Velocidad lineal vs. t para diferentes valores de Vder y Vizq= 0 V

Velocidad angular vs. t para diferentes valores de Vder y con Vizq= 0 V

0.16 0.6 0.14 0.5

0.12

0.4 ω (rad/s)

Vlin (m/s)

0.1

0.08 VD=1 VD=2 VD=3 VD=4 VD=5 VD=6 VD=7 VD=8 VD=9 VD=10 VD=11 VD=12

0.06

0.04

0.02

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

VD=1 VD=2 VD=3 VD=4 VD=5 VD=6 VD=7 VD=8 VD=9 VD=10 VD=11 VD=12

0.3

0.2

0.1

0

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

t (s)

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

Figura 3.6: Velocidad lineal y velocidad angular del veh´ıculo aplicando 0 V en el motor izquierdo y voltajes de 1 a 12 V con intervalos de 1 V en el motor derecho. Velocidad lineal vs. t para diferentes valores de Vder y Vizq= 12 V

Velocidad angular vs. t para diferentes valores de Vder y con Vizq= 12 V 0 VD = 1 V VD = 2 V VD = 3 V VD = 4 V VD = 5 V VD = 6 V VD = 7 V VD = 8 V VD = 9 V VD = 10 V VD = 11 V VD = 12 V

0.3 −0.1 0.25 −0.2

0.15

VD = 1 V VD = 2 V VD = 3 V VD = 4 V VD = 5 V VD = 6 V VD = 7 V VD = 8 V VD = 9 V VD = 10 V VD = 11 V VD = 12 V

0.1

0.05

0

ω (rad/s)

vlin (m/s)

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

−0.3

−0.4

−0.5

−0.6 2

0

t (s)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (s)

Figura 3.7: Velocidad lineal y velocidad angular del veh´ıculo aplicando 12 V en el motor izquierdo y voltajes de 1 a 12 V con intervalos de 1 V en el motor derecho.

An´ alisis de Resultados De la observaci´on directa de las gr´aficas obtenidas se puede decir que las variables de velocidad lineal y angular son estables para todos los valores elegidos en este escenario. Cabe anotar que estos experimentos suponen un barrido de voltaje en una de las entradas fijando el otro voltaje en los valores extremos (se fija el voltaje izquierdo en Vizq = 0 V y Vizq = 12 V) por lo que esta es una muestra representativa de comportamiento del sistema. Adem´as se observa que el comportamiento en estado transitorio de las dos variables de estado en cuesti´on parece no cambiar a pesar de la aplicaci´on de los diferentes conjuntos de entrada. Cuando el voltaje izquierdo se fija en cero, los valores en que se estabilizan las velocidades lineal y angular aumentan a medida que se incrementa el voltaje de entrada 57

Valor estacionario de la velocidad lineal vs. Vder

Valor estacionario de la velocidad angular vs. Vder con Vizq =0

0.35

0.8

0.3

0.6

0.25

0.4 \omega (rad\s)

vlin (m/s)

Vizq = 0 V Vizq = 12 V 0.2

0.15

Vizq = 0 V Vizq = 12 V 0.2

0

0.1

−0.2

0.05

−0.4

0

0

2

4

6

V

der

8

10

−0.6

12

(V)

0

2

4

6

V

der

8

10

12

(V)

Figura 3.8: Gr´aficas de la relaci´on entre el valor estacionario de las velocidades lineal y angular con el voltaje de entrada izquierdo para valores fijos del voltaje derecho.

en una relaci´on constante. El estado estacionario de cada conjunto de velocidades se obtiene en el mismo tiempo de establecimiento. Al fijar el voltaje izquierdo en 12 V, la velocidad lineal mantiene su tendencia de aumentar el nivel de estado estacionario, esta vez con valores mayores debido a que se est´a alimentando el sistema con m´as voltaje. El valor de estabilizaci´on de la velocidad angular es grande pero negativa cuando se aplica el voltaje m´as peque˜ no del barrido (Vizq = 1 V) y empieza a disminuir su valor hasta hacerse cero cuando el valor de las se˜ nales de entrada se hacen iguales (Vizq = Vder = 12 V). Para visualizar mejor la naturaleza de los comportamientos de las se˜ nales presentadas, se realizan las gr´aficas de los valores en estado estacionario (figura 3.8) y de los tiempos de establecimiento (figura 3.9) de las velocidades con respecto al voltaje aplicado al motor derecho (el cual se est´a variando), considerando que la estabilidad se alcanza al llegar al 95 % del valor de estado estacionario. Se observa que el comportamiento de los valores de estado estacionario de las se˜ nales de velocidad (lineal y angular) con respecto a un voltaje de entrada, fijando el voltaje del otro motor en cero, es lineal. Cuando se cambia el valor del voltaje aplicado al motor que se fija y se var´ıa el voltaje del otro motor, el valor de estado estacionario exhibe un comportamiento lineal asociado, esto es, conserva la pendiente aunque experimenta un corrimiento en el nivel del valor de velocidad, haciendo que las gr´aficas resultantes sean paralelas entre s´ı. Esto muestra que las entradas de voltaje y las salidas de velocidad est´an acopladas. Ya que la relaci´on entre el valor de la velocidad en estado estacionario y las entradas entrega la ganancia est´atica del sistema se observa de las gr´aficas que esta ganancia es constante cuando se fija una de las entradas en cualquier valor, es decir que la pen58

Tiempo de Establecimiento de la velocidad lineal vs. V der con Vizq constante

Tiempo de Establecimiento de la velocidad angular vs. V der con Vizq constante 0.25

0.25

0.2

testablecimiento (s)

testablecimiento (s)

0.2

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0.15

0

2

4

6

V

der

8

10

0

12

(V)

0

2

4

6

8

10

12

Vder (V)

Figura 3.9: Gr´aficas de la relaci´on entre el tiempo de establecimiento de las velocidades lineal y angular con el voltaje de entrada izquierdo para valores fijos del voltaje derecho.

Figura 3.10: Superficie de respuesta de la velocidad lineal

diente es la misma. Si se hace una extrapolaci´on de los resultados, las superficies de respuesta de las variables de velocidad con respecto a las entradas resultan ser las presentadas en las figuras 3.10 y 3.11. Los valores de estado estacionario obtenidos para la velocidad lineal son siempre positivos. Es posible pensar en obtener una relaci´on lineal para la velocidad empleando V +V una variable independiente auxiliar, el promedio de las se˜ nales, izq 2 der con lo cual se obtiene la relaci´on mostrada en la figura 3.12.

59

Figura 3.11: Superficie de respuesta de la velocidad angular

Figura 3.12: Gr´aficas de la relaci´on entre el valor estacionario de la velocidad lineal y el promedio de los voltaje de entrada.

60

Para el caso de la velocidad angular los valores de estado estacionario describen rectas en su comportamiento, pero en esta ocasi´on su signo puede ser negativo debido a que est´a relacionada con la direcci´on de giro del veh´ıculo. En la superficie de respuesta de esta variable se observa que el valor es negativo para conjuntos de entrada cuyo voltaje izquierdo sea mayor que el derecho y viceversa, mientras que si son iguales, la velocidad lineal es constante e igual a cero. Con respecto a los tiempos de establecimiento de las velocidades lineal y angular se observa que son constantes para todos los valores de entrada y su valor corresponde a test = 0,191 s, y test = 0,216 s respectivamente. Conclusiones Las variables de velocidad lineal y angular son estables en todo el rango de operaci´on, que est´a limitado por los voltajes que es capaz de entregar cada bater´ıa de 12 V. El comportamiento en estado transitorio de las dos velocidades no cambia a pesar de la aplicaci´on de diferentes conjuntos de entrada. Esto es que el tiempo de respuesta del sistema es el mismo para cualquier pareja de voltajes que se aplique en la entrada y se llega al estado estacionario sin la presencia de sobrepicos. A medida que aumenta el voltaje aplicado al sistema, la velocidad lineal se incrementa, mientras que el valor de estado estacionario de la velocidad angular depende proporcionalmente de la diferencia entre los valores de entrada. Las se˜ nales de velocidad est´an acopladas con las dos entradas ya que cambios en cualquiera de ellas produce efectos en su respuesta. La ganancia est´atica de las velocidades permanece constante al fijar una de las entradas del veh´ıculo. Las superficies de respuesta de las velocidades con respecto a los voltajes de entrada corresponden a planos, lo cual evidencia que estas salidas son lineales con respecto a las entradas. La ganancia est´atica puede variar param´etricamente con respecto a los cambios que presenten las se˜ nales de entrada.

