eman ta zabal zazu

Universidad del País Vasco Departamento de Arquitectura y Tecnología de Computadores upv

ehu

Procesado digital de imagen y sonido Tema 4_ Sistemas LTI • •

Definición y principal ventaja Análisis temporal de la respuesta de los sistemas LTI – – – –

•

Análisis frecuencial de los sistemas LTI – – – –

•

Convolución en el dominio de la frecuencia Respuesta frecuencial Filtros y filtro ideal Sistemas bidimensionales

Descripción recursiva de los sistemas LTI. – – – – –

PDI 2007-08

Respuesta a impulso Convolución: Respuesta a impulso y propiedades del sistema Sistemas bidimensionales

Ecuaciones en diferencias. Sistemas bidimensionales Relación con h(n) Resolución de las ecuaciones en diferencias Ecuaciones en diferencias y estabilidad.

4.1

Sistemas LTI: definición • Un sistema T es LTI (Linear Time-Invariant) si cumple dos propiedades: • Linealidad T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1T [ x1 (n)] + a2T [ x2 (n)] x1 (n)

x1 (n) a1

y (n) +

x2 (n)

T

≡

x2 (n)

a2

∀a1 , a2 , x1 (n), x2 (n) T

a1

y (n) +

T

a2

• Invarianza a desplazamientos (invarianza en el “tiempo”) Si T [ x(n)] = y (n) entonces T [ x(n − k )] = y (n − k ) x(n)

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T

y(n)

x(n)

T

∀x(n), k y(n)

4.2

Sistemas LTI: principal ventaja

• Para analizar el comportamiento del sistema nos basta conocer su respuesta a algún tipo de señal básico (por ejemplo impulso) a partir del cual, se pueda construir cualquier señal • La respuesta a cualquier entrada la podremos obtener sumando y desplazando la respuesta a esa señal básica • Diferentes señales básicas dan lugar a distintos tipos de análisis: • Impulsos unidad → Análisis temporal • Sinusoides → Análisis frecuencial

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4.3

Descomposición de una señal en impulsos Cualquier señal se puede expresar como combinación de impulsos

x ( n) =

+∞

∑ x(k )δ (n − k )

x(−1)δ (n + 1) x(0)δ (n)

k = −∞

x(1)δ (n − 1) x(n)

=∑

x(2)δ (n − 2) x(3)δ (n − 3)

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4.4

Respuesta a impulso de un sistema Dado un sistema T, se llama respuesta a impulso del sistema a la señal:

h(n) = T [δ (n)] Es decir, a la salida del sistema cuando la entrada es la función impulso unidad δ(n)

δ (n)

T

h(n)

Un sistema LTI queda completamente caracterizado por su respuesta a impulso, porque como cualquier señal se puede descomponer en suma de impulsos, basta conocer esta respuesta para conocer la respuesta a cualquier señal.

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4.5

Respuesta a cualquier señal. Convolución Dado un sistema T LTI, del que conocemos su respuesta a impulso h(n)

x(n) T

y (n) = T [x(n)]

≡

x(n)

y (n) h(n)

Para una entrada cualquiera x(n) expresada como suma de impulsos la salida será:

 +∞  y (n) = T  ∑ x(k )δ (n − k ) k =−∞  Por ser lineal

+∞

y ( n) =

∑ x(k )T [δ (n − k )]

k = −∞

Y por ser invariante

y ( n) =

+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

A esta operación se la llama convolución y se representa mediante un ∗. La salida de un sistema LTI es la convolución de la entrada y de la respuesta a impulso.

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4.6

Interpretación gráfica de la convolución (I) x(n)

y (n)

y ( n) =

h(n)

+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

Desde el punto de vista de la señal de entrada, la convolución puede calcularse sumando las respuestas producidas por cada punto de la entrada (respuestas a impulso).

x ( 0) h ( n )

x(n)

x(1)h(n − 1)

h(n)

∗

y (n)

=∑

= x ( 2) h ( n − 2) x(3)h(n − 3)

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4.7

Interpretación gráfica de la convolución (II) x(n)

y (n)

y ( n) =

h(n)

+∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)

k = −∞

Desde el punto de vista de la señal de salida, la convolución en un instante puede calcularse sumando las respuestas producidas por todos los puntos de la entrada en ese instante

x(k )

nn == 25 1037 64

y (n)

k h(15 37 64 2−−k−)kk))

∑× k

h(k )

k PDI 2007-08

4.8

Propiedades de la convolución y por tanto de los sistemas LTI

x ( n) ∗ h( n) = h( n) ∗ x ( n)

