UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE AGRONOMIA Y AGROINDUSTRIAS INGENIERIA EN ALIMENTOS

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA L

FASCICULO N° 2 TEMA: Elementos de la Geometría Descriptiva. Representación de punto, recta y plano. Método de Monge. Método de representación. Sistema ISO. Sistema Europeo y Americano.

Mg. Ing. Guido Alfredo Larcher Año 2012

T

Los distintos fascículos que componen esta obra, corresponden a los temas que se abordan a lo largo del curso de Sistemas de Representación Grafica de la carrera de Ingeniería en Alimentos, y que surgieron del análisis de las necesidades que los estudiantes tienen en el aprendizaje de este idioma de la Ingeniería. Los apuntes fueron realizados por el personal docente de la cátedra con la colaboración de los docentes de las cátedras de Servicios Auxiliares y de Formulación de Proyectos y de los ayudantes de investigación del proyecto “Proceso de enseñanza aprendizaje de Sistemas de Representación Grafica en Ingeniería de Alimentos. Determinación de un procedimiento efectivo para la transmisión del conocimiento y aplicación en asignaturas del ciclo superior de la carrera”, todos ellos bajo la dirección y coordinación del Ing. Guido Alfredo Larcher

Año 2012

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA

Mg. Ing. Guido Alfredo Larcher

PRÓLOGO El profesor Guido Alfredo Larcher, tuvo la enorme deferencia de recabar nuestra opinión sobre su trabajo de fascículos como guía-apoyo a la materia Sistemas de Representación Grafica, con destino al alumnado de la carrera de Ingeniería en Alimentos de la Universidad Nacional de Santiago del Estero. Los que interactuamos en el área entendemos que siempre hay algo que decir sobre el espacio tecnológico y el presente trabajo se inscribe en esta temática. Vemos con enorme interés como la geometría y su aplicación directa en el Dibujo Técnico sigue requiriendo opiniones, reinterpretaciones y decodificaciones, que con la adecuada actualización y referenciada en el normado que le compete, ya sea este Nacional o Internacional, completa el pensamiento del espacio tecnológico actual. La idea de generar instructivos por áreas temáticas, simplifica la tarea docente y permite que el alumnado tenga un horizonte previsible en su trayecto por el espacio curricular. Cada fascículo tiene un proceso-objetivo bien definido y se puede afirmar que cuenta con un principio y un final autocontenido, que permite que el estudiante aplique con precisión las distintas normas y sus personales soluciones ante los problemas concretos. Como obra de guía y consulta para estudiantes de ingeniería, se suma al acervo de material necesario para poder realizar sus representaciones gráficas durante su paso universitario y un apoyo en el posterior desempeño como profesional ingeniero. Arq. Carlos L. de VEDIA

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA

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INTRODUCCION

ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA DESCRIPTIVA

La posibilidad de representar un cuerpo en el espacio a través de algún tipo de sistema, nos pone en frente de herramientas muy valiosas de interpretación con mayor precisión, pues nos permite observarlo desde diferentes puntos de vista y con ello entender de que se trata sin tener que recurrir de manera tan fuerte a nuestra imaginación.

Los sistemas de representación son los medios que sirven para expresar gráficamente las ideas, sostiene Susana Beatriz Agotegaray en su tratado SISTEMAS DE REPRESENTACION, pues ellos nos permiten darle forma a aquello que se encuentra en nuestra imaginación.

Por otro lado, el buen uso de estos sistemas convierte naturalmente a esta expresión en un lenguaje universal y de síntesis que permite transmitir mensajes y esto es la representación gráfica, la forma de transmitir en forma universal, grafica y precisa, un elemento que ha sido creado en nuestra imaginación y que a través de métodos geométricos, podemos definirlo en un papel. Se dice universal porque cualquiera puede leer e interpretar la representación, grafica porque se expresa a través de elementos comunes, símbolos, etc., y preciso porque, los elementos utilizados, líneas y planos, deben coincidir en el momento en que se realiza la construcción. En consecuencia, sin importar el idioma de una nación, mientras reúna las condiciones mencionadas, un cuerpo podrá ser representado en el espacio, y ser analizado por cualquier persona.

La Geometría Descriptiva es la parte de la Matemática que resuelve gráficamente los problemas geométricos. Es el pasaje de un sistema tridimensional (objetos en el espacio) a un sistema bidimensional (representación de los objetos en el plano). Para poder desarrollar estos conceptos, hace falta conocer y analizar los tres elementos geométricos básicos para la representación gráfica que son: el punto, la recta y el plano. Estos tres elementos a los que se llama abstractos fueron utilizados en la antigüedad para el perfeccionamiento de la geometría, por los griegos, quienes nos enseñaron que a partir de ellos se genera cualquier otra forma compleja tales como segmentos, curvas, superficies, poliedros, etc. Por ello, entonces, es necesario conocerlos en profundidad, para poder usar su concepto en la representación grafica de cuerpos en el espacio, por cualquier método.

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA EL PUNTO Si nos ubicamos en el espacio, es decir en un sistema conformado por un plano vertical, al que llamaremos PV, un plano horizontal PH y un plano lateral PL, tal como el que se representa en la figura, podremos determinar la posición exacta de un punto A situado en él. Así,

A´´´

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En primer lugar, el punto A, ahora se encuentra ubicado o proyectado en cada uno de los planos que conforma el espacio (A´, A” y A´´´) en forma perpendicular a los mismos y, al mover el plano horizontal 90° a la misma dirección del plano vertical, el punto proyectado sobre dicho plano, también se mueve quedando sus proyecciones relacionadas a través de una línea común a ambas y que llamaremos línea de tierra LT.

PL

A” PV

A A” PV

A

A´ PH

PH

Llamamos A” a la proyección del punto A en el plano vertical PV, A´ a la proyección del punto A en el plano horizontal PH y A´´´ a la proyección del punto A en el plano lateral PL. Ahora bien, si movemos el plano horizontal PH a una posición tal que coincida su dirección con la del plano vertical PV, es decir lo abatimos 90°, observamos que:

A´

Línea de Tierra LT

Plano horizontal en posición normal

A´

Plano horizontal abatido 90°

De igual manera ocurre si abatimos 90°el plano lateral PL hacia la derecha del plano vertical, el punto A´´´, tomara la posición correspondiente. Así:

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Al observar la figura plana conformada por los tres planos PV, PH y PL, podemos identificar perfectamente la posición en la que se encuentra el punto A.

A´´´

A´´´

PV

d´´´ A´´

A´´

PL A´´´

A PL

cota

d´´

PV

Si unimos ambos sistemas, tendremos exactamente, la posición del punto A, en el espacio, pero ahora representado en una figura plana.

alejamiento

d´

PL A´

A´´´ PH PV A´´

A´ PH

desviación

Decimos que el punto se encuentra a una distancia d´´ del plano horizontal, y a esa distancia la llamamos cota; a una distancia d´ del plano vertical y la llamamos alejamiento y, a una distancia d´´´ del plano lateral y la llamamos desviación, todo ello tomando como referencia la línea de tierra LT y la línea divisoria de los planos. Además se destaca que, al generar este nueva visualización del espacio en el plano, el punto A

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA mantiene la posición que originariamente tenía, es decir que, la altura a la que se encontraba del plano horizontal seguirá siendo la misma y, las distancias a las que se encontraba tanto de los planos vertical como lateral, también mantendrán su valor. Esta condición hace que los sistemas sean reversibles y que, a través de métodos que posteriormente describiremos, se pueda graficar un punto, una recta, un plano y un volumen, tanto en el espacio como en el plano. En la práctica la representación se efectúa de la siguiente manera:

L

T

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Por último, a los planos PV, PH y PL, los llamaremos planos de proyección, tanto vertical, horizontal y lateral izquierdo o derecho, según corresponda a la proyección. El sistema descripto es conocido como Sistema de Monge o Sistema Diédrico.