3.3

Experimento 2. Efecto de Carga

En esta secci´on se presentan los datos, los an´alisis y las conclusiones de las dos partes que conforman el experimento 2, correspondiente al estudio del efecto de la carga en el desplazamiento del veh´ıculo en lazo abierto.

Datos Obtenidos Los resultados de la primera parte del experimento se presentan en las tablas, 3.2 para cargas ubicadas en el centro del veh´ıculo, 3.3 para cargas ubicadas hacia un lado del 61

Masa de la Carga (kg) 5.0879 10.418 19.8475 31.9808 37.1494 49.2633

Centro de Masa x(m) y(m) z(m) 0.2501 0.5014 -0.1020 0.2501 0.5013 -0.0849 0.2501 0.5012 -0.0603 0.2501 0.5010 -0.0362 0.2501 0.5010 -0.0277 0.2501 0.5008 -0.0111

Momento de Inercia Izz (kg*m2 ) 4.2085 4.2481 4.3181 4.4082 4.4466 4.5365

Tabla 3.2: Centros de Masa y Momento de inercia Izz con diferentes cargas ubicadas en el centro del AGV Masa de la Carga (kg) 5.0879 10.418 19.8475 31.9808 37.1494 49.2633

Centro de Masa x(m) y(m) z(m) 0.2303 0.5014 -0.1020 0.2126 0.5013 -0.0849 0.1872 0.5012 -0.0603 0.1623 0.5010 -0.0362 0.1535 0.5010 -0.0277 0.1364 0.5008 -0.0111

Momento de Inercia Izz (kg*m2 ) 4.2056 4.8022 5.2476 5.7062 5.8734 6.2169

Tabla 3.3: Centros de Masa y Momento de inercia Izz con diferentes cargas ubicadas hacia un lado del AGV

Teca (5.0879 kg) PVC (10.418 kg) Vidrio (19.8475 kg) Al´ umina (31.9808 kg) Titanio (37.1494 kg) Vanadio (49.2633 kg)

Centro de Masa x(m) y(m) z(m) 0.2501 0.5332 -0.1020 0.2501 0.5613 -0.0849 0.2501 0.6018 -0.0603 0.2501 0.6416 -0.0362 0.2501 0.6554 -0.0277 0.2501 0.6828 -0.0111

Momento de Inercia Izz (kg*m2 ) 4.9521 5.6539 6.6763 7.7015 8.0665 8.7999

Tabla 3.4: Centros de Masa y Momento de inercia Izz con diferentes cargas centradas en la parte frontal del AGV

centro de masa, 3.4 para la carga ubicada hacia adelante y 3.5 para cargas ubicadas en un v´ertice del veh´ıculo. En modo de ejemplo, el resultado entregado por SolidWorks en el caso de ubicar la carga a un lado, la cual usa un material de vanadio, con el que se obtiene una masa de 49.2633 kg es presentado en la figura 3.13. Los resultados del desarrollo de la segunda parte del experimento se presentan gr´aficamente en la figura 3.14, de modo que se obtiene el desplazamiento que describe 62

Teca (5.0879 kg) PVC (10.418 kg) Vidrio (19.8475 kg) Al´ umina (31.9808 kg) Titanio (37.1494 kg) Vanadio (49.2633 kg)

Centro de Masa x(m) y(m) z(m) 0.2303 0.5332 -0.1020 0.2126 0.5613 -0.0849 0.1872 0.6018 -0.0603 0.1623 0.6416 -0.0362 0.1535 0.6554 -0.0277 0.1364 0.6828 -0.0111

Momento de Inercia Izz (kg*m2 ) 5.2453 6.2081 7.6058 8.9995 9.4933 10.4804

Tabla 3.5: Centros de Masa y Momento de inercia Izz con diferentes cargas ubicadas en la esquina frontal izquierda del AGV

 Masa = 1 0 8 . 3 0 0 6 k i l o g r a m o s Volumen = 0 . 0 3 1 7 metros ˆ3 ´ Area de s u p e r f i c i e = 3 . 7 9 5 9 metros ˆ2 Centro de X Y Z



masa : ( metros ) = 0.1364 = 0.5008 = −0.0111

E j e s p r i n c i p a l e s de i n e r c i a y momentos p r i n c i p a l e s ( k i l o g r a m o s ∗ metros ˆ2 ) Medido d e s d e e l c e n t r o de masa . I x = ( 0 . 7 8 5 3 , 0 . 0 2 5 3 , −0.6186) Px I y = ( −0.0215 , 0 . 9 9 9 7 , 0 . 0 1 3 7 ) Py Iz = (0.6188 , 0.0025 , 0.7856) Pz

de i n e r c i a :

= 4.1512 = 5.1453 = 7.4984

Momentos de i n e r c i a : ( k i l o g r a m o s ∗ metros ˆ2 ) ( Medido d e s d e e l c e n t r o de masa y a l i n e a d o con e l s i s t e m a de coordenadas r e s u l t a n t e ) Lxx = 5 . 4 3 3 3 Lxy = 0 . 0 1 6 1 Lxz = −1.6268 Lyx = 0 . 0 1 6 1 Lyy = 5 . 1 4 4 6 Lyz = −0.0202 Lzx = −1.6268 Lzy = −0.0202 Lzz = 6 . 2 1 6 9 Momentos de i n e r c i a : ( k i l o g r a m o s ∗ metros ˆ 2 ) Medido d e s d e e l s i s t e m a de c o o r d e n a d a s de s a l i d a . Ixx = 3 2 . 6 1 3 5 Ixy = 7 . 4 1 2 7 I x z = −1.7912 Iyx = 7 . 4 1 2 7 Iyy = 7 . 1 7 1 9 I y z = −0.6240 I z x = −1.7912 I z y = −0.6240 Izz = 35.3975 

Figura 3.13: Caracter´ısticas f´ısicas del chasis entregadas por SolidWorks con carga de vanadio ladeada

63



Figura 3.14: Simulaci´on con cargas en diferentes posiciones. Roja, m´ınima carga, negra, m´axima carga

el veh´ıculo ante la entrada dise˜ nada y variando las cargas y momentos de inercia del modelo implementado en Modelica para las diferentes posiciones de la carga. El efecto de cambiar de posici´on una carga de 5 kg se observa en la figura 3.15. Se consideran las mismas entradas de la experimentaci´on anterior, as´ı como las mismas ubicaciones de las cargas. Se observa el efecto desde la posici´on central (en rojo) hasta la ubicaci´on de la carga en una de las esquinas del carro.

