Capítulo 11

SÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA

11.1.1 – 11.1.3

En este capítulo, los alumnos analizarán las figuras tridimensionales, que se conocen como sólidos. Revisarán cómo calcular el área de superficie y el volumen de prismas y cilindros, incluyendo sólidos que estás inclinados o son oblicuos. También continuarán estudiando las semejanzas al analizar objetos tridimensionales semejantes, y aprenderán a usar el factor de escala lineal para calcular la razón de los volúmenes de sólidos semejantes. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 11.1.3.

Ejemplo 1 Un cubo tiene aristas de 20 cm. ¿Cuáles son su área de superficie y su volumen? Para calcular el volumen, multiplica el área de la base por la altura. Ya que la base es un cuadrado, su área es 400 cm2. La altura es 20 cm, por lo que el volumen es (400)(20) = 8000 cm3. Para calcular el área de superficie, suma las áreas de las seis caras. Cada cara es un cuadrado y todas son congruentes. El área de un cuadrado es de 400 cm2, y hay seis cuadrados. Por lo tanto, el área de superficie es 2400 cm2.

20 cm

20 cm 20 cm

Ejemplo 2 Observa las dimensiones del prisma de la derecha. ¿Cuál es el volumen y el área de superficie de este prisma? Un prisma es un tipo especial de sólido que tiene dos bases congruentes y paralelas. El volumen de un prisma se halla multiplicando el área de la base por la altura del prisma. Para comprender este proceso, imagina que un prisma es una pila de cubos. El área de la base te indica la cantidad de cubos que hay en cada capa de la pila. La altura te indica la cantidad de capas de cubos que hay en la figura.

12

8 6

En este ejemplo, la base es un triángulo rectángulo, de modo que el área es 1 bh. La cara superior del prisma puede ser vista como la base. 2 Área de la base = incluye 24 cubos.

1 2

bh =

1 2

8

(6)(8) = 24 unidades2, así que cada capa 6

El ejemplo continúa en la página siguiente → Guía para padres con práctica adicional

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Continuación del ejemplo de la página anterior. Para hallar el volumen, multiplica esta cantidad por la altura, 12. V = (área de la base) ⋅ h = (24)(12) = 288 unidades cúbicas El área de superficie de este prisma se calcula sumando las áreas de las caras, incluyendo las bases. Una forma de ilustrar los subproblemas es hacer dibujos de las superficies. Área de superficie =

?

2

8 6

+

12 6

+

12 8

+

12 ?

62 + 82 = ?2 Todas las superficies son figuras familiares: triángulos y rectángulos. Necesitamos calcular la longitud del rectángulo en la cara posterior (el 36 + 64 = ? 2 último rectángulo en la ecuación pictórica anterior). Afortunadamente, ? 2 = 100 esa longitud también es la hipotenusa del triángulo rectángulo de la base, lo que nos permite usar el Teorema de Pitágoras. ? = 100 = 10 Por lo tanto, el área de superficie es:

A.S. = 2

( 12 ⋅ 6 ⋅ 8 ) + ( 6 ⋅12 ) + ( 8 ⋅12 ) + (10 ⋅12 )

= 48 + 72 + 96 + 120 = 336 unidades cuadradas

Ejemplo 3 Los trozos de poliestireno que se utilizan en las cajas de empaque, conocidos como “relleno de poliestireno”, se venden en cajas de tres tamaños: pequeña, mediana, y grande. La caja pequeña tiene un volumen de 1200 pulgadas cúbicas. Las dimensiones de la caja “mediana” son el doble de las dimensiones de la caja pequeña, y la caja grande tiene el triple de las dimensiones de la caja pequeña. Las tres cajas son prismas semejantes. ¿Cuáles son los volúmenes de las cajas mediana y grande? Dado que las cajas son semejantes, podemos usar la razón de semejanza para determinar el volumen de las cajas mediana y grande sin conocer sus dimensiones reales. Cuando los sólidos son semejantes con una razón de semejanza ba , la razón de las áreas es ( ba )2 y la razón de los volúmenes es ( ba )3 . Como las dimensiones de la caja mediana duplican las de la caja pequeña y las dimensiones de la caja grande triplican las de la caja pequeña, podemos escribir: caja mediana caja pequeña

