eman ta zabal zazu

Universidad del País Vasco Departamento de Arquitectura y Tecnología de Computadores upv

ehu

Procesado digital de imagen y sonido Tema 3_ Sistemas • •

Definición Descripción: – – –

•

Propiedades – – – – – –

•

PDI 2007-08

Entrada – Salida Diagramas de bloques Ecuaciones diferenciales/recursivas Memoria Linealidad Invarianza temporal Causalidad Estabilidad Invertibilidad

Los más utilizados en procesado de señal.

3.1

Señales y sistemas: ¿Qué son? ¿Qué es una señal? “Una magnitud que es función de una o mas variables independientes y que contiene información sobre la naturaleza de algún fenómeno”.

x(t)

¿Qué es un sistema?

T( )

y(t)

“Un dispositivo que responde a unas señales (entradas) produciendo otras señales (salidas). Transforma unas señales en otras ”.

Señal de entrada

Sistema

Señal de salida

Tensión aplicada a un circuito eléctrico

Circuito eléctrico

Tensión medida entre dos puntos del circuito

Presión sobre el acelerador

Automóvil

Velocidad del automóvil

Muestras digitalizadas de un electrocardiograma

Programa de diagnosis automática de electrocardiogramas

Parámetros estimados

Sonido producido por un violín

Auditorio

Sonido que llega al oído del espectador

Onda electromagnética que llega a una antena

Aparato de televisión

Imagen

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3.2

Sistemas: Descripción entrada-salida Consiste en una operación o regla matemática que define explícitamente la relación entre las señales de entrada y salida del sistema. La estructura interna del sistema es desconocida o ignorada. tiempo discreto tiempo continuo

T( )

x(t)

y(t)

T x(t )  → y (t ) y (t ) = T [ x(t )]

Ejs:

y (t ) = x (t − 1) y (t ) = tx(t ) y (t ) =

dx(t ) dt t

y (t ) = ∫ x(τ )dτ −∞

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T( )

x(n)

y(n)

T x ( n)  → y ( n) y (n) = T [ x(n)]

Ejs:

y (n) = x(n − 1) 1 y (n) = [ x(n + 1) + x(n) + x (n − 1)] 3 y (n) = max[ x(n + 1), x(n), x(n − 1)] y ( n) =

n

∑ x(k )

k = −∞

3.3

Sistemas: Descripción mediante diagramas de bloques La estructura de un sistema se representa a menudo gráficamente mediante diagramas de bloques, que permiten combinar subsistemas, formando sistemas mayores. Cada subsistema se representa con una “caja” y cada señal con una “flecha”. Utilizando bloques básicos, se puede mostrar la estructura interna de un sistema Multiplicador por constate:

Sumador :

k x(n)

Multiplicador :

x1(n)

x1(n) y(n) = k x(n)

y(n) = x1(n)+ x2(n) x2(n)

x2(n) Retardador: x(n)

Adelantador: y(n)= x(n-1)

x(n)

z-1

y(n)= x(n+1) z

z-1

Ej:

y(n) = x1(n) x2(n)

x

+

y (n) = 0.25 y (n − 1) + x(n) + 0.5 x(n − 1)

0.5

x(n)

y(n) +

+

z-1 0.25

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3.4

Interconexión de sistemas

Conexión en serie o cascada:

x(n)

y(n)= T2[T1[x(n)]] T1( )

T2( )

Conexión en paralelo:

x(n) T1( )

y(n)= T1[x(n)]+T2[x(n)] +

T2( )

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3.5

Sistemas: Descripción mediante ec. diferenciales/recursivas La representación de un sistema mediante una relación entrada-salida explícita no siempre es posible o si lo es a veces no es manejable. Es muy habitual trabajar con las siguientes descripciones: tiempo continuo tiempo discreto Ecuación diferencial de orden N Ecuación recursiva de orden N

 dy (t ) d N y (t ) dx(t ) d M x(t )  y (t ) = F  , ..., , , ...,  N dt dt dt dt N   x(t)

y(t)

F( )

x(n)

y(n)

F( )

d dt

z −1

d2 dt 2

z −2

Ej. : y (t ) = x(t ) − RC

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y ( n) = F [ y ( n − 1), ..., y ( n − N ), x( n), ..., x (n − M )]

dy (t ) dt

Ej. : y ( n) = x(n) − 0.5 y (n − 1)

3.6

Propiedades de los sistemas: Memoria • Sin memoria (estáticos) y(n) sólo depende de la entrada en el instante n. No depende de valores pasados ni futuros.

Ejs. : y ( n) = ax(n) y ( n) = nx(n) + bx 3 ( n)

1 x(t ) 2 y (t ) = x(t ) y (t ) =

• Con memoria (dinámicos) y(n) depende de valores pasados y/o futuros de la entrada.

