REGULACIÓN AUTOMATICA (8) (Respuesta en frecuencia Nyquist)

Escuela Politécnica Superior Profesor: Darío García Rodríguez

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1-4.-Dada la función de transferencia de lazo abierto de un sistema con realimentación unitaria, ¿ para que valores de k el sistema será estable?. k s ( s − 1) La función de transferencia de lazo abierto tiene un polo en el lado derecho del plano s. Tiene un polo en el origen, luego el contorno de Nyquist es el de la figura. Parta el trazado del diagrama de Nyquist s lo sustituimos por jω y calculamos el módulo y ángulo de la función ganancia lazo. G ( s) =

G ( jω ) =

k

ω· ω 2 + 1 −1  ω 

ω  angG ( jω ) = − tan   − tan −1   0  −1 A continuación pongamos la tabla para los diferentes valores de ω , según el contorno de Nyquist. imaginario

∞

plano s 0+

real

0−

ω -·tan-1(ω/0) -tan-1(ω/1) Suma ang. Módulo

−∞ -(-90º) -(-90º) 180º 0

-10 0-(-90) -(-90º) -(-95.7) -(-180º) 185.7º 270º Un valor ∞

−∞

contorno − Nyquist

A partir de estos datos trazaremos el diagrama de Nyquist: a) Cuando ω es menos infinito el ángulo es 180º y un modulo de 0, luego la trayectoria de Nyquist, es tangente en el origen con un ángulo de 180º, que puede ir hacia la arriba (menor ángulo) o hacía abajo (mayor ángulo), para saber que sentido tiene, le doy un valor de –10, y entonces el valor del ángulo es de 185.7º, ángulo mayor, luego irá hacía abajo. b) Cuando ω vale 0- el ángulo es 270º y tiene un radio infinito. c) En la trayectoria Nyquist de 0- a 0+, sera una trayectoria circular de radio infinito y describiendo un ángulo de 180º en el sentido opuesto a la trayectoria de Nyquist( es decir en el sentido de las agujas del reloj). d) En la trayectoria Nyquist de 0+ a infinito es simétrica con respecto al eje de la abscisa, de 0- a menos infinito. e) Para su trazado me interesa saber los cortes con el eje real de G(jω), que en este caso es solo cuando ω=0 rad/seg El diagrama de Nyquist es el siguiente:

2

imaginario ∞

G ( jω )

−∞

real (−1 0 )

−∞

Observando la figura el punto (–1 0), es envuelto una vez en el sentido de las agujas del reloj, luego por el criterio de Nyquist el sistema será inestable (todo ocurre para cualquier valor de k) .

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2.4.- Dada la función de transferencia de lazo abierto de un sistema con realimentación unitaria, ¿ para que valores de k el sistema será estable?. G ( s) =

k s ( s + 0.8s + 1) 2

Resolviendo la ecuación s2+0.8s+1=0, las soluciones son compleja conjugada con la parte real negativa. La función de transferencia de lazo abierto no tiene ningún polo ni cero en el lado derecho del plano s. Tiene un polo en el origen, luego el contorno de Nyquist es el de la figura. Parta el trazado del diagrama de Nyquist s lo sustituimos por jω y calculamos el módulo y ángulo de la función ganancia lazo.

G ( jω ) =

k

ω (1 − ω −1  ω 

) + (0.8·ω )

2 2

2

 0.8ω  angG ( jω ) = − tan   − tan −1  2  0 1−ω  A continuación pongamos la tabla para los diferentes valores de ω , según el contorno de Nyquist. ω -10 0−∞ imaginario -tan-1(ω/0) -(-90º) -(-90) -(-90º) ∞ -tan-10.8ω/(1-ω2) -(-180º) -(-175.4º) 0º Suma ang. 270º 265.4º 90º plano s Módulo 0 Un valor ∞ 0+

real

0−

−∞

contorno − Nyquist

A partir de estos datos trazaremos el diagrama de Nyquist: a) Cuando ω es menos infinito el ángulo es 270º y un modulo de 0, luego la trayectoria de Nyquist, es tangente en el origen con un ángulo de 270º, que puede ir hacia la derecha (ángulo mayor) o hacía la izquierda (ángulo menor), para saber que sentido tiene, le doy a ω un valor grande, por ejemplo –10, y entonces el valor del ángulo es de 265º, ángulo menor, luego irá hacía la izquierda. b) Cuando ω vale 0- el ángulo es 90º y tiene un radio infinito. c) En la trayectoria Nyquist de 0- a 0+, sera una trayectoria circular de radio infinito y describiendo un ángulo de 180º en el sentido opuesto a la trayectoria de Nyquist( es decir en el sentido de las agujas del reloj). d) En la trayectoria Nyquist de 0+ a infinito es simétrica con respecto al eje de la abscisa, de 0- a menos infinito. El diagrama de Nyquist es el siguiente: 4

imaginario ∞

G ( jω )

real

A (−1 0 )

