Problemas de cálculo diferencial e integral José Ventura Becerril Espinosa Jaime Grabinsky Steider Judith Omaña Pulido Cutberto Salvador Romero Meléndez Coordinación: Marina Salazar Antúnez

Básicas

LNMRSlDAO ~ AUlOOOMA .

~U1ANA

-2%+ ' -\

• -x-'-1>2 11 . Expresar, con la ayuda de intervalos, los números reales que satisfagan la concliciólI dada: • -2.1 < x ::; 4.31

< -x::; 3.42 • -2. 1 < x-2::; -1.9 • 3.41

• I-

5"

+ 81 < 0.4

• 4.29 < 3 - x ::; 4.31 • 2

< .~ , ::; 5

• 12x -

1I ::; 0.02

• 1:" - 81~ 0.2 12. En cada una de las afi rmaciones sigu ielltes indique cual de las proposiciones son verd aderas:

• P ara cualquier número real x::; x

3

,

x ::;

2x,

Ixl ::;

1 + Ixl ::; (1 +

x

2

x::;

,

Ixl,

Ix!)2

• Para a cualquier número real x, tal que O < x < 1, se tiene 1

x 1

J diferenciable en

x = I?

= -3x + 2 Y g( x) = 2x + I

o Si JI (x) = J( x )+g( x), encontrar una fórmula para j( (x) y ver ificar la regla de la suma para la deri vación, comparando J('(x) con

J'( x)

+ g'(x) .

o Si J(:t) = J(x) - g(x), determin ar una fórmula para J (x) y compa rar J' (x) CO Il J' (x) - g'(x) .

8. Sea ,'( 1.) 9. Si J (x)

= 2t = 5x -

4. Si 8( t) 3 Y g(x)

= 3,·(t), verificar que 8'(t) = 3[r'(t)J. = -2x + 1, encontrar la der ivada de J(g(x)).

Basándote en tu res puesta a nterior, hacer

Ull a

conj et ura acerca de la

deri vada de la comp osición de dos fun ciones lin eales. 10. Si "( x)

= J(x) + 2g(x) + 3,

J'(x)

= g(x)

y g'(x)

= "(x),

expresar

o ,'>(x) en términos de J(x) y g(x) o J'(x) en térm inos de J(x) y ,.(x) 11. Enco ntrar la derivada de las fun cion es siguientes: . y =:r 12

• y = x- 12 o y = X'/3 o ¡( x) = ; . o

J (x) = yIX

o

J( x)=x' y = 4x 3 /' -

o

o y

= 6x 3

5Xl /2

+ 4x' -

2x

25

" y = 3t2 +

.

2;1

• y =

x

" y=

Te

12 7t

_

l t'

" w = (t3

+ 5t 2 + t)(t2 -

" ¡ (,.C) --

2+3x+4x 2

7/

+ 2)

I tx

" ¡ (x) -- ~ 5:c 2 +7x " ¡ (x) = (X 5 + 1)12(X' + 3)6 12. Si ¡(t) = 2/ 3

-

4t' + 3t -

1, encontrar dJ}/) y d'1.í t )

13. Si ¡(:e) = :"7 + 5:"' - 4:e3 deri vada de f.

+ 6:" -

7, encuentra la séptima y la octava

14 . La gráfica de la ecuación y = x 3 - 9X2 - 16x + 1 tiene una pendiente igual a 5 e n dos pu ntos exact amente. Encontrar las coordenadas de esos

pUU LOS.

15. Si ¡ (x) = 13 - Sx

+ V2X2

y /' (,') = 4, encontrar

'o.

16. ¿Para qué puntos ell el domillio de la fun ción ¡(x) = x 4

-

4x 3 es la

fun ciólI decreciente y có ncava haci a arriba a la vez?

17. Si ¡ (x) = 4x 3 + 6X2 - 23x /, (x) ::=: 1.

+ 7, e ncontrar

los in tervalos en los cuales

18. Encuentra /,(x) para las siguientes fun ciones, utilizando la regla del producto para deri vadas y sin realizar la multiplicación:

¡(x) = (x - I )(x - 2), ¡ (x)

=

(x - I)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

19. Encuentra la deri vada de

" ¡(x)

=

(x

+ 1)99

" ¡ (x)=~ " w=(/t+ I )IOO

26

¡(x) = (x - I )(x - 2)(x - 3),

• k(x) = (x'~ I)' • h(x) = 2+4V4 ~

• h(t ) = (1 2t 3

-

4t )( W

5 • J(s) = V 3';-,; .' - 3s

•

W

=

+ 5t )

+ 2s

(t2 + 3t)(1 - 2t )9

20. Dados: 1"(2)=1, F(4)=3, F'(2)=5, F'(4)=7, G(4 )=2, G(3)=4, G'(4)= 6 y G'(3)=8, o btene r:

• H(4), si H(x)= F(G(x)) • H'(4), si H(x) =F(G(x)) • H(4) , si H(x)=G(F(x)) • H'(4) , si H(x)= G(F(x)) • H' (4), si H(x)= F(x) / G(x)

27

GRÁFICAS l . ¿Bajo qué condiciones para a, b, y c la [unción

J{ x) = x 3

+ ax' + bx + e

es creciente en todos lados? 2. Encontrar aualíticame nte los intervalos en los cua les la [unció n x

J{ x) = x'

+ 50 + 525

es creciente o decreciente.

3 . Bosquejar la g ráfica de J{x) = 2x 3

-

9x'

+ 12x + l.

