuela que cada uno lance una moneda y que levante la mano ya sea si su moneda mostr´o aguila, o si hizo trampa en el examen. Supongamos entonces que 800 levantaron la mano; con s´olo la cuesti´on de la moneda, se esperaba que levantaran la mano 500, as´ı que hubo un excedente de 300; esto quiere decir que 300 de los 500 que se esperaba tuvieran sol levantaron la mano, lo cual hace una proporci´on de 53 , es decir que alrededor del 60 % de los alumnos hizo trampa. Para analizar qu´e tan lejos se est´a del 60 % hay que estudiar la curva binomial con n = 1000 y p = 21 , la cual tiene una desviaci´on est´andar de 20 aproximadamente, as´ı que dentro del rango [460, 540] (a 2 desviaciones est´andar de la media) se encuentra el 95 %. Suponiendo que 540 obtuvieron sol, se tendr´ıa que 800 − 540 = 260, levantaron la mano a pesar de tener sol, lo que significa que habr´ıa 260 tramposos dentro de los 460 que obtuvieron a´guila, es 260 , que es un 57 %. El resultado pensando que 460 decir, la proporci´on de tramposos ser´ıa 460 tuvieron sol nos dar´ıa que 63 % son los tramposos. Entonces se dice que, con confianza del 95 %, hubo entre 570 y 630 tramposos. Despu´es haremos m´as ejemplos sobre el rango de confianza y de error (en este caso, 95 % y 3 %, respectivamente). Finalmente, en una encuesta hay que vigilar c´omo se hace la pregunta pues la respuesta puede estar inducida; la pregunta debe ser muy clara (sin prestarse a diferentes interpretaciones) y expl´ıcita (por ejemplo, una pregunta como: ¿votar´ıas por el presidente A que va a subir los impuestos? es tendenciosa y sus resultados no ser´ıan confiables). Un m´etodo usado dentro de la inferencia estad´ıstica se llama prueba de hip´otesis. Consiste en hacer una conjetura contraria a lo que se desea probar, llamada hip´otesis nula, y analizar, bajo esa suposici´on, qu´e tan probable es estar fuera de un rango establecido de error. Por ejemplo, se tiene un acusado de un cierto delito; se hace la conjetura de que es inocente, y se analiza, bajo la suposici´on de inocencia, si los datos que se tienen dicen que es poco probable que sea inocente. La base de la inferencia estad´ıstica es usar probabilidad para determinar qu´e tan confiable es una afirmaci´on hecha y qu´e margen de error hay en ella. (Desde luego, en el caso de juzgar a alguien de un delito, los datos dif´ıcilmente pueden ponerse en n´ umeros. Otro error com´ un es tranformar todo a n´ umeros y basar juicios en esos n´ umeros, sin ejercer criterio). 10.4 Ejemplo. Veamos c´omo se aplicar´ıa la prueba de hip´otesis para ver si una determinada moneda es equilibrada; nuestra hip´otesis nula, en este caso, ser´ıa que no lo es y, analizando la gr´afica de probabilidades en cuanto a que la moneda caiga ´aguila si se la lanza 93

100 veces, vemos que la inmensa mayor´ıa de las veces el resultado de lanzar la moneda 100 veces resulta en que se ve ´aguila entre 40 y 60 veces; entonces, de manera arbitraria, antes de lanzar la moneda, establecemos nuestro rango de confianza como [40, 60]; si la moneda cayera ´aguila dentro de este rango, entonces descartar´ıamos nuestra suposici´on de que la moneda era desequilibrada. 10.5 Nota. Es importante fijar de antemano el rango de confianza (y no establecerlo despu´es de hecho el experimento). De costumbre y, de manera arbitraria, se establece el rango en el que se descartar´a la conjetura, como de 5 %; a la probabilidad de estar en un valor tan o m´as extremo que el rango fijado se le llama valor p. 10.6 Ejemplo. Supongamos que se quiere ver si una determinada medicina cura cierta enfermedad. Supongamos tambi´en que sabemos que 40 % de la gente que tiene esa enfermedad se cura espont´aneamente despu´es de una semana. Entonces hacemos la hip´otesis nula de que la medicina no funciona y consideramos la gr´afica de probabilidades de una muestra de 100 personas que sep curar´ıan espont´ √aneamente. Tenemos una curva de Bell, con media .4 un se vio en ??). y desviaci´on est´andar .4(1 − .4) = .24 ∼ .5, por ser de Bernoulli, seg´ Establecemos nuestro rango permitido como de 5 %. Si le damos la medicina a 100 personas y resulta que 51 se curan en una semana, calculamos la probabilidad de estar alejados de la media en 11 o m´as (es decir, en el rango [0, 29] ∪ [51, 100]) y vemos que es 3.2 %, lo cual es menor que el 5 % que hab´ıamos fijado, as´ı que rechazamos la conjetura; entonces decimos que la medicina s´ı funciona con un valor p de 3.2 %. (En el dibujo el a´rea sombreada representa el 5 % del total del ´area bajo la curva, a 2 desviaciones est´andar de distancia de la media.)

10.7 Nota. Hay que tener cuidado en c´omo se aplica la prueba de hip´otesis; en los ejemplos que vimos, conocemos la media y la desviaci´on est´andar; sin embargo, si por ejemplo se asegura que la ingesta cal´orica diaria promedio de un hombre es 2400 y queremos ver si esto es cierto y tomamos una muestra de 20 personas y todas ingieren 2500 calor´ıas, no sabremos si 100 de diferencia es mucho o no; esto depender´ıa de si los valores promedio estuvieran muy dispersos o no. Ahora veamos qu´e tan confiable puede ser nuestra evaluaci´on de una muestra y qu´e tan 94

cerca de la verdad obtenemos la informaci´on a trav´es de la muestra. 10.8 Ejemplo. Supongamos que va a haber una elecci´on entre dos candidatos. Debemos suponer las condiciones ideales de que la muestra fue escogida aleatoriamente, que todas las personas a las que se les pregunt´o contestaron, que dijeron la verdad y que toda la poblaci´on vota. Digamos que la muestra consta de n personas y que, de toda la poblaci´on, 60 % est´a a favor de A. Bajo esta suposici´on, consideremos las distintas gr´aficas de densidad para n = 10, 100, 1000.

Notemos que, de 10 personas, no es raro que 4 contesten que est´an a favor de A, s´olo los valores de 0, 1, 9 y 10 representan menos del 5 % de la probabilidad total, mientras que si n = 1000, es muy raro obtener respuestas menores que 550 o mayores que 650. Normalmente uno trabaja al rev´es pues no sabe cu´antas personas est´an a favor de A y s´olo tiene la informaci´on de la muestra. Entonces digamos que de 1000 personas, 590 respondieron que estaban a favor de A. Uno hace varias hip´otesis diciendo que un cierto porcentaje p de toda la poblaci´on est´a a favor de A y se pregunta entonces: siendo p el porcentaje de gente a favor de A, ¿cu´al es la probabilidad de haber obtenido 590 respuestas favorables de 1000? Entonces se mueve la curva como la tercera de la figura con centro p (normalizando p a que represente porcentaje) y se fija para qu´e valores de p, 590 queda dentro de un rango permitido, digamos, con probabilidad de 95 %; por ejemplo, se puede obtener que p ∈ [560, 620]. En este caso se dice que la gente est´a a favor del candidato A un 59 % con margen de error de 3 % (pues 56 = 59 − 3 y 62 = 59 + 3) y confianza de 95 % (de costumbre se sobrentiende lo de confianza de 95 % y no se dice).

