Problemas de Probabilidad y Estad´ıstica 61.09 Curso 23, primer cuatrimestre de 2009 Sebastian Grynberg 9 de marzo de 2009

“Uno es el sol, uno el mundo, sola y u ´nica es la luna; ans´ı, han de saber que Dios no cri´ o cantid´ a ninguna. El ser de todos los seres, s´ olo form´ o la unid´ a; lo dem´ as lo ha criado el hombre despu´es que aprendi´ o a contar” (Mart´ın Fierro) 1

´Indice 1. Nociones b´ asicas 1.1. Urnas y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Monedas y dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Caminos, palabras y paseos . . . . . . . . . . . . 1.4. Naipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana) 1.6. Conjuntos geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. D´ıgitos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Simulaci´on de experimentos aleatorios . . . . . . 1.9. Tiempos de espera y espacios discretos infinitos .

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3 3 3 4 5 6 7 8 8 9

2. Variables aleatorias 2.1. Funci´on de distribuci´on . . . . . . . 2.2. Descomposici´on de Jordan . . . . . . 2.3. Construcci´on de variables aleatorias 2.4. Esperanzas . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Desigualdad de Chebychev . . . . . . 2.6. Transformaci´ on de variables . . . . . 2.7. Truncamientos . . . . . . . . . . . . 2.8. Densidades generalizadas . . . . . .

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10 10 11 11 12 12 12 13 13

3. Modelos multivariados 3.1. Modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Modelos continuos . . . . . . . . . . . . . 3.4. L´ınea de regresi´on y esperanza condicional 3.5. C´ alculos por condicionales. . . . . . . . . 3.6. M´ınimos y estad´ısticos de orden . . . . . .

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15 15 16 16 17 18 18

4. Procesos aleatorios 4.1. Distribuci´on binomial . . 4.2. Distribuci´on geom´etrica . 4.3. Distribuci´on Pascal . . . . 4.4. Cuentas con exponenciales 4.5. Procesos de Poisson . . .

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20 20 20 21 21 22

5. Distribuci´ on Normal y Teorema Central del L´ımite 5.1. La distribuci´on normal estandar . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cuentas con Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ley d´ebil de los grandes n´ umeros para enayos Bernoulli 5.4. Teorema de De Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Teorema Central del L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . .

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26 26 26 27 27 28

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2

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1. 1.1.

Nociones b´ asicas Urnas y bolas

1. Una urna contiene tres bolas: una roja, una verde, y una azul. Considerar el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de la urna, reponerla en la urna y extraer nuevamente una bola de la urna. Describir el espacio muestral correspondiente. Si en cada extracci´on todas las bolas en la urna tienen la misma posibilidad de ser extra´ıdas, cu´ al es la probabilidad de cada punto del espacio muestral? 2. Repetir el Ejercicio 1 cuando la segunda bola se extrae sin reponer la primera. 3. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola al azar, si es verde se la reemplaza en la urna por una bola roja. Sea N la cantidad de pasos necesarios para extraer una bola roja. Para cada n ∈ N calcular la probabilidad pn := P(N = n). 4. En una urna hay una bola verde y dos bolas rojas. En cada paso se extrae una bola al azar y se la repone junto con otra del mismo color. (a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolas verdes y tres rojas. (b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas verdes y tres rojas, ¿cu´ al es la probabilidad de que en el primer paso se haya extra´ıdo una bola roja? 5. Dos bolas se pintan de rojo o de verde, independientemente y con probabilidad 1/2 para cada color, y se colocan en una urna. (a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cu´ al es la probabilidad de que la otra bola sea roja? (b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cu´ al es la probabilidad de que la otra sea roja?

1.2.

Monedas y dados

6. Tres jugadores lanzan una moneda equilibrada cada uno. Si se observan resultados distintos, el juego termina. Si no, comienzan de nuevo y vuelven a lanzar sus monedas. ¿Cu´al es la probabilidad de que el juego termine en la primera ronda de lanzamientos? 7. Se arrojan dos dados. (a) Cu´al es la probabilidad que al menos uno de los resultados haya sido el 6? (b) Si los resultados son diferentes, cu´ al es la probabilidad de que al menos uno sea el 6? (c) Si al menos uno result´o el 6. Cu´al es la probabilidad que la suma de ambos supere 8? 8. Lucas arroja seis veces un dado y gana si obtiene al menos un as. Monk arroja doce veces un dado y gana si obtiene al menos dos aces. ¿Cu´al de los dos tiene la mayor probabilidad de ganar? 3

9. ¿Cu´al de las siguientes apuestas es la m´ as conveniente: apostar a que se obtiene al menos un as en cuatro tiros de un dado o apostar a que se obtiene al menos un doble as en 24 tiros de dos dados? 10. Lucas utiliza el siguiente sistema para jugar a la moneda: apuesta $ 1 a que saldr´a cara. Si gana, se retira. Si pierde, duplica la apuesta y entonces cualquiera sea el resultado, se retira. ¿Cu´al es la probabilidad que se retire como ganador? ¿Por qu´e este sistema no es usado por todo el mundo? 11. Se tienen dos monedas. Una moneda est´a cargada con probabilidad p1 de salir cara y la otra con probabilidad p2 . Se puede optar por una de las siguientes estrategias: la primera consiste en elegir una moneda al azar y arrojarla dos veces; la segunda consiste en arrojar ambas monedas. El juego se gana si salen dos caras, en caso contrario se pierde. ¿Cu´al de las dos estrategias es m´ as conveniente?. 12. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una moneda al azar la arroja al aire dos veces consecutivas. Si el primer resultado fue cara, cu´ al es la probabilidad de que el segundo tambi´en lo haya sido. 13. Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras. Elige una moneda al azar la arroja al aire y sale cara. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea una de las monedas normales? (b) Harvey arroja la misma moneda por segunda vez y de nuevo sale cara. ¿Cu´al es la probabilidad de que sea una de las monedas normales? (c) Harvey arroja la misma moneda por tercera vez y de nuevo sale ceca. ¿Cu´al es la probabilidad de que sea una de las monedas normales?

1.3.

Caminos, palabras y paseos

14. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos est´a bloqueado con probabilidad 0.2 independientemente de los dem´as. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto desde A hasta B sabiendo que no hay ning´ un camino abierto desde A hasta C.

A

B

C

15. ¿Cu´antas palabras distintas pueden formarse permutando las letras de la palabra “manzana” y cu´ antas permutando las letras de la palabra “aiaiiaiiiaiiii”? 16. La figura siguiente representa el mapa de una localidad tur´ıstica de 40 manzanas situada en la costa atl´antica. 4

H

Q C P

Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en el punto P , es una sucesi´on de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierda o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto de pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos). (a) Calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q. (b) Sabiendo que se pas´ o por el caf´e situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber pasado por el quiosco de diarios y revistas. 17. El experimento consiste en permutar aleatoriamente la letras C, H, Q, P . Demostrar que los eventos “C precede a H” y “Q precede a P ” son independientes.

1.4.

Naipes

18. De un mazo de 52 naipes se extrae uno al azar. Demostrar que el palo del naipe es independiente de su valor num´erico. 19. [Ejemplicio sobre juego de poker] En el juego de poker son posibles las siguientes manos, que se listaran en orden creciente de conveniencia. En las definiciones la palabra valor se refiere a A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 o 2. Esta sucesi´on tambi´en describe el rango relativo de los naipes, con una excepci´ on: una A puede verse como un 1 para usarlo en una escalera. (a) un par: dos naipes de igual valor m´ as tres naipes con diferentes valores J♠ J♦ 9♥ Q♣ 3♠ (b) dos pares: dos pares m´ as un naipe de diferente valor J♠ J♦ 9♥ 9♣ 3♠ (c) terna: tres naipes del mismo valor y dos naipes de diferentes valores J♠ J♦ J♥ 9♣ 3♠ (d) escalera: cinco naipes con valores consecutivos 5♥ 4♠ 3♠ 2♥ A♣

5

(e) color: cinco naipes del mismo palo R♣ 9♣ 7♣ 6♣ 3♣ (f) full: una terna y un par J♠ J♦ J♥ 9♣ 9♠ (g) poker: cuatro naipes del mismo valor y otro naipe J♠ J♦ J♥ J♣ 9♠ (h) escalera de color: cinco naipes del mismo palo con valores consecutivos A♣ R♣ Q♣ J♣ 10♣ Este ejemplo se llama escalera real. Calcular las probabilidades de todas las manos de poker. Con los valores obtenidos construya una tabla. No se olvide de la mano perdedora. Ilustraci´ on a modo se sugerencia. Para calcular las probabilidades de las manos de
52 poker comenzamos observando que hay 5 = 2598960 formas distintas de elegir 5 naipes de un mazo de 52. El c´alculo de probabilidades se reduce a calcular la cantidad de formas distintas en que puede ocurrir
cada
mano. Calcularemos algunas para ilustrar las ideas principales. 3 Primero elegimos el valor para el par (13 formas), (a) un par: 13 · 42 · 12 3 · 4 = 1098240.
despu´es les asignamos los palos ( 42 formas), luego elegimos tres valores para las otras cartas
3 ( 12 3 formas) y finalmente les asignamos los palos (4 formas). Por lo tanto, la probabilidad 1098240 de obtener un par es 2598960 ≈ 0.42257. (d) escalera: 10 · 45 = 10240. Una escalera puede empezar con una carta mayor o igual que 5, hay 10 posibilidades. Una vez que los valores fueron determinados, hay 45 formas de asignar los palos. Esta forma de contar considera a la escalera de color como escalera. Si se quieren excluir las escaleras de color, los palos pueden asignarse en 45 − 4 maneras. Por lo 10200 tanto, la probabilidad de obtener una escalera que no sea de color es 2598960 ≈ 0.0039246.

4 4 (f) full: 13 · 3 · 12 · 2 = 3744. Primero elegimos el valor para la terna (que puede hacerse
de 13 formas), despu´es les asignamos palos ( 43 formas), luego elegimos el valor para el par (12
formas), finalmente asignamos les asignamos palos ( 42 formas). Por lo tanto, la probabilidad 3744 ≈ 0.0014406. de obtener full es 2598960 20. Cuatro personas juegan un juego en el que cada una recibe 13 cartas. ¿Cu´antas manos son posibles? 21. Un mazo de 52 naipes se divide aleatoriamente en 4 pilas de 13 naipes cada una. Calcular la probabilidad de que cada pila contenga un as.

1.5.

Lucas y su barrio (postales de la vida cotidiana)

22. En un estacionamiento hay 12 lugares ordenados en fila. Lucas observa que hay 8 autos estacionados y 4 lugares vac´ıos adyacentes entre s´ı. Dado que hay cuatro lugares vac´ıos, el orden observado podr´ıa considerarse como el resultado de un ordenamiento aleatorio?

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23. Un vecino de Lucas recibi´ o doce multas por estacionamiento prohibido. Todas las multas fueron emitidas los martes o jueves entre las 23:00 y las 5:00 hs. (a) Se justifica que alquile un estacionamiento nocturno s´ olo para los martes y jueves? (b) El hecho de que ninguna de las doce multas fue emitida un domingo, constituye evidencia suficiente de que no se emiten multas los domingos? 24. La encargada del edificio donde viven Lucas y otras 40 personas echa a rodar un rumor. A la ma˜ nana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vez lo repite a una tercera, etc´etera. En cada paso el emisor del rumor elige al azar al receptor entre los restantes 40 habitantes del edificio. (a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a la encargada que lo origin´ o. (b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ninguna persona lo reciba m´ as de una vez. 25. Lucas tiene cinco sacos id´enticos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno tienen un paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos en un bolsillo y una cajita de f´osforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar. En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. ¿Cu´al es la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo? 26. Lucas vive en un barrio donde el 40 % de los trabajos de plomer´ıa los realiza Oscar. El 30 % de los vecinos del barrio no est´a conforme con el trabajo de los plomeros y se queja, pero Oscar recibe quejas del 50 % de su clientela barrial. Si Lucas no est´a conforme con un trabajo de plomer´ıa, cu´ al es la probabilidad de que sea cliente de Oscar? 27. Tres panader´ıas producen el 20 %, 30 % y 50 % de las facturas que se consumen en el barrio donde vive Lucas. La probabilidad de que una factura contenga insectos es 0.04, 0.03 y 0.02 para cada una de las panader´ıas, respectivamente. Mientras saborea una esponjosa bola de fraile una vecina de Lucas muerde una crujiente cucaracha. ¿Cu´al es la probabilidad de que la haya comprado en la panader´ıa m´ as popular del barrio?

1.6.

Conjuntos geom´ etricos

28. Dardos. Considere un juego de dardos de blanco circular Ω de radio 1 centrado en el origen del plano: Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. (a) Un tirador lanza un dardo y se clava en el blanco. Sea r la distancia desde el centro del blanco hasta el punto de impacto. Hallar la probabilidad de que a < r < b, donde a y b son dos n´ umeros reales tales que 0 < a < b < 1. (b) Suponga que el blanco est´a dividido en las siguientes zonas   i−1 p 2 i 2 Ai = (x, y) : < x +y ≤ , i = 1, 2, 3, 4, 5, 5 5

que permiten clasificar a cada tirador en las siguientes categor´ıas: sobresaliente, muy bueno, 7

bueno, regular, malo dependiendo de si el dardo hace impacto en la zona 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente. Hallar la probabilidad de que un tirador se clasifique en cada una de las clases. (c) Un tirador lanza un dardo y se clava en el semic´ırculo superior del blanco. Hallar la probabilidad de que sea sobresaliente. (d) Construya una divisi´ on del blanco en zonas Bi , 1 ≤ i ≤ 5, similar a la del inciso anterior para que las 5 categor´ıas resulten equiprobables. (e) Si un tirador es sobresaliente para un blanco divido en las zonas Bi , qu´e probabilidad tiene de ser sobresaliente para un blanco dividido en las zonas Ai . 29. Problema del encuentro. Dos estudiantes se citan en un bar entre las 12 y las 13 hs. El primero que llega espera al segundo durante un cuarto de hora, despu´es de lo cual se va. Cada estudiante elige al azar el tiempo de llegada al bar. (a) Hallar la probabilidad de que se produzca el encuentro. (b) Si consiguieron encontrarse, cu´ al es la probabilidad de que el segundo haya llegado al bar despu´es de las 12 : 45?

1.7.

D´ıgitos aleatorios

30. Hallar la probabilidad pk de que en una muestra de k d´ıgitos aleatorios no haya dos iguales. 1√ Estimar el valor num´erico de p10 usando la f´ ormula de Stirling (1730): n! ∼ e−n nn+ 2 2π. 31. Considerar los primeros 1000 decimales del n´ umero π. Hay 200 grupos de cinco d´ıgitos. Contar la cantidad de grupos en los que los 5 d´ıgitos son diferentes e indicar la frecuencia relativa del evento considerado. Comparar el resultado obtenido con la probabilidad de que en una muestra de 5 d´ıgitos aleatorios no haya dos iguales. 32. Se sortea un n´ umero al azar dentro del intervalo [0, 1]. Hallar la probabilidad de que el n´ umero 7 sea uno de sus d´ıgitos.

1.8.

Simulaci´ on de experimentos aleatorios

33. Simulaci´ on de experimentos aleatorios. Sea Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio. Suponga que cada punto ωk ∈ Ω tiene asignada la probabilidad pk . Usando un n´ umero aleatorio U , uniformemente distribuido dentro del intervalo [0, 1], se define el mec´anismo aleatorio siguiente X :=

n X k=1

k1 {Lk−1 < U ≤ Lk } ,

P donde L0 := 0 y Lk := ki=1 pi , para k ≥ 1. Demostrar que, identificando cada punto ω ∈ Ω con su correspondiente sub´ındice, el mec´anismo aleatorio X es adecuado para simular los resultados del experimento aleatorio considerado.

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34. Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad de que al arrojar 4 dados equilibrados la suma de los resultados sea menor que 16. Comparar la estimaci´on obtenida con el valor verdadero de la probabilidad. 35. M´etodo de Monte Carlo. Se elige al azar un punto (X, Y ) dentro del cuadrado de v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funci´on continua cualquiera. (a) Hallar la probabilidad del evento A = {Y ≤ f (X)}. (b) Mediante diez mil simulaciones, estimar la probabilidad de A cuando f (x) =

2 √1 e−x /2 . 2π

(c) Tratar de generalizar los resultados obtenidos.

1.9.

Tiempos de espera y espacios discretos infinitos

36. * Tres jugadores a, b, c se turnan en un juego, tal como el ajedrez, de acuerdo a las siguientes reglas. Al inicio juegan a y b y c queda afuera. El perdedor es reemplazado por c y en el segundo partido el ganador juega con c mientras que el perdedor queda afuera. El juego continua de este modo hasta que un jugador ganas dos veces seguidas, y se convierte en el ganador del juego. Para simplificar omitimos la posibilidad de empates en juegos individuales. Los resultados posibles de nuestro juego se indican en el siguiente esquema: aa, acc, acbb, acbaa, acbacc, acbacbb, acbacbaa, . . . bb, bcc, bcaa, bcabb, bcabcc, bcabcaa, bcabcabb, . . .

(*)

Adem´ as, es posible que ning´ un jugador gane dos veces seguidas, lo que significa que el juego continua indefinidamente de acuerdo con alguno de los siguientes patrones acbacbacbacb . . . ,

bcabcabcabca . . . .

(**)

El espacio muestral correspondiente a nuestro “experimento” ideal se define por (∗) y (∗∗) y es infinito. Es claro que los puntos muestrales pueden disponerse en una sola sucesi´on tomando tomando primero los dos puntos de (∗∗) y continuando con los puntos de (∗) ordenados del siguiente modo: aa, bb, acc, bcc, . . . Atribuimos a cada punto de (∗) que contiene exactamente k letras probabilidad 1/2k (En otras palabras, aa, bb tienen probabilidad 1/4, acb tiene probabilidad 1/8, etc.) (a) Muestre que las probabilidades de los puntos en (∗) suman la unidad, por consiguiente los dos puntos de (∗∗) reciben probabilidad cero. (b) Muestre que la probabilidad que a gane es 5/14. La probabilidad de que b gane es la misma, y c tiene probabilidad 2/7 de ganar. (c) La probabilidad de que ninguna decisi´ on se alcance en o antes del k-´esimo turno es 1/2k−1 37. Por qu´e motivo es imposible definir una distribuci´on uniforme sobre espacios muestrales discretos infinitos.

9

2.

Variables aleatorias

2.1.

Funci´ on de distribuci´ on

1. Dada la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X, indicar como se calculan las siguientes probabilidades P(a ≤ X ≤ b),

P(a ≤ X < b),

P(a < X < b).

2. Sea X una variable aleatoria cuya funci´on de distribuci´on FX (x) = P(X ≤ x) tiene gr´ afico de forma 1

FX(x)

2/3

1/3

0 −3

−2

−1

0 x

1

2

3

Calcular P(−2 < X ≤ 2),

P(−2 ≤ X ≤ 2),

P(−2 ≤ X < 2),

P(−2 < X < 2).

3. Se tiene una moneda cargada con probabilidad de salir “cara” p = 3/4. Hallar y graficar la funci´on de distribuci´on de la cantidad de caras observadas en cinco lanzamientos de dicha moneda. 4. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas verdes. En cada paso se extrae una bola al azar y si es verde se la reemplaza en la urna por una roja. Hallar y graficar la funci´on de distribuci´on de la cantidad de pasos necesarios para sacar una bola roja. 5. Fiabilidad y distribuciones Weibull. Sea T la duraci´ on del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electr´ onico cuya funci´on intensidad de fallas λ(t) es de la forma λ(t) = (αβ)tβ−1 1{t > 0}, donde α, β > 0. 10

(a) Hallar la funci´on de distribuci´on y la funci´on densidad de probabilidades de T (b) Comparar e interpretar probabil´ısticamente los gr´ aficos de las densidades que se obtienen cuando α = 1 y β = 1, 2, 3, 4. 6. Se usa el siguiente mecanismo aleatorio para producir una variable aleatoria X. Se tira una moneda honesta. Si sale cara, ponemos X = 0. Si sale ceca, sorteamos un n´ umero aleatorio, u, distribuido uniformemente en el intervalo [0, 1] y ponemos X = u. Hallar la funci´on de distribuci´on de X.

2.2.

Descomposici´ on de Jordan

7. Descomponer, en parte discreta y parte continua, la funci´on de distribuci´on considerada en el ejercicio 2. 8. Descomponer, en parte discreta y parte continua, la funci´on de distribuci´on obtenida en el ejercicio 6.

2.3.

Construcci´ on de variables aleatorias

9. Construir un m´ecanismo aleatorio para simular la duraci´ on del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electr´ onico cuya funci´on intensidad de fallas es λ(t) = 1{t > 0}. 10. Construir un m´ecanismo aleatorio para simular la duraci´ on del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electr´ onico cuya funci´on intensidad de fallas es λ(t) = 3t2 1{t > 0}. 11. Normal estandar. (a) Demostrar que la funci´on ϕ : R → R definida por ϕ(x) = densidad de probabilidades.

2 √1 e−x /2 2π

es una funci´on

(b) Sea Φ(x) la funci´on integral de ϕ(x) definida por Z x 1 2 √ e−t /2 dt. Φ(x) := 2π −∞ Consultando alg´ un libro de Probabilidad y Estad´ıstica (o recurriendo a un software adecuado) construir una tabla de valores de Φ(x) para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. (c) Sea p ∈ (0, 1). El n´ umero xp que resuelve la ecuaci´ on Φ(x) = p se llama el cuantil de nivel p de la distribuci´ on normal. Construir una tabla de cuantiles para p = 0.5; 0.75; 0.9; 0.95; 0.99; 0.995; 0.999. (d) Construir un mec´anismo aleatorio para simular valores de una variable aleatoria X cuya funci´on de distribuci´on sea Φ(x) y simular diez de sus valores. 12. Construir un dado equilibrado 13. Construir un dado cargado tal que la probabilidad de observar el valor i sea (7 − i)/21, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 11

14. Construir una variable aleatoria X cuya funci´on de distribuci´on sea la del ejercicio 2.

2.4.