−∞

Observando la figura el punto (–1 0), es envuelto dos veces en el sentido de las agujas del reloj, luego por el criterio de Nyquist el sistema será inestable o el punto (-1 0) no es envuelto ninguna vez en este caso, el sistema será estable, por el criterio de Nyquist. Luego nos interesa calcular el valor del punto A real. Es decir hacer la parte imaginaria igual a cero. En G(jω) el numerador es real y el denominador es: (jω)3+0.8(jω)2+jω =0

-jω3-0.8ω2+jω=0

la parte imaginaria es cero si

ω(-ω2+1)=0 tiene por solución ω2 =1

Si la parte imaginaria es cero no queda:

G ( jω ) =

k − 0.8

luego este valor tiene que

ser mayor que –1, para que el sistema sea estable. −

k > −1 0. 8

luego k0.8 Sistema inestable

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3.4.- Calcular la estabilidad del sistema de la figura. a) Por el criterio de Nyquist b) Por la criterio de Routh.

R (s)

C (s )

k ( s + 2) s( s − 1)

+ −

1 ( s + 5)

k ( s + 2) s( s − 1)( s + 5) Tiene un polo en el lado derecho del plano s (s=1). Tiene un polo en el origen, luego el contorno de Nyquist es el de la figura. Parta el trazado del diagrama de Nyquist s lo sustituimos por jω y calculamos el módulo y ángulo de la función ganancia lazo. La función de transferencia de lazo abierto es:

G ( jω ) =

k· ω 2 + 4

ω 2 ω 2 + 1· ω 2 + 25 −1  ω  −1  ω 

ω  ω  angG ( jω ) = tan   −·tan   − tan −1   − tan −1   2 0  −1 5 A continuación pongamos la tabla para los diferentes valores de ω , según el contorno de Nyquist.

imaginario

∞

ω tan (ω/2) ·tan-1(ω/0) -tan-1(ω/-1) -tan-1(ω/5) Suma ang. Módulo -1

plano s 0+ 0

−

real

−∞ -90º -(-90º) -(-90º) -(-90º) 180º 0

-10 0-79º 0º -(-90) -(-90º) -(96-º) -(-180º) -(63º-) 0º 170º 270º Un valor ∞

−∞

contorno − Nyquist

A partir de estos datos trazaremos el diagrama de Nyquist: a) Cuando ω es menos infinito el ángulo es 180º y un modulo de 0, luego la trayectoria de Nyquist, es tangente en el origen con un ángulo de 180º, que puede ir hacia la abajo (ángulo mayor) o hacía arriba (ángulo menor), para saber 6

que sentido tiene, le doy a ω un valor grande negativo, por ejemplo –10, y entonces el valor del ángulo es de 170º, ángulo menor, luego irá hacía ariba. b) Cuando ω vale 0- el ángulo es 270º y tiene un radio infinito. c) En la trayectoria Nyquist de 0- a 0+, sera una trayectoria circular de radio infinito y describiendo un ángulo de 180º en el sentido opuesto a la trayectoria de Nyquist( es decir en el sentido de las agujas del reloj). d) En la trayectoria Nyquist de 0+ a infinito es simétrica con respecto al eje de la abscisa, de 0- a menos infinito. El diagrama de Nyquist es el siguiente: imaginario ∞ G ( jω )

−∞

A

real

(−1 0 )

−∞

Si el punto (–1,0) se encuentra donde esta situado en la figura, el sistema será estable, ya que lo envuelve una sola vez en el sentido opuesto a las agujas del reloj y tiene un polo en el lado derecho del plano s. Fuera de ese contorno cerrado el sistema será inestable. Ahora me interesa saber el valor del punto A, para ello la parte imaginaria de la ganancia lazo tiene que ser cero. Como en la ganancia lazo tengo en el numerador y denominador parte imaginaria me interesa que la parte imaginaria se encuentre solo en el numerador o denominador, para poder hacer esta igual a cero, y para ese valor de ω me quede solo la parte real. Para ello multiplicamos numerador y denominador por la misma cantidad (s-2).