4. Supóngase que una [un ció n [ tien e exactamente un punto crítico en x = 3. En los puntos siguientes se dan cond icio nes adicionales . En cada caso decidir cuá ndo x = :3 es un máximo local, un mínimo local, o ninguno de los dos. Exp licar el razonamiento seg uido . Bo~qu ej ar posibles g rá fi cas para los cua tro casos:

• 1'(I )=3y 1'(5)=- 1 • limx_+~ J( x) = +00 Y limx__ ~ J(x)

= +00

• J(l) = 1, J (2) = 2, J(4) = 4, J(5 ) = .5 • 1'(2) = - 1, J(3) = 1,

lil1lx_+~

J(x) = 3

Para los seis problemas siguientes bosquejar ULla posible gráfica de y =

I(x), utilizando la informació n dada acerca de la derivada de y = J( x). Su po ner que la fun ción está definida y es cont iuua para todo x E R.

~\)O

5. (

(

";1"'0

~\\

.. o

~" O

I

~x.

~'ko

'!j'\~O

~'=O

:y1?O

-<

~\\:> O

I

;x.

~

~"=.o

8.

.,' 0, muest ra. que p(x) t.ie ne un llláxinlO local

• Si

,

~\l>O

I

'" '70

•

.-:y1?0

I

9.

10.

1

~::o

I

o(

(

~\(,O

eL

y un mÍllimo

local • Bosquejar pos ibles gráficas de p(.t: ) pa.ra diversos valu res de a.

12. Traza la gráfi ca de ¡(x) = ~X3

-

2x" + 3x

+2

29

13. Para cada una de las fun ciones siguientes determillar: los intervalos en donde es creciente, los iniervalos en dOllde es decreciente, los intervalos en donde es cóncava hacia arriba, los in tervalos en doncle es cóncava hacia a baj o, los puntos en donde alcanza sus máximos locales y mínimos locales, los puntos en donde cambia su concavidad y un bosquejo gráfi co.

• J(x)=x3-3x+3 • J(x)=x'-32:r+48 • J (:r )= X2/3 • g( :r) = 3:[' - 4,,3 • J(x)=X2+~

30

!(cs u e l va la s sig ui e ll t es u esig ualuaues

1.-

X'+1

2. -

--- -1

3. -

X' + X

>

X" + O

x -1 2 . - 11m + I 2x-x , x+1 3 . - 11m x-+-

11. - 11m I

x-.. - co

-1

,Ix' + 4

g(X)=- ~ x

"7:1 1n+T -

h->o x

~ - 1 1

10. - lím

t +o

32

1

h

8.- lím

x-++ co

x -9

x-4

7 . - 1im

9 . - 1ím

,

x' - 9

1

x'

v

A

i

1

x'

x,

(i -

1) t

t

)

ve rticales y horizonta l es de la función

8-4rx

6. - lím

x+o

6,fX:Z

14.- De t e rmillar las asíntotas

X-++ oo

X-+ - oo

/X- 2 x-4

11m (~---

x-> 3

4 .- 11m x- /x' +l

5. - lim x+4

1 2 . - 1ím x+4 13. -

x+4

oo

, x +5x _ x

x x-2

FUNCIONES

* Un tractor Cuesta $120,000 y cada año se devalúa 8% de su precio original. Encuentre una fórmula para el valor V del tractor después de t años.

* La compañía 2-K el robo perfecto tiene capacidad para pr~ ducir de O a 100 refrigeradores diarios. Los gastos fijos de la planta son de $2200,

el material y mano de obra pa-

ra producir un refrigerador es de $151, escriba

una fór-

mula para el costo total de producir X refrigeradores al día.

* Una agencia de renta de automóviles cobra $60 diarios por el alquiler de un automóvil, más

$.40 por Km.

a) Escriba la fórmula del costo total de la renta por día b) Si usted renta un carro por un dia, ¿Cuántos kilómetros podria recorrer por $220?

* De acuerdo con la le y de Boyle, la pre sió n p (en libras

por pulgada cuadrada) y el volumen v (en pulgadas cúbicas) de cierto gas satisfacen la con dición pv = 800. ¿Cuál es el rango de valores posibl es de la presión, dado que ~ v~

1 00

200?

* La relación e ntre la temperatura Farenheit F y la temperatura Celsius C es tá dada por F = 32 + ~ C. Si el rango de

5 temperaturas en c ierto dia va de la minima 70"F a la máxima

de 90"F,

¿Cuál es e l rango de la temperatura e n g rad os Cel-

sius?

2893122

33

* Un ci r c uit o e l éctricu cu n t i e ne un a ¡,at e ri a qu e pr o po r c i una

E vo lt s , e n serie co n un a r esis t e nc ia d e R uhm s , c omo s e Ent o n ces, la corrie n te d e 1 a lll mu est r a e n la figu r a . p e r ius qu e flu ye un e l c i r c uit u suLis f ace l a l e y d e Ol,m s , E

=

11"

S i E = lUO y 25 1 .}'( x) >

U si

.

, ti ) St! desea. que Ia.s p c.í~illa.s de UII lilHO l Cllg an \111 el,le¡\. de VUU C'III. ~ CO llll.lé.u gclle s de 2 .G UII a lJ -

1/2

<

t < O

a)

f( x )

b)

f(t)

e)

g(x) -- í

=-2" f( O}

=4

entonces

(f-l}'(4)

= -1

~

U- 1 },( _e_} e - 1

Verifi que que son identidade 5 a}

sen arcos x

b)

cos 2 arctan X

c}

tan arcse n x

d}

tan 2 arc tan x

e}

sec 2 cos

-1

Xl

11

= 11 +x

= 11

x

Xl X2

- x" 2x 1

-

X2

1

= z,¡-z--=-r

57

9.-

10.-

Sin calculadora determine: a}

2 _ sen 2 arcos "3 -

b}

5 3 + arcos(IT}} sen(arcos ;;

c}

4 + arcsen (}}) } cos(arcos 5"

