UNIDAD 5 Actividades de la unidad 1. Comprueba la escasa fuerza gravitatoria existente entre los cuerpos que están en nuestro entorno, aunque sean de gran masa. ¿Con qué fuerza se atraerán dos esferas de plomo de una tonelada cada una si sus centros de masa están a 1 m de distancia? Aplicando la ley de la gravitación se obtiene: F=G·

m1m2 Nm2 103 kg · 103 kg = 6,67 · 10–11 · = 6,67 · 10–5 N 2 r kg2 (1 m)2

2. El peso de un cuerpo en la Luna es de 400 N. ¿Cuánto pesará ese cuerpo en la Tierra? Toma los datos que necesites en la Tabla 5.2. La masa del cuerpo es Astro

P 400 N m= L = = 245,40 kg gL 1,63 N kg–1 El peso del mismo cuerpo en la Tierra es P = m g = 245,40 kg · 9,81 ms–2 = 2 407,37 N

g (N/kg)

R (km)

Mercurio

3,70

2 440

Venus

8,87

6 048

Tierra

9,81

6 370

Marte

3,71

3 390

Júpiter

25,10

71 350

Saturno

10,60

60 050

Urano

9,06

25 380

11,51

24 290

Neptuno Plutón Sol Luna

0,50

1 490

274,10

695 980

1,63

1 730 135

Tabla 5.2

3. En un lago helado se lanza un trozo de hielo a la velocidad de 20 m/s. Si la fuerza de rozamiento es el 5 % de su peso, ¿con qué aceleración se mueve el trozo de hielo? ¿Qué trayecto puede recorrer en línea recta hasta pararse? La fuerza resultante que se opone a su deslizamiento es la del rozamiento (Fr): – Fr = ma ‰ a = – a=–

Fr m

0,05 mg = – 0,05 · 9,8 m/s2 = – 0,49 m/s2 m

El movimiento es uniformemente retardado. Por tanto: v 2 = v02 + 2as ‰ s =

v 2 – v 02 02 – (20 m · s–1)2 = = 408,16 m 2a 2 (–0,49 m/s2)

4. En un plano inclinado 60° con la horizontal se deja un cuerpo. Si al deslizarse se opone una fuerza de rozamiento que es el 20 % de la componente del peso que le impulsa hacia abajo, ¿cuál es la aceleración y la velocidad a los 4 segundos? La fuerza neta en la dirección del desplazamiento es → → N F = Px – Fr = mg sin 60° – 0,2 mg sin 60° = 0,8 mg sin 60° Fr →

Py

Aplicando el segundo principio: a=

F 0,8 mg sin 60° = = 0,8 · 9,8 m/s2 · 0,866 = 6,79 m/s2 m m

→

Px 60° →

P

La velocidad a los 4 s es v = at = 6,79 m/s2 · 4 s = 27,16 m/s 60°

III LA DINÁMICA

5. En una mesa hay un carrito de masa M = 200 g unido a la masa m = 50 g que cuelga mediante un hilo que pasa por una polea de masa despreciable. Si el sistema se mueve sin rozamiento, calcula la aceleración del mismo y la tensión del hilo. → Se van a emplear dos procedimientos. N • Primer procedimiento: → T Considerándolo en conjunto, M y m se desplazan con movimiento M uniformemente acelerado debido al peso de m, ya que el peso de M queda contrarrestado por N. Por tanto: mg = (M + m) a. De donde: → → P = Mg

mg 0,050 kg · 9,8 m/s2 a= = = 1,96 m/s2 (0,200 + 0,050) kg M+m

→

T

• Segundo procedimiento: Aplicamos el segundo principio a cada masa por separado (como si no existiese la otra) obteniendo una ecuación para cada una de ellas. La masa M se mueve con m.r.u.a. bajo la acción de T como única fuerza resultante: T = Ma [1] Sobre la masa m actúan dos fuerzas P’ y T: mg – T = ma [2] Sumando [1] + [2] se obtiene: mg = (M + m) a. De donde: a=

