Sp ISSN 0081-3397

por

G. Vefarde

Toda correspondencia en relación con este trabajo debe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca y Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a este mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesauro del INIS para describir las materias que contiene este info£ me con vistas a su recuperación. Para más detalles cónsul tese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Organismo Internacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión en Febrero de 1976

Depósito legal n2 M-14592-1976

I.S.B.N. 84-500-7555-6

JEN 334

ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES E INTEGRALES NORMALES Y ADJUNTAS DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES PARTE I

Guillermo Velarde

ÍNDICE

i.

II.

III.

Hipótesis simplif icativas

,

1-1

Determinación de los parámetros nucleares

II-l

Ecuaciones Integrodiferenciales de Boltzmann del Transporte de Neutrones . . , ,

,

III-l

I.- HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS. 1.- PROBLEMA. Vado un H.e.actoh. de. con{¡thÁhuQÁ.ón de. La fuente. te.,

ne.utn.ón¿ca e.n cada

¿e. pn.eX.znde. deXeJmJjiaA. La de.v\&¿dad {¡¿LóZca newtn.ón¿ca

¿Zco y en. cada

en eL Á.n¿tan_ ¿notan-

e.n cada panto ¿ á -

instante,.

1.1.-El problema así planteado, dá lugar a un sistema de ecuaciones integrodiferenciales no lineales, con s i e t e variables independientes: tres de la posición, tres de la velocidad, y una del tiempo. Estas ecuaciones se obtienen al establecer el balance de los neutrones, de los núcleos precur sores de neutrones retardados, de los núcleos obtenidos en el quemado, y de las magnitudes termohidráulicas del medio. Las ecuaciones de balance anteriores pueden ponerse en la forma gene ral " | | = Bf + Q

(1)

en la cual f es la densidad neutrónica, la densidad de núcleos precursores, la densidad de núcleos del quemado, o la temperatura; y B el operador de balance (ganancias menos pérdidas).

2.- DEFINICIONES. Sea un neutrón incidente o primario de baja energía n', que al interaccionar con el núcleo blanco N ! a través del canal de entrada v', según la reacción nuclear n+N, n'+N'

v=v', dispersión elástica

->• r

_, . vector posición del neutrón o del núcleo, que representa un punto del espacio Euclídeo de tres dimensiones, llamado de configuración, y perteneciente al subespacio constituido por el reactor considera_ do R, reí?.

v=vQ vector velocidad del neutrón o del núcleo, que representa un punto del espacio Euclídeo de tres dimensiones, llamado de velocidades 1/xfi, vgl/, QeQ, siendo ü la superficie esférica de radio unidad. De este modo (r,v) será un punto del espacio de las fases R El superíndice ' se empleará para indicar la velocidad del neutrón incidente o primario, y la del núcleo blanco; y sin prima para indicar la velocidad del neutrón secundario, y la del núcleo residual. Los subíndices n y N se emplearán para las magnitudes correspondientes al neutrón y al núcleo; y los L y C para las magnitudes referidas a los sistemas del laboratorio y del centro de masas. En particular, con objeto de simplificar la notación, se suprimirán los subíndices Ln, es decir, v=vT . Ln Según la clase de problema considerado, se empleará el módulo de la velocidad v, la energía cinética E-U, o la letargía u del neutrón. Para neutrones no relativistas, en una región de energía potencial nula

U=0,

tal como se establecerá en las Hipótesis I y II de los §3.1 y §3.2, las magnitudes anteriores estarán relacionadas entre sí, por E = i v2,

u = ln -£• = 2 ln —

1

2

siendo E_ = y v

(3)

„ una energía de referencia. La relación entre los elemen-

tos diferenciales será entonces dv = v2dvdfi,

du = u2dvdfi,

dE = vdv,

du = - ^ dE = - — dv

O)

habiéndose tomado la masa del neutrón como unidad de masa.

2.2.-FUNCIONES DE DENSIDAD. n(r,v,t)drdv

Numero probable de neutrones, que en un instante t están situados dentro del elemento de volumen fásico drdv en el punto fásico

n(r,v,t)

r,v ERxfxfi.

Densidad fásica neutrónica.

I -3-

-,v,t)=vn(r,v,t)

Densidad fásica de flujo neutrónico, o densidad de flujo, o simplemente flujo. Número probable de núcleos de la especie i (i_sótopos), que en el instante t están situados dentro del delemen to de volumen fásico drdv T W en el punto fásico r,vT

e

e R x v x n. Densidad fásica de núcleos de la especie i, o simplemente densidad de núcleos i. Número probable de núcleos precursores de neutrones retardados (diferidos) producidos en la fisión induci da por neutrones de velocidad v ! en núcleos i de velo cidad v' , que en el instante t, están situados dentro del elemento de volumen de configuración dr, en el pun to r e R, multiplicado por la probabilidad de que el precursor emita un neutrón. C (r,v',v' ,t)

Densidad de núcleos precursores de neutrones retardados, o simplemente densidad de precursores.

X (v',t'->v,t ;v' .)dvdt

Probabilidad de que un neutrón incidente o primario de velocidad v', habiendo producido en el instante t' un proceso de la clase x con un núcleo de la especie i, de velocidad v' , dé lugar a la emisión de un neutrón secundario en el intervalo de tiempo dt en t, y situado dentro del elemento de volumen de velocidades dv en el punto v £ V x ü.

i ,->•

->

->•

X (v ,t'->v,t;v'^.)

Espectro de los 'neutrones secundarios.

El superíndice i indica el núcleo de la especie i, o simplemente núcleo i, que sufre el proceso de la clase x. El subíndice x representa la clase de proceso producido en la reacción nuclear: el (elástico), in (jmelástico) , s (dispersión, scattering) -> el+in, c (captura), f (fisión), a (absorción) -> c+f, t (total) -> a+s; o el proceso de obtención de los neutrones secundarios: el (elástico), in (inelástico), p (instantáneos de fisión, prompt) , d (retardados de fisión, diferidos). 2.2.1.- Si f = n, (j), N

es una de las funciones de densidad definidas anterior_

mente, se verifica f(v)dv = f(u)du = f(v,fi)dvdfi = f(u,fi)dudft = f(E,fi)dEdP.

