Estudiar sus asíntotas y ramas infinitas valorando la posición de la función respecto de ellas. 3x 2 + 2x 1. f (x ) = x−2 Solución. - Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2} 3x 2 + 2x 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 16 = = Asíntota vertical. 2−2 0 x →2 x − 2

x = 2: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 3x 2 + 2x 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 16 = = = −∞ Lím x−2 x →2− 2− − 2 0− Lím

x →2+

-

3x 2 + 2 x 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 16 = = = +∞ x−2 2+ − 2 0+

Horizontales: y = L:   x → −∞ := ∞ 2 3x + 2 x ∞ 3x + 2  = Lím = L = Lím 2  x → ±∞ x − 2 ÷ x x →±∞ x → +∞ := 1−  x  No tiene asíntotas horizontales.

-

3(− ∞ ) + 2 − ∞ = −∞ = 2 1 1− −∞ 3(+ ∞ ) + 2 + ∞ = = +∞ 2 1 1− +∞

Oblicuas: y = mx + n

3x 2 + 2x 2 2 ∞ 3+ 3+ 2 ∞ f (x ) + 3 x 2 x ± ∞ = 3+ 0 = 3 x − 2 = Lím x = = Lím = Lím m = Lím 2 2 2 2 1− 0 x x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ x − 2 x ÷ x x →± ∞ 1− 1− ±∞ x ∞

  3x 2 + 2x ∞ 3x 2 + 2x − 3x ⋅ (x − 2 ) 8x n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím = − 3x  = Lím   x−2 x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x − 2 ÷ x 2  x →± ∞  x−2 8 8 8 = Lím = = =8 2 2 1− 0 x →±∞ 1− 1− x ±∞

Asíntota oblicua: y = 3x + 8 Posición relativa.  3x 2 + 2 x  3x 2 + 2 x − (3x + 8) ⋅ (x − 2) 16 − (3x + 8) = Lím = Lím Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím   x →± ∞ − x 2 x →± ∞ x → ± ∞ x − 2 x →± ∞ x − 2   16 16 • Lím = = 0 − La función se aproxima a la −∞ x → −∞ x − 2 asíntota por debajo. 16 16 Lím = = 0 + La función se aproxima a la • +∞ x → +∞ x − 2 asíntota por encima.

Otra forma:

1

2. f (x ) =

4x − 2 x 2 − 2x

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {0, 2} x = 0: Lím x →0

4x − 2 2

x − 2x

=

4⋅0 − 2

=

2

0 − 2⋅0

−2 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. 4x − 2 4⋅0 − 2 −2 −2 Lím = = = = −∞ − − − x ⋅ (x − 2 ) x →0 0 ⋅ (0 − 2) 0 ⋅ (− 2) 0 + 4x − 2 4⋅0 − 2 −2 −2 = = = = +∞ + + − x →0 x ⋅ (x − 2 ) 0 ⋅ (0 − 2 ) 0 ⋅ (− 2 ) 0 Lím

+

x = 2: Lím

x →2

4x − 2 2

x − 2x

=

4⋅2 − 2 2

2 − 2⋅2

=

6 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 4x − 2 4⋅2 − 2 6 6 = = = −∞ Lím = − − − x ⋅ (x − 2 ) x →2 2⋅ 2 − 2 2⋅0 0−

(

)

4x − 2 4⋅2 − 2 6 6 = = = +∞ = + + x → 2 x ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2⋅0 0+

(

Lím

+

-

)

Horizontales: y = L: 4 2 4 2 − − 2 ± ∞ x x (± ∞ )2 = 0 − 0 = 0 = 0 4x − 2 L = Lím f (x ) = Lím = = Lím 2 2 1− 0 1 x →± ∞ x →± ∞ x 2 − 2 x ÷ x 2 x →± ∞ 1− 1− ±∞ x Asíntota horizontal y = 0. ∞

∞

Posición relativa:

•

•

 4x − 2  4x − 2 4x 4 Lím (f (x ) − L ) = Lím  ≈ Lím = Lím − 0  = Lím 2 2 2 x →± ∞ x → ± ∞ x − 2 x x →± ∞ x  x →± ∞ x − 2x x →± ∞ x 4 4 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por −∞ x →− ∞ x debajo. 4 4 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por +∞ x →+ ∞ x encima.

-

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

3.

f (x ) =

x3 x −1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {1} x3 13 1 = = Asíntota vertical. x →1 x − 1 1 − 1 0

x = 1: Lím

2

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1. x3 13 1 Lím = = = −∞ − − x −1 x →1 1 −1 0− x3 13 1 = = = +∞ + + x −1 x →1 1 −1 0 + Lím

-

Horizontales: y = L: ∞

(± ∞ )2 = + ∞ = +∞ x3 ∞ x2 = Lím = 1 1 1− 0 x →± ∞ x →± ∞ x − 1 ÷ x x →± ∞ 1− 1− ±∞ x La función no tiene asíntotas horizontales L = Lím f (x ) = Lím

-

Oblicuas: y = mx + n

x3 ∞ ∞ f (x ) ±∞ ±∞ x3 x − x 1 = Lím = Lím = Lím = = =±∞ m = Lím 1 1 1− 0 x →± ∞ x x →± ∞ x x →± ∞ x 2 − x ÷ x 2 x →± ∞ 1− 1− ±∞ x La función no tiene asíntota oblicua

4.

f (x ) =

x 2 −1 x

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {0} x 2 −1 02 −1 1 = = Asíntota vertical. x 0 0 x →0

x = 0: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. x 2 −1 0 2 −1 −1 = = = +∞ Lím x x →0 − 0− 0− Lím

x →0 +

-

x 2 −1 0 2 −1 −1 = = = −∞ x 0+ 0+

Horizontales: y = L: 1 1 ∞ ±∞− x− x 2 −1 ∞ ± ∞ = ± ∞ − 0 = ±∞ x = Lím = L = Lím x ÷ x x →± ∞ 1 1 1 x →± ∞ La función no tiene asíntotas horizontales

-

Oblicuas: y = mx + n

1 1 x 2 −1 1− ∞ − 1 2 (± ∞)2 = 1 + 0 = 1 f (x ) x2 = x = Lím x − 1 =∞ Lím = Lím m = Lím 1 1 1 x x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ x 2 ÷x 2 x →± ∞  x 2 −1  x 2 −1− x ⋅ x −1 −1 n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  − 1 ⋅ x  = Lím = Lím = =0  x →± ∞ x ± ∞ x →± ∞ x → ± ∞ x x →± ∞ x  

3

Asíntota oblicua: y = x

Posición relativa.

•

•

  x 2 −1 x 2 −1− x ⋅ x −1 Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  = Lím − x  = Lím   x x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x  x →± ∞  x −1 −1 Lím = = 0 + La función se aproxima a la asíntota por −∞ x → −∞ x encima. −1 −1 = 0 − La función se aproxima a la asíntota por Lím = +∞ x → +∞ x debajo.

Otra forma:

5.

f (x ) =

x 2 +1 x −3

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {3} x 2 + 1 3 2 + 1 10 = = Asíntota vertical. 0 0 x →3 x − 3

x = 3: Lím

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 3. x 2 + 1 3 2 + 1 10 = = = −∞ Lím x → 3− x − 3 3− − 3 0 − Lím

x → 3+

-

x 2 + 1 3 2 + 1 10 = = = +∞ x − 3 3+ − 3 0 +

Horizontales: y = L: 1 1 ∞ x+ ±∞+ x 2 +1 ∞ x ± ∞ = ± ∞ + 0 = ±∞ L = Lím f (x ) = Lím = Lím = 3 3 1− 0 x →± ∞ x →± ∞ x − 3 ÷x x →± ∞ 1− 1− ±∞ x La función no tiene asíntotas horizontales

-

Oblicuas: y = mx + n

1 1 x 2 +1 1+ ∞ 1+ 2 2 ∞ (± ∞)2 = 1 + 0 = 1 x +1 f (x ) x = = Lím m = Lím = Lím x − 3 = Lím 3 3 x 1− 0 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ x 2 − 3x ÷x 2 x →± ∞ 1− 1− x ±∞ ∞

  x 2 +1 x 2 + 1 − x ⋅ (x − 3) 3x + 1 ∞ n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím − 1 ⋅ x  = Lím =  x →± ∞ x −3 x →± ∞ x → ± ∞ x − 3 x →± ∞ x − 3 ÷ x   1 1 3+ 3+ x ± ∞ = 3+ 0 = 3 = Lím = 3 3 1− 0 x →± ∞ 1− 1− x ±∞

Asíntota oblicua: y = x + 3

4

Posición relativa.  x 2 +1  x 2 − 1 − (x − 3) ⋅ (x + 3) 8 Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  − (x + 3) = Lím = Lím  x →± ∞ x −3 x →± ∞ x → ± ∞ x − 3 x →± ∞ x − 3   8 8 Lím = = 0 − La función se aproxima a la • −∞ −3 x → −∞ x − 3 asíntota por debajo. 8 8 Lím = = 0 + La función se aproxima a la • +∞ −3 x → +∞ x − 3 asíntota por encima.

Otra forma:

6. f (x ) =

2x 2 + 3 x 2 +1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: L = Lím f (x ) = Lím x →± ∞

2

2x + 3

x →± ∞

2

x +1

∞

2+

∞

= Lím

÷ x 2 x →± ∞

1+

3 x2 = 2 x2

2+ 1+

3

(± ∞ )2 2

(± ∞ )2

=

2+0 =2 1+ 0

Asíntota horizontal y = 2.

Posición relativa.

• •

-

(

)

  2x 2 + 3 2x 2 + 3 − 2 ⋅ x 2 + 1 1 Lím (f (x ) − L ) = Lím  ≈ Lím − 2  = Lím 2 2 2   x →± ∞ x →± ∞ x + 1 x →± ∞ x + 1 x +1  x →± ∞  1 1 1 Lím = = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. 2 2 x → − ∞ x + 1 (− ∞ ) + 1 + ∞ Lím

x →+ ∞

1 2

x +1

=

1

(+ ∞ )

2

+1

=

1 = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

5

7.

f (x ) =

4x 2

x −4

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {± 2} x = −2: Lím

x → −2

4x

4 ⋅ (−2 )

=

2

x −4

(− 2)

2

−4

=

−8 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 0. 4 ⋅ (−2) 4x −8 −8 Lím = = = = −∞ − − − (x + 2 ) ⋅ (x − 2 ) x → −2 − 2 + 2 ⋅ (− 2 − 2) 0 ⋅ (− 4) 0 +

(

Lím

x → −2

+

4x

=

(x + 2)⋅ (x − 2) x = 2: Lím

x →2

)

(− 2

4x

4 ⋅ (−2)

+

=

2

x −4

)

+ 2 ⋅ (− 2 − 2 ) 4⋅2 2

2 −4

=

−8

=

0 ⋅ (− 4) +

=

−8 0−

= +∞

8 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 4x 4⋅2 8 8 Lím = = = = −∞ − − − (x + 2 ) ⋅ (x − 2 ) x →2 (2 + 2) ⋅ 2 − 2 4 ⋅ 0 0 −

(

Lím

x →2

-

+

4x

)

4⋅2

(x + 2)⋅ (x − 2) (2 + 2) ⋅ (2 + − 2) =

=

8 4⋅0

+

=

8 0+

= +∞

Horizontales: y = L: L = Lím f (x ) = Lím x →± ∞

x →± ∞

4x 2

x −4

∞

4 x

∞

= Lím

÷x 2 x →± ∞

1−

4 x2

= 1−

4 ±∞ 4

(± ∞ )2

=

0 0 = =0 1− 0 1

Asíntota horizontal y = 0.

Posición relativa.

• • -

 4x  4x 4x 4 Lím (f (x ) − L ) = Lím  ≈ Lím = Lím − 0  = Lím 2 2 2 x →± ∞ x → ± ∞ x − 4 x →± ∞ x  x →± ∞ x − 4 x →± ∞ x 4 4 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. − ∞ x x →− ∞ 4 4 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞ x →+ ∞ x

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

6

8.

f (x ) =

x2 −5 2x − 4

Solución. Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2}

-

x 2 − 5 22 − 5 −1 = = Asíntota vertical. 2⋅2 − 4 0 x →3 2 x − 4 Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. −1 −1 x2 −5 22 − 5 = = = = +∞ Lím − − − 2 ⋅ (x − 2 ) x →2 2⋅ 2 − 2 2⋅0 0−

x = 2: Lím

(

2

)

2

−1 x −5 2 −5 −1 = = = = −∞ + + x → 2 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2⋅0 0+ Lím

+

-

(

)

Horizontales: y = L: 5 5 ∞ x− ±∞− x2 −5 ∞ x = ± ∞ = ± ∞ − 0 = ±∞ L = Lím f (x ) = Lím = Lím 4 4 2−0 x →± ∞ x →± ∞ 2 x − 4 ÷ x x →± ∞ 2− 2− x ±∞ La función no tiene asíntotas horizontales

-

Oblicuas: y = mx + n

5 5 x2 −5 1− ∞ 1− 2 (± ∞)2 = 1 + 0 = 1 f (x ) x −5 ∞ x2 = m = Lím = Lím 2x − 4 = Lím = Lím 4 4 x 2−0 2 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ 2x 2 − 4x ÷x 2 x →± ∞ 3− 2− x ±∞ ∞

 x2 −5 1  x 2 + 5 − x ⋅ (x − 2 ) 2x + 5 ∞ n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím − ⋅ x  = Lím =   2 ⋅ (x − 2 ) x →± ∞ x →± ∞ 2 x − 4 2 x → ± ∞ 2 ⋅ (x − 2 ) ÷ x  x →± ∞  5 5 2+ 2+ ± ∞ = 2+0 = 2 =1 x = = Lím x →± ∞ 2  2 ⋅ (1 − 0) 2  2  2 ⋅ 1 −  2 ⋅ 1 −  ± ∞  x 

Asíntota oblicua: y =

1 x+1 2

Posición relativa.  x2 −5  1  x2 −5 x + 2   −  x + 1  = Lím  − = Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím     2  x →± ∞ x →± ∞ 2x − 4  2   x →± ∞ 2 ⋅ (x − 2)  x 2 − 5 − (x + 2) ⋅ (x − 2 ) −1 = Lím 2 ⋅ (x − 2) x →± ∞ x →± ∞ 2 ⋅ (x − 2 ) −1 −1 −1 Lím = = = 0 + La función se aproxima x → −∞ 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ (− ∞ − 2 ) − ∞ a la asíntota por encima. −1 −1 −1 Lím = = = 0 − La función se aproxima a la ∞ x → +∞ 2 ⋅ (x − 2 ) 2 ⋅ (∞ − 2 ) asíntota por debajo. = Lím

•

•

Otra forma:

7

9. f (x ) =

x2 x2 + x

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {0, − 1} x2

x = −1: Lím

x → −1 x 2

=

+x

(− 1)2 = 1 (− 1)2 + (− 1) 0

Asíntota vertical.

