Sobre una desigualdad isoperim´etrica en superficies de curvatura no negativa F´ısico Juan Olgu´ın Ortiz

Contenido 1 Introducci´ on 1.1 La reina Dido y el problema isoperim´etrico 1.2 Un caso particular de desigualdad isoperim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 El teorema de Ptolomeo . . . . . . . . . . 1.4 Propiedad de los cuadril´ateros c´ıclicos . . .

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1 2

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4 5 7

2 Demostraciones de la desigualdad de Steiner 10 2.1 La demostraci´on de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Conjuntos paralelos y la desigualdad de Steiner . . . . . . . . 17 2.3 Una demostraci´on m´as moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Preliminares 24 3.1 Elementos del An´alisis Matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Elementos de la Geometr´ıa Diferencial . . . . . . . . . . . . . 27 4 Demostraci´ on del Teorema principal

29

5 Conclusi´ on

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Referencias

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i

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on En esta parte del trabajo hablaremos sobre la historia del problema isoperim´etrico cl´asico en el plano y algunas de sus demostraciones. El problema isoperim´etrico cl´asico en el plano consiste en encontrar entre todas las curvas cerradas en el plano de per´ımetro fijo, una (si es que la hay) que maximiza el ´area de la regi´on que encierra. Los griegos sab´ıan que la respuesta era una circunferencia. Una respuesta a este problema la da Jackob Steiner, matem´atico suizo que demostr´o el siguiente resultado. TEOREMA 1.1. (Desigualdad isoperim´ etrica de Steiner) Para una curva plana cerrada simple se cumple la siguiente desigualdad 4πA ≤ L2 .

(1.1)

donde A es el ´area de la regi´on encerrada por dicha curva y L es su per´ımetro. La igualdad se alcanza si la regi´ on es un c´ırculo. Uno de los objetivos de esta tesis consistir´a en generalizar la desigualdad (1.1) a una m´as general a la cual llamaremos la desigualdad isoperim´etrica de Fiala y que mencionamos en el siguiente resultado. TEOREMA 1.2. Sea una superficie M ∈ R3 y sea K su curvatura gaussiana. Entonces, se satisface la desigualdad µ ¶ Z Z 2 L ≥ 2A 2π − KdA (1.2) D

para toda curva de Jordan rectificable encerrando una regi´ on simplemente conexa D. 1

´n Cap´ıtulo 1. Introduccio

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El resultado principal de este trabajo nos dar´a una caracterizaci´on para que la curvatura de una superficie arbitraria sea no negativa y se menciona a continuaci´on (vease [7]). TEOREMA 1.3. Sea una superficie M ∈ R3 con la m´etrica definida en coordenadas locales conformes y sea K su curvatura gaussiana. Entonces, K ≥ 0 sobre cualquier regi´ on R de la superficie M con esas coordenadas, si y s´olo si, se satisface la desigualdad de Fiala (1.2) para toda curva de Jordan rectificable encerrando una regi´ on D simplemente conexa contenida en R. ´ 1.4. Observamos que el resultado menciona una propiedad OBSERVACION global de la superficie que se refiere a la curvatura de ´esta, en t´erminos de una propiedad local que se refiere a que se cumpla la desigualdad de Fiala (1.2) alrededor de cada punto con coordenadas conformes. ´ 1.5. Existen ejemplos donde la desigualdad de Fiala no OBSERVACION se cumple, a´ un para el caso de curvatura gaussiana nula. Por ejemplo, dentro de un cilindro de radio r > 0 y altura h, al considerar las circunferencias superior e inferior se tiene las igualdades L2 = 16π 2 r2 para la longitud y para el ´area A = 2πrh. Claramente la desigualdad isoperim´etrica no se cumple si h > 2. Esto se debe a que el dominio encerrado no es simplemente conexo. En este caso es necesario condicionar el diametro de la superficie a que est´e acotado apropiadamente (v´ease [6]). No obstante, para el caso de cilindros m´as generales es conocido que en una variedad general de tipo M = Rn × [0, 1] las superficies isoperimetricas son cilindros y semiesferas (v´ease [15]). Hacemos la aclaraci´on que en t´erminos generales, en esta introducci´on se dar´an los esbozos de las pruebas usando geometr´ıa elemental.

1.1

La reina Dido y el problema isoperim´ etrico

Los primeros registros que se tienen de este teorema es alrededor de veinti´ un siglos atr´as, gracias a los escritos del poeta Virgilio. En estos, ´el nos habla de la reina Dido, quien era la hermana de Pigmale´on, rey de Tiro- una antigua ciudad de Fenicia-. Este rey estaba en b´ usqueda de un tesoro que

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s´olo Dido y su esposo Siqueo sab´ıan donde estaba. Pigmale´on convenci´o a Dido que le diera la ubicaci´on del tesoro pero ella le dio una ubcaci´on falsa. Al darse cuenta de ´esto, Pigmale´on manda a matar a Siqueo, mientras Dido huye de Tiro -porque sabe que ella es la siguiente v´ıctima- con unos cuantos ´ subordinados, el tesoro y en direcci´on del norte de Africa. Una vez que la reina Dido lleg´o a este lugar, ofrece una fuerte suma de dinero a los pobladores del lugar -los Libios- a cambio de un trato. Este trato consisti´o en que ella matar´ıa a un buey y con la piel de ´este se encargar´ıa de elaborar una fina cuerda. Posteriormente con esta cuerda, ella encerrar´ıa un ´area especificada y el terreno encerrado por la cuerda ser´ıa el territorio de por el que ella pagar´ıa la suma de dinero. Ahora la pregunta es la siguiente. Si suponemos que la longitud de la cuerda L es constante ¿Qu´e forma debe de tener la cuerda para que el ´area encerrada tenga un ´area m´axima? Esta pregunta es lo que en la actualidad llamamos el problema isoperim´etrico. La pregunta no es trivial de responder, sin embargo los matem´aticos de aquel entonces ya conoc´ıan la respuesta, sab´ıan que la curva que satisfac´ıa esta propiedad era la circunferencia. Este resultado era conocido por Dido. Para escoger el territorio de tierra con una porci´on de costa lo que hizo fue poner ambos extremos de cuerda sobre la costa e imagin´o que la costa formaba una l´ınea recta. Suponemos que la longitud de la cuerda es L, as´ı que si lo que nosotros queremos es tener un ´area m´axima de tal suerte que comparta una porci´on de la costa tenemos que hacer lo que Dido hizo. Dido imagino que ten´ıa una cuerda de longitud 2L. Por lo que antes mencionamos, la curva que encierra un ´area m´axima es la circunferencia, en este caso una circunferencia de ´area A (v´ease la Figura 1.1). Pues bien, como supuso que la costa era una l´ınea recta, form´o dos semicircunferencias de per´ımetro L de tal suerte que una parte una de la semicircunferencia queda afuera, mientras que la otra queda adentro del mar. Esto significa que la parte que esta adentro del mar es la reflexi´on de la parte que esta afuera del mar con respecto a la costa. As´ı, el ´area total contenida por la circunferencia imaginaria de per´ımetro 2L es A = L2 /π, por lo tanto la ´ mitad de esto es el ´area contenida en tierra firme. Esta es el ´area m´axima que se puede formar con una cuerda de longitud L de tal manera que se tenga una parte de costa dentro del territorio. Por cierto, a partir de esta semicircunferencia se construy´o la ciudad de C´artago, y el nombre viene del fenicio Qart-Hadah, la “Ciudad Nueva”. Evidentemente lo dicho arriba es una leyenda que narra los or´ıgenes de esta