(5)

I -l+-

y según (M-), resulta .3 2

f(u,ft) =u f(í) =-^~ f(v) = - J f(v) = - I f(v,ft) = - E f(E,Q)

(6)

Si 1/ c 1/ es un intervalo g de velocidades, se empleará la siguiente notación f(v,fi)dvdQ = f (ü)d

,

para todo

v e 1/

(7)

f(v,fi)dvdft = f(v)dv

,

para todo

Ü e ü

(8)

En el caso de que f sea isótropa, de (8) resulta = UTT f(v,fi) = f(v) = > f(v,ü) = ^

f(v)

(9)

2.3.-FUNCIONES FINITAS Y PARÁMETROS. X (.v1 ,v' )

Constante de desintegración de los núcleos precursores de'neu trones retardados producidos en la fisión inducida por neutro nes de velocidad v' en núcleos i de velocidad v' .

v (v',v' )

Número medio de neutrones secundarios producidos por colisión en el proceso x, entre los neutrones incidentes o primarios de velocidad v', y los núcleos i de velocidad v' .

a (v,v-w)

Sección eficaz microscópica del proceso x, entre los neutrones incidentes de velocidad v, y los núcleos i de velocidad

V

TN-

Esta sección eficaz vendrá dada por (11), en función de magnitudes bien definidas. Se llama sección eficaz microscópica diferencial a

cT(v',t'-4,t;v¿N) = X^(v',v¿N) X^(v',t'+v5t; v¿ N )

(10)

2.4.-OTRAS FUNCIONES. 2.4.1.- VELOCIDAD DE REACCIÓN. En el caso de que la interacción se produzca entre un solo neutrón y un solo núcleo, mediante un proceso biunivoco bien definido, tal como se establecerá en la Hipótesis III del §3.3, se obtiene que el número de neutrones que en el-instante t producen en los núcleos i el proceso x, por unidad de intervalo de las variables (unidades de tiempo, velocidades del neutrón y del núcleo, y de volumen de configuración), es igual al número de núcleos i que sufren el proceso x por los neutrones, por

1-5-

unidad de intervalo de las variables, e igual al número de procesos x pro_ ducidos por los neutrones en los núcleos i, por unidad de intervalos de las variables; cuya expresión, llamada velocidad de reacción, puede descom (1)" ~ ponerse en la forma

[V

= V

[ r n ^ . v . t i p ^ v ^ t ) c^Cv,^)]

(11)

siendo = V -

v

(12)

VT

LN

el módulo de la velocidad relativa entre el neutrón y el núcleo.

2.4.2.- FRACCIONES Y ABUNDANCIAS DE NEUTRONES. El número medio de neutrones producidos por fisión, es

v 1 = vt = v 1 + Y vt r

p

(13)

L d

definiéndose como fracciones de neutrones instantáneos, y de neutrones retardados d, a las razones i

i

v_

_.

i d

D

V Vj

v3

_.

^ d

i

v

Vd

v

d

i

p

v

y como abundancias relativas de neutrones retardados d, i _

V

d _ d y Vj g1 d d

r i_ d

De e s t e modo, e l e s p e c t r o de l o s n e u t r o n e s de f i s i ó n i _

i

i

r

i i _

i

f

i s

r

valdrá

i QÍ

3.- HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS PARA LAS ECUACIONES DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES. El sistema de ecuaciones integrodiferenciales que resuelve el problema considerado, puede simplificarse considerablemente, teniendo en cuenta la naturaleza del problema físico. De este modo se introducen una serie de hipótesis simplificativas que

(1)

Velarde, G. - Véase ref. 1, pag. 1.

I -6-

permiten linealizar las ecuaciones, reducir el número de términos de cada ecuación, reducir el número de ecuaciones, eliminar variables, y obtener una estructura más sencilla del operador de balance B. En este párrafo se establecerán la mayoría de las hipótesis simplificativas apropiadas para las ecuaciones del balance neutrónico y de los precursores de neutrones retardados, y en párrafos posteriores se completarán estas hipótesis, y se establecerán las correspondientes a las ecuaciones del balance de los núcleos del quemado, y de la temperatura.

3.1.-CLASE DE MECÁNICA A EMPLEAR. En los reactores nucleares la energía media de los neutrones de fisión es de unos 2 Mev, mientras que la masa del neutrón en reposo es de 939,5 Mev. Por otra parte, la energía media de los núcleos es del orden de la fracción del ev, mientras que su masa en reposo es igual o superior a la

2 del protón 938,2 Mev. Por t a n t o , en ambos casos se v e r i f i c a que E y e.ntxe. un ¿oLoI I Ine.uXM.on y un ¿>oLo ná.cLe.0, dando Zagal a ¿on un p/ioceio b¿u.ní\joco b¿&n dÁ.cia

YIUCZZOA

QJ>

ÁÁÓtxopa

zn L, te.nle.ndo La

vaAÁxibLz veJLocÁ.dad Ae.paA.abLe..

Por tanto,

3.4.-REACCIÓN NUCLEAR. En la reacción nuclear a baja energía (2), al penetrar la onda asociada (3) al neutrón incidente por el canal de entrada v1 puede sufrir dos procesos ':

(1)

B e l l , G . I . , y Goad, W.B. - N u c í . S c i . Eng. 2 3 , 380 ( 1 9 6 5 ) .

(2)

H a r r i s , D.R. - Naval R e a c t o r P h y s i c s Handbook, e d . p o r Radkowsky I . A . - USAEC (19614).

(3)

V e l a r d e , G. - Véase r e f - 1 , p á g . 1 .

I -8-

es reflejada a la entrada del canal, originando la dispersión elástica potencial, o bien penetra por el canal formando el núcleo compuesto, para sa lir después por uno cualesquiera de los canales de salida v abiertos. • En particular, si la onda sale por el canal de entrada, v 1 , se obtiene la dispersión elástica a través del núcleo compuesto, la cual se compone co_ herentemente con la potencial para dar lugar a la dispersión elástica. Si la onda sale por otros canales distintos del de entrada, se obtiene la dispersión inelástica, la captura, y la fisión. El núcleo compuesto está caracterizado por las siguientes propiedades: i) La vida media del núcleo compuesto es del orden de 10

-14

seg.

ii) La formación y desintegración del núcleo compuesto son dos procesos independientes entre sí, o sea el canal de desintegración es independiente del de formación. iii) El modo de desintegración del núcleo compuesto solo depende de su .energía de excitación, spín y paridad.

