SOLUCIONARIO Examen UNI 2014 – I Matemática

MATEMÁTICA PARTE I Pregunta 01 Las notas obtenidas por tres postulantes hacen un promedio de 15. La relación entre las notas del primero y el segundo es 4/5 y la relación entre el segundo y tercero es 5/6. Calcule la diferencia entre la mayor y menor nota.

Pregunta 02 Si se cumple que abc= ab+bc+ca, calcule el valor de a+b–c, sabiendo que a, b, c son positivos. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

A) 6

E) 6

B) 8 C) 9

Resolución 02

D) 10

Cuatro operaciones

E) 12

abc= ab + bc + ca a00= ab + ca Por criptoaritmética ab +

Resolución 01 Promedios

ca

Las notas están en relación de:

a00 ⇒ a = 1

b = 94 a + b − c = 2 c=8

A= 4k B= 5k C= 6k

Rpta.: 2

Como el promedio de las 3 notas es 15, entonces la suma de estas es 45: 4k+5k+6k= 45 → k= 3 Piden: C – A= 6 Rpta.: 6

Una persona dispone de cierto capital, el cual es dividido en dos partes. La mayor parte la impone al 14% anual y la otra parte al 8% semestral. Si al cabo de un año los montos obtenidos son iguales, determine el capital inicial, sabiendo que las partes se diferencian en 1200. Todas las cantidades están en nuevos soles.

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1

PROHIBIDA SU VENTA

Pregunta 03

∴ A= 4(3)= 12; B= 5(3)= 15; C= 6(3)= 18

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SOLUCIONARIO – Matemática

A) 128 000

Resolución 04

B) 132 000

Mezcla

C) 136 000

Primera aleación

D) 138 000

Liga

E) 140 000

Ley = 16 = 2 & 1 w = 32g de metal ordinario 24 3 3 w = 96g

Resolución 03 Interés simple C: Capital

Segunda aleación Ley= 0,65 y w= 104 gr La ley de la unión de estas aleaciones

C1

C2

14% anual

16% anual

Lm =

2

3 (96) + 0, 65 (104)

96 + 104

Al cabo de un año se obtienen montos iguales. M1 = M2

La ley en kilates sería:

114% C1 = 116%C2

C1 58 = C2 57

(0,658)24=15,792 kilates

C1 = 58 k C2 = 57 k

Rpta.: 15,792

C1 – C2= 1200 → k= 1200

Pregunta 05

∴ C1+C2= 115k= 138 000 Rpta.: 138 000

Pregunta 04 Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal ordinario es 32 gramos se funde con un lingote de oro de 104 gramos con ley 0,65. De cuántos kilates es la aleación obtenida.

Un comerciante tiene que formar paquetes diferentes de 8 unidades de frutas, para ello debe escoger entre plátanos y peras. Cada plátano cuesta S/. 0,20 y cada pera S/. 0,50. ¿Cuál es el promedio de la venta de los paquetes? Asúmase que hay suficientes plátanos y peras. A) 2,77

A) 0,651

B) 2,79

B) 0,658

C) 2,80

C) 15,600

D) 3,00

D) 15,792

E) 3,10

PROHIBIDA SU VENTA



131, 6 200 Lm = 0, 658 =

E) 34,442

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2

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SOLUCIONARIO – Matemática

Resolución 05

A) VVV

Promedios

B) VFV C) FVF

Total de frutas: 8

Precio de c/u •

D) FFV N. Plátanos (x)

N. Peras (8–x)

S/. 0,20

S/. 0,50

E) FFF Resolución 06 Probabilidades

Para

I.

x= 0; 1; 2; ...; 8



Si A y B son disjuntos ⇒ A∩B= ∅ ⇒ P(A∩B)= 0 Como: P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)

⇒ x= 4



Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)

∴P(A∪B)= P(A)+P(B)

Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x) II. Como:

Pv= 0,20(4) + 0,50(8–4)

n(A)= 6×6= 36

Pv= 2,80

B= {(1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,5); (5,1); (3,3); (2,4); (4,2)}

x: promedio de los x (x= 0, 1, 2, ..., 8) Rpta.: 2,80

n(B)= 9 Además B⊂A P(B/A)=

Pregunta 06 Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado; donde P indica la probabilidad. I.

