Problemas de Ondas 1.- Una onda transversal sinusoidal, que se propaga de derecha a izquierda, tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m/s. Si el foco emisor de ondas tiene una elongación máxima cuando t = 0, calcula: a) La ecuación de onda; b) la velocidad transversal máxima de un punto del medio; c) la función que da la forma de la onda a los 10 s; d) la diferencia de fase entre dos puntos que distan 10 m en un instante dado Datos: λ = 20 m, A = 4 m, ν = 200 m/s, y (0,0) = A a) Ecuación de una onda que se mueve de derecha a izquierda: y (x,t) =A sen (ωt + kx + ϕ0) 2π 2π El número de onda: k = = = 0’1 π = 0'314 m-1 λ 20

En cuando a la frecuencia angular: k =

ω ⇒ ω = k ⋅υ = 0'314 · 200 = 62'83 rad/s υ

Para averiguar la fase inicial: Para t = 0 y x = 0, y (x,t) = A ⇒ A = A sen (ω · 0 + k · 0 + ϕ0) 1 = sen ϕ0 ⇒ ϕ0 =

π

rad = 1'57 rad 2 En definitiva: y (x,t) = 4 sen (62'83t + 0'314x +1'57) = 4 sen (20 π t + 0'1π x+ 0'5 π) m b) La velocidad transversal de un punto del medio será: v = 4 · 62'83 · cos (62'83t + 0'314x +1'57) = 251'32 · cos (62'83t + 0'314x +1'57) m/s Esta velocidad es máxima cuando el coseno vale ±1: vmax = ± A ω= 4 · 62'83 = 251'32 m/s c) La función de onda a los 10 segundos es: y (x,10) = 4 sen (62'83· 10 + 0'314x +1'57) y (x,10) = 4 sen (628'3 + 0'314x +1'57) = 4 sen (0'314x +629'9) m d) δ = diferencia de fase entre dos puntos o instantes: δ =(ωt2+kx2+ϕ0) - (ωt1+kx1+ϕ0) = (ωt2 + kx2) - (ωt1 + kx1) = (ωt2 - ωt1) + (kx2 - kx1) = ω (t2 - t1) + k (x2 - x1) Como los dos puntos distan 10 m, en un mismo instante, es decir: t2= t1

y x2 - x1=10

Con estos datos: δ = k (x2 - x1) = 0'314 · 10 = 3'14 rad 2.- Una onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje OX tiene una amplitud de 8 cm, una longitud de onda de 20 cm y una frecuencia de 8,0 Hz. El desplazamiento transversal en x = 0 para t = 0 es cero. Calcula: a) el número de onda; b) el periodo y la frecuencia angular; c) la velocidad de fase de la onda; d) la ecuación de la onda; e) la velocidad de propagación de la onda. Datos: sentido positivo eje OX, A = 8 cm = 0,08 m, λ= 20 cm = 0'2 m, f = 8'0 Hz, y(0,0) = 0

a) El número de onda, k, es el número de longitudes de onda que hay en una distancia igual a 2π. 2π 2π k= = = 31'4 m-1 λ 0'2 1 1 b) El periodo es la inversa de la frecuencia: T= = = 0'125 s f 8

En cuando a la frecuencia angular: ω = c) La velocidad de propagación es: υ =

2π 2π = =50'24 rad/s T 0'125

λ

= λ ⋅ f = 0'2 · 8 = 1'6 m/s T d) La ecuación de una onda que se mueve de izquierda a derecha: y (x,t) =A sen (ωt – kx + ϕ0)

De esta ecuación se conoce todo excepto la fase inicial. Para averiguarla hay que saber dónde se encuentra un punto del medio en un instante determinado. Según los datos aportados por el problema: y (0,0) = A sen (ω·0 – k ·0 + ϕ0) = 0 ⇒ sen ϕ0 = 0 ⇒ ϕ0 = 0 Por tanto, la ecuación de la onda será: y (x,t) = 0'08 sen (50'2t – 31'4x) e) La velocidad de fase o de vibración: v =

dy( x, t ) = 0'08 · 50'2 · cos (50'2t – 31'4x) dt

v = 4'02 cos (50'2t – 31'4x) 3.- Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación y (x,t) = 0'4 cos (100t - 0'5x) en unidades del S.I. Calcula: a) la longitud de onda; b) la velocidad de propagación de la onda; c) el estado de vibración de una partícula situada a x = 20 cm en el instante 0'5 s; d) La velocidad transversal de la partícula anterior; e) Representa gráficamente la variación de la elongación de la partícula anterior en función del tiempo. Datos: y (x,t) = 0'4 cos (100t - 0'5x)