G ( s)·H ( s ) =

k ( s + 2) ( s − 2) k ( s 2 − 4) · = 4 s( s − 1)( s + 5) ( s − 2) s + 2 s 3 − 13s 2 + 10 s

sustituyendo s por jω

Tendremos: G ( jω ) H ( jω ) =

k (−ω 2 − 4) haciendo la parte imaginaría igual a cero en ω 4 − 2 jω 3 + 13ω 2 + 10 jω

el denominador llegamos a:

− 2ω 3 + 10ω = 0

ω2 =5

y ω=0

7

G ( jω ) H ( j ω ) =

k (−ω 2 − 4) − k ·9 − k = = 90 10 ω 4 + 13ω 2

he sustituido ω2=5

Conclusión el sistema será estable cuando cumpla: −k < −1 10

k >1 10

Luego cuando k> 10 el sistema es estable en otro caso

inestable. e) Criterio de Routh Aquí hay que estudiar la ecuación característica del sistema que nos viene expresada por: k ( s + 2) 1 s ( s − 1)( s + 5) + k ( s + 2) 1+G(s)H(s)=0 1+ · =0= s( s − 1) ( s + 5) s( s − 1)( s + 5) luego el numerador es igual a cero s3+4s2+s(k-5) +2k=0

aplicando Routh tenemos: s3 s2 s1 s0

1 4 k − 10 2 2k

k-5 2k 0

Para que el sistema sea estable tiene que cumplir que: k − 10 >0 2

y 2 k>0

Luego para k > 10 el sistema será estable.

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4-4.- Calcular la estabilidad del sistema por el criterio de Nyquist.

R(s) + −

k ( s + 2)·(s + 3)

C (s)

1 ( s − 1)

La función de transferencia de lazo abierto es: G ( s) H ( s ) =

k , ( s + 2)( s + 3)( s − 1)

teniendo un polo en el lado derecho del plano s en s=1. No tiene polo en el eje imaginario luego el contorno de Nyquist es el de la figura. Para el trazado del diagrama de Nyquist s lo sustituimos por jω y calculamos el módulo y ángulo de la función ganancia lazo. k G ( jω ) = ω 2 + 4· ω 2 + 9· ω 2 + 1 ω  ω  ω  angG ( jω ) = − tan −1   −·tan −1   − tan −1   2 3  −1 A continuación pongamos la tabla para los diferentes valores de ω según el contorno de Nyquist. ∞

imaginario

plano s real 0

ω -tan-1(ω/2) ·tan-1(ω/3) -tan-1(ω/-1) Suma ang. Módulo

−∞ (-90º) -(-90º) -(-90º) 270º 0

-10 0 -76,7º 0º -(-73,3) 0º -(-95,7º) -(-180º) 247,7º 180 Un valor k/6

−∞

contorno − Nyquist

La ecuación del denominador es de tercer orden, luego cortará al eje real en tres puntos, conocemos dos, 0 y –k/6, calculemos el otro. Consiste en hacer la parte imaginaria igual a cero, de la ganancias lazo. 9

G ( s) H ( s ) =

k k = 3 ( s + 2)( s + 3)( s − 1) s + 4 s 2 + s − 6

G ( jω ) H ( j ω ) =

k 3

− jω − 4ω 2 + jω − 6

haciendo la parte imaginaria igual a cero

tenemos: ω (ω 2 − 1) = 0 luego ω= 0 y

luego nos queda G ( jω ) H ( jω ) =

sustituimos s por jω

ω = ±1

k 2

− 4ω + −6

=

−k 10

luego este es el otro punto

de corte. Con todos estos datos podemos trazar el diagrama de Nyquist. a) Cuando ω es menos infinito el ángulo es 270º y un modulo de 0, luego la trayectoria de Nyquist, es tangente en el origen con un ángulo de 270º, que puede ir hacia la derecha (ángulo mayor) o hacía izquierda (ángulo menor), para saber que sentido tiene, le doy a ω un valor grande negativo, por ejemplo –10, y entonces el valor del ángulo es de 247º, ángulo menor, luego irá hacía la izquierda. b) Cuando ω vale 0 el ángulo es 180º y tiene un radio de –k/6. c) Aquí hay un valor de ω = -1 cuyo ángulo vale también 180º y de módulo –k/10 , cuyo valor absoluto es inferior al anterior –k/6. d) Desde cero hasta infinito es simétrico a cero –infinito con respecto al eje de la abcisa. Luego la representación gráfica del diagrama de Nyquist será el siguiente:

imaginario

−

k 6

−

k 10

G ( jω ) real

El sistema será estable en el punto señalado en el esquema, por tener un polo en el lado derecho y lo envuelve una vez en el sentido opuesto a las agujas del reloj, en el diagrama de Nyquist. −k k < −1 < − k >1> k luego 1090-º)

kT 1 T 2 T1 + T 2

k<

T1 + T2 Sistema estable. T1T2

b) Criterio de Routh En este caso tenemos que calcular la ecuación característica del sistema.

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C (s) k = 3 2 R ( s ) s T1T2 + s (T1 + T2 ) + s + k Pongamos la tabla de Routh.

s3 s2 s1 s0

T1T2 T1+T2 (T1+T2-kT1T2)/(T1+T2) k

Es el denominador de esta fracción

1 k 0

El sistema será estable si la segunda columna todos los términos tienen el mismo signo, en este caso positivo. T1 + T2 − kT1T2 Tiene que cumplir que k>0 > 0 el numerador mayor que cero. T1 + T2 T1 + T2 − kT1T2 > 0

k<

T1 + T2 T1T2

Sistema estable

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6.4.-Dada la función de transferencia de lazo abierto de un sistema con realimentación unitaria, ¿ para que valores de k el sistema será estable?. 10k ( s + 0.5) s ( s + 1)(( s + 10) La función de transferencia de lazo abierto no tiene ningún polo ni cero en el lado derecho del plano s. Tiene un doble polo en el origen, luego el contorno de Nyquist es el de la figura. Para el trazado del diagrama de Nyquist s lo sustituimos por jω y calculamos el módulo y ángulo de la función ganancia lazo. G(s) =

G ( jω ) =

2

10k · ω 2 + 0.25

ω 2 ω 2 + 1· ω 2 + 100 −1  ω  −1  ω 

−1  ω  −1  ω  angG ( jω ) = tan   − 2·tan   − tan   − tan    0. 5  0 1  10  A continuación pongamos la tabla para los diferentes valores de ω , según el contorno de Nyquist.

imaginario

∞

plano s 0+ 0

real

−

-0.1 -10 0−∞ -90º -87,1º 0º -11.3º -(-180º) -(-180) -(-180º) 180º -(-90º) -(-84,3º) 0º 2.8º -(-90º) -(-45) 0º 0.6º 270º 222,2º 180º 172.1º 0 Un valor Un valor ∞

ω tan-1(ω/0.5) -2·tan-1(ω/0) -tan-1(ω/1) -tan-1(ω/10) Suma ang. Módulo

−∞

contorno − Nyquist

Tenemos que comprobar corte con el eje real y a la frecuencia que se produce de la ganancia lazo, para ello haremos la parte imaginaria igual a cero. G ( s) =

(

)

10k ( s + 0.5) (s − 0.5) 10k s 2 − 0.25 · = s 2 ( s + 1)(( s + 10) (s − 0.5) s 5 + 10.5s 4 + 4.5s 3 + 5s 2

Haciendo s=jω

tendremos G ( jω ) =

(

)

10k − ω 2 − 0.25 jω 5 + 10.5ω 4 − 4.5 jω 3 − 5ω 2

Parte imaginaria solo existe en el denominador y la hacemos igual a cero:

ω 5 − 4.5ω 3 = 0

ω 2 = 4.5rad / seg

y G ( j 4.5 ) =

10k (− 4.75) = −0.2k 10.5·4.5 2 + 5·4.5

A partir de estos datos trazaremos el diagrama de Nyquist:

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a) Cuando ω es menos infinito el ángulo es 270º y un modulo de 0, luego la trayectoria de Nyquist, es tangente en el origen con un ángulo de 270º, que puede ir hacia la derecha o hacía la izquierda, para saber que sentido, le doy un valor de ω =–10, y entonces el valor del ángulo es de 216º, ángulo menor, luego irá hacía la izquierda. b) Cuando la frecuencia se aproxima a 0-, el ángulo es superior a –180º, luego corta al eje real(según hemos calculado, el punto –0.2k). c) Cuando ω vale 0- el ángulo es 180º, pero en el lado superior y tiene un radio infinito. d) En la trayectoria Nyquist de 0- a 0+, sera una trayectoria circular de radio infinito y describiendo un ángulo de 2*180º en el sentido opuesto a la trayectoria de Nyquist( es decir en el sentido de las agujas del reloj), no corta al eje real negativo. e) En la trayectoria Nyquist de 0+ a infinito es simétrica con respecto al eje de la abscisa, de 0- a menos infinito. El diagrama de Nyquist es el siguiente:

imaginario

G ( jω )

− 0.2k (−1,0)

real ∞

Observando la figura, para que el sistema sea estable es necesario que en el diagrama de Nyquist no envuelva al punto (-1, 0) ninguna vez (por no tener la función de transferencia de lazo abierto ningún polo en el lado derecho). -10.2k

k