GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

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ESO

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Para iniciar el estudio de los sistemas de ecuaciones, en primer lugar se presentan los conceptos básicos de una ecuación lineal con dos incógnitas. Aunque las expresiones algebraicas con dos variables ya se trabajaron en el curso anterior, esta unidad pretende profundizar en el manejo de varios símbolos y, mediante ejemplos concretos, poner de manifiesto la necesidad de usar varias letras para describir relaciones entre varios números o datos en un problema de la vida cotidiana. Se introducen los términos y definiciones básicas necesarios para un aprendizaje adecuado de los sistemas de ecuaciones. Es importante incidir en la noción de solución de un sistema para conseguir un uso idóneo de estos. Mediante la resolución de sistemas por tablas se potencian contenidos y destrezas de unidades anteriores como despejar una incógnita en una ecuación, calcular el valor de una expresión algebraica eligiendo previamente los valores, decidir cuáles son los más adecuados y estudiar si un determinado par de números es o no solución de una ecuación. Puesto que la eficacia de este método es relativa, se proponen dos métodos más clásicos, el método de sustitución y el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones, trabajando el automatismo de estos métodos hasta que el alumnado consiga ver sus ventajas y se familiarice con cada uno de ellos. La resolución de problemas es imprescindible para que los alumnos integren las distintas formas de pensamiento matemático y puedan con ellas enfrentarse a diferentes situaciones, tanto en su vida cotidiana como en ámbitos científicos o ámbitos tecnológicos. En concreto, en esta unidad, mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones para resolver problemas, se potencian, simultáneamente, la lectura comprensiva, el establecimiento de un plan de trabajo y la valoración de los resultados obtenidos, puntos todos ellos fundamentales en la adquisición de las competencias básicas de la etapa.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Conocer las ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1.1 Hallar soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

2. Comprender qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2.1 Reconocer los elementos de un sistema de ecuaciones. 2.2 Comprobar si un par de números es solución de un sistema.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística • Matemática

3. Resolver sistemas de ecuaciones por tanteo.

3.1 Usar tablas de valores para resolver sistemas.

• Interacción con el mundo físico

4. Conocer y aplicar los métodos de resolución de sistemas.

4.1 Resolver sistemas por el método de sustitución.

• Social y ciudadana

4.2 Resolver sistemas por el método de reducción.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

4.3 Resolver sistemas por el método de reducción doble. 5. Usar los sistemas de ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana.

5.1 Resolver problemas de la vida cotidiana y otras ciencias usando sistemas de ecuaciones.

CONTENIDOS • Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas • Solución de un sistema de ecuaciones • Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por medio de tablas • Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas aplicando los métodos de sustitución, reducción y reducción doble 2

Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

• Planteamiento y resolución de problemas mediante sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Valoración de la utilidad de los sistemas de ecuaciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana • Perseverancia y confianza en la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para que los alumnos puedan aprovechar los contenidos expuestos y conseguir un adecuado aprendizaje, es imprescindible que resuelvan ecuaciones con paréntesis y denominadores con soltura y realicen operaciones con expresiones algebraicas.

2. Previsión de dificultades La principal dificultad surgirá cuando los alumnos tengan que elegir el método más adecuado para resolver un sistema. Para solventarla conviene apoyar la introducción de cada uno de los métodos con ejemplos concretos, tratando de resolver el sistema primero por el método aprendido anteriormente y después por el nuevo, para que los alumnos valoren la practicidad de cada uno de los métodos. También encontraremos dificultades a la hora de aplicar los sistemas a la resolución de problemas. Los alumnos presentarán problemas a la hora de elegir las incógnitas y de establecer las relaciones que hay entre ellas.

3. Vinculación con otras áreas Esta unidad va encaminada a la aplicación de los sistemas para resolver problemas; de hecho, la mayoría de los ejemplos se presentan con problemas contextualizados. Por ello esta unidad está ligada con la mayoría de las materias del currículo.

4. Esquema general de la unidad Como continuación natural a la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado, se estudian ahora los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

SISTEMAS DE ECUACIONES Solución

Tras introducir a los alumnos los conceptos de ecuación con dos incógnitas, se presentan los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas para entrar después en el estudio de los métodos de resolución por tablas, sustitución y reducción. Todas las técnicas de esta unidad se trabajan en problemas de la vida cotidiana para hacer ver a los alumnos la utilidad de los sistemas.

Resolución de sistemas

Por tablas

Por sustitución

Por reducción

Resolución de problemas

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias 2.ª Ecuaciones lineales con dos incógnitas 3.ª Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 4.ª Resolución de un sistema mediante tablas 5.ª Método de sustitución 6.ª Método de reducción 7.ª Método de reducción doble 8.ª Resolución de problemas 9.ª Actividades de consolidación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, la resolución de problemas contextualizados, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan aspectos de las tres subcompetencias matemáticas: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico Al tratar la interpretación y resolución de problemas, se trabaja a lo largo de toda la unidad la subcompetencia aplicación del método científico en diferentes contextos, en concreto el descriptor realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y constatar las soluciones obtenidas. En las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Observa e interpreta” de “Pon a prueba tus competencias” se desarrollan de forma concreta algunos descriptores de las subcompetencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natural y desarrollo sostenible, ya que nos van a permitir hacer valoraciones sobre el papel que podemos desempeñar en mantener una salud ambiental adecuada, con ayuda de las aportaciones tecnológicas.

Competencia social y ciudadana Esta competencia se trabaja especialmente en la sección “Interpreta y reflexiona” de “Pon a prueba tus competencias”, en particular el descriptor desarrollar el juicio moral y social para razonar críticamente sobre la realidad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. Al tener que realizar comprobaciones de soluciones de sistemas, también trabajaremos la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de la sección “Autoevaluación” planteadas en las páginas finales de la unidad, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. La utilización del programa Google Earth tal y como se propone en la actividad 4 de “Eficiencia energética” permite fomentar el manejo de las herramientas informáticas como recurso de aprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

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Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

– Interpreta textos con contenido matemático y extrae información para responder de forma razonada. Pon a prueba tus competencias: Investiga y calcula, 2 Observa e interpreta

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Elabora informes a partir de textos científicos. Pon a prueba tus competencias: Observa e interpreta, 5

Reflexión sobre el lenguaje

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Conoce e identifica los prefijos de las unidades de capacidad de memoria. Pon a prueba tus competencias: Investiga y calcula, 2 y 3

Razonamiento y argumentación

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.

– Extrae e interpreta información de diferentes tipos de tablas. Pon a prueba tus competencias: Interpreta y reflexiona Observa e interpreta, 1

Resolución de problemas

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Utiliza los sistemas para resolver problemas de la vida cotidiana y otras áreas. A lo largo de toda la unidad.

Uso de elementos y herramientas matemáticos

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Realiza cálculos necesarios aplicando herramientas ya consolidadas, como el cálculo de porcentajes. Pon a prueba tus competencias: Interpreta y reflexiona, 1

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Valora la utilidad del GPS. – Valora positivamente la evolución y desarrollo del rendimiento de los ordenadores. Desarrolla tus competencias

Medio natural y desarrollo sostenible

Comprender la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.

– Investiga sobre la contaminación en su ciudad. Pon a prueba tus competencias: Observa e interpreta, 4

Desarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral y social para razonar críticamente sobre la realidad.

– Estudia la diferencia tecnológica entre los países desarrollados y subdesarrollados. Pon a prueba tus competencias: Interpreta y reflexiona

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Comunicación escrita Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico

Social y ciudadana

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 9, 13, 16 y 20 – Utiliza Internet para realizar actividades y buscar información. Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Observa e interpreta, 4 y 5

Aprender a aprender

Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento

Fomentar el manejo de las herramientas informáticas como recurso de aprendizaje.

– Utiliza programas informáticos para conocer la calidad del aire. Pon a prueba tus competencias: Observa e interpreta, 4

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para el consumidor: ejemplo 9 y actividad 59. • Educación medioambiental: actividades 47 y 63. Eficiencia energética. • Educación para la igualdad: Desarrolla tus competencias. Actividad I.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado SM

• Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 3. Ecuaciones y sistemas – Unidad IV. Sistemas de ecuaciones • Cuadernos de matemáticas para la vida. 2º de ESO – Golosinas • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad didáctica del programa Descartes sobre sistemas de ecuaciones.

Otros

www.e-sm.net/2esomatprd12 Actividades para practicar con los sistemas de ecuaciones lineales.

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatprd13

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Unidad 7

• Hoja de cálculo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tablas • Calculadora científica

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Sugerencias didácticas Entrada El texto de entrada y la fotografía que lo ilustra nos permiten hacer una reflexión sobre la evolución de la tecnología y su aportación al desarrollo de la humanidad. Podemos sugerir a los alumnos que busquen información sobre si desde octubre de 2010 ha aparecido algún nuevo superordenador.

2. Sistemas de ecuaciones. Soluciones de un sistema de ecuaciones • Una vez expuesto el concepto de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, conviene relacionar los sistemas con la necesidad de representar los datos de un problema con dos incógnitas y las relaciones existentes entre ellos con dos ecuaciones.

En el texto se describe brevemente la prueba que se utiliza para medir la velocidad del ordenador. Podemos aprovecharlo para indicar a los alumnos la importancia de la presencia y utilización de las herramientas matemáticas, los sistemas de ecuaciones en este caso, en el desarrollo de la tecnología.

• Los alumnos ya saben por el epígrafe anterior que una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pero les cuesta identificar que la solución de un sistema es la solución común a las dos ecuaciones que lo forman.

Sería interesante indicar a los alumnos que este test no se utiliza también para medir el rendimiento de las consolas, los teléfonos smartphone, los tablets PC…

• En los ejercicios propuestos 6 y 7, muchos alumnos serán capaces de expresar la información con una sola ecuación lineal con una incógnita, porque sin saberlo están aplicando el método de sustitución. Aprovecharemos esta situación para introducir dicho método en el epígrafe 4.

Desarrolla tus competencias Las actividades I y II van encaminadas a que los alumnos comprendan la necesidad de que las pruebas que se realizan para evaluar el rendimiento de los ordenadores deben ser idénticas para no alterar los resultados de las mediciones. En la actividad III, los alumnos podrían elaborar un listado ordenado con la velocidad de rendimiento de las herramientas tecnológicas que les rodean. Al realizar esta actividad se puede incidir en la presencia de las nuevas tecnologías en nuestra vida cotidiana y en cómo, en muchas ocasiones, estas hacen que sea más cómoda.

1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas • El concepto de ecuación lineal con dos incógnitas no es la primera vez que aparece, ya se describió en la unidad 6 a la hora de enumerar diferentes tipos de ecuaciones. Pero sí es la primera vez que se estudia en profundidad, describiendo sus elementos e indicando el conjunto de sus soluciones. • Es muy importante que los alumnos comprendan que una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y que estas están formadas por un par de números. Para ello puede ser útil que construyamos tablas de valores. Aprovecharemos el ejemplo para completar una tabla, suponiendo primero que el número de monedas de 2 céntimos que tiene Sara es múltiplo de 5. Por último, daremos algún ejemplo más de solución de la ecuación planteada, pero que no se corresponde con el contexto del problema.

ACTIVIDADES POR NIVEL

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

5 y 34

Medio

6 a 8, 35 y 36 74 y 76

Alto

3. Resolución de sistemas por tablas • Resolver un sistema por tablas es el método más concreto y accesible a los alumnos. Pero conviene señalar que es útil cuando las soluciones son números naturales pequeños y enteros. Para otras soluciones hay diversos procedimientos que se estudian posteriormente. Además conviene recalcar que es un método de ensayo-error, en el que hay que ir probando soluciones hasta encontrar la correcta. • Para desarrollar este método de resolución de sistemas es necesario explicar a los alumnos que a pesar de que las ecuaciones tengan dos incógnitas, se puede despejar una de ellas en la ecuación, recalcando que la otra incógnita aparece en el otro miembro de la ecuación. • Con el ejemplo es fundamental que comprendan que si se fija un valor x, existe un único valor de y que cumple la ecuación y = 8 − x, identificando el par obtenido como una de las infinitas soluciones de la ecuación x + y = 8. • Es importante que los alumnos se den cuenta de que en el tercer paso el término independiente de la ecuación varía en función de los valores que se sustituyen, quedándonos solo con aquel par que nos da como resultado el término independiente. • Conviene dar a los alumnos gran cantidad de ejemplos para que decidan qué incógnita es conveniente despejar en cada caso y en qué ecuación es más adecuado hacerlo.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico

2, 3 y 28 a 31

Medio

4 y 32

Básico

37 a 39

Alto

33 y 73

Medio

11, 12 y 40

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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Sugerencias didácticas

