REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2 2001 APILAMIENTO DE BLOQUES, UN ILUSTRATIVO EJEMPLO DE EQUILIBRIO ESTÁTICO M. Fonseca, A. Hurtado, C. Lombana y O. Ocaña Universidad Distrital Francisco José de Caldas Proyecto Curricular Licenciatura en Física Grupo “Física e Informática”1 RESUMEN Considerando un sistema físico de varios objetos idénticos (paralelepípedos rectángulos) en forma, dimensiones y masa, se plantean dos situaciones problema de apilamiento vertical de dichos objetos en las que ha de mantenerse el equilibrio estático, tanto traslacional como rotacional, del sistema. Teniendo en cuenta las condiciones dinámicas para mantener dicho equilibrio se hacen los análisis para un sistema con un número pequeño de objetos, se infieren las generalizaciones y con la ayuda de los recursos computacionales de los programas Mathcad [1] e Interactive Physics™ [2], se simplifican tales generalizaciones y se realizan las correspondientes simulaciones.

ABSTRACT Considering a physical system of several identical objects (rectangular boxes) in form, dimensions and mass, two situations problem of vertical piling up of such objects are outlined, so to have traslational and rotational equilibrium. Taking into account the dynamic conditions to maintain such equilibrium, the analysis is made for a system with a small number of objects, are inferred the generalizations and with the aid of the computational programs like Mathcad [1] and Interactive Physics™ [2], such generalizations are simplified and the corresponding simulations are carried out.

INTRODUCCIÓN En el estudio de la mecánica clásica un aparte de especial importancia es la situación de equilibrio mecánico estático para un sistema físico constituido por varios cuerpos. Con el propósito de que los estudiantes del Proyecto Curricular de Licenciatura en Física de la Universidad Distrital, en los cursos de física general en los que se trabaja dicho tema, comprendan y vean en aplicación los conceptos y relaciones físicas inherentes a tal tópico, se les plantea resolver práctica y analíticamente situaciones-problema como las indicadas más adelante (problema 1 y problema 2). La estrategia metodológica utilizada ha sido la de proponerles inicialmente resolver las situaciones de manera práctica usando sistemas de “bloques” (fichas de dominó, cartas de una baraja de naipe, entre otros), tomando un número pequeño de éstos (4 o 5). Los estudiantes hacen diversos intentos de solución práctica pero rápidamente se dan cuenta que es necesaria una documentación teórica relacionada con el equilibrio mecánico, después de la cual se les pide la solución teórica con las respectivas 1

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generalizaciones para un número cualquiera de “bloques”. Aunque generalmente no llegan a las generalizaciones y el profesor debe ayudar, el trabajo realizado por los estudiantes les permite aclarar los aspectos esenciales de la situación de equilibrio. Versiones de los problemas planteados aquí se encuentran como ejercicios propuestos en algunos textos de física, en el capítulo de equilibrio mecánico, p. ej. en [3], [4], [5]. Problema 1. N bloques idénticos, de longitud L y masa M cada uno, se colocan uno encima de otro de tal manera que parte de cada uno sobresale del que tiene debajo. Encontrar la forma de apilamiento de los N bloques de modo que se logre la máxima longitud horizontal saliente, con respecto al bloque base, de los bloques colocados sobre éste el cual se encuentra totalmente apoyado sobre una superficie horizontal. Solución. Los bloques se numeran siendo 1 el bloque superior de la pila, 2 el siguiente, y así sucesivamente hasta llegar al bloque N que corresponde al bloque base. Sea xcg = posición x del centro de gravedad de N-1 bloques encima del bloque base, con respecto al extremo izquierdo de éste. Si xcg ≤ L, el sistema estará en equilibrio, luego para xcg = L se tendrá la máxima longitud saliente. (Ver esquemas Tabla 1) Si = máxima longitud que puede sobresalir el bloque i, donde i = 1, 2, ... , N-1 , con respecto al bloque inmediatamente debajo, es decir, el (i+1). S máx = ∑ S i = máxima longitud saliente de los (N -1) bloques encima del bloque base. i

Siendo xi = posición x del centro de gravedad del bloque i, con respecto al extremo izquierdo del bloque base, N −1

x cg =

∑x

i

=L N −1 donde se tiene en cuenta que la masa de cada bloque es la misma. i =1

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REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2 2001 Tabla 1. Esquemas representativos y cálculos de SN -1 y Smáx para un determinado N.

xcg

ESQUEMA

x1 = S1 +

L =L 2

x1 + x 2 =L 2 L S1 + 2S 2 + 2 = 2 L 2 x1 + x 2 + x 3 =L 3 L S1 + 2S 2 + 3S 3 + 3 = 3L 2

S N −1

S máx

L S1 = 2 *1

1 L 2

L 2*2

S3 =

L 2*3

x1 + x 2 + L + x N −1 =L N −1

S N −1 = L L S1 + L + (N − 1)S N −1 + (N − 1) = 2 2( N − 1) (N − 1)L

N Smáx

5 (25/24)L

6 (137/120)L

7 (49/40)L

L [Psi(N ) + γ ] , 2 ∞

Γ(N ) = ∫ t N −1e −t dt

donde

la

11 L 12

L  N −11  ∑  2  i =1 i 

8 9 10 (363/280)L (761/560)L (7129/5040)L

Utilizando Mathcad se determina la solución para S máx = S máx =

3 L 4

....

....

....

....