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. Lím

(− 1)2 = 1 = 1 = +∞ x2 = x ⋅ (x + 1) − 1 ⋅ − 1− + 1 − 1 ⋅ 0 − 0 +

Lím

(− 1) x 1 1 = = = = −∞ + + x ⋅ (x + 1) − 1 ⋅ − 1 + 1 − 1 ⋅ 0 0−

x → −1−

(

2

+

x → −1

(

0

)

x2 x 0 = Lím = =0 x →0 x 2 + x Factorizar x →0 x ⋅ (x + 1) x →0 x + 1 0 + 1

x = 0: Lím

x2

)

2

0

=

Lím

En x = 0, la función presenta una discontinuidad evitable. No hay asíntota vertical. -

Horizontales: y = L: L = Lím f (x ) = Lím x →± ∞

x →± ∞

x2 2

x +x

∞

∞

= Lím

÷ x 2 x →± ∞

1 1 1+ x

=

1 1 1+ ±∞

=

1 =1 1± 0

Asíntota horizontal y = 1.

Posición relativa.

• • -

 x2  −x −1 −x − 1 = Lím ≈ Lím = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím   x →± ∞ x 2 + x x →± ∞ x 2 x →± ∞ x x →± ∞ x → ± ∞ x 2 + x   −1 −1 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. −∞ x →− ∞ x −1 −1 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. +∞ x →+ ∞ x

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

8

10. f (x ) =

(x + 1)2 x 2 +1

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: L = Lím

x →± ∞

(x + 1)

2

2

x +1

= Lím

∞

2

x + 2x + 1 2

∞

= Lím

÷ x 2 x →± ∞

x +1

x →± ∞

2 1 2 1 1+ + + ± ∞ (± ∞ )2 1 + 0 + 0 x x2 = =1 = 1 1 1+ 0 1+ 1+ x2 (± ∞ )2

1+

Asíntota horizontal y = 2.

Posición relativa.

• •

-

(

)

 2x 2 + 1  2x 2 + 1 − 2 ⋅ x 2 + 1 −1 − 2  = Lím Lím (f (x ) − L ) = Lím  ≈ Lím 2 2 2   x →± ∞ x →± ∞ x + 1 x →± ∞ x + 1 x +1   x →± ∞ −1 −1 −1 = = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. Lím 2 2 x → − ∞ x + 1 (− ∞ ) + 1 + ∞ Lím

−1

=

−1

=

−1 = 0 − : La función se +∞

x + 1 (+ ∞ ) + 1 aproxima a la asíntota por debajo. x →+ ∞

2

2

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

11. f (x ) =

3x − 1

(x − 2)2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {2} x = 2: Lím

x →2

3x − 1

(x − 2)

3⋅ 2 −1

=

2

(2 − 2)

2

=

5 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. 3x − 1 3⋅ 2 −1 5 5 = = = = +∞ Lím 2 2 2 − x → 2 (x − 2 ) 0+ 2− − 2 0−

(

Lím

x →2

-

+

3x − 1

(x − 2)

2

=

) ( )

3⋅ 2 −1

(2

+

−2

=

5

) (0 ) 2

+ 2

=

5 0+

= +∞

Horizontales: y = L:

3 1 3 1 − − ± ∞ (± ∞ )2 ∞ x x2 3x − 1 3x − 1 0−0 L = Lím = =0 = Lím = Lím = 2 2 2 4 4 4 4 1− 0 + 0 x → ± ∞ (x − 2 ) x →± ∞ x − 4x + 4 ÷x x →± ∞ 1− + 1− + x x2 ± ∞ (± ∞ )2 ∞

Asíntota horizontal y = 0.

9

Posición relativa.

• • -

 3x − 1  3x − 1 3x 3 Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 0  = Lím ≈ Lím = Lím  x → ± ∞ x 2 − 4 x + 4 x →± ∞ x 2 x →± ∞ x x →± ∞ x →± ∞ (x − 2 )2   3 3 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. −∞ x →− ∞ x 3 3 Lím = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. +∞ x →+ ∞ x Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

12. f (x ) = x 2 + 1 − x Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: L = Lím  x 2 + 1 − x  = x → − ∞ 

(− ∞ )2 + 1 − (− ∞ ) = ∞ + ∞ = ∞

Hacia −∞ la función no tiene asíntota horizontal.