An´ alisis de Resultados A partir de la observaci´on de la gr´afica de la variaci´on del valor de una carga ubicada en el centro del veh´ıculo (primera gr´afica en la figura 3.14) se puede notar que cuando s´olo se aumenta la carga se describen giros m´as cerrados y se recorren distancias m´as cortas. Al cambiar la ubicaci´on de la carga la trayectoria que sigue el veh´ıculo cambia dado que el esfuerzo que el veh´ıculo requiere para realizar giros es mayor, ya que el momento de inercia cambia ligeramente. En la figura 3.15 se muestra que el cambio de posici´on de la carga, que implica, como en el caso anterior, un cambio en el momento de inercia del giro del veh´ıculo, lo cual implica que el veh´ıculo realiza giros con mayor dificultad, raz´on por la cual gira 64

Figura 3.15: Simulaci´on efectos de posici´on de carga. Rojo, menor distancia, Fucsia, mayor distancia

mejor cuando la carga est´a ubicada en el centro.

Conclusiones La carga afecta el desplazamiento del veh´ıculo, observ´andose que se recorren menores distancia a mayor carga, lo que adem´as supone que se reduce la velocidad del veh´ıculo, dado que el tiempo de simulaci´on es el mismo. El comportamiento del giro cambia a medida que la posici´on de la carga se aleje del centro de masa.

3.4

Resumen del Cap´ıtulo

De los experimentos realizados para analizar el comportamiento del veh´ıculo en lazo abierto se observa que la velocidad lineal se puede mantener constante ante cualquier par de entradas cuyo promedio se mantenga constante. Adem´as se nota que el a´ngulo que describe el veh´ıculo tiene un comportamiento lineal que se hace constante cuando las entradas son iguales. Estas dos se˜ nales son las que exhiben el comportamiento m´as pertinente para el control de velocidad y de trayectoria, aunque ser´ıa necesario la implementaci´on de un sistema de sensores que traduzca las referencias de posici´on (x, y) a errores de orientaci´on interpretados como errores en el seguimiento de la trayectoria. Las variables de estado en el modelo implementado muestran un comportamiento transitorio suave sin sobrepicos ni fases no m´ınimas. Adem´as el tiempo de respuesta no var´ıa a pesar de que se produzcan cambios en la entrada. Los cambios instant´aneos de voltaje producen sobrepicos en las corrientes de los motores. De los experimentos realizado adicionando cargas al sistema en diferentes puntos se observa que tienen el efecto de modificar la trayectoria que describe el veh´ıculo. Este 65

efecto no se tendr´a en cuenta en el dise˜ no de los controladores ya que ´este se llevar´a a cabo con el modelo obtenido en Matlab, software que tiene herramientas expl´ıcitas que permiten el dise˜ no de controladores. En ese modelo no se encuentran implementadas las variables que permiten probar el efecto de posici´on e incremento de carga, adem´as de desconocer el valor de las cargas que se desean implementar.

66

Cap´ıtulo 4 Dise˜ no de Controladores En este cap´ıtulo se exploran metodolog´ıas de control en busca del seguimiento de una trayectoria predeterminada. Se presentan topolog´ıas de control cl´asico (Proporcional Integral Derivativo) y control difuso. De los resultados obtenidos en el cap´ıtulo anterior se elige la velocidad lineal como una variable de control debido a su comportamiento estable y lineal y el ´angulo del veh´ıculo por exhibir un comportamiento predecible con respecto a la posici´on del veh´ıculo. Al alimentar el sistema con entradas iguales VL = VR = Ventrada , la salida de velocidad lineal se puede controlar reduciendo el sistema a un problema tipo SISO cuya variable manipulada es la velocidad lineal y la variable controlada es el voltaje de entrada a los motores. En esta condici´on de entrada el ´angulo del veh´ıculo se mantiene constante conservando su valor inicial, por lo que se requiere hacer peque˜ nos cambios de las entradas en el momento en que se presente un error de orientaci´on para posicionar nuevamente al veh´ıculo.

4.1

Estructura General de los Controladores

Para todos los casos el controlador tiene dos se˜ nales de entradas y dos de salidas. Las dos se˜ nales de salidas corresponden a los voltajes que se le entregan a los motores del veh´ıculo. Las entradas son el error de velocidad lineal del veh´ıculo y un error relacionado con la diferencia de los a´ngulos (actual y referencia). Los controladores se implementan en una configuraci´on de lazo cerrado como se muestra en la figura 4.1. El bloque de referencia brinda las coordenadas (xref , yref ) de la trayectoria que se pretende seguir, al igual que la velocidad de referencia vref . 67

x, y, ϴ, vlineal

Referencia

x ref, yref, vref

Sensor

Δϴ/sen Δϴ Δvlineal

Controlador

Vizquierdo Vderecho

AGV

vangular iizquierdo iderecho

Figura 4.1: Sistema general con Controlador

4.2

Controladores Cl´ asicos

Para el AGV en consideraci´on se ha llegado a condiciones de entrada (VL = VR = Ventrada ) que permiten ver el problema del control de velocidad como un problema SISO y a partir de all´ı se modifica la orientaci´on para llegar a cabo un control de trayectoria. De esta manera el problema general multivariable de control de trayectoria es visto como dos problemas SISO acoplados. La naturaleza lineal de la velocidad lineal, una de las se˜ nales de control, es una raz´on para considerar la utilizaci´on de esquemas cl´asicos de control para llevar al veh´ıculo a seguir la trayectoria que defina el usuario. Se propone entonces un esquema de control como el que se muestra en la figura 4.2.

vref

Control de Velocidad

+

+

Velocidad lineal

Voltaje Motor1

AGV Referencias

+

-

Voltaje Motor 2

Xref Control de Yref Trayectoria

Otras Variables X Y θ

Figura 4.2: Bloque general para controlador cl´asico

Este esquema de control supone dos controladores independientes con una entrada y una salida cada uno y se utiliza como base para dise˜ nar dos sistemas de control, difieren entre s´ı por el controlador de trayectoria. Para el control de velocidad se utiliza un bloque PID, mientras que los controles de trayectoria se ajustan una vez tenido el de velocidad considerando el conocimiento que se tiene del sistema. 68

Control de Velocidad Se considera inicialmente el problema del control de la velocidad como un control tipo SISO alimentando el sistema con entradas iguales VL = VR = Ventrada como se presenta en la figura 4.3.

Velocidad de r(t) Referencia

e(t)

Control de Velocidad

u(t) Voltaje Motor1 Voltaje Motor 2

Velocidad Lineal

AGV

y(t)

Otras variables

Figura 4.3: Control de velocidad A partir de las simulaciones del sistema presentadas en el cap´ıtulo anterior se nota que su comportamiento, considerando las variables manipulada (voltaje de entrada) y controlada (velocidad lineal) elegidas, se puede aproximar a un modelo de primer orden de la forma: kp (4.1) Gp = τp s + 1 La respuesta del valor en estado estacionario de la velocidad lineal sobre la superficie de respuesta en el caso de tener entradas iguales corresponde a una l´ınea recta como se observa en negro en la figura 4.4 (Tomada de [63]).

Figura 4.4: Trayectoria sobre la superficie de respuesta de la velocidad lineal que se obtiene con se˜ nales de entrada iguales 69

La ganancia est´atica del sistema (kp ) es equivalente a la pendiente de esta recta que corresponde a la relaci´ hon entre i la entrada y la salida en estado estacionario, de forma m −2 que kp = 2,54 ∗ 10 . V ∗seg Por otra parte, dado que se obtuvo el tiempo de establecimiento test = 0,191 [seg] con un criterio de 95 % del estado estacionario, el tiempo que define el modelo en primer orden τp se obtiene mediante la relaci´on τ = test /3 (la cual se observa en la figura 4.5) y resulta ser τp = 6,36 ∗ 10−2 [seg].