3.5.-DISPERSIÓN. El proceso de dispersión de neutrones depende principalmente de la ener_ gía del neutrón incidente, de la especie de núcleo blanco, y de sí el núcleo blanco es libre (medio formado por un gas monoatómico) o está ligado en una molécula o en una red cristalina. Estos efectos de ligadura solo son aprecia bles cuando la dispersión se produce con neutrones térmicos. En la dispersión elástica se emite un solo neutrón secundario, y según i) del §3.4. Se emitirá en el mismo lugar e instante de la dispersión. En la dispersión inelástica de neutrones de baja energía, generalmente se emite un solo neutrón. Sin embargo, cuando la energía del neutrón incideri te es suficientemente grande, después de haberse emitido el primer neutrón, el núcleo residual puede quedar en un estado excitado tal, que su energía de excitación sea superior a la de separación de un neutrón, en cuyo caso se emitirá un segundo neutrón, dando lugar a la reacción (n',2n) con la emisión de dos neutrones secundarios. Aunque esta reacción es importante en el Be, puede despreciarse en los materiales que componen los reactores nucleares. Según i) del §3.4, el neutrón será emitido en el mismo lugar e instante de la dispersión. De lo anterior, puede introducirse la siguiente hipótesis: WÁspótzÁÁA V.~ En la. cLú>p2A¿Zón &Mó¿cca. e Á.ntlÁ¿t£Á,ca. t>i emitz un ¿,olo

nzutnón en eJL mtirno lugaA e -¿notante. e.n que. ¿e. produce, la cotú-Cón.

I -9-

Por tanto,

(18)

= el, in

ó(t-t'),

3.5.1.- DISPERSIÓN ELÁSTICA CON NÚCLEOS LIBRES. En la dispersión elástica, según (2) y el §3.4, el núcleo no pierde su identidad, emitiéndose el neutrón por el canal de entrada, es decir, el núcleo residual queda en el mismo estado cuántico que el del núcleo blanco. Como los núcleos están libres, la dispersión elástica es azimutalmente simétrica en L, pero debido a la dispersión elástica potencial, no será coal_ turalmente simétrica en C ni en L. Si 8 p sarrollar x

es el ángulo de dispersión, al de-

en serie de polinomios de Legendre, resulta

X~1 A&n ">= I A e l p o t Cn , L_ 1=0

(.20)

6n ) Cn

i, - AX~\ o. -, P-, el pot 1 1

4TT

habiéndose omitido las restantes variables. Si se expresa la energía del ne\a

tron en Mev, se obtiene que cuando

(12) ' :

"

~

„„ ,2 A

2/3

A

el pot 1

(21)

0

habiéndose tabulado en la Tabla I. TABLA I 10 I 2 A " 2 / 3

A

1

12

23

58

238

1

10

1.91

1.21+

0.67

0.26

2

40

7.63

4.95

2.67

1.04

3

90

17.17

11.13

6.01

2.34

4

160

30.52

19.78

10 .6 8

4.17

1

Aunque la expresión (21) es únicamente válida para la dispersión elásti ca potencial, como la dispersión elástica a través del núcleo compuesto es

(1)

Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

(2)

Davison, B. - Neutrón Tra.nsport Theory - n^-

(1957).

I -10-

pequeña frente a la potencial, la expresión (21) puede emplearse para la dispersión elástica en general. _ , „ , , , . , , _ r 10 Mev para núcleos ligeros En la labia I se observa que cuando E < i n „_ ., ^ ., , , ^ 0.26 Mev para núcleos pesados la dispersión elástica es isótropa en C, y la reacción nuclear solo se produce con neutrones S. Teniendo en cuenta que la energía media de los neutro nes de fisión es de unos 2 Mev, se obtiene que la dispersión elástica en los núcleos ligeros es isótropa en C, produciéndose solo con neutrones S, mientras que en los núcleos pesados es añisótropa en C, aunque solo basta considerar dos o tres términos en el desarrollo del espectro en polinomios de Legendre, pero en este caso los neutrones P, D, . . . intervienen en la reac ción nuclear. En el caso de los reactores nucleares térmicos, debido al empleo de ma teriales moderadores de número másico pequeño, la población neutrónica tendrá una energía media del orden de los ev, por lo que la dispersión elástica sera prácticamente isótropa en C y solamente intervendrán los neutrones S. En el caso de los reactores nucleares rápidos, al evitar en los posible el empleo de materiales moderadores, y emplear en cambio materiales de ele vado número másico, la población neutrónica tendrá una energía media algo inferior a los 2 Mev, por lo que la dispersión elástica sera añisótropa en C, interviniendo los neutrones P, D,... Debido a lo anterior, se obtiene la siguiente hipótesis:

1/1,- La dí¿peA¿ az X ^ -, ^ 0

(.17)

es decir, el termino l~simo del desarrollo en polinomios de Legendre del ángulo de dispersión en C, del espectro de los neutrones de dispersión elástica , es nulo. Por tanto, la anisotropía en la dispersión elástica es tanto más importante cuanto mayor sea la masa del núcleo y la energía del neutrón incidente. Por un lado, en los reactores rápidos han de tomarse dos o tres términos del desarrollo, mientras que en los reactores térmicos basta con uno, es decir, la dispersión elástica es isótropa en C. Por otro lado, en la moderación pue_ den influir los efectos de anisotropía, mientras que en la termalización la dispersión elástica es Isótropa en C. Como según (.17), puede limitarse el número de términos del desarrollo, y especificar determinadas leyes de dispersión en C, mientras que la formula ción de las ecuaciones del transporte de neutrones se efectuará en L, es necesario establecer las fórmulas de transformación del sistema C al L.

5.1.-FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA C AL L. Las fórmulas de transformación del sistema C al L se obtienen partiendo (1) de las ecuaciones de conservación de la energía y del impulso , dadas en la Tabla IV, y teniendo en cuenta que

velocidad en L = velocidad en C + velocidad en L del centro de masas

(18)

El tercer miembro de (21) es debido a la definición de velocidad en L del centro de masas, la cual toma los valores

íl)

Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

II -8-

TABLA ^^\sistema ley \ ^ Conservación

L

1

,2

de la energía

7T V T

cinética

2

1 ..i , 2

1

2

+ 7T M VJ . = -r- V_

Ln

2

LN

del impulso

2

l..i 2

1 .2 1 ..i ,2 1 2 1 ..i 2 — v +— M v = — v i— M v 2 Cn 2 CN 2 Cn 2 CN

+ 7T M V T „

Ln

2

LN

(20)

^¿n+M ^CN = \n + M ^CN = ° (22)

(21)

1 •+. 1+Mi

C

(19) -> i-> -> í-> i -v vi +M vi =vT +M v =(1+M )v_ „ Ln LN Ln LN LnN

Conservación

LnN

IV

1

VJ

Ln

1+M

v' i LN

M1

-y — V

. ,,1 1+M

Ln

+

. .,i 1+M

-^ V

LN

-9", ~ V —

Ln

M1

„ ,,i 1+M

•+. V

Lr

-> — V

Ln

(23) 1+M1

VLr

La anulación del impulso en C, expresado en (22), es debida a que pa_ ra pasar del sistema C al L hay que efectuar una translación v

, es de-

cir

V

= V

—V

Cn V

Ln = V

Cn

™ V

LnN

LN

1+M M

V

Lo" LnN

LnN

Lr '

v

1 V

c

LN

Lr

1+M"

-5-

V.

1+M 1

1

— V

v

V

LnN

1+M1

Lr

(24)

(25)

siendo -y

->-

v' = v t Lr Ln

V

=

LN' ^Lr

-y V

(26)

Ln "^LN

con lo cual, al sustituir (24- y 25) en (21), se obtiene (22). Por tanto, vjl, y v'

tienen sentidos opuestos, y lo mismo v_

y v_ M ,

con lo cual puede construirse parte de la fig. 2. Eliminando v'

CN

v =v Cn Cn

1+M

i

y v

vJ Lr

CN

entre las ecuaciones (20 y 22), se obtiene

Vi

Lr

= V

:

Lr

V

— V

CN

CN

1+M i

vJ Lr

(27)

luego, el módulo de las velocidades enC ,y el módulo délas velocidades relativas en L, son invariantes en la dispersión elástica, es decir, los lugares geo métricos de las v

y v \~* i i

son sendas circunferencias de radios v' v^ 1N

y v' V-* 11

\*-x s

II -9-

y centro en v

, con lo cual puede completarse la fig. 2.

De lo anterior resulta que dadas las velocidades en L antes de la dispersión v' y v' , por (23) se obtiene v , por (24 y 25) se obtienen v' y Ln LIIN " LnJN Ln v' , y por (27) se obtienen los módulos v p = v' y v • = v' . Sin embargo, queda indeterminada una de las siguientes magnitudes: 8. , 6

J-JIN

, 6

, 6~,T, v

un

CN

Ln

,v

LÍN

, es decir, dada una cualesquiera de ellas, quedan de ~

—~

terminadas todas las restantes. A continuación se establecerán las relacio-: nes entre las magnitudes correspondientes al neutrón. 5.1.1.-RELACIÓN ENTRE v L n y Del triangulo de lados v , v , v , en la fig. 2, se obtiene Ln LnM Ln v

2 2 2 = v n + v. ., + 2 v o vT eos 6 n Ln Cn LnN Cn LnN Cn

(28)

y como eos 8 puede tomar todos los valores entre -1 y +1, los valores extre_ 2 „ mos de vT , serán Ln eos 6. = 1 = = > (vT ) = v- + vT „ Cn Ln max Cn LnN

(29)

eos 6 n = -1 = 7 ' (vT ) . = v_ - vT M Cn Ln m m Cn LnN

(30)

en las cuales v

y v

se calculan por (24 y 23), ambas en función de v'

y V' . De (29 y 30), resulta

V

Cn ~ 2" _ Ln max + Cn

LnN

Ln minj '

4 ¡ Ln max

V

LnN ~ ~2 [ Ln max ~

Ln minj '

Ln minj

Haciendo (v m + 1 =

• •

) Ln max

. , m - 1 =

(v ) Ln max

v v LnN LnN la ecuación (28) toma la forma i r,

^2

, • .2 ~\

(v ) (v ) 2 „ " Ln m m i Ln m m ,m-lN2 2 = •—, a = r— = v \v J LnN Ln max .

i r

v T 2 = ^ | ( v (v ) ' + ( v . )) \ I ++ ~ | ( v (T )" - ( v . ) ' . . L n = 22 •L |_ T LLn n )m a x +(v Ln L n minJ minj Ln max L n min_ n.a 22 |_L ' X

COS

9

Cn

2 i m +2m eos 8 +1 m +2m eos 8 +1 = - (v ) (1+a1) t d - a 1 ) eos 9PP = = (v. (v. TT ^=H-_ (33) (1+m)2 2 ^ Ln max Cnl max Ln max 1 2 o bien, representando por E = -^ v. , la energía cinética del neutrón en L,

II -10-

la ecuación anterior toma la forma 2 m + 2m eos Qn + 1 = -r (1+a1) + (1-a ) eos

E

Cn

Cn

2 (1 + m)

max los cuales relacionan v_ ó E con eos 6_ . Ln Cn

5.1.2.- RELACIÓN ENTRE v,_n y 8 L n . Considerando el mismo triángulo que en el párrafo anterior, resulta v^ = v 2 +v^ ..-2 vT vT .. eos 6, Cn Ln LnN Ln LnN Ln

(35)

y teniendo en cuenta (31), se obtiene v y = eos 8.

i ¡v

Ln

v — v Cn LnN

2 v LnN

2 v v Ln LnN

=

m+1 Ln _______ Ln max

=

v Ln 2 v LnN

(v) ( v ) . Ln max Ln min ———— = ? v v Ln LnN

m-1 Ln max _____ Ln

,~^ (3o)

la cual relaciona v. con y. Ln

5.1.3.- RELACIÓN ENTRE 8 P n y 8, . un Ln Puede obtenerse eliminando v entre (33 y 36), o bien directamente Ln de la fig. 1, proyectando el triángulo considerado en los párrafos ante_ riores, sobre el eje v y su perpendicular, v sen 8 =, — — tg e vT „ t v o eos 8 O LnN Cn Cn luego de (31 y 32), resulta tg 8T 1 + m eos 8_ o ° Ln Cn y = eos eT = = ;•Ln - •" VI + tg2 8. /nr + 2m eos Q + 1

(37)

f„0s (38)

que establece la relación entre y y eos 8 .

5.2.-LEY DE DISPERSIÓN ELÁSTICA. Dada la ley de dispersión elástica en C, y conocidas las fórmulas de transformación del sistema C en el L, obtenidas en el §5.1, puede calcular se el espectro de los neutrones de dispersión elástica en L.