→

→

P' = mg

mg = 1,96 m/s2, como en el primer procedimiento. M+m

Ahora podemos hallar la tensión del hilo en [1] o en [2]: T = Ma = 0,2 kg . 1,96 m/s2 = 0,392 N

136

6. Sobre una mesa hay un taco de madera de 1 kg unido mediante un hilo que pasa por una polea de masa despreciable a otro de 500 g que cuelga. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético son µ = 0,40 y µ’ = 0,35, respectivamente: a) Demuestra si se deslizará el taco de la mesa. → N b) En caso afirmativo, halla la aceleración y la tensión del hilo. a) Sí se mueve, ya que P´ > Fr , es decir:

m

m’g > µ mg ‹ m’ > µ m ‹ 0,5 kg > 0,40 · 1 kg b) Aplicando el segundo principio de la dinámica a m y m’ se obtienen, respectivamente, las ecuaciones [1] y [2]: T – µ mg = ma

[1]

m’g – T = m’a

[2]

→

T

→

Fr

→

→

T

P

m’

Sumando miembro a miembro [1] y [2] resulta: m’g – µ mg = (m + m’) a

→

P’

(m’ – µm) g (0,5 – 0,35 · 1) kg · 9,8 m/s2 a= = = 0,98 m/s2 (1 + 0,5) kg m + m’ →

Sustituyendo en [1]:

N

T = m (µ g + a) = 1 kg (0,35 · 9,8 + 0,98) m/s2 = 4,41 N 7. Una joven de m = 55 kg se encuentra dentro de un ascensor que desciende con aceleración constante de 1 m/s 2. ¿Qué fuerza ejerce el suelo del ascensor sobre la joven? Si se toma el sistema de referencia fuera del ascensor se obtiene: mg – N = ma N = m (g – a) 484 N

→

P

5 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

8. Un péndulo está colgado del techo de un vagón que acelera desde el reposo con aceleración a = 3 m/s 2. ¿Qué ángulo forma el péndulo con la vertical mientras dura la aceleración? Si se toma el sistema de referencia dentro del ascensor: → T T sin  – fi = 0 Ty →  T  T cos  – mg = 0 fi ma a tg  = = = = 0,31 mg mg g

fi

fi

Tx

→

P

→ p

 = 17° 9. Mediante una honda, que tiene 65 cm de cuerda, un pastor lanza una piedra de 20 g con una velocidad de 40 m/s. Determina en el instante anterior al lanzamiento: a) La velocidad angular de la piedra en rad/s y rpm. b) La tensión de la cuerda. c) En qué relación se encuentra la tensión de la cuerda con el peso de la cuerda. a) Velocidad angular:  =

v 40 m/s = = 61,54 rad/s. R 0,65 m

Como 1 revolución = 2 / rad,

=

61,54 1 rev rev: min = 587,66 (rpm) 2/ 60 min

b) La tensión de la cuerda equivale a la fuerza centrípeta: T = Fc = 0,02 kg ·

c)

(40 m/s)2 = 49,23 N 0,65 m

T 49,23 N = = 251,17 P 0,02 kg · 9,8 m/s2

137

La tensión es 251,17 mayor que el peso. 10. ¿A qué fuerza está sometida una partícula de 20 mg en una centrifugadora que gira a 60 000 rpm si está a 10 cm del eje de giro? A una fuerza centrípeta cuyo valor es 6 · 104 · 2 / rad rad = 2 000 / Fc = m R  2 = 2 · 10–5 kg · 10 · 10–2 m · (2 000 /)2 s–2 = 78,96 N; ya que  = 60 s s 11. En una revista se dice que la pieza principal de un acumulador inercial para coches eléctricos es un cilindro de 25 kg y 20 cm de radio que gira a 100 000 rpm. Muchos materiales llegan a desintegrarse a esta velocidad angular. Calcula la fuerza a que está sometida la unidad de masa que se supone distribuida en la periferia. ¿Cuántas veces es mayor que su peso? • Fc = m R  2 = 1 kg · 0,2 m

(

/ · 104 –1 s 3

)