• Conmutativa: +∞

+∞

k = −∞

k = −∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = ∑ h( k ) x ( n − k )

• Asociativa:

x(n) ∗ (h1 (n) ∗ h2 (n)) = ( x(n) ∗ h1 (n)) ∗ h2 (n)

A partir de estas 2 propiedades, puede verse que la conexión en serie de sistemas LTI cumple:

x(n)

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h1 (n)

h2 (n)

y (n)

≡

x(n)

≡

x(n)

h1 (n) ∗ h2 (n) h2 (n)

h1 (n)

y (n) y (n)

4.9

Propiedades de la convolución y por tanto de los sistemas LTI • Distributiva:

x(n) ∗ (h1 (n) + h2 (n)) = x(n) ∗ h1 (n) + x(n) ∗ h2 (n) Por tanto, la conexión en paralelo de sistemas LTI cumple:

h1 (n)

x(n)

y (n) +

≡

x(n)

h1 (n) + h2 (n)

y (n)

h2 (n)

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4.10

Descripción entrada-salida de los sistemas LTI • Conocida h(n) la convolución nos proporciona la descripción entradasalida de cualquier sistema LTI.

y ( n) = x ( n) ∗ h( n) = o desarrollando el sumatorio:

+∞

+∞

k = −∞

k = −∞

∑ x ( k ) h( n − k ) = ∑ h( k ) x ( n − k )

y (n) = K + h(−1) x(n + 1) + h(0) x(n) + h(1) x(n − 1) + h(2) x(n − 2) + K

Esta descripción es muy sencilla y fácil de manejar y nos servirá para estudiar las propiedades de estos sistemas. • A la inversa, dada la descripción entrada-salida de un sistema LTI podemos obtener directamente h(n) Ejemplo:

1

h(n)

y (n) = 0.5 x(n + 1) + 2 x(n) + x(n − 1)

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4.11

Sistemas FIR e IIR Una clasificación muy habitual de los sistemas LTI es la siguiente: • Un sistema LTI es un sistema FIR (Finite Impulse Response) si su respuesta a impulso es de longitud finita h( n ) ≠ 0

en un número finito de puntos

• Un sistema LTI es un sistema IIR (Infinite Impulse Response) si su respuesta a impulso es de longitud infinita : h( n ) ≠ 0

en un número infinito de puntos

Nota: La descripción vista hasta ahora (convolución), en el caso de los sistemas IIR no es muy manejable

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4.12

h(n) y propiedades del sistema: memoria • Decir que un sistema LTI no tiene memoria equivale a decir que: h( n ) = 0

es decir:

h ( n ) = kδ ( n )

para n ≠ 0 o

k

h(n)

y (n) = kx(n)

• Un sistema LTI tiene memoria finita de orden M si cumple: h( n ) = 0

es decir:

para n < 0 y para n > M − 1

h(n)

M −1

y ( n) = ∑ h( k ) x ( n − k ) k =0

• Un sistema LTI tiene memoria infinita si cumple: h(n) = 0 para

es decir:

n < 0 y no existe M tal que h(n) = 0 para n > M ∞

y ( n) = ∑ h( k ) x ( n − k ) k =0

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h(n) .....

4.13

h(n) y propiedades del sistema : causalidad • Un sistema LTI será causal si cumple; h( n) = 0

para n < 0

h(n)

• Por extensión se dice que una señal x(n) es causal si cumple; x ( n) = 0

para n < 0

• La respuesta de un sistema LTI causal a una entrada causal se puede escribir: n

y ( n) =

∑ x(k )h(n − k ) k =0

• Un sistema LTI se dice que es anticausal si cumple; h( n) = 0

PDI 2007-08

para n > 0

h(n)

4.14

h(n) y propiedades del sistema : estabilidad Para analizar si un sistema LTI es estable hay que estudiar si la respuesta a una entrada acotada es también acotada

x( n) acotada ⇒ ∃M < ∞ /

x (n) ≤ M ∀n

La respuesta podemos escribirla mediante la convolución: +∞

y ( n) =

∑ h( k ) x ( n − k )

k = −∞

y ( n) =

+∞

+∞

+∞

k = −∞

k = −∞

k = −∞

∑ h( k ) x ( n − k ) ≤ ∑ h( k ) x ( n − k ) ≤ ∑ h( k ) M

Por tanto, si h(n) es absolutamente sumable, es decir: +∞

∑ h( k ) < ∞

k = −∞

Entonces el sistema es estable. Los sistemas FIR siempre son estables PDI 2007-08

4.15

Sistemas bidimensionales Generalizando los conceptos anteriores a un sistema T LTI bidimensional: • La respuesta a impulso es la salida de T para una entrada impulso unidad

H (m, n) = T [δ (m, n)]

• H(m,n) caracteriza completamente el comportamiento del sistema T, y la respuesta a cualquier entrada puede obtenerse mediante la convolución +∞

Y (m, n) = X (m, n) ∗ H (m, n) =

+∞

∑ ∑ X (i, k ) H (m − i, n − k )

i = −∞ k = −∞

n −1 n n + 1

n

m

•

=

m −1 m m +1

8

7

6

5

•4

3

2

1

0

0 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

H (m, n) máscara

Y (m, n)

X (m, n)

Ejemplo de interpretación gráfica con respuesta a impulso de tamaño 3x3: PDI 2007-08

4.16

Análisis frecuencial de los sistemas LTI • Idea de partida: trabajar con las señales en el dominio de la frecuencia, es decir, descomponer las señales en sinusoides (exponenciales complejas) • ¿Por qué es interesante? – En el dominio de la frecuencia la convolución se convierte en un producto. – En sistemas LTI, las sinusoides cumplen una propiedad que no verifican otras señales: La respuesta de un sistema LTI a una entrada sinusoidal es otra sinusoide de la misma frecuencia pero de diferente amplitud y fase

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4.17

Convolución en el dominio de la frecuencia Convolución y DTFT:

x1 (n) ∗ x2 (n)

DTFT →

X1(F ) X 2 (F )

Convolución circular y DFT:

x1 ( n) ∗ x2 (n)

,N DFT  →

X 1 (k ) X 2 (k )

N −1

siendo

x1 (n) ∗ x2 (n) = ∑ x1 (l ) x2 ((n − l )) N l =0

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4.18

Respuesta a una sinusoide de un sistema LTI • Analizaremos primero la respuesta a una exponencial compleja imaginaria pura de frecuencia F: x ( n) = e

y ( n) =

j 2πFn

h(n)

+∞

+∞

k = −∞

k = −∞

∑ h ( k ) x ( n − k ) = ∑ h ( k )e

j 2πF ( n − k )

=e

j 2πFn

+∞

∑ h( k )e

− j 2πFk

k = −∞

H (F )

y (n) = e j 2πFn H ( F )

La salida es otra exponencial compleja de la misma frecuencia F, multiplicada por un valor complejo H(F), que depende de la frecuencia y se llama respuesta frecuencial. H(F) es la DTFT de la respuesta a impulso

(

)

1 j 2πFn − j 2πFn e +e 2 1 1 y (n) = e j 2πFn H ( F ) + e − j 2πFn H (− F ) = H ( F ) e j 2πFn + arg [H ( F ) ] + e − j 2πFn + arg [H ( F ) ] 2 2

• Para una sinusoide:

(

x (n) = cos(2πFn) =

)

(

)

y (n) = H ( F ) cos(2πFn + arg[H ( F )])

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4.19

Respuesta frecuencial Utilizando la transformada de Fourier es muy fácil analizar el comportamiento de un sistema LTI en el dominio frecuencial X (F )

Y(F)

H(F)

h(n) → H ( F ) = DTFT

+∞

∑ h( k )e

− j 2πFk

k = −∞

Por la propiedad de convolución, la ecuación del comportamiento del sistema es::

X (F ) H (F ) = Y (F )

X (F )H (F ) = Y (F )

arg[ X ( F )] + arg[H ( F )] = arg[Y ( F )]

X (F )

Y (F )

1

F

H (F ) 1

1

1

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F

F

4.20

Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia. Filtro ideal Si el objetivo del sistema LTI es dejar pasar selectivamente un rango de frecuencias determinado, se le denomina filtro. Se denomina filtro ideal al que cumple: • Su ganancia (|H(F)|) es constante en la banda de paso y cero fuera de ella. • Su respuesta de fase (arg(H(F))) es lineal. Ce − j 2πFk si F1 < F < F2 H (F ) =  con C y k constantes 0 en otros puntos  F1 < F < F2 Si la señal de entrada sólo tiene frecuencias en

Y ( F ) = H ( F ) X ( F ) = CX ( F )e − j 2πFk IDTFT → y ( n) = Cx (n − k ) el filtro no cambia la forma de la señal Ej: Filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte FC

H (F )