Figura 4.5: Respuesta de un sistema de primer orden ante una se˜ nal tipo paso De esta forma, el sistema de una entrada y una salida que se obtiene para el dise˜ no del controlador de velocidad es,   2,54 ∗ 10−2 m Gp = (4.2) 6,36 ∗ 10−2 ∗ s + 1 V ∗ seg Sintonizaci´ on del control de velocidad La sintonizaci´on del control se hace por s´ıntesis directa siguiendo los lineamientos expuestos por [64]. Considerando el esquema de control presentado en la figura 4.3 y nombrando el bloque de control como Gc , la relaci´on de la salida y(s) y la referencia r(s) est´a dada por: Gp (s)Gc (s) y(s) = r(s) = GCL ∗ r(s) (4.3) 1 + Gp (s)Gc (s) En el procedimiento de s´ıntesis directa se selecciona la respuesta de lazo cerrado deseada, GCL (s) y, basado en el conocimiento de la planta Gp (s) se encuentra el controlador Gc (s) que lleva a esa respuesta. Resolviendo la ecuaci´on 4.3 para Gc (s) se 70

tiene, Gc (s) =

GCL (s) Gp (s) (1 − GCL (s))

(4.4)

Resulta natural especificar una respuesta de lazo cerrado de primer orden dado que la planta es de primer orden, de forma que, GCL (s) =

1 λs + 1

(4.5)

En este caso s´olo se tiene un par´ametro de sintonizaci´on λ ya que se requiere que la ganancia de lazo cerrado sea 1. Valores peque˜ nos de λ producen respuestas r´apidas, mientras que valores grandes producen respuestas m´as robustas. Dado que se tiene una planta de primer orden de la forma presentada en 4.1, la funci´on de transferencia del control que se obtiene resolviendo para 4.4 es, Gc (s) =

1 λs+1 kp τp s+1

1−

1 λs+1


=

τp s + 1 kp λs

(4.6)

lo anterior puede ser reescrito como,   τp τp s + 1 τp 1 Gc (s) = · = · 1+ kp λ τp s kp λ τp s

(4.7)

Teniendo en mente que una configuraci´on de control PI (Proporcional-Integral) es de la forma   Z 1 t e(σ)dσ (4.8) u(t) = kc e(t) + τI 0 lo que puede ser visto en el dominio de la frecuencia como   1 u(s) = kc 1 + e(s) τI s

(4.9)

los par´ametros del controlador PI resultan ser, kc =

τp , kp λ

τI = τp

El bloque PID que trae la versi´on 7.5 de Simulink utilizada para la implementaci´on del controlador supone una configuraci´on con par´ametros P,I, D y N de la forma:   1 Ns C(s) = P + I + D s s+N As´ı, los par´ametros que se requieren para la implementaci´on en Matlab son: P = kc =

τp , kp λ

I=

kc 1 = , τI kp λ 71

D = 0,

N =0

Asumiendo el valor de λ = τp = 6,36 ∗ 10−2 [seg], de modo que se tenga una respuesta en lazo cerrado tan r´apida como en lazo abierto, los par´ametros del controlador PI son P = 39,34 [V seg/m] y I = 617,97 [V /m]. Al implementar el control con los par´ametros establecidos en el sistema y excitarlo con una se˜ nal tipo paso de amplitud 0.3 m/s, que corresponde a la velocidad m´axima alcanzable con las bater´ıas se obtienen los comportamientos de velocidad lineal, de voltajes y de corrientes que se presenta en la figura 4.6. Respuesta a entrada tipo paso

Señal controlada

0.35

12.2

0.3

12.1

0.25

u (V)

y (m/s)

12 0.2 11.9

0.15 11.8 0.1

11.7

0.05

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

t (s)

0.6

0.8

1

t (s)

(a) Se˜ nal manipulada

(b) Se˜ nal controlada Corriente de Motor derecho

10 9 8 7

iL (A)

6 5 4 3 2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

(c) Se˜ nal de corriente

Figura 4.6: Respuesta del sistema implementando un PI con P = 39,34 [V seg/m] y I = 617,97 [V /m].

La se˜ nal de salida del sistema presenta un tiempo de establecimiento de 0.1844 seg, lo que corresponde con lo esperado, como se observa en la figura 4.6(a). La se˜ nal controlada, el voltaje de entrada a los motores (figura 4.6(b)), presenta un pico en 12.16 V, lo que supera ligeramente la capacidad de las bater´ıas. Con respecto a las corrientes que, dada la simetr´ıa del sistema, es igual para los dos motores, presenta un pico de 9.945 A (figura 4.6(c)), que puede afectar a las tarjetas de control del sistema. Se utiliz´o entonces el sintonizador que presenta el bloque PID para obtener una respuesta m´as lenta pero con mejor desempe˜ no energ´etico. Este dise˜ no de controlador presenta los par´ametros P = 0, I = 200, D = 0 y N = 0. Dado que se requiere reducir el consumo energ´etico, la componente que permite ese efecto es la proporcional que llega al m´ınimo consumo para valores muy cercanos a cero, raz´on por la que se eligi´o ese valor, pero simult´aneamente es necesario reducir el valor de la variable integral para no volver inestable el sistema. El comportamiento de la variable manipulada, velocidad 72

lineal, la variable controlada, el voltaje de entrada y la corriente de los motores se observa en la figura 4.7. Respuesta a entrada tipo paso

Señal controlada

0.35

12

0.3

10

0.25 8

u (V)

y (m/s)

0.2 6

0.15 4 0.1

2

0.05

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

t (s)

(a) Se˜ nal manipulada

(b) Se˜ nal controlada Corriente de Motor derecho

3

2.5

D

i (A)

2

1.5

1

0.5

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

(c) Se˜ nal de corriente

Figura 4.7: Respuesta del sistema implementando un PI con P = 0 [V seg/m] y I = 200 [V /m]. En este caso el tiempo de respuesta de la velocidad lineal es de 0.4216 [m/seg], como se observa en 4.7(a), que es un poco m´as del doble del tiempo obtenido en el caso anterior. Sin embargo el voltaje m´aximo que requiere el sistema para llegar a la velocidad de referencia es de 11.71 V, que es menor que el voltaje de las bater´ıas (figura 4.7(b)). Por otra parte, la m´axima corriente que atraviesa los motores es de 2.6 A, que es alrededor de cuatro veces menor que la obtenida inicialmente. Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = −180 deg (at 0 rad/sec) 0 GCL GCL1

−10

Magnitude (dB)

−20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

Phase (deg)

−45

−90

−135

−180 −1

10

0

10

1

10 Frequency (rad/sec)

2

10

3

10

Figura 4.8: Diagrama de Bode para cada uno de los controladores dise˜ nados. 73

La estabilidad se garantiza para el caso de los dos controladores mediante las gr´aficas de Bode presentadas en la figura 4.8, en que el primer controlador corresponde a la gr´afica azul y el segundo a la verde. Se observa que el sistema en lazo cerrado con ambos controladores es estable para cualquier frecuencia ya que se tiene un margen de fase de 180◦ y un margen de ganancia ∞. Se selecciona entonces el controlador con par´ametros P = 0 [V seg/m] y I = 200 [V /m] ya que presenta mejor desempe˜ no en cuanto a costo energ´etico.

Control de Seguimiento de Trayectoria Para el control de trayectoria se parte del control de velocidad dise˜ nado y se implementa un sistema de compensaci´on que permita el seguimiento de la trayectoria a partir de la lectura de las variables de posici´on y orientaci´on. Se dise˜ nan entonces dos esquemas de control que tienen en cuenta diferentes variables manipuladas. Los controladores se denominar´an PID1 y PID2 para facilidad de notaci´on en la secci´on siguiente considerando que son controladores convencionales, aunque estrictamente no presentan esa estructura. Controlador PID 1 El primer esquema de control desarrollado se presenta en la figura 4.9. La referencia es un bloque que entrega los vectores que el veh´ıculo debe seguir: posici´on (xref , yref ), y velocidad lineal vref de referencia.