2

= 2,193 · 107 N. Ya que  =

105 · 2/ rad / rad = · 104 60 s 3 s

• El peso de 1 kg es 9,8 N. Por tanto: Fc 2,193 · 107 N = = 2,238 · 106 ‰ Fc = 2,238 · 106 veces mayor que el peso de 1 kg. P 9,8 N

Cuestiones de la unidad 1. Las fuerzas de cohesión se dan entre átomos y moléculas. ¿Dónde son más intensas esas fuerzas, en el estado gaseoso, en el líquido o en el sólido? ¿Por qué? En el sólido, porque las moléculas están más próximas unas a otras.

III LA DINÁMICA

2. Cuando sobre la superficie de una carretera asfaltada hay arena o gravilla fina, los vehículos pueden derrapar. Explica por qué. Las partículas de gravilla o arena se pueden convertir entre la superficie del pavimento y los neumáticos del vehículo en una especie de pequeñas esferas que disminuyen el rozamiento (rozamiento por rodadura). 3. Trata de explicar por qué al aumentar el peso del cuerpo, aumenta la fuerza de rozamiento. Porque hay más puntos de contacto entre el pavimento y el cuerpo que se desliza, aumentando así, entre otras, las fuerzas de cohesión.

4. Es cierto que las personas y los vehículos pueden moverse porque existen las fuerzas de rozamiento. Explica esta afirmación. Cuando los vehículos, animales y personas se desplazan, lo hacen como resultado de fuerzas de reacción correspondientes a las de acción ejercidas sobre el suelo por los mismos. Sin rozamiento no serían posibles esas fuerzas.

Actividades de final de unidad Consolidación 1. ¿Cuándo las cuatro fuerzas o interacciones a distancia constituyeron una sola fuerza no diferenciada? Antes de la barrera de Planck, es decir, del instante 10–43 segundos del Big-Bang. 138

2. Consulta la bibliografía al respecto e indica cuáles son las leyes de Kepler. ¿En cuáles de esas leyes se basó Newton para deducir la ley de la gravitación universal? Las dos primeras leyes de Kepler las enunció al explicar con ellas la órbita de Marte. Después amplió estas dos primeras y la tercera al movimiento de los planetas. • Primera ley: en su movimiento en torno al Sol los planetas describen órbitas elípticas. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse. • Segunda ley: en su movimiento, el radio-vector (vector de posición del planeta respecto al Sol) barre áreas iguales, en tiempos iguales.

Según esta ley, el planeta posee más velocidad lineal cuando está más cerca del Sol (perihelio) que cuando está más alejado (afelio). • Tercera ley: el cubo del radio medio de la órbita del planeta es directamente proporcional al cuadrado del periodo o tiempo de una revolución. 3. Enuncia y formula la ley de la gravitación universal. ¿Tiene que ver la constante G con la intensidad de esa fuerza? • Dos cuerpos se atraen con fuerza directamente proporcional al producto de sus masas (m1 y m2) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r): F=G

m1 m2 r2

• La constante G, llamada constante de gravitación universal, fue determinada experimentalmente por Cavendish en 1792. Su valor en el SI es G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2 Como se ve es muy pequeño, por lo que las fuerzas de gravitación son muy débiles. Solamente se ponen de manifiesto cuando las masas son muy elevadas.

5 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

4. ¿Qué factores influyen en el valor de la gravedad terrestre? ¿En qué unidad se mide? • En la gravedad terrestre influyen la latitud y la altitud del punto de la superficie terrestre. m . s2 5. Enuncia, formula y explica la ley de Hooke. ¿Cómo construirías y calibrarías un dinamómetro? La fuerza deformadora (F) aplicada a un resorte es directamente proporcional al alargamiento (6l) que produce: F = k · 6l. Es un resorte o muelle elástico, uno de cuyos extremos se fija en un soporte que puede ser un tubo transparente. Al ejercer una fuerza en el otro extremo, el resorte se alarga proporcionalmente a la fuerza. Si se mide esa fuerza, tirando con otro dinamómetro calibrado, se puede marcar la misma en una escala de papel pegada en el tubo. De esta forma, el resorte puede ser utilizado como dinamómetro calibrado. • Su valor en el SI es g = 9,8065

