Conjuntos: · (x^2)+(y^2)=(r^2) => Esfera en el plano · (x^2)+(y^2)+(z^2)=(r^2) => Esfera en el espacio. · ((x-x0)^2)+((y-y0)^2)+((z-z0)^2)=(r^2) => Esfera en el espacio centrada en (x0,y0,z0) · (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1 => Elipse (en el plano) de semiejes a y b. · Para demostrar si un conjunto es abierto, cerrado, o ninguna de las dos cosas, a veces es útil coger su complementario (que será lo contrario). · Para representar algo en el espacio, muchas veces es útil fijar zetas y dibujar en planos z=cte. · A*x+B*y+C*z+D=0 => Plano en R3. · Cosenos directores son del tipo Cos(alfa)=Vx/|V| **** Sucesiones: · Dada una sucesión en Rn, L es el lÃ−mite de (Xk) sii para todo Eps>0, existe K(Eps) natural tal que para todo n>=K(Eps), ||Xn-L|| Existe K(Eps) natural tal que K(Eps)>Eps. · Métodos para demostrar cosas: inducción y reducción al absurdo. · Desigualdad de Bernouilli: Para todo n>=2, a>(-1), ((1+a)^n)>(1+n*a) · Si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos sucesiones, hacemos lo mismo con los lÃ−mites y ese es el lÃ−mite de la sucesión resultante. · Sucesión acotada: (Xk) de Rn acotada sii Existe M>0 tal que ||Xk||
x de Rn pto de acumulación de S sii para todo k natural, existe ak de S tal que 0<||x-ak||<(1/k) · Teorema de Bolzano-Weierstrass: Una sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente. · Truquillo a veces útil: (2^(n-1))>(n!) · Sucesión de Cauchy: Dado Xk de Rn, Xk es sucesión de Cauchy sii para todo Eps>0 existe n0 natural tal que para todo m>n>n0, ||Xm-Xn|| sucesión de Cauchy! · Una sucesión es convergente sii es de Cauchy. · Progresión geométrica de razón r: Sn=(a1-an*r)/(1-r) La fórmula se halla restando (r*Sn) a Sn. · Si ((a(n-1))/an) (para todo n>=n0, an real y mayor que cero): · = an->0 · >=c>1 => an diverge a +inf. · =c=1 an=a(n+1)=a1 (términos ctes) **** Series: · Las series SIEMPRE son infinitas, S=lim(Sk,k->inf) · Como Xk=Sk-S(k-1), se puede ver a partir de ahÃ− que si la serie converge, lim(Xn,n->inf)=0 => sum(Xn) converge · Sum(Xn) converge sii Sk acotada. · Criterio integral de Cauchy: desde hasta de f: [n0,+inf[ -> R, n0 natural, contÃ−nua y decreciente a cero => sum(n=n0,inf,f(n)) C sii int(n0,+inf,f(x),dx) C (aunk no valgan lo mismo). · Métodos de estudio: · Por inducción. · Series de términos positivos: · Criterio de comparación: Si lim(Xn/Yn,n->inf)=l, entonces: · l distinto de cero => Tienen igual carácter (las dos convergen o divergen). · l=0 Si sumYn C => sumXn C 2

Si sumXn D => sumYn D · Criterio de la raÃ−z de Cauchy: Dada Xk, r>0, lim(xroot(k,Xk),k->inf)=r, entonces: · r>1 => sumXk D. · r<1 => sumXk C · r=1 => Nada, ya que se puede acercar por + ó -. · Criterio del cociente: lim(X(k+1)/Xk,k->inf), entonces: · r>1 => sumXk D. · r<1 => sumXk C · r=1 => Nada. Ej: sucesiones n y 1/n. · Series alternadas: · Teorema de Leibniz: Si an decreciente, an>0, lim(an,n->inf)=0 => sum(((-1)^(n-1))*an) C. · Series de términos cualesquiera: · Suma parcial de Abel: Dados (an), (bn), An=dum(k=1,n,ak) => sum(k=1,n,ak*bk)=An*b(n+1)+sum(k=1,n,Ak*(bk-b(k+1))) · Criterio Dirichlet: Dada sum(an) tal que An acotada, dada (bn) decreciente, lim(bn)=0 => sum(an*bn) C. · Serie telescópica: Dadas (an), (bn) tal que an=bn-b(n+1) => sum(an) C sii (bn) C => sum(an)=b1-lim(bn) · Criterio de Abel: Dadas sum(an) C, (bn) monótona C => sum(an*bn) C · Serie aritméica: a(n+1)=r+an => Sn=(n/2)*(a1+an) · Serie geométrica: an=a1*r^(n-1) => Sn=(a1-an*r)/(1-r) => (Si |r|<1) => S=a1/(1-r) · Si una serie no es ni geométrica ni aritmética, puede que sea telescópica. · Series absolutamente convergentes: Dada Xn de Rn => => sum(Xk) es absolutamente convergente sii sum(||Xk||) C. Nota: ||Xk|| son todo términos positivos, aviso... => Si sumXk C y sum||Xk|| no C => sumXk es condicionalmente convergente. => Si sum||Xk|| C => sumXk C porque sum||Xk||>=sumXk (por el criterio de comparación) (esto no vale en sucesiones). · Teorema de Riemann: Si sum(an) es condicionalmente convergente, an real, dado S real => Exite sum(bm) 3

