Profr. Efraín Soto Apolinar.

Polígonos En esta sección vamos a utlizar perímetros y áreas de polígonos.

las

fórmulas

que

ya

conocemos

para

calcular

Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1, 1), B(−2, 3) y C (−3, −1). • Empezamos ubicando los puntos y dibujando el triángulo: y B

3 2 A

1

−4

−3

−2

x

−1

O

1

2

3

−1

C

−2 • Para encontar el área del triángulo utilizaremos la fórmula de Herón: q A = p · ( p − a)( p − b)( p − c) donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y p es su semiperímetro. • Entonces, debemos primero calcular las longitudes de los lados del triángulo. • Empezamos calculando las longitudes de cada uno de los lados del triángulo: q | AB| = (−2 − 1)2 + (3 − 1)2 √ √ = 9 + 4 = 13 ≈ 3.6055 q | BC | = (−3 − (−2))2 + (−1 − 3)2 √ √ = 1 + 16 = 17 ≈ 4.1231 q (−3 − 1)2 + (−1 − 1)2 | AC | = √ √ = 16 + 4 = 20 ≈ 4.4721 • Ahora calculamos el valor de p: p=

3.6055 + 4.1231 + 4.4721 = 6.10035 2

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Ejemplo 1

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• Ahora sustitumos los valores en la fórmula de Herón: q A = p · ( p − a)( p − b)( p − c) q (6.10035)(6.10035 − 3.6055)(6.10035 − 4.1231)(6.10035 − 4.4721) = q = (6.10035)(2.498)(1.9804)(1.6314 √ 49.2589 ≈ 7.01846 = • Debido a que utilizamos aproximaciones de las raíces, hemos obtenido una aproximación al verdadero valor del área. • El área del triángulo es exactamente 7 unidades cuadradas. • El siguiente reto pide calcular el área del triángulo a partir de sus coordenadas de manera exacta.

Reto 1

Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1, 1), B(−2, 3) y C (−3, −1) dibujando otros triángulos alrededor de éste para formar un cuadrilátero. Para calcular el área de un polígono de varios lados no existe una fórmula como la de Herón para calcular el área a partir de las longitudes de sus lados. Sin embargo, siempre que tengamos un polígono, podemos formar triángulos dentro de este polígono y calcular las áreas de cada uno de los triángulos internos al polígono. El área del polígono será igual a la suma de las áreas de todos los triángulos internos. El problema consiste en que cada vez tenemos que calcular más longitudes, porque ahora no solamente debemos calcular las longitudes de los lados, sino también de las diagonales que se requieran para cubrir todo el polígono con triángulos. Dado que nosotros solamente tenemos fórmulas para calcular el área del triángulo, solamente podemos utilizar ese artificio. Igual, podemos calcular el área utilizando el procedimiento utilizado para resolver el reto anterior.

Ejemplo 2

Calcula el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos A(5, 2), B(−3, 3), C (−2, −1) y D (3, −1). • Vamos a dibujar el cuadrilátero y también vamos a trazar una de sus diagonales para formar dos triángulos internos. y B

3

42

A

2 1

−3 −2 −1 O −1 C −2

41 1

2

3

4

5

x

D

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• Al sumar el área de los dos triángulos internos obtenemos el área del cuadrilátero. • Vamos a calcular las longitudes de los lados del cuadrilátero y de su diagonal: q | AB| = (−3 − 5)2 + (3 − 2)2 √ √ 64 + 1 = 65 ≈ 8.062257 = q | BC | = (−2 − (−3))2 + (−1 − 3)2 √ √ = 1 + 16 = 17 ≈ 4.1231 q (−3 − (−2))2 + (−1 − (−1))2 |CD | = √ = 25 = 5 q | AD | = (3 − 5)2 + (−1 − 2)2 √ √ = 4 + 9 = 13 ≈ 3.60555 q (−2 − 5)2 + (−1 − 2)2 | AC | = √ √ = 49 + 9 = 58 ≈ 7.61577 • Encontramos el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(5, 2), B(−3, 3) y C (−2, −1). • Primero calculamos el semiperímetro del triángulo: p=