6. ¿Qué expresa y significa la constante elástica de un resorte? ¿En qué unidad se mide? Expresa la fuerza ejercida para producir un alargamiento igual a la unidad. Se mide en

N en el SI. m

7. Explica la diferencia entre los coeficientes estático y cinético de rozamiento. ¿Cómo se definen? • El coeficiente estático de rozamiento es el cociente entre la fuerza de rozamiento, en el momento de iniciar el movimiento, y la normal. • El coeficiente cinético de rozamiento es el cociente entre la fuerza de rozamiento del cuerpo, con movimiento uniforme, y la normal. Este coeficiente es algo menor que el estático. 8. Si no tienes dinamómetros, ¿cómo determinarías el coeficiente estático entre un cuerpo y el material sobre el que se desliza? Mediante un plano inclinado, según se indica en el apartado 4.3 de esta Unidad. Para cierto ángulo de inclinación, , el cuerpo comienza a deslizarse. En esta situación se cumple que la componente del peso, m g sin , es igual a la fuerza de rozamiento, µ m g cos : sin  µ m g cos  = m g sin  ‰ µ = = tan  cos  El coeficiente estático de rozamiento es igual a la tangente trigonométrica del ángulo formado por el plano con la horizontal en el momento de iniciarse el deslizamiento. 9. Si un vehículo toma una curva con velocidad excesiva, ¿por qué no puede completar la misma? Explica por qué las carreteras con peralte retienen mejor a los vehículos en las curvas. • En las carreteras con peralte, a la fuerza de rozamiento que impide que deslicen, se suma la componente del peso que se ejerce hacia el centro de la curva. (Es útil observar la figura). →

• Si el pavimento es horizontal, la única fuerza que retiene al vehículo para que no se deslice es la fuerza de rozamiento (F r ). mv 2 Pero si la velocidad es excesiva: > Fr , el vehículo se r desliza por inercia, en sentido centrífugo (hacia fuera de la curva).

m

g

 sin

Fr

→

Fr

 P=mg

10. Un coche remolca a otro mediante un cable. En un momento dado el coche remolcador acelera y el cable se rompe. Explica por qué. Cuando los dos coches van a velocidad constante no existe tensión en el cable. Al acelerar, la tensión es igual a la masa del coche por la aceleración y directamente proporcional a esta. 11. ¿Qué cambio experimenta la velocidad de un cuerpo cuando se le aplica una fuerza perpendicular a la trayectoria? Pon algún ejemplo. Experimenta únicamente cambios en la dirección de la velocidad, como por ejemplo la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. 12. Una masa m cuelga de un muelle de masa despreciable. Si desplazamos la masa de su posición de equilibrio y después la soltamos, ¿depende el periodo del movimiento oscilatorio que se produce del valor de m? ¿Depende ese periodo del valor de la aceleración de la gravedad? k 2/ m ; T= = 2/ . • Sí,  2 =  m k • No depende del valor de la gravedad.

兹莦

139

III LA DINÁMICA

Ejercicios y problemas 1. ¿A qué distancia estarán situadas dos grandes esferas suspendidas del techo si cada una posee una masa de 1 t para que se atraigan con la fuerza de 1 µN? Aplicando la ley de la gravitación, se obtiene: r=

兹莦莦莦莦莦 兹莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦 G m1m2 = F

6,67 · 10–11 N m2 kg–2 · 103 kg · 103 kg = 8,167 m 10–6 N

2. El peso de un cuerpo en la Tierra donde g = 9,8 m/s2 es de 800 N. ¿Cuál es su masa y el peso en la superficie de Júpiter? (Dato: gj = 25,10 m/s2). • El peso de un mismo cuerpo es directamente proporcional a la gravedad del planeta: P = mg ‰ m =