5.2.1.- CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA ISÓTROPA EN C. Al seT1 la dispersión elástica isótropa en C. la probabilidad de que un

II -11-

neutrón de velocidad vJ al chocar con un' núcleo i de velocidad v' , el neuLn LN trón dispersado tenga una dirección dentro de áüp en Q p , es (39)

Cn

Tomando como dirección de referencia la de fiT .T, como dfi_ =d(cos Qn )dcj>. LnN Cn Cn siendo é el azimut y 0

la coaltura de Q

, y al ser la dispersión elástica

azimutalmente simétrica, al integrar (39) para todos los azimutes, resulta X

el(cOS

9

¿n *

COS

9

Cn ;

COS 9

*Ln'

es decir, todos los valores de eos 6_

Cn = f d COS 6 Cn

(40)

son igualmente probables, pero no los

de y=eos 0 , ya que según (38) la relación entre eos 8^ y y no es lineal. Ln ' Ln 5.2.1.1.- Las probabilidades de que un neutrón incidente' de velocidad v'

al

chochar con un núcleo i de velocidad v' , de lugar a la emisión de un neutrón d eos dispersado elásticamente dentro de <

eos e

Cn

d v

Ln

, son iguales,

Ln

en <

d E

Cn

E y

ya que el problema queda perfectamente determinado al fijar una cualesquiera de las magnitudes anteriores. Por tanto

Xel ( c o S 6¿n - COS 9 Cn ; ^Ln' \^ E; Phn,

\^)

dE

d cos

XÍ1^'

dv

Cn y,

Ln»

LN

)

Ln

dy

Como el primer miembro se conoce por (40), y las relaciones entre cos 6- , v

, E, y vienen dadas en el §5-1, pueden obtenerse las restantes probabilidaLn des . De (33), resulta

, d vL d E

(v ) 2 (v ) 2 iN 1 Ln max 4 m 1 , Ln max ) = _ 2 vT ^LN}= A

x

el(^Ln' ^LN)P l ( c O S

^

W

1 - 0

(54)

De (54 y 4 1 ) , se o b t i e n e i X

, ,

-*,

(v

el Ln -

V

Ln

; V

~*~, V

\

Ln

}=

Ln' LN

2

1

v-

21+1 T

^ ~ J

]jo ~ ~

*

i

el X

,-»-, ¿n

'

->, s

V¿N

Ln max • P1(cos 9 Cn )

(55)

y de (47), resulta

X

el^VLn2Ln

V

i¿ Ln Ln' Ln'VVLN LNi¿ LN L ;

, ,2 (v. ) Ln max

, i 1 - a

n ¿n 1=0

4TT

X

e l V\n>

• P1(cos 6 C n ) ó(y - y)

V

LN J

(56)

Teniendo en cuenta la expresión de eos 6,, en función de vT dada en Cn Ln (33) v2

2

eos 9

= 1 - ilgL

Cn

(1

2m

í£~) ^.

(57)

^¿ Ln max

el espectro buscado, de los neutrones de dispersión elástica anisótropa en C, valdrá

X

(

n

"

n

fi)

^ ^ i vT ) 1 - a Ln max- y), '

—

XX

(v VV } el e l ll ( v¿n' ¿ n ' LN LN '

^ n 1=0

(vT ) . < vT < (vT ) (58) Ln mm — Ln — Ln max

2 Ln max anulándose para vT < (vT ) . y vT > (v. ) Ln Ln mm J Ln Ln max Del mismo modo se o b t i e n e para l a e n e r g í a ,

Y

x - > ( E ' Q'

- > • - » • " * • •> ~** F Q v 1 Q' ) =

1 _ (-1^m^ 2m

2

1 i

E 1 - a1 max

n

[

2

r \

21+1

i y

1=0

-i

(l

— ) 5(y - y ) , E . < E < E J mm — max max anulándose para E < E . y E > E r mm max En las ecuaciones anteriores y viene dada en (50).

(59)

II -15-

5.3.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN LA TERMALIZACION. En el caso de termalizacion, de (17) se obtiene que la dispersión elás.tica es isótropa en C, por lo cual los desarrollos en serie de polinomios de Legendre del §5.2.2, quedan reducidos al primer término, o bien el espectro de los neutrones de dispersión elástica viene dado en (.4-8 y 49).

5.4.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN LA MODERACIÓN. En el caso de moderación, de (17),la cual está tabulada en la Tabla 1,1, se obtiene que la dispersión elástica puede ser anisotropa en C, aunque solo basta considerar dos o tres términos del desarrollo en serie de polinomios de Legendre. Como entonces la velocidad de los núcleos es despreciable frente a la de los neutrones, basta hacer en las ecuaciones de los §5.1 y §5.2 v' - 0 , luego

v' = vT' , Lr Ln

i+M 1 V

Cn

= v

vT = —i-r- vT' LnN . ,,i Ln 1+M

(60)

v' = CN

(.61)

Ln

'

^ r v' = -vT „ „ . w i Ln LnN

Cn = ~ T VLn' VCN = VCN = 7 7 T vLn

1+M obteniéndose l a f i g . 3 , 1 1 . 5 . 4 . 1 . - RELACIÓN ENTRE v,

(62)

1+M

y er .

Del §5.1.1, se obtiene i (vT ) = v' , E = E ! , (v_ ) . =—: Ln max Ln max " Ln m m M i i

m = M , a

i

v' = /ai v' , E . = a E' (.63) Ln Ln mm

n1-^ 9

= (iVi)

(64)

i2 M

v = — v' (1+a ) + (1-a ) eos Ln 2 Ln [_ eos 6Cn

J

+ 2M~ eos Q n

: M l 2 + 2M 1 eos 6 = r~^ 12

5.4.2.- RELACIÓN ENTRE v L p y De (36), resulta 2 v

. = eos 6 LXi

2 ¡ —v' 'ct-^-

Ln

= vT

iv

i

M +1 Ln —— =— ¿ vi (1 - 4 1 ) y'

Ln Ln

+ 1

Ln

Ln

v'

M -1 Ln ¿

vT Ln

+ 1 (66)

II -16-

5.4.3.- RELACIÓN ENTRE 6 r n y e . . un

Ln

De (38), se obtiene 1 + M 1 eos 8 U = eos 0

=

(68) / M i2 + 2M 1 eos 6 C n + 1

5.4.4.- CASO DE DISPERSIÓN ELÁSTICA ANISOTROPA EN C. En este caso, de (58 y 59) se obtiene

^X

v'

1 - a

1=0

2

(69) V

2M

T

Ln

anulándose para vT < /a 1 v' , vr > v' Ln Ln Ln Ln

1 - a

1=0

ó(y - y ) , a 1 E' < E < E'

P 1

(70)

i

2M

anulándose para E < a

E'

y

E>E'.