8.062257 + 4.1231 + 7.61577 = 9.9005635 2

• Sustituimos las longitudes de los lados en la fórmula de Herón: q p · ( p − a)( p − b)( p − c) A 41 = q = (9.9005635)(1.8383)(5.77746)(2.28479) √ = 240.2478653 ≈ 15.49993 • Ahora debemos calcular el área del otro triángulo. • Empezamos calculando su semiperímetro: p=

7.61577 + 5 + 3.60555 = 8.11066 2

• Sustituimos en la fórmula de Herón: q A 42 = p · ( p − a)( p − b)( p − c) q = (8.11066)(0.494883)(3.11066)(4.50511) √ = 56.24924 ≈ 7.49995 • Y la suma de las áreas de los dos triángulos es: 15.49993 + 7.49995 = 22.99988 unidades cuadradas, aproximadamente. • Verifica que el área exacta del cuadrilátero es 23 unidades dibujando triángulos alrededor del cuadrilátero para formar un rectángulo. www.aprendematematicas.org.mx

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Las fórmulas que hemos encontrado en secciones anteriores nos ayudarán a describir todavía mejor los polígonos. Por ejemplo, podemos encontrar los ángulos internos de un polígono o indicar la inclinación de sus lados. Ejemplo 3

Calcula la medida de los ángulos internos del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1, 1), B(−2, 3) y C (−3, −1).

• Ya encontramos el área de este triángulo en el primer ejemplo de esta sección. • Ahora vamos a encontrar sus ángulos internos. • Para eso, vamos a utilizar las fórmulas de: 3 Pendiente: m= 3 Ángulo entre dos rectas: tan φ =

y2 − y1 x2 − x1 m2 − m1 1 + m1 · m2

• Empezamos calculando las pendientes de los lados del triángulo. y B

3 2 A

1

−4

−3

−2

x

−1

O

1

2

3

−1

C • Para el lado AB, tenemos: m

=

m AB

=

• Para el lado BC, tenemos: m BC =

y2 − y1 x2 − x1 3−1 2 =− −2 − 1 3

−1 − 3 −4 = =4 −3 − (−2) −1

• Para el lado AC, tenemos: m AC =

−1 − 1 −2 1 = = −3 − 1 −4 2

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• Ahora calculamos los ángulos internos del triángulo. • Empezamos con el ángulo que se forma con los lados AB y AC. • Recuerda que debemos medir el ángulo en contra de las manecillas del reloj. • En este caso, m1 = m AB = −2/3 y m2 = m AC = 1/2. tan φ A

m2 − m1 1 + m1 · m2     2 7 1 1 2 − − + 7 2 3 6  = 2 3 =   =  1 1 −2 2 4 1− · 1+ 3 2 3 3

=

=

• Ahora podemos calcular el ángulo, utilizando la función arctan: 7 4

tan φ A =

=⇒

φ A = 60◦ 150 18.4300

• Enseguida calculamos el ángulo formado por los lados AB y BC. • En este caso, m1 = m BC = 4 y m2 = m AB = −2/3. • Ahora sustituimos en la fórmula: tan φB

=

=

=

m2 − m1 1 + m1 · m2   14 −2 − −4 3 3 = −2 8 1+4· 1−  3   3 14 14 − 14 3 3   =   = 5 5 5 − 3 3

• Y el ángulo interno mide: tan φB =

14 5

=⇒

φB = 70◦ 200 46.2300

• El último ángulo podemos calcularlo recordando que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a 180◦ :

= 60◦ 150 18.4300 + 70◦ 200 46.2300 + φC 180 = 130◦ 360 4.6600 + φC φC = = 180 − 130◦ 360 4.6600 = 49◦ 230 55.3400

180

• Verifica que el ángulo φC mide 35◦ 350 57.200 aplicando la fórmula: tan φ =

m2 − m1 1 + m1 · m2

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Ejemplo 4

Calcula la inclinación de cada uno de los lados del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos A(5, 2), B(−3, 3), C (−2, −1) y D (3, −1).