P 800 N = = 81,63 kg g 9,8 N kg –1

• Peso en Júpiter: PJ = mg J = 81,63 kg · 25,10 N kg–1 = 2 049 N. 3. ¿Dónde produciría más impacto un objeto, cayendo en la Luna o en la Tierra, suponiendo que ha sido «capturado» por el campo gravitatorio correspondiente? (Datos: gT = 9,81 m/s2; gL = 1,63 m/s2). Se produciría más impacto en la Tierra porque alcanzaría su superficie con mayor velocidad y, por lo mismo, mayor energía cinética. 4. Dos cuerpos de igual masa caen desde 1 000 m del suelo lunar y terrestre, respectivamente. Si no se tiene en cuenta el rozamiento en la atmósfera terrestre, ¿en qué relación se encuentran las velocidades al llegar al suelo? ¿Influye la masa? (Datos: gT = 9,81 m/s2; gL = 1,63 m/s2). • Sus velocidades estarán en la siguiente relación: vT = vL

140

兹莦莦莦莦 兹莦莦莦 2 gTh = 2 gLh

9,81 = 2,45 ‰ vT = 2,45 vL 1,63

• La masa no interviene en la ley de caída libre. No influye. 5. Un cuerpo de 5 kg se mueve en un plano horizontal por la acción de una fuerza paralela al plano de 49 N. Si el coeficiente de rozamiento es µ = 0,4; calcula: a) La aceleración del movimiento. b) La velocidad a los 10 m de recorrido. c) El tiempo tardado en esos 10 m. a) Aplicando el segundo principio de la dinámica se obtiene: F – Fr = ma ‰ a =

F – Fr F – µmg m 49 N – 0,4 · 5 kg · 9,8 m s–2 = = = 5,88 2 m m s 5 kg

b) v =앀2 a s = 앀 2 · 5,88 m s–2 · 10 m = 10,84 c) t =

m s

v 10,84 m s–1 = = 1,84 s 5,88 m s–2 a

6. Un cuerpo de 2 kg de masa se desliza por un plano horizontal. Al pasar por un punto su velocidad es de 10 m/s y se para 12 m más allá por efecto del rozamiento. Calcula: a) La aceleración del movimiento. b) La fuerza de rozamiento. c) El coeficiente de rozamiento. a) v 2 = v02 + 2 as ‰ a =

v 2 – v 02 0 – (10 m s–1)2 m = = – 4,17 2 2s 2 · 12 m s

b) La única fuerza resultante es la del rozamiento: Fr = m a = 2 kg (– 4,17 m s–2 ) = – 8,33 N c) µ =

|Fr| |Fr| 8,33 = = = 0,425 N mg 2 · 9,8

5 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

7. Bajo la acción de una fuerza de 4 N, un taco de madera cuya masa es de 700 g se mueve en un plano horizontal con una aceleración de 2 m/s 2. Demuestra si hay rozamiento y en ese caso halla el coeficiente. Si no hubiese rozamiento, la aceleración sería a =

F 4N m = = 5,71 2 . m 0,7 kg s

Como la aceleración del movimiento es menor, hay rozamiento. Aplicando el segundo principio, se obtiene: F – Fr = ma ‰ F – µmg = ma ‰ µ =

F – ma 4 – 0,7 · 2 = = 0,38 mg 0,7 · 9,8

8. Un cuerpo recorre 8 m en una rampa de 45° al deslizarse sin velocidad inicial durante 2 segundos. Si su masa es de 1 kg, calcula: a) La aceleración media. b) La fuerza neta que produce el movimiento. → → Fr N c) La fuerza que se opone al deslizamiento. a) s =

1 2 2s 2·8m m =4 2 at ‰ a = 2 = 2 2 t (2 s) s

→

→

Px

45°

Py

b) F = ma = 1 kg · 4 m s–2 = 4 N →

P

c) F = Px – Fr ‰ Fr = Px – F = m g sin 45° – F Fr = 1 kg · 9,8 m s–2 · 0,707 – 4 N = 2,93 N