Figura 4.9: Sistema controlado con PID implementado para se˜ nales de error de velocidad y seno del ´angulo de referencia Previendo los problemas que pueda tener el veh´ıculo en entender qu´e direcci´on debe tomar teniendo en cuenta en qu´e parte de la curva de referencia se encuentre se utiliza el producto cruz como soluci´on de sensado. La l´ogica implementada calcula el seno del 74

a´ngulo de referencia, relaci´on encontrada con el producto cruz entre los vectores de la orientaci´on actual del veh´ıculo y el vector entre la posici´on actual y la deseada, y lo entrega como variable para el control del seguimiento de trayectoria. El primer paso es determinar la menor distancia entre el veh´ıculo y la trayectoria de referencia. Se toman las coordenadas de la trayectoria objetivo (xref, yref ) y la ubicaci´on actual del veh´ıculo (x, y) y con ellas determina cu´al es el punto de la curva m´as cercano y se define como nuevo objetivo un punto m´as adelante, esto con el fin de asegurar que el algoritmo puede funcionar a´ un cuando el veh´ıculo est´a sobre la curva. Se calcula entonces el a´ngulo del vector que se encuentra un paso adelante en la trayectoria que ser´a el nuevo a´ngulo de referencia del veh´ıculo(ver figura 4.10).

Tra

ria yecto

de re

feren

cia

dm

v1

in v2

θ

angref

(x,y)

Figura 4.10: Sensor del ´angulo de referencia El vector entre el veh´ıculo y el punto objetivo se notar´a como v1 y el vector unitario con ´angulo igual a la orientaci´on actual del veh´ıculo se notar´a como v2. El producto cruz entre estos vectores le da la informaci´on al veh´ıculo acerca de qu´e direcci´on debe tomar, gracias al signo del resultado de esta operaci´on y de qu´e tanto tiene que hacerlo, dado por la magnitud del mismo, pero se decide normalizarlo para acotarlo a 1. La variable que se obtiene para el control es sin θ, siendo este a´ngulo el que se forma entre los vectores v1 y v2 en la figura 4.10. Esta variable se calcula a partir de la normalizaci´on del producto cruz entre los vectores v1 y v2 : sin θ =

v1 × v2 kv1k kv2k

El algoritmo empleado en Matlab para la generaci´on de la variable de control sin θ se presenta en la figura 4.11. La implementaci´on de esta funci´on permite tener certeza del sentido de giro que debe realizar el veh´ıculo para llegar a la trayectoria. En la figura 4.12 la flecha muestra la direcci´on del vector objetivo. Si el veh´ıculo est´a orientado hacia la parte azul, el producto cruz entre el vector objetivo y el vector unitario dado por la orientaci´on del veh´ıculo, es positivo y la acci´on de control dar´a m´as peso al voltaje de la rueda 75

 f u n c t i o n [ d i f v e l , cruz , dmin ] = s e n s o r ( x , y , phi , v l i n e a l , x r e f , y r e f , v r e f )



v2 =[ c o s ( p h i ) , s i n ( p h i ) , 0 ] ; dmin =1000; n=l e n g t h ( x r e f ) ; c r u z =0; d i f v e l =0; f o r i =1:n−1 d i s t a n c i a=s q r t ( ( x−x r e f ( i ) ) ˆ2+(y−y r e f ( i ) ) ˆ 2 ) ; i f dmin>d i s t a n c i a dmin=d i s t a n c i a ; v1 =[ x r e f ( i +1)−x , y r e f ( i +1)−y , 0 ] ; punto=dot ( v1 , v2 ) ; d i f v e l=v r e f ( i )− v l i n e a l ; i f punto==−1 c r u z =1; else c r u z =(v1 ( 1 ) ∗ v2 ( 2 )−v2 ( 1 ) ∗ v1 ( 2 ) ) /norm ( v1 ) ; end end end

Figura 4.11: Comandos para la determinaci´on de las variables de control.

izquierda. De manera an´aloga, si el veh´ıculo se dirige hacia la zona roja, el producto cruz es negativo y el giro del veh´ıculo ser´a antihorario.

0 1

(+)

(+)

(-) (-)

-1

0

Figura 4.12: Orientacion Si el producto cruz es cero, el veh´ıculo avanza, gracias al control de velocidad, pero no gira. Esto puede ocurrir cuando el veh´ıculo tenga la orientaci´on del a´ngulo de referencia, tanto si va hacia el objetivo como si se aleja de ´el. En el c´odigo implementado se calcula tambi´en el producto punto para evitar esta ambig¨ uedad, haciendo que en el caso en que se aleje del objetivo, la se˜ nal de control no sea cero sino adquiera el m´aximo valor.

76





Dado que no se tiene un modelo matem´atico del problema de seguimiento de trayectoria y las variables implican un comportamiento no lineal, se obtienen par´ametros de dise˜ no probando iterativamente valores para la implementaci´on de un esquema convencional de control. El seguimiento de la trayectoria de prueba (mostrada en la figura 4.13 est´a definida de tal forma que no est´a alineada con el veh´ıculo como condici´on inicial) se logra con la implementaci´on de un control proporcional de valor 30 [V /rad]. Para la figura 4.10 el producto cruz entre v1 y v2 es positivo, por lo que el par´ametro suma al motor izquierdo y resta al izquierdo llevando al veh´ıculo a girar hacia la derecha. El orden del par´ametro se entiende por el rango de operaci´on del motor, ya que se espera que los ´angulos sean peque˜ nos, lo que lleva a esta variable a multiplicarse con valores m´as cercanos a cero que a uno. En la figura 4.13 se muestra el seguimiento de la trayectoria implementando los dos controladores de velocidad que se dise˜ naron mostrando en azules los par´ametros sintonizados y en rojo los par´ametros elegidos finalmente. Se notan algunas diferencias en las variables de estado que refuerza la elecci´on del segundo esquema.

Controlador PID 2 El esquema de control que se muestra en la figura 4.14 utiliza un sensor que entrega el a´ngulo de referencia. El bloque PID creado en esta parte integra los dos controladores, de velocidad y de seguimiento de trayectoria (ver figura 4.15). El algoritmo que entrega el a´ngulo de referencia que debe seguir el veh´ıculo toma como entradas las coordenadas de la trayectoria objetivo (xref, yref ) y la ubicaci´on actual del veh´ıculo (x, y) y con ellas determina cu´al es el punto de la curva m´as cercano y calcula el a´ngulo del vector que se encuentra un paso adelante en la trayectoria (ver figura 4.10). El c´odigo empleado para este bloque se presenta en la figura 4.16 Los par´ametros seleccionados para el control de velocidad son los mismos del controlador anterior. Para el control de posici´on se seleccionan los par´ametros P=-10 [V /rad], I=0.01 [V seg/rad] y D=0 [V /rad ∗ seg], a partir de pruebas iterativas. Para el caso de la figura 4.10 la resta entre el ´angulo de referencia y la orientaci´on del veh´ıculo es negativa, por lo que, dado que este sistema de control fue conectado como el implementado con el producto cruz, el par´ametro proporcional debe cambiar el signo para permitir el giro en la direcci´on correcta (as´ı como est´a implementado, si el par´ametro proporcional fuera positivo, el giro se har´ıa hacia la izquierda y el veh´ıculo se alejar´ıa de la trayectoria de referencia). 77

Trayectoria y vs. x

Velocidad Lineal vs. t 0.35

7 0.3 6 0.25

vlin (m/s)

5

y (m)

4

3

0.2

0.15

0.1

2

0.05

1

0

0

2

4

6

8

10

0

12

0

10

20

x(m)

30

40

50

60

t (s)

(a) Trayectoria de Prueba

(b) Se˜ nal manipulada - Velocidad Lineal Corriente izquierda vs. t 15

Señal de control motor derecho 12

10

10 i (A)

V (V)

