RESTO CUADRATICO LA UNIDAD Generalidades.−Aportaciones de estos cuadrados.−Procedimientos para su conocimiento.−Ejemplos. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Todo número , entero , positivo ,impar ,compuesto ,que llamaremos N, tiene como mínimo cuatro números menores de N, que elevados al cuadrado ,generan como resto cuadrático 1. A priori conocemos dos de ellos: 1² y ( N − 1 )² El presente trabajo ,que exponemos bajo el título Resto cuadrático la unidad, da a conocer los procedimientos a través de los cuales es posible hallar los otros dos cuadrados ,menores que N,que también generan el uno como residuo cuadrático. A su vez el conocer esto, nos proporciona: 1º.−Saber los factores que dividen a N.−Factorización que no tiene como base los cuadrados de Fermat. 2º.−Nos informa de que la base de uno de los cuadrados,es igual a la diferencia de dos números,que tienen de particular ,que al ser elevados al cuadrado,sus congruencia son iguales a las bases, módulo N. 3º.−Proporciona,mediante una simple operación, el hallar los 3º y 4º cuadrados,que generan como resto 2², 3² , 4² etc. 4º.−Nos muestra la relación directa de los citados cuadrados , con los cuadrados de factorización de Fermat. 5º.−Por último, pone a nuestra disposición las citadas propiedades o peculiaridades , que pueden ser base de otros estudios. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− PROCEDIMIENTOS PARA CONOCER LOS CUADRADOS QUE GENERAN COMO RESTO LA UNIDAD Procedimiento A N = impar,compuesto,positivo = A ² + B ² = C ³ + D ² planteamos la ecuación diofántica , N×c−B=A×e 1

y nos proporciona que , e ² " ( N − 1 ) ( módulo N ) igualmente ,planteamos otra ecuacion . N×d−D=f×C en el que también , f ² " ( N − 1 ) ( módulo N ) es decir que , e ² × f ² " 1 ( mod. N ) Ejemplo : N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ² 62317 c − 141 = 206 e resolviendo la ecuación, e = 5747 por otra parte , 62317 d − 179 = 174 f f = 12534 5747 ² " 62316 ( módulo 62317 ) 12534 ² " 62316 ( módulo 62317 ) • × 12534 " 56763 ( módulo 62317 ) 56763 ² " 1 ( módulo 62317 ) en cuanto a la factorización de 62317 , las bases de los 4 cuadrados son : 62316 ; 1 ; 56763 ; 5554 . 62316 − 56763 = 9 × 617 62316 − 5554 = 562 × 101 N = 62317 = 617 × 101 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Procedimiento B Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números consecutivos que tengan como factores entre otros , x y . N=x.y;a.x+1=b.yd.x=e.y+1 ( b . y ) ² " b . y ( módulo N ) ( d . x ) ² " d . x ( módulo N ) ( b . y − d . x ) " 1 ( módulo N ) Ejemplo : N = 62317 = 617 x 101 617 a + 1 = 101 b b = 336 336 x 101 = 33936

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617 a = 101 b + 1 a = 46 46 x 617 = 28382 33936 − 28382 = 5554 5554 ² " 1 ( módulo 62317 ) 33936 y 28382 , tienen la siguiente peculiaridad , 33936 ² " 33936 ( módulo 62317 ) 28382 ² " 28382 ( módulo 62317 ) Procedimiento C Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat : N=x.yF²−N=f² B . N . − F = a . f a ² " 1 ( módulo N ) Ejemplo : N = 62317 = 617 × 101 las bases de los cuadrados de Fermat son : (617 + 101)/2 = 359 ; (617− 101)/2 = 258 62317 b − 258 = 359 a , resolvemos la ecuación , a = 5554 5554 ² " 1 ( módulo 62317 ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1 3

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