4. Resolución de sistemas por sustitución de incógnitas • Es el momento de introducir el método, que se sabe por experiencia, preferido por los alumnos. Hay que aprovechar este hecho para asegurar su correcta comprensión. Conviene que los alumnos asimilen bien los pasos que se siguen, para ello pueden confeccionar una ficha en la que consultar cada vez que vayan a aplicar este método. • Conviene hacer ver a los alumnos que el método de sustitución es práctico cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 o −1, siendo en este caso la incógnita que se despejará. Conviene hacer un ejemplo en el que el coeficiente de la incógnita despejada sea −1, para que se den cuenta de que antes de sustituir necesitamos cambiar de signo la ecuación multiplicando por −1. • Hay que poner especial énfasis en que para resolver un sistema se debe calcular el valor de las dos incógnitas, por lo que una vez que se ha calculado una de ellas, es imprescindible sustituir su valor en la ecuación en la que se despejó para calcular la que falta. • Conviene detenernos en la resolución del ejercicio resuelto 14, ya que nos servirá para comprobar si los alumnos ya han asimilado lo que es una solución de un sistema de ecuaciones lineales.

• La información que aparece en la sección “Sabías que…” vuelve a poner de manifiesto el empleo de las matemáticas en el desarrollo tecnológico.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18, 19 y 42 a 45

Medio

46

6. Resolución de problemas mediante sistemas • Aunque en los epígrafes anteriores ya se han ido planteando problemas en los que se emplean sistemas, aquí se describen brevemente los pasos a seguir.

Básico

41

• En el ejemplo se explica detenidamente un problema de mezclas, y en los ejercicios propuestos aparecen problemas de edades, geométricos y de números. Muchos de ellos pueden ser resueltos planteando una sola ecuación, tal y como hacíamos en la unidad anterior, pero habrá alumnos a los que les resultará más fácil la utilización de dos incógnitas en el planteamiento.

Medio

15

ACTIVIDADES POR NIVEL

Alto

75

ACTIVIDADES POR NIVEL

5. Resolución de sistemas por reducción de incógnitas • Conviene recordar brevemente la regla del producto para la obtención de ecuaciones equivalentes a una dada, haciendo hincapié en que es preciso multiplicar toda la ecuación, pues a menudo se olvidan de multiplicar el término independiente e incluso solo multiplican la incógnita implicada en la reducción. • Para facilitar la adquisición de las técnicas necesarias para resolver sistemas de ecuaciones mediante reducción conviene resolver en la pizarra ejemplos en los que se analicen los distintos casos en función de los coeficientes de las incógnitas: 1. Los coeficientes de una de las incógnitas son opuestos. 2. Los coeficientes de una de las incógnitas son iguales y ningún coeficiente es 1. 3. Uno de los coeficientes de una de las incógnitas es 1 o −1. 4. Los coeficientes de las dos incógnitas son distintos. • El método de reducción doble se introduce para evitar el paso de sustituir la incógnita hallada cuando es una fracción, que en ocasiones lleva a los alumnos a cometer errores. Como el método de reducción se supone ya asimilado, trabajar el ejemplo y el ejercicio resuelto, así como que los alumnos realicen los ejercicios propuestos, debe ser suficiente para entender correctamente este epígrafe. 8

• Una vez trabajados los métodos, conviene proponer a los alumnos la resolución de sistemas, siendo ellos los que elijan el método que consideren más apropiado, fomentando así el trabajo de la competencia para la autonomía e iniciativa personal.

Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Básico

47 a 54

Medio

21 a 26 y 55 a 63

Alto

27 y 64 a 72

24. Podemos aprovechar esta actividad para trabajar la competencia cultural y artística, indicando que estas dos obras son un importante patrimonio cultural.

Organiza tus ideas • Para reforzar los contenidos de esta unidad se pueden plantear las siguientes actividades: – Pedir a los alumnos que escriban sistemas de ecuaciones con alguna condición sobre los coeficientes: que sean números naturales, que todos sean números naturales, excepto el coeficiente de x en la segunda de las ecuaciones, o que el coeficiente de una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones sea opuesto, o uno el doble que el otro, etcétera. Se puede valorar la conveniencia de pedir que los coeficientes sean números decimales e incluso racionales. Una vez escritos los sistemas, les pediremos que los resuelvan por el método que crean más adecuado. – Se pueden intercambiar los sistemas planteados y pedir a cada alumno que resuelva el sistema que le ha correspondido por el mismo procedimiento que el que ha usado el alumno que lo ha propuesto. Se puede corregir por parejas.

Sugerencias didácticas

– Para trabajar los diferentes métodos de resolución, se puede pedir a los alumnos que elijan al menos dos sistemas resueltos en el tema y los resuelvan por un procedimiento diferente al empleado.

do en su columna correspondiente los diferentes países de la lista TOP500, acompañados por el número de superordenadores con los que cuentan, con el fin de facilitar el recuento de ordenadores por continente.