Obtenga

si

y esta dada por:

sen arctan e 3x

y

(sec- 1

X}3

y

;

tan 3x

. e tan

y

;

a rcsen

1 n i(T

y

;

y

;

y

;

y

y xe Y

11. -

y'

x

1

ln sen x

sec arcsen e -x 1

csc 2 3x sen "--:fX

+

y

;

sen arctan 2x

y

;

arctan cos t 3 ln(tan 2x - sec 2x)

x 2 + sen x

y

cos(x 2

2x

é en y

cot e x2

+

;

y

sen Xl +

- 1n

c .5C X

y ; 4

Verifique que l a función es decreciente para

58

;

x

>

f(x} ; O

eX eX - 1

---c:_

+

-

1)

_ tan 2x 2

xy2 - Y

+

3

x

+

1

Pr uebe que s i

13 . -

Hall ar l a ec uación de 1a recta tange nte a l a cur va en el pun to indi cado a) y b) y

14. -

=

x e- x

a

<

b entonces

e-a > e- b

12. -

2

xe x

x

=

1

x

=

3

e)

y = aretan 2x

x

= 1J/ 2

d)

Y = arcos x

x

=

1/12

e)

y

X

=

e

f)

1 Y = íi1X

x

=

2

1n x'

Sea f(x) una función tal que determinar f en términos de eX

f'( x)

f(x)

y

f(O)

1

59

, LA I NTEGRAL.

1.-

Enc uentre la suma de Riemann de f( x) ; cos x con la partición : O

2.-

METODOS DE INTE GRAC ION

<

n

"2

<

5

4" n

<

7

4" n

y

2n

<

Xl

* ; ni 4,

X3

co n n ; 5 Y x .*

1í7

n

punto med i o de l subintervalo [ x.1 - 1' X'1 ]

1

o

b)

n ; 8

,)r

r;¡r-,-¡ d. .

x.* 1

" " 5

o

Ob tenga l a derivada de l as s i guientes funcio nes:

f( x )

"j', -x

60

;

Determine el va l or aprox i ma do de l as siguientes integrales; exp rese su respuesta hasta con 5 cifras

a)

3.-

*

dw + se n¿w

h(x) =

l:~'"

2- x

l~ ""

F(x) arcse n e 2x

u + u du

o

g(w) =

t dt

o

r;

1 dt 1 +tF

1 nw

4.-

Si

f(x)

=

f

1 + t T dt

a)

Muestre que f es una función uno a uno en (- - , - )

b)

Encuentre ( f -1 )'(0)

=

si

f( 1) = O

5.-

Si la velocidad de un cohete después del despegue es x'(t) = 0.3t 2 + 4t m/sec . De termi ne la distancia que recorre en el tiempo de t = 5 sec a t = 8 seco

6.-

Efectúe la s siguientes integrales por cambio de var iable:

• dx r¡eIX

1"~O , ,'o 'o, , O,

e -1 /x x'

1

2

dx

1n x' -x- dx

1

1

61

1 n'x - - dx

x

1

IX

dt

1 - eX

1

dx

1

eX - 2

7.-

2ty'W~

e

1

IX IX=-r

- 3x

9 + e -6x

dx

1

1 + cos x

1.. ,

1

dx

dx

dx

-;'37';¡'2"-+-x""l'¡"-2

Ix+

SRn z cos z dz

e- t + 1

d,

1 - e- 2x

1

2 dt

dx

1

dx

1

2x r¡ ==e~ dx

1

IX) 5/3 dx

(1 + x

9

I ..ex _ 4 dx

¡ 3 sen z + 5

Efec túe las siguient es int egra les por partes:

1" " " d,

r::, '" ,

x esc'x dx

d,

o

1n( x ' + 4)dx

1 sen

2x + 3 d x

x 1n sen x dx

1

62

¡ x

+ 3

1 sen

IX dx

J ," ,," "

J"

e

-x2

J ,'"'' , d,

d,

dx

CQS

J

1 n x dx

a re tan x dx

x'

are sen x dx

X2

J

J

X2

Efectuar las siguientes in tegrales:

J""' " ",' " J

J

tan 3 t dt Isec t

dx sen x tan x

J ""' , ,,,' ,

d'

J ",' ",,' , d,

d,

J m'

4; d,

J ",' , "~O'

J ""' ,

,

d,

d,

63

¡",'

¡""""", ¡,'" ¡" . ¡

2, ",' 2, d,

¡'" "'"

x

"2

4,' d,

dx

1

I

Ix 2

9. -

Ir _ 4x 2

.:..::._~~

- 16

1

¡

dx

1

Efectuar l as siguientes integ rales:

2x 2 + 13x + 18 x ' + 6x 2 + 9x dx

5x 2

x3

dx

",1=;=4=- ='¡2=x=_=X·2

2x 2 + 12x + 20

2x + 5

x

dx

dx

_ 5)3/2

x dx -

ó, d,

dx

dx

x'.Jx 2

2, '"

d,

X _

+ 1 XZ

dx

{4 _

X2 ) 2

j

9x' - 36x - 30 x ' _ 5x 2 _ 6x dx

j

X· + X' + 8x' - 2x + 8 dx

x3 +

XL +

3x - S

x' - 4x+7 _

j

X2

+

X

+ 3 dx

2x' + 8x' + 8x + 18 dx x '+ + 2x 3 + X 2

j

+

X5

y

y

j

X'

+ 13x' + 18 dx

x3 + 8

X

X

~

+1

ra íz del denominador

-1

~

x· + 3x' + x3 +

raíz de l denom inador

X

+ 1 dx

X

65

APLICACIONES

1.