´n Cap´ıtulo 1. Introduccio

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Figura 1.1: C´ırculo de ´area L2 /π. ciudad. Hay dos versiones que hablan de la muerte de Dido. Una dice que se suicid´o porque el rey Jarbas quer´ıa casarse con ella, pero ella al mantenerse firme al recuerdo de su antiguo marido se dio una pu˜ nalada en el coraz´on. En la otra versi´on tambi´en se dice que se suicid´o, pero debido a que Eneas -el h´eroe de la Eneida de Virgilio- la abandon´o y por despecho se clava la espada de Eneas en el est´omago mientras se lanza al fuego donde se estaban quemando las cosas de Eneas.

1.2

Un caso particular de desigualdad isoperim´ etrica

De acuerdo con el Teorema 1.1, para toda regi´on en el plano, encerrada por una curva de clase C 1 , con ´area interna A y con per´ımetro L, se cumple la desigualdad (1.1) y la igualdad se da si la regi´on es un c´ırculo. Un caso particular de este problema que abordaremos con geometr´ıa b´asica es el siguiente. Supongan que los cuatro lados de un cuadril´atero tienen medidas a, b, c y d respectivamente. ¿Qu´e cuadril´atero con estas longitudes maximiza el ´area? La respuesta a esta pregunta es el cuadril´atero c´ıclico. ´ 1.6. Un cuadril´atero c´ıclico es aqu´el cuyos v´ertices pueden DEFINICION ser colocados sobre una circunferencia, es decir, puede inscribirse sobre alg´ un c´ırculo.

´n Cap´ıtulo 1. Introduccio

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´ 1.7. Un cuadril´atero cuyas longitudes son cuatro n´ OBSERVACION umeros dados puede ser construido, m´as a´ un, se puede probar que siempre hay un cuadril´atero c´ıclico con longitudes a, b c y d. Lo anterior trasciende del objetivo de la monograf´ıa, por lo cual, no ser´a demostrado en la misma.

1.3

El teorema de Ptolomeo

TEOREMA 1.8. (Desigualdad de Ptolomeo). Sean ABCD cuatro puntos en el plano, a, b, c y d las longitudes de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y p, q las medidas de las diagonales AC, BD respectivamente. Entonces se cumple la desigualdad pq ≤ ac + bd.

(1.3)

La igualdad se alcanza cuando los cuatro puntos son c´ıclicos o todos son colineales (v´ease la Figura 1.2).

Figura 1.2: Desigualdad de Ptolomeo. Demostraci´ on. Consideraremos dos casos: cuando un punto es distinto a los otros tres y el caso contrario.

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Comenzaremos con el primer caso. Supongamos que A es distinto a los otros puntos BCD. Si a los v´ertices ABCD se le asignan los n´ umeros complejos 0, z1 , z2 y z3 , con zi 6= 0, entonces: a = |z1 |, b = |z1 − z2 |, c = |z2 − z3 |, d = |z3 |, p = |z2 | y q = |z1 − z3 |. Para las inversiones, consideremos la desigualdad del tri´angulo ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ 1¯ ¯1 1¯ ¯1 1 ¯¯ ¯ ¯ − ¯≤¯ − ¯+¯ − ¯ ¯ z1 z3 ¯ ¯ z1 z2 ¯ ¯ z2 z3 ¯ que equivale a

|z1 − z3 | |z1 − z2 | |z2 − z3 | ≤ + |z1 ||z3 | |z1 ||z2 | |z2 ||z3 |

Multiplicando de ambos lados por |z1 ||z2 ||z3 |, obtenemos, |z2 ||z1 − z3 | ≤ |z3 ||z1 − z2 | + |z3 ||z2 − z3 | que es equivalente a (1.3). La igualdad se obtiene cuando los puntos z1−1 , z2−1 , z3−1 y ∞ son colineales (en ese orden). Si dicha l´ınea contiene al origen, entonces ABCD se encuentra en una l´ınea que atraviesa el mismo origen. Como z2−1 se encuentra entre z1−1 y z3−1 , dependiendo de qu´e lado se encuentra el 0 con respecto a los otros puntos, la figura ABCD tendr´a la propiedad de que la distancia de uno de los lados es igual a la suma de los otros tres, a menos que los tres puntos coincidan, en cuyo caso, no estamos hablando de una figura c´ıclica. De cualquier forma, si la l´ınea no pasa por el origen, la inversi´on aplica la l´ınea en un c´ırculo que pasa por el origen. As´ı que z1 , z2 , z3 y 0 se encuentran en ese orden en el c´ırculo que contiene al origen. Puede suceder que dos puntos coincidan (B = C ´o C = D). La figura que obtenemos en este caso es un tri´angulo. Pero, como los puntos se sit´ uan en orden alrededor del c´ırculo, B = D implica que B = C = D, es decir, la figura es un segmento de recta. El u ´ltimo caso se da cuando todos los puntos coinciden, de lo cual se sigue que A = B = C = D y junto con (1.3), arroja el resultado 0 = 0. Finalmente quedan tres subcasos m´as: A = B 6= C = D, entonces a = c y b = d = p = q > 0, de forma que se obtiene la igualdad en (1.3). Si A = C 6= B = D, entonces p = q = 0 y a = b = c = d > 0 y a = c = p = q > 0, obteni´endose la igualdad en (1.3), lo que termina la prueba.

´n Cap´ıtulo 1. Introduccio

1.4

7

Propiedad de los cuadril´ ateros c´ıclicos

Mostramos ahora propiedades de los cuadril´ateros ciclicos en los siguientes resultados. TEOREMA 1.9. (Propiedad Maximizadora de los cuadril´ ateros c´ıclicos). Sean ABCD los v´ertices de un cuadril´atero en el plano con lados AB, BC, CD, DA y longitudes a, b, c, d respectivamente. Y sea F el ´area del cuadril´atero. Entonces: 16F 2 ≤ (a + b + c − d)(a + b − c + d)(a − b + c + d)(−a + b + c + d) (1.4) La igualdad se obtiene cuando ABCD es c´ıclico o los v´ertices son colineales. Demostraci´ on. Si el cuadril´atero degenera en un segmento de l´ınea, F se anula y (1.4) se cumple. Si el lado derecho de la desigualdad tambi´en es cero, entonces uno de los t´erminos es cero y uno de los lados es la suma de los otros tres. Si ABCD es un cuadril´atero convexo, tomamos E como la intersecci´on de AC y BD y p1 , q1 , p2 , q2 las longitudes de EC, ED, EA, EB respectivamente y observamos que θ = ∠CED = ∠AEB y π − θ = ∠DEA = ∠BEC. Es decir que el ´area del cuadril´atero es la suma de las ´areas de los tri´angulos: 2F = p1 q1 sen θ + p2 q1 sen (π − θ) + p2 q2 sen(π − θ) = (p1 q1 + p2 q1 + p2 q2 + p1 q2 ) sen θ = (p1 + p2 )(q1 + q2 ) sen θ = pq sen θ Mediante la ley de los cosenos podemos hallar la distancia de los cuatro lados: a2 b2 c2 d2

= p22 + q22 − 2p2 q2 cos θ = p21 + q22 − 2p1 q2 cos(π − θ) = p21 + q12 − 2p1 q1 cos θ = p22 + q12 − 2p2 q1 cos(π − θ)

De modo que a2 − b2 + c2 − d2 = −2(p2 q2 + p1 q2 + p1 q1 + p2 q1 ) cos θ = −2(p1 + p2 )(q1 + q2 ) cos θ = −2pq cos θ

´n Cap´ıtulo 1. Introduccio

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Reescribiendo el ´area en t´erminos de las ecuaciones anteriores y usando la desigualdad de Ptolomeo, finalmente obtenemos: 16F 2 = 4p2 q 2 sen2 θ = 4p2 q 2 − 4p2 q 2 cos2 θ ≤ 4(ac + bd)2 − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 = [2ac + 2bd + a2 − b2 + c2 − d2 ][2ac + 2bd − a2 + b2 − c2 + d2 ] = [(a + c)2 − (b − d)2 ][(b + d)2 − (a − c)2 ] = (a + b + c − d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(−a + b + c + d) En otras palabras, la desigualdad (1.4) se cumple. Si se cumple la igualdad en ´esta, tambi´en se cumplir´a en la desigualdad de Ptolomeo, de forma que los puntos ABCD estar´an ordenados en la circunferencia. Esto termina la prueba. TEOREMA 1.10. (F´ ormula del cuadril´ atero de Brahmagupta). Para un cuadril´atero P QRS que se encuentra en el plano, cuya magnitud de cada lado est´a dada por a = P Q, b = QR, c = RS y d = SP , ordenados alrededor del mismo y cuyos ´angulos sean α = ∠P QR, β = ∠QRS, γ = ∠RSP y δ = ∠SP Q, entonces el ´area A del cuadril´atero est´a dada por: µ ¶ α+γ 2 2 16A = (a+b+c−d)(a+b−c+d)(a−b+c+d)(−a+b+c+d)−16abcd cos 2 En este caso, la igualdad implica que el cuadril´atero es c´ıclico o sus v´ertices se encuentran en un segmento rectil´ıneo tal que la distancia de uno de los lados es la suma de las otras tres distancias. Brahmagupta fue un matem´atico de Ujjain, India que vivi´o en el siglo VII. Su trabajo gir´o en torno a la teor´ıa de n´ umeros y a las soluciones integrales de las ecuaciones. Encontr´o muchos tri´angulos integrales y cuadril´ateros que motivaron la generalizaci´on que hizo de la f´ormula de Her´on, la cual asocia el ´area de un tri´angulo con el largo de sus lados, al caso de los cuadril´ateros. La f´ormula que dedujo se aplica a los cuadril´ateros c´ıclicos, dando una prueba trigonom´etrica. Es f´acil ajustar esta misma para todos los cuadril´ateros en el plano. Un corolario inmediato de la f´ormula es la propiedad maximizadora para los cuadril´ateros, obtenida por Steiner. De hecho, la f´ormula de Brahmagupta da una expresi´on para el t´ermino del error en la desigualdad de

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Steiner. S´olo nos queda decir que la anterior es una de las muchas expresiones equivalentes de tal f´ormula. Para concluir esta parte damos otra demostraci´on del Teorema 1.9, escrito en forma diferente. TEOREMA 1.11. Propiedad Maximizadora de los cuadril´ ateros c´ıclicos. Sean ABCD los v´ertices de un cuadril´atero en el plano con lados AB, BC, CD, DA y longitudes a, b, c, d respectivamente. Y sea A el ´area del cuadril´atero. En tal caso la siguiente desigualdad es valida: 16A2 ≤ (a + b + c − d)(a + b − c + d)(a − b + c + d)(−a + b + c + d) La igualdad se da si ABCD es c´ıclico o los v´ertices son colineales. Demostraci´ on. Tomemos los ´angulos como en la f´ormula de Brahmagupta, como dichos ´angulos pueden ser tomados 0 ≤ α + γ = 2π − β − δ ≤ 2π, el m´aximo ocurre cuando α + γ = π, en cuyo caso β + δ = π o uno de los lados, por ejemplo, d = 0. Si un lado mide cero, la figura degenera en un tri´angulo, bi´angulo o punto, todos ellos cuadril´ateros c´ıclicos. Si ninguna distancia es degenerada y uno de los ´angulos, α = 0, digamos, entonces γ = π y S un punto interior del segmento RP . De esto se sigue que los cuatro puntos son colineales y a = b + c + d ´o b = c + d + a. De forma similar, si α = π, γ = 0 y ya sea que d = a + b + c ´o c = d + a + b. Si hacemos p = P R, si 0 < α < π, entonces la cuerda del c´ırculo P R del c´ırculo a trav´es de P QR subtiende un ´angulo del doble de α. De igual forma, P R del c´ırculo PQR, subtiende un ´angulo 2γ. Pero como 2α+2γ = 2π, ambos c´ırculos coinciden y los tri´angulos P QR y RSP se encuentran en lados opuestos de la cuerda P R, pues los ´angulos se encuentran en lados opuestos del c´ırculo. Si α = γ = π2 , el cuadril´atero es c´ıclico, lo que termina la prueba.

Cap´ıtulo 2 Demostraciones de la desigualdad de Steiner La obra matem´atica de Steiner se centr´o en la geometr´ıa, que desarroll´o en el campo sint´etico, excluyendo totalmente la an´alitica, que odiaba, y que se dec´ıa consideraba una desgracia para la geometr´ıa aun cuando se obtuvieran iguales o mejores resultados. En su campo, sobrepas´o a todos sus contempor´aneos. Sus investigaciones se distinguen por su generalizaci´on, la riqueza de sus fuentes y el rigor de sus demostraciones. Ha sido considerado el mayor genio de la geometr´ıa pura desde Apolonio de Perga. En su Systematische Entwickelung der Abhngigkeit geometrischer Gestalten von einander, Steiner sent´o las bases de la geometr´ıa moderna pura, donde presenta las formas geom´etricas y la correlaci´on entre ellas, en lo que ´el mismo llam´o geometr´ıa proyectiva, presentando mediante la ayuda de l´ıneas y puntos una nueva generaci´on de secciones c´onicas y superficies cuadr´aticas de rotaci´on, que llevan mas directamente que otros m´etodos anteriores a la naturaleza de las c´onicas y que revelan la conexi´on con las formas biol´ogicas. En este tratado, adem´as, se analiza por primera vez el principio de dualidad, como consecuencia de las propiedades fundamentales del plano, la l´ınea y el punto. Parece que Steiner no s´olo encontr´o una demostraci´on de la desigualdad isoperim´etrica (1.1) enunciada en el teorema 1.1. Algunos dicen que ten´ıa varias demostraciones. Una de ellas consiste en la siguiente, la cual mostramos por partes.

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Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

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Parte cero Basta demostrar el teorema para conjuntos convexos. Un conjunto es convexo si para cualesquiera dos puntos de este conjunto, la l´ınea recta que los une se encuentra dentro del conjunto (v´ease la Figura 2.1).

Figura 2.1: Conjuntos convexos.

Primera parte Dado un conjunto Ω con interior no vac´ıo y frontera ∂Ω de longitud L, encontrar otro de tal manera que este otro tenga un ´area mayor y que su frontera tenga la misma longitud. A trav´es de ciertos m´etodos que establece Steiner, es posible aproximarse sucesivamente a la curva que encierra un

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

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mayor ´area interna hasta que se alcanza un l´ımite donde parece ser que la figura que tiene mayor ´area interna es la circunferencia. A pesar de que la anterior demostraci´on es correcta, el car´acter t´ecnico de la misma no permite apreciar con claridad algunos elementos geom´etricos, los cuales saltan a la vista a partir de la aplicaci´on de rudimentos b´asicos de la geometr´ıa. Esta forma moderna de abordar el problema se debe a Lawlor. Segunda Parte Se toma un conjunto convexo y se toman n puntos de su frontera de tal manera que estos equidisten (que tengan la misma distancia uno del otro), despu´es con estos n puntos se forma un n-´agono (un n-´agono es un pol´ıgono de n lados) y se compara con otro n-´agono regular con el mismo per´ımetro que el primero. Se demuestra que el ´area de este n-´agono regular es siempre mayor o igual a la del primer Figura 2.2: n-´agono. Haciendo tender a infinito el n´ umero n se obtien Haci´endolo convexo el resultado deseado, ya que el n-´agono regular tender´a a la circunferencia mientras que el otro tender´a al conjunto convexo original. La forma en la que Steiner hace su demostraci´on es caracterizando las regiones R que no tienen ´area m´axima para un per´ımetro dado. Observ´o que el ´area de R se puede aumentar, si no es convexa. En la figura (2) la regi´on es no convexa debido a la depresi´on que presenta. Este pedazo de contorno puede Figura 2.3: reflejarse a trav´es de la l´ınea de soporte, tal como se muesEligiendo la mitad tra en dicha figura. Al final, obtenemos una figura con el “m´as grande” mismo per´ımetro pero con un ´area m´as grande. Supongamos entonces que R es convexo. Steiner sugiri´o dibujar una l´ınea que partiera a R en dos piezas con el mismo per´ımetro. De las dos partes, escogemos la de mayor ´area y volvemos a reflejar esa u ´ltima parte, obteniendo una figura del mismo per´ımetro y mayor ´area. Siguiendo este razonamiento, suponemos que R es convexo y que la l´ınea que divide a R genera dos mitades de igual ´area e igual per´ımetro. Sean adem´as A y C donde la frontera de R corta con la l´ınea divisoria. El Teorema del ´angulo perif´erico nos asegura que R es circular si y s´olo si

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para cualquier punto B en la frontera de R (adem´as de A y C) ∠ABC = π2 . Supongamos ahora que existe un punto B tal que ∠ABC 6= π2 . sea a H la regi´on que contiene a B. La idea de Steiner consisti´o en considerar que 4ABC tiene dos lados de longitudes fijas |AB| y |BC|, teniendo el ´angulo de B libertad de movimiento. Entonces contamos con tres regiones: el tri´angulo 4ABC, la regi´on que subtienden AB y BC, las cuales conforman la regi´on que hemos llamado H. Al cambiar el ´angulo ∠ABC, se modifica el ´area y la forma del mismo tri´angulo, no obstante las otras dos regiones son lsa mismas. Evidentemente, de todos los tri´angulos con estas caracter´ısticas, el de ´area m´axima es el que tiene altura m´axima, lo cual ocurre a su vez cuando ∠ABC = π2 . As´ı que si el ´angulo no es recto, el ´area se puede incrementar haciendo ∠ABC = π2 . Siendo ya el ´angulo B = π2 , la nueva figura puede ser reflejada nuevamente, obteniendo otra del mismo per´ımetro con mayor ´area. Finalmente notamos que para algunas Figura 2.4: figuras que tienen un ´angulo ∠ABC mayor a π2 , al ser re“Rectificaci´on” ducido el ´angulo, las otras dos regiones pueden cortar a la l´ınea bisectriz de R. Este problema se puede zanjar de distintas formas, el presente escrito no pretende agotar el tema, sin embargo, dichas soluciones se pueden consultar en [12]. Con esta construcci´on se muestra que si R es no circular, entonces existe alguna regi´on con el mismo per´ımetro, pero mayor ´area. Consecuentemente si existe una regi´on de ´area m´axima, ´esta s´olo puede ser un disco. La anterior demostraci´on es muy geom´etrica y no necesita de matem´aticas avanzadas. Figura 2.5: Despu´es del proceso

2.1

La demostraci´ on de Hurwitz

Entre 1751 y 1765 se publica en Francia la primera Enciclopedia, de Denis Diderot y Jean Le Rond D’Alembert, que pretend´ıa recoger el pensamiento ilustrado. Quer´ıan

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Figura 2.6: Cuerdas y circunferencias. educar a la sociedad, porque una sociedad culta que piensa por s´ı misma era la mejor manera de asegurar el fin del Antiguo R´egimen (el absolutismo y las dictaduras se basan en la ignorancia del pueblo para dominarlo). En su redacci´on colaboraron otros pensadores ilustrados como Montesquieu, Rousseau y Voltaire. Los l´ıderes intelectuales de este movimiento se consideraban a s´ı mismos como la ´elite de la sociedad, cuyo principal prop´osito era liderar al mundo hacia el progreso, sac´andolo del largo periodo de tradiciones, superstici´on, irracionalidad y tiran´ıa (periodo que ellos cre´ıan iniciado durante la llamada Edad obscura). Esta concepci´on top´o con pared frente a las condiciones objetivas establecidas en esa ´epoca: la sociedad en su conjunto a´ un no era capaz de generar la suficiente producci´on como para emanciparse del trabajo mismo. Hab´ıa todav´ıa que transitar por un c´ umulo de conocimientos cient´ıficos y tecnol´ogicos que permitieran sentar las bases objetivas sobre las cuales el ser humano pudiera en verdad emanciparse. Lo otro contra lo que chocaron estos titanes del pensamiento fue una ley hist´orica de oro: La historia no la hacen los individuos, sino las masas. En esta ocasi´on, no se encontraban lo

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

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suficientemente cohesionadas como para hacer frente a los explotadores. No obstante las ideas del siglo de las luces fueron el abono que sirvi´o a la ciencia y la tecnolog´ıa para alimentarse y desarrollarse para satisfacer as´ı las necesidades de producci´on que la nueva clase capitalista comenzaba a demandar. Antes del siglo XVIII la matem´atica fue un instrumento de resoluci´on de problemas. En el siglo XVIII los fen´omenos naturales sirvieron de motivaci´on para nuevos desarrollos anal´ıticos, debido a que la Ilustraci´on trajo una confianza ilimitada en que el trinomio raz´on, s´ımbolos algebraicos y m´etodos infinitesimales, era capaz de resolver cualquier problema anal´ıtico. Esta confianza en el futuro fue el contexto en el cual Euler, los Bernoulli, Lambert, McLaurin, Cramer, Clairaut, D’Alambert y tambi´en Hurwitz. Para demostrar la desigualdad (1.1) mediante el m´etodo de Hurwitz, usaremos los siguientes resultados debidos a Parseval y a Wirtinger. TEOREMA 2.1. (Teorema de Parseval). Sean V un espacio vectorial real con un producto interno y {ϕ0 , ϕ1 , . . .} un sistema ortonormal. Entonces, este sistema es completo si y s´olo si, para cada vector f ∈ V se cumple 2

||f || =

∞ X

| < f, ϕn > |2 .

n=0

TEOREMA 2.2. (Desigualdad de Wirtinger) Sea f (θ) una funci´on de clase C 1 (R) de periodo 2π. Si f es el valor promedio de f , Z 2π 1 f (θ) dθ, f= 2π 0 entonces se cumple la desigualdad Z 2π Z 2 (f (θ) − f ) dθ ≤ 0

2π

(f (θ))2 dθ

0

La igualdad se alcanza si y s´olo si, existen dos n´ umeros reales a y b tales que: f (θ) = f + a cos θ + b sen θ (2.1) Demostraci´ on. Toda la idea es expresar a f y f 0 en series de Fourier. Como la derivada est´a acotada y f es continua, la serie de Fourier converge para toda θ, ∞ a0 X + {ak cos kθ + bk sen kθ} f (θ) = 2 k=1

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

16

Los coeficientes de Fourier est´an determinados una vez que se multiplica sen mθ o cos mθ e integrando, para obtener las f´ormulas de Euler: R 2π R 2π am = π1 0 f (θ) cos mθdθ, bm = π1 0 f (θ) sen mθdθ Notemos que 2f = a0 . Como la familia {cos mt}n ∪ {sen mt}n es un sistema maximal y ortogonal, la igualdad de Parseval se satisface y entonces Z 2π ∞ X 2 (f − f ) = π (a2k + b2k ). 0

k=1

La derivada de la serie est´a dada por f 0 (θ) =

∞ X

{−kak sen kθ + kbk cos kθ}.

(2.2)

k=1 0

2

Como f ∈ L , la desigualdad de Bessel implica que Z 2π ∞ X 2 2 2 k (ak + bk ) ≤ (f 0 )2 π k=1

(2.3)

0

Ahora podemos deducir la desigualdad de Wirtinger a partir de las relaciones (2.2) y (2.3), debido a la cadena de desigualdades Z 2π Z 2π ∞ X 0 2 2 (k 2 − 1)(a2k + b2k ) 0≤ (f ) − (f − f ) ≤ π 0

0

k=2

La igualdad implicar´ıa que para k ≥ 2 se debe cumplir (k 2 − 1)(a2k + b2k ) = 0, de modo que ak = bk = 0, con lo que f toma la forma (2.1). Esto termina la prueba. Para demostrar el teorema de Steiner y por tanto la desigualdad isoperim´etrica 1.1, se deben considerar las funciones, µ ¶ Lθ f (θ) = x 2π µ ¶ Lθ g(θ) = y 2π donde x(t) , y(t) son las ecuaciones param´etricas de la curva, A es el ´area de la regi´on encerrada por tal y L es su longitud. Observamos que en ´esta relaci´on s´olo se da la igualdad si y s´olo si, la curva considerada es la circunferencia.

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

2.2

17

Conjuntos paralelos y la desigualdad de Steiner

¿C´omo es que Steiner lleg´o a los resultados antes mencionados? Es claro que ´el como individuo poco tendr´ıa que hacer si quisiera haber acometido las empresas que logr´o con tan acentuado ´exito. Steiner vivi´o 67 a˜ nos, de 1796 a 1863. Le toc´o una ´epoca convulsiva, vino a la vida poco despu´es de la primera revoluci´on burguesa en Francia, poco antes de la consolidaci´on del imperio napole´onico, vivi´o tambi´en el mete´orico ascenso de un enorme pa´ıs poblado mayoritariamente por exiliados (muchos de ellos, exiliados pol´ıticos) de Gran Breta˜ na. En este u ´ltimo pa´ıs descollaba ya como una clase social el conjunto de los trabajadores. Entre los m´as importantes, los anteriores eventos hist´oricos fueron la base en la cual la ciencia despunt´o como nunca antes lo hab´ıa hecho. El siglo XIX fue la ´epoca en la que vio la luz El origen de las especies de Darwin, sentando las bases de la teor´ıa de la evoluci´on moderna; la cronolog´ıa b´ıblica del mundo se ech´o por tierra con los descubrimientos en geolog´ıa y no se diga acerca de los avances en la qu´ımica, entre los que destac´o la estructuraci´on de la tabla peri´odica que construy´o Mendel´eiev y que utilizamos hasta nuestros d´ıas; en el terreno de la f´ısica, se descubr´ıan y fundamentaban la ley de Gauss, la ley de Faraday, la ley de Amp`ere y la de Maxwell, entre muchas otras. Las Matem´aticas, como expresi´on del conocimiento humano y como lenguaje de esta nueva y boyante F´ısica, tambi´en experimentaron un abundante ´ desarrollo en todas sus ramas: el C´alculo, el Algebra y tambi´en la Geometr´ıa se vieron establecidas en un nivel superior al que se encontraban en el siglo pasado. As´ı pues, la necesidad de producci´on de la nueva sociedad de este siglo demandaba un conocimiento m´as preciso de los fen´omenos que la rodeaban, no s´olo para comprenderlos, sino sobre todo, para controlarlos. Los avances en la F´ısica permitieron el desarrollo de las Matem´aticas y en particular, de la Geometr´ıa, desarrollo materializado por ge´ometras como Monge, Poncelet y Lobachevsky que provieron a la genialidad individual de Steiner las herramientas necesarias para brindarnos los resultados que fue capaz de obtener. Sea Ω ⊂ R2 una regi´on acotada por una curva de clase C 1 . Entonces, para ρ ≥ 0, el paralelo ρ-exterior, Ω se define como: Ωρ = Ω ¢ ρB = {x ∈ E2 | d(x, Ω) ≤ ρ}

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

18

Es decir, Ω es el conjunto de puntos en el plano, cuyas distancias a Ω son a lo m´as ρ, siendo B una bola unitaria cerrada. TEOREMA 2.3. (Desigualdad de Steiner-Minkowsky). Sea Ω ∈ E2 un conjunto cerrado, acotado por una curva de clase C 1 , cuyo ´area es A y cuyo per´ımetro es L y sea ρ ≥ 0. Entonces se satisfacen las siguientes desigualdades: ´ (Ωρ ) ≤ A + Lρ + πρ2 , Area Longitud (∂Ωρ) ≤ L + 2πρ Si adem´as, Ω es un conjunto convexo, se satisfacen las igualdades.

Figura 2.7: Pol´ıgonos de n lados. Demostraci´ on. (Esbozo) Sea Pn ⊂ Ω una sucesi´on de pol´ıgonos (convexos, si Ω lo es) que converge a Ω cuyas curvas de su frontera se aproximan a la ´ de Ω, de forma que Area (Pn ) → A y longitud (∂Pn ) → L cuando n → ∞. De forma que si el caso general es consecuencia de la desigualdad de Steiner para pol´ıgonos, dicha desigualdad se cumple para los pol´ıgonos, por lo que tambi´en lo har´a para el caso general (v´ease la Figura 2.7). La demostraci´on de Minkowsky del problema isoperim´etrico requiere definir una nueva clase de suma de conjuntos y unos teoremas al respecto que enunciaremos sin demostrar. Sean S y T dos subconjuntos del plano. En tal caso definimos su suma de Minkowsky como aS + bT = {x + y |x ∈ aS, y ∈ bT }

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

19

donde a, b son n´ umeros no negativos y aS es la dilataci´on de S por un factor a, esto es, aS = {ax | x ∈ S}. TEOREMA 2.4. (Desigualdad de Brunn). Sean A, B dos subconjuntos acotados medibles del plano. Entonces q q q ´ ´ ´ Area(A + B) ≥ Area(A) + Area(B) La igualdad se cumple si y s´olo si, A = rB + x, donde r ≥ 0 y x ∈ R2 . Demostraci´ on. Un an´alisis directo prueba la siguiente cadena de desigualdades ´ ´ A + Lr + πr2 ≥ Area(Ω ρ ) = Area(Ω + ρB) µq ¶2 q ´ ´ ≥ (Area(Ω)) + Area(rB) ³√ √ ´2 ≥ A+r π √ = A2 + r 4πA + πr2 lo que prueba la afirmaci´on.

2.3

Una demostraci´ on m´ as moderna

El siglo XX fue una ´epoca en la que se han agudizado muchas de las contradicciones del propio sistema imperante. Las dos Guerras Mundiales fueron consecuencia de dos estancamientos econ´omicos pronunciad´ısimos. Para salir de dicho estancamiento, en la medida en la que el capitalismo es un sistema econ´omico an´arquico y tendiente al monopolio, fue necesario destruir a gran escala. La Revoluci´on Rusa de octubre de 1917 tambi´en marc´o un sello al siglo pasado. Despu´es de varios intentos, el proletariado fue capaz de hacerse del poder pol´ıtico y econ´omico de un pa´ıs. Este triunfo, junto con los constantes

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

20

altibajos a los que se ven sometidos los pa´ıses capitalistas fundaron la esperanza para millones de desposeidos del mundo occidental. Sin embargo, la traici´on de Stalin a la clase trabajadora del mundo entero termin´o por lapidar la oportunidad en este siglo de terminar con la barbarie a la que nos empujan las condiciones actuales en el mundo entero. Exacerbadas contradicciones: Bien podr´ıamos resumir as´ı al siglo XX. Mientras la ciencia y la tecnolog´ıa llevaban al hombre a la luna y a conquistar el espacio exterior, ingentes cantidades de habitantes en el tercer mundo mor´ıan de hambre, fr´ıo o de enfermedades erradicadas hac´ıa ya tiempo de los pa´ıses primermundistas. Mientras todos los procesos productivos se mejoraban a pasos agigantados, haciendo de la producci´on de un conjunto cada vez m´as grande de mercanc´ıas una tarea cada vez m´as perfeccionada, los verdaderos productores, es decir, los trabajadores, sin quienes, ser´ıa imposible entender la existencia de un bot´on siquiera, vieron una serie de ascensos (no tan impresionantes) y ca´ıdas (tremendamente abruptas) durante el siglo XX, al final del cual, en promedio se ha experimentado una regresi´on a los niveles de vida que ten´ıan los mismos trabajadores a finales del siglo XVIII. Esta contradicci´on tan aguda entre el desarrollo de la ciencia y las condiciones de vida de la inmensa mayor´ıa de los habitantes de este planeta fue el tel´on de fondo para el desarrollo de las Matem´aticas del siglo pasado. El ´ımpetu y el optimismo con el que los cient´ıficos hab´ıan abrazado el determinismo se hab´ıa desvanecido, siendo G¨odel quien mostr´o los l´ımites que en ese momento y hasta ahora presentan las Matem´aticas. No es casualidad que los gigantes del siglo XVIII y XIX no murieran ni sufrieran de depresi´on como G¨odel o Cantor. Todos ellos (y nosotros), al final de cuentas son (somos) producto de la ´epoca hist´orica que les (nos) toc´o vivir. No obsante lo anterior, el desarrollo de las Matem´aticas en el siglo XX ha sido prol´ıfico pues la herencia que dejaron los matem´aticos de los dos siglos anteriores exige que sea desarrollada y completada. Una de las ramas de las Matem´aticas que sigui´o floreciendo fue la Geometr´ıa, desarrollada al inicio del mismo siglo XIX por Hilbert, Riemann y despu´es por Poincar´e. La geometr´ıa diferencial tambi´en fue un terreno f´ertil para el desarrollo de resultados. Entre ellos se encuentran soluciones al problema isoperim´etrico. A continuaci´on demostraremos el Teorema 1.1 usando una prueba m´as moderna debida E. Schmidt (1939) para el caso en que la curva frontera es ´ de clase C 1 . Esta puede ser encontrada en el texto cl´asico de DoCarmo [4]. Demostraci´ on. Sean K y K 0 dos rectas paralelas que no corten a la curva cer-

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

21

rada C. Si las recorremos hasta que toquen por primera vez a C, obtenemos dos rectas paralelas tangentes E y E 0 , de tal forma que C est´a totalmente contenida en la franja acotada por E y E 0 . Consideremos una circunferencia S 1 tangente a E y E 0 y que no intersecte a C. Sea 0 el centro de S 1 y tomemos un sistema de coordenadas con origen en 0 y cuyo eje x sea perpendicular a E y E 0 . Parametricemos C por la longitud de arco, α(s) = (x(s), y(s)), de forma que quede orientada positivamente y los puntos de tangencia con E y E 0 sean s = 0 y s = s1 , respectivamente. Podemos suponer que la ecuaci´on de S 1 es β(s) = (x(s), y(s)) = (x(s), y(s)) con 0 ≤ s ≤ l = 2r y donde l = 2r es la distancia entre las l´ıneas E y E 0 (v´ease la Figura 2.8). El ´area de la regiones encerradas por cada curva respectiva est´an dadas por Z l a = xy 0 ds 0 Z l 2 A = πr = − yx0 ds 0

siendo A el ´area de la regi´on acotada por S 1 . En consecuencia, Zl A + πr2 =

(xy 0 − yx0 )ds ≤ 0

Zl ≤ 0

Zl p

(xy 0 − yx0 )2 ds

0

Zl p q (x2 + y 2 )((x0 )2 + (y 0 )2 )ds = x2 + y 2

(2.4)

0

= lr Es bien conocido quee la media geom´etrica de dos n´ umeros positivos es menor o igual que su media aritm´etica y la igualdad se da si y s´olo si los n´ umeros son iguales. Esto implica que √ ¢ 1 1¡ Aπr2 ≤ A + πr2 ≤ lr (2.5) 2 2

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner

22

Figura 2.8: L´ıneas paralelas E y E 0 . Por consiguiente, 4πAr2 ≤ l2 r2 lo cual implica la desigualdad (1.1). Supongamos ahora que en la en la desigualdad isoperim´etrica (1.1) se alcanza la igualdad. Entonces se debe cumplir tambi´en en las desigualdades (2.4) y (2.5). La igualdad en la relaci´on (2.5) implica que A = πr2 . As´ı, l = 2πr y r no dependen de la elecci´on de la direcci´on de E. Adem´as, la igualdad en la relaci´on 2.4 implica que (xy 0 − yx0 )2 = (x2 + y 2 )((x0 )2 + (y 0 )2 ) o (xx0 + yy 0 )2 = 0.

Cap´ıtulo 2. Demostraciones de la desigualdad de Steiner Esto es,

23

p x2 + y 2 x y p = ±r = = y0 x0 (y 0 )2 + (x0 )2

As´ı, x = ±ry 0 . Como r no depende de la elecci´on de la direcci´on de E, podemos intercambiar x y y en la u ´ltima relaci´on para obtener y = ±rx0 . Consecuentemente, se tiene la relaci´on x2 + y 2 = r2 ((x0 )2 + (y 0 )2 ) = r2 y por tanto C es una circunferencia.

Cap´ıtulo 3 Preliminares En este cap´ıtulo nos concentraremos en establecer definiciones y enunciar teoremas sin demostraci´on los cuales utilizaremos a lo largo de la demostraci´on de nuestro teorema principal 1.3.

3.1

Elementos del An´ alisis Matem´ atico

´ 3.1. Sea R un subconjunto abierto de R. Una funci´on de DEFINICION Green para el conjunto R es una funci´on G : R × R → R con las siguientes propiedades: i. Se cumple que, GR (x, .) = ux + hx para toda x ∈ R con hx funci´on arm´onica en R. ii. Para toda x ∈ R, G(x, .) ≥ 0 iii. Si para x ∈ R, vx es una funci´on sobrearm´onica no negativa y es la suma de ux y una funci´on s´ uper arm´onica entonces. vx ≥ G(x, .). TEOREMA 3.2. La funci´on de Green G, si existe, es u ´nica en R.