∞ −∞ = L = Lím  x 2 + 1 − x  Lím x → +∞  Conjugado x →+∞

= Lím

x →+∞

x 2 +1− x 2 x 2 +1 + x

 x 2 +1 − x  ⋅ x 2 +1 + x         

= Lím

x →+∞

x 2 +1 + x

=

= Lím

x → +∞

x 2 +1 + x 1

2

 x 2 +1 − x 2    

1 ∞ 2 −1 + ∞

=

x 2 +1 + x

=

1 =0 ∞

Hacia ∞ la función tiene asíntota horizontal y = 0.

-

Oblicuas. y = mx + n: Por tener asíntotas horizontales hacia + ∞, la función no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia −∞ hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua. ∞

f (x ) x +1 − x ∞ = Lím = Lím x x → −∞ x x →−∞ ÷ x x →−∞

m = Lím

2

El problema de este límite está en la expresión

x 2 +1 −1 x 1

∞ x2 +1 , cuando x tiende a −∞ queda , x −∞

siendo ambos infinitos de igual grado y de distinto signo, por lo tanto Lím

x → −∞

10

x2 +1 x

= −1

m = Lím

x →−∞

x 2 +1 −1 −1 −1 x = = −2 1 1

Otra forma de resolver el límite es dividir por –x (x→−∞) en vez dividir por x. ∞

2

x 2 +1 x − −x − x = Lím x x →−∞ −x

∞

x +1 − x = Lím x ÷ x x → −∞ x → −∞

m = Lím

1+ = Lím

x →−∞

1 2

x −1

1+

+1 =

1

(− ∞ )2

+1

−1

=

x 2 +1

(− x )

2

x2

+1 = Lím

−1

x

+

2

1

x2 −1

x → −∞

+1 =

1+ 0 +1 − 2 = = −2 −1 1

∞ −∞   n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím   x 2 + 1 − x  − (− 2 x ) = Lím  x 2 + 1 + x  = x → −∞ x → −∞    Conjugado  x →−∞

= Lím

 x 2 +1 + x  ⋅  x 2 +1 − x         

x →−∞

2

= Lím

x →−∞

2

x +1 − x = Lím

x →−∞

 x 2 +1  − x 2    

1 x 2 +1 − x

= Lím

x →−∞

2

x +1 − x

x 2 +1− x 2 2

=

x +1 − x

1

1 = =0 (− ∞ )2 + 1 − (− ∞ ) ∞

=

Asíntota oblicua hacia −∞ y = 2x

Posición relativa. ∞ −∞ Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím  x 2 + 1 − x − (− 2 x ) = Lím  x 2 + 1 + x  = x →− ∞ x → − ∞  x → − ∞  Conjugado

= Lím

x →−∞

 x 2 +1 + x  ⋅  x 2 +1 − x         

= Lím

x →−∞

x 2 +1 − x = Lím

2

 x 2 +1  − x 2    

1

x 2 +1 − x 1

=

x 2 +1 − x (− ∞ )2 + 1 − (− ∞ ) La función se aproxima a la asíntota por encima. x →−∞

11

=

= Lím

x →−∞

1 = 0+ ∞

x 2 +1− x 2 x 2 +1 − x

=

13. f (x ) =

x3 1− x 2

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R − {± 1} x = −1: Lím

x3

x → −1 1 − x

2

=

(− 1)3 1 − (− 1)2

=

−1 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 1.

