Reporte de Actividades 15 Profesores: Arturo Ramírez, Alejandro Díaz. Tutores: Paulina Salcedo, Filomeno Alcántara.

1 . Sesión del 8 de junio de 2011. 1.1 Resumen de la clase con Alejandro Díaz Barriga. 1.1.1 Repaso Números naturales N, enteros Z, racionales Q e irracionales I (detalles en Reporte 13).

1.1.2 Números Reales. Es el conjunto de números decimales; en otras palabras, son todos los puntos sobre la recta. Se representan con el símbolo R. Este conjunto incluye: • Los decimales periódicos (números racionales). • Los decimales no periódicos (números irracionales). Dado que todo número de la recta real pertenece a uno de los dos conjuntos anteriores (i.e. o es racional o es irracional), entonces R es igual a la unión de estos dos conjuntos : R=Q UI

1.1.3 Tarea. Responda y justifique su respuesta:
¿ Cuál es el número antes del cero en la recta real ?
¿ Cuál conjunto cree que es mayor, el de los racionales o el de los irracionales ?

1.2 Resumen de la clase con Arturo Ramírez. 1.2.1. Ejercicios resueltos en clase. TEOREMA. Dado un paralelogramo sus lados opuestos son congruentes.

TEOREMA. Cualquier par de paralelogramos entre paralelas que comparten una misma base tienen áreas iguales. Demostración. Sean ABCD y ABCD el par de paralelogramos con base común AB. Estos se pueden acomodar de dos formas distintas: Caso 1. El vértice C’ de ABCD se encuentra sobre el lado CD, de ABCD. El área del paralelogramo ABCD es igual al área común A más el área de ▲ACC’ y el área del paralelogramo ABC’D’ es igual al área común A más el área de ▲BDD’. Como ▲ACC’ ≡ ▲BDD’ (criterio LAL) entonces las áreas de los paralelogramos son iguales |ABCD| = |ACC’| + A = |BDD’| + A = |ABCD|

Caso 2. Los vértices C’ y D’ se encuentran sobre la prolongación de CD. Ahora, el área del paralelogramo ABCD es igual al área común B más el área de ▲ACC’ menos el área C y el área del paralelogramo ABC’D’ es igual al área común B más el área de ▲BDD’ menos el área C . Como ▲ACC’ ≡ ▲BDD’ (criterio LAL) entonces las áreas de los paralelogramos son iguales |ABCD| = |ACC’| + B – C = |BDD’| + B – C = |ABCD|

COROLARIO. Dos triángulos con la misma base y vértice sobre una paralela a la base, (i.e. de igual altura) tienen áreas iguales.

1.2.2. Teorema de Pitágoras. Primera demostración. Para esta demostración se utiliza fuertemente el corolario anterior.

Sea ▲ABC un triángulo rectángulo en C. Se dibujan cuadrados sobre sus tres lados, ABKH, CADE, BCFG como en la figura. Se trazan la altura desde C, CC’ y los segmentos CH y DB. Por el criterio LAL, los triángulos ▲HAC y ▲BAD son congruentes y por lo tanto tienen la misma área: |HAC| = |BAD| Por el COROLARIO, el área de ▲BAD es igual al área de ▲CAD, pues comparten base AD y los vértices B y C se encuentran sobre CE que es paralelo a AD. |BAD| = |CAD| Por un argumento similar, el área de ▲HAC es igual al área de ▲HAC’. |HAC| = |HAC’| Entonces: |CAD| = |HAC’| Y el área de estos dos triángulos corresponde a la mitad del área de los rectángulos CADE y HAC’C’’ respectivamente, 2 |CAD| = |CADE| y 2 |HAC’| = |HAC’C’’| por tanto: |CADE| = |HAC’C’’| Análogamente, |BCFG| = |BKC’’C’| Sumando las dos últimas igualdades queda demostrado el teorema pues |BCFG| = |CADE| = |HAC’C’’| + |BKC’’C’| Y sabemos que |BCFG| = BC2 |CADE| = AC2 |HAC’C’’| + |BKC’’C’| = AB2 De lo que concluimos BC2 + AC2 = AB2 ■

Segunda demostración. En un triángulo ▲ABC rectángulo en C, se traza un cuadrado sobre c. La figura muestra cómo podemos acomodar dos cuadrados, uno de lados a y otros de lados b dentro de este cuadrado.

Se recomienda al rector justificar, con argumentos de congruencia de triángulos, por qué las áreas en efecto son iguales.

2 . Actividades del 10 de junio de 2011. 2.1 Paulina Salcedo. 2.1.1 Sugerencias a los problemas de geometría del examen. Nota: queda de tarea terminar y entregar todo el examen. Problema 4. Demostrar que la medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos. Para la justificación, recordar lo siguiente: DEFINICIÓN. En lógica y matemáticas, una hipótesis es una fórmula de la que se parte para alcanzar otra fórmula mediante deducciones válidas. Es decir, en la demostración de una fórmula, las hipótesis son el conjunto de afirmaciones adicionales que son añadidas al conjunto de axiomas. No hay que confundir la hipótesis lógica-matemática con la hipótesis del método científico, la cual se formula a partir de observaciones y luego se confirma o no a través de la experimentación. DEFINICIÓN. Ángulos complementarios: par de ángulos que suman 90°. Ejemplos.

DEFINICIÓN. Ángulos suplementarios: par de ángulos que suman 180°.

Problema 5. Demostrar que la suma de los ángulos internos de un polígono convexo de N lados es igual a 180*(N - 2). DEFINICIÓN. Un polígono es una figura cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. DEFINICIÓN. Un polígono es convexo si todo segmento de recta con extremos dentro o sobre de la figura está completamente contenido en ella. A continuación se ilustra esta definición:

Polígono convexo.

Polígonos no-convexos. En este tipo de problemas es conveniente ver algunos casos para darnos una idea de la demostración: • Triángulo: Suma de ángulos internos: 180°. •

Cuadrilátero: Siempre podemos dividir un cuadrilátero en dos triángulos tal que sus ángulos internos sumen los ángulos internos del cuadrilátero. Por lo tanto, suma de ángulos internos es: 180*2 = 360°.

•

Pentágono: Similar al caso del cuadrilátero, se puede dividir un pentágono en 3 triángulos cuya suma de ángulos internos sea la suma buscada: 180*3 = 540°.

De estos ejemplos, se nota una clara relación entre la cantidad de triángulos en los que se puede dividir el polígono y el número de lados. Hay que buscar la manera de generalizar el resultado, partiendo un polígono de N lados en N - 2 triángulos, cuidando justificar bien cada paso. Mencioné que este problema también se puede resolver por inducción. Esto queda pendiente para la siguiente sesión.

Problema 6. En el siguiente dibujo O es el centro de la circunferencia. i ) Si el ángulo