– Es interesante proponer a los alumnos que escriban dos ecuaciones con dos incógnitas, en las que los coeficientes de las incógnitas sean bien iguales, bien proporcionales, pero de manera que el término independiente sea diferente en el primer caso, o no sea proporcional en el segundo, y estudien las soluciones del sistema.

En la actividad 3 les pediremos que elaboren un pequeño informe, para posteriormente iniciar un pequeño debate.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias INTERPRETA Y REFLEXIONA. LA LISTA Esta actividad y la siguiente son una continuación de la entrada de la unidad. En el texto se describe brevemente la lista TOP500, en la que se recoge la nacionalidad de los 500 ordenadores más rápidos del mundo. Esta lista es bimensual; así, al igual que comentamos al principio que sería interesante que los alumnos buscasen cuál es el ordenador más rápido en el mundo actual, podríamos pedirles que busquen la lista más reciente y comprobar si ha habido mucha variación. En la actividad 1, los alumnos deberán aplicar cálculo de porcentajes, lo que no les supondrá ningún problema, ya que se ha visto en la unidad 4. Para la actividad 2 sería conveniente que elaborasen una tabla de cinco columnas, colocando en cada una de ellas uno de los cinco continentes. Con ayuda de un atlas irán situan-

Las actividades 2 y 3 podrían realizarse en grupos, fomentando así el trabajo en equipo. INVESTIGA Y CALCULA. GRANDES NÚMEROS Esta actividad amplía la información sobre la velocidad de los ordenadores, desarrollando el sistema de medidas que se emplea para cuantificar dicha velocidad. Aunque en el texto de entrada se puede extraer a qué equivale un petaflop, en la actividad 1 los alumnos pueden encontrarlo. El enlace se corresponde con el BOE en el que se indican las unidades de medida legales en España. En concreto, en la tabla 5 se recogen los prefijos empleados para los múltiplos y submúltiplos. Al pie de esta tabla se indica que los prefijos del SI representan estrictamente potencias de 10, y que no deben emplearse para expresar potencias de 2, aunque habitualmente se empleen. En la actividad 2 se concreta lo indicado anteriormente sobre la relación entre los prefijos de las unidades del SI con los prefijos de las unidades empleadas en tecnología. En el enlace podremos ver una tabla con las correspondencias entre los diferentes prefijos. La última actividad puede ser de gran utilidad para los alumnos en su vida diaria, ya que les va a permitir averiguar las capacidades de memoria de las herramientas tecnológicas que están a su alcance. OBSERVA E INTERPRETA. EFICIENCIA ENERGÉTICA Esta actividad aborda la eficiencia energética de las máquinas. A través de la interpretación correcta de la tabla, los alumnos podrán contestar a las tres primeras preguntas empleando para ello sistemas de ecuaciones lineales. Las dos últimas cuestiones nos permitirán trabajar la competencia de interacción con el mundo físico realizando una pequeña reflexión sobre la influencia de la actividad humana en el medioambiente. Además, en la actividad 5 también trabajaremos la subcompetencia escrita, ya que los alumnos deberán elaborar un pequeño informe para posteriormente leerlo en la clase.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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Actividades de refuerzo Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Conocer el concepto de sistema de ecuaciones y determinar cuándo un par de valores son soluciones de dicho sistema. • Resolver sistemas de ecuaciones sencillos. • Utilizar los sistemas de ecuaciones para resolver problemas cotidianos. Orientadas a aquellos alumnos que tengan dificultades con esta unidad se proponen actividades más guiadas. Se intenta que adquieran cierta destreza en la resolución de sistemas y pierdan el miedo a la parte algebraica de las matemáticas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Haz tus propios sistemas Se trata de que ellos mismos planteen y resuelvan ecuaciones en las que sean los protagonistas. No importa que sepan el resultado de antemano, ya que lo que interesa es el proceso y que piensen con qué variables pueden construirse ecuaciones y con cuáles no. Por ejemplo, si formamos grupos de ocho alumnos (cinco chicos y tres chicas), un problema con sistema de ecuaciones podría ser: “En clase somos ocho alumnos entre chicos y chicas. La media obtenida en el último examen por el grupo de chicas fue de 6,7, la de chicos fue de 5,6, y la de todo el grupo, de 6,01. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas forman el grupo?”. Evidentemente, sabrán la respuesta con solo contar a su alrededor, pero lo interesante es que planteen el problema, que elijan correctamente las incógnitas (x chicas e y chicos, por ejemplo), que vean que una de las ecuaciones es inmediata (x + y = 8) y que la otra deben obtenerla con los datos que da el problema pensando un poco (6,7x + 5,6y = 6,01 · 8), y que comprueben que no todas las magnitudes admiten una inclusión fácil en un sistema de ecuaciones, por lo que no sería posible resolver un problema del tipo: “En clase somos ocho alumnos entre chicos y chicas: dos son rubios, cuatro morenos y uno pelirrojo. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas forman el grupo?”.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. (15, 20). No existe ningún otro par de valores que cumpla las condiciones impuestas por el sistema.