Esperanzas

15. Un libro sobre juegos recomienda la siguiente estrategia para ganar en la ruleta. Se juega un peso al rojo. Si sale rojo (cuya probabilidad es 18/37), el jugador debe tomar su ganancia y retirarse de la mesa. Si no sale rojo (cuya probabilidad es 19/37), debe apostar un peso al rojo en cada uno de las dos tiradas siguientes y abandonar la mesa. Sea X la “ganancia” del jugador cuando abandona la mesa. (a) Hallar y graficar la funci´on de distribuci´on de X (b) Calcular E[X]. (c) ¿Qu´e opina de la estrategia recomendada? 16. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on uniforme sobre el conjunto {1, 2, . . . , n}. Esto es P(X = x) = n1 para cada x = 1, 2, . . . , n. Hallar las expresiones de E[X] y V(X) utilizando las identidades siguientes n X i=1

n(n + 1) i= , 2

n X i=1

i2 =

n(n + 1)(2n + 1) . 6

17. Sea X la variable aleatoria construida en el ejercicio 14. Calcular E[X]. 18. Sea X una variable aleatoria a valores en el conjunto {1, 2, 3} tal que E[X] = 2. Hallar los valores de pi = P(X = i), i = 1, 2, 3 que maximizan la varianza de X.

2.5.

Desigualdad de Chebychev

19. Suponga que E[X] = 0 y V(X) = 1. Cu´anto de grande puede ser P(|X| ≥ 3)? 20. La cantidad de art´ıculos producidos semanalmente por una f´abrica es una variable aleatoria X de media 50. (a) Qu´e puede decirse sobre la probabilidad de que X ≥ 75? (b) Si la varianza de X es 25, qu´e puede decirse sobre P(40 < X < 60)?

2.6.

Transformaci´ on de variables

21. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua con funci´on densidad de probabilidades f (x). Hallar la expresi´ on de la funci´on densidad de probabilidades de Y = |X|. 22. El tiempo, t, en horas, que se tarda en reparar una PC es una variable aleatoria con distribuci´on uniforme sobre el intervalo (0, 4). √ El costo en mano de obra de reparaci´on depende del tiempo utilizado y es igual a 120 + 90 t. Hallar la funci´on de distribuci´on del costo en mano de obra de reparar una PC y calcular su media. 12

23. Se quiebra una vara en un punto al azar. Calcular la probabilidad de que la longitud de la pieza m´ as larga sea mayor que el doble de la longitud de la pieza mas corta. 24. Sea sortea U un n´ umero al azar sobre el intervalo [0, 1]. Hallar la distribuci´on del primer d´ıgito de U . 25. Sea λ > 0. Demostrar que si X ∼ Exp(λ), entonces Y = [X] + 1 ∼ Geom(p), para alg´ un p ∈ (0, 1) que depende de λ. 26. El precio de uso de un tel´efono p´ ublico es de 20 centavos por pulso. Los pulsos se cuentan cada dos minutos o fracci´on. Suponga que las llamadas tienen duraci´ on exponencial de media 3 minutos. Hallar la media y la varianza del costo de cada llamada.

2.7.

Truncamientos

27. La longitud de los peces de una laguna (en cm.) tiene densidad f (x) = cx(20 − x)1{0 < x < 20}. Un bi´ ologo quiere estimar f y para ello captura peces con una red, cuyas mallas dejan escapar los peces menores de 3 cm.. Hallar la densidad que obtiene el bi´ ologo. 28. Sea N una variable aleatoria con distribuci´on geom´etrica de par´ ametro p. (a) Hallar la funci´on de probabilidad de la variable N truncada al conjunto N ≥ n. (b) Mostrar que N |N ≥ n ∼ (n − 1)+Geom(p). 29. Sea T una variable aleatoria con distribuci´on exponencial de intensidad λ > 0. (a) Hallar la funci´on densidad de la variable T truncada al conjunto T ≥ t0 . (b) Mostrar que T |T ≥ t0 ∼ t0 +Exp(λ). 30. Sea T una variable aleatoria con distribuci´on exponencial de intensidad λ > 0. (a) Hallar la funci´on densidad de la variable T truncada al conjunto T ≤ t0 . (b) Calcular E[T |T ≤ t0 ].

2.8.

Densidades generalizadas

31. Sea X la variable aleatoria construida en el 14. (a) Hallar la densidad generalizada de X. (b) Calcular E[X] y V(X). 32. Sea T la duraci´ on del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electr´onico cuya funci´on intensidad de fallas es λ(t) = 1{t > 0}. (a) Hallar y graficar la funci´on de distribuci´on de T ∗ := min(T, 1).

13

(b) Hallar la densidad generalizada de T ∗ . (c) Calcular E[T ∗ ] y V(T ∗ ). 33. Sea X una variable aleatoria caracterizada por la siguiente densidad de probabilidades generalizada 1 1 fX (x) = kx1{3 < x < 9} + δ3 (x) + δ10 (x) 4 4 (a) Hallar el valor de k. (b) Hallar la funci´on de distribuci´on de X. (c) Calcular E[X] y V(X). 34. Sea X una variable aleatoria cuya funci´on de distribuci´on es    2  1 2x + 1 F (x) = 1{−1 ≤ x < 0} + 1 {0 ≤ x < 1/2} 4 2   2x + 5 1 {1/2 ≤ x < 1} + 1{x ≥ 1}. + 8 (a) Graficar la funci´on F (x). (b) ¿En qu´e puntos de R la variable X concentra masa positiva? (c) Dar una expresi´ on expl´ıcita para la densidad generalizada de X. (d) Calcular E[X] y V(X).

14

3. 3.1.

Modelos multivariados Modelos discretos

1. Se arrojan dos dados piramidales con los n´ umeros 1, 2, 3, 4 en sus caras. Sea X el mayor de los resultados observados e Y la suma. Hallar la distribuci´on conjunta de (X, Y ); las distribuciones marginales de X e Y y la distribuci´on condicional de Y dada X. 2. De un mazo de cartas de Poker se extraen repetidamente cartas con reposici´on. Sean X e Y los n´ umeros de extracciones en que salen el primer coraz´on y el primer tr´ebol. (a) ¿X e Y , son variables independientes? (b) Hallar las distribuciones marginales de X e Y . 3. Se arrojan dos dados equilibrados. Sean X el resultado del primer dado e Y el resultado del segundo. Hallar la distribuci´on de X + Y . 4. Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribuci´on Bernoulli de par´ ametros 1/2 y 1/3 respectivamente tales que Cov(X1 , X2 ) = 0. Mostrar que las variables X1 y X2 son independientes. 5. El experimento consiste en ubicar aleatoriamente tres bolas en tres urnas. Sean N la cantidad de urnas ocupadas y Xi la cantidad de bolas en la urna i, i = 1, 2, 3. (a) Calcular Cov(N, X1 ) y Cov(X1 , X2 ). (b) Calcular V(X1 + X2 ). 6. En una urna hay una 3 bolas de distinto color. El experimento aleatorio consiste en lo siguiente: se extrae una bola, se registra el color observado y se repone la bola en la urna. Se realizan 6 experimentos. Sean Xi , i = 1, 2, 3 las variables aleatorias definidas por Xi := 1{ si el color i est´a en la muestra observada}. (a) Hallar Cov(Xi , Xj ). (b) Sea N := X1 + X2 + X3 . Hallar E[N ] y V ar(N ). (c) Cu´al es el significado de la variable N ? 7. Una rata est´a atrapada en un laberinto. Puede elegir una de tres direcciones: Este (E), Norte (N) o Sur (S). Si va para el Este se perder´ a en el laberinto y luego de 4 minutos volver´a a su posici´on inicial; si va para el Norte volver´a a su posici´on inicial luego de 7 minutos; si va para el Sur saldr´a del laberinto luego de 3 minutos. Hallar la esperanza del tiempo que demora en salir del laberinto, suponiendo que en cada intento la rata elige las direcciones E, N y S con probabilidades 0.3, 0.5 y 0.2, respectivamente. 8. Sean X1 , X2 las variables aleatorias definidas en el ejercicio 6. Hallar la recta de regresi´on de X2 basada en X1 .

15

9. Se lanza una moneda honesta 6 veces y se observan X =“la cantidad de caras” e Y =“la cantidad de cecas”. Calcular la covarianza y el coeficiente de correlaci´ on de X e Y . 10. Se lanzan dos dados equilibrados. Sea X el resultado del primero e Y el resultado del segundo. Hallar la funci´on de probabilidades y el valor esperado del m´ınimo entre X e Y .

3.2.

Mezclas

11. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos. Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere 5 kilos. (a) Hallar la funci´on de probabilidad y la media de la cantidad final de bolsas en la balanza. (b) Hallar la funci´on de distribuci´on y la media del peso final as´ı obtenido. 12. En una urna hay 4 bolas verdes y 6 bolas rojas. El peso de las bolas verdes tiene distribuci´on exponencial de media 25 gramos, y el de las rojas exponencial de media 35 gramos. Sea X el peso de una bola elegida al azar de la caja. (a) Hallar la funci´on de distribuci´on de X. (b) Sabiendo que la bola elegida pesa 30 gramos, hallar la probabilidad de que la bola elegida sea roja.

3.3.

Modelos continuos

13. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta f (x, y). Demostrar que X e Y son independientes si y solo si existen funciones g y h tales que f (x, y) = g(x)h(y). 14. Dadas dos variables aleatorias X1 , X2 , uniformes e independientes sobre el intervalo [1, 2], se construyen un cuadrado de lado X1 y un c´ırculo de radio X2 . Calcular la probabilidad de que el ´area del cuadrado supere el ´ area del c´ırculo. 15. Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribuci´on uniforme sobre el intervalo [0, 1]. Una vara de longitud 1 se quiebra en dos puntos cuyas distancias a una de sus puntas son X e Y . Calcular la probabilidad que las tres piezas puedan usarse para construir un tri´ angulo. (“Παντ o`ς τ ̺ιγ ω ´ νoυ α´ι δ υ´o πλευ̺α`ι τ η˜ς λoιπ η˜ς µε´ιζoν ε´ς ε´ισι π α ´ ντ η µετ αλαµβαν o´µεναι” Euclides, (-300). Elementos de Geometr´ıa) 16. Sean a, b y c variables aleatorias independientes con distribuci´on U[0, 1]. Hallar la probabilidad de que ax2 + 2bx + c no tenga ra´ıces reales. 17. Sean X e Y variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas sobre el intervalo [−1, 1]. Hallar la funci´on densidad de (a) X + Y , (b) X − Y , (c) |X − Y |, (d) XY , (e) m´ın{X, Y 3 }, (f ) m´ ax{X, Y 3 }. 18. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas sobre el intervalo [0, 1]. Hallar la funci´on densidad de X + Y .

16

19. Sea Λ la regi´ on del plano (de a´rea 1/2) limitada por el cuadrilatero de v´ertices (0, 0), 1 1 (1, 1), (0, 2 ), ( 2 , 1) y el tri´ angulo de v´ertices ( 12 , 0), (1, 0), (1, 21 ). Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribuci´on uniforme sobre Λ. (a) Hallar las distribuciones marginales de X y de Y . (b) Hallar la funci´on densidad de probabilidades de X + Y . 20. Sea (X, Y ) con distribuci´on uniforme en el cuadrado de v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Sea  h(x, y) = 1 y ≤ e−2x Hallar la media y la varianza de U := h(X, Y ).

21. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribuci´on uniforme en el cuarto del c´ırculo de radio 1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante. (a) Hallar la densidad marginal de X. (b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2. √ (c) Hallar la funci´on distribuci´on de Z = X 2 + Y 2 . 22. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad 1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformemente distribu´ıdo en el c´ırculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entre el punto donde se clav´o el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4. Hallar la funci´on de distribuci´on y la esperanza del puntaje asignado. 23. Sea (X, Y ) un punto aleatorio del plano con densidad conjunta f (x, y). Hallar la densidad conjunta y las densidades marginales de sus coordenadas polares. 24. Oscilaciones arm´ onicas aleatorias. Distribuci´ on de Rayleigh. Hallar las densidades de la amplitud y de la fase de las oscilaciones arm´onicas aleatorias con frecuencia determinada X(t) = A sen ωt + B cos ωt, si los coeficientes A y B son variables aleatorias independientes con distribuci´on normal N (0, 1). 25. Sean X e Y variables aleatorias independientes, con distribuci´on exponencial de intensidad λ > 0. (a) Hallar la densidad conjunta de U = X + Y , V = X/Y y mostrar que son independientes. (b) Calcular E[V ].

3.4.

L´ınea de regresi´ on y esperanza condicional

26. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta f (x, y) = xe−x(x+y) 1{x ≥ 0, y ≥ 0}. (a) Hallar y gr´ aficar la l´ınea de regresi´on µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X 17

(b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X. 27. Sea (X, Y ) un punto uniformemente distribuido sobre el semic´ırculo superior de radio 1 centrado en el origen Λ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. (a) Hallar y gr´ aficar la l´ınea de regresi´on µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X (b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X. 28. Sea (X, Y ) un punto uniformemente distribuido sobre el tri´ angulo de v´ertices (0, 0), (3, 0), (3, 4). (a) Hallar y gr´ aficar la l´ınea de regresi´on µ(x) := E[Y |X = x] de Y sobre X (b) Hallar la esperanza condicional de Y dada X.

3.5.

C´ alculos por condicionales.

29. Se arroja un dado 100 veces. Sean X e Y las cantidades de resultados pares e impares respectivamente. Hallar la esperanza condicional E[Y |X] y el valor de Cov(X, Y ). 30. Una televidente quiere participar de un concurso y realiza llamadas al canal de televisi´ on. El tiempo entre llamadas es una variable exponencial de media 50 segundos. Por cada llamada la probabilidad de comunicarse con el programa es 1/6. Hallar la esperanza y la funci´on de distribuci´on del tiempo que tiene que esperar para comunicarse con el programa. 31. Una part´ıcula suspendida en agua es bombardeada por moleculas en movimiento t´ermico y recibe (por segundo) una cantidad de impactos cuya distribuci´on es Poisson de media 10. Por cada impacto la part´ıcula se mueve un mil´ımetro hacia la derecha con probabilidad 3/4 o un mil´ımetro hacia la izquierda con probabilidad 1/4. Hallar la posici´on media de la part´ıcula al cabo de un segundo. 32. Pedro, Pablo y Lucas trabajan como mecan´ografos en una imprenta. La cantidad de errores que comete Pedro al tipear un escrito es una variable aleatoria Poisson de media 2.6; si lo tipea Pablo la cantidad de errores es una variable aleatoria Poisson de media 3; y si lo tipea Lucas es una variable aleatoria Poisson de media 3.4. Cuando llega un manuscrito a la imprenta la probabilidad de que lo reciba cualquiera de los tres es la misma. Sea X la cantidad de errores en un manuscrito tipeado. Hallar E[X] y V(X). 33. La cantidad de clientes que entran en una tabaquer´ıa tiene distribuci´on Poisson de media 10. La cantidad de dinero que gasta cada cliente est´a distribuida uniformemente sobre el intervalo (0, 100). Hallar la media y la varianza de la cantidad de dinero que recibe el tabaquero.

