Física. Junio 2010. Opción A

PAEG UCLM

1.- Dos cargas eléctricas puntuales fijas A y B, de signos opuestos y alineadas a lo largo del eje X, están separadas una distancia de 2 m. La carga A es 9 veces mayor que la carga B. Calcular en qué punto del eje X se encontraría en equilibrio una carga C del mismo signo que la carga A y el mismo valor absoluto que la carga B. Razónese brevemente y con claridad si la carga C debe encontrarse situada en el segmento que une a las cargas A y B o si se encontrará fuera del mismo (es muy conveniente hacer esquemas claros de cada situación). Para los cálculos tómese la posición de la carga A como origen de coordenadas.

qA

1. Si la carga C se encuentra dentro del segmento que une a las otras dos, el diagrama de fuerzas es

qB

qC FAC

d =2m

FBC x = d

x=0

A repele a C; B atrae a C y las dos fuerzas tienen el mismo sentido, no puede haber equilibrio. 2. Si la carga C se encuentra a la izquierda de A, siempre estará más cerca de A que de B, y puesto que qA = 9 qB, siempre se cumplirá FAC >FBC y tampoco puede haber equilibrio. qB FAC qC FBC q A d =2m x=0 x=d 3. Solamente cuando C esté a la derecha de B es posible que la fuerza atractiva FBC compense a la fuerza repulsiva FAB, y sólo en este caso puede haber equilibrio.

qA

qA = 9 ⋅ q

qB = q

qB

d =2m

x=0

x=d

qC = q

Equilibrio:

FBC x−d

qC FAC x

x

FAC = FBC

9 1 = x 2 ( x − d )2

k

3 1 = x x−d

q A ⋅ qC x2

=k

q B ⋅ qC

(x − d )2

3 x − 3d = x

k

q2 9 ⋅ q2 = k x2 (x − d )2

2 x = 3d = 6

x =3m 1

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción A

2.- Un muelle de 12 cm de longitud, de masa despreciable, tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical mientras que el otro está unido a una masa que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza de 30 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 18 cm. En esta posición se suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 3.14 rad/s. Calcular: c) La ecuación del MAS resultante a) La constante recuperadora del resorte. b) La masa que oscila d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm

x0 = 12 cm

A = xmax − x0 = 6 cm M

k=

xmax = 18 cm

F x − x0

M

ω=

x M

F = −k ( x − x0 )

=

F A

a)

=

k M

30 = 5 N/cm = 500 N/m 6 b) 500 M= 2 = = 50.7 kg 3.14 2 ω

k

x − x0 c) La ecuación del MAS resultante

x = A sin (ω t + δ )

Cuando t = 0 el resorte está completamente estirado, por tanto xt =0 = A

xt =0 = A = A sin δ sin δ = 1

δ=

π

π⎞ ⎛ x = 6 sin ⎜ 3.14 t + ⎟ 2⎠ ⎝

(x en cm, t en s)

2

d) Las energías cinética y potencial cuando x = 3 cm

1 2 1 k x = 500 ⋅ 0.032 = 0.225 J 2 2 1 1 Energía mecánica del oscilador: E = k A2 = 500 ⋅ 0.06 2 = 0.9 J 2 2 Energía cinética Ec = E − Ep = 0.9 − 0.225 = 0.675 J Ep =

2

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción A

3.- Un protón (núcleo de hidrógeno) y una partícula α (núcleo de helio, cuya carga es doble y cuya masa es muy aproximadamente cuatro veces mayor que la del protón) han sido disparados por un cañón de iones con la misma velocidad y entran en una zona donde existe un campo magnético uniforme cuyas líneas son perpendiculares a la velocidad de las partículas. ¿Cuál de las dos partículas describirá una órbita de mayor radio? Explíquese. La fuerza magnética sobre las partículas cargadas que se mueven dentro de un campo B es una fuerza centrípeta cuyo valor es: RH =

El radio será R =

mv qB

Rα =

mH v qH B mα v qα B

F =qvB=

RH mH qα 2 1 = = = Rα q H mα 4 2

m v2 R

RH =

Rα 2

El radio de la órbita descrita por la partícula α es mayor que el del protón 4.- La sonda Cassini de la NASA está explorando en la actualidad el sistema de lunas de Saturno. La masa de Titán, la mayor de ellas, es el 2.26% de la masa de la Tierra, y su radio es el 40% del radio de la Tierra. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de Titán? (En la superficie de la Tierra gTierra = 9.8 m/s2). g titán = G

M titán 2 Rtitán

g tierra = G

M tierra 2 Rtierra

2

g titán = g tierra

2 M titán Rtierra 2.26 ⎛ 1 ⎞ 2 ⋅ 2 = 9.8 ⋅ ⋅⎜ ⎟ = 1.38 m/s M tierra Rtitán 100 ⎝ 0.40 ⎠

5.- La luz amarilla procedente de una lámpara de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Cierto emisor de microondas produce una radiación de 5,89 milímetros. ¿Cuál de las dos transporta más energía? ¿Cuántas veces más? Constante de Planck h = 6.62⋅10-34 J⋅s; velocidad de la luz en el vacío c = 3⋅108 m/s; 1 nm = 10-9 m