Calcule e l área de la región limitada por las curv as dadas:

X2 - 6x + 8

66

-

y

2.-

Y = l/ x,

3. -

Y

4.-

-2x Y = e

5. -

Y = X2 ,

6. -

y

7.-

Y = sen x,

8 .-

y

9. -

y2

10 . -

x + 2

ll . -

Calc ul e el área de 1 a el i pse

"4

12 .-

Ca l c ule el área de l círculo

X2 + y2

13.-

Ca l cule el área de la región 1 imitada por

=

y

x

y

e ,

=

=

X2 ,

=

e

y

x' ,

- 2x =

y2

x

,

=

Ixl + 1

=

1 x

O,

x

1

=

y

y

=

=

- x.

x

cos x.

y

=

2y

x

x

= O

-y

y

=

x

- n/2

=

x + 6

y2 + 4x - 12

O,

-

x

= ... e

y =

3x

8

2

x

X = 1/2,

y

x' - 12x.

y 1as rectas

11.

Y = -x 2 + 6x

1.-

=

O

_2y2 + 4

=

X2

+'

y2

ro =

=

1.

r2

y

1

Ca l cu l e la l ongitud de la curva en el intervalo dado

X2 (4 - x 2) ;72

eje x .

1I1.

1.-

Y

= 1n x

para

1

x

<

2

2. -

Y

=

para

O< x

<

4

3 .-

Y

=x

para

-

<

x

<

4

4.-

Y

= e -x

para

O

<

x

<

1

5.-

Y

= ln cos x

X2 3/2

<

5

9 -

O < x < -n - 3

para

Calcule el vo lumen del só l ido de revolución que se genera al rotar la región: x

1.-

y = e ,

2.-

y = sen x,

3.-

y = e -x

y ; 0,

4.-

Y

,

y = 1 +

5.-

Y

4X2,

6. -

Y

= e - 2x

7.-

y

8. -

Y

= arctan x,

9.-

Y

=

10. -

Y

=1

=

X2

y - O, y = O

y •

4x

Y

= O,

1n x 2 ,

X2

+

x = O,

3,

- x2 ,

x =O

x

-

al rededor del eje y

x = 1

alrededor del eje x

X2

alrededor del eje x

x = O,

= 4,

x = 1

-1

al rededor de x = 2

x =1

x =O

x' + 1,

al rededor de y

alrededor de x =-1

x =e

y = O,

y =

alrededor del eje x

1

alrededor del eje x

y • O,

Y

x

Y

alrededor de y = - 2 = O,

x = 2

alrededor de y = -1

67

IV.

Determinar si cada una de las siguientes integrales converge o no; en caso afirmativo eval uarla: 8

Vx

1" -1

o

1rx-n dx - 2

""

r

1x'e -,' dx

dx 1 1:

n 2X

2

dx /4x -

o

_ 00

2

2

1

1-dxxn n

>

X2

11 n x dx

2

o

j,:.d:

1

o

o

1

1::

1

dx

d, x/4 -

+ 4

o

_ 00

r

x 3 d,+

X2

d,

2

X

Calcule el valor aprox imado del número indicado y estime el error en la aproximación 1 n 7/9

68

1"'"'"

o

1

V.

X2

con

n = 4

con

n = 3

sen 62°

con

n ; 4

e

co n

n ; 8

cos 3°

co n

n

5

sen 89°

con

n

=3

1 1""5""

con

n

=2

e 1/8

con

n

;

3

PROB LEMAS DE APLICACIÓN 1. -

Suponga que se bombea ag ua ha c ia un tanque inicialmente vaclo, la razón de flu jo del ag ua al tanque, después de t minutos es de 50-t galones por minuto. ¿ Qué cant id ad de ag ua fluye al tanque durante la primera media hora?

2. -

Se l anza un cohete vert ic almente al aire, su velocidad t segundos des pués es v(t) ; 20t + 50 m/seg. ¿ Qué distancia recorrerá durante l os primeros 100 segundos ?

3. -

Se determ inó que en 1940, la densidad de pob l ación a t mill as de l ce n tro de l a ci udad de Nueva York era aprox i madame nte 120 e- 0 . 2t miles depersonas por milla cuadrada. Es t ime el namero de personas que vi vl an en 1940, dentro de un radio de 2 millas del ce ntro de l a c iud ad.

4. -

¿ Qué cant i dad de trabajo se debe real i zar para impulsar un saté lite de

1000 l b en dirección vertic al, desde l a superficie de l a tierra a una órbita a 1000 millas sobre dicha superficie? (Radio de l a tierra 4000 milI as.)

69

5.-

Una cadena de 20 pies pesa 5 lb /pie, yace en el s uelo. ¿ Cuánto trabajo es necesario para elevar uno de sus extremos hasta 20 pies de altura de manera que quede toda extend id a ?

6.-

Una cadena de 15 pies de lar go y que pesa 3 l b/pie está s uspendida verticalmente desde 15 pies de altura. ¿ Cuánto t ra ba jo hace fa lta para ele var toda l a cadena hasta 15 pies de al t ura ?

7.-

Hallar el trabajo necesar i o para el evar el extremo inferior de l a cade na del ejerc i c io anterior hasta 15 pies de al tura, de jando l a cadena do b1ada y en pos i c ión vertical.

8'-

Una grúa de demolición tiene una bo l a·de 500 lb suspend id a a un cable de 40 pies, cuya densidad es 0. 7 l b/p i e . Hal l ar el trabajo necesario para enro1iar 15 pies de la cadena.