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10.9 Ejemplo. Ahora bien, supongamos que va a haber una votaci´on para presidente del pa´ıs y que necesitamos estar confiados en un 99.7 % con un margen de error de 2 %. ¿De qu´e tama˜ no deber´ıamos escoger la muestra? Soluci´on. Sabemos que en una distribuci´on gaussiana el 99.7 % del ´area total bajo la curva se encuentra a menos de 3 desviaciones est´andar de la media, as´ı que queremos encontrar σ. Supongamos que el n´ umero total de personas en la poblaci´on es N y que p es la proporci´on de gente que est´a a favor de A. Notemos que p lo podemos obtener como la media de un histograma muy simple en el que se pone una barra de longitud N p sobre 1 y una barra de longitud N (1 − p) sobre el 0. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

1

Tenemos una distribuci´on de Bernoulli y recordemos que, como la media es p, tenemos que N p(1 − p)2 + N (1 − p)(0 − p)2 σ2 = = p(1 − p), N p de donde σ = p(1 − p) (ver ??). Queremos que 3σ sea menor que 2 %. El teorema del l´ımite central afirma que si se tiene una distribuci´on normal, para cierta n grande se toman 96

todas las muestras de tama˜ no n y para cada una de ellas se toma la media, entonces la nueva distribuci´on de densidad tambi´en ser´a normal y su desviaci´on est´andar ser´a √1n de la desviaci´on est´andar original. Entonces buscamos encontrar el menor n tal que p p(1 − p) √ 3 ≤ .02, n pero sabemos que p(1 − p) ≤ (1/2)2 = 1/4 (pues el producto de dos n´ umeros con suma constante es m´aximo cuando los n´ umeros son iguales), as´ı que r 1 2 3 ≤ , 4n 100 de donde n ≥ 5225. ♦ 10.10 Nota. En el ejemplo anterior observamos que el tama˜ no de la muestra no depende del tama˜ no de la poblaci´on; es como cuando queremos saber si a una sopa le falta sal: basta con una cucharadita como muestra, independientemente de si el volumen de la sopa es un litro, dos litros o lo que sea.

10.2.

Resumen de intervalos de confianza

Hemos visto ya varios ejemplos en los que han aparecido intervalos de confianza. Vamos a resumir lo visto. no n > 30 de una variable aleatoria X. Supongamos que tenemos una muestra X de tama˜ Por el teorema del l´ımite central, su funci´on de densidad PX es muy parecida a la distribuci´on √ . Supongamos que queremos un normal con media µ = E(X) y desviaci´on est´andar σ(X) n margen de confianza c. El margen de error ε depender´a de la muestra y de c. Si n crece, ε disminuye. Por otro lado, si c crece, ε crece. Definimos zc como el puntaje z (positivo) para el cual hay exactamente probabilidad c que la distribuci´on normal caiga entre −zc y zc . Para encontrar los zc simplemente hay que hacer b´ usqueda en las tablas. Aqu´ı est´a la tabla para los valores m´as comunes: c zc

.8 .9 .95 .99 1.28 1.64 1.96 2.575

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Entonces el margen de error ε es: s ε = zc σ(X) ∼ zc √ n 10.11 Ejemplo. Supongamos que preguntamos a 100 personas su estatura, que calculamos el promedio de sus respuestas y es de 160 cm y que la desviaci´on est´andar de la muestra es de 15 cm. ¿Cu´al es el intervalo de confianza del promedio si se desea un nivel de confianza de 95 %? Soluci´on. Hay que encontrar ε: 15 s = 2.94. ε = zc √ = 1.96 · √ n 100 As´ı, el intervalo es (157.06, 162.94). En otras palabras, hay 95 % de probabilidad de que el promedio real de las estaturas est´e en ese intervalo. ♦ 10.12 Ejemplo. Supongamos que hacemos una encuesta para ver cu´antos mexicanos est´an de acuerdo con que se legalice la marihuana. Tomamos una muestra de 901 mexicanos y, de ellos, el 60 % est´a de acuerdo con que se legalice. Si se desea un nivel de confianza de 95 %, ¿cu´al es el intervalo de confianza? Soluci´on. Es casi el mismo problema que antes, salvo que aparentemente no tenemos la desviaci´on est´andar. Pero s´ı la tenemos: es la distribuci´on de Bernoulli. As´ı, q p (.6)(.4) 901 900 √ ∼ .03. ε ∼ 1.96 901 El error ser´a de 3 puntos porcentuales y el intervalo de confianza (57 %, 63 %). ♦ 10.13 Ejercicio. Supongamos que cierta persona afirma que puede distinguir entre dos refrescos que tienen el mismo aspecto. Se le va a dar a probar 20 veces cada par de refrescos y se le preguntar´a cu´al es cada uno. Hacer una hip´otesis nula con rango de confianza del 5 % y calcular con cu´antas respuestas correctas se descartar´ıa la hip´otesis nula. 10.14 Nota. Dentro de la inferencia estad´ıstica hay dos tipos de errores; un error del tipo 1 es cuando se rechaza la hip´otesis nula a pesar de ser cierta (porque el azar dio un resultado dentro de 5 %); un error del tipo 2 es que no se rechace la hip´otesis nula a pesar de que s´ı sea falsa, es decir, la realidad es distinta de la hip´otesis. En el sistema jur´ıdico debe hacerse la suposici´on de inocencia (y entonces la hip´otesis nula es que es culpable) tratando de evitar un error del tipo 1.

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10.3.

Evitar errores de interpretaci´ on de datos

A veces hay muchas variables; en ese caso deben fijarse todas salvo una para ver el efecto de ´esa; por ejemplo, para ver las mejores condiciones de crecimiento de ma´ız bajo un fertilizante, hay que usar la misma tierra, la misma agua, el mismo sol, etc. 10.15 Ejemplo. Al probar el efecto de una medicina debe darse a la mitad de la gente dentro de un grupo un placebo (es decir, algo que parece medicina pero que no lo es) y a la otra mitad debe d´arsele la medicina. Ninguno de los dos grupos debe saber qu´e se le est´a dando. Adem´as, las personas que hacen la entrevista al final del experimento a los que tomaron la medicina o el placebo tampoco deben saber qu´e tom´o la persona entrevistada para evitar que su propio juicio sobre la respuesta sea parcial. Este tipo de estudio se llama doble ciego. En lo que sigue veremos algunos errores al aplicar la estad´ıstica de manera superficial. 10.16 Nota. En un experimento puede haber variables ocultas; son las que afectan el experimento pero que no se tomaron en cuenta; por ejemplo, es com´ un que se diga que hablarle a las plantas mejora su crecimiento y que se hagan “pruebas” de esto pero sin tomar en cuenta que las personas que hablan a las plantas probablemente tambi´en las cuidan m´as. Otro ejemplo es afirmar que la gente que lleva 20 a˜ nos casada tiene mejor salario sin tomar en cuenta la edad. 10.17 Ejemplo. A ra´ız de los ataques a las torres gemelas de Nueva York el 11 de septiembre de 2001, mucha gente report´o haber tenido sue˜ nos muy v´ıvidos acerca de explosiones, los cuales incluso hab´ıan descrito a amigos suyos, antes de los ataques. ¿Se puede decir con esto que esas personas tienen poderes s´ıquicos? Sin negar o estar a favor de estas ideas, la respuesta es no. Hay miles de millones de personas en el mundo y cada persona sue˜ na muchas veces durante una noche. Con esto es mucho m´as que suficiente para que todos los d´ıas muchas personas sue˜ nen con explosiones v´ıvidamente. Cuando no pasa nada, esos sue˜ nos se olvidan, pero cuando pasa algo, entonces nos llama la atenci´on y pensamos que tuvimos una premonici´on. 10.18 Ejemplo. Muchas veces o´ımos a alguien decir que le dio gripa porque un par de d´ıas antes sufri´o un cambio de temperatura. Como hemos dicho anteriormente, para comprobar una afirmaci´on de este tipo debe hacerse primero la conjetura y despu´es hacer las pruebas, es decir, no es correcto que cuando tenemos gripa hagamos memoria de si nos enfriamos o no unos d´ıas antes; un estudio estad´ıstico correcto debe ser al rev´es: hacer un apunte de cada vez que nos enfriamos y, de manera totalmente independiente, anotar cuando nos enfermamos; despu´es, con los dos datos juntos, estudiar la correlaci´on. (Existen muchos estudios en cuanto a los mitos sobre la gripa; ver, por ejemplo, http://www.commoncold.org/.) 10.19 Ejemplo. En un juicio de un criminal que huy´o por la noche en un taxi hubo un 99