=

2 1

volumen de la caja mediana volumen de la caja pequeña

=

( 21 )3

x 1200

=

8 1

caja grande caja pequeña

=

3 1

volumen de la caja grande volumen de la caja pequeña

=

( 13 )3

y 1200

=

27 1

El volumen de la caja pequeña es x = 8 ⋅ 1200 o 9600 pulgadas cúbicas, y el volumen de la caja grande es y = 27 ⋅ 1200 o 32,400 pulgadas cúbicas. © 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

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Capítulo 11

Problemas Calcula el volumen de cada sólido. 15 cm

1.

2.

3. 10 cm

3m 4m

4m

5. 2 plg

6. 12.1 m

5m

6.3 m

7.

8.

2 pies

2m

9. 11 cm

9 pies

25 pies

40 pies

12 cm

4. 3.5 plg

36 pies

36 pies

8 cm

11 cm 4 pies

4 cm

Calcula el área de superficie total de los sólidos del problema anterior. 10.

Problema 1

11.

Problema 2

12.

Problema 3

13.

Problema 4

14.

Problema 5

15.

Problema 6

16.

Problema 7

17.

Problema 8

18.

¿Cuál es el volumen y el área de superficie del sólido de abajo?

19.

Calcula el volumen del sólido restante tras realizarle un agujero de 4 mm de diámetro.

9 pies

14 pies 18 pies

15 mm

35 pies 10 mm

20.

8 mm

En la tienda Cakes R Us, es posible comprar pasteles redondos de diferentes tamaños. El pastel más pequeño tiene un diámetro de 8 pulgadas y una altura de 4 pulgadas, y requiere de 3 tazas de masa. Un pastel redondo semejante tiene un diámetro de 13 pulgadas. ¿Cuánta masa requerirá este pastel?

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21.

Dos prismas rectangulares son semejantes. El más pequeño, A, tiene una altura de 4 unidades mientras que el más grande, B, tiene una altura de 6 unidades. a. ¿Cuál es el factor de escala del prisma A al prisma B? 4

b. ¿Cuál es la razón de las longitudes de las aristas x e y?

A x

6

B y

c. ¿Cuál es la razón de sus áreas de superficies? ¿Cuál es la razón de sus volúmenes? d. Un tercer prisma C es semejante a los prismas A y B. La altura del prisma C es de 10 unidades. Si el volumen del prisma A es de 24 unidades cúbicas, ¿cuál es el volumen del prisma C? 22.

El prisma A y el prisma B son semejantes con una razón de semejanza de 2:3. Si el volumen del prisma A es de 36 unidades cúbicas, ¿cuál es el volumen del prisma B?

23.

Si el rectángulo A y el rectángulo B tienen una razón de semejanza de 5:4, ¿cuál es el área del rectángulo B si el área del rectángulo A es de 24 unidades cuadradas?

24.

El rectángulo A es semejante al rectángulo B. El área del rectángulo A es de 81 unidades cuadradas mientras que el área del rectángulo B es de 49 unidades cuadradas. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los dos rectángulos?

25.

Si el prisma A y el prisma B tienen una razón de semejanza de 1:4, ¿cuál es el volumen del prisma B si el volumen del prisma A es de 83 unidades cúbicas?

26.

El prisma A y el prisma B son semejantes. El volumen del prisma A es de 72 unidades cúbicas mientras que el volumen del prisma B es de 1125 unidades cúbicas. ¿Cuál es la razón de semejanza entre estos dos prismas?

27.

El prisma A y el prisma B son semejantes. El volumen del prisma A es de 27 unidades cúbicas mientras que el volumen del prisma B es de, aproximadamente, 512 unidades cúbicas. Si el área de superficie del prisma B es de 128 unidades cuadradas, ¿cuál es el área de superficie del prisma A?

28.

Las diagonales correspondientes de dos trapecios semejantes tienen una razón de 1:7. ¿Cuál es la razón de sus áreas?

29.

La razón de los perímetros de dos paralelogramos semejantes es 3:7. ¿Cuál es la razón de sus áreas?

30.

Las áreas de dos círculos tienen una razón de 25:16. ¿Cuál es la razón de sus radios?