FC

1

F

h( n) =

IDTFT

sin( 2πFC n) πn

arg(H ( F ) ) 1

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F

Sistema no causal e inestable

n

4.21

Uso de la DFT para filtrado lineal Debido a la existencia de algoritmos FFT rápidos, en muchas ocasiones se utiliza la DFT en lugar de la convolución para filtrar señales. Sea x(n) una señal finita de longitud L que excita un filtro FIR de longitud M FIR

x(n) h(n) Sabemos que:

y(n)

y ( n) = x ( n) ∗ h( n)

Y en el dominio de la frecuencia:

Y (F ) = X (F )H (F )

¡OJO! Para poder usar la DFT la convolución debe coincidir con la convolución circular. Esto sólo se cumple si usamos DFTs de N puntos (ampliadas con ceros) de forma que N ≥ L + M –1 Los cálculos a realizar son: ,N [x(n) 0 L 0] DFT  → X (k )  IDFT , N  → X (k ) H (k )  → y (n) DFT , N [h(n) 0 L 0] → H (k )

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4.22

Sistemas bidimensionales: DFT y respuesta frecuencial Todo lo dicho en el tema sobre análisis frecuencial de sistemas LTI unidimensionales, se puede generalizar a sistemas bidimensionales (imágenes). Por ejemplo: La DFT de la respuesta a impulso h(m,n) de un filtro bidimensional recibe el nombre de respuesta frecuencial y caracteriza el comportamiento del filtro según la composición frecuencial de la entrada. l   k M −1 N −1

H (k , l ) = ∑∑ h(m, n)e

− j 2π  m + n  N  M

m =0 n =0

Ejemplo:

y( m, n) =

1 1 1 x(m − 1, n − 1) + x(m − 1, n) + x(m − 1, n + 1) + 9 9 9 1 1 1 x(m, n − 1) + x(m, n) + x(m, n + 1) + 9 9 9 1 1 1 x(m + 1, n − 1) + x(m + 1, n) + x(m + 1, n + 1) 9 9 9

h(m, n)

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H (k , l )

4.23

Sistemas bidimensionales: DFT y filtrado En filtros bidimensionales, la operación convolución puede realizarse mediante la DFT. Esto cuando se utiliza un algoritmo rápido FFT, es de gran interés pues en imágenes el coste computacional suele ser muy alto. Ejemplo:

x(m, n) 240x 240

, 256 FFT  →

X (k , l ) 256x 256 0.14

h(m, n) 15x15

0.12

, 256 FFT  →

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

H (k , l ) 256x 256

X

-0.02 15 15

10 10 5

5 0

y (m, n)

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0

IFFT , 256 ←  

Y (k , l ) 256x 256

4.24

Sistemas IIR y descripciones recursivas ¿Qué podemos hacer para manejar sistemas IIR? En algunos casos es fácil ver que existen descripciones recursivas equivalentes. Ejemplo:

y (n) = x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) + x(n − 3) + x(n − 4) + L y (n − 1) y (n) = y (n − 1) + x(n)

Ejercicio: Calcular la respuesta a impulso del sistema

y (n) = y (n − 1) + x(n)

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4.25

Sistemas IIR y descripciones recursivas y (n) = y (n − 1) + x(n) Tendremos que calcular la salida para una entrada impulso unidad:

x(n)

x ( n) = δ ( n )

Si suponemos que el sistema es causal, la salida será nula para n0

y calcular los coeficientes Ci de forma que se cumplan las condiciones iniciales.

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4.34

Ecuaciones en diferencias y estabilidad • Para un sistema descrito con una ecuación en diferencias y suponiendo causalidad, h(n) es de la forma: n n n n n h(n) = C1λ1 + C 2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1nλi + K + Ci + m −1n m −1λi + K n>0 N N −1 Siendo λi las raíces del polinomio característico: λ + a1λ + K + a N = 0

• Para que un sistema LTI sea estable, h(n) debe ser absolutamente +∞ sumable.

∑ h( k ) < ∞

k = −∞

Sustituyendo la ecuación de h(n) en la condición de estabilidad: +∞

+∞

∑ h( k ) = ∑ C λ

k = −∞

k = −∞

+∞

k

1 1

+ C2 λ2 + K + Ci λi + Ci +1kλi + K + Ci + m −1k m −1λi + K <

< C1 ∑ λ1 + C2 k = −∞

k

k

k

+∞

∑λ

k = −∞

k 2

+ K + Ci

k

+∞

∑λ

k = −∞

El sistema es estable si y sólo si :

i

k

k

+∞

+∞

+ Ci +1 ∑ kλi + K + Ci + m −1 ∑ k m −1λi + K < ∞ k = −∞

k

k

k = −∞

λi < 1 ∀i

las raíces del polinomio característico están dentro del círculo unidad. PDI 2007-08

4.35