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA LA RECTA

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PV A´´

Una recta queda definida por dos puntos y su proyección en el plano tiene forma de recta. Para su análisis consideremos, utilizando idéntica metodología que para el tratamiento del punto, que la recta, a la que llamaremos r, contiene a los puntos A y B.

r´´ B´´

A´ r´

Traza de la recta B´ PV

A´´ A

Si observamos en la representación espacial, la recta r se intersecta con el plano PV y con el plano PH. A esas intersecciones se las denomina trazas de la recta.

r´´ r B´´ B

A´ r´ B´

PH

Recta r en el espacio, conteniendo a los puntos A y B

PH

Traza de la recta

POSICIONES DE LA RECTA Proyecciones de la recta r, en el plano vertical PV y en el plano horizontal PH, con las correspondientes proyecciones de los puntos A y B

Si abatimos el plano PH y lo colocamos en la misma dirección del plano PV, entonces tendremos la representación de la recta, que antes se encontraba en el espacio, ahora en el plano. Así:

La razón de trabajar con los elementos de la Geometría, es la identificar a posteriori, es decir cuando se apliquen los diversos métodos de representación, las diversas posiciones que tienen los mismos en su representación tanto espacial como en el plano.

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA La recta puede ser visualizada de siete maneras distintas en su representación, a saber: a) Recta horizontal Llamamos recta horizontal a aquella recta que, en su representación espacial es paralela al PH y presenta una traza, es decir una intersección, con el plano PV.

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b) Recta frontal Por definición, la recta frontal es aquella recta que se encuentra paralela al plano vertical y presenta una traza con respecto al plano horizontal. Así: PV

f´´ f

H´´ h

f´

PH

H=H´´

L

α

T

Al representar las proyecciones de la recta h en el plano, verificamos la afirmación realizada: al ser la recta paralela al plano horizontal, en su proyección en el plano vertical aparece como una línea paralela a la línea de tierra LT y, en su proyección en el plano horizontal, necesariamente aparecerá su intersección con la línea de tierra LT y la formación de un ángulo α con la misma.

Su representación en el plano determina que, por ser paralela al plano vertical, la proyección de la recta f en el plano horizontal es una línea recta paralela a la línea de tierra LT y, en el plano vertical, será una línea recta que intersecta a la línea de tierra LT y forma un ángulo β con la misma.

β L

T

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA c) Recta paralela a la línea de tierra

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d) Recta de perfil

Se trata de una línea recta que, en el espacio se encuentra paralela tanto al plano de proyección vertical PV como al plano de proyección horizontal PH.

Es una recta paralela al plano de proyección lateral PL y presenta trazas en los planos de proyección tanto vertical PV como horizontal PH.

PV

r´´

PL

PV r

r´

r´´´ r

r´´

r´

PH

PH

En el plano, sus proyecciones vertical y horizontal, resultan paralelas a la línea de tierra LT. Así: r´´

L

T

r´

Las proyecciones en el plano dan como resultado líneas perpendiculares a la línea de tierra y, para conocer la inclinación de la línea en el espacio, es necesario realizar su proyección en el plano lateral de manera que, la intersección de la línea proyectada con la línea de tierra permita realizar la medición del ángulo. Así:

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA

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e) Recta vertical r´´

L

La recta vertical presenta como características principales ser paralela al plano vertical PV, perpendicular al plano horizontal PH y tener su traza con este último plano de proyección.

r´´´

T

r´

PV r´´ r

Obsérvese como particularidad que, en el sistema de proyecciones, la recta de perfil aparece en su verdadera dimensión en el plano de proyección lateral, es decir que la proyección en dicho plano tiene la misma medida que la recta que se encuentra en el espacio mientras que, tanto en el plano de proyección vertical PV como en el plano de proyección horizontal PH, sus dimensiones son notablemente menores. Esta particularidad ocurre también para los casos a) y b), es decir para rectas que son paralelas al plano de proyección vertical PL y paralelas al plano de proyección horizontal PH. La diferencia está en que las rectas de los casos a) y b) pasan por la línea de tierra mientras que la recta de perfil no lo hace.

r´

PH

La proyección de la recta r en el plano vertical, es decir r´´, resulta perpendicular a la línea de tierra LT, y la proyección de la recta en el plano horizontal, r´, es un punto que coincide con la traza de la recta. Así:

r´´

L

T r´

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA f) Recta de punta

.

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g) Recta genérica o de posición general

La recta de punta tiene como características principales ser paralela al plano horizontal PH, perpendicular al plano vertical PV y tener su traza con este último plano de proyección.

PV

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Esta clase de recta resulta oblicua a todos los planos de proyección, es decir al plano vertical PV, al horizontal PH y al lateral PL.

PV r´´

r´´´

PL

r

r´´ r

r´

PH

r´

PH

La proyección de la recta r en el plano horizontal, es decir r´, resulta perpendicular a la línea de tierra LT, y la proyección de la recta en el plano vertical, r´´, es un punto que coincide con la traza de la recta en ese plano. Así:

La particularidad que presenta esta recta es que sus proyecciones en el plano, forman cualquier ángulo con la línea de tierra. En consecuencia:

r´´

L L

r´´´

T

T r´

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA EL PLANO

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b) Tres puntos no alineados

Los elementos analizados previamente, es decir el punto y la recta, resultan de suma importancia a la hora de definir la superficie más sencilla que podemos encontrar: el plano.

B´´

C´´

PV C B

Un plano puede estar definido de varias formas, a saber:

A´´ A

C´ B´

A´

a) Una recta y un punto exterior a ella.

Los puntos (A´, A´´), (B´, B´´) y (C´, C´´), son los que representan el plano que pasa por los puntos A, B y C del espacio

PH

Representación espacial de la recta y el punto.

P´´

B´´ C´´

PV P A´´

r´´ r

L

T A´

r´

P´

PH

C´ B´ P´´

r´´

L

T

Representación en el plano de la recta y el punto P´

r´

Si trazamos dos rectas que pasen por los puntos A, B y C, tendremos dos nuevas rectas que se cortan y, en consecuencia, cumpliremos con otra de las definiciones de plano.

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA c) Dos rectas que se cortan

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d) Dos rectas paralelas

PV PV a´´ a´´ A´´

a

b´´

a

A

b´´

b

b

b´ PH

a´

A´ a´ b´

Las rectas (a´, a´´), (b´, b´´), se denominan rectas concurrentes y se intersectan en los puntos A´, A´´

PH

a´´ a´´ A´´

b´´ b´´

L

T

L

T b´

a´ a´

A´ b´

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SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA La expresión normal de un plano es su representación mediante una superficie, en general bien definida, tal como una figura geométrica (cuadrado, rectángulo, círculo, etc...). Por lo tanto, el lector debe conservar como definición de proyecciones, las dadas hasta ahora al tratar el punto y la recta.

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a) Plano horizontal Se lo llama así porque su visualización en el espacio nos permite observar que se encuentra en forma paralela al plano de proyección horizontal PH, con lo cual destacamos que su forma se encuentra en la verdadera dimensión o magnitud mientras que, se encuentra en forma perpendicular a los planos de proyección tanto vertical PV como lateral PL, y eso se visualiza con las trazas en ambos planos.

¿QUE POSICIONES ADOPTA EL PLANO EN EL ESPACIO? Las posiciones que adopta el plano en el espacio son siete (7) de acuerdo al paralelismo y la perpendicularidad en la que se encuentra con respecto a los planos de proyección PV, PH y PL; de acuerdo al ángulo que forman las trazas horizontal y vertical con la LT y a la perpendicularidad de sus trazas, y de acuerdo al ángulo que forma con cualquiera de los planos de proyección.

PV

PV

PL

PL

PH PH

De acuerdo a ello, entonces, simbolizamos las representaciones de los planos y observamos sus aplicaciones en los detalles de corte de los prismas elementales que nos ayudan en su interpretación. A saber: Ejemplo:

Posición del observador

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b) Plano frontal

c) Plano de perfil

Este es un plano que destaca su condición de ser paralelo al plano vertical de proyección PV y, al observárselo de frente se destaca que todos los elementos que lo integran se encuentran en verdadera magnitud. Sus proyecciones tanto en el PH como en el PL, son líneas que representan, en el primero el ancho y, en el segundo el alto.

Este es un plano que destaca su condición de ser paralelo al plano lateral de proyección PL y, al observárselo sobre esa proyección, se destaca que todos los elementos que lo integran se encuentran en verdadera magnitud. Sus proyecciones tanto en el PV como en el PH, son líneas que representan, en el primero el alto y, en el segundo, la profundidad.

PV

PL PV

PV

PL

PL PV

PL

PH PH

PH PH

Ejemplo:

Posición del observador

Ejemplo:

Posición del Observador

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d) Plano proyectante horizontal

e) Plano proyectante vertical

Este tipo de plano presenta como particularidad, el ser perpendicular al plano horizontal PH, su traza horizontal forma un ángulo cualquiera α con respecto a la línea de tierra, mientras que la traza vertical es perpendicular a la línea de tierra.

Este tipo de plano presenta como particularidad, el ser perpendicular al plano vertical PV, su traza vertical forma un ángulo cualquiera β con respecto a la línea de tierra, mientras que la traza horizontal es perpendicular a la línea de tierra.

PV PV

PV

PV

PL

PL

β α PH

Ejemplo:

PH PH

PH

Posición del Observador

Ejemplo:

Posición del Observador

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f) Plano proyectante de perfil

g) Plano de posición general o plano oblicuo

También conocido con el nombre de plano rampa. Presenta como particularidad el ser perpendicular al plano lateral PL y sus trazas, tanto vertical como horizontal, son paralelas a la línea de tierra.

Es un plano cuya posición forma un ángulo cualquiera con los planos de proyección vertical PV, horizontal PH y lateral PL.

PV PV

PV PV

PL

PL PL

PL

PH

PH

PH PH

Posición del Observador

Ejemplo:

Posición del Observador

Ejemplo:

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA A esta altura, ya podemos darnos cuenta que hay dos formas de realizar una representación: generando una figura de un cuerpo real, o bien gestionando desde la imaginación algún cuerpo o pieza. En cualquiera de los casos la forma de representar da la posibilidad de hacerlo como un volumen o como una figura plana, observándose que, en el caso de un volumen, las dimensiones (ancho, alto y profundidad) que representan al cuerpo, se presentan en una sola figura, mientras que, cuando la figura es plana, su representación solo puede hacerse con dos cualquiera de las dimensiones y teniendo en cuenta la posición del observador, en un proceso que, en referencia a la ubicación del cuerpo de por sí resulta aleatorio. Para el caso de la representación en volumen estamos hablando de perspectivas y, en el caso de figuras planas, estamos hablando de Proyecciones Ortogonales. El Sistema de Proyecciones Ortogonales permite obtener las distintas partes de un cuerpo ubicando un cuerpo en el espacio y cambiando de posición al observador. Con ello y, teniendo la misma distancia de observación, se estará mirando cada una de las vistas en su verdadera dimensión y con los detalles correspondientes. Este Sistema está basado en las normas I.S.O. y

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presenta dos formas de visualización conocidas como método ISO E y método ISO A, que significan Sistema Europeo y Sistema Americano, respectivamente. A continuación explicamos cada uno de ellos. Una buena forma de explicar la representación del cuerpo en el espacio es tratar de estar en las distintas posiciones en la que se encuentra la persona de la figura:

Imagen gestionada desde Internet

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA Para poder describir los métodos vamos a imaginar en primera instancia que un cuerpo tiene sus caras pintadas de distintos colores y que está contenido en una caja. A esta caja le abrimos sus caras y, en función de la posición del observador, reflejamos cada una de las Planta vistas:

Posterior Lateral izquierdo

Alzado

Inferior

Lateral derecho

Se observa entonces que, la figura de color violeta es la proyección de la vista de alzada sobre el plano de proyección vertical, la figura de color amarillo es la proyección de la vista superior o planta sobre el plano de proyección horizontal, la vista de color gris es la proyección de la vista lateral derecha sobre el plano de proyección izquierdo, la figura de color turquesa es la proyección de la vista lateral izquierda sobre el