9.-

El depósito de la sigu i ente figura tiene 8 pies de a1t ura.y 2 pies de ra di o en su pa r te super i or. Si se ll e na hasta una altu ra de 6 pies con un aceite que pesa 50 lb/pie', hall ar el trabajo req uerido para bombear todo es e aceite sobre el borde superior del depó s ito y

(2 , 8)

y=2x 2

x

10. -

Un depó s ito tiene la forma de un cono circ ular recto y está lleno de agua. Si l a altura del depósito es de 10 pies y el radio en l a cúspide es de 4 pi es. Enc uentre el trabajo rea li zado al bombear agua hasta el borde superior del depósito ó = 62.4 lb/pie'

11 . -

Encuentre el trabaj o r eal i zado al bombe ar todo el aceite de densidad p = 50 lb /p ie' sobre el bo rde de un recip i ente cilí ndrico apoyado sobre su base. Si el radio de la base es de 5 pies, su altura es de 10 pies y está lleno de aceite

70

2.-

Un recipiente esférico de almacenamiento tiene 12 pies de radio, la ba se del recipiente esta al nivel del sue l o. Encuentre la cantidad de trabajo rea li zado para ll enar el tanque con aceite que pesa 50 lb/pie' si todo el aceite se enc uentra al princ i pio al nive l del suelo.

3 .-

Un tanque cilíndr i co de 3 ft de radio y 10 ft de longitud yace sobre su cara lateral en un piso horizontal. Si se ll ena al principio con gaso li na que pesa 40 lb/ft', ¿ qué ca ntidad de trabaja se rea liza para bombear esta gasol in a a un punto 5 ft arriba de l tope de l tanque?

~ 4.-

Una presa tiene una compuerta vertica l en forma de trapecio que mide 8 ft en su lado superior, 6 en su base y 5 de altura. ¿ Cuál es la fuer za total ejercida sobre la compuerta si su l ado superior está 4 ft ba jo l a superficie del agua?

l5 . -

El fondo de una piscina es un plano inclinado que tiene 2 ft de profun didad en un extremo y 10 ft en el otro. Si dicha piscina mide 40 ft de largo y 30 ft de ancho. ¿ Cuál es la fuerza total que actúa sobre uno de sus laterales de 40 ft ?

16 . -

Una claraboya cuadrada en el lateral vertical de un barco mide 1 ft de l ado . Hallar la fuerza total que soporta, suponiendo que el l ado s u p~ rior del cuadrado está 15 ft bajo el agua.

17.-

Un centro de piscicultura tiene un gran tanq ue ll eno de agua co n un cristal circular lateral para poder observar el interior. Ca l cul ar l a fuerza sobre ese cristal si mide 1 ft de radio y Su centro está 3 ft bajo la i uperficie de l agua .

71

LAS FUNCIONES TRASCENDE NTES

L AS FUNCIONES TRI GONOMETRICAS l . Obte ner la equiva lencia e n ra dian es de cada uno d e los siguientes ángulos:

a) 75' b) 60' e) 735' 2. En contrar la equivalencia e ll gr-adtJs de cada los cuales es tá n med idos en radian es:

UII O

de los á ngu los s ig uientes ,

a) ~ 71" b) 4 e) 14 .3 1 3. A partir de la identidad cos(r

+ y)

= cosa: cosy -

se rl (x

+ y)

::=

se flx seny

demost rar : sena: cos y

+ se ny cos x

s ugerencia: uti lizar se nx = cos(x -~) y cosx::::: se H(x + ~) 4. Verificar que para todo ntllnero rea l x se cumple :

a) sen(7I" - x) = se 11. X

b) cos(7r - x)::::: - cosx e) seu(1r+x) = - selt z d) C05(7I"+3:)::= -cos x

e) tan( 7r

-

x)

::=

- tan x

r) tan(1r + x) ;:: ton x g)

taH( ~

- x) = cotx

73

h)

eot(~

- x) = ta"x

5. Pr obar las identidad es : 1 cos'x = 2( 1 + eos2x)

5eu'X

1 = 2( 1-

e052x)

6. Expresar sen 3x y cos 3x e n té rmiu os de .5en x y cos x. 7, Probar ta,,(x

x,-'-,+",tc::"c::""y,+ y) = .,-1t'c::"","c: - tan x tan y

, "-'Y't,m(x - y) =.,-tc."_"-,-X_-_t""'1 + tan.x tany 8. T razar la g ráfica de las s iguientes fun ciones, medi ante desplazamie ntos ho rizontales o ve rt icales, o expansiones y contr accio nes:

a) f¡( x) = -eos3x b) J,( x) = -sell(x - 1) e) /3(x)

= tseu(1 +~)

:) = ese(x' - 2x ) j ) 11O (x ) = cot(x eos2x) 12. Sea 1(x) = leos " l. l :rafi ca r J(x) . ¿8s deri vable J(x ) en to do su domini o? Jus Lin car la resp uesta . l :J. Uti liz and o técni cas de deri vación (máxi mos , mín imos, crecimiento, concavidad , e tc .) granear:

a) f¡ (x) = b) h (x)

SeH'X

= se u x2 ,

¿Es periódica?

LA FUNCIÓN INVERSA 1. Para cada un a de las fun ciones s iguie ntes de terminar e l intervalo o los inte rvalos e n dond e está de finida la fun ción inve rsa , o bte ner una ex pres ió n para e lla, si es pos ible, y obte ner la de rivada de la fun ción inversa e n e l pUIl to indicado .

a ) f¡(x)

= 3x -

4, en el pun to (1 ,- 1)

h) j, (x ) = ?l5 x - 7, en e l punto (3,2) e) j, (x )

=x

5

+ x 3 , e n el punto ( 1,2)

= / 1". ' " en el pun to (7:; , ),) J5(X) = ~, en el punto (2 ,~ )

d) 1, (x) e)

f ) J, (x) = g) h)

:l eot( ~ ) ,

en el punto (1f ,0)

= { :,+3 , : ~ : ,en e l plinto (0,3) h(x) = ;~;~~~ , e n e l punto (1 , -~)

11 (x)

2. Obte ne r la gráfi ca de la fun ción inve rsa a partir oe la g ráfi ca de la fu nció n que aparece e n e l pro blema anle l'i or)in cisos a), el), e ) , f) , g) Y h) .