3.6.

M´ınimos y estad´ısticos de orden

34. Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias exponenciales independientes de intensidades λ1 , λ2 , . . . , λn , respectivamente.

18

(a) Hallar la distribuci´on de U := m´ın{X1 , X2 , . . . , Xn }. (b) Calcular P(U = Xi ). 35. Sean X1 , X2 , X3 variables aleatorias independientes id´enticamente distribuidas con distribuci´ on com´ un exponencial de intensidad λ. Hallar la densidad conjunta y las densidades marginales de las variables T1 := X(1) , T2 := X(2) − X(1) , T3 := X(3) − X(2) . Sugerencia: por razones de simetr´ıa el problema se reduce a considerar el caso en que X1 < X2 < X3 . Utilizando integrales calcular P(X1 > t1 , X2 − X1 > t2 , X3 − X2 > t3 ). 36. Lucas, Pedro y Pablo entran a un banco y encuentran dos ventanillas libres. Los tres tiempos de servicio son variables aletorias independientes con la misma distribuci´on exponencial. Los primeros en ser atendidos son Lucas y Pedro. Pablo deber´a esperar a que alguno de los dos termine su tr´amite. (a) Hallar la probabilidad de que Pablo no sea el u ´ltimo en salir del banco. (b) Hallar la distribuci´on del tiempo que tarda Pablo en salir del banco. (c) Hallar la distribuci´on del tiempo que tarda en salir del banco el u ´ltimo de los tres.

19

4. 4.1.

Procesos aleatorios Distribuci´ on binomial

1. La probabilidad de acertar a un blanco es 1/5. Se disparan 10 tiros independientemente. (a) Calcular la probabilidad de que el blanco reciba al menos dos impactos. (b) Calcular la probabilidad condicional de que el blanco reciba al menos dos impactos, suponiendo que recibi´ o al menos uno. 2. Se tira un dado 6 veces. Calcular la probabilidad de obtener (a) al menos un as, (b) exactamente un as, (c) exactamente dos aces. 3. Qu´e tan larga debe ser una sucesi´on de d´ıgitos aleatorios para que la probabilidad de que aparezca el d´ıgito 7 sea por lo menos 9/10? 4. La probabilidad de acertar a un blanco es 1/5. (a) Se disparan 9 tiros independientemente. Hallar la cantidad m´ as probable de impactos recibidos por el blanco. (b) Se disparan 10 tiros independientemente. Hallar la cantidad m´ as probable de impactos recibidos por el blanco. 5. El 1 % de los individuos de una poblaci´on es zurdo. Estimar la probabilidad de encontrar 4 zurdos entre 200 individuos. (Sugerencia: usar el desarrollo de Taylor: P al menos xn ex = ∞ .) n=0 n!

6. Un libro de 500 p´aginas contiene 500 errores. Estimar la probabilidad de que la p´agina 1 contenga al menos tres errores.

4.2.

Distribuci´ on geom´ etrica

7. Calcular la probabilidad de que en una sucesi´on de d´ıgitos aleatorios el d´ıgito 7 no aparezca jam´ as. 8. Lucas est´a completamente borracho y perdido en Parque Chas. Con probabilidad 1/5 elige un camino que lo lleva a su casa en 45 minutos y con probabilidad 4/5 elige un camino circular y vuelve a su punto de partida en 20 minutos. Cada vez que retorna al punto de partida vuelve a elegir uno de los dos caminos con las mismas probabilidades dadas anteriormente. Hallar la esperanza del tiempo que demora Lucas en llegar a su casa. 9. Se tirar´a un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea N la cantidad de tiradas necesarias y sea M la cantidad de cuatros obtenidos. (a) Calcular E[M ]. 20

(b) Calcular Cov(N, M ). 10. Chocolatines Jack lanza una colecci´ on de mu˜ nequitos con las figuras de los personajes de Kung Fu Panda: Panda, Tigre, Mono, Grulla y Mantis. Cada vez que Lucas compra un chocolat´ın es igualmente probable que obtenga alguno de los personajes. Sea N la cantidad de chocolatines que Lucas debe comprar hasta completar la colecci´ on, hallar E[N ] y V ar(N ). Interprete los resultados. 11. Un juego de azar comienza tirando un par de dados. Si la suma de los dados es 2, 3, o 12 el jugador pierde. Si es 7 o 11, el jugador gana. Si es otro n´ umero s, el jugador continua tirando los dados hasta que la suma sea 7 o s. (Por ejemplo, si la suma es 5, el jugador continua tirando hasta que la suma sea 5 o 7). Si es 7, el jugador pierde, si es s el jugador gana. Sea R la cantidad de tiradas en el juego de azar. Hallar (a) E[R]; (b) la probabilidad de que el jugador resulte ganador en el tiro n + 1, n ≥ 1, si al comienzo del juego la suma de los dados result´o s, para alg´ un s ∈ / {2, 3, 7, 11, 12}; (c) la probabilidad de que el jugador resulte ganador, si el juego termin´ o en el tiro n + 1, n ≥ 1; (d) La probabilidad de que el jugador resulte ganador.

4.3.

Distribuci´ on Pascal

12. Se arroja repetidamente un dado. Calcular la probabilidad de que el tercer as salga en el s´eptimo tiro. 13. Monk y Lucas disputan la final de un Campeonato de Ajedrez. El primero que gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duraci´ on de cada partida (medida en horas) es una variable aleatoria cuya funci´on densidad de probabilidad es   t−1 f (t) = 1{1 ≤ t ≤ 3}. 2 La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duraci´ on de la misma. Si dura menos de 2 horas, gana con probabilidad 3/4; si no, gana con probabilidad 1/2. ¿Cu´al es la probabilidad de que Lucas gane el Campeonato en la octava partida?

4.4.

Cuentas con exponenciales

14. Sean T1 y T2 variables aleatorias independientes exponenciales de par´ ametro 2. Sean T(1) = m´ın(T1 , T2 ) y T(2) = m´ ax(T1 , T2 ). Hallar la esperanza y la varianza de T(1) y de T(2) . 15. Lucas entra en un banco que tiene dos cajas independientes. Pablo est´a siendo atendido por el cajero 1 y Pedro por el cajero 2. Lucas ser´a atendido tan pronto como Pedro o Pablo salg´ an de la caja. El tiempo, en minutos, que demora el cajero i en completar un servicio es una variable aleatoria exponencial de media 23−i , i = 1, 2. Hallar 21

(a) la probabilidad de que Pablo sea el primero en salir; (b) la probabilidad de que Pablo sea el u ´ltimo en salir. 16. Una l´ ampara tiene una vida, en horas, con distribuci´on exponencial de par´ ametro 1. Un jugador enciende la l´ ampara y, mientras la l´ ampara est´a encendida, lanza un dado equilibrado de quince en quince segundos. Hallar el n´ umero esperado de 3’s observados hasta que la l´ ampara se apague. 17. Suma geom´etrica de exponenciales independientes. Sean T1 , T2 , . . . una sucesi´on de variables aleatorias independientes identicamente distribuidas con ley exponencial de intensidad PN λ. Se define T = i=1 Ti , donde N es una variable aleatoria con distribuci´on geom´etrica de par´ ametro p, independiente de las variables T1 , T2 , . . . . Hallar la distribuci´on de T . (Sugerencia: Utilizar la f´ormula de probabilidad total condicionando a los posibles valores de N y el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on exponencial.) 18. * En la fila de un cajero autom´atico hay personas que esperan realizar una operaci´on; cada vez que una persona termina su operaci´on, la siguiente comienza la suya. Las personas son impacientes, e independientemente de lo que hagan las dem´as, cada una espera solamente un tiempo exponencial de tasa 1; luego del cual si no ha comenzado su operaci´on se retira de la fila. Por otra parte, los tiempos consumidos en cada operaci´on son independientes y exponenciales de tasa 10. Suponga que una persona est´a utilizando el cajero. Hallar la probabilidad de que la octava persona en la fila realice su operaci´on.

4.5.

Procesos de Poisson

19. A un quiosco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 30 por hora. (a) Hallar la probabilidad de que en media hora lleguen exactamente 15 clientes. (b) Hallar la probabilidad de que el tiempo de espera entre la octava y la decima llegada supere los 5 minutos. 20. Sea {N (t), t ≥ 0} un proceso de Poisson de tasa 8. Sea T el tiempo de espera hasta el cuarto evento. Hallar (a) E[T ]. (b) E[T |N (1) = 2]. (c) E[N (4) − N (2) |N (1) = 3]. 21. En un sistema electr´ onico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196 fallas. Hallar la media y la varianza del tiempo de uso del sistema. 22. Un servidor recibe clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 4 clientes por hora. El tiempo de trabajo (en minutos) consumido en cada servicio es una variable aleatoria con distribuci´on exponencial de media 5. Sabiendo que durante la primera hora el

22

servidor recibi´ o menos de 3 clientes, hallar la funci´on densidad de probabilidad (generalizada) del tiempo de trabajo consumido por el servidor y el valor medio de dicho tiempo. 23. Una m´ aquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La m´ aquina corta el alambre en la primer falla antes de los 50 metros o a los 50 metros si no hay fallas antes. (a) Hallar la funci´on de distribuci´on de la longitud de los rollos de alambre. (b) Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre. Adelgazamiento 24. Ocurren choques de acuerdo con proceso de Poisson de intensidad 1 por segundo; independientemente cada choque hace que un sistema falle con probabilidad 1/2. Sea T el tiempo en que falla el sistema. Hallar la distribuci´on de T , E[T ] y V ar(T ). 25. Una m´ aquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La m´ aquina corta el alambre en la primer falla detectada despu´es de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. (a) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos. (b) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos que miden m´ as de 100 metros. 26. Una m´ aquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La m´ aquina detecta cada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 100 metros o a los 100 metros si no se detectan fallas antes. (a) Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre. (b) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos. 27. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 20 por hora. En forma independiente de los dem´as, cada cliente realiza un dep´ osito con probabilidad 1/4 o una extracci´on con probabilidad 3/4. (a) Si el banco abre sus puertas a las 10:00, cu´ al es la probabilidad de que el segundo dep´ osito se efectu´e pasadas las 10:30? (b) Cada dep´ osito (en pesos) se distribuye como una variable U[100, 900] y cada extracci´on como una variable U[100, 500]. Si un cliente realiza una operaci´on bancaria de 200 pesos, cu´ al es la probabilidad de que se trate de un dep´ osito? Superposici´ on y competencia 28. Un contador recibe impulsos de dos fuentes independientes, A y B. La fuente A genera impulsos de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 3, mientras que la fuente B genera impulsos siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5. Suponga que el contador registre todo impulso generado por las dos fuentes.

23

(a) Sea N (t) el n´ umero de impulsos registrado por el contador hasta el tiempo t, t > 0 (N (0) = 0). Explique por qu´e {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson (basta una explicaci´on intuitiva). Cu´al es la tasa? (b) Cu´al es la probabilidad de que el primer impulso registrado sea de la fuente A? (c) Dado que exactamente 100 impulsos fueron contados durante la primer unidad de tiempo, cu´ al es la distribuci´on de la cantidad emitida por la fuente A? Distribuci´ on condicional de los tiempos de llegada 29. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 10 por hora. Suponga que dos clientes llegaron durante la primer hora. Cu´al es la probabilidad de que (a) ambos lleguen durante los primeros 20 minutos? (b) al menos uno llegue durante los primeros 20 minutos? Proceso de Poisson Compuesto 30. Una part´ıcula suspendida en agua es bombardeada por moleculas en movimiento t´ermico de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 10 impactos por segundo. Cuando recibe un impacto la part´ıcula se mueve un mil´ımetro hacia la derecha con probabilidad 3/4 o un mil´ımetro hacia la izquierda con probabilidad 1/4. Trancurrido un minuto, cu´ al es la posici´on media de la part´ıcula? 31. Familias de argentinos migran a Italia de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 4 por semana. Si el n´ umero de integrantes de cada familia es independiente y puede ser 2, 3, 4, 5 con probabilidades respectivas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4. ¿Cu´al es el valor esperado del n´ umero de argentinos que migran a Italia durante un per´ıodo fijo de 15 semanas? 32. Un servidor recibe clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 4 clientes por hora. El tiempo de trabajo (en minutos) consumido en cada servicio es una variable aleatoria U[1, 9]. Al cabo de 8 horas, cu´ al es el tiempo medio de trabajo consumido por todos los servicios? 33. A una estaci´on de trenes llegan personas de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 50 por minuto. El tren parte a los 20 minutos. Sea T la cantidad total de tiempo que esperaron todos aquellos que subieron al tren. Hallar E[T ] y V(T ). (Sugerencia: Condicionar al valor de N (20) = cantidad de llegadas en 20 minutos y usar la f´ormula de probabilidad total.) 34. Sea S(t) el precio de un seguro a tiempo t. Un modelo para el proceso {S(t), t ≥ 0} supone que el precio se mantiene constante hasta que ocurre un “sobresalto”, en ese momento el precio se multiplica por un factor aleatorio. Sea N (t) la cantidad de “sobresaltos” a tiempo t, y sea Xi el i-´esimo factor multiplicativo, entonces el modelo supone que N (t)

S(t) = S(0)

Y i=1

24

Xi

Q donde 0i=1 Xi = 1. Suponga que los factores son variables exponenciales independientes de tasa 1/2; que {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson de tasa 1, independiente de los Xi ; y que S(0) = 1. (a) Hallar E[S(t)] (Sugerencia: Usar la f´ormula de probabilidad total condicionando a los posibles valores de N (t) y el desarrollo en serie de Taylor de la exponencial.) (b) Hallar E[S 2 (t)].

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5. 5.1.

Distribuci´ on Normal y Teorema Central del L´ımite La distribuci´ on normal estandar

1. Sea X ∼ N (0, 1) una variable aleatoria con distribuci´on normal estandar. (a) Usando una tabla calcular P(−0.43 < X < 1.32), P(1.28 < X < 1.64) y P(|X| < 1.64). (b) Usando una tabla resolver las siguientes ecuaciones P(X < a) = 0.1, P(X > b) = 0.2, P(|X| < c) = 0.95. 2. Sea X ∼ N (0, 1) una variable aleatoria con distribuci´on normal estandar. Estimar las siguientes probabilidades P(Z < 4); P(Z < 5); P(4 < Z < 5). 3. Log-Normal. Sea Y = eX donde X ∼ N (0, 1). Hallar la funci´on densidad de Y . 4. Chi-cuadrado. Sea Y = X 2 donde X ∼ N (0, 1). (a) Hallar la funci´on densidad de Y . (b) Probar que X e Y son incorrelacionadas pero no independientes.

5.2.