45°

9. Un cuerpo de 2 kg es lanzado a la velocidad de 5 m/s por un plano inclinado 30° con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es µ = 0,4, calcula la aceleración y el espacio que recorre hasta detenerse. Indica si las soluciones son las mismas con otra masa. En la dirección del desplazamiento actúan dos fuerzas, ambas de N → sentido contrario al mismo. Por tanto: vo a=

→

–(m g sin  + µ m g cos ) = –g (sin  + µ cos ) m m a = – 9,8 m s–2 (0,5 + 0,4 · 0,87) = – 8,31 2 s

v 2 = v02 + 2 a s ‰ s =

v 2 – v 20 0 – (5 m s–1)2 = = 1,51 m 2a 2 (–8,31 m s–2)

Fr →

Px →

Py

→

P 30°

En el cálculo de la aceleración no interviene la masa, según se ha visto. 10. De los extremos de una cuerda que pasa por una polea fija de eje horizontal, cuelgan pesos de 1,20 kg y 1,05 kg, respectivamente. Calcula: a) La aceleración con que se mueven los pesos. b) La distancia que separa a los mismos en 2 segundos, suponiendo que inicialmente estaban a la misma altura. a) Aplicando el segundo principio, siendo la fuerza neta la diferencia de pesos, se obtiene: F m1g – m2g (m1 – m2)g = = m m1 + m2 m1 + m2

a=

a=

(1,20 – 1,05) kg · 9,8 m s–2 m = 0,65 2 (1,20 + 1,05) kg s

b) Cada peso ha recorrido: s=

1 1 m · 0,65 2 · 4 s2 = 1,30 m at 2 = 2 2 s

Si partieron del mismo nivel, la distancia que los separa es d = 2 · 1,30 m = 2,60 m

m2

m1

141

III LA DINÁMICA

11. De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija de eje horizontal penden dos masas de 4 kg cada una. ¿Qué masa habrá que añadir a una de las dos para que la otra suba 1,8 metros en 2 segundos? El desplazamiento se realiza con m.r.u.a. Si s es el desplazamiento, se obtiene: 1 2s 2 · 1,8 m m = 0,9 2 s= at 2 ‰ a = 2 = 2 t 4 s2 s Si m’ es la masa añadida a uno de los dos bloques, se cumple: 8a 8 · 0,9 m s–2 (4 + m’ – 4) g = (4 + m’ + 4) a ‰ m’ = = = 0,809 kg (9,8 – 0,9) m s–2 g–a 12. Una grúa levanta un contenedor de 800 kg con aceleración de 0,5 m/s2. Calcula: a) La tensión del cable de la grúa. b) La altura a los 10 segundos. c) La tensión del cable si el contenedor sube a velocidad constante. a) La resultante de las fuerzas tiene el sentido del movimiento. Si T es la tensión, se cumple: T – m g = m a ‹ T = m (g + a) = 800 kg (9,8 + 0,5) m s–2 = 8 240 N b) h =

1 1 m a t2 = · 0,5 2 · 100 s2 = 25 m 2 2 s

c) En este caso, T – mg = m · 0 = 0 ‰ T = mg = 800 kg · 9,8 m s–2 = 7 840 N. 13. Sobre una mesa un cuerpo de 400 g va unido mediante un hilo, que pasa por una polea, a otro de 100 g, que cuelga. Suponiendo que no hay rozamiento y que la masa de la polea es despreciable, calcula la aceleración y la tensión del hilo. Realiza los mismos cálculos considerando un rozamiento de coeficiente µ = 0,2. Aplicando el segundo principio por separado a cada masa se obtiene: → N [1] m2g – T = m2a [2] T = m1a m →

–2

142

m2 g = (m + m2) a ‰ a =

Si µ = 0,2,

1

→

Fr

Sumando [1] y [2] resulta: m2g 0,1 kg · 9,8 m s = (0,4 + 0,1) kg m1 + m2

= 1,96

m s2

T

→

T m2

→

m1 g

T = 0,4 kg · 1,96 m s–2 = 0,784 N a = 0,39 m/s2 y T = 0,96 N.

