Raices de ECUACIONES NO LINEALES PRIMER PARCIAL TEMA 2

introducción

MÉTODO GRÁFICO PARA ENCONTRAR LAS RAICES DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJEMPLO:

f(x)= 𝑒 −𝑥 − 𝑥

A)LA RAIZ ES DONDE LA GRAFICA INTERSECTA EL EJE “X”

B) LA RAIZ ES EL PUNTO DE INTERSECCION DE LAS DOS FUNCIONES COMPONENTES

3 MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÓN DE EC. NO LINEALES 1. METODO

DEL PUNTO FIJO 2. METODO DE NEWTON RAPHSON 3. METODO DE LA SECANTE

3.1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO

EJEMPLO 1 PASO 1. realizar todos los despejes posibles de “x”

Llamamos a ese despeje x=g(x)

PASO 2. SE TOMA UN VALOR TANTEADO DE X0 . Este valor se puede tomar cercano a alguna de las raices conocidas, o simplemente un valor cualquiera PASO 3. Se evalua la función g(x) en el valor tanteado, y posteriormente en los valores obtenidos de “x”

Si el valor converge, quiere decir que ese valor de “x” es una raíz de la ecuación

DIVERGENCIA

CONVERGENCIA

¿Cuántas iteraciones hago?

CRITERIO 1

Si la raíz que encontramos es la correcta, entonces al sustituirla dentro de la expresión f(x), el resultado deberá ser CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0 CRITERIO 2

El error “Є” en la raíz calculada, se obtiene como:

ϵ= 𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖

Є= 1.85115 − 1.85349 = 0.00234 Є= 1.85083 − 1.85115 = 0.00032

Generalmente se considera BUENO un error de Є=10-3

EJEMPLO 2. trabajo en clase CON X0=2

error de Є=10-3

Si la raíz que encontramos es la correcta, entonces al sustituirla dentro de la expresión f(x), el resultado deberá ser CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0

Inciso a

ERROR #ITERACIONES

5 iteraciones DIVERGE

Inciso b

5 iteraciones ERROR

CONVERGE

TAREA/ TRABAJO EN CLASE IMPLEMENTAR LOS CODIGOS ANTERIORES EN OCTAVE

CRITERIO PARA RECONOCER LA CONVERGENCIA, ANTES DE ITERAR



La cual es una condición SUFICIENTE, mas NO NECESARIA para la convergencia

A y b convergencia

c y d convergencia

TAREA/ TRABAJO EN CLASE Con Є=10-3

Para el despeje a, después de 9 iteraciones

OTRO DESPEJE

Despeje c La condición NO ASEGURA LA CONVERGENCIA

Con Є=10-3

Después de 5 iteraciones, NO CONVERGE

USAR AL MENOS 6 DECIMALES

a) b) Hágalo también tomando X0=1

4 Con

error≤0.001

Problema 6.1. con X0=0.5, como dice el problema sale en 6 iteraciones

ERROR

Problema 6.1. si tomamos X0=1, como dice el problema sale en 5 iteraciones (menos que con 0.5)

Problema 2 . Sale en 6 iteraciones

3.2



MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON

CONTINUA



Vamos a suponer un valor inicial X0 que se sitúa en el eje horizontal. Trace una tangente a al curva en el punto (X0, f(x0)) y a partir de ese punto sígase por la tangente hasta una intersección con el eje x. el punto de corte x es una nueva aproximación a x (hay que observar que se ha reemplazado la curva f(x) por su tangente en (X0, f(x0)) ). El proceso se repite comenzando con X, se obtiene una nueva aproximación X y asi sucesivamente.

Ejemplo 3. Newton-rapshon

Derivada de la función EVALUAMOS LO ANTERIOR EN X0=1



Los resultados al hacer 4 iteraciones

ERROR

RAIZ ENCONTRADA CON Є≤10-3

PROGRAMA MATLAB OCTAVE PARA ENCONTRAR LA SOLUCION A EC NO LINEALES, POR EL METODO DE NEWTON RAPSHON

FALLAS EN EL METODO DE NEWTON RAPSHON 

Cuando el método de Newton-Raphson converge se obtienen los resultados en relativamente pocas iteraciones.



Sin embargo, algunas veces el método NO CONVERGE sino que oscila. Esto puede ocurrir si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la raíz.



Éste método requiere la evaluación de la primera derivada de f(x). En la mayoría de los problemas de los textos este requisito es trivial, pero éste no es el caso en problemas reales donde, por ejemplo, la función f(x) está dada en forma TABULAR.

3.3 MÉTODO DE LA SECANTE 

Consiste en aproximar la derivada f´(x) de la ecuación 2.12 por el cociente

PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE SE REQUIEREN INICIALMENTE DE DOS PUNTOS X0 Y X1 PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE NO SE NECESITA SACAR LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN

PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE SE REQUIEREN INICIALMENTE DE DOS PUNTOS X0 Y X1

EJEMPLO 4. MÉTODO DE LA SECANTE X0=0 ; X1=1



PARA 5 ITERACIONES LOS VALORES SON:

PROGRAMA MATLAB OCTAVE PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES, POR EL METODO DE LA SECANTE

TAREA/TRABAJO EN CLASE, métodos N-R y secante Resuelva las siguientes ecuaciones por: a) en método de Newton Rapshon y el método de la secante. Escoja de manera adecuada los valores tanteados x0 y/o x1

Parte 1.-

Parte 2.-

X0=2 , x1=3

respuestas



PARTE 1



a) 4 iter, 0.80903



B) 5 iter , -0.51354



C) 4ite, 0.578713



PARTE 2



A) 3.14619



B)0.8526



C)1.02986



D)0.201639