24

Cap´ıtulo 3. Preliminares

25

´ DEFINICION 3.3. Si u es una funci´on suprayectiva y arm´onica en el conjunto abierto R, h una funci´on arm´onica en R y h ≤ u en R, entonces h es llamada un minorante arm´onico de u (mayorante arm´onico de u si h ≥ u). La funci´on h se llama mayor minorante arm´onico de u si es un arm´onico minorante y h ≥ v para cualquier v arm´onico minorante (si h es un mayorante arm´onico y h ≤ v para cualquier v arm´onico mayorante). Necesitaremos tambi´en el siguiente resultado. TEOREMA 3.4. (Teorema de descomposici´ on de Riesz). Sea R un n subconjunto en R abierto con funci´on de Green G y u una funci´on s´ uper arm´onica sobre R. Entonces existe una u ´nica medida µ en R tal que si W es un subconjunto de R abierto con cerradura compacta en R entonces Z u(x) = G(x, y)dµ(y) + hw (x), W

donde hw es el mayor de los minorantes arm´onicos de u en W Es bien conocido que si, γ : [a, b] → C es una curva suave, f : R ⊆ C → C es una funci´on anal´ıtica definida en el conjunto abierto R y γ ⊂ R, entonces se tiene que Z f 0 (z) dz = f (γ(1)) − f (γ(0)). γ

esto implica que tal integral depende apenas de los puntos extremos de una curva que los une y no de la curva misma. Un resultado m´as general y que ocuparemos es el siguiente, el cual nos garantiza la existencia de antiderivadas complejas en un dominio simplemete conexo. TEOREMA 3.5. (Independencia de las integrales respecto a la trayectoria). Supongamos que f es una funci´on continua definida en un conjunto abierto simplemente conexo R. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: i. Las integrales son independientes de la trayectoria: si z0 y z1 son dos puntos distintos cualesquiera en R y γ0 y γ1 son trayectorias en R de z0 a z1 entonces, Z Z f (z) dz = γ0

f (z) dz. γ1

Cap´ıtulo 3. Preliminares

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ii. Las integrales a lo largo de curvas cerradas son iguales a 0: Si Γ es una curva cerrada contenida en R, entonces, Z f (z) dz = 0. Γ

iii. Existe una antiderivada global de f en R. Esto es, existe una funci´on F definida y anal´ıtica en todo R tal que F 0 (z) = f (z) para toda z en R. TEOREMA 3.6. Sea h una funci´on de valores reales con segundas derivadas continuas en una vecindad de radio r del origen, Vr (0) y h ∈ CV2r (0) . La funci´on Z y1 ∂h ∂h ∗ h (x1 , y1 ) = c + (x1 , y) dy + (x, y0 ) dx ∂y y0 ∂x define una funcion arm´onica para h en B(0). ´ 3.7. Problema de Dirichlet. Sea Ω ⊂ R2 un conjunto DEFINICION abierto y f : ∂Ω → R. El problema de Dirichlet consiste en encontrar una funci´on continua u : Ω → R, tal que satisface. i. u es continua en Ω. ii. u es arm´onica en Ω. iii. u = f en ∂Ω (condiciones de frontera). TEOREMA 3.8. (Desigualdad de H¨ older). Sean, µ una medida en R, f y g funciones positivas en R µ-integrables en el sentido de Lebesgue y sean p y q dos n´ umeros que satisfacen p1 + 1q = 1. En tal caso se satisface la siguiente desigualdad, µZ

Z

p

f g dµ ≤ R

f dµ R

¶ p1 µZ

q

g dµ R

¶ 1q

.

Cap´ıtulo 3. Preliminares

3.2

27

Elementos de la Geometr´ıa Diferencial

Mencionamos algunos elementos de la Geometr´ıa Diferencial necesarios para nuestros prop´ositos. Sea γ(t) = (u(t), v(t)) una curva sobre una superficie M ⊂ R3 parametrizada por r : D ⊆ R2 → R3 , r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) La longitud de tal curva se define como Z bp L= x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt a

donde, x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 = E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2 = gij x˙ i x˙ j y donde se ha escrito E = g11 , F = g12 = g21 , G = g22 , u = x1 , v = x2 siendo gij = hrxi , rxj i la m´etrica de M . ´ 3.9. Llamaremos primera forma fundamental o m´etrica rieDEFINICION manniana de la superficie M a la siguiente cantidad gij dxi dxj = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ´ 3.10. Sean, M una superficie en R3 con parametrizaci´on DEFINICION r = r(u, v) y U un subconjunto de M . Definimos el ´area de U de la siguiente manera: Z Z √ σ(U ) = g dudv U

con g = det(gij ) = g11 g22 − (g12 )2 = EG − F 2 . La forma m´as simple de estudiar a una superficie en R3 es mediante las coordenadas conformes. El siguiente resultado debido a Bers y Beltrami (v´ease [11]) nos asegura que siempre es posible conseguir este tipo de coordenadas para toda superficie suave. TEOREMA 3.11. (Bers-Beltrami) Sean E, F , G funciones anal´ıticas de las variables reales (p, q). Se pueden definir entonces en la superficie nuevas

Cap´ıtulo 3. Preliminares

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coordenadas locales (reales) u y v en las cuales la m´etrica ds2 se expresa en la forma conforme ds2 = f (u, v)(du2 + dv 2 )

Debido a este teorema, si λ1 y λ2 son las curvaturas principales de M , podemos reescribir la curvatura de Gauss K(u, v) = λ1 λ2 de la superficie de la siguiente manera. TEOREMA 3.12. La curvatura de Gauss K de una superficie en R3 con m´etrica conforme tiene por expresi´ on, K(u, v) = −

1 ∆ ln f (u, v), 2f (u, v)

donde ∆= es el operador de Laplace.

∂2 ∂2 + ∂u2 ∂v 2

Cap´ıtulo 4 Demostraci´ on del Teorema principal Para demostrar el Teorema principal 1.3, requeriremos demostrar una desigualdad muy importante. TEOREMA 4.1. Sean, V1 (0) = {z ∈ C; |z| ≤ 1} ⊂ C con z = x + iy = reiθ y U : V1 (0) → R la diferencia de dos funciones subarm´ onicas U1 , U2 : V1 (0) → R. Esto es, U (z) = U1 (z) − U2 (z). Entonces se sumple la desigualdad µZ

2π

¶2 U (eiθ )

e

dθ

Z Z e2U (x,y) dx dy

≥ 4π(1 − α) |z|