Se trata de una onda armónica cosenoidal que se desplaza en el sentido positivo del eje OX. La ecuación general de este tipo de ondas es: y (x,t) =A cos (ωt – kx + ϕ0) a) Comparando con la ecuación general: A = 0'4 m, ω = 100 rad s-1, k = 0'5 m-1, ϕ0 = 0 2π 2π = = 12'6 m Por tanto: λ = k 0'5 b) La frecuencia angular permite determinar la frecuencia de vibración: ω 100 2π = 15'9 s-1 ω= =2πf ⇒ f= = 2π T 2π

υ=

λ

T

= λ ⋅ f = 12’6 · 15’9 = 200’3 m/s

c) El estado de vibración para t = 0'5 s y x = 0'2 m: y (0'2,0'5) = 0'4 cos (100 · 0'5 - 0'5 · 0'2) = 0'4 cos 49'9 = 0'37 m d) La velocidad transversal de las partículas, velocidad de vibración, del medio se obtiene derivando la ecuación de onda respecto del tiempo: dy( x, t ) v= = - 0'4 · 100 sen (100t - 0'5x) = - 40 sen (100t - 0'5x) dt La partícula del apartado c) tendrá una velocidad: v (0'2,0'5) =- 40 sen (100 · 0'5 - 0'5 · 0'2) = - 40 sen 49'9 = 14'3 m/s

Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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e) La ecuación de la partícula situada a 20 cm del foco emisor es: y (0'2,t) = 0'4 cos (100t - 0'5·0'2) = 0'4 cos (100t - 0'1) La representación gráfica de esta función coseno se puede hacer de forma aproximada encontrado los puntos de elongación cero y máxima además de la elongación inicial.

4.- La ecuación de una onda es, y (x,t) = 25 sen (0'4t – 3'14x) expresada en unidades del S.I. Calcula: a) Los puntos que están en fase y en oposición de fase; b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que un punto situado a 5,0 m del foco tenga velocidad máxima? Datos: y (x,t) = 25 sen (0'4t – 3'14x)

De la ecuación se deduce que: A = 25 m, ω = 0'4 rad s-1, k = 3'14 m-1, ϕ0 = 0 a) Empezaremos por determinar la longitud de onda. A partir de la ecuación de onda, 2π 2π λ= = =2m k 3'14 Dos puntos vibran en fase si la distancia entre ellos es igual a: x2 – x1 = n · λ = n · 2 Es decir, se encuentran en fase aquellos puntos situados a 2n metros: 2,4,6,8,… Dos puntos están en oposición de fase, si la distancia entre ellos es igual a: λ 2 x2 – x1 = (2n + 1) · = (2n+1) = 2n+1 2 2 Es decir, se encuentran en oposición de fase aquellos puntos situados a 2n+1 metros: 1, 3, 5, 7,… b) La velocidad de un punto del medio (velocidad transversal) es, para este movimiento ondulatorio, dy( x, t ) v= = 25 · 0'4 cos (0'4t – 3'14x) = 10 cos (0'4t – 3'14x) dt Esta velocidad es máxima si el coseno es ±1. Debemos poner esta condición para el punto situado a 5,0 metros del foco emisor como demanda el problema, cos (0'4t – 3'14 · 5) = ± 1 Esto ocurre cuando: 0'4t – 15'7 = 0 ⇒ t =

15'7 = 39'3 s 0'4

Pero también cuando: 0'4t – 15'7 = π, ⇒ t =

15'7 + 3'14 = 47'1 s 0'4

De las dos soluciones, la primera es la que ocurre antes, por tanto, la respuesta es 39,3 s. Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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5.- Un foco emite ondas esféricas con una potencia de 20 W. Calcula la intensidad de la onda a una distancia de 2 m y a 4 m del foco. ¿Cuál es la relación entre las intensidades y las amplitudes a esas distancias del foco? Datos: P = 20 W = 20 J s-1, r1 = 2 m, r2 = 4 m E P La intensidad de una onda esférica a una distancia R del foco es I = = S ⋅ Δt S P 20 20 = = 0'4 W/m2 I2 = = 0'1 W/m2 I1 = 4πr 2 4π 2 2 4π 4 2

