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Resoluci´ on de ecuaciones de primer grado a trav´ es de la historia. µ

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´

Carlos O. Su´arez Alem´an

1.

Ecuaciones en Egipto. En la mayor parte de la Historia, los manuales de matem´ aticas se redactaban utilizando la exposici´ on de la

resoluci´ on de diversos problemas, estas resoluciones deb´ıan interpretarse como modelo utilizable para resolver todos aquellos problemas similares. De este modo los manuales eran, b´ asicamente, una colecci´ on de problemas resueltos en los que el que quer´ıa resolver deb´ıa buscar las similitudes y aplicar el mismo m´etodo. Hagamos un breve recorrido hist´ orico por algunos manuales importantes en la resoluci´ on de ecuaciones de primer y segundo grado. Vamos a comenzar con el estudio de lo que se conoce como Regula Falsi o ((Regla de la falsa posici´ on)). Ya en Mesopotamia la t´ecnica de la falsa posici´ on era utilizada para resolver algunos problemas geom´etricos. De este modo se resolvi´ o el problema 3 de la tablilla AO 6770 del Museo del Louvre (que data del periodo comprendido entre 2004 a 1595 a.C): Tom´e una piedra de la que no conoc´ıa su peso. Me llev´e 71 , el tercio de un shekel y 15 granos1 . Puse 1 11

de lo que yo hab´ıa tomado y cinco sextos de un shekel. La piedra fue restaurada a su estado

original. ¿Cu´ al era el peso original de la piedra? Comencemos con los problemas y algunas t´ecnicas de resoluci´ on encontrados en el papiro de Rhind. Siendo a, b y c n´ umeros dados y donde la inc´ ognita x recib´ıa el nombre de “aha” (mont´ on). Como se ha comentado, los m´etodos de resoluci´ on se correspond´ıan con recetas y nos detenemos en el procedimiento que se ha venido en denominar Regula Falsi o de la “falsa suposici´ on”para resolver una ecuaci´ on del tipo x + ax = b, consistente, en t´erminos actuales en: i) si f (x) = x + ax, se supone un valor x1 para x, luego se determina f (x1 ) = x2 ; ii) se busca k tal que kx2 = b y por la linealidad de f se tiene que f (kx1 ) = b, por lo que x = kx1 . Naturalmente los egipcios no daban ning´ un tipo de justificaci´ on, ni tampoco una formulaci´ on general del procedimiento, sino que se limitaban a resolver casos concretos. En el problema 24, cuyo enunciado es: Una mont´ on m´ as 7 de ´el son 19. Con la notaci´ on: 7, se refer´ıan a 71 , el problema en lenguaje actual se traduce en resolver la ecuaci´ on x + 71 x = 19. El m´etodo utilizado expuesto en el papiro es: Cambia 7 por x. 7+7·7=8 como 8 tiene que ser multiplicado por (2 + 4 + 8) para conseguir 19 8 · (2 + 4 + 8) = 16 + 2 + 1 = 19 entonces 7 tiene que ser multiplicado por (2 + 4 + 8) para llegar a la soluci´ on. 7 · (2 + 4 + 8) = 16 + 2 + 8 = 16,625 | {z } actual 1 El

shekel (≈ 95,5 g.) y el grano (≈ 0, 0046g.)) eran unidades de medida de peso.

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Y en el problema 26, cuyo enunciado es: Una cantidad m´ as 4 de ella son 15.2 El procedimiento utilizado en el papiro es: Cambia x por 4 4 + 4 · 4 = 5, como 5 tiene que ser multiplicado por 3 para conseguir 15. entonces 4 tiene que ser multiplicado por 3 para llegar a la soluci´ on. 4 · 3 = 12. Comprobamos, 12 m´ as un cuarto suyo, 3, da 15. El problema, en lenguaje actual, se corresponde con la ecuaci´ on x + 41 x = 15, observamos que si denotamos f (x) = x +

x 4

tenemos que f (x) es lineal. Suponiendo que x = 4, tenemos que f (4) = 5, ahora bien,

15 = 3 · 5 = 3 · f (4) = f (3 · 4), luego la soluci´ on es x = 3 · 4 = 12. Por tanto, estamos ante un m´etodo de Regula Falsi simple. Como puede observarse, el procedimiento est´ a basado en conceptos de proporcionalidad directa, lo que permite su utilizaci´ on sin complicaciones en la ense˜ nanza secundaria obligatoria para resolver problemas relacionados con las ecuaciones de primer grado. Utilizando la misma t´ecnica se resuelven los problemas del papiro de Rhind siguientes: no 25. x + 2x = 16 no 26. x + 4x = 15 no 27. x + 5x = 21 Posteriormente, en los problemas no 31, no 32 y no 33 nos encontramos con una primera aproximaci´ on a la reducci´ on de t´erminos semejantes, aunque en la matem´ atica actual esto no ser´ıa conveniente utilizarlo directamente para la resoluci´ on de ecuaciones debido a la forma de operar con fracciones unitarias en el antiguo Egipto, as´ı el problema 31 se resolver´ıa3 : x + 3x + 2x + 7x = 33 de donde