En (69 y 70) y viene dada en (.50). Los valores medios (51 a 53) son en este caso

= ~ (1 - a 1 ), L

= 1 + — ,- ln a1, = -\ ¿ 1 - a 3M

¿

(71)

5.5.-ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN ELÁSTICA EN NÚCLEOS DE MASA INFINITA. Cuando se supone que M =°°, de los párrafos anteriores se obtiene

— V

V"'

LN

— V

LN

~ \r ^

LnN

CN

~ v

VT

— 0

CN

'

=

V

V

Ln

vi = v' ='vT = vn Ln Cn Ln Cn

Cn'

— V

Ln

Cn' (72)

y los sistemas L y C coinciden

(vT

) = (vT ) . Ln max Ln m m

= v. , Ln

a

= 1

El espectro correspondiente, valdrá

(73)

II -17-

9' -*• vT nT , 0) = ~ 1(vJ l Ln Ln Ln Ln M-TT

6.-

6(vJ Ln

- vT ) Ln

ESPECTRO DE LOS NEUTRONES DE DISPERSIÓN INELASTICA CON NÚCLEOS LIBRES. Al no tener en cuenta la modificación de los estados cuánticos vibracio-

nal o rotacional de la molécula o del cristal, la dispersión inelástica solo se produce cuando el núcleo residual queda en un estado excitado. En este caso de considerar los núcleos libres, según la Hipótesis VII, la dispersión inelástica solo se aplicará

a los núcleos pesados, siendo isc^

tropa en L. 6.1.-Cuando el núcleo compuesto está altamente excitado, y por tanto, los niveles energéticos son tan densos que pueden considerarse como continuos, el (1) modelo de evaporación del núcleo compuesto , da resultados aceptables. En este modelo, la emisión de los neutrones de dispersión elástica puede asimilarse a la evaporación de las moléculas de una gota líquida, la cual se ajusta a una distribución maxwelliana, caracterizada por una temperatura nuclear dada por

0 =

3.226

(75)

Mev

En estas condiciones, el espectro de los neutrones de dispersión inelás(2) tica, viene dado por

>4(.E' - E, 0) = fCE)

~E/0

(76)

siendo

1, f(.E) =

E > 0.5 Mev Jl

15 ,

E < 0.5 Mev

(77)

'O 0 el cual se ajusta a las medidas en reactores rápidos.

(1)

Velarde, G. - Véase ref. 1, pág. 1.

(2)

Okrent, D., Avery, R., Hummel, H.H. - Proc. Int. Conf. Ginebra 5, 357 (1955).

O

0.2

0.4

0.5

0.8

1.0

1.2

0

0.2

0.4

0.6

Fig.- 1,11

0.8

1.0

1.2

1.4 1.5

sistema L sistema C

núcleo antes de la dispersión neutrón después de la dispersión

núcleo ,después de la/dispersión

neutrón antes de la dispersión

FIG. 2,11

neutrón después de la dispersión

ViLn neutrón antes de la dispersión

\ "' \de la dispersión \ \ \

núcleo después de la dispersión \ \

FIG. 3, II

III -1-

III.-ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES DE BOLTZMANN DEL TRANSPORTE DE NEUTRONES. 1.-

ECUACIÓN DEL BALANCE DE NEUTRONES. La ecuación correspondiente a la densidad fásica neutrónica, se obtie-

ne al plantear el balance entre las pérdidas y las ganancias de neutrones. Esta ecuación se establecerá para la densidad n(r,vfi,t), en vez de para n(r,v,t), con objeto de evitar el factor v

en los espectros de neutrones

secundarios. Sea R. un subespacio arbitrario de R y S Q S U superficie exterior, con

re R o c R. Se considera una determinada clase de neutrones, caracterizados por que en el instantet, tienen un modulo de velocidad dentro de dv en v y una dirección dentro de dfi en ti.

1.1.'-PERDÍDAS POR FUGAS. El número de neutrones de la clase considerada, perdidos por fugas a través de la superficie exterior S_, durante dt, es

n(ro,v^,t)dvdí2

dt dS Q

= -dvd dt fi-Vv n(r,vn,t)dr

(1)

con la integración extendida para todo re R n , r.e5_.

1.2.-PERDIDAS POR COLISIONES. Cualquier neutrón que sufra una colisión, deja de pertenecer a la clase de neutrones considerada, ya que es absorbido, o sufre una dispersión, en la cual modifica el módulo de su velocidad, su dirección, o ambas cosas. El número de neutrones de la clase considerada, perdidos por colisiones en R , ü durante dt, es

-I

R^(í,vQ,v ^(í,ví,vLN 0LN ,t)d?dvdí2dvLNdnLNdt = -dvdíídt n(r s vft,t) I J ~ N 1 (r,t) LN í LN,t)d?c . N^v

) a * ( v )v LN

t

r

dv TM dP, r

LN

T

dr"

(2)

LN

con la integración extendida para todo re Rfi; v tiT 6 Vxti.

1.3.-GANANCIAS POR DISPERSIONES Y FISIONES. Un neutrón incidente o primario de velocidad v' al producir en el ins-

III - 2 -

t' un proceso de dispersión o fisión, con un núcleo i de velocidad v' , puede dar lugar a neutrones secundarios de la clase considerada. El núme_ ro de neutrones secundarios de la clase considerada, producidos por las dispersiones y fisiones en R Q , durante dt, es

^ J

con la integración extendida para todo r e R

/

[^v'fr.f-vS, t;

; v'ü' , v' ü' e Vxíí ; t' > t ,

y siendo x = s,f; p,d. 1.3.1.- Para los neutrones de dispersión, teniendo en cuenta (17,1; 18,1; 19^1 y 32,1), el término anterior toma la forma

^(v,t) N X (v¿ N ) a¡CvM x^v'í'-.víj v vü) , ''S

'

S

S

J

-

v

3t * r ' V '

t —

# / • • *r • V* "

* '

'

1 Xá Pd(r,v,t) + Q(r,v^,t), d

•^- P d (r,v s t) =-X

V

•*"

^ ^

¿tl-r5v5

e F

P (r,v,t) +x d (v) B d

^

(26)

v(v') ^ f (r,v',t) ^>(r,v'^',t) dv'dfi',

e F

(27)

4.1.3.- Eliminando X,P,, y teniendo en cuenta (16, I ) , resulta

v 3t

'

'

4-TT

3t

' '

^ ^

-> v ,

'

'

^"t

' '

'

'

III -9-

v(v') If(r,v! ,t) • 1

( ? ' f i 1 ,t) dv'dfi' + Q(r,vft,t), (?,v'fi

~Xñt i 1 -x,(t-t!) ( P d (r,v,t) =P d (r,v,0) e + dt' e x d (v) &á v(v') £f(r",v',t') • • e F y las (39 y 38), en

III -12-

v 1-|^(|)(vn,t) +~

¿ ^

j£ P(v,t) = ((Rt+S+F)(j)) (vfi,t) +Q(vfi,t),

M F

F d ( v ,t)=-¿-X d P d (v 5 t) + (F d «,) (v,t), * 6 F

(47)