testigo que afirm´o que el taxi en el que hab´ıa hu´ıdo era azul; justo el mismo color del taxi del acusado. Hab´ıa duda de si se le cre´ıa o no porque era de noche. El fiscal dijo entonces que se le hab´ıa hecho una prueba al testigo de distinguir un taxi en las mismas condiciones que las de la noche del crimen; que se le hab´ıa repetido 100 veces y que el 80 % de las ocasiones hab´ıa dicho el color correcto; que eso era indicaci´on de que deb´ıa cre´ersele (con certeza de un 80 %). Sin embargo, el abogado defensor dijo que la ciudad ten´ıa 100 taxis, de los cuales 90 eran verdes y s´olo 10 eran azules, as´ı que cuando al testigo se le mostr´o taxi verde, pudo haber dicho verde 72 veces contra 18 que habr´ıa dicho azul, y al present´arsele con un taxi azul, pudo haber dicho verde 2 veces y azul 8 veces; as´ı habr´ıa acertado el 80 % de las veces; sin embargo, s´olo 8 de las 26 veces que dijo azul, efectivamente se trataba de un taxi azul, 8 ∼ 31 %; entonces el abogado defensor dijo que probablemente el lo que representaba un 26 testigo se hab´ıa equivocado de color. ¿Qui´en tiene raz´on? Soluci´on. El abogado defensor est´a en lo correcto. La explicaci´on matem´atica nos la da el Teorema de Bayes (segunda versi´on). Sea Ω el conjunto de los taxis de esa ciudad. Sea S1 el conjunto de los taxis azules y sea S2 el de los taxis verdes. Sea U el suceso que consta de los taxis que el testigo declara como azules. Queremos determinar la probabilidad de que el taxi sea azul dado que el testigo lo vio azul, es decir, P (S1 |U ). Entonces P (S1 |U ) =

(.8)(.1) 8 P (U |S1 )P (S1 ) = = .♦ P (U |S1 )P (S1 ) + P (U |S2 )P (S2 ) (.8)(.1) + (.2)(.9) 26

10.20 Ejercicio. ¿Qu´e tan confiable habr´ıa sido el testigo si se supiera que el n´ umero de taxis verdes era de 10 y el de azules de 90? 10.21 Ejemplo. En un juicio se acusa a S de haber matado a su esposa. Hab´ıa suficiente evidencia de que la hab´ıa golpeado con anterioridad. El defensor argumenta que s´olo uno de cada 1000 hombres que golpean a su esposa terminan por matarla, as´ı que la probabilidad 1 . ¿Hay error en ese razonamiento? de que la haya matado es 1000 1 Soluci´on. S´ı hay error. Hay que comparar esa estad´ıstica de 1000 con el resto de la poblaci´on, es decir, cu´antos hombres que no golpean a la esposa terminan por matarla. Adem´as, el hecho es que ya est´a muerta tambi´en es importante; es decir, no es v´alido decir que algo que pas´o (sin previsi´on de an´alisis de esa ocurrencia) era poco probable, y con ello sacar una conclusi´on; por ejemplo puede ser que yo escriba una sucesi´on cualquiera de 5 letras y resulte que es una palabra en alg´ un idioma desconocido por m´ı; es absurdo que alguien la lea
1 5 y diga que la probabilidad de que yo hubiera escrito esa palabra precisamente era de 27 y, como esto es muy raro, probablemente yo conoc´ıa la palabra (tal vez en otra vida). ♦

10.22 Ejemplo. Supongamos que en un crimen se descubre que una muestra de sangre pertenece al criminal y que, al analizar el ADN y buscar registros policiales, resulta que el ADN de una cierta persona coincide en las caracter´ısticas con el ADN encontrado, de manera que s´olo 1 de cada mill´on de personas tiene esa coincidencia. ¿Es entonces muy probable que 100

la persona haya cometido el crimen? Soluci´on. Una vez m´as, ser´ıa una afirmaci´on altamente aventurada, por ejemplo, si consideramos que dentro de un pa´ıs de 100 millones de personas se esperar´ıa que 100 que tuvieran esas mismas caracter´ısticas de ADN. Desde luego, como en todo lo que hemos dicho, hay que usar la informaci´on con cuidado y, por ejemplo, si se tiene alg´ un otro dato como que se vio a esa persona entrar al lugar del crimen un rato antes de la comisi´on del crimen, entonces s´ı ser´ıa una evidencia extremadamente fuerte la del ADN. ♦

del tipo de cosas que deben o no hacerse al usar los datos estad´ısticos y c´omo la estad´ıstica nos puede ayudar en evaluaciones. Empezaremos con un ejemplo com´ un que ofrece muchas posibilidades de evaluaci´on. 10.23 Ejemplo. Consideremos los datos de la Liga de Beisbol Americana y supongamos que queremos ver qui´en ha sido el mejor beisbolista de todos los tiempos. En primer lugar hay que decidir qu´e cualidad se trata de analizar. Digamos que se busca el mejor promedio de bateo (en el que se descartan las bondades del “pitcher”). La estad´ıstica de bateo cuenta qu´e proporci´on de las veces que un bateador tiene su turno para batear logra hacer un “hit”, es decir, gracias a c´omo bate´o la bola, ´el logra correr a la primera base antes de que un jugador del otro equipo lo toque con la misma bola que ´el bate´o); se dice entonces que el jugador tiene un porcentaje de .32 si el 32 % de las ocasiones que estuvo como bateador, logr´o hacer un hit. La primera pregunta es durante cu´anto tiempo debe considerarse ese promedio. Resultar´ıa absurdo considerar toda la vida de un jugador, puesto que puede haber empezado muy joven o haberse retirado ya cuando hab´ıa deca´ıdo; entonces podemos decir que se considera s´olo un a˜ no; por otro lado, tambi´en es absurdo que entre en competencia alguien que s´olo tuvo una oportunidad de batear; entonces digamos que se pide que al menos haya estado como bateador 80 veces en la temporada. Si uno hace ese an´alisis y s´olo dice los a˜ nos de los mejores resultados, en orden, la lista es: 1901, 1924, 1922, 1911, 1912, 1911, 1920, 1941, 1925, 1923, 1922, 1930, 1922, 1939, 1929, 1927, 1921, 1912, 1994, 1921. Como puede apreciarse, en esta lista de los mejores 20, todos salvo uno son anteriores a 1941. ¿Qu´e se puede inferir de esto?, ¿qu´e antes los bateadores eran mejores? Esto es absurdo, as´ı que vemos que hay que proceder de otra manera en la evaluaci´on. Resulta entonces m´as l´ogico comparar a cada bateador con los de su propio a˜ no. Veamos c´omo puede hacerse esto. Se tiene, por ejemplo que en 1920 los 10 mejores porcentajes de bateo fueron .4, .39, .39, .38, .37, .37, .36, .36, .35, .35, mientras que en el a˜ no 2000 los 10 mejores porcentajes fueron: .37, .37, .36, .36, .36, .35, .35, .35, .34, .34; se ve adem´as que la desviaci´on est´andar en 1920 fue mucho mayor que en 2000, es decir, en 2000 los bateadores tienen todos un promedio m´as cercano a la media. Se considera entonces a cu´antas desviaciones est´andar de distancia de la media est´a cada bateador, es decir, el z-score o puntaje z; de esta manera, en 1920, un bateador con promedio de .38 tiene un z-score de 2.3 sobre la media y ese mismo z-score lo tiene un bateador con promedio de

101

.36 en 2000; se considera que dos bateadores as´ı tienen la misma calidad. Otro punto que podr´ıa considerarse tambi´en es si con su bateo el bateador no s´olo llega a primera base sino que llega a segunda, tercera o da la vuelta completa. En este u ´ltimo caso se da un factor a cada bateo: se multiplica por 1 si el bateador llega a primera, por 2 si llega a segunda, etc. Esto nos da una nueva clasificaci´on de los bateadores. 10.24 Ejemplo. A continuaci´on se presentan dos listas de 00 s y 10 s. Una de ellas fue hecha al azar (por computadora) y la otra fue hecha por una persona, tratando que fuera aleatoria. ¿Cu´al es cu´al? 1100001110110100100111001011000111000000, 0100111010011100011011101001101001101000. Soluci´on. La primera fue hecha por computadora. Lo interesante de esto es que la primera tiene “rachas” de repetici´on y la segunda no. De hecho, si lanzamos una moneda al aire 11 veces, es m´as probable que en alg´ un momento haya por lo menos 4 a´guilas o 4 soles seguidos, a que no los haya (as´ı que, si la lanzamos m´as veces, es todav´ıa m´as probable y tambi´en es m´as probable que aparecezcan cadenas m´as largas de repetici´on). Para ver esto observemos que una sucesi´on de a´guilas y soles de longitud 11 que empiece con ´aguila est´a determinada por una suma a1 + a2 + · · · + ak = 11, donde a1 es el n´ umero de a´guilas al principio, a2 es el n´ umero de soles a continuaci´on, etc. Entonces, el n´ umero de sucesiones que no tienen una repetici´on de al menos 4 a´guilas o 4 soles y que empiezan con a´guila es el tama˜ no del siguiente conjunto: H = {(a1 , a2 , . . . , ak ) : k = 1, 2, . . . , 11; a1 + a2 + · · · + ak = 11; ∀ i, 1 ≤ ai ≤ 3}. 11

(el 2 En consecuencia, la probabilidad de que haya 4 o m´as ´aguilas o soles seguidos es 2 2−2|H| 11 que multiplica |H| aparece considerando que una sucesi´on puede empezar con sol tambi´en). Calculemos el tama˜ no de H seg´ un las posibilidades para k: ∗ k = 11. Todas las ai son 1
y hay una posibilidad que escribimos, por conveniencia de acuerdo a lo que sigue, como 10 . 10
∗ k = 10. Exactamente una ai es 2 y las dem´as son 1, por tanto hay 10 posibilidades: .

10 1

∗ k = 9. Aqu´ı, y en lo que sigue, observemos que cada sucesi´on (a1 , a2 , . . . , ak ) se puede representar poniendo 11 rayitas − y escogiendo k − 1 de los 10 espacios que hay entre las rayitas para poner un separador |; entonces a1 ser´a el n´ umero de rayitas que hay antes (a la izquierda) del primer separador, a2 ser´a el n´ umero de rayitas que hay entre el primer separador y el segundo, etc. (Por ejemplo, la sucesi´on (1, 3, 1, 1, 2, 3) est´a representada por: −| − − − | − | − | − −| − − − .)
Entonces, para k = 9, las posibilidades son 10 y observamos que ninguna ai puede ser 8 mayor o igual que 4, pues las otras 8 deber´ıan ser naturales con suma 7.
∗ k = 8. Como arriba, el n´ umero de posibilidades es 10 , salvo que aqu´ı alguna de las ai 7 102

podr´ıa ser 4 y podr´ umero de posibilidades
ıa estar en cualquiera de los 8 lugares. En total el n´ 10 en este caso es 7 − 8.
∗ k = 7. Como antes, el n´ umero de posibilidades es 10 y hay que restar cuando hay un 6 4; en este caso los otros 6 naturales sumar´ıan 7, as´ı que uno tendr´ıa que ser 2 y los otros 1; eso nos dice que tenemos que restar 7 · 6 (la elecci´on de los lugares para el 4 y el 2); tambi´en podr´ıa haber un 5 (y entonces los dem´as naturales ser´ıan 1), lo cual nos da 7 posibilidades.
10 En total las posibilidades en este caso son 6 − 49.
10 ∗ k = 6. Procediendo como arriba, tenemos que hay posibilidades; pero con un 4 hay 5
6 6 4 = 90 (pues hay 6 lugares para poner el 4 y los otros 5 n´ umeros sumar´ıan 7, as´ı que el razonamiento es el mismo de separadores que hemos venido usando); con un 5 hay 6 × 5 = 30 (pues uno de los n´ umeros
restantes ser´ıa un 2
y los otros ser´ıan 1); con un 6 habr´ıa 6. En total en este caso hay: 10 − 90 − 30 − 6 = 10 − 126. 5 5 ∗ k = 5. Aqu´ı nos conviene m´as contarlos directamente (pues ya podr´ıa haber dos 40 s) y suponer que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 (y despu´es multiplicar por lo necesario para revolverlos). Vemos que si los dos primeros son 1, entonces los otros tres suman 9, as´ı que s´olo hay
una 5 posibilidad (con los ai ≤ 3): la sucesi´on (1, 1, 3, 3, 3) y sus permutaciones que son 2 = 10; si los primeros son 1, 2, 2, entonces los otros dos
deben sumar 6 y la u ´nica posibilidad es
5 3 (1, 2, 2, 3, 3) que, con sus permutaciones, nos da 2 2 = 30 posibilidades. Si a1 = 2, entonces la u ´nica sucesi´on es (2, 2, 2, 2, 3) que tiene 5 permutaciones. En total son 45 sucesiones. ∗ k = 4. Lo hacemos como el caso anterior, contando las sucesiones (a1 , a2 , a3 , a4 ) con a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 . En este caso no puede haber ning´ un 1 pues los otros 3 n´ umeros sumar´ıan 10, lo que implicar´ıa que alguno de ellos es 4 (o m´as). Entonces la u ´nica posibilidad es (2, 3, 3, 3), y el n´ umero de posibilidades es 4. ∗ k ≤ 3. Estos casos ya no aumentan la cuenta pues alguno de los ai forzosamente es mayor o igual que 4. El total de sucesiones de longitud 11 que tienen 4 o m´as ´aguilas o soles seguidos es:






211 − 2 10 + 10 + 10 + 10 − 8 + 10 − 49 + 10 − 26 + 45 + 4 10 9 8 7 6 5 = 211 − 2 210 −

10 4




−

10 3




−

10 2




−

10 1




−

10 0





− 134

= 2(210 + 120 + 45 + 10 + 1 + 134) = 1040. La probabilidad de que haya 4 o m´as a´guilas o soles seguidos es

1040 2048

> 12 .

10.25 Ejemplo. Cuando se tienen muchos datos acerca de algo, es necesario organizarlos, describirlos y resumirlos. Por ejemplo, si se quiere describir qu´e afecta al determinar el precio de una casa, hay varios factores a considerar: el n´ umero de metros cuadrados de terreno, el n´ umero de metros cuadrados de construcci´on, el n´ umero de rec´amaras, la localizaci´on, la antig¨ uedad, el tipo de construcci´on, etc. Sin embargo, muchos de estos datos pueden estar relacionados, es decir, tener correlaci´on, digamos, positiva (como pueden ser el 103

n´ umero de metros cuadrados de construcci´on y el n´ umero de rec´amaras). La idea es tratar de no repetir al dar una f´ormula para dar el precio. Para empezar, se puede pensar que cada metro cuadrado de construcci´on aumenta una constante el valor de la casa. Sin embargo estos valores no son precisos, es decir, una casa puede valer m´as o menos que la f´ormula que se tuviera; podr´ıa observarse, por ejemplo, que el 70 % del valor de la casa depende s´olo del n´ umero de metros construidos. Se hace entonces un an´alisis de varianza, es decir, se hace una hip´otesis nula de que ninguna de las variables afecta la respuesta y, si el valor p es menor que .05, se tiene que alguna de las otras variables debe ser explicatoria. Finalmente podr´ıa tenerse una f´ormula del estilo: P = 190c + 10t − 25d − 24r + 65, en la que 1000P es el valor de la casa, c es el n´ umero de metros cuadrados construidos, t es el n´ umero de metros cuadrados del terreno, d es la distancia al centro de la ciudad, r es el n´ umero de rec´amaras (que aparece con signo negativo por lo que explicamos al principio de su relaci´on con c y, en caso de que r sea grande es porque las rec´amaras son m´as peque˜ nas y eso es una indicaci´on de menos lujo). Con esta nueva f´ormula ya se tendr´ıa, por ejemplo, que 78 % del valor de la casa est´a explicada por las variables c, t, d y r. 10.26 Nota. Como vimos en el ejemplo anterior, cuando se va a hacer una evaluaci´on de algo, por ejemplo mediante una encuesta, hay que tener en consideraci´on las repeticiones. En muchas ocasiones hemos resuelto encuestas, por ejemplo, sobre evaluaci´on de personas o de alg´ un servicio, en las que los datos importantes no se preguntan y, sin embargo, hay otros datos que tienen impl´ıcita la respuesta de otros. Tal vez una encuesta con muchas preguntas, incluso repetitivas, no sea mala; lo que puede ser muy malo es la forma de analizar los datos. Como hemos visto, la estad´ıstica puede ser muy u ´til, pero tambi´en se presta a que se use de manera inadecuada. Muchos datos estad´ısticos no pueden dar una respuesta absoluta porque, como hemos dicho, pueden tener una o varias variables ocultas. En muchas ocasiones se trata de usar el promedio sin hacer un an´alisis de su significado. Un ejemplo chusco ser´ıa decir que la persona promedio tiene un ovario y un test´ıculo (la variable oculta ser´ıa no distinguir el sexo de las personas). Damos a continuaci´on algunos ejemplos de mal uso de la estad´ıstica. 10.27 Ejemplo. Un anuncio de una escuela dice que los egresados de ella en promedio ganan m´as dinero que el resto de la poblaci´on. No miente pero una variable oculta es que dos de los estudiantes de esa escuela fueron Bill Gates y Paul Alan. 10.28 Ejemplo. Una escuela dice que tiene atenci´on personalizada porque sus grupos constan en promedio de 4 alumnos. No miente pero resulta que hay 48 salones con 2 alumnos y un sal´on con 100 alumnos; as´ı, de los 196 alumnos de la escuela, m´as de la mitad tiene la experiencia de estar acompa˜ nado con otros 99 alumnos. (En un caso as´ı es m´as u ´til la mediana.) 104

Otra forma de malinterpretar los datos, y que nos pasa con frecuencia, es que la gente que nos rodea tiende a ser, de alguna manera, parecida a nosotros; esto nos da una visi´on parcial del mundo; por ejemplo, de c´omo piensa la gente en general. Tambi´en muchos de nosotros leemos peri´odicos que tienen una idea pol´ıtica similar a la nuestra y esto nos da una idea distorsionada de la realidad o del pensamiento general de la gente. 10.29 Ejemplo. Hay datos de que en cierto pa´ıs hay mucha violencia y, por tanto no nos atrevemos a viajar ah´ı. Despu´es nos enteramos que el n´ umero de muertes por accidentes automovil´ısticos es 4 veces m´as alto que el de las muertes en ese pa´ıs. El problema aqu´ı es que los medios de comunicaci´on destacan las noticias que llaman la atenci´on y no las cotidianas. Todo esto puede ser, simplemente, falta de interpretaci´on correcta de los datos estad´ısticos por nuestra parte pero tambi´en hay reportes que se hacen de manera tendenciosa voluntariamente (incluso sin mentir). 10.30 Ejemplo. Se reporta que una cierta medicina se le dio a 25 personas y que 20 de ellas se curaron; sin embargo la medicina no sirve y lo que pasa es que se hicieron muchos experimentos con grupos de 25 personas y s´olo se report´o el que daba n´ umeros favorables para el laboratorio que la vende. Un ejemplo parecido al anterior es el siguiente: 10.31 Ejemplo. Un corredor de bolsa puede cometer un fraude por Internet como sigue: Le anuncia a 1 024 000 personas que cierta acci´on en la bolsa subir´a la siguiente semana y a 1 024 000 que la acci´on bajar´a. Al cabo de la semana, a una mitad del grupo al que le dijo lo que en efecto ocurri´o, le pronostica que otra acci´on subir´a y a la otra mitad le dice que bajar´a; as´ı sucesivamente, va dividiendo al grupo en que va acertando en dos del mismo tama˜ no, a la mitad le hace una predicci´on y a la otra mitad, la contraria. Al final de 8 predicciones, con 1000 personas habr´a acertado todas las veces y con ello las convencer´a que inviertan su dinero con ´el. 10.32 Ejemplo. Se nos puede anunciar que una inversi´on es muy redituable y se nos muestra la siguiente tabla. El incremento real es de 0.5 % mensual pero la gr´afica da la idea de que cada mes se duplica la inversi´on; aqu´ı el error es que en el eje vertical la distancia de 0 a 1000 est´a desproporcionada con respecto a la de los dem´as. 1020 1015

1010 1005

1000

105

10.33 Ejemplo. Dependiendo de la idea que se quiera dar, se pueden presentar dos gr´aficas que dicen los mismos resultados pero que, sicol´ogicamente, dan ideas diferentes; por ejemplo, podr´ıa plantearse una disminuci´on de impuestos al salario dependiendo del rango de salario, indicando en el eje x salarios menores a $5 000, en el rango de $5 000 a $10 000, etc.; sin embargo en el eje y en la gr´afica de la izquierda se presentar´ıa el porcentaje de ahorro, dando la idea de que todos los salarios tienen aproximadamente el mismo ahorro, mientras que en la gr´afica de la derecha se indicar´ıa la cantidad de pesos ahorrados cada periodo, mostrando que los que tienen salario mayor ahorrar´ıan m´as. 1000

3 2

500

1 0 35

0 35

10.34 Ejemplo. Otra propaganda que puede conducir a una idea err´onea es, por ejemplo, decir que quien ingiere determinado alimento regularmente tiene un riesgo 30 % mayor de tener un infarto que quien no lo ingiere. Para analizar el verdadero valor de una afirmaci´on as´ı hay que conocer cu´al es el riesgo de quien no lo ingiere; por ejemplo, si ´este dice que 10 personas de cada mill´on tienen esa enfermedad, entonces el riesgo de los que ingieren el alimento es de 13 sobre un mill´on, lo cual es no relevante. 10.35 Ejemplo. Otro estilo de distorsi´on es la extrapolaci´on. Por ejemplo, si se dice que la tendencia de crecimiento de la poblaci´on mundial actual es de 1.3 % anual y se piensa que continuar´ıa as´ı, entonces para el a˜ no 3000 habr´ıa 2 441 000 000 000 000 habitantes, lo que significar´ıa que habr´ıa 20 personas por metro cuadrado en la Tierra. 10.36 Ejemplo. Tambi´en con extrapolaci´on, analizando de 1900 a 2000 los mejores tiempos en que un corredor hace 1500 metros, se ver´ıa que esto se aproxima a una recta y, calculando el valor en el a˜ no 2600 resultar´ıa que el corredor lleg´o a la meta antes de salir. 10.37 Ejemplo. El punto de vista bayesiano es que tenemos una idea del mundo y, con base en ella juzgamos de manera diferente resultados estad´ısticos iguales. Analicemos, por ejemplo, las siguientes situaciones: ∗ Se nos dice que alguien es un music´ologo experto; le damos 5 veces a distinguir entre una pieza de Mozart y una de Haydn y las 5 acierta. ∗ Una persona dice que distingue la marca de dos refrescos similares. Hace el experimento 5 veces y acierta. ∗ Una persona dice que puede predecir si al lanzar una moneda al aire caer´a a´guila o sol. Se le hace la prueba 5 veces y acierta. En la primera prueba quedaremos convencidos que el music´ologo es realmente experto; 106