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´ 1 + 3 + 2 + 7 x = 33

y as´ı x se obtendr´ıa dividendo 33 entre 1 + 3 + 2 + 7. Pero, como puede deducirse del m´etodo expresado en el Papiro de Rhind, no es necesario acudir a la expresi´ on algebraica del problema, se puede resolver a trav´es de un razonamiento simple. Ahora bien, esta aplicaci´ on directa de una u ´nica suposici´ on invalida el procedimiento para problemas que necesiten una formulaci´ on algebraica af´ın, es decir, del tipo ax + b = c. Para este tipo de problemas se utiliza la ((Regla de la doble Falsa Posici´ on)). Chabert en [?, p. 91] se˜ nala que es uno de los primero m´etodos chinos seg´ un se narra en la obra de Yang Hui (ca. 1238 ca. 1298): Los nueve cap´ıtulos sobre el Arte Matem´ atico de 1261. Este m´etodo era denominado en China como ying bu zu shu que significa ((regla del exceso y del defecto)). Una de las civilizaciones en la que tuvo un mayor desarroll´ o el procedimiento de la doble falsa posici´ on ´ fue en la Arabe. Se han encontrado aplicaciones a problemas lineales con una inc´ ognita, o con dos inc´ ognitas en el manuscrito, traducido del ´ arabe al latin, atribuido al espa˜ nol Abraham ben Meir ibn Ezra(1090-1167) y titulado Liber augmenti et diminutionis vocatus numeratio divinationis, ex eo quod sapientes Indi posuerunt, 2 Con 3 En

la notaci´ on: 4, se refer´ıan a

este caso 3 significa

2 . 3

1 . 4

2

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quem Abraham compilavit et secundum librum qui Indorum dictus est composuit se puede observar la similitud entre la terminolog´ıa de este libro y la de origen chino. Aparece descrito en las obras de Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (ca. 750-ca. 850) y de Abu Kamil (ca. 850 -ca. 930) quien escribi´ o el trabajo titulado Kit¯ ab al Kh¯ ata’ayn, que significa ((Libro de los dos errores)). Qusta ibn Luqa Al’Baalbequi (ca. 835- ca. 912) dio una demostraci´ on geom´etrica de la regla. Sobre todos, merece especial atenci´ on Muhammad ibn AlBanna Al-Marrakushi (1256-1321), quien en su obra Talj¯ıs f¯ı a‘m¯ al al-His¯ ab (Breve exposici´ on de las operaciones aritm´eticas) describe detalladamente, sin aportar ejemplos, la regla de las falsas posiciones a la que denomina ((regla de los platillos de la balanza)) y que representa gr´ aficamente como indica la figura: d2

x2

d1

@ ¡ @ b ¡ @¡ ¡@ ¡ @ @ ¡

x1

En ella, x1 y x2 representan las falsas posiciones, d1 y d2 los errores, que Ibn Al-Banna escrib´ıa debajo o encima de los platillos seg´ un tuvieran valores positivos o negativos, y b el n´ umero dado. De esta forma se opera seg´ un la regla x=

x2 d1 − x1 d2 d1 − d2

Veamos un ejemplo, si quisi´eramos encontrar una cantidad que verificase que un tercio de ella, m´ as cinco sextos de ella m´ as 6 fuese 25, lo que se corresponde con la ecuaci´ on

+ 65 x + 6 = 25, podr´ıamos proceder del

1 x 3

siguiente modo. Supongamos dos valores, a priori falsos y elegidos convenientemente para simplificar los c´ alculos, 6 y 12, entonces: un tercio de 6: 2, m´ as cinco sextos de 6: 5, m´ as 6 hace un total de 13. El error cometido en este caso es 13-25=-12. En el otro caso, un tercio de 12: 4, m´ as cinco sextos de 12: 10, m´ as 6 suman 20, que da un error de 20-25=-5. Aplicando la regla de las escalas −5

12

@ ¡ @ 25 ¡ @¡ ¡@ ¡ @ @ ¡

−12

6

traducido a la f´ ormula obtenemos la soluci´ on 114 12 · (−12) − 6 · (−5) = −12 − (−5) 7 sin necesidad de hablar de lenguajes simb´ olico. Raz´ on por la cual puede plantearse en los u ´ltimos cursos de ense˜ nanza primaria o primeros cursos de ense˜ nanza secundaria. Finalmente, aportaremos unos detalles m´ as sobre el origen de la denominaci´ on actual. La denominaci´ on a ´rabe hisab al-Khataayn hizo que durante la Edad Media apareciera como elchataym, como puede comprobarse en el Cap´ıtulo XIII del Liber abaci de Leonardo Fibonacci, quien expone ((Elchataieym quidem arabice, latine duarum falsarum posicionum regula interpretatur))4 . Pacioli utiliza en Suma la expresi´ on el cataym, tomada de Fibonacci. Sobre el nombre de ((Regula Falsi)) o regla de ((Falsa posici´ on)), podemos indicar que se adopt´ o en los siglos XVI y XVII, con las denominaciones son: La Reigle de Faux en 1566 por Trenchant, Auch Regula Positionum genant en 1593 por Suevus o Regula Falsi en 1690 por Coutereels. Uno de los autores que m´ as relevancia dio a esta regla fue Robert Recorde (1510 - 1558). 4 Elchatayn,