Al duplicar la distancia al foco la intensidad disminuye cuatro veces. I r 2 A2 La relación entre las amplitudes: 1 = 22 = 12 I 2 r1 A 2 0'4 42 A12 A = 2 = 2 = 4 ⇒ A1 = 2A 2 ⇒ A2 = 1 La amplitud se divide por dos. 0'1 2 A 2 2 6.- Una onda armónica esférica tiene una intensidad de 6·10-8 W·m-2 a 20 m del foco emisor. Si no hay absorción, calcula: a) la energía emitida por el foco emisor en un minuto; b) la amplitud de la onda a los 40 m si se sabe que a 20 m su amplitud es de 4 mm. Datos: I = 6·10-8 W·m-2, si r = 20 m ; A = 4·10-3 m, si r = 20 m

a) La intensidad de una onda esférica a una distancia R del foco es: I =

E P E = = S ⋅ Δt S 4πr 2 ⋅ Δt

Despejando la energía en esta expresión: E = I 4π ⋅ r 2 Δt E = 6·10-8 · 4π · 202 · 60 = 1'8 · 10-2 J Esta energía es precisamente la que corresponde a la emitida por el foco emisor en dicho tiempo si no hay amortiguamiento por absorción. b) La relación, para dos frentes de onda, entre las intensidades de una onda, las amplitudes de una onda y las distancias al foco emisor es I1 r22 A12 = = I 2 r12 A 22 402 (4 ⋅10 −3 ) = ⇒ A2 = 0'002 m 202 A 22 2

7.- Una marca de frigoríficos establece en su publicidad que estos electrodomésticos trabajan con un nivel de sonoridad (nivel de intensidad sonora) máximo de 40 dB. ¿Cuál es la máxima intensidad del sonido que emiten los frigoríficos? Intensidad umbral = 10-12 W/m2 Datos: β = 40 dB

β = 10 log

I I I I 40 = log ⇒ ⇒ 4 = log ⇒ =104 ⇒ I = Io · 104 = 10-12 ·104 = 10-8 W/m2 10 I0 I0 I0 I0

Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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8.- El oído humano es capaz de percibir frecuencias entre 20 y 20.000 Hz. Indique, justificando la respuesta, si será audible o no, un sonido de 1 cm de longitud de onda. Datos: l = 1 cm = 0'01 m, νsonido = 340 m/s λ υ 340 = 34.000 Hz υ = = λ ⋅f ⇒f = = T λ 0'01

Como la frecuencia es mayor de 20.000 el sonido no será audible (es un ultrasonido) 9.- Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia. a) Calcula la intensidad de las ondas a 3'5 m de la fuente. b) ¿A qué distancia de la fuente el sonido es de 40 dB? Datos: P = 80 W, r = 3'5 m 80 w P a) I = = = 0'51 2 2 2 4 ⋅ π ⋅ 3'5 4πr m I I I 40 I ⇒ I = 104 ·I0 = 104 ·10-12 = 10-8 W/m2 ⇒ b) β = 10 log = log ⇒ 4 = log ⇒ 104 = 10 I0 I0 I0 I0

r=

P = 4πI

80 = 2'52 ⋅10 4 m −8 4π ⋅10

10.- Un altavoz genera una intensidad sonora de 10-2 W/m2 a 20 m de distancia. Determina, en decibelios, el nivel de intensidad sonora. Determina también la potencia de sonido emitida por el altavoz considerándolo como un foco puntual de ondas esféricas. Intensidad umbral = 10-12 W/m2 Datos: = I =10-2, r = 20 m I 10−2 ⇒ β =10 log −12 ⇒ 4 = 100 dB a) β = 10 log 10 I0

b) I =

P P = ⇒ P = I · 4 · 3'14 · r2 = 10-2 · 4 · 3'14 · 202 = 50'26 W S 4 ⋅π ⋅ r2

11.- El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcula: a) El nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia. b) La distancia a ala que la sirena deja de ser audible. Intensidad umbral = 10-12 W/m2 Datos: β = 60 dB, r = 10 m

a) β = 10 log

I I I I ⇒ 60 =10 log −12 ⇒ 6 = log −12 106 = −12 ⇒ I =106 · 10-12 = 10-6 W/m2 10 10 10 I0

Como el sonido es una onda tridimensional: I1 = I2 ·

I1 r22 = I 2 r12

10 2 r22 -6 = 10 · = 10-10 W/m2 2 3 2 (10 ) r1

10 −10 = 10 dB (audible) 10−12 b) La sirena deja de ser audible cuando la intensidad sonora coincide con el umbral de audición:

La intensidad sonora a 1 km de distancia: β = 10 log

I1 r22 = ⇒ r1 = I 2 r12

I 2 ⋅ r22 = I1

10 −6 ⋅10 2 = 104 m= 10 km 10 −12

Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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Problemas de Selectividad 1.- (Junio 2009) Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 ms-1. Su periodo es de 0'5 s y su amplitud es de 0'3 m. a) Escriba la ecuación de la onda, razonando como obtiene cada el valor de cada una de las variables que intervienen en ella. b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m en el instante t=1 s.

a) La ecuación general de una onda armónica unidimensional que se propaga hacia la izquierda viene dada por la expresión general: y(x,t) = A · sen (ωt + kx + ϕ0) El problema no informa sobre la fase inicial del foco, así que suponemos ϕ0= 0, lo que significa que el foco inició su movimiento ascendiendo desde el punto de equilibrio al utilizar una función seno. La amplitud es 0'3 m y del periodo (0'5 s) podemos obtener la pulsación:

ω=

2π 2π = = 4π rad/s = 4 · 3'14 = 12'56 rad/s T 0'5

El número de ondas está relacionado con la longitud de onda y esta a su vez con la velocidad y periodo de la misma: k=

2π

λ

=

π 2π 2π = m-1 = 1'57 rad/m = v ⋅ t 8 ⋅ 0'5 2

Con lo que la ecuación final que se deduce es: y(x,t) = 0'3 · sen (12'56 t + 1'57 x ) (SI) b) La ecuación general de la velocidad con que vibra cada punto del medio se obtiene derivando la ecuación general de la elongación con respecto al tiempo. Recuérdese que la velocidad es el ritmo con que cambia la posición de un punto. Obviamente el movimiento oscilatorio es vertical, por lo que nos referimos a la variación temporal de y: dy/dt v=

dy( x , t ) = 0'3 · 12'56 · cos (12'56 t + 1'57 x) = 3'768 · cos(12'56 t + 1'57 x) dt

Donde se observa que la velocidad con que oscilan los puntos de la cuerda varía entre 3'768 m/s (cuando pasa por el punto de equilibrio y ascendiendo) y -3'768 m/s (al pasar por el punto de equilibrio y descendiendo), pasando por todos los valores intermedios. En los extremos la velocidad será nula. En el punto x = 2 y t = 0 s:v (2,1) = 3'768 cos (12'56 ·1+ 1'57 · 2) =3'768 cos (15'7) = -3'768 m/s En ese instante, dicho punto está descendiendo con velocidad máxima lo que significa que está pasando por el punto de equilibrio (ϕ = 5π).

Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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2.- (Junio 2010) En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud mediante un oscilador de 20 Hz. La onda se propaga a 2 m/s. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que en el instante inicial la elongación en el foco es nula. b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 m del foco emisor en el instante t = 3s. Datos: A = 10 cm = 0,1 m, f = 20 Hz, ν = 2 m/s

Se trata de una onda unidimensional transversal que se mueve de derecha a izquierda, por lo que su ecuación viene dada por la expresión general: y (x,t) = A sen (ωt + kx + φ0) 1 s ⇒ de donde: ω = 2πf = 40 π rad/s = 125'6 rad/s T= 20 2π ω 125'6 El número de ondas (k) se puede calcular: k = = = = 62'8 m-1 λ υ 2 Como en el instante inicial la elongación es cero: Se toma φ0 = 0 rad Por consiguiente, la ecuación de onda es: y (x,t) = 0'1 · sen (125'6 t + 62'8 x ) (S.I.) b) La velocidad se define como el ritmo con que cambia la posición de un móvil. En el caso del movimiento ondulatorio, cada partícula del medio oscila entre dos puntos extremos, cambiando dos veces de sentido en cada periodo (T). Como disponemos de la ecuación de la elongación, esto es la ecuación que nos indica la posición de cada una de las partículas del medio en cada instante, la velocidad de vibración se obtiene por derivación: v (x,t) = dy(x,t)/dt = 0'1 · 125'6 · cos (125'6 t + 62'8 x) = 12'56 · cos (125'6 t + 62'8 x) (S.I.) En el punto x = 1 m y en el tiempo t = 3s: v (x,t) = 12'56 · cos (125'6·3 + 62'8·1 ) = 12'56 m/s

Unidad 6: Movimiento ondulatorio

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