4. La solución es x = 1 e y = 2. 5. x =

2. La ecuación que describe el gasto de Raúl es: x + y = 1,40. La ecuación que describe el gasto de Marcos es:

1 22 e y =− 9 9

6. Andrea tiene 13 años, y Carmen, 12.

x + 2y = 2.

7. Hay 26 conejos y 74 gallinas.

3. La solución es x = 3 e y = −1, y la tabla: x y=5−2 x − 2y

−1

0

1

2

3

4

7

5

3

1

−1

−3

−15

−10

−5

0

5

10

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

1. Determina qué pareja de valores (a, b) es solución del siguiente sistema de ecuaciones: ⎧⎪2a + b = 50 ⎪⎨ ⎪⎪a +2b = 55 ⎩ (10, 30)

(5, 40)

(15, 20)

(20, 5)

(12, 26)

¿Se te ocurre algún otro par de valores que sea también solución de dicho sistema?

2. Raúl y Marcos han comprado golosinas. Raúl sale de la tienda con una bolsa de palomitas y una de pipas y se ha gastado 1,40 euros. Marcos ha comprado una bolsa de palomitas y dos de pipas, gastando 2 euros. Completa: • Llamamos x al valor de la bolsa de palomitas, e y al de la de pipas. • La ecuación que describe el gasto de Raúl es: x + y = ? • La ecuación que describe el gasto de Marcos es: x + ?y = ? • Comprueba sustituyendo que la bolsa de palomitas cuesta x = 0,80 euros, y la de pipas, y = 0,60 euros.

⎪⎧2 x + y = 5 3. Completa la tabla y da la solución del sistema de ecuaciones: ⎪⎨ ⎪⎪ x ⋅ y = 2 ⎩ x y = 5 − 2x x − 2y

−1

0

1

2

3

4

5 0

⎧⎪2 x + y = 4 4. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución: ⎪⎨ ⎪⎪3 x − y =1 ⎩ Comprueba, sustituyendo los valores de x e y en el sistema, que son correctos.

⎧⎪ x +2 y =−5 5. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: ⎪⎨ ⎪⎪4 x − y = 2 ⎩

6. Las edades de Andrea y Carmen suman 25 años, y la diferencia entra la edad de Andrea y la de Carmen es 1.

7. En una granja hay gallinas y conejos; en total 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántos animales de cada tipo hay?

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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¿Cuántos años tiene cada una?

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Actividades de ampliación Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Como los alumnos saben resolver ecuaciones de segundo grado, una ampliación inmediata puede ser plantearles sistemas en los que aparece este tipo de ecuación. Guiados por el profesor, algunos alumnos han de ser capaces de resolver estos sistemas. Otra ampliación posible consiste en introducir algún sistema no demasiado complicado con tres ecuaciones y tres incógnitas, resolviéndolo por el método de sustitución.

ACTIVIDAD DE GRUPO Murales Se propone resolver sistemas gráficamente. Se divide a los alumnos en tres grupos proporcionándoles cartulinas y papel cuadriculado. Cada grupo ha de realizar la gráfica de un sistema diferente, cubriendo los tres casos que pueden darse: solución única cuando las rectas se cortan, infinitas soluciones cuando coinciden y sin solución cuando son paralelas. Luego, el resto de grupos deberá resolver el sistema algebraicamente y comprobar el resultado. Es necesario hacerles ver las ecuaciones que forman el sistema como rectas. Y se da por supuesto que al menos estos alumnos recordarán de 1.º de ESO cómo se representan rectas en unos ejes. Es interesante pintar cada recta de un color diferente.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. x = 2 e y = 1 1 x= e y =4 2

5. x = 1, y = 2 y z =1

6. 2. a) x = 5 e y = 2; x = −4 e y = − b) x = 2 e y = 3; x =

4 15

5 2

4 21 ey= 5 5

7. 4 billetes de 50 € 35 monedas de 0,50 € 27 monedas de 0,20 €

3. a) x = 1 e y = 4 b) x = 1 e y = −3; x = −3 e y = 1

4. x = 1, y = 1 y z =1

8. Todos los números de dos cifras que cumplen que la diferencia entre la cifra de las unidades y la de las decenas es 2. 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

⎪⎧2 x + y = 5 1. Resuelve el sistema siguiente: ⎪⎨ ⎪⎪ x ⋅ y = 2 ⎩ Para ello sigue los siguientes pasos: • Despeja y de la primera ecuación. • Sustituye en la segunda. • Opera y obtén una ecuación de segundo grado. • Resuelve la ecuación.

2. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver los sistemas siguientes. ⎧⎪ x −2 y =1 a) ⎪⎨ ⎪⎪ xy =10 ⎩

⎧⎪5 x + 2 y =14 b) ⎪⎨ ⎪⎪ xy = 4 ⎩

3. Resuelve los siguientes sistemas. ⎧⎪ x 2 −2 x +1= 0 a) ⎪⎨ ⎪⎪ x + y = 5 ⎩

⎧⎪ x 2 + 2 x −3 = 0 b) ⎪⎨ ⎪⎪ xy =−3 ⎩

⎧⎪ x − y + z =1 ⎪⎪ 4. Resuelve el sistema siguiente: ⎪⎨ x +2 y − z = 2 ⎪⎪ ⎪⎪2 x −2 y + z =1 ⎩ Aplicamos el método de sustitución que conocemos, pero ahora para tres incógnitas. • Despeja z en la primera ecuación. • Sustituye z en las otras dos ecuaciones. • Opera y obtén un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. • Resuelve el sistema por el método que prefieras. ⎪⎧⎪ x + y + z = 4 ⎪ 5. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver: ⎪⎨2 x +2 y + z = 7 ⎪⎪ ⎪⎪ x − y =−1 ⎩

6. ¿Qué fracción es igual a

1 1 cuando se suma 1 al numerador y es igual a cuando se suma 1 al deno3 4

minador?

¿Cuántos billetes y cuántas monedas de cada tipo tiene?

8. La diferencia entre la cifra de las unidades de un número y la de las decenas es 2. Si al número le añadimos 18 unidades, el número resultante es el formado por las cifras en orden inverso. Halla el número. Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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7. Un hombre tiene 222,90 € en billetes de 50 euros y monedas de 50 y 20 céntimos. La mitad de los billetes de 50 euros y la quinta parte de las monedas de 50 céntimos suman 103,50 euros. La séptima parte de las monedas de 50 céntimos y la tercera parte de las monedas de 20 céntimos suman 4,30 euros.

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Señala los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes del siguiente sistema. ⎪⎧ 3 x −2 y =17 ⎨ ⎪⎩⎪ 5 x +7 y =13 ⎪⎧2 x − y =−4 2. ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema: ⎨ ? ⎩⎪⎪ x + 3 y = 5 (0, −1)

(4, 3)

(1, 2)

(−1, 2)

¿Cuáles de los siguientes sistemas son equivalentes al anterior? ⎪⎧ x + y = 5 ⎨ ⎪⎩⎪ x − y = 4

⎪⎧ x + y =1 ⎨ ⎪⎩⎪ x − y =−3

⎪⎧−x + y = 3 ⎨ ⎪⎩⎪ x + 2 y = 3

3. Plantea un sistema de ecuaciones que corresponda al siguiente enunciado: “El doble de la suma de dos números es 10, mientras que la diferencia entre el doble del primero y el segundo es 1”. 4. La diferencia de dos números es 1, y el doble del primero menos el segundo es 4. Halla los dos números mediante una tabla. 5. Aplica el método de sustitución para resolver el sistema siguiente. ⎪⎧ x +2 y =12 ⎨ ⎩⎪⎪2 x + 3 y =19 6. Resuelve el siguiente sistema por reducción. ⎪⎧5 x −3 y = 0 ⎨ ⎪⎩⎪10 x + 3 y = 3 7. Realiza las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y resuélvelo por el método más adecuado. ⎧⎪5 x −2(2 + y )− 4 x ⎪⎪ ⎨ x −2 y ⎪⎪ − x −2 y ⎪⎪⎩ 2

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8. La base de un rectángulo es el doble de la altura y su perímetro es de 42 centímetros. Halla las dimensiones del rectángulo.

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9. La edad actual de un padre es dos veces la de su hijo. Si hace 20 años la edad del padre era 6 veces la del hijo, ¿cuántos años tiene cada uno? 10. El mejor encestador de un equipo de baloncesto ha anotado 57 puntos en tiros de dos, triples y tiros libres de media por partido en la última liga, pasando el balón por el aro en 31 ocasiones. Si en tiros libres lanzó el doble de veces que en triples, ¿cuántas veces anotó de cada tipo de lanzamiento? Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Propuesta de evaluación Unidad 7

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Primera ecuación: coeficiente de x: 3, de y: −2, término independiente: 17 Segunda ecuación: coeficiente de x: 5, de y: 7, término independiente: 13

2. (−1, 2) Los dos últimos sistemas son equivalentes, ya que tienen la misma solución.

⎪⎧2(x + y ) =10 3. ⎪⎨ ⎪⎪2 x − y =1 ⎩

⎪⎧ x − y =1 4. ⎪⎨ ⎪⎪2 x − y = 4 ⎩ x

−1

0

1

2

3

y=x−1

−2

−1

0

1

2

0

1

2

3

4

2x − y Solución: x = 3, y = 2

⎪⎧ 5. ⎪⎨ x + 2 y =12 → x =12−2 y ⇒ 2(12−2 y )+ 3 y =19 ⇒ y = 5 y x = 2 ⎪⎪ 2 x + 3 y =19 ⎩

⎧⎪5 x −3 y = 0 Sumamos las ecuaciones ⎧⎪ 5 x −3 y = 0 6. ⎪⎨ →⎪⎨ ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎪⎪10 x + 3 y = 3 ⎪⎪10 x + 3 y = 3 ⎩ ⎩ 15 x

=3

1 1 x= , y= 5 3 ⎧5 x − 4(2+ y ) = 4 x ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ x − 4 y = 8 Sumamos las ecuaciones ⎪ →⎪ ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → 7. ⎨ x −2 y ⎨ ⎪ ⎪ = x −2 y ⎪ ⎪ ⎩−x + 2 y = 0 ⎪ ⎪ ⎩ 2

⎧ ⎪ ⎪ x −4 y = 8 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩−x + 2 y = 0 −2 y = 8

y =−4, x =−8

8. Base, 14 cm; altura, 7 cm

9. Edad del padre, 50 años. Edad del hijo, 25 años.

10. El jugador encestó 5 triples, 10 tiros libres y 16 lanzamientos de dos puntos de media por partido

Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7

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Unidad 7 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Lingüística

DESCRIPTOR

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

DESEMPEÑO – Interpreta textos con contenido matemático y extrae

información para responder de forma razonada. Investiga y calcula, 2 Observa e interpreta

Comunicación escrita Leer, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Elabora informes a partir de textos científicos.

Observa e interpreta, 5

Lingüística Reflexión sobre el lenguaje

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Conoce e identifica los prefijos de las unidades de

Matemática Razonamiento y argumentación

Interpretar y expresar distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático.

– Extrae e interpreta información de diferentes tablas.

Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Realiza cálculos necesarios aplicando herramientas ya

Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible

Comprender la influencia de las personas en el medioambiente y valorar los paisajes resultantes.

Social y ciudadana Desarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral y social para razonar críticamente sobre la realidad.

Información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento

Fomentar el manejo de las herramientas informáticas como recurso de aprendizaje.

capacidad de memoria. Investiga y calcula, 2 y 3 Interpreta y reflexiona Observa e interpreta, 1 consolidadas, como el cálculo de porcentajes. Interpreta y reflexiona, 1 – Valora la utilidad del GPS. – Valora positivamente la evolución y el desarrollo del

rendimiento de los ordenadores. Desarrolla tus competencias – Investiga sobre la contaminación en su ciudad.

Observa e interpreta, 4 – Estudia la diferencia tecnológica entre países.

Interpreta y reflexiona – Visita la página librosvivos.net.

Actividades 9, 13, 16 y 20 – Utiliza internet para realizar actividades.

Desarrolla tus competencias Observa e interpreta, 4 y 5 – Utiliza programas informáticos para conocer la calidad

del aire. Observa e interpreta, 4

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO

2