en el segundo caso seremos m´as esc´epticos y, en el tercero aseguraremos que fue casualidad. Tambi´en, si vamos a una tienda de magia y se nos da una moneda no equilibrada, si la lanzamos 4 veces y tres de ellas sale a´guila nos formamos la idea de que la probabilidad de que salga a´guila es 34 ; si la lanzamos dos veces m´as y sale un a´guila y un sol, entonces modificaremos nuestra idea y pensaremos que la probabilidad de que salga ´aguila es 23 . 10.38 Ejemplo. Otra idea interesante que muchas veces no se toma en cuenta y que nos hace entender mal una situaci´on es la de tendencia a regresar al promedio. Por ejemplo, supongamos que tenemos una gripa y que un amigo nos ofrece un remedio para sentirnos mejor; lo m´as probable es que, sin hacer nada, pronto mejoremos (regresamos a nuestro estado normal) pero nosotros decimos que fue gracias al remedio. Otro ejemplo es que un basquetbolista un d´ıa mete 20 % m´as canastas en un partido; su entrenador lo felicita y, en el siguiente partido juega peor; el entrenador decide que la felicitaci´on le hizo da˜ no, as´ı que ahora decide rega˜ nar a sus jugadores lo cual tiene efecto positivo despu´es de que un jugador juega mal, por el mismo principio. Un tercer ejemplo en este sentido es cuando se invierte en un determinado bien porque ha venido aumentando su valor e, inmediatamente, despu´es de hacer la inversi´on, el bien baja de valor (¡se culpa a la suerte!). 10.39 Ejemplo. Muchas veces o´ımos lamentos diciendo que estamos muy mal en relaci´on con a˜ nos pasados pues tal o cual cosa ten´ıa un precio mucho menor que ahora. Quejas as´ı s´olo tienen sentido si se hace una evaluaci´on comparativa entre salarios (por el mismo trabajo) y costos al consumidor a trav´es del tiempo. El ´ındice de precios y cotizaciones, IPC, analiza la variaci´on de los precios y servicios al consumidor. La canasta b´asica es un conjunto de objetos y servicios que se consideran b´asicos en una ´epoca determinada. Se busca que las cosas elegidas dentro de la canasta b´asica sean siempre equiparables aunque, desde luego, deben ir cambiando conforme cambian las necesidades de las personas a trav´es del tiempo. El distinto costo de esa canasta b´asica es lo que determina la inflaci´on. Tratando de tener un valor de referencia fijo muchas cosas legales se indican a trav´es del IPC. ´ 10.40 Nota. Una observaci´on muy sorprendente es la ley de Benford. Esta establece que en listas
arbitrarias de datos estad´ısticos, el primer d´ıgito d aparece con la probabilidad log10 1 + d1 ; esto es, como primer d´ıgito el 1 tiene una frecuencia de 30.1 %, el 2 de 17.6 %, el 3 de 12.5 %, el 4 de 9.7 %, el 5 de 7.9 %, el 6 de 6.6 %, el 7 de 5.8 %, el 8 de 5.1 % y el 9 de 4.6 %. Esto es cierto para asuntos econ´omicos, ´areas de lagos o de ciudades, tama˜ nos de poblaciones, etc. Desde luego, no es cierto para n´ umeros escogidos aleatoriamente, para n´ umeros de tel´efono, etc. 10.41 Ejemplo. A continuaci´on se muestra una tabla en la que se empieza con 2 (elegido arbitrariamente), se le suma 3 % (tambi´en arbitrario), al resultado se le suma 3 % (del resultado) y as´ı sucesivamente; s´olo se muestra la parte entera del resultado. Hay 400 n´ umeros (tambi´en esta cantidad fue elegida en forma arbitraria), de los cuales 117 empiezan con 1, es decir, el 29.25 %.

107

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10 12 12 13 13 13 14 14 16 16 17 17 18 18 19 21 22 23 23 24 25 25 29 29 30 31 32 33 34 38 40 41 42 43 45 46 52 53 55 56 58 60 62 69 72 74 76 78 80 83 93 96 99 102 105 108 111 125 129 133 137 141 145 150 169 174 179 184 190 195 201 226 233 240 247 255 263 270 304 313 323 333 343 353 363 409 421 434 447 460 474 488 550 566 583 601 619 637 656 739 761 784 807 831 856 882 993 1023 1053 1085 1117 1151 1185 1334 1374 1415 1458 1502 1547 1593 1793 1847 1902 1959 2018 2079 2141 2410 2482 2556 2633 2712 2794 2877 3238 3336 3436 3539 3645 3754 3867 4352 4483 4617 4756 4898 5045 5197 5849 6024 6205 6391 6583 6781 6984 7861 8096 8339 8589 8847 9113 9386 10564 10881 11207 11543 11890 12246 12614 14197 14623 15062 15513 15979 16458 16952 19080 19652 20242 20849 21474 22119 22782 25641 26411 27203 28019 28860 29725 30617 34460 35494 36559 37655 38785 39948 41147 46311 47701 49132 50606 52124 53687 55298 62238 64106 66029 68010 70050 72151 74316 83643 86153 88737 91399 94141 96965 99874 112410 115782 119255 122833 126518 130313 134223 151069 155601 160269 165077 170030 175130 180384 203024 209115 215388 221850 228505 235361 242421

2 3 4 6 8 11 14 19 26 35 47 64 85 115 154 207 279 374 503 676 909 1221 1641 2205 2964 3983 5353 7194 9667 12992 17461 23466 31536 42381 56957 76545 102871 138250 185796 249694

3 3 5 6 8 11 15 20 27 36 49 65 88 118 159 213 287 386 518 696 936 1258 1690 2271 3053 4102 5513 7409 9958 13382 17984 24169 32482 43653 58666 78842 105957 142397 191370 257185

3 4 5 6 9 11 15 21 28 37 50 67 91 122 164 220 295 397 534 717 964 1295 1741 2340 3144 4225 5679 7632 10256 13784 18524 24895 33456 44962 60426 81207 109135 146669 197111 264900

Lo que pasa en el ejemplo anterior puede explicarse como sigue: Es una serie geom´etrica en la que se va multiplicando por 1.03; cuando el n´ umero empieza por 1, al sumarle su 3 % (o cualquier porcentaje) cambia poco en comparaci´on con los n´ umeros que empiezan con otros d´ıgitos; por ejemplo, si a 1530 le sumamos 3 % obtenemos 1575 (diferencia de 45 con 108

el n´ umero original); si le hacemos lo mismo a 2530 obtenemos 2605 (diferencia de 75) y si se lo hacemos a 6530 el resultado es 6725 (diferencia de 195). Otra explicaci´on de la ley de Benford la encontramos en que los datos de tama˜ nos de cosas est´an acotados; cuando est´an acotados por, digamos, 500, es m´as f´acil que empiecen con cualquier n´ umero entre 1 y 4 a que empiecen con 9. Uno podr´ıa detectar un fraude en datos contables de una compa˜ n´ıa usando esta ley. 10.42 Ejemplo. Otra forma interesante de usar la estad´ıstica es para contar grandes vol´ umenes de cosas. Por ejemplo, si se quiere ver cu´antos tigres hay en la selva, se puede capturar a unos cuantos, digamos a 50, ponerles una marca en la oreja y dejarlos ir. Despu´es de un tiempo se captura otra vez a 100 tigres y se cuenta qu´e porcentaje tiene marca. Supongamos que hay 8 con marca; entonces, como la proporci´on debe ser muy parecida, si 8 ∼ 100 , de donde x ∼ 625. Con llamamos x al n´ umero de tigres de la selva, tenemos que 50 x esta misma idea se calcula el volumen de un lago: Se echa un kilo de sal, se espera a que se mezcle y se recoge un metro c´ ubico de agua; se pone a hervir hasta que se evapore toda el agua y se pesa la sal que qued´o.

10.4.

M´ etodos de elecci´ on

A continuaci´on vamos a dar ejemplos para ilustrar que ning´ un m´etodo de votaci´on entre 3 o m´as candidatos puede tener las caracter´ısticas ideales. Describiremos varios m´etodos de votaci´on y los problemas de cada uno. 10.43 Ejemplo. Supongamos que hay tres candidatos: A, A0 y B y que la poblaci´on est´a dividida en dos grupos: los que prefieren a cualquiera de A o A0 sobre B, y los que prefieren a B sobre cualquiera de A o A0 , y que la tabla de preferencias es preferencias/# personas

8

4

6

4

primero

A

A'

B

B

segundo

A'

A

A'

A

tercero

B

B

A

A'

es decir, 8 personas tienen a A en su primer lugar de preferencias, a A0 en su segundo, etc. El primer m´etodo de votaci´on es el de la pluralidad: Hay una sola ronda de votaci´on y gana el que m´as votos obtiene. Seg´ un este m´etodo ganar´ıa B con 10 votos (A tendr´ıa 8 y A0 109

tendr´ıa 4). El segundo m´etodo de votaci´on que consideramos es en el que cada miembro vota por sus dos preferidos. En este caso ganar´ıa A0 con 18 votos (mientras que A tendr´ıa 16). El tercer m´etodo, llamado m´etodo Borda consiste en dar puntaje decreciente a los candidatos: 0 al u ´ltimo, 1 al pen´ ultimo, 2 al anterior, etc. En este caso ganar´ıa A con 24 puntos (mientras que A0 tendr´ıa 22 y B tendr´ıa 20). En el ejemplo anterior vimos c´omo, con m´etodos que parecen razonables, es posible tener una distribuci´on de tal manera que cada uno de los candidatos gane en alguno de los m´etodos. Veamos m´as ejemplos. 10.44 Ejemplo. Ahora supongamos que hay 5 candidatos: A, A0 y A00 , favoritos de un grupo de votantes, y B y B 0 , favoritos de otro grupo; supongamos que la tabla de preferencias es la siguiente: votantes/candidatos

A

A'

A''

primer grupo

10

10

11

segundo grupo

B

B'

12

13

En este caso, en la tabla se indica, dentro de cada grupo, el c´omo est´an distribuidas las preferencias, es decir, dentro del primer grupo hay 10 personas que prefieren a A, 10 a A0 , 11 a A00 , etc. Con el m´etodo de pluralidad ganar´ıa B 0 . Sin embargo, veamos otro m´etodo de votaci´on: el de dos rondas: En ´este, en una primera ronda cada votantte elige a su favorito y, si ninguno tiene m´as de 50 % de la totalidad de los votos, entonces se quedan para una segunda votaci´on u ´nicamente los dos candidatos con mayor n´ umero de votos. En el caso del ejemplo ganar´ıa uno de los dos de B o B 0 (dependiendo a cu´al de los dos se adhirieran los del primer grupo) y, podr´ıamos suponer que gana B 0 . Sin embargo observemos una cosa curiosa, digamos que al principio, en lugar de que 12 del segundo grupo estuvieran por B y 13 por B 0 , la tabla fuera:

votantes/candidatos

A

A'

A''

primer grupo

10

10

11

segundo grupo

B

B'

10

15

En este caso, el mismo m´etodo de votaci´on dejar´ıa en la primera vuelta a A00 y a B 0 , y en la segunda vuelta quedar´ıa A00 como ganador (pues todos los del primer grupo votar´ıan 110

por ´el). Desde luego, no es deseable que algo as´ı pase, es decir, que el que haya sido mejor B 0 en la segunda tabla que en la primera dentro de su grupo (lo dem´as es igual) haga que pierda la votaci´on global. 10.45 Ejemplo. Otro m´etodo de votaci´on es el llamado secuencial por parejas. En ´este se ordenan los candidatos, los dos primeros se enfrentan y el ganador se enfrenta con el tercero; luego el ganador de esa u ´ltima competencia se enfrenta con el cuarto y as´ı sucesivamente. Supongamos aqu´ı que la tabla de preferencias el como sigue: preferencias/votantes

X

Y

Z

primero

A

C

B

segundo

B

A

D

tercero

D

B

C

cuarto

C

D

A

Aqu´ı hay tres votantes X, Y y Z y, por ejemplo, el votante X tiene a A como su candidato favorito, luego a B, luego a D y al final a C. Supongamos que se establece el orden de votaci´on A−B −C −D; entonces al principio se enfrentan A contra B y gana A (pues X y Y prefieren a A sobre B y s´olo Z tiene el orden inverso de preferencias); seg´ un las reglas, ahora A se enfrenta a C; aqu´ı gana C; finalmente en el enfrentamiento entre C y D ganar´ıa D. Sin embargo esto no parece razonable pues todos los votantes preferir´ıan a B sobre D (as´ı que D habr´ıa perdido desde el prinicpio si el orden hubiera sido D − B − C − A). 10.46 Ejemplo. Ahora veamos la llamada Paradoja de Condorcet, en la que se ve c´omo ninguno de los candidatos deber´ıa ganar puesto que dos terceras partes de la poblaci´on preferir´ıa a otro sobre el elegido.

preferencias/# personas

10

10

10

primero

A

B

C

segundo

B

C

A

tercero

C

A

B

Por ejemplo, si ganara A, se tendr´ıa que 20 de los 30 votantes habr´ıan preferido a C sobre A. Se llama ganador Condorcet a un candidato que podr´ıa ganar en un enfrentamiento directo contra cualquier otro candidato (no siempre hay). Se pensar´ıa que en los casos en que hubiera un ganador Condorcet, ´el deber´ıa ganar la elecci´on general (aunque es claro 111

que no siempre ocurre esto, pues en general se usa el m´etodo de pluralidad). Sin embargo, veamos el siguiente ejemplo. 10.47 Ejemplo. El ganador Condorcet puede no coincidir con el que da el m´etodo Borda (que tambi´en parece ser razonable). Consideremos la siguiente tabla: preferencias/# personas

30

10

10

1

29

1

primero

A

B

C

A

B

C

segundo

B

C

A

C

A

B

tercero

C

A

B

B

C

A

En el ejemplo, A es ganador Condorcet pues contra B tendr´ıa 30 + 10 + 1 = 41 mientras que B tendr´ıa 10 + 29 + 1 = 40, y contra C, A tendr´ıa 30 + 1 + 29 = 60 mientras que C tendr´ıa 10 + 10 + 1 = 21. Sin embargo, con el m´etodo Borda (ver ??) ganar´ıa B con 2(10 + 29) + (30 + 1) = 109 puntos (pues A habr´ıa obtenido 2(30 + 1) + (10 + 29) = 101 y C habr´ıa obtenido 2(10 + 1) + (10 + 1) = 33). 10.48 Ejemplo. Otro m´etodo com´ unmente usado es el de hacer varias rondas y en cada paso ir eliminando al que obtiene menos votos. Este m´etodo se us´o en la elecci´on del lugar para los juegos ol´ımpicos del a˜ no 2000 y los votos que se fueron obteniendo son los siguientes: ciudades/rondas

1o.

2o.

3o.

4o.

Pekín

32

37

40

43

Sidney

30

30

37

45

Manchester

11

13

11

-

Berlín

9

9

-

-

Estambul

7

-

-

-

Como vemos en el ejemplo, gan´o Sidney a pesar de que en cada una de las votaciones previas Pek´ın hab´ıa obtenido m´as votos. 10.49 Ejemplo. Examinemos ahora tambi´en una manera de evaluar tres f´abricas A, B y C, poniendo a trabajar 5 m´aquinas de cada una y contando el n´ umero de d´ıas que duran antes de fallar. En la tabla se ve, por ejemplo, que la primera m´aquina de A dur´o 1137 d´ıas sin fallar, la segunda 993, etc.