5.2.-ELIMINACIÓN DE LA DIRECCIÓN DE LOS NEUTRONES. Como las secciones eficaces no diferenciales, y las densidades de nú cieos se han supuesto isótropas en L (32,1 y 1 7 , 1 ) , llamando a

J(r,v,t) = m

v, se consideren los núcleos en reposo, salvo en la región

III -16-

de las resonancias, que se tratarán por separado. El valor de E. es arbitrario, y según las librerias de secciones eficaces condensadas en pocos grupos, se suele tomar en E. =0,625 ev. En estas condiciones, el flujo puede descomponerse en un flujo de mode ración § , y otro de termali zacion o térmico < j > ,

(64)

v. £ v =< $_(r,vO,t) ,

0 < v < v.

i

—

—

(65)

i

empleándose en las ecuaciones de Boltzmann, con las condiciones

X (v) = 0 , X

v < v. ; —

-i

v

=v ,

I

v > v. —

(66)

1

5.4.1.- ECUACIONES DE BOLTZMANN PARA LA MODERACIÓN DE NEUTRONES. Estas ecuaciones se obtienende las (28 y 27), teniendo en cuenta (6M- a 66),

- • g - M(r,vfl9t) + ¿ -g- P(r,v,t)

¿ X-(V) v(v!

(r,v'íl' -> vñ,t)

F (67)

'dfi' +Q(r,vQ,t)

(?JvIn'st)dvIdnl

Pd(r\v,t) =-X d Pd(?,v,t) +x d (v) 3 d ív(v') QdT(r",v,t),

i

;

(j)M,

(68)

T(?,v'Q',t) dv'díl1,

v >_v i 5 v 1 < v i ?

Q dT (r,v,t) =x d (v) B d v(v')

x f (v)

v(v')

(69)

T 6 F

3v'Q'

,t)dv'dn' , v

III -17-

T e F

(.70)

Análogamente, las ecuaciones de moderación en forma operacional (39 y 38),

son

V-1

7 F *M

+

P = B

W £

I5TWPd = - ¿

A

d

P

d

+F

*M+

Q + Q

T'

d*+WQdT'

V

V

1 V

>

V

V

' > V ' *M' ^T £

i ' V' ^ V * T 6 F

R71)

(72)

con € F

(73)

En el caso de que no se considere la dispersión con ganancia de energía, el primer término de (69 y 73) sería nulo.

5.4.2.- ECUACIONES DE BOLTZMANN PARA LA TERMALIZACION DE NEUTRONES. Partiendo de las ecuaciones (28 y 27), y teniendo en cuenta (64 a 66), resulta

^ —

4>T(?,ví3,t) +~

P(r,v,t) =-fi-V(t)T(r,vn,t) - ^(r.v.t) í>T(r,vfi,t) +

'dQ1

+ Q(r ,vtt,t) + Q^ir ,vfi,t) , v

v.

siendo Q M la densidad de fuente de neutrones debida a las dispersiones producidas por neutrones incidentes de velocidad v1 > v.,

gCr.v'ft1 -»-vfl,t) ^(r.v'íí1 ,t) dv'dfl1 , v V

i'

^M

£ F

(78)

5.4.3.- Las ecuaciones de moderación (69 y 70) son de estructura más senci lia que las generales (28 y 27), debido a que fuera de las resonancias se suponen los núcleos en reposo. Las de termalización (75 y 76) carecen del termino de fisión. En realidad, lo que se ha hecho es transformar un siste ira de 1 + d

ecuaciones Íntegrodiferenciales (28 y 27), en un sistema de

2(1 + d ) ecuaciones Íntegrodiferenciales (69, 70, 75 y 76) más sencillas, que pueden resolverse por un procedimiento iterativo. En la práctica la simplificación es más importante, ya que en el cálculo de reactores es suficiente emplear valores asintóticos para los flujos 4>M y que intervienen en las fuentes 0,,, Q™, Q,_.

5.5.-ELIMINACIÓN DE LOS NEUTRONES RETARDADOS. En el caso de la cinética de reactores es importante la contribución de los neutrones retardados, por lo que ha de tenerse en cuenta la ecuación (27 ó 38). Si no se consideran los neutrones retardados, la ecuación general (26), se simplifica en:

^ TTT (r9vft,t) = -fi'V (r,v£2,t) - I (r,v,t) $(r,vü,t)

• (Kr.v'ft' ,t) dv'díí' + ~

+ Q(r,vQ,t),

X f (v)

v(v') ^ f (r,v',t) ^(r.v'n' ,t) dv'dfi'

tj) £ F

(79)

y l a e c u a c i ó n g e n e r a l o p e r a c i o n a l ( 3 7 ) , p r e s c i n d i e n d o de l o s a r g u m e n t o s , en

v ' 1 -— $ = (L+R.+S+F) T = M ^

e¿> Za única

función

^

e F pana, todo

pnop¿a cíe ¿-¿gno

que. r,

donhtan-

t, formen un conjunto completo, cualquier función f e F , puede desarro liarse en la forma f = a, r. +• S a. é, + S an én (96) k n k. ,n , k ,m Y k ,m 0,m Y0,m 0 0 n;¿0,k n n n n mm n 'n 'n m n habiendo separado los términos de L y k = 0, y representando el subíndice mn las diversas funciones propias (ta m linealmente independientes, corresn' n pondientes al mismo valor propio k . (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Shikhov, S.B. - Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 7_, 1, 113 (1967). Vladimirov, V.S. - AECL 1661 (1963). Ebersoldt, F. - Jul 711 MA (1970). Borysievicz, M. Mika, J. - Tran. Theo. and Stat. Phy. 2, 3, 243 (1972). Habetler, G.J. y Martino, M.A. - KAPL 1886 (1958). Henry, A. - Nuclear Reactor Analysis - MIT Press (1975).

III -23-

6.1.3.- RELACIÓN ENTRE REACTOR CRITICO Y REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO. Si el reactor sin fuentes independientes, es crítico en el instante t , ten drá por ecuación la (81) B=0, que comparada con la (93), dará entonces el valor propio P n =0, k =1, y el reactor virtual coincidirá con el real. Pero no recípro_ camente, ya que si p =0, k =1, como la ecuación B-, =0 es distinta de la (39) -13 1*9 ° v -KI: 41 + Tt—"•^rP=^(íl> s e r á , ¿$, no teniendo por que verificar la condición dt

H Tí ot

Kn

de criticidad (87). En resumen, en un reactor sin fuentes si es = = n o independientes, es

crítico se verifica que Pn 0, k =1; pero s i Pn 05 ^ = 1 ,

según (

j> tiende 5VI)(

e s t i c o , aunque

asintoticamente a , . K 0

6.1.4.- SIGNIFICADO FÍSICO DE K Q . Integrando (90) en todo el espacio fásico R x V x Q, y teniendo en cuenta que según (23) después de la integración, el tercer término se anula con la componente de dispersión del segundo, resulta

fv(v') £f(r\v',tQ) *k (r.v'ft1) dv' dfl' dr (97)

k (r,vfi) dvdfidr + h ( r , v , t Q ) k (r,vfi) dvdfidr La ecuación anterior representa la razón entre el número de neutrones produ_ cidos por fisión en el reactor, por unidad de tiempo, y el número de neutrones perdidos por fugas a través de la superficie libre del reactor y por absorción en el reactor, en la unidad de tiempo. Debido a esto, K Q se llama factor efectivo de multiplicación del reactor. Nótese que en (97) los parámetros nucleares son los del reactor real, mientras que los flujos corresponden a los del reactor virtualmente crítico.

6.2.- REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON a. Cuando:

i ) La configuración del reactor es independiente del tiempo, i i ) Las densidades nucleares son independientes del tiempo, o sea N ( r , t ) =

al efectuar la transformada de Laplace de ( 4 3 ) , resulta = 0

(98)

que desarrollada y eliminando P,, o directamente hallando la transformada de L a place de (28 y 27) y eliminando P,, resulta 'Q' ->-vfi)

• dv'dfi' + ± [xf(v) - I l ^ .

III

f

d

\* i /\ -.

-24-

K±

?

l

1

Ct

(99)

£ F

o en forma o p e r a c i o n a l , p a r t i e n d o de (39 y 38)

(B-

)

^

v

a i a+A, d d

siendo f

da

Q (r,vfi,a)+ — é(r,vQ,O)+ ;— > — r — P,(r,v,O) =o, d d (100)

* eF a

la transformada de Laplace de parámetro ex. La ecuación anterior es

de forma análoga a la ecuación del reactor crítico (88), con tal de sustituir

•(?,vft,t o w a (r,vn,co, lt -»• lt + ^,Xf •+ x f - I ^ - x d , Q(?,vn,t 0 ) -»• d -»• Qd(?,vn,a) + i (j)(?,v^,0) + ^

^ ~ r Pd(?,v,0) d d

' d (101)

6.2.1.- ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS EN a. Para que la (98) sea una ecuación de valores propios, es necesario que .

i) = 0, como la ecuación -1 8 B = 0 es distinta de la (39) v — = B, será $a f , no teniendo 0 , . . , 0 porque verificar § la condición de criticidad (79). Comparando estos resultados con los del §6.1.2, se obtiene que si el reactor es crítico a n = 0, p = 0, k_ = 1.

6.3.-REACTOR VIRTUALMENTE CRITICO CON X. Se define como reactor virtualmente crítico con X, en el instante t , al reactor que tiene la misma configuración y composición que tiene el reac tor real en el instante t , excepto que el numero de neutrones secundarios emitidos por colisión queda dividido por un factor constante X, de tal modo que el reactor virtual así obtenido sea crítico, o sea, tenga un flujo que cumpla la condición (87). La diferencia entre un reactor virtualmente crítico con X y uno con k, radica en que en el primer caso la criticidad se alcanza modificando el número de neutrones secundarios emitidos por colisión, es decir, por dispersión y por fisión, mientras que en el segundo caso se alcanza modificando solamen_ te los de fisión. La ecuación integrodiferencial de Boltzmann del reactor virtualmente crítico, sera (28)

;t(?,v,t0: h(íM) +

-Ü-V

v(v')

{

(r ,

= 0,

)dv'

(110)

o en forma operacional (39) (L+Rt)

~ (S+F)

= o,

(lil)

La ecuación de valores propios generalizada (111), puede transformarse en una ordinaria, teniendo en cuenta que el operador (L+R,) no es singular, por lo que admitirá inverso (L+R )

, el cual es un operador integral cuyo

núcleo es la función de Green del problema de contorno del §5,IV. De esta for ma, se obtiene la ecuación integral

-(L+R.) T

(S+F)

= X

(112)

III - 2 8 -

El problema queda reducido a calcular los valores propios X. y las ^ funciones propias (j>^ e F

r

-i

) -(L+R )

del operador

1

i

(S+F)

6.3.1.- ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE VALORES PROPIOS. El análisis de la ecuación de valores propios en A es análogo al efectuado en el §6.1.2, resultando i) Existe un valor propio X~ , positivo y simple tal que Xfi > |x |, n^O , al cual corresponde una función propia , £ F para todo r,?!Í £ R x 1/ x Q, Además, , es la única función propia de sig0

no constante en R x 1/ x fi. Por tanto, todas las y las ecuaciones (1 y 2) serán conjugadas una de la otra. Multiplicando (1) por el bra arbitrario del bra anterior, y tenien do en cuenta la propiedad del producto escalar = , resulta

= y

z> son kets arbitrarios, se obtiene que , según se consideró al pasar de (1) a (2) Nótese que los kets |x> y |z> son arbitrarios, y si el medio es finito, satisfarán, en general, condiciones de contorno distintas.

2.- ECUACIONES DE VALORES PROPIOS. Si |y> = o|x>, se tiene que

===> sus kets propios, y la de 0 siendo = o ' j x ' > = = > son adjuntas de las de |x>, y al problema correspondiente a la ecuación (5) con sus condiciones de contorno, problema adjunto del correspondiente a la ecua cion'(4) con sus propias condiciones de contorno.

2.1.-ORTONORMALIZACION. Particularizando la primera ecuación (4-) para el valor propio o., y la segunda ecuación (5) para el o'., al multiplicar la primera por , y restar los resultados, se obtiene — 5'i

4-

(o . - o '. ) = 0

(6)

Si los kets propios |x.> forman un conjunto completo, todos los o', es tan entre los o. ,y si los kets propios |x".> forman un conjunto completo, todos los o. están entre los o. ; ya que por ejemplo, si los |x.> forman un conjun to completo, y o

k

no está entre los o., de (6) se obtiene que = 0, ^

i

es decir,el ket propio |x, > es ortogonal a cada ket

K

i

x.> de un conjunto com

pleto, luego debe ser idénticamente nulo contra lo supuesto. 2.1.1.- En mecánica cuántica, los operadores asociados a observables son auto adjuntos o hermíticos O1 = 0, luego |x'>= |x>,