Cuentas con Normales

5. El di´ ametro de un cable el´ectrico tiene distribuci´on normal de media 2 cm. y varianza 0.0016. El cable se considera defectuoso si la diferencia entre el di´ ametro y la media supera 0.05 (a) Hallar la probabilidad de que el di´ ametro supere los 2.1 cm. (b) Hallar la probabilidad de obtener un cable defectuoso. 6. Para modelar el precio del kilo de asado se usa una variable aleatoria con distribuci´on normal de media 5 d´olares y varianza 4. ¿Qu´e puede decirse de semejante modelo? 7. La vida en horas de una l´ ampara tiene una distribuci´on normal de media 100 horas. Si un comprador exige que por lo menos el 90 % de ellas tenga una vida superior a las 80 horas, cu´ al es el valor m´ aximo que puede tomar la varianza manteniendo siempre satisfecho al cliente? 8. En un control de calidad de hormig´ on se extraen 3 probetas al azar. Cada una es probada para su resistencia a la compresi´ on. Una probeta pasar´a la prueba si resiste por lo menos una carga axial de 5500 kg. La resistencia a la rotura de la probetas puede ser modelada por una distribuci´on normal de media µ = 7340 y desv´ıo σ = 1050 kg. La especificaci´ on requiere que las 3 probetas pasen la prueba para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lote cada d´ıa. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el primer lote rechazado sea el preparado el quinto d´ıa? (b) El contratista puede mejorar la mezcla llevando la media de la distribuci´on anterior a 8250 kg. y reduciendo adem´ as el coeficiente de variaci´on (σ/µ) en un 10 % respecto del anterior. ¿Cu´al ser´ıa entonces la probabilidad de que le sea rechazado por lo menos un lote en 10 d´ıas?

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9. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la funci´on densidad conjunta y las funciones densidad marginales de W = X − Y y Z = X + Y . ¿Qu´e se puede concluir? 10. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la funci´on de densidad conjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrar que W y Z son independientes. 11. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Calcular P(X ≤ 0|X − Y = 1)

5.3.

Ley d´ ebil de los grandes n´ umeros para enayos Bernoulli

12. Hallar el tama˜ no muestral para estimar una proporci´ on p, de forma tal que el error de la estimaci´on sea menor que 0.01 con probabilidad por lo menos igual a 0.95.

5.4.

Teorema de De Moivre-Laplace

13. La probabilidad de que un tirador haga impacto en el blanco en un disparo es 1/2. (a) Estimar la probabilidad de que en 12 disparos el tirador consiga impactar exactamente 6 veces al blanco. (b) Estimar la probabilidad de que en 12 disparos el tirador haga impacto en el blanco por lo menos 6 veces. (c) Comparar las estimaciones obtenidas con los resultados exactos. 14. Repita el Ejercicio anterior cuando la probabilidad de que el tirador haga impacto en el blanco en un disparo es 1/3. 15. Suponga que Sn tiene distribuci´on Binomial(n, p) donde los par´ ametros n y p se describen m´ as abajo. Calcular P(Sn = k), k = 1, 2, . . . , 25 por la f´ormula exacta y por las siguientes aproximaciones 1. Aproximaci´ on por la densidad normal: 1

ϕ P(Sn = k) ∼ p np(1 − p)

2. Correcci´ on por continuidad:

P(Sn = k) = P (k − 1/2 < Sn < k + 1/2) ≈ Φ

k − np

p np(1 − p) k − np + 1/2 p np(1 − p)

!

!

−Φ

k − np − 1/2 p np(1 − p)

!

Comparar (por gr´ aficos) cu´ an buenas son las aproximaciones y cu´ an necesaria es la correcci´on por continuidad de acuerdo con los valores de n y p. Utilizar n = 5, 8, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 200 y p = (0.05)s, s = 1, 2, . . . , 10. 16. Hallar el tama˜ no muestral para estimar una proporci´ on p, de forma tal que el error de la estimaci´on sea menor que 0.01 con probabilidad por lo menos igual a 0.95. Comparar con el Ejercicio 12. 27

17. Dos aerol´ıneas A y B ofrecen id´entico servicio para viajar de Buenos Aires a San Pablo. Suponga que compiten por la misma poblaci´on de 400 clientes, cada uno de los cuales elige una aerol´ınea al azar. ¿Cu´al es la probabilidad de que la l´ınea A tenga m´ as clientes que sus 210 asientos? 18. Una excursi´ on dispone de 100 plazas. La experiencia indica que cada reserva tiene una probabilidad 0.1 de ser cancelada a u ´ltimo momento. No hay lista de espera. Se supone que los pasajeros hacen sus reservas individualmente, en forma independiente. Se desea que la probabilidad de que queden clientes indignados por haber hecho su reserva y no poder viajar sea ≤ 0.01. Calcular el n´ umero m´ aximo de reservas que se pueden aceptar. 19. Lucas apuesta a que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de “caras” observadas diferir´ a de 50 en 4 o m´ as. ¿Cu´al es la probabilidad de Lucas pierda su apuesta?

5.5.

Teorema Central del L´ımite

20. Se lanza un dado hasta que la suma de los resultados observados sea mayor que 300. Calcular aproximadamente la probabilidad de que se necesiten al menos 80 lanzamientos. 21. 432 n´ umeros se redondean al entero m´ as cercano y se suman. Suponiendo que los errores individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (−0.5, 0.5), aproximar la probabilidad de que la suma de los n´ umeros redondeados difiera de la suma exacta en m´ as de 6. 22. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descont´andole los decimales. Si se realizan 500 facturas, ¿cu´ al es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superior a 240 pesos? 23. En un sistema electr´ onico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196 fallas. Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiado antes de los 67.2 meses. 24. Un astronauta debe permanecer 435 d´ıas en el espacio y tiene que optar entre dos alternativas. Utilizar 36 tanques de ox´ıgeno de tipo A o 49 tanques de oxigeno de tipo B. Cada tanque de ox´ıgeno de tipo A tiene un rendimiento de media 12 d´ıas y desv´ıo 1/4. Cada tanque de ox´ıgeno de tipo B tiene un rendimiento de media de 8, 75 d´ıas y desv´ıo 25/28. Qu´e alternativa es la m´ as conveniente? 25. Una m´ aquina selecciona ciruelas y las separa de acuerdo con el di´ ametro x (medido en cm.) de cada una. Las de di´ ametro superior a 4 cm. se consideran de clase A y las otras de clase B. El di´ ametro de cada ciruela es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. El peso (medido en gramos) de cada ciruela depende de su di´ ametro y es x3 . Si las cajas pesan 100 gramos, estimar la probabilidad de que una caja con 100 ciruelas de tipo A pese m´ as de 9.6 kilos.

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26. Lucas y Monk palean arena cargando un volquete. La probabilidad de que una palada sea de Monk es 0.4 y la probabilidad de que sea de Lucas es 0.6. El volumen en dec´ımetros c´ ubicos de la palada de Lucas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3, y el de la palada de Monk es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 4. ¿Cu´antas paladas son necesarias para que la probabilidad de que el volquete tenga m´ as de 4 metros c´ ubicos de arena supere 0.9? 27. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir da˜ nos estructurales es una variable aleatoria con distribuci´on normal de media 1400 y desv´ıo 100. El peso (en toneladas) de cada cami´on de arena es una variable aleatoria de media 20 y desv´ıo 0.25. ¿Cu´antos camiones de arena debe haber, como m´ınimo, sobre el tablero del puente para que la probabilidad de que ocurran da˜ nos estructurales supere 0.1?

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