→

m2 g

14. Si el coeficiente de rozamiento es 0,4, calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda con los demás datos del gráfico. ¿Cuánto tendrá que valer m2 para que se mueva con velocidad constante? → Aplicamos el segundo principio a m1 y m2. N1 → [1] En m1: T – µm1g = m1 a. Fr m1 T→ →

En m2: m2g sin 45° – T – µ m2 g cos 45° = m2 a.

[2]

Sumando [1] y [2] se obtiene: m2g sin 45° – (µ m1 g + µ m2 g cos 45°) = (m1 + m2) a

[3]

a=

→

T

P1

m1 = 1 kg m2 = 4 kg

→

Fr

→

N2 m2

→

P2 45°

m2 g sin 45° – (µ m1 g + µ m2 g cos 45°) 4 · 9,8 · 0,71 – (0,4 · 1 · 9,8 + 0,4 · 4 · 9,8 · 0,71) m = m1 + m2 1+4 s2 a=

27,83 – (3,92 + 11,13) m m = 2,54 2 2 5 s s

T = m1 (µg + a) = 1 kg (0,4 · 9,8 + 2,54)

m = 6,46 N s2

Para que las masas se muevan con velocidad constante, a = 0. De la [3], se obtiene: m2g sin 45° – µ m1g – µ m2gcos 45° = 0 m2 =

µm1g 0,4 · 1 · 9,8 kg = = 0,943 kg g (sin 45° – µ cos 45°) 9,8 (0,71 – 0,4 · 0,71)

5 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

15. Un dinamómetro está suspendido del techo de un ascensor. Del otro extremo pende un cuerpo de 2 kg. Halla la fuerza que señala el dinamómetro cuando: a) Sube con velocidad constante. b) Arranca con aceleración de 1 m/s2. a) Si sube con velocidad constante, la resultante de las fuerzas en esa dirección es nula: F = Fa – mg = 0 ‰ Fa = mg = 2 kg · 9,8 m s–2 = 19,6 N b) Si la aceleración es positiva en sentido ascendente: Fb – mg = ma ‰ Fb = m (g + a) = 2 kg (9,8 + 1) m s–2 = 21,6 N 16. La resistencia del cable de una grúa es de 7 680 N. ¿Cuál es la aceleración máxima con que debe subir un contenedor de 600 kg para que no se rompa el cable? El segundo principio aplicado a este caso indica que T – m g = m a. Por tanto: a=

T – mg 7 680 N – 600 kg · 9,8 m s–2 m = =3 2 600 kg m s

17. Una máquina radial, empleada para lijar, desprende una partícula de 8 g cuando gira a razón de 12 000 rpm. Si la partícula era del borde del disco, que tiene 16 cm de radio, calcula la fuerza centrípeta a que estaba sometida y la velocidad con que salió despedida. ¿Puede producir una lesión grave si alcanza a una persona?

=

12 000 rev 12 000 · 2 / rad rad = = 400 / 60 s 60 s s

Fc = mR 2 = 8 · 10–3 kg · 0,16 m · (400 /)2 s–2 = 2 021,3 N Como v = R = 0,16 m · 400 / s–1 = 201

m , sí puede producir una lesión grave, ya que esa velocidad es del s

orden de la velocidad de un proyectil de arma corta. 18. Una pieza metálica de 40 g va atada a un hilo de 60 cm que se rompe si la tensión a que está sometido sobrepasa los 20 N. Si pones a girar esa pieza como si fuese una honda, ¿qué velocidad tendrá cuando se rompa el hilo? ¿Qué dirección tendrá la velocidad de la pieza metálica en el momento de romperse el hilo? • La fuerza a que está sometida es la centrípeta, que aumenta con la velocidad: Fc = m v=