3

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción A

E = h⋅ f = h⋅

E Na = h ⋅ EMW = h ⋅

c

λ

La luz procedente de → A mayor longitud de onda, menor energía. la lámpara de sodio transporta más energía

c

λ Na c

E Na λMW 5.89 ⋅10 −3 m = 10 4 = = −9 E MW λ Na 589 ⋅10 m

10000 veces más

λMW

6.- En un laboratorio se ha experimentado con un haz luminoso cuando incide desde el agua hacia el aire (naire = 1) para observar el fenómeno de la reflexión total. 1.- ¿A qué llamamos ángulo límite? 2.- ¿Qué condiciones deben cumplir los medios para que se produzca reflexión total? 3.- Calcula el ángulo límite sabiendo que el índice de refracción del agua es 1.33. 4.- Realiza un dibujo que muestre la reflexión total indicando los nombres correspondientes a los diferentes rayos y ángulos. 1.- Cuando la luz pasa de un medio de índice de refracción superior a otro inferior el ángulo de refracción es mayor que el ángulo de incidencia. El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es 90º. 2.- La reflexión total se produce cuando el ángulo de incidencia sobre la interfase del rayo que procede del medio de mayor índice de refracción es mayor que el ángulo límite. En este caso no hay rayo refractado, toda la luz se refleja. 3. y 4.naire = 1

refractado

r

nagua = 1.33 incidente

Ley de Snell r = 90 º

incidente

i < ilim

nagua sin i = naire sin r

refractado

incidente

i = ilim

Aplicando la ley de Snell naire = 1 1.33 ⋅ sin ilim = 1 ⋅ sin 90 º nagua = 1.33

No hay rayo refractado

i > ilim

reflejado

Reflexión total

sin ilim =

1 1.33

ilim = 48.8º

4

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción B

r

1.- Un haz de protones de energía 208 eV entra en una B región donde hay un campo magnético uniforme de Y X 0.08 T perpendicular a su trayectoria. Se pide: a) Determinar la velocidad y el radio de curvatura que Z los protones describirán dentro del campo magnético. Indicar si el haz se desviará hacia la derecha o hacia la izquierda (suponemos que el haz viaja en sentido del eje X positivo y el campo magnético es perpendicular al plano XZ, como muestra la figura. b) Calcular el tiempo que los protones tardarán en describir una órbita completa alrededor de las líneas del campo magnético. Masa del protón 1.67⋅10-27 kg; carga del protón 1.602⋅10-19 C; 1eV = 1.602⋅10-19 J

r

r

r

a) La fuerza magnética sobre cargas móviles está dada por F = q ⋅ v × B

r

r

En este caso, q >0 y el sentido de la fuerza es el mismo del producto v × B X

(Eje Y sentido saliente)

r r B = B0 ⋅ j

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

r r v = v0 ⋅ i

⋅

⋅

⋅

⋅

R

⋅

⋅

⋅

⋅

v0 = Z

B0 = 0.08 T

Ec =

1 m v02 2

a)

2 Ec 2 ⋅ 208 ⋅1.602 ⋅10 = m 1.67 ⋅10 − 27

r

r

r r

(

−19

)

= 199765 m/s

r

Producto v × B = v0 ⋅ B0 i × j = v0 ⋅ B0 k

Visto desde arriba, la desviación es hacia la derecha Fuerza magnética sobre los protones a la entrada

r r r r F = q ⋅ v × B = q v0 ⋅ B0 k

Igualando módulos de fuerzas centrípeta y magnética

Fuerza centrípeta

m v02 Fc = R a)

m v0 1.67 ⋅10 −27 ⋅199765 = = 0.026 m = 2.6 cm R= q B0 1.602 ⋅10 −19 ⋅ 0.08

b) Los protones recorren su órbita de radio R con velocidad constante v0,

T=

2π R 2π ⋅ 0.026 = = 8.19 ⋅10 −7 s v0 199765 5

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción B

2.- Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 300 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia de la superficie terrestre igual a ¾ del radio de la Tierra. Calcula: a) Velocidad y periodo del satélite en órbita. b) Energía cinética, potencial y mecánica del satélite en órbita. c) Intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del sátélite. Datos. G = 6.67⋅10-11 N m2 kg-2; MTierra = 5.98⋅1024 kg; RTierra = 6370 km

a)

7 ⎛ 3⎞ R = ⎜1 + ⎟ RTierra = RTierra = 11147500 m 4 ⎝ 4⎠

Fuerza atracción Newton = Fuerza centrípeta ⋅m M v2 =m G Tierra2 R R

m

RTierra

R

M Tierra

M Tierra 5.98 ⋅10 24 −11 = 6.67 ⋅10 = 5982 m/s v= G (7 / 4) 6370 ⋅103 R

Periodo de la órbita

2π R 2π ⋅ (7 / 4 ) 6370 ⋅103 T= = = 11709 s = 3 h 15 min 5982 v b) Energía potencial gravitatoria del satélite E p = −G