Si los conjuntos no vacíos A y B son disjuntos, entonces P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A)P(B)

III. Recordar •

E∆D= (E∩Dc)∪(Ec∩D)

•

(E∩Dc)∩(Ec∩D)= ∅

•

P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)

Entonces P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)– P(Q)

S 0

II. Sean A= {(x,y)/x∈{1,2,3,4,5,6}; y∈{1,2,3,4,5,6}} B= {(x,y)∈A / 40 6x d R ⇒ d>0

f(x)

0

x

Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones son correctas. I.

iii)f(x)>g(x)6x>0 cax>cbx; 6x>0 a x a ` b j > 1; 6x > 0 ⇒ b >1 ⇒ a>b ⇒ 0 E) [2, ∞>

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10

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SOLUCIONARIO – Matemática

MATEMÁTICA PARTE 2

Resolución 20 Sumatorias

Pregunta 21

Sea: Sn el área de los triángulos retirados en la n-ésima figura. ⇒ S0 = O

1 4 1 1 2 ⇒ S2 = + 3 ` j 4 4 ⇒ S1 =

A) 3 B) 3,5 C) 4

1 + 1 2+ 1 3 3` j 9` j 4 4 4 2

D) 4,5

3

4

1+ 1 + 1 + 1 3 ` j 9 ` j 27 ` j 4 4 4 4 1 + 1 2+ 1 3+ 1 3+ ` Sn = 3 ` j 9 ` j 27 ` j ... 4 4 4 4

⇒ S4 =

⇒ Sn =

2

3

1 + 3 c1 + 1 + 1 + m 3 ` j 9 ` j ... 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 Sn

E) 5 Resolución 21 Geometría del espacio Piden: distancia. del punto D al plano B

Rpta: 1

C 6

A 3

D x

7

P * Propiedad en las regiones paralelográmicas 3+7=6+x x=4 Rpta.: 4

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11

PROHIBIDA SU VENTA

⇒ S3 =

Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6, exterior a un plano P. Si las distancias de A, B y C al plano P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente, halle la distancia de D al plano P (en u).

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Pregunta 22

Resolución 22 Geometría del espacio

El gráfico muestra una pirámide regular. A

A 60 º

3 M 4

P C

M 4

P

D

C D

2

B B

6

6

E AP = 2, m∠BAE = 60° PB y la distancia de A al plano que contiene los Si ED = 6 u, PM // BC,

E * En D equilátero ABE: B

puntos P, M y D es 3 u, calcule el volumen en de la pirámide A-PMDE. 3

A) 2 27 B) 3 27 C) 4 27

1 P

D) 5 27 E) 6 27

3 3

2 A

60º

E

PE = 2 7

PROHIBIDA SU VENTA

u3

* Trapecio isósceles EPMD:

CENTRAL: 6198–100

12

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SOLUCIONARIO – Matemática

4

P

Resolución 23

M

Áreas

2 7

2 7

Piden: A4 MONL

27 E

1

∴ VA − PMDE =

B D

C 10

6

6

1 8` 4 + 6 j 27 B .3 = 5 27 3 2

Rpta.: 5 27

F M

6

5

A

Pregunta 23 En la figura BC = 16, AB = 12, E y F puntos medios. Determine el área del cuadrilátero sombreado. C

B

4S

O 5

3S 8

N

2S

3S

6 L

2n

n 8

D

& OL = AD; L = 6  “N” Baricentro  ACD  En el  AOL

6S = 6 . 8 2

S=4

∴ 5S = 20

F

A) 10 B) 15 C) 20 D) 21 E) 25

E

D

Pregunta 24 Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro del rectángulo, si BC = 2AB = 8 y PM = AB, entonces el área de la región triangular APO es A) 2 6 B) 3 6

PROHIBIDA SU VENTA

A

Rpta.: 20

C) 4 6 D) 7 6 E) 8 6

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13

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SOLUCIONARIO – Matemática

Resolución 24

Pregunta 25

Geometría del espacio

En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja

Piden : A

una semicircunferencia con diámetro AD

APO

tangente a BC en P. Se ubica el punto Q en

ABC= Notable

53°/2

PC y se traza QE perpendicular a PC donde

& CA= 4 5

el punto E está sobre la semicircunferencia.

OA= 2 5

Si PQ = 1 cm y el perímetro del rectángulo

Luego: TEOREMA 3

ABCD es 48 cm, entonces la longitud de AE (en cm) es:

CM P' : Notable 53°/2

& MP' =

A) 6

4 5 5

B) 8 C) 9

MPP : PITÁGORAS

D) 10

2

E) 12

5m = ^PP'h2 & PP' = 4 30 42 + c 4 5 3

Resolución 25

Finalmente A

APO=

4 30 2 5 =4 6 . 5 2

Relaciones rectángulo

` ATAPO = 4 6 P

•

Piden: AE

•

Dato: 2P B

4

C

D

4

P'

M 4

2 5

en

el

triángulo

= 48 = 6R 8

P 1Q 7 E x

R A

O

métricas

R=8

C R

O

1

D R=8

PROHIBIDA SU VENTA

OBS:

R=8 B

4

A

Rpta.: 4 6

CENTRAL: 6198–100

14

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SOLUCIONARIO – Matemática

Luego: Relaciones métricas

D)

x

3π 4

2

E) p2 Resolución 26 Circunferencia

n

C

B

m x2 = m.n ⇒

x2

r

= 16.9

r L2

∴ x = 12 Rpta.: 12 R

Pregunta 26 En la figura mostrada, se tiene que el perímetro del cuadrado ABCD es igual al producto de las longitudes de las circunferencias de centro O y 1 1 O'. Calcule + . R r C B

L1

A

2(R+r)

O'

D

Piden: 1 + 1

R

r

R

r

Dato: 2pABCD = L1 . L2 8(R+r) = (2pR)(2pr) 2 ` 1+ 1 = r r R 2

R O

D 2

A)

π 3

B)

π 2

C)

2π 3

2

2

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2

π 2

PROHIBIDA SU VENTA

A

Rpta.:

15

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SOLUCIONARIO – Matemática

Pregunta 27

Pregunta 28

Calcule el perímetro de un heptágono regular 1 + 1 =1 ABCDEFG, si: AE AC 5 A) 34

La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular mide igual que el diámetro del cilindro disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros

B) 35

de las bases y AB un diámetro de la base

C) 36

inferior que contiene a N. Si AM = 19 dm y

D) 37

MB = 13 dm entonces el volumen del cilindro (en dm3) es:

E) 38

A) 130 p 103

Resolución 27

B) 131 p 104

Polígonos regulares

C) 132 p 105 B

A

D) 133 p 106

x

x

n

m

G

Resolución 28

x

m

x

E) 134 p 107

C

n

Cilindro O

D x

x F

x

2a-10

E

19

h

13

2a-10

Piden: 2pheptágono

1 +1 =1 m n 5

A

T. Ptolomeo

a

a

B

22

* X ACDE: inscriptible

•

mn=nx+mx

Cálculo de la mediana: 192+132 = 2(2a-10)2+

1 = 1 +1 x m n 1 1 → = →x=5 x 5

a=11 •

(2a) 2 2

PROHIBIDA SU VENTA

Dato:

T. Herón: DAOB.

2 27.5.14.8 22 12 h= 105 11

h=

∴2pheptágono=35 Rpta.: 35

CENTRAL: 6198–100

16

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SOLUCIONARIO – Matemática

Pregunta 30

12 105 11

•

Vcilindro = r 112 .

•

Vcilindro = 132p 105 Rpta: 132p 105

La altura de un cono circular recto mide 15 cm y el radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero cilíndrico de diámetro 4 cm en el cono, a lo largo de su eje, resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcule el volumen de ese sólido.

Pregunta 29 Sea ABCD un cuadrilátero donde el ángulo exterior D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Si BC = 25 u y BD = 20 u, determine AB (en u). A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 A) 240 p cm3 C) 260 p cm3 E) 270 p cm3

E) 20 Resolución 29 Semejanza

Resolución 30

Piden: AB=x C 25

Sólidos Piden el volumen del sólido.