3. Sea 1(x ) = x+sen x . Nótese que 1( ~ 1f) = ~~ - 1. Calcu la r (1-1)'( ~1f - 1)

75

LAS FUN C IONES TIUGONOMÉTIUCAS INVERSAS l . Defi nir las fun cio nes A 7'C O Co tang f'n te y A reo Coseca n te, g ra fi earl as a partir de las g ráfi cas de las fu ncio nes Cot a nge nte y CosccanLe. Obtener s u de ri vada medi a nte la der ivada de la Cotange nte y la CosecanLe. 2. Probar la iJ cll Lidad a retan x

x+y

+ a ret an y = a rctau ( - - - ) 1 - xy

Sugerencia: uti li za r la identidad de la tangente de la suma de dos números, siendo és tos aretan x y ardan y . 3. Probar que se cumple, pa ra x

#- O:

d

1 x

-d (ar eeolx - arctan( -)) = O x

4. Deri va r las fUll cioncs sig uie ntes:

a) ¡, (x) = al'eeos(sell JX)

= x 3 cosx 2 (t1'ccosx 2 e) h (z) = l(lll(z' + aresen3z) d) J.(l) = arcese(t)

b) h(x)

e) / ,(0) = 5en(2(I1' e5ell O)

f) /,(x ) = (areeol x')' 5. Despejar la variable x e n las s iguien tes ecuaciont's trigonométri cas: a) arcta n2y = aTeta n Xl

b) 3y - 55e1l x

+e

=6

e) cosy cos x = O

d)

v'l2Y -

e) N(x)

3 cosx' = I

= 10 + 5,n( f.¡x)

6. Reso lver las ec uacio nes siguie utes 1 es decir 1 en co ntr ar todos los números x que sat isfagan:

a) (tan x )' = 1

L) 12sE

+ 00 ¡nr

81

C. APLICACIONES 1. (Medicina) La propagación de una epidemi a de duración prolongada

está descrita por la ecuación 32, 000

P(t ) = 1 + 50e-0 1t ' en donde P(t) es el número de gente infectada t semanas después del brote de la epidemia, ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que 2000 personas lleguen a est a r infectadas? 2. El número de calculadoras verificadas diariamente por un trabajador de cierta compañía de ensamblado de calculadoras, después de t horas de entrenami ento está dado por

N(t ) = 60( 1 _

C 0

2

')

¿En cuánto tiempo probará 60 calculadoras? 3. La magnitud R de un temblor de intensidad 1, en la escala de Richter, está dada por I

R = IOglO( lo) en donde lo es una intensidad estándar (de un temblor utili zado como referencia) usada por comparación. Así , un temblor de magnitud R = 4 en la escala Ri chter significa que , o

I 4 = 10 Jo

-

así 1 = 10, 000 lo , lo cual signifi ca que el temblor que se está midiendo es 10,000 veces mayor (más intenso) que el temblor estándar usado para comparar:

• El terremoto de México de 1985 tuvo una magnitud de 8.3 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces fue más intenso que un temblor estándar? • El temblor de 1978 en Irán tuvo una intensidad de 107 .7 lo. ¿Cuál fue su magnitud en la escala Richter?

82

4. (Ecología) Como resultado de un accidente, la cantidad de gas Kriptón que una planta nuclear ha estado descargando en la atmósfera (en miles de pies cúbicos) está dada por A(t) = 3(0.98)'

con

o ::; t ::; 30

en donde t es el número de semanas transcurridas desde el accidente. ¿En cuántas semanas habrá en la atmósfera 2222.45 pies cúbicos de gas Kriptón? Graficar A(t) 5. (Absorción de la luz) Cuando un rayo de luz de intensidad {o (medida en lumens) atraviesa un medio de espesor s (medido en centímetros), la intensidad luminosa 1 del rayo emergente está dada por T -b 1 = loe

donde k es una constante que depende del medio. medio tal que k= 3

Condidérese un

• Graficar la fun ción intensidad {(5). • Encontrar la intensidad resultante de un rayo de luz de 80-lúmenes pasando a través de un medio de espeso r 4.2 cm. • Supóngase que un rayo luminoso penetra en un medio para el cllal k= 5 con una in tensi dad de 100 lúmenes. ¿A qué profundidad tendrá el rayo de luz una intensi dad de 0.25 lúmenes?

6. (Temperat ura) Durante 1980 se encontró que la temperatura (medida en grados Fahrenheit) de un cierto resorte está dada por F (t) = 60

7r + .sen( -t) 4

en donde t es el número de meses que han pasado desde el primero de enero de 1980. • ¿A qué temperatura (en g rados centígrados) se encontrará el resorte a mediados de noviembre de 1981?

• ¿En qué fecha el reso rte se encontrará a 60.72 grados Fahrenheit ?

83

LA

INTEGRAL

A. Definición de la integral mediante Sumas de Riemann.

1. Ut¡¡izando Sumas d e Riemann, demostrarque el área bajo f(x) = x, en el inte rval o [a,b l e s igual a

2. Mediante una Suma de Riemann para parábo la

y b

3. Obte ner

J

= -x

Z

~(bZ_

n=lO,

gráfica de

la

Z a ).

calcular

área

el

bajo

la

y enc ima del intervalo [-2, 2 1.

+ 4

2

(-x + 4 )dx. util izando sumas d e Riemann .

•

4. Obtene r un val or aproxi.mado par a 102, utilizando una Suma

para n = 20. Suger enc ia: Recordar que, de acuerdo a la

lnx , se tiene

ln x =

x

I

de

Riemann

definici.ón

de

1

t

dt

1

S. Calcular aproximadame nte e l valor

I

ArcSen( Z)

de

t

Rie mann para n=lO. Sugerencia : ArcSent =

mediante una Suma de

J ¡-;==~o

I

dx

I - xZ

6. Calcular aproximadamente e l valor de n, utilizando una s uma de Riemann

para La función

Y n=20. Suger encia:

1 ¡ = ArcTanx 1o Ilo -l+x -z dx 1

=

B. El Teorema Fundamental del Cá lculo.

1. Dar un ejemplo de u na función f (x) contmua en

I

(0,0 ,

para

la

c ual

1

no

f(x) dx

ex i sta.

¿ Po,rqué

esto

no

contradice

al

Teorema

o

Fundamental del Cálculo?

2. Dar un ejemplo de una función f(x) que no sea continua e n (0 , 1) y para la cual

I

1

f(x) dx o

sí exista.

I

t

3. Derivar la fun c ión

G(t)

o

G'(O ).

84

(ArcTanx)zdx + 2t

y

obtener

4. Derivar las sigu ien tes funciones

t

a) F(t)

dx

2

J

b) G(t)

4 ArcTan(e

x

) dx

t

5 . Verificar

si

La

- X2

y(x)

función

e

J

2

t

X

.

dt + c e

e

-x

2

satis fac e la

O

ecuación

y' + 2xy

=

J:~dt

6. Si [(x) =

obtene r (f - ')'( O)

7. Encontrar l os máx imos y mínimos para la [unc ión en eL interv a Lo

8 . Ve rifica r s i

F( x )

[ 0~1/1 x

u

y( u) = e , en donde

u =

J

e

-t

2

, s atisface

La

ecuación

O

2

y' - e -~ y = O. y La condición y (O ) = 1

9. Encontrar la función satisfaga

r(u y

e l valor de c , de tal forma que se

para

t odo XEIR La i g uaLdad

JX f (t)

senx - cosx

dt

e

C. Mé todos de Integración.

1. Reso lver las sigui.entes integrales i.nmediatas:

a)

re,

- 3X dx

h)

-

J; ::x

sen2z dz

le:

2

1 + cos z

I

b)

I n( - )

(ArcTanx)5

J

-'---- : - ' - dx 1 + X2

U

J-e--x-.l~=l==_==e=-X~

d)

12: 2

11 -

Z2

dx

p)

J

ZXexdx

2

c)

=-=z~

x

x

dx

--;:.= 1

4

J

dz

l+tan (ln x ) dx x

k)

J~1

:n.:.:. ( Oo ! .:.: n..::x:.:.) d x

de

el ge 2 _ e

2S

x

+ e

Zx

dx

85

e)

J~d~x_

L)

reD

I

J

x( In xl '

f)

JI

m)

4 + eos 2cx sen2cx dcx

2

sec x e

J

2

4 tanx

dx

J

se n 2 x ----"'::.=:..:;,'-- dx

-

sen x

+

5

see x tan x dx

J

2

x ln( x + L) dx

n)

s)

u)

J

In x x' dx •

rell

2. Resolver Las siguientes integrales no -inmediatas: 1

a)

J

Yx

j¡

+ xYx dx

g)

J

2

2

x ¡n x dx

m)

J

e X. 1

o n

2

b)

Jz21

S - 2z dz

h)

1

J

- eoss lda

n)

.

J

ese x dx

o

1

e)

J Isena

dx

_ 1-

¡ - x

xl

2

dx

i)

J

e

3X

( sen 2x - eos2x) dx

- 1

d)

e)

f)

J

Yx ¡ +

Jv3 J

x

X

3

dx

j)

J

x ln x dx

p)

J

xAreSen x dx

ArcT an x

2

- x

xsenx d x

dx

q)

.::. e ____

J

(1 + x

) -2

AreTan x (1 + x

86

2

2

dx

3

dx 3

-

)2

3 . Resolver l as s i g uientes in tegr ales:

sen(lnx ) dx

sen(ln x ) dx X

2

f)

x ArcCo t x dx

J

J

k)

J

u

senxcosxln(se n x )

J

ln x sen( lnx) dx

x ArcTa nx dx

J

dx

-------=:~

x2+ 2x +

2

dx

q)

J

2 cos (l nx ) dx

J p)

ArcSe nv'X dx

J

cotx dx ln(sen x )

o)

senv'X dx

j)

s en(lnx ) dx

n)

J

U

v'X e -v'X dx

ArcTanv'X dx

J

h)

2

ln(l + x ) dx

e)

J

g)

----::---.:::.::'------

J 4x +1 2x +20 2

r)

JIn(x+~) dx

4. Cal c ul a r l as s i gu i entes integrales: a)

b)

c)

d)

e)

f )

dx

J

x

3

¡ 4x 2 _ 9

¡ la

J

I

- x

l + ¡ 2

(x +

I

x

I

3

dx

2 dx 2

¡ 7 + x

2

3

_ 9x 2) 2 (1 6 dx X

•

j)

1} 3

¡ 2x - x

J

uJ

dx

x2 +

¡

x

2

4

X

J

h)

dx

k)

3

3

s en x e os x dx

•

see x v't anx

I I

dx

I

p)

4

t anx ~ dx

3

3

cot x ese x dx

m)

J J

3

t an 'x s ee x dx

uJ

4 2 sen x eos x dx

o)

~

sen 3 x ( cosx ) dx

I I

se n8x sen 3x dx

q)

r)

s)