• En el segundo ejemplo de esta sección calculamos el área de este cuadrilátero. • Ahora vamos a calcular el ángulo que forma cada lado con el eje x. y B

3 A

2 1

−3 −2 −1 O −1 C

1

2

3

4

5

x

D

• Para eso, utilizaremos la fórmula de pendiente y el hecho de que, si α es el menor ángulo que se forma entre una recta con pendiente m y el eje x, se cumple que: m = tan α. • Iniciamos calculando las pendientes de todos los lados: m AB

=

α AB

=

m BC

=

α BC

=

mCD

=

αCD

=

m AD

=

α AD

=

3−2 1 =− ⇒ −3 − 5 7   1 arctan − = 171◦ 520 11.63 7 −1 − 3 −4 = = −4 ⇒ −2 − (−3) 1 arctan (−4) = 104◦ 20 10.48 0 −1 − (−1) = =0 ⇒ −3 − (−2) −1 arctan (0) = 0◦ 3−5 −2 = ⇒ −1 − 2 −3   2 arctan = 33◦ 410 24.24 3

Observa que el segmento CD que es paralelo al eje x tiene pendiente igual a cero. Esto es así porque independientemente del incremento que demos a x, ∆y siempre será igual a cero. Es decir, ni subimos ni bajamos conforme nos movemos sobre la recta que tiene una pendiente m = 0.

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Del pentágono con vértices en los puntos A(2, −1), B(3, 1), C (1, 4), D (−2, 2) y E(−1, −1), calcula: 3 Su perímetro.

Ejemplo 5

3 Las pendientes de todos sus lados. 3 Sus ángulos internos. • Empezamos dibujando el pentágono: y 4

C

3 D

2 B

1

−3 −2 −1 O −1 E −2

1

2

3

4

x

A

• Empezamos calculando las longitudes de todos sus lados para calcular el perímetro: q √ √ | AB| = (3 − 2)2 + (1 − (−1))2 = 1 + 4 = 5 q √ √ | BC | = (1 − 3)2 + (4 − 1)2 = 4 + 9 = 13 q √ √ |CD | = (−2 − 1)2 + (2 − 4)2 = 9 + 4 = 13 q √ √ | DE| = (−1 − (−2))2 + (−1 − 2)2 = 1 + 9 = 10 q √ √ | AD | = (−1 − 2)2 + (−1 − (−2))2 = 9 + 1 = 10

• El perímetro P del polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados: √ √ √ √ √ P = 5 + 13 + 13 + 10 + 10 ≈ 15.7717 • Ahora calcularemos las pendientes de sus lados. • Pero vamos a intentar hacer uso de la interpretación geométrica de la pendiente: • Escribiremos el incremento en y dividido por el incremento en x y esa fracción será la

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pendiente: m AB

=

m BC

=

mCD

=

m DE

=

m AE

=

3 =3 1 3 3 =− −2 2 2 3 −3 = −3 1 −1 1 =− 3 3 Profesor:

• Ahora identifica qué lados del pentágono son perpendiculares entre sí a partir de los valores de sus pendientes y de la condición algebraica de perpendicularidad. • Finalmente, vamos a calcular los ángulos internos del pentágono.

=

tan φ A

=

m AE − m AB 1 + m AB · m AE −1/3 − 3 −4/3 = 1 + 3 · (−1/3) 0

• Dado que tan φ A no está definida, concluimos que φ A = 90o . • Continuamos calculando el siguiente ángulo: m AB − m BC 1 + m BC · m AB 3 − (−3/2) 9/2 = = −9/7 1 + (−3/2)(3) −7/2 9 arctan(− ) = 127◦ 520 29.9400 7

=

tan φB

= =

φB

• El ángulo φC se te queda como ejercicio. • Continuamos con el ángulo φD : tan φD

= =

φD

=

mCD − m DE 1 + m DE · mCD 2/3 − (−3) 8/3 = = −8/3 1 + (−3)(2/3) −1 8 arctan(− ) = 110◦ 330 21.7600 3

• Finalmente, calculamos el ángulo φE : tan φD

= =

φD

=

m DE − m AE 1 + m AE · m DE −1/3 − (−3) −10/3 = = −5/3 1 + (−3)(−1/3) 2 5 arctan(− ) = 120◦ 570 49.5200 3

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Los lados: AB ⊥ AE, y BC ⊥ CD.

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• Se te queda como ejercicio calcular, para este pentágono: 3 Las longitudes de todas sus diagonales. 3 Su área.

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 31 de julio de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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