(− 1)3 x3 −1 −1 = = = = +∞ − − − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x → −1 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 −

( ( ))

Lím

(− 1)3 x −1 −1 = = = = −∞ + + x → −1+ (1 + x ) ⋅ (1 − x ) 1 + − 1 ⋅ (1 − (− 1)) 0 ⋅ 2 0 + 3

( ( ))

Lím

x = 1: Lím

x3

=

x →1 1 − x 2

13 1 −1

=

2

1 Asíntota vertical. 0

Posición relativa. Se estudian los límites laterales en x = 2. x3 13 1 1 Lím = = = = +∞ − + − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x →1 (1 + 1)⋅ 1 − 1 2⋅0 0+

(

)

x3 13 1 1 = = = = −∞ + − + (1 + x ) ⋅ (1 − x ) x →1 (1 + 1) ⋅ 1 − 1 2⋅0 0−

(

Lím

-

)

Horizontales: y = L: L = Lím f (x ) = Lím x →± ∞

∞

x3

x →± ∞ 1 − x

2

∞

x

= Lím

1

÷ x 2 x →± ∞

x2

= −1

(± ∞ )3 1

(± ∞ )2

=

− −1

±∞ = ±∞ 0 −1

La función no tiene asíntotas horizontales -

Oblicuas: y = mx + n x3

∞

2 ∞ f (x ) x3 1 1 1 m = Lím = = −1 = Lím 1 − x = Lím = Lím = 3 3 1 x 0 −1 x → ±∞ x x →±∞ x →±∞ x − x ÷ x x → ±∞ 1 −1 −1 x2 (± ∞ )2 1 ∞   x3   x3 ∞ x x = n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím  = Lím + x  = Lím − (− 1) ⋅ x  = Lím   x →±∞ 1 − x 2 ÷ x 2 x →±∞ 1  x →±∞ 1 − x 2 x → ±∞ x → ±∞ 1 − x 2     −1 x2 1 0 ±∞ = = =0 1 0 −1 −1 (± ∞ )2 Asíntota oblicua y = −x

Posición relativa. m = Lím (f (x ) − (mx + n )) = Lím x → ±∞

x3

x →±∞ 1 − x 2

− (− x ) = Lím

x → ±∞

12

x3 + x − x3 1− x

2

= Lím

x

x →±∞ 1 − x 2

≈ Lím

x →±∞

1 −x

• •

1 1 1 = = = 0 + : La función se aproxima a la asíntota por encima. − x − (− ∞ ) + ∞ 1 1 Lím = = 0 − : La función se aproxima a la asíntota por debajo. −∞ x →+ ∞ − x Lím

x →− ∞

14. f (x ) =

x ex

Solución.

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: −∞ −∞ x  = = = −∞ = xLím x 0 e −∞ x  →−∞ e = L = Lím f (x ) = Lím ∞ x →± ∞ x →± ∞ e x  = Lím x =∞ x → +∞  = 0  x   x →+∞ e x e >> x   Asíntota horizontal hacia +∞ y = 0.

Posición relativa. •

-

 x  x e x > 0 + Lím (f (x ) − L ) = Lím  − 0  = Lím =  = 0 : La función se aproxima a la x x →+ ∞ x → + ∞ e x x → +∞  x > 0  e  asíntota por encima.

Oblicuas: y = mx + n. Por tener asíntotas horizontales hacia + ∞, la función no tiene oblicua. Por no tener asíntota horizontal hacia −∞ hay que estudiar la posibilidad de que tenga asíntota oblicua hacia −∞. x x f (x ) 1 1 1 m = Lím = Lím e = Lím = Lím = = +∞ − ∞ x 0 x →−∞ x x → −∞ x x →−∞ e x → −∞ e

La función no tiene oblicua hacia −∞.

13

15. f (x ) = e1− x Solución.

2

-

Verticales: En los puntos excluidos del dominio donde el límite quede de la forma k . 0 D[f (x )] = R La función no tiene asíntotas verticales.

-

Horizontales: y = L: L = Lím e1− x = e1−(± ∞ ) = e −∞ = 0 2

2

x →± ∞

Asíntota horizontal y = 0.

Posición relativa. •

-

2 2 2 1 1   Lím (f (x ) − L ) = Lím  e1− x − 0  = Lím e1− x = e1−(± ∞ ) = e −∞ = = = 0 + : La ∞ ∞ x →± ∞ x → ± ∞  x →± ∞ e función se aproxima a la asíntota por encima.

Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ± ∞, no tiene oblicua.

14