31.

La razón de los volúmenes de dos cilindros circulares semejantes es 27:64. ¿Cuál es la razón de los diámetros de sus bases semejantes?

32.

Las áreas de superficie de dos cubos tienen una razón de 49:81. ¿Cuál es la razón de sus volúmenes?

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Capítulo 11

Respuestas 1.

48 m3

2.

540 cm3

3.

≈ 14967 pies3

4.

≈ 77.0 plg3

5.

≈ 1508.7 m3

6.

≈ 157 m3

7.

72 pies3

8.

≈ 1045 cm3

9.

≈ 332.6 cm3

10.

80 m2

11.

468 cm2

12.

≈ 3997 pies2

13.

≈ 121.0 plg2

14.

≈728.3 m2

15.

≈ 220 m2

16.

124 pies2

17.

≈ 570 cm2

18.

7245 pies3, ≈ 2395 pies2

19.

≈ 1012 mm3

20.

≈ 13 tazas

21.

a.

4 6

c.

16 36

=

2 3

b.

64 = = 49 ,  216

8 27

d.

x y

=

4 6

=

2 3

375 unidades cúbicas

22.

121.5 unidades3

23.

15.36 unidades2

24.

9 7

25.

26.

2 5

27.

≈ 18 unidades2

28.

1 49

29.

30.

5 4

31.

32.

343 729

3 4

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5312 unidades3 9 49

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PIRÁMIDES, CONOS, Y ESFERAS

11.2.1 – 11.2.3

Los alumnos ya han trabajado con sólidos y han calculado el volumen y el área de superficie de prismas y cilindros, e investigaron las relaciones entre los volúmenes de sólidos semejantes. Ahora, estas nuevas habilidades se extenderán para calcular los volúmenes y las áreas de superficie de pirámides, conos, y esferas. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 11.2.2, 11.2.3, y 12.1.1.

Ejemplo 1 La base de la pirámide de la derecha es un hexágono regular. Usando las medidas incluidas, calcula el área de superficie y el volumen de la pirámide. 14" El volumen de cualquier pirámide es V = 13 (área de la base)(altura). Calculamos el área de superficie del mismo modo que lo hacemos en el caso de todos los sólidos: hallamos el área de cada cara y de la base, y luego las sumamos. Las caras laterales de la pirámide son triángulos congruentes. La base es un hexágono regular. Como necesitamos el área del hexágono tanto para el volumen como para el área de superficie, la calcularemos en primer lugar. Hay varios modos de calcular el área de un hexágono regular. Uno de ellos es cortar el hexágono en seis triángulos equiláteros congruentes, cada uno con un lado de 8". Si podemos calcular el área de un triángulo, luego podemos multiplicar por 6 para hallar el área del hexágono. Primero necesitamos hallar el valor de h, la altura del triángulo. Observa que la altura corta el triángulo equilátero en dos triángulos congruentes de 30°-60°-90°. Para hallar h, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras o el patrón para un triángulo 30°-60°-90°. Con cualquiera de los dos métodos, hallamos que h = 4 3 " . Por lo tanto, a la derecha se muestra el área de un triángulo equilátero.

8

8

h 4

A = 12 bh

4

(

= 12 ⋅ ( 8 ) ⋅ 4 3

)

= 16 3 ≈ 27.71 plg 2

El área del hexágono es 6 ⋅ 16 3 = 96 3 ≈ 166.28 plg2. Luego, calcula el volumen de la pirámide usando la fórmula que se incluye a la derecha.

8"

V = 13 (área de la base)(altura)

(

)

= 13 ⋅ 96 3 ⋅ (14 ) = 448 3 ≈ 776 plg 3

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Capítulo 11

Guía para padres con práctica adicional

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Luego, debemos hallar el área de una de las caras triangulares. Estos triángulos están inclinados, y la altura de uno de ellos se denomina altura de inclinación. El problema no nos da el valor de la altura de inclinación (denominada c a la derecha), pero podemos calcularla sobre la base de la información que ya tenemos.

c

a

b

Una sección transversal de la pirámide de la derecha muestra un ángulo recto en su interior. Un cateto se denomina a; otro, b; y la hipotenusa, c. El dibujo original nos informa que a = 14". Antes ya habíamos hallado la longitud de b: es la altura de uno de los triángulos equiláteros de la base hexagonal. Por consiguiente, b = 4 3 " . Para calcular c, usamos el Teorema de Pitágoras. La base de uno de los triángulos inclinados es de 8", la longitud del lado del hexágono. Por lo tanto, el área de un triángulo inclinado es 8 61 ≈ 62.48 plg2, como se muestra a la derecha.

a2 + b2 = c2 14 2 + (4 3)2 = c 2 196 + 48 = c 2 c 2 = 244 c = 244 = 2 61 ≈ 15.62 "

Como hay seis de estos triángulos, el área de las caras laterales es 6(8 61 ) = 48 61 ≈ 374.89 plg2.

A = 12 ⋅b ⋅ h

(

= 12 ⋅ ( 8 ) ⋅ 2 61

)

= 8 61 ≈ 62.48 plg 2

Ahora halla el área de superficie total: 96 3 + 48 61 ≈ 541.17 plg2.

Ejemplo 2 El cono de la derecha tiene las medidas que se incluyen en la figura. ¿Cuáles son el área de la superficie lateral y el volumen del cono? V = 13 (área de la base)(altura)

El volumen de un cono es igual al volumen de una pirámide: V = 13 (área de la base)(altura). La única diferencia es que la base es un círculo.

(π r2 ) h = 13 ( π ⋅ 4 2 ) ⋅11 =

1 3

11 cm

4 cm

= 13 ⋅ (176π ) = 1763 π

l

≈ 184.3 cm 3

Calcular el área de la superficie lateral de un cono es una cuestión diferente. Si pensamos en un cono como en un sombrero de cumpleaños para niños, podemos imaginar cortarlo y abrirlo para que quede plano. Si lo hiciéramos, hallaríamos que el cono es, en realidad, un sector de un círculo: no del círculo que forma la base del cono, sino un círculo cuyo radio es la altura de inclinación del cono, etiquetada como l a la derecha. © 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

4 cm

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Capítulo 11

Usando razones, podemos obtener la fórmula para el área de la superficie lateral del cono, AS = π rl, donde r es el radio de la base y l es la altura de inclinación. En este problema, tenemos r, pero no tenemos l. Hállala tomando una sección transversal del cono para crear un triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo son de 11 cm y de 4 cm, y l es la hipotenusa. Usando el Teorema de Pitágoras, podemos calcular l ≈ 11.7 cm, como se muestra abajo a la derecha. Ahora, podemos calcular el área de la superficie lateral: AS = π(4)(11.7) ≈ 147.1 cm2

11 cm

l

4 cm

4 2 + 112 = l 2 l

11

16 + 121 = l 2 l 2 = 137 l = 137 ≈ 11.7 cm

4

Ejemplo 3 La esfera de la derecha tiene un radio de 6 pies. Calcula el área de superficie y el volumen de la esfera. Como las esferas están relacionadas con los círculos, deberíamos esperar que las fórmulas para el área de superficie y el volumen incluyan π. El área de superficie de una esfera con radio r es 4πr2. Debido a que sabemos que el radio de la esfera es 6, AS = 4π(6)2 = 144π ≈ 452.39 pies2. Para hallar el volumen de la esfera, usamos la fórmula V = 43 πr3. Por lo tanto, π = 288π ≈ 904.78 pies3. V = 43 π(6)3 = 4⋅216⋅ 3

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6'

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Problemas 1.

La figura de la derecha es una pirámide con base cuadrada. Calcula su área de superficie y su volumen.

9 cm 7 cm

2.

Otra pirámide, congruente con la del problema anterior, está pegada a la parte inferior de la primera pirámide, de modo que sus bases coinciden. Calcula el área de superficie y el volumen del nuevo sólido.

3.

Un pentágono regular tiene una longitud de lado de 10 pulgadas. Calcula el área del pentágono.

4.

El pentágono del problema anterior es la base de una pirámide recta con una altura de 18 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie y el volumen de la pirámide?

5.

¿Cuál es el área de superficie total y el volumen del cono de la derecha?

5 pies 12 pies

6.

Un cono entra perfectamente dentro de un cilindro, tal como se muestra. Si el volumen del cilindro es de 81π unidades cúbicas, ¿cuál es el volumen del cono?

7.

Una esfera tiene un radio de 12 cm. ¿Cuáles son el área de superficie y el volumen de la esfera?

Calcula el volumen de cada sólido. 8.

9.

8 plg

5 plg

10.

13 plg

11 cm

10 plg 12 plg 8 cm

11.

1.0 m

2.6 m

10 plg

12.

13.

11 m

16 plg 16 plg

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18 plg

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Capítulo 11

14.

15.

6.1 cm 6.2 cm

8.3 cm

16.

5 cm

2 cm

7 plg

8 plg

8 plg

Calcula el área total de la superficie de las figuras de los problemas de volumen anteriores. 17.

Problema 8

18.

Problema 9

21.

Problema 12

22.

Problema 16

19.

Problema 10

20.

Problema 11

Utiliza la información dada para calcular el volumen del cono. 23.

radio = 1.5 plg altura = 4 plg

24.

diámetro = 6 cm altura = 5 cm

25.

área de base = 25π altura = 3

26.

circunferencia de base = 12π altura = 10

27.

diámetro = 12 altura de inclinación = 10

28.

área lateral = 12π radio = 1.5

Utiliza la información dada para calcular el área lateral del cono. 29.

radio = 8 plg altura de inclinación = 1.75 plg

30.

altura de inclinación = 10 cm altura = 8 cm

31.

área de base = 25π altura de inclinación = 6

32.

radio = 8 cm altura = 15 cm

33.

volumen = 100π altura = 5

34.

volumen = 36π radio = 3

Utiliza la información dada para calcular el volumen de la esfera. 35.

radio = 10 cm

36.

diámetro = 10 cm

37.

circunferencia del gran círculo = 12π

38.

área de superficie = 256π

39.

circunferencia del gran círculo = 20 cm

40.

área de superficie = 100

Utiliza la información dada para calcular el área de superficie de la esfera. 41.

radio = 5 plg

42.

diámetro = 12 plg

43.

circunferencia del gran círculo = 14

44.

volumen = 250

45.

circunferencia del gran círculo = π

46.

volumen =

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9π 2

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Respuestas 1.

V = 147 cm3, AS ≈ 184 cm2

2.

V = 294 cm3, AS ≈ 270 cm2

3.

A ≈ 172 plg2

4.

V ≈ 1032 plg3, AS ≈ 654 plg2

5.

V ≈ 314 pies3, AS = 90π ≈ 283 pies2

6.

27π unidades cúbicas

7.

AS = 576π ≈ 1090 cm2, V = 2304π ≈ 7238 cm3

8.

320 plg3

9.

100 π ≈ 314.2 plg3

10.

≈ 610 cm3

11.

≈ 2.5 m3

12.

512 plg3

13.

≈ 514 m3

14.

≈ 52.3 cm3

15.

20 π 3

16.

≈ 149 plg3

17.

≈ 229 plg2

18.

90π ≈ 283 plg2

19.

≈ 478 cm2

20.

3.6π ≈ 11.3 m2

21.

576 plg2

22.

193.0 plg2

23.

3π ≈ 9.4 plg3

24.

15π ≈ 47 cm3

25.

25π ≈ 79 unidades3

26.

120π ≈ 377 unidades3

27.

96π ≈ 302 unidades3

28.

≈ 18.5 unidades3

29.

14π ≈ 43.98 plg2

30.

60π ≈ 189 cm2

31.

30π ≈ 94 unidades2

32.

136π ≈ 427 cm2

33.

≈ 224 unidades2

34.

117 unidades2

37.

288π ≈ 905 unidades3

≈ 21 cm3

35.

4000π 3

≈ 4189 cm 3

36.

38.

2048π 3

≈ 2145 unidades3

39.

≈ 135. cm3

40.

≈ 94 unidades3

500π 3

≈ 524 cm 3

41.

100π ≈ 314 plg2

42.

144π ≈ 452 plg2

43.

≈ 62 unidades2

44.

≈ 192 unidades2

45.

π ≈ 3 unidades2

46.

9π ≈ 28 unidades2

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