112

fábricas/máquinas

1

2

3

4

5

A

1137

993

472

256

207

B

1088

659

493

259

238

C

756

669

372

240

202

Una forma para evaluar las f´abricas ser´ıa asignarles el orden de duraci´on de d´ıas, por ejemplo, dar´ıamos el n´ umero 1 a la m´aquina 1 de la f´abrica A porque es la que m´as d´ıas dur´o trabajando, luego tendr´ıa el n´ umero 2 la primera m´aquina de la f´abrica B, etc. De esta manera, la ganadora ser´ıa la que obtuviera menos puntos, en este caso, A. fábricas/máquinas

1

2

3

4

5

suma

A

1

3

8

11

14

37

B

2

6

7

10

13

38

C

4

5

9

12

15

45

Pero observemos otra vez que el haya participado la f´abrica C en la evaluaci´on cambi´o las cosas pues, sin ella la numeraci´on habr´ıa sido la siguiente, y entonces habr´ıa ganado B. fábricas/máquinas

1

2

3

4

5

suma

A

1

3

6

8

10

28

B

2

4

5

7

9

27

10.50 Observaci´ on. Como vimos en los ejemplos anteriores, a pesar de que un determinado m´etodo de votaci´on nos puede parecer razonable, sus resultados no siempre lo son pues no se da alguna de las siguientes tres condidiones deseables: ´ ∗ Condici´on pareto. Esta establece que ser´ıa deseable ir de acuerdo al consenso, es decir, no deber´ıa ganar un candidato si alg´ un otro es preferido sobre ´el por los dem´as votantes (como ocurr´ıa en el m´etodo de la votaci´on secuencial por parejas o usando el m´etodo de Borda en ??). ∗ Mejor debe ser mejor. En esta condici´on se pide que el tener m´as votos de preferencia no perjudique al candidato (como ocurr´ıa en ?? con el m´etodo de dos rondas). ∗ Irrelevante debe ser irrelevante. Aqu´ı lo que se pide es que un candidato que no es favorito no deber´ıa alterar la votaci´on de los mejores (lo cual ocurre en el m´etodo de pluralidad ?? o, como vimos, en la elecci´on de las f´abricas).

113

Como vimos en los ejemplos, ninguno de los m´etodos descrito satisface las tres condiciones. El teorema de imposibilidad de Arrow establece que no existe ning´ un m´etodo que contemple las tres condiciones simult´aneamente (es decir, con cualquier m´etodo que se proponga, se puede dar una tabla de preferencias en la que alguna de las condiciones falle).

10.5.

Estimadores.

10.51 Ejemplo. En la 2a Guerra Mundial los Aliados quer´ıan analizar la fuerza de la armada alemana; hab´ıan capturado algunos tanques y observaron que los n´ umeros de serie de ellos parec´ıan tener numeraci´on consecutiva, empezando con 1, y que ´este iba de acuerdo a la cronolog´ıa de construcci´on. El problema general es el siguiente: Supongamos que hay n objetos numerados y que al azar tenemos un subconjunto de ellos. A partir de los n´ umeros de la muestra ¿se puede estimar el valor de n? Cualquier m´etodo de soluci´on (o intento de soluci´on) de esto se llama estimador. Veamos varios estimadores. Supongamos que la muestra es {68, 35, 38, 107, 52}. Estimador de la media. Considerando que el promedio de cualquier muestra se pa= n(n+1) = n+1 , podemos estimar que n+1 ∼ rece al promedio total, que es 1+2+···+n n 2n 2 2 68+35+38+107+52 = 60, de donde n ∼ 119. Este estimador tiene un grave defecto: podr´ıa 5 dar un n´ umero menor que alguno de los n´ umeros de la muestra, lo cual ser´ıa un absurdo (por ejemplo, si se agrega al subconjunto dado el n´ umero 300, entonces el nuevo promedio es 600 = 100, de donde obtendr´ıamos que n ∼ 199 < 300). (Es claro que si hubi´eramos estimado 6 ∼ a la mediana, habr´ıamos tenido el mismo problema). que n+1 2 Estimador de m´axima probabilidad. Otro estimador que podr´ıa parecer razonable es tratar de maximizar la probabilidad de haber encontrado el subconjunto dado (la cual es
n 1 ), es decir, buscando para qu´e n el n´ umero 5 es m´ınimo, pero esto es claro que se (n5 ) alcanza con lo m´as chico posible de n y, considerando tambi´en que debe ser mayor o igual que el mayor n´ umero del subconjunto encontrado, tendr´ıamos que n = 107. Sin embargo esto no resulta razonable pues es poco probable que el subconjunto encontrado contenga precisamente al mayor de los n´ umeros del conjunto. Para cada estimador se puede calcular su esperanza, es decir, pensar que el experimento se repite de manera que todos los sucesos est´en considerados; luego, cada vez se toma el valor que da el estimador y despu´es se toma el promedio de todos esos valores. Un estimador se llama imparcial si su esperanza es la correcta; por ejemplo, el estimador de la media es imparcial, pero el de la m´axima probabilidad no lo es (pues es claro que el promedio de todos los m´aximos elementos de los conjuntos de 5 elementos no coincide con el promedio total: n+1 ). Se busca entonces un estimador imparcial pero que no tenga el defecto del de la media, 2 es decir, que en ning´ un caso d´e un valor absurdo (que el mismo conjunto escogido est´e fuera del rango que da el estimador). 114

10.52 Proposici´ on. El estimador φ siguiente es imparcial y nunca da respuesta falsa. Dado un subconjunto S = {x1 , x2 , . . . , xk } de {1, 2, . . . , n}, suponiendo que xk es su elemento mayor, φ est´a definido por k+1 φ(S) = xk − 1. k Demostraci´on. Primero observemos que nunca da un valor falso, es decir, que xk ≤ lo cual es equivalente a kxk + k ≤ kxk + xk , que, a su vez, es equivalente a k ≤ xk , lo cual es claro. k+1 xk − 1, k

Ahora veamos que es imparcial. Conviene analizar
primero un ejemplo. Supongamos que 4 n = 5
y k = 3. Entonces 5 es elemento mayor en = 6 subconjuntos, 4 es elemento mayor 2
3 2 en 2 = 3 conjuntos y 3 es mayor en 2 = 1 conjuntos. Entonces, en 6 conjuntos el valor del estimador es 34 · 5 − 1, en 3 conjuntos el valor del estimador es 43 · 4 − 1 y en un conjunto el valor del estimador es 43 · 3 − 1. El promedio de todos los valores del estimador es       4 4 4 ·5−1 +3 ·4−1 +1 ·3−1 6 3 3 3
5 3

=

4 (30 + 12 + 3) − (6 + 3 + 1) 60 − 10 3 = = 5 = n. 10 10

Ahora s´ı, hagamos el caso general. Usaremos las siguientes dos f´ormulas de combinatoria:     n n−1 n = y r r−1 r         n n n n+1 + + ··· + = ; r r+1 n r+1
n! la primera se demuestra directamente de la definici´on nr = r!(n−r)! ; para la segunda, observar que para escoger un conjunto de r+1 elementos dentro del conjunto {1, 2, . . . , n+1} podemos fijarnos en cu´antos conjuntos contienen a un determinado elemento como elemento mayor del conjunto (como se hizo en el ejemplo aqu´ı arriba). Queremos probar que   n  r k+1 1 X
(r + 1) − 1 = n n k−1 k k r=k−1 Esto equivale a probar que     n  X r r+1 1 n n − = , k−1 k k+1 k+1 k r=k−1 115

lo cual ocurre si, y s´olo si,     n  n  X r n n r+1 1 X = , − k + 1 r=k−1 k − 1 k+1 k k r=k−1 y esto a su vez es cierto si, y s´olo si,       n+1 1 n+1 n n − = , k+1 k+1 k k+1 k o, equivalentemente, 

n+1 k+1



  n+1 n = , k+1 k

el cual es cierto. ♦ 10.53 Ejercicio. Probar que el estimador de la media es imparcial, es decir, probar que si 0 ≤ k ≤ n son naturales y para cada subconjunto de {1, 2, . . . , n} con k elementos se toma el promedio de sus elementos y despu´es se toma el promedio de todos estos promedios, entonces el resultado es n+1 , el promedio de los elementos del conjunto total. (Sugerencia. 2 Considerar cu´antas veces aparece cada elemento en la suma total al evaluar el promedio de los promedios.)

116