8 6 4

5 0

2 0

−5 0

10

20

30

40

50

t (s)

60 Parámetros 1 Parámetros 2

Señal de control motor izquierdo

0

10

20

30 t (s)

40

50

60

50

60

Corriente izquierda vs. t 10

12 10

5 i (A)

V (V)

8 6

0

4 2 0

−5 0

10

20

30

40

50

0

10

20

30

40

t (s)

60

t (s)

(c) Se˜ nales controladas - Voltajes de los Motores

(d) Corrientes de los motores

Figura 4.13: Sistema controlado con PID1 con diferentes par´ametros

78

Figura 4.14: Sistema controlado con PID implementado para se˜ nales de error de velocidad y a´ngulo de referencia

Figura 4.15: Controlador PID con se˜ nales de error de velocidad y a´ngulo  f u n c t i o n [ dmin , a n g r e f ] = s e n s o r ( x , y , x r e f , y r e f )



dmin =1000; a n g r e f =0; n=l e n g t h ( x r e f ) ; f o r i =1:n−1 d i s t a n c i a=s q r t ( ( x−x r e f ( i ) ) ˆ2+(y−y r e f ( i ) ) ˆ 2 ) ; i f dmin>d i s t a n c i a dmin=d i s t a n c i a ; a n g r e f=atan2 ( y r e f ( i +1)−y , x r e f ( i +1)−x ) ; end end

Figura 4.16: Comandos para la determinaci´on de las variables de control con error de a´ngulo.

79





4.3

Controladores Difusos

El Control Difuso es una estrategia de control basado en l´ogica difusa, esto es, un sistema que utiliza el conocimiento y la intuici´on de operadores o ingenieros de proceso en forma de reglas situaci´on/acci´on en tiempo real para hacer control[65]. Se aprovecha la realimentaci´on para mejorar la robustez de un sistema, y se utiliza en el control un esquema con los ingredientes de un sistema difuso [66]. Teniendo en mente que un sistema experto es “b´asicamente un agrupamiento de rutinas de software organizadas especialmente en un computador que tiende a emular la experticia humana en cierto campo” [67], es posible ver al control difuso como un sistema experto que opera in situs. El control difuso no necesita un complicado modelo matem´atico, puede trabajar con informaci´on imprecisa, manejar no linealidades, variaciones de par´ametros y soportar un nivel de perturbaciones mayor que otro tipo de controlador no lineal. Estas caracter´ısticas adem´as del hecho que presenta un mejor desempe˜ no que otro tipo de controlador en procesos no lineales, cuando se presenta un buen conocimiento del comportamiento del proceso, lo hacen un candidato viable para el control de trayectoria del AGV, ya que no se cuenta con un modelo matem´atico lineal que describa completamente el sistema , pero se ha observado su comportamiento, el cual puede ser sintetizado en forma ling¨ u´ıstica para desarrollar un control de seguimiento de trayectoria (particularmente este problema del seguimiento de trayectoria puede solucionarse empleando la variable sinusoidal descrita para los controladores cl´asicos, la cual es claramente no lineal). Espec´ıficamente el controlador Mamdani es t´ıpicamente usado en sistemas con realimentaci´on como el requerido en el caso de estudio, ya que funciona como una asignaci´on est´atica entre las variables de entrada y salida del sistema de inferencia y est´a basado exclusivamente en el conocimiento del dise˜ nador y no requiere de datos para el ajuste de conjuntos difusos. Un sistema difuso basado en reglas de esta naturaleza se puede representar de forma gen´erica como el diagrama de bloques que se muestra en la figura 4.17. Las variables de entrada que se utilizan en un sistema difuso, de las cuales se conoce su rango de operaci´on, pueden ser normalizadas para facilitar su tratamiento. Mediante la fusificaci´on se determina el grado de pertenencia de las variables de entrada del controlador a cada uno de los conjuntos difusos que son definidos por el dise˜ nador a partir de su conocimiento. Las funciones de pertenencia que determinan el grado de pertenencia de una variable a un conjunto difuso se encuentran definidas por t´erminos ling¨ u´ısticos. La base de reglas resume el conocimiento cualitativo del comportamiento del sistema, la cual es sintetizada por el sistema de inferencia, el cual es el encargado de convertir una variable difusa de entrada en una variable difusa de salida de acuerdo a una base de reglas, aplicando procesos como la composici´on. Sin embargo esta salida es de naturaleza difusa y se requieren se˜ nales de tipo cl´asicas para efecto de la acci´on de control, por lo tanto se requiere llevar a cabo una defusificaci´on que convierta la se˜ nal difusa en una se˜ nal num´erica a la salida del controlador difuso. La se˜ nal ya defusificada 80

Entrada

?

Normalizaci´on

Acondicionamiento de los datos de entrada

datos difusos

?

Fusificaci´on

Base dereglas

Conversi´ on de variable num´ericas a variables ling¨ u´ısticas.

?

Inferencia

Obtenci´ on de una salida difusa a partir de la entrada y las reglas

?

Defusificaci´on

Conversi´ on de variables ling¨ u´ısticas a variables tipo crisp

?

Denormalizaci´on

Acondicionamiento de datos de salida

?

Salida

Figura 4.17: Diagrama de bloques gen´erico de un sistema difuso basado en reglas

debe entregarse en el orden de magnitud adecuado por lo que se lleva a cabo una denormalizaci´on.

Definici´ on de variables de control El esquema general para los dos controles difusos dise˜ nados se muestra en la figura 4.18. Se tienen, como en el caso de los controladores cl´asicos, dos entradas y dos salidas del controlador: las variables de salida son los voltajes del veh´ıculo mientras que las variables de entrada al bloque de control son la diferencia de velocidades (difvel en la figura correspondiente al error de velocidad) y la funci´on seno de la diferencia entre el a´ngulo de referencia y la orientaci´on actual del veh´ıculo (cruz en la figura). Los controladores que se presentan a continuaci´on difieren entre s´ı en las variables ling¨ u´ısticas y en las reglas implementadas, a´ un cuando comparten la misma filosof´ıa de la estrategia de control de la secci´on anterior: la idea es que si el veh´ıculo no presenta desviaci´on en la orientaci´on, se establece una velocidad lineal al veh´ıculo entregando voltajes iguales a los motores, y cuando existe esa desviaci´on entrega se˜ nales diferentes complementarias (esto es, si al motor derecho se aplica una se˜ nal alta, al izquierdo se aplica una baja y viceversa).

81

Los m´etodos de implicaci´on y agregaci´on usados en ambos casos fueron m´ın y m´ax respectivamente y se eligi´o centroide como m´etodo de defusificaci´on.

Figura 4.18: Sistema con implementaci´on de controlador difuso

Controlador Difuso 1 Para el primer controlador difuso se definieron tres etiquetas ling¨ u´ısticas para cada una de las entradas y las salidas y se presentan en la tabla 4.1.

Entradas Diferencia de velocidad N (negativa) Z (cero) P (positiva) Rumbo Derecha Recto Izquierda

Salidas Motor Derecho

Motor Izquierdo

Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto

Tabla 4.1: Etiquetas ling¨ u´ısticas de los antecedentes y los consecuentes para el primer controlador difuso Las etiquetas ling¨ u´ısticas elegidas para la entrada “Diferencia de Velocidad”, que se refiere al error de velocidad entendido como la resta entre la velocidad de referencia y la lectura de esta variable hecha sobre sistema, son N(negativa), Z(cero) y P(positiva), debido a que si no hay error de velocidad (Z) se debe seguir con la velocidad de viaje establecida, pero si ´este es negativo la velocidad debe reducirse y si es positivo (P) incrementarse. De esta manera se cubren las posibilidades que se tienen con esta variable de entrada.