v2 R

兹莦莦莦 兹莦莦莦莦莦莦莦莦 FcR = m

20 N · 0,60 m m = 17,32 0,04 kg s

• La dirección será tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento de la piedra. 19. Un ascensor de 250 kg transporta tres personas de 240 kg de masa entre las tres. Determina: a) La fuerza que ejercen las personas sobre el ascensor cuando sube con aceleración de 1,5 m/s2. b) La fuerza que ejerce el motor, mediante el cable, en este movimiento. c) Las mismas fuerzas que en los apartados anteriores pero cuan→ do frena al llegar al piso con una aceleración de –1 m/s2. (Dato: g=10 m/s2). T Si se toma el sistema de referencia fuera del ascensor: a) N – m g = m a → N N = m (a + g) = 2 760 N b) T – (m + M)g = (m + M)a T = (m + M) (g + a) = 5 635 N c) N = m (a + g) = 240 (10 + (–1)) = 2 160 N T = (m + M) (g + a) = 490 (10 + (–1)) = 4 410 N

P→

143

III LA DINÁMICA

20. Un coche de 1 000 kg toma una curva sin peralte de 400 m de radio a 72 km/h. Calcula: a) La fuerza de rozamiento. b) La velocidad que podría tomar en la curva si tuviera un peralte de 20º y el mismo rozamiento. (Dato: g= 10 m/s2). y →

N

→

fix

→

N

x

→

Px

→

fi

→ fiy

→

fi

→

fiY

→

FR

→

FR

→

→

Py

P

→

P

a) Si se toma el sistema de referencia en el coche: v2 =0 FR – m R

b) Si se toma el sistema de referencia en el coche: fix – Px – FR = 0

la velocidad es v = 72 km/h = 20 m/s. FR = m

m

v2 = 1 000 N R

v2 · cos 20° – mg sin 20° – FR = 0 R R (FR + mg sin 20°) v2 = ‰ m · cos 20° v = 43,89 m/s

144

21. ¿Con qué velocidad angular mínima hay que hacer girar un cubo en el plano vertical según un círculo de radio 40 cm para que el agua que contiene no se derrame? ¿Cuál será la velocidad tangencial del cubo en esas condiciones? → N La velocidad mínima se producirá cuando N = 0. En este caso, mg = m  2R;

=

v = R = 2 m/s

兹莦

g rad =5 R s

→ P

22. La longitud de un resorte sin carga es de 20 cm. Si se suspende de su extremo un cuerpo que pesa 12 N, su longitud mide 25 cm. Calcula su constante elástica y su longitud cuando se le suspende un cuerpo de 600 g. • De la ley de Hooke se obtiene: k=

F 12 N N = = 240 –2 m 6l (25 – 20) · 10 m

• La fuerza (peso) del cuerpo de 600 g es F’ = 0,6 kg · 9,8 m s–2 = 5,88 N 6l’ =

F’ 5,88 N = = 0,0245 m = 2,45 cm k 240 N–1

Como 6l’ = l’ – l0 ‰ l’ = (20 + 2,45) cm = 22,45 cm. 23. Si la constante del resorte es de 4 N/cm y el carrito tiene una masa m = 0,1 kg, haz una gráfica (representando aceleraciones en cm/s2 y posiciones en cm), centímetro a centímetro desde 0 hasta 12 cm, cuando, desplazado de la posición de equilibrio hasta esa elongación, se abandona para que oscile. a = –  2x;

a=–

k –400 x= x; m 0,1

F’ A’

a = – 4 000 x

La aceleración es directamente proporcional a la elongación.

O

A

F’ O

A

-x

A’

x

5 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

a (cm/s2)

12 x (cm)

x (cm)

a (cm/s2)

0

0

12

– 4 800 4 800

0

24. Demuestra que el movimiento de un péndulo simple de longitud l es armónico simple de frecuencia angular  2 = g/l. Ayuda: para ángulos pequeños x = l · sin  es aproximadamente igual al espacio recorrido s.  Sobre el eje x se cumple que: –m g sin  = m a; como sin  =

x l

→ a=

l

–g x l

La aceleración es, con signo negativo, proporcional al desplazamiento, por tanto, es un movimiento armónico simple, cuyas aceleraciones son del tipo a = – 2x. Por tanto,  2 =

g . l

→

T

x →

x

Px →

Py →

P

145