Solución. Práctica Evaluable 1. Teoría de Juegos. 4 de abril de 2011

Considere el siguiente juego en forma extensiva:

x

(3, 6) L

a

y 2 x

1

b

M

I

(2, 5)

(1, 3) (3, 2)

y a

2 1

(4, 3)

(8, 4)

L b

D

1 a

(5, 7) (3, 4)

M b (6, 5)a (i)

Defina estrategia. Represente el juego en forma normal o estratégica.

(ii)

Defina estrategia (estrictamente) dominada. ¿Qué combinaciones de estrategias sobreviven a la Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas (EIEED)?

(iii)

Defina equilibrio de Nash. Obtenga los equilibrios de Nash.

(iv)

Defina equilibrio perfecto en subjuegos. Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.

(i) Definición de Estrategia.

“Una estrategia de un jugador es una descripción completa de lo que haría en caso de ser llamado a jugar en cada uno de sus nodos de decisión. Hay que especificarlo incluso en aquellos nodos que no fueran alcanzables para él dado el comportamiento actual del otro o de los otros jugadores”. Es un plan de comportamiento o plan de conducta.” (Es una función en la que cada jugador asigna una acción a cada nodo que le corresponde.

1

Una estrategia de un jugador tiene tantas componentes como conjuntos de información tenga el jugador.) Juego en forma normal. 2 Lx

Ly

Mx

My

Iaa

(3, 6)

(3, 6)

(2, 5)

(1, 3)

Iab

(3, 6)

(3, 6)

(2, 5)

(1, 3)

Iba

(3, 6)

(3, 6)

(3, 2)

(8, 4)

Ibb

(3, 6)

(3, 6)

(3, 2)

(8, 4)

Daa

(4, 3)

(4, 3)

(3, 4)

(3, 4)

Dab (5, 7)

(5, 7)

(6, 5)

(6, 5)

Dba (4, 3)

(4, 3)

(3, 4)

(3, 4)

Dbb (5, 7)

(5, 7)

(6, 5)

(6, 5)

1

(ii) Definición: Estrategia (estrictamente) dominada “Decimos que una estrategia está estrictamente dominada para un jugador si existe otra estrategia que conduce a mejores resultados cualesquiera que sean las estrategias seguidas por los demás jugadores”. “ sidd está estrictamente dominada si ∃sid tal que Π i ( sid , s− i ) > Π i ( sidd , s− i ), ∀s− i ∈ S − i ”.

Estrategias estrictamente dominadas: Iaa (por Dab y Dbb); Iab (por Dab y Dbb); Daa (por Dab y Dbb) y Dba (por Dab y Dbb).

2

Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas (EIEED) 2 Lx

Ly

Mx

My

Iaa

(3, 6)

(3, 6)

(2, 5)

(1, 3)

Iab

(3, 6)

(3, 6)

(2, 5)

(1, 3)

Iba

(3, 6)

(3, 6)

(3, 2)

(8, 4)

Ibb

(3, 6)

(3, 6)

(3, 2)

(8, 4)

Daa

(4, 3)

(4, 3)

(3, 4)

(3, 4)

Dab (5, 7)

(5, 7)

(6, 5)

(6, 5)

Dba (4, 3)

(4, 3)

(3, 4)

(3, 4)

Dbb (5, 7)

(5, 7)

(6, 5)

(6, 5)

1

1ª Etapa: Iaa, Iab, Daa y Dba son estrategias estrictamente dominadas. Las eliminamos y computamos el juego reducido. 2ª Etapa: Mx y My son estrategias estrictamente dominadas (por Lx y Ly) del juego reducido. Las eliminamos y computamos el juego reducido. 3ª Etapa: Iba e Ibb son estrategias estrictamente dominadas (por Dab y Dbb) del juego reducido. Las eliminamos y computamos el juego reducido.

Estrategias que sobreviven a la EIEED: (Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb, Ly)

3

(iii) Definición de equilibrio de Nash. “Una combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) constituye un equilibrio de Nash si *

*

*

la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta (o al menos una de ellas) ante las estrategias seguidas por los otros jugadores.” Es decir, s ≡ (s1 , ...,s n ) es un equilibrio *

*

* de Nash si: s *i ∈ MRi (s−i )∀i,i = 1,...,n

{

*

}

donde MRi (s*−i ) = s'i ∈ Si : Πi (si' ,s *−i ) ≥ Π i (si ,s *−i ), ∀si ∈ Si ,si ≠ s'i .

Equilibrios de Nash

(Dab, Lx), (Dab, Ly), (Dbb, Lx) y (Dbb, Ly)

(iv) Definición de equilibrio perfecto en subjuegos. “Una jugada o combinación de estrategias s ≡ (s1 , ...,s n ) , que sea equilibrio de Nash, *

*

*

constituye un equilibrio perfecto en subjuegos si las partes relevantes de las estrategias de equilibrio de cada uno de los jugadores son también de equilibrio para cada uno de los subjuegos.” x

(3, 6) L

a

y 2 x

1

b

M

I

(2, 5)

(1, 3) (3, 2)

y a

2 1

(4, 3)

(8, 4)

L b

D

1 a

(5, 7) (3, 4)

M b (6, 5)a En el juego sólo hay dos subjuegos: el que comienza en el nodo superior del jugador 1 y el que coincide con el propio juego. Consideramos el primero de ellos y exigimos que

4

las partes relevantes de las estrategias de equilibrio sean también de equilibrio en este subjuego. (2, 5)

x a

y

(1, 3)

2 1

x

(3, 2)

b y

(8, 4) En este subjuego la combinación de estrategias (b, y) es el único equilibrio de Nash. Computamos el juego reducido en el que hemos eliminado todos aquellos comportamientos que no son de equilibrio en el subjuego superior y vamos al anterior subjuego que coincide con el propio juego y que comienza en el nodo inicial del jugador 1. (3, 6) L b

y 2

1 M

I

a

2 1

(4, 3)

L b

D

1 a

(5, 7) (3, 4)

M

s1

MR2

s2

MR1

Iba

Ly

Ly

Dbb

Ibb

Ly

My

Iba, Ibb

Dba

My

Dbb

Ly

b (6, 5)a

5

(8, 4)

En el juego reducido la combinación de estrategias (Dbb, Ly) es el único equilibrio de Nash. Por tanto, (Dbb, Ly) es el único EPS.

No EPS: (Dab, Lx), (Dab, Ly) y (Dbb, Lx) ya que las partes relevantes de las estrategias no son de equilibrio en el subjuego superior.

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