82

La variable de entrada “Rumbo” es en realidad la variable del seno de la diferencia del ´angulo, por lo que el rango de esta se˜ nal va de -1 a 1 y supone que si el veh´ıculo va en la direcci´on correcta el rumbo es recto. As´ı, las etiquetas ling¨ u´ısticas que pueden definir de manera m´as simple su acci´on son tres: Derecha, Recto, Izquierda, de modo que si el veh´ıculo lleva un rumbo recto no se ejerce ninguna acci´on, pero si el rumbo es va a la derecha o a la izquierda, se deben lograr giros aumentando una salida y disminuyendo la otra. Las variables de salida son los voltajes de los motores y las etiquetas ling¨ u´ısticas dividen el rango de cada una en “Bajo” “Medio” y “Alto”. De esta manera se tiene un punto medio, de modo que si las variables de entrada son Z y Recto esta se˜ nal se mantiene, pero si alguna cambia, es posible aumentar o disminuir la salida requerida. Las reglas que permiten la acci´on de control se resumen en la tabla 4.2 y recogen las observaciones realizadas en el cap´ıtulo anterior en que se puntualiz´o en que si se desea avanzar en l´ınea recta, los voltajes de salida deben ser iguales y que los giros se logran con voltajes diferentes. Adem´as, la velocidad lineal se logra aumentar incrementando los voltajes de los motores.

VDer - VIzq Derecha Rumbo Recto Izquierdo

DeltaVel N Z P Medio - Bajo Alto - Bajo Alto - Medio Bajo - Bajo Medio - Medio Alto - Alto Bajo - Medio Bajo - Alto Medio - Alto

Tabla 4.2: Reglas de control difuso 1 El resumen de las variables de entrada, las reglas y las variables de salida se presenta en la figura 4.19. El sistema implementado con este controlador es capaz de seguir una trayectoria incluso si no est´a alineada con ella en un comienzo como se muestra en la figura 4.20. En la figura la l´ınea negra punteado representa la trayectoria que se quiere seguir y la l´ınea continua representa el comportamiento del sistema con el controlador difuso presentado en esta secci´on.

Controlador Difuso 2 Esta configuraci´on es una versi´on de complejidad refinada de control ya que se asignan cinco etiquetas ling¨ u´ısticas para las salidas y para la entrada “Rumbo”, conservando el n´ umero de etiquetas ling¨ u´ısticas de “DeltaVelocidad” en tres. Las etiquetas ling¨ u´ısticas elegidas para la entrada “Diferencia de Velocidad” son las mismas que en el primer controlador difuso, mientras que las etiquetas para “Rumbo” 83

Reglas

Variables de entrada

Variables de salida

Diferencia de Velocidad

Voltaje motor Derecho

Rumbo

Voltaje motor Izquierdo

Figura 4.19: Controlador Difuso con dos entradas y dos salidas con tres etiquetas ling¨ u´ısticas cada una.

8 7 6

y (m)

5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

12

x (m)

Figura 4.20: Sistema controlado con el primer esquema de control difuso

son ahora cinco y est´an presentadas en la figura 4.21. Se busca que si el veh´ıculo lleva un rumbo recto las salidas sean las mismas, pero si no es as´ı, que se ejerza una acci´on fuerte si est´a muy alejado del rumbo (esto es que la diferencia entre los voltajes sea grande) o una acci´on suave si se encuentra cerca del rumbo (se refiere a una diferencia m´as peque˜ na entre los voltajes de entrada). Esto supone que es necesario aumentar las etiquetas ling¨ u´ısticas de las salidas, por lo que ahora pueden ser MBajo, Bajo, Medio, Alto y MAlto que establecen rangos de operaci´on que permite al sistema implementar el esquema descrito. De esta manera los conjuntos difusos de entrada y salida y la superficie de la base de reglas se ven resumidas en la figura 4.22. Las reglas que rigen este controlador se presentan en la tabla 4.3.

84

Figura 4.21: Etiquetas ling¨ u´ısticas de “Rumbo” para el segundo controlador

Variables de entrada

Reglas

Variables de salida

Diferencia de Velocidad

Voltaje motor Derecho

Rumbo

Voltaje motor Izquierdo

Figura 4.22: Controlador Difuso con dos entradas, Rumbo con cinco y DeltaVelocidad con tres etiquetas ling¨ u´ısticas y dos salidas con cinco etiquetas ling¨ u´ısticas cada una.

VDer - VIzq AtrasD Derecha Rumbo Recto Izquierdo AtrasI

N Alto - MBajo Medio - MBajo Bajo - Bajo MBajo - Medio MBajo - Alto

DeltaVel Z P MAlto - MBajo MAlto - Bajo Alto - Bajo MAlto - Medio Medio - Medio Alto - Alto Bajo - Alto Medio - MAlto MBajo - MAlto Bajo - MAlto

Tabla 4.3: Reglas de Control Difuso 2

Como para el primer controlador difuso presentado, los m´etodos de implicaci´on y agregaci´on usados fueron m´ın y m´ax respectivamente y se eligi´o centroide como m´etodo de defusificaci´on. Este controlador difuso es puesto a prueba con la misma trayectoria utilizada en los casos anteriores. En la figura 4.23 se muestra en verde la trayectoria seguida por el veh´ıculo implementando el segundo control difuso, y la gr´afica punteadas es la trayectoria de referencia.

85

8 7 6

y (m)

5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

12

x (m)

Figura 4.23: Sistema controlado con el segundo controlador difuso

Con la implementaci´on propuesta es posible seguir la trayectoria de prueba, a´ un cuando el veh´ıculo no est´a alineado con la misma.

4.4

Resumen del cap´ıtulo

Se presentaron dos esquemas de control, control cl´asico y control difuso, que utilizan la variable de velocidad lineal y una variable relacionada con el error de la orientaci´on del veh´ıculo. En el primer esquema fue posible llegar a un control de velocidad a partir de un modelo matem´atico del mismo, mientras que el seguimiento de la trayectoria se llev´o a cabo explorando diferentes m´etodos de sensado y ajustando par´ametros de forma iterativa, ya que no se dispone de modelo del mismo. Se dise˜ naeron dos controladores con diferentes variables manipuladas. En el segundo esquema se dise˜ naron dos controladores con diferente complejidad pero con las mismas entradas y salidas. Estos esquemas aprovecharon los conocimientos previos del sistema. Los cuatro controladores logran llevar al veh´ıculo a la trayectoria deseada. En el siguiente cap´ıtulo se llevan a cabo experimentos para evaluar su desempe˜ no.

86

Cap´ıtulo 5 Evaluaci´ on del Desempe˜ no de los Controladores En este cap´ıtulo se eval´ ua el desempe˜ no de cada uno de los controladores a partir del requerimiento del seguimiento de trayectorias parametrizadas de tal forma que se logre sacar conclusiones generales al respecto. La comparaci´on de los controladores se lleva a cabo por medio de la medici´on de los errores de posici´on. Finalmente se presenta el comportamiento de los controladores ante cambios de la referencia de velocidad lineal para una trayectoria. En todos los casos se presentan las respuestas de corriente para tener una noci´on del costo energ´etico del controlador, aunque no se utilizan estas se˜ nales para el control.