3

see x t an x dx

cosx cos4x dx

J

sen4z cosSz dz

I

n

1)

cosmx cosnx dX,rn:¡t.n

- Tl

87

5. Ca l cular l as sicuientes intecrales de f u nciones raciona l es, con ocier, en caso dado

a)

c)

e)

4

J

una raíz del denominador:

2

x +3x +x+1 3

b)

dx

x +x

J J

4"'- "+1 3

r ·

2x :3X +Ax-7 dx, 2 X +3x-4

•

d)

dx, ra1z x=1

J•

3x +9" +10,,+6 3

2 2

1~aiz

x=1

dx, raiz x=- 1

x +2x +2x+ t

x -t 3

2

-x + 3x +4x+14 dx, raiz x=3 3 z x - 2x -2x- 3

,,"-x 3 -x- 1 • 2 X - X

j)

2

3x +2x- Z

J

3

dx

x -1

dx

6). Reso l ver las sisgui entes integrales mediante las sustituciones .Y =

=

Y

a)

t.ao

J J e

e

c)

8S

2 :

-, -, e

2e)(+ e

x

3e +

b)

X

J

2, 2X

1

dx

d)

e)

+ 3

2e)(+ 2e -x

e

dx

-, +

, 3e

dx

f)

2senx + 3cosx dx 3senx + 5eosx

J J

-

Stanx 2 dx 3 + 4t.anx

J

1 dx 3 + 3secx

E

ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL

LONGITUD DE UNA CURVA l . Calc ul ar la longitud de las cur vas siguien t es, entr e los puntos se ñalados: a) y::::: eX, entre x ::::: O y

X :::::

I

b) Y = x ~ , ent re x ::::: 1 y x ::::: 3 e) y= !(é +e- X ), entre x ::::: - 1 y x :::::

d) Uua circ unferencia de radi o r.

e) y::::: In(cosx), entre x ::::. O y x:::::

f) Y = In x, entre x g) La p arábo la recto.

i

= v'3 y x = J8

X2 :::::

4y , desde s u vértice hasta un ex tremo de s u lado

h) y::::: arcs eu (e- r ), e ntre x ::::: O y x::::: 1 ÁREAS 1. Calc ul a r el área encerrada por la elipse ~

+ ~ :::::

I

2. Calc ula r el área ence rr ada por las curvas I(x)::::: x 3 - X Y 9(X)::::: x2 3. Obtener el área d e la región comp rendida por y ::: _x 2 red as tangentes eH los puntos (O, -3), (4, -3)

+ 4x -

3 Y s us

4. Calcular ,,1 área de la región ence rrad a por la parábola y2 == 4x y su cuerd a que pasa por los puntos ( 1,-2), (4,4) 5. Determin a r el valo r del área de la reg ió n compre ndid a por x = 3 _ y2 Y su norrnal en el punto (2, 1) 6. Calcu la r el á rea de la reg ión co mprendida entr e las cur vas Y x= - 2y' +y+4

x

= yl - 2y - 2

7. Determin ar el valo r del área de la reg ión limiada po r las curvas y = se n x, y = cos x, el eje Y y el pri lller punto cn dond e se interscctan es tas cur vas, para x> O.

89

8. Calc ular el á rea de la región comp rendid a por la g ráfi ca de y recLas x = ,x = 6

t

= In x y las

=x

In x y las rectas

10. Calcular el área de la región comprendida po r la cu rva y rectas y = O ,x = VT2

= arcsenx y las

9. Obtener e l valo r del á rea limitada por la gráfica de y y=0 , x = 2

" , VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION l. Calcular el volumen de una esfera de radio R. 2. Demostra r qu e el vol um en de un cilindro reclo de radi o R y altura H es 7fR'H 3. Obtener e l vo lumen del paraboloide

z

= 10

x2

+ y2

z acotado por el plano

4 . Obtener el volum e n del sólido de revolu ción obtenido al girar la. región comprendida por las gráfi cas de y = 4x2 y y = 2x , alrededor de: a) El eje X b) El eje Y e) La recta y = 2 d) La recta x = 2 5. Calc ular el vol um en del sólido el e re volu ción generado por la región comprendida por las curvas y 6 - X2 y y = 2, a l rotarse a lrededor de :

=

a) El eje X b) El eje Y G. Outeue r el vo lumen del sólido qu e se gene ra a l roLar a lrededo r del eje X, 1r la reg ió n com prendid a po r y = Jsen x, x O, x

=

=

7. Calc ular el volumen del sólido gene rado al gi rar la reg ión encerrada por (x - 2)' + y' 1, a lrededor de :

=

a) El eje X

b) El eje Y

e) La recta y = -2 d) La re cLa x = 2 8. Calc ular el vo lumen de los sólidos de revolu ción que generan las curvas siguientes, alr ededor de las rectas dad as:

90

= sen (x2) , x = 0 , x = v'f,y el eje X; a lr ededor del eje Y Y = In x , x = e, y = O; a lrededor de la red a x = y = Q1'cla n x, x = 0, y = 0, y = ~; alr ededor del eje Y Y = (U'c scnx,:I; = 0 , x = l ,y el eje X; a lrededor de l eje Y y = c - z , x = 0, x = I S e l eje X ; a lrededor de la rada x = 2 La parábola y2 = 8x y su lado recto; a lreded or del eje Y

a.) y

L)

c) el) e)

f)

11'

INTEGRACIÓN IMPIlOPIA l . Calcu lar las sigu ie nLes integrales improp ias :

a)

r oo --'-

b)

fa' v'.t~+z)

e)

f.+ oo ~dx o I+:r~

d)

J.'o e ~ VId.-e- r dx

2

z(ln r)!