M Tierra ⋅ m = −1.07 ⋅1010 J R

Energía cinética del satélite EC = 1 G M Tierra ⋅ m = 5.37 ⋅109 J 2 R Energía mecánica

⋅m 1 M = −5.37 ⋅109 J E = EP + EC = − G Tierra 2 R

c) Intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del sátélite. g =G

M Tierra = 3.21 m/s 2 2 R

6

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción B

3.- (a) ¿De qué depende el potencial eléctrico? ¿Qué unidad tiene? (b) Un campo eléctrico uniforme es paralelo al eje OX. ¿En qué dirección puede ser desplazada una carga en este campo sin que se realice trabajo sobre ella? Razónese la respuesta. (a) El potencial alrededor de una carga q depende de la naturaleza del medio que la rodea (constante k), del valor de la carga y de la distancia r desde la carga al punto donde se calcula el potencial.

V =k

q r

Unidad S.I. 1 voltio = 1 J/ C

4.- (a) Sobre la lente convergente mostrada en la figura inciden los rayos 1 y 2 procedentes del espacio objeto. Prolónguese la trayectoria de ambos rayos una vez se refractan en la lente. ¿Cuál es el criterio seguido para hacerlo? (b) Dibuja la trayectoria de los rayos en el caso de que la lente fuera divergente. El rayo 2 que alcanza la lente pasando por el foco objeto F se refracta de modo que emerge de la lente paralelamente al eje óptico del sistema.

Rayo 1 Rayo 2

F’

Rayo 1

A

Líneas de campo

(b) Una carga puede ser desplazada en un campo sin realizar trabajo si se mueve a lo largo de una línea (o superficie) equipotencial. En el caso propuesto aquí, por ejemplo desde A hasta B o desde C hasta D. La razón es que al hacerlo así la fuerza que el campo ejerce sobre la carga es perpendicular al desplazamiento y su producto escalar es igual a cero.

C

r E B D

X

Equipotenciales

Rayo 1 F’

F Rayo 2

El rayo 1 que incide paralelamente al eje óptico se refracta pasando por el foco imagen F’ F’

F Rayo 2

Divergente: el rayo 1 que entra paralelo al eje óptico se refracta de forma que la prolongación del refractado pasa por F’. F Divergente: el rayo 2 que entra apuntado al foco F se refracta paralelo al eje óptico.

7

PAEG UCLM

Física. Junio 2010. Opción B

5.- (a) El núcleo radiactivo del uranio-238 (92 protones y 146 neutrones) emite una partícula α dando lugar a un núcleo X que a su vez se desintegra emitiendo una partícula β y originando un núcleo Y. Comparar el número atómico y la masa atómica del núcleo original de uranio y del núcleo Y. (b) En el año 1898 Marie y Pierre Curie aislaron 220 mg de radio. El periodo de semidesintegración del radio es 1620 años. ¿A qué cantidad de radio han quedado reducidos en la actualidad (año 2010) los 220 mg? (a) Cada vez que se emite una partícula α el número atómico del núcleo progenitor disminuye en 2 unidades y su número másico se reduce en 4 unidades; cuando se emite una partícula β el número atómico aumenta una unidad y la masa no varía. 234 234 238 234 90 X → 91Y + β 92 U → 90 X + α El núcleo Y contiene 91 protones. Es un núcleo del elemento que antecede al uranio (protoactinio). Su número másico es de 4 unidades menos debido a la partícula α que se emitió originalmente, es decir, contiene 234 nucleones. (b) Número de núcleos radiactivos que quedan pasado un tiempo t: ln 2 λ= N = N 0 ⋅ exp(− λ ⋅ t ) T

Desde 1898 a 2010 → 112 años

Fracción de átomos remanentes

N = exp(− ln 2 ⋅ t / T ) N0

T = 1620 años

N = exp(− ln 2 ⋅112 / 1620) = 0.9532 N0

Igual proporción en masa

Cantidad de radio remanente = 0.9532 × 220 mg = 209.7 mg 6.- En el laboratorio del instituto medimos cuatro veces el tiempo que un muelle separado de su posición de equilibrio tarda en describir 20 oscilaciones de pequeña amplitud. Los resultados de la medición aparecen en la tabla. Determina el valor de la constante elástica del muelle. En oscilaciones de pequeña amplitud → MAS

ω=

T2

Con estos valores de k se hace el promedio.

Valor promedio

k media =

Tiempo 20

Experiencia

Platillo + pesa

oscilaciones

1

290

16,4

2

310

17,2

3

330

18,15

4

430

20,46

k 4π 2 = m T2

k 2π = m T

Calculamos los periodos (dividiendo por 20 los datos de tiempos) y luego se calculan 4 valores de k usando 4π 2 m Experiencia k=

Masa (g)

k=

4π 2 m T2

Periodo T (s)

Masa (kg)

k (N/m)

1

0,8200

0,29

17,0

2

0,8600

0,31

16,5

3

0,9075

0,33

15,8

4

1,0230

0,43

16,2

17.0 + 16.5 + 15.8 + 16.2 = 16.4 N/m 4

8