S2 =

función

L  N −1 1   ∑  , obteniéndose 2  i =1 i 

Psi(N ) =

d ln[Γ(N )] dN

con

y la constante γ ≅ 0.577 .

0

La simulación de la solución al problema planteado se realizó con Interactive Physics, pudiéndose observar de qué manera se mantiene o se rompe el equilibrio del sistema. v Con el fin de entender mejor la aplicación de las relaciones dinámicas ∑ F = 0 y

v ∑ τ = 0 para tener equilibrio mecánico del sistema, a continuación se obtienen

expresiones para el valor de la fuerza normal sobre un bloque cualquiera del sistema, 296

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ejercida por la superficie de apoyo, verticalmente hacia arriba, y para la posición horizontal del punto efectivo de aplicación de esta fuerza normal. N1 = Mg

x Nv1 = posición x del punto efectivo de aplicación de la fuerza normal N1

x Nv1 = L

Î

N2 = 2Mg N 2 x v = Mgx 2 + N1 x v N2 N1 xv = N2

Mg L

+ MgL 2 2 Mg

3 xv = L N2 4

Î

N1 = Mg

x Nv1 = L + L/4

N2 = 2Mg

xv = N2

5 xv = L N1 4

Î

N 2 x v = Mgx 2 + N1 x v N2 N1

Mg 3 L + Mg 5 L 4 4 2 Mg

Î

xv =L N2

N3 = 3Mg N3x v N

xv N

3

= 3

= Mgx3 + N 2 x v N Mg L

2

+ 2 MgL 2 3Mg

Î xv N

= 3

5 6

L

Generalizando para un número N de bloques, tomando como i el número de bloques debajo del que se va a calcular el valor de la fuerza normal sobre él (NN – i) y la posición x del punto efectivo de aplicación de esta fuerza normal x Nv :

(

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N −i

)

REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2 2001 0≤i≤N–1

NN – i = (N – i) Mg

x Nv N − i

L i −1 1   L + 2 j∑= 1 N − j   =  L   L  L −  2N

i ≥ 2 i =1 i = 0

PROBLEMA 2.

Supóngase que se superponen los bloques del problema anterior de tal forma que la orilla de uno sobresale de la del siguiente de abajo una fracción constante 1/n de la longitud L de los bloques, con n ≥ 2. ¿Cuál es el número máximo de bloques (Nmáx) que se pueden superponer sin que se caigan, para un n cualquiera? SOLUCIÓN.

Los bloques se numeran igual que en el problema 1. Sea xcg = posición x del centro de gravedad de N-1 bloques encima del bloque base con respecto al borde derecho del bloque base. xcg debe ser menor o igual a 0 (Ver esquemas Tabla 2) para tener equilibrio del sistema. N −1

xi = posición x del centro de gravedad del bloque i. xcg =

∑x i =1

i

N −1

≤0

donde se tiene en

cuenta que la masa de cada bloque es la misma. Como puede verse en la Tabla 2, el número de bloques que se pueden superponer, manteniéndose el equilibrio del sistema, se tiene cuando se cumpla:

 L N −1  L  n(N − 1) ∑ i  − 2 ≤ 0 , esto es: i =1   N −1

∑i ≤ i =1

n(N − 1) 2

Î

Concluyendo entonces que:

(N − 1)N 2

N máx = n

≤

n(N − 1) 2

Î

N≤n

coincidiendo así este N máx con el

denominador de la fracción de L que sobresale cada bloque. Nuevamente utilizando Interactive Physics se hace la simulación del problema pudiéndose verificar la solución analítica.

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Tabla 2. Esquemas representativos y determinación de xcg y estado del sistema para diferentes L/n y número N de bloques. ESQUEMA

N

xcg

ESTADO

2

x1 = 0

EQUILIBRIO

3

L x1 + x 2 L = 2 = 2 2 4

NO EQUILIBRIO

2

L L L − =− 3 2 6

EQUILIBRIO

L/2

3

L/3

2

3

6

...

L/n

EQUILIBRIO

=0

(L 3 − L 2) + (2 L 3 − L 2) + (3 L 3 − L 2) = L

...

...

4

...

(L 3 − L 2 ) + (2 L 3 − L 2 )

N

1 N −1 L L  ∑ i −  = N − 1 i =1  n 2  N −1   L L ∑ i −   n(N − 1) i =1  2

NO EQUILIBRIO

...

L/n

EQUILIBRIO

CONCLUSIONES. Con la situación planteada se logra que los estudiantes alcancen un buen nivel de comprensión y aplicación de los aspectos físicos concernientes con el estado de equilibrio mecánico de un sistema de varios objetos. El uso de herramientas computacionales como Mathcad, para la realización de los cálculos y representaciones gráficas, e Interactive Physics para hacer las respectivas simulaciones es un excelente recurso metodológico alternativo que ayuda a la experimentación virtual de sistemas físicos, mejorando el conocimiento sobre ellos y la comprensión misma de las leyes físicas que gobiernan estos sistemas. REFERENCIAS [1] Mathcad 8 Professional. © 1986-1998 by MathSoft, Inc. [2] Interactive Physics ™. Copyright © 1989-1998. Knowledge Revolution. [3] RESNICK, R. y HALLIDAY, D. Física, parte 1. 4ª impres., 1982. CECSA. p. 308. [4] SEARS, F. et al. Física, vol. 1, 9ª ed. Ed. Addison Wesley Longman. p. 354. [5] SERWAY, R. A. Física, tomo 1. 4ª ed. Ed. McGraw-Hill. p. 355.

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