RECTAS en el PLANO

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

Matemáticas I RECTAS ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

I. ECUACIONES de la RECTA I.1) Determinación principal de la recta: →

u

Es evidente que una recta r (ver dibujo) va a quedar

r

r

determinada por un punto cualquiera de ella (A ∈ r) y un vector →

A

→

director, es decir, que tenga su misma dirección ( u r ≠ 0 ). Ambos elementos, punto y vector director, constituyen la determinación principal de la recta. En la práctica, escribiremos:

x

 → r = A, u r    ¿Por qué utilizamos el calificativo “principal”? Porque, obviamente, no es la única forma de determinar una recta. Existen infinitas formas: por ejemplo, es evidente que sólo existe una recta que pase por dos puntos, o una recta paralela a otra dada y que pase por un punto exterior a ésta, o perpendicular a otra recta dada y que pase por un determinado punto, etc. Ahora bien, nótese que siempre nos darán dos datos para determinar una recta.

I.2) Ecuación vectorial y paramétrica: Considerar la recta r de la figura adjunta. Supongamos que

→

ur = (u,v) A(a,b) r

→

a

→

AX

→

nos dan su determinación principal, es decir, { A, u r } .

X(x,y)

Supongamos un punto genérico X ∈ r, es decir, un punto

→

cualquiera de r, que puede variar. Es evidente que si X está en la → → recta, entonces el vector AX será proporcional a u r (por ejemplo, → → en el dibujo se ve que AX es aproximadamente el triple que u r ),

x

es decir: →

→

X ∈ r ⇒ AX = λ u r

(1)

donde λ ∈ ℜ se llama parámetro, y va a jugar un papel fundamental en todo el tema. Dando valores positivos y negativos a λ se irían obteniendo los infinitos puntos X que irían trazando la recta . 1

Por otra parte, es evidente en el dibujo la siguiente suma vectorial: →

→

→

x = a + AX

(2) → Reemplazando AX de (1) en (2) obtenemos la ecuación vectorial de la recta: →

→

→

x = a + λ ur

1

(donde λ ∈ ℜ) EC. VECTORIAL

(3)

Esto puede verse de forma interactiva en el siguiente enlace, muy interesante y recomendable: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Puntos_rectas_planos_d3/Representacion_de_rectas.htm

Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor ([email protected])

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En la práctica, la ecuación vectorial no es útil en sí misma, pero sí si la descomponemos en sus dos coordenadas, obteniendo así las ecuaciones paramétricas: x = a + λu  y = b + λv 

(4)

EC. PARAMÉTRICAS

Observaciones: 1ª) Dando valores a λ ∈ ℜ se obtienen los infinitos puntos (x,y) de la recta. 2ª) Y viceversa, a un mismo punto (x,y) le tiene que corresponder el mismo λ para las dos ecuaciones. 3ª) Desventaja: La forma paramétrica de una recta no es única, es decir, una misma recta 2

tiene infinitas formas de ecuaciones paramétricas , todas ellas válidas. Ejercicios final tema: 1 y 2

I.3) Forma continua y general (o implícita): Si despejamos λ de las dos ecuaciones e igualamos, obtenemos la ecuación continua: x −a y −b = u v

(5)

EC. CONTINUA

Observaciones: 1ª) Todo punto (x,y) que verifique la igualdad ∈ r, y viceversa. 2ª) Desventaja: La forma continua de una recta no es única, es decir, una misma recta tiene infinitas formas de ecuación continua, todas ellas válidas.

3ª) Recordemos que no existe la división por 0, es decir, ha de ser u , v ≠ 0. ¿Qué ocurre si u o v = 0? Son casos especiales: u=0

⇒

RECTA VERTICAL x=k

v=0

⇒

RECTA HORIZONTAL y=k

y

x=k y= k

x

Multiplicando en cruz en la forma continua y agrupando términos:

=C v=A u= B Para simplificar la expresión hacemos la identificación de coeficientes indicada, con lo cual obtenemos la ecuación general o implícita de la recta: 2

Ello es debido a que, obviamente, una recta tiene infinitos posibles vectores directores, y también podemos sustituir infinitos puntos (a,b,c) en las ecuaciones paramétricas.

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Ax + By + C = 0

(6)

EC. GRAL o IMPLÍCITA

Observaciones: 1ª) Todo punto (x,y) que verifique la ecuación ∈ r, y viceversa. 2ª) Ventaja: La forma general o implícita de la recta es única (salvo simplificación de sus tres coeficientes). → 3ª) Recordemos que - u = B i.e. u = - B, y que v = A ⇒ ur = ( −B,A )

(También vale

→ ur = (B, − A ) )

Ejercicios final tema: 3 a 5

I.4) Ecuación punto-pendiente: Partimos de nuevo de la forma continua: pendiente

EC. PTO.-PDTE.

(7)

v/u=m coordenadas del punto

→ Observaciones: 1ª) Como ur = ( v,u ) , entonces el cociente v / u lo hemos redefinido como m, y se llama pendiente de la recta. En el dibujo puede verse que v / u = m es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal: →

ur = (u,v)

v = m = tg α u

(8)

v

a u

es decir, m, indica la inclinación de la recta, y por eso se llama pendiente: «La pendiente,

m, de una recta es la tangente del ángulo que forma dicha recta con la parte positiva del eje x» 2ª) El signo de m nos indica si la recta es creciente o decreciente:

O

a ∈ 2 cuad. ⇒ tg a < 0 a

v

u

v u

a

er

a ∈ 1 cuad. ⇒ tg a > 0

m > 0 ⇒ RECTA CRECIENTE

m < 0 ⇒ RECTA DECRECIENTE

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3ª) La pendiente de una recta es única (¡no así el vector director!). 4ª) La forma punto-pendiente no es única (téngase en cuenta que hay ∞ puntos (a,b) de la recta). Ejercicios final tema: 6

I.5) Ecuación explícita: Se obtiene despejando y de la forma general, o también de la punto-pendiente:

(9)

EC. EXPLÍCITA

=n pendiente

ordenada en el origen

Observaciones: 1ª) El término independiente, n, llamado ordenada en el origen, indica a qué altura corta la recta al eje de ordenadas. Por tanto, en función del signo que toman m y n hay 4 casos:

n m>0 n>0

n

m0

m>0 n