B a a

q A

2

20 q

H

a

D

PROHIBIDA SU VENTA

x

B) 254 p cm3 D) 264 p cm3

DABD ∼DDBC

x = 20 20 25

2

6

∴x=16 Rpta.: 16

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SOLUCIONARIO – Matemática

Pregunta 31

Datos:

En la figura, O centro de la circunferencia. Si NH=11, AM×AE=900 y m∠ANM=45º, entonces la longitud del diámetro de la circunferencia es:

V

A

15

A

H 2

M

6

H

B

Semejanza: ∆VOB∼∆AMB 15 = 8 ⇒H 6 45 = H 4 Luego:

O M

N

E B A) 5 2 B) 10 2 C) 15 2

Vx=Vtronco–Vcili Vx= 45 . r (4+64+16)–π.4. 45 4 3 4 Vx=315π–45π

D) 20 2 E) 25 2 Resolución 31

∴Vx=270π Rpta.:

270π cm3

R. Métricas en la circunferencia Piden el diámetro=2R 90º R 2

11 N

H

A 45º

R

R

O

45º

45º

PROHIBIDA SU VENTA

O

M E

B

CENTRAL: 6198–100

18

Examen UNI 2014 – I

SOLUCIONARIO – Matemática

* 6 NHME inscriptible

Resolución 32

* Teorema de las secantes

Congruencia C

(R 2 + 11) R 2 = (AM) (AE) = 900 R 2 = 25

D

` 2R = 25 2

4 Rpta.: 25 2

x E

Pregunta 32 En la figura, BF=3u y ED=4u. Calcule el valor del segmento CF(en u). C

F

D

q A

4

3 q B

F

M

Piden: x E F

• •

A) 4,5 B) 5 C) 5,5

q

x+3 = 8 ∴x=5

B

Rpta.: 5 Pregunta 33 Calcule el valor aproximado de:

D) 6 E) 6,5

EMF

E = ctg(4º) – 7 A) 7,07 B) 8,07 PROHIBIDA SU VENTA

A

CDE ≅ → EM = 4

• q

Se prolonga CE → CE=EF

C) 9,07 D) 10,1 E) 11,2

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19

Examen UNI 2014 – I

SOLUCIONARIO – Matemática

Resolución 33

Pregunta 35

I.T. para el ángulo mitad

Un águila se encuentra a una altura H y ve a

E = ctg4º – 7

una liebre de altura h. Se lanza sobre la presa

α = csca + ctga 2 E = csc8° + ctg8°–7 E=5 2 +7–7

a lo largo del tramo de la trayectoria descrita 1 por la gráfica de la función f (x) = , x>1, x– 1 llegando a su presa. Determina la tangente del

E = 7,07

ángulo de depresión con el cual el águila vio al

Como: ctg

Rpta.: 7,07

1 A) h

Pregunta 34 Si tan2a=2tan2x+1, y=cos2a + sen2x.

halle

el

valor

de

A) sen2a B) cos2a C)

inicio a su presa.

1+sen2a

D) tan2a E) 1+cos2a

B) h H C)

H h

D)

H–h h

E)

H–h H+h

Resolución 35 Resolución 34

Ángulos verticales

Identidades trigonométricas tg2 a = 2 tg2 x+1 a–1=

sec2

2(sec2

a=2

y x – 1)+1

H

sec2x

θ

cos2 x = 2 cos2 a

θ

h

1 – sen2 x = 2 cos2a 1 – cos2 a = cos2 a+sen2x ∴ y = sen2a

0

1

x1

x2

x

Rpta.: sen2a

CENTRAL: 6198–100

20

PROHIBIDA SU VENTA

sec2

Examen UNI 2014 – I

SOLUCIONARIO – Matemática

Piden:

Como:

H−h tgi = x2 − x1

6

Ahora:

f

1 x−1 1 x−1 = y y=

2

4 2 y(t) = 6Sen(2t+f) Amplitud = 6

1 h 1 x1 − 1 = H H−h x2 − x1 = Hh x2 − 1 =

2r = r 2

Periodo =

Rpta.: 6 y π

Pregunta 37

Luego:

Si x∈ –3,0 , entonces el rango de la función 5π f (x) = arctan x + 2 arc cot x , es:

tgθ=hH Rpta.: hH

Pregunta 36 En la función: y(t) = 2cos2t + 4 2 sen2t; la amplitud y el periodo son respectivamente: A) 4 2 y π

A)

0, 1

B)

1, 2

C)

0, 2

D)

2, 5

E)

5, + 3

B) 4 2 y 2π D) 6 y 2π E) 2 + 4 2 y π Resolución 36 Funciones trigonométricas y(t) = 2 cos2t+4 2 sen2t

4 2 2 y (t) = 6 ( cos 2t + sen2t) 6 6

Resolución 37 Funciones trigonométricas inversas

f (x) =

5r arcTgx + 2 arcCtgx

Como –∞