5.1

Trayectoria Parametrizada

Para estandarizar el proceso de evaluaci´on de desempe˜ no de cada uno de los controladores se cre´o una trayectoria flexible a cambios de radio de giro y ´angulo de giro y sobre ella se hicieron las pruebas para cada controlador y las comparaciones entre ellos. De all´ı se toman los errores que se producen en la orientaci´on y la posici´on del veh´ıculo para llegar a una comparaci´on cuantitativa de los controladores. En la figura 5.1 se presenta la curva que se utiliza en las simulaciones con cada controlador. Se trata de dos segmentos rectos, el primero con magnitud d1 y ´angulo 0 rad, y el segundo con ´angulo β unidos por un arco que tiene un radio R. El par´ametro d2 se obtiene de relaciones geom´etricas. Las pruebas se realizan cambiando los par´ametros β, R y d1 , al igual que el tiempo de simulaci´on. Para el ´angulo β se asignan los valores: π/6, π/4, π/3, π/2, 2/3π, 3/4π, 5/6π y π, que lleva a observar el comportamiento del controlador de menor a mayor exigencia. Los valores de R que se emplean en las simulaciones son: 5 m, 4 m, 3 m, 2 m, 1 m y 0.5 m, ´este u ´ltimo valor es igual a la distancia entre ruedas del veh´ıculo, lo que supone un esfuerzo mayor del controlador. 87

Trayectoria de Evaluación de Desempeño 7

6

5

4

3

2 R 1 β

0

d

d

2

1

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 5.1: Trayectoria implementada para el estudio del desempe˜ no de los controladores

5.2

Descripci´ on de los Experimentos

Se presenta a continuaci´on la descripci´on de tres conjuntos de experimentos. En el primero de ellos se estudia el comportamiento de cada controlador ante cambios de los par´ametros de la curva de forma que sea posible establecer sus rangos de operaci´on. En el segundo experimento se observa el comportamiento de cada controlador con los mismos par´ametros de la trayectoria, de tal forma que se logren hacer comparaciones en la operaci´on de los mismos. Y finalmente se fijan los par´ametros de la trayectoria en un caso particular y se var´ıa la velocidad de referencia para establecer si los controladores pueden funcionar en cualquier caso.

Experimento 1. Desempe˜ no de cada controlador La trayectoria de referencia es modificada para observar el comportamiento del sistema con cada uno de los controladores, cambiando radios y ´angulos de giro. Esto corresponde a exponer al sistema a dos escenarios que se muestran en la tabla 5.1. Este experimento busca encontrar rangos de operaci´on del sistema con cada uno de los controladores. 88

Escenario Objetivo Dise˜ no Salidas Escenario Objetivo Dise˜ no Salidas

Experimento 1. Desempe˜ no de cada controlador 1. Variaci´ on del radio de giro para cada controlador Analizar el comportamiento de cada uno de los controladores ante cambios del radio de giro, para determinar posibles rangos de operaci´on. Se fijan los par´ametros d1 = 5 s, β = π/2, velref = 0,25 y tsim = 60 s. El par´ametro R toma los valores 5 m, 4 m, 3 m, 2 m, 1 m, 0.5 m y 0m. Se observa, para cada R, la trayectoria recorrida por el veh´ıculo (x vs. y), su velocidad lineal y las corrientes de cada uno de los motores. 2. Variaci´ on del ´ angulo de giro para cada controlador Analizar el comportamiento de cada uno de los controladores ante cambios del a´ngulo de giro. Se fijan los par´ametros d1 = 5 s, R = 1, velref = 0,25 y tsim = 60 s. El par´ametro β toma los valores π/6, π/4, π/3, π/2, 2/3π, 3/4π, 5/6π y π. Se observa, para cada R, la trayectoria recorrida por el veh´ıculo (x vs. y), su velocidad lineal y las corrientes de cada uno de los motores. Tabla 5.1: Experimento No.1

Experimento 2. Comparaci´ on de controladores ante cambio de par´ ametros en la trayectoria Se compara el desempe˜ no del sistema con los controladores, fijando seis conjunto de par´ametros. Se busca observar cu´al es el controlador con mejor respuesta. Los datos seleccionados para llevar a cabo este experimento, as´ı como las salidas que se tienen en cuenta se presentan en la tabla 5.2. Los resultados obtenidos se comparan mediante los errores de posici´on que experimente el veh´ıculo.

Experimento 3. Comparaci´ on de controladores ante cambios de referencia de la velocidad lineal El veh´ıculo fue dise˜ nado y construido para llevar una velocidad de m´aximo 0.4 m/s. Sin embargo se busca comparar los controladores para diferentes velocidades de referencia para observar su respuesta ante variaciones de esta se˜ nal de referencia.

Objetivo Analizar el comportamiento de los controladores dise˜ nados ante diferentes referencias de velocidad lineal y determinar as´ı posibles rangos de operaci´on. Del cap´ıtulo referente a la experimentaci´on en lazo abierto se sabe que con bater´ıas de 12 V se tiene una velocidad m´axima de 0.305 m/s, sin embargo se retira para este caso la saturaci´on de cada uno de los controladores para probar su desempe˜ no. 89

Escenario Objetivo Dise˜ no Escenario Objetivo Dise˜ no Escenario Objetivo

Dise˜ no Escenario Objetivo Dise˜ no Escenario Objetivo Dise˜ no Escenario Objetivo

Dise˜ no Salidas

Experimento 2. Comparaci´ on de controladores 1: R=0.5 m , θ = π/3 Comparar el comportamiento de los controladores cuando la trayectoria describe un a´ngulo promedio pero el radio es muy peque˜ no. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=0.5 m, d1 = 3 m, θ = π/3 y tsim = 30 s. 2: θ = π, R=2 m Comparar el comportamiento de los controladores cuando la trayectoria describe un radio de giro promedio pero el a´ngulo de giro es grande. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=2 m, d1 = 3 m, y tsim = 30 s. 3: R=5 m, θ = π/6. Comparar el comportamiento de los controladores en un caso conservador, cuando la trayectoria describe un radio de giro amplio y el ´angulo de giro es peque˜ no. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=5 m, d1 = 2 m, θ = π/6 y tsim = 30 s. 4: R=5 m, θ = π. Comparar el comportamiento de los controladores cuando la trayectoria describe un radio y ´angulo de giro grande. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=5 m, d1 = 1 m, θ = π y tsim = 50 s. 5: R=0.5 m, θ = π/6. Comparar el comportamiento de los controladores cuando la trayectoria describe un radio y ´angulo de giro peque˜ no. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=0.5 m, d1 = 3 m, θ = π/6 y tsim = 30 s. 6: R=0.5 m, θ = π. Comparar el comportamiento de los controladores en un caso exigente, cuando la trayectoria describe un radio de giro peque˜ no y el a´ngulo de giro es grande. Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R=0.5 m, d1 = 3 m, θ = π y tsim = 50 s. Se obtiene las gr´aficas de la trayectoria recorrida por el veh´ıculo (x vs. y) con los controladores, sus velocidades lineales y las corrientes de cada uno de los motores para cada uno de los escenarios descritos. Se determinan entonces los errores de los resultados de posici´on. Tabla 5.2: Experimento No.2

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Dise˜ no Los par´ametros de la trayectoria de referencia se fijan en: R = 0 m, d1 = 5 m, β = π y tsim = 50 s. La velocidad lineal de referencia del veh´ıculo toma los valores constantes 0.2 m/s, 0.4 m/s, 0.6 m/s y 0.8 m/s. Salidas Se obtiene gr´aficamente la trayectoria recorrida por el veh´ıculo (x vs. y) con los controladores, sus velocidades lineales y las corrientes de cada uno de los motores.

5.3

Experimento 1. Desempe˜ no de cada controlador

En esta secci´on se presentan los datos obtenidos en el primer experimento, correspondiente al estudio del comportamiento de cada controlador, el an´alisis de los resultados y las conclusiones que se obtienen del proceso.

Datos Obtenidos Los resultados obtenidos se presentan gr´aficamente para cada controlador seg´ un la tabla 5.3 Escenario 1 Controlador Figura No. PID1 5.2 PID2 5.3 DIF1 5.4 DIF2 5.5 Escenario 2. Controlador Figura No. PID1 5.6 PID2 5.7 DIF1 5.8 DIF2 5.9 Tabla 5.3: Datos obtenidos en el Experimento No.1

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