Ejs. : y (n) = x(n) + x(n − 1) y (n) = x(n − 2) + x(n + 2) - Si y(n) está determinada con los valores x(n-N), ..., x(n) se dice que tiene memoria finita de duración N - Si y(n) depende de los valores x(-∞), ..., x(n) se dice que tiene memoria infinita ∞

Ej. : y (n) = ∑ x(n − k ) = y (n − 1) + x(n) k =0

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3.7

Propiedades de los sistemas: Linealidad • Lineales Satisfacen el principio de superposición.

T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1T [ x1 (n)] + a2T [ x2 (n)]

∀a1 , a2 , x1 (n), x2 ( n)

x1(n) a1

y(n) T( )

+ x2(n) a2 x1(n)

T( )

a1

y(n) +

x2(n)

T( )

a2

Ej. : y (n) = nx( n) • No lineales No satisfacen el principio de superposición.

Ej. : y (n) = x 2 (n)

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3.8

Propiedades de los sistemas: Invarianza temporal • Invariantes en el tiempo o invariantes a desplazamientos La relación entrada-salida no varía aunque desplacemos las señales.

Si T [ x (n)] = y (n) entonces T [ x (n − k )] = y (n − k )

T( ) x(n)

∀x (n), k

T( ) y(n)

x(n-5)

y(n-5)

Ej. : y (n) = x( n) − x( n − 1)

• Variantes en el tiempo o variantes a desplazamiento La relación entrada salida no se mantiene ante desplazamientos de las señales.

Ej. : y (n) = nx(n)

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3.9

Propiedades de los sistemas: Causalidad • Causales La salida del sistema en un instante n depende sólo de las entradas presente y pasadas y no de las futuras.

y (n) = f [ x (n), x( n − 1), x (n − 2),...] Ej. : y (n) = x( n) + x( n − 1) y (n) =

n

∑ x(k )

k = −∞

En la naturaleza, los sistemas cuya variable independiente es el tiempo, son causales. Si la variable independiente no es el tempo, no tienen por que serlo.

• No causales La salida del sistema depende de entradas futuras Si la variable independiente es el tiempo, se pueden diseñar sistemas no causales, pero no podrán utilizarse en tiempo real.

Ej. : y (n) =

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1 (x(n + 1) + x(n − 1)) 2

3.10

Propiedades de los sistemas: Estabilidad • Estables Un sistema se dice que es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. Una señal x(n) es acotada si

∃B < ∞ /

x ( n) ≤ B

∀n

Ej. : y (n) = 0.5 y ( n − 1) + x (n)

Esta propiedad es muy importante y debe ser considerada en cualquier aplicación práctica. Sin embargo es difícil de estudiar en sistemas no lineales. Más adelante la estudiaremos en el caso de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. • Inestables Un sistema se dice que es inestable si alguna entrada acotada produce una salida no acotada

Ej. : y (n) = y ( n − 1) + x( n)

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3.11

Propiedades de los sistemas: Invertibilidad • Invertibles Un sistema se dice que es invertible si entradas distintas producen salidas distintas. En este tipo de sistemas observando la salida podemos determinar la entrada

Ej. : y (n) = 2 x( n)

• No invertibles Un sistema se dice que es no invertible si existen entradas distintas que producen salidas iguales En este tipo de sistemas observando la salida no podemos determinar la entrada

Ej. : y ( n) = x 2 (n)

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3.12

Sistemas más utilizados en procesado de señal • Los sistemas más utilizados y estudiados en procesado de señal son los lineales e invariantes en el tiempo (LTI) a los que vamos a dedicar el próximo tema. Esto se debe a que: El comportamiento de los sistemas que cumplen estas dos propiedades es fácil de comprender y está muy estudiado. La respuesta de estos sistemas a cualquier señal de entrada, puede analizarse descomponiendo la señal de entrada en señales más simples (impulsos o sinusoides).. Muchos sistemas de la naturaleza, pueden modelarse mediante sistemas lineales.

- Esto no quiere decir que no se empleen en ocasiones sistemas no lineales. Cuando presentan ventajas, se utilizan, pero hay que tener en cuenta que: Analizar su comportamiento es más difícil y dependiente del sistema. Aunque conozcamos la respuesta del sistema a unas entradas, el comportamiento frente a otras puede cambiar bastante. Por ello uno de los principales problemas de estos sistemas es asegurar la estabilidad. Un ejemplo de sistema lineal muy utilizado es el filtro de mediana, que se utiliza para eliminar ruido impulsivo de señales de sonido e imagen sin suavizar demasiado la forma de la señal.

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3.13