en ´ arabe, se traduce al latin como la regla de la doble falsa posici´ on

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¥ ¨ ACTIVIDAD I: M´ etodo Regula Falsi § ¦ El problema siguiente tiene origen en el Egipto antiguo (Papiro Rhind , 2000 a.C.): La suma de un cierto n´ umero y un s´eptimo del mismo n´ umero iguala 16. Calcule el n´ umero. La soluci´ on se explica verbalmente sobre el papiro: Si el n´ umero fuera 7, la respuesta ser´ıa 8 ya que un s´eptimo de 7 es 1 y siete m´ as uno iguala ocho. Si multiplicamos 8 por 2 nos ponemos 16, por lo tanto la soluci´ on es 7 (la conjetura) multiplicada por 2 (el factor de correcci´ on). Esto es el M´etodo Regula Falsi. Tareas: 1.

a) Escriba la ecuaci´ on egipcia. b) Comprobar si la respuesta dada es correcta.

2. El m´etodo mencionado para resolver ecuaciones tambi´en fue usado en la Edad Media y apareci´ o en el libro Liber Abaci de Fibonacci (en el siglo XII). El problema siguiente viene de este libro. Un almacenero compr´ o una cierta cantidad de manzanas y pag´ o un dinar por cada 7 manzanas. Al d´ıa siguiente vendi´ o todas las manzanas a 1 dinar cada 5 manzanas. Su beneficio neto fue 12 dinares. ¿Cu´ anto dinero invirti´ o en las manzanas al inicio? a) Algebraicamente deber´ıamos resolver la ecuaci´ on

utilizando x como la cantidad inver-

tida. b) Solucione la ecuaci´ on que escribi´ o utilizando el m´etodo descrito antes. conjetura: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: 3. Resolver las ecuaciones siguientes utilizando el mismo m´etodo: a) x +

x 3

= 24

conjetura: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: b) 2x +

5x 3

= 33

conjetura: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: c) x + 4x = 12 conjetura: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on:

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4.

a) ¿Sirve el m´etodo para todas las ecuaciones anteriores? b) ¿Depende su respuesta final de la conjetura? c) ¿Funciona el m´etodo para cualquier ecuaci´ on lineal? d ) ¿Sirve el m´etodo para cualquier ecuaci´ on? e) ¿Por qu´e piensa usted que fue inventado este m´etodo?

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¡ ¤ Actividad II M´ e todo Falsa Posici´ o n Doble £ ¢ El m´etodo siguiente para resolver ecuaciones fue utilizado durante la Edad Media. Es conocido como M´etodo de Falsa Posici´ on Doble. Para resolver una ecuaci´ on como 5x + 10 = 22, primero tenemos que escribir una ecuaci´ on equivalente de la forma ax + b = 0; en este caso conseguimos 5x − 12 = 0. Si hacemos una conjetura y decimos x = 1, conseguimos -7, en vez de 0 (el valor -7 viene de la substituci´ on de 1 en la f´ ormula 5x − 12). Si substituimos 5 por x obtenemos 13 en vez de 0. Aqu´ı es cuando utilizamos el M´etodo de Falsa Posici´ on Doble, que dice que la soluci´ on de la ecuaci´ on 5x − 12 = 0 es x=

1 · 13 − 5 · (−7) 13 − (−7)

Tareas: 1. Comprobar que la respuesta dada es correcta. 2. Hay antiguas colecciones de problemas de matem´ aticas. El problema siguiente se ha tomado de una colecci´ on escrita por Chuquet en 1484. Un comerciante fue a 3 mercados. En el primer mercado dobl´ o su dinero y gast´ o 30 francos. En el segundo mercado triplic´ o su dinero y gast´ o 54 francos. En el tercero cuadruplic´ o su dinero y gast´ o 72 francos. Cuando termin´ o ten´ıa 48 francos. ¿Con cu´ anto dinero comenz´ o? a) Algebraicamente deber´ıamos resolver la ecuaci´ on

utilizando x como la cantidad inver-

tida. b) Solucione la ecuaci´ on que escribi´ o utilizando el m´etodo descrito antes. conjetura ]1: resultado: conjetura ]2: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: 3. Resolver las ecuaciones siguientes utilizando el mismo m´etodo: a) x +

x 3

= 24

conjetura ]1: resultado: conjetura ]2: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: b) 2x +

5x 3

= 33

conjetura ]1: resultado: conjetura ]2: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on:

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c) x + 4x = 12 conjetura ]1: resultado: conjetura ]2: resultado: soluci´ on seg´ un el m´etodo: verificaci´ on: 4.

a) ¿Sirve el m´etodo para todas las ecuaciones anteriores? b) ¿Depende su respuesta final de la conjetura? c) ¿Funciona el m´etodo para cualquier ecuaci´ on lineal? d ) ¿Sirve el m´etodo para cualquier ecuaci´ on? e) ¿Por qu´e piensa usted que fue inventado este m´etodo?

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