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plano de proyección lateral derecho, la figura de color azul es la proyección de la vista inferior sobre el plano de proyección superior y, la figura de color verde, es la proyección de la vista posterior sobre el plano de proyección anterior. Si bien el sistema ortogonal prevé la representación del cuerpo en sus seis vistas, no es necesario recurrir a todas ellas para poder interpretarlo. Solo se recurre a aquellas que conocemos como vistas principales, es decir alzada, elevación o frontal, planta o superior, lateral izquierda y lateral derecha. Cabe acotar que, actualmente las Normas 4501-1 y 4501-2, que tratan lo referente a los métodos de proyección establecen que, las vistas conservan la designación, pero ya no se las categoriza como vistas principales, aunque si se establece un orden de prioridad entre ellas. Al sistema descripto se lo conoce como Sistema Europeo o ISO E y el cuadro nos muestra las formas de colocar las vistas en la representación. VISTA INFERIOR LATERAL

LATERAL

VISTA

IZQUIERDO

POSTERIOR

ALZADO DERECHO PLANTA

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA Para analizar el Sistema ISO A o Sistema Americano utilizamos el mismo ejemplo de la caja que contiene un cuerpo con sus caras pintadas con idénticos colores.

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sobre el plano de proyección lateral izquierdo. El cuadro nos muestra la forma en la que se coloca las vistas en su representación. PLANTA LATERAL

LATERAL ALZADO

IZQUIERDO

DERECHO

VISTA POSTERIOR

VISTA INFERIOR

Ahora observamos que cada cara con su color se proyecta sobre el plano que se encuentra enfrente suyo y, en consecuencia, la figura de color violeta es la vista de proyección de alzada sobre el plano de proyección anterior, la figura de color amarillo es la vista de proyección superior sobre el plano de proyección también superior, la figura de color azul es la vista de proyección inferior que se encuentra en el plano de proyección inferior, la figura de color gris es la vista de proyección lateral derecha sobre el plano de proyección lateral derecho y la figura de color turquesa es la vista de proyección lateral izquierda

El ejemplo nos muestra claramente como se realiza la representación de ambos métodos:

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA SISTEMA EUROPEO – Método ISO E

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Otras formas de representación que también plantean las Normas IRAM 4501-1 y 4501-2, son: a) Disposición de las vistas utilizando flechas de referencia.

Es la proyección en el primer cuadrante y su simbolo

Esta permite ubicar libremente las diferentes vistas. Con excepción de la vista principal, se debe identificar cada vista con una letra mayúscula repetida cerca de la flecha necesaria para indicar la dirección en la cual se debe mirar la respectiva vista. A

de representación es D

C

SISTEMA AMERICANO – Método ISO A A

B

B

E

C

Es la proyección en el tercer cuadrante y su símbolo de representación es

D

E

SISTEMAS DE REPRESENTACION GRAFICA b) Representación ortogonal reflejada En los dibujos de construcción, en donde a veces, se confunden los métodos de representación, pues se trabaja con distintos niveles que van desde el techo hasta la planta pasando por los diferentes pisos se utilizan los dos sistemas siguientes. Uno, conocido como Proyección Ortogonal Directa, donde la vista representa el lado del objeto que está colocado delante del dibujante, esto es:

Otro, conocido como Proyección Ortogonal Reflejada, donde la proyección es la representación de la imagen reflejada en un espejo situado paralelamente al plano de corte.

A

A B

A

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B

A

El símbolo de la representación ortogonal reflejada es:

Nosotros utilizaremos el Sistema Europeo que, para una representación se sintetiza como sigue:

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BIBLIOGRAFIA

CUERPO EN EL ESPACIO

VISTAS DEL CUERPO DE ACUERDO A LA POSICIÓN DEL OBSERVADOR

APLICACIÓN DEL SISTEMA DE PROYECCIONES ORTOGONALES



SISTEMAS DE REPRESENTACION – Arq. Susana Beatriz Agotegaray – Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional – Año 2009.



Compilaciones varias extraídas de Internet.



Desarrollo propio de la cátedra.



“ACTUALIZACION DE LAS NORMAS IRAM DE DIBUJO TECNOLOGICO: POSIBLES IMPACTOS EN LA ENSEÑANZA DE REPRESENTACION GRAFICA” – Ing. UEMA, Ariel Shigeru – Libro de Ponencias de EGraFIA 2011 – VIII Congreso Nacional – Pag. 138 al 144 – Año 2011