tal que bn=a(f(n)) tal que sum(bn)=S · Series contractivas: Dada (Xk), si ||X(k+1)-Xk||= Xk es de Cauchy. (k>=2, claroxtá, para que los Ã−ndices sean todos positivos). **** Representaciones de R2 en R: · Coordenadas polares (plano): (ro^2)=(x^2)+(y^2), fi=ArcTg(y/x), x distinto de cero. · Coordenadas cilÃ−ndricas (espacio): x=ro*Cos(fi), y=ro*Sen(fi), z=z. · Coordenadas esféricas (espacio): x=r*Sen(theta)*Cos(fi), y=r*Sen(theta)*Sen(fi), z=r*Cos(theta). **** LÃ−mites de funciones: · L´Hópital solo se puede aplicar en indeterminacios, si keda algo/0 no existe el lÃ−mite. · f:S de Rn en Rm, dad a de Rn, b de Rm: lim(f(x),x->a)=b sii dado Eps>0 exite delta(Eps)>0 tal que ||x-a|| ||f(x)-b||a)=l sii lim(fi(x),x->a)=li, i=1,2,...,n. donde f(x)=(f1(x),...,fm(x)), l=(l1,...,lm). · LÃ−mites iterados: (ejemplo con pto (0,0)) · Si existen: · lim(f(x,y),y->0 (x=cte)) · lim(f(x,y),x->0 (y=cte)) · Entonces, si lim(lim(f(x,y),x->0),y->0)=lim(lim(f(x,y),y->0),x->0)=l, lim(f(x,y),(x,y)->0)=l en caso de que exista. Esto es útil pq si no coinciden los lÃ−mites iterados (recuerda q deben existir para k esto valga), la función no tiene lÃ−mite. · El lÃ−mite de la suma es la suma de los lÃ−mites y tol rollo ese... · En el cambio a polares recuerda que el resultado no debe depender para nada de theta (en algunos casos es mejor mirar cuando no hay indeterminaciones que cuando las hay).

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**** Continuidad: · Definición: existe lÃ−mite de f(x) en a y es f(a) sii f contÃ−nua en a. · En varias coordenadas: Exite el lÃ−mite si existe en todas las coordenadas. · f contÃ−nua en a sii para todo Xk de S tal que Xk->a => f(Xk)->f(a) · S de Rn cerrado, acotado y no vacÃ−o (cerrado y acotado = compacto), f contÃ−nua en S => f(S) cerrado, acotado y alcanza sus extremos. · Teorema de la densidad: Entre dos racionales cualesquiera, siempre hay un irracional. · Teorema de la compresión o del bocadillo: Si acotas una función entre otras dos que tienden a un mismo lÃ−mite, esa función tiene el mismo lÃ−mite. · Una función lineal es contÃ−nua si es combianción de funciones contÃ−nua. · La composición de dos funciones contÃ−nuas es contÃ−nua. **** Cálculo diferencial: · Si la tangente a un curva es horizontal => hay un máximo o un mÃ−nimo. · Derivada: f'(c)=lim((f(x)-f(c))/(x-c),x->c)=lim((f(c+h)-f(c))/h,h->0). · Diferencial: dfa(h) (a es el punto, h la dirección) = f(a+h)-f(a)=(f'(a))*h · Derivada direccional: Dvf(a)=f'(a,v)=lim((f(a+h*v)-f(a))/h,h->0) · Derivada parcial: Derivada respecto a los vectores de la base: Dif(a)=(df/dx1)(a)=Deif(a) Ejemplo: D1f(0,0)=lim((f((0,0)+h(1,0))-f(0,0))/h,h->0) · Si una función es lineal, su aproximación diferencial será ella misma. · fi=dfa ; dfa(x)=f'(a)*x ; f diferenciable en a sii existe una aplicación LINEAL fi tal que lim((f(a+u)-f(a)-fi(u))/||u||,||u||->0)=0 · Gradiente de f en a: grad(f(a))=(D1f(a),...,Dnf(a)) => dfa(v)=grad(f(a))*v=(si ||v||=1)=Dvf(a) · Una función es diferenciable en un punto si todas sus coordenadas lo son. · Matriz asociada de Jacobi:

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(df1/dx1 .. df1/dxn) f'=Djfi(a)=(..................) (dfn/dx1 .. dfn/dxn) (df1(a)) (Dvf1(a)) (grad(f1(a))) dfa(v)=(......)=(.......)=(...........)*v (dfm(a)) (Dvfm(a)) (grad(fm(a))) · Condición suficiente de diferenciabilidad es que existan las derivadas parciales y sean contÃ−nuas en a <=> f contÃ−nuamente diferenciable => f diferenciable (al revés no vale). · Para ver si existen y son contÃ−nuas las Di en un punto: 1) Calculamos Di(f(x,y)) 2) Calculamos con la definición Di(f(a)) 3) Calculamos el lÃ−mite en el punto a de Di(f(a)) que ha de ser igual al hallada con la definición, entonces será contÃ−nua. (Deben de existir, claroxtá). · Si f,g diferenciables en a => cualquier combinación lineal de ellas lo será. · Regla de la cadena: h=gof => dha=dga+dfa => h'(a)=g'(f(a))*f'(a) (producto matricial, asumiento f diferenciable en a y g diferenciable en f(a)). · Derivadas parciales de órden superior: DjDi(f)=(d^2)(f)/(dxjdxi)=(d/dxj)(d/dxi)(f) · Teorema de Schwarz: Si existe una derivada cruzada y es contÃ−nua en a, la otra también existe y además valdrá lo mismo. · Una función es diferenciable en un punto si existen sus derivadas direccionales (por tanto, también parciales) y su plano tangente (formado por dichas derivadas) en ese punto. **** Aproximación de funciones y problemas de extremos: · Teorema de Taylor: f(x)=Pn(x)+En(x) => Aproximación cerca del punto x0: Pn(x)=sum(k=0,n,(fsuperk(x0)/k!)*((x-x0)^k)) => Resto de Lagrange: En(x)=((fsuper(n+1))(c))/((n+1)!)*((x-x0)^(n+1)), c de [x,x0] ó [x0,x] => En(x)->0 si x->x0, y si además En(x)->0 cuando n crece => La serie infinita es igual a la función para todo x.

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=> Propiedades: · Linealidad: Pn(alfa*f+beta*g)=alfa*Pn(f)+beta*Pn(g) · (Pn(f))'=P(n-1)(f) => Aplicaciones geométricas: · Existe f' contÃ−nua en [a,b], f''(x0) distinta de 0, x0 de [a,b] => si f''(x0)>0 => f convexa; f''(x0)<0 => f cóncava. · fsuper(p-1)(x0)=0, fsuperp(x0) distinto de cero => · p par => fsuperp(x0)>0 convexa; fsuperp(x0)<0 cóncava. · p impar => La curva corta a la tangente. ·fsuper(p-1)(x0)=0, fsuperp(x0) distinto de cero => · p par => fsuperp(x0)>0 mÃ−nimo local ; fsuperp(x0)<0 máximo local. · p impar => pto de inflexión. · Función de clase C^k: f tiene derivadas contÃ−nuas hasta de órden k. · Teorema valor medio: c de [a,b], f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) · Teorema valor medio multivariable: f(b)-f(a)=grad(f(c))*(b-a), c de [a,b] · Acotación del resto con Taylor: Ej: acotar exp(1) con tres décimas exactas: · Em(1)<10^(-4) (3 décimas), pto referencia x0=0 · M (cota) > exp(1) => M=3 ; M>=fsuper(n+1)(x)=exp(1) ·En(x)=(fsuper(n+1)(c))/((n+1)!)*((x-x0)^(n+1))= ((n+1)!)>3*10^4 => Debo encontrar Pn(x)=sum(k=0,n,(fsuperk(x0))/(k!)*((x-x0)^k)) llegando hasta n tal que ((n+1)!)>3*10^4 · Fórmula de Taylor para varias variables: · L(x,y) (órden 1) = f(x0,y0)+(1/1!)*(D1f(x0,y0)*(x-x0)+D2f(x0,y0)*(y-y0))

· Q(x,y) (órden 2) = L(x,y)+(1/2!)*()=f(x0,y0)+(1/1!)*(D1f(x0,y0)*(x-x0)+D2f(x0,y0)*(y-y0))+(1/2!)*(D11f(x0,y0)*((x-x0)^2)+D12f(x0,y · Para senos, cosenos y to eso, las series de potencias llevan una lógica con la que se puede atajar (vamos, su serie de Taylor de to la vida, k la sabe tol mundo). · D(superk)(subv)=D(k,v)f(x)=(v1*D1+...+vn*Dn)^k

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· f(a+h)=sum(k=0,m,(D(k,h)f(a))/(k!))+(1/(m+1)!)*D(m+1,h)f(c), c de [a,a+h[ Pmf<-------------------------- ----------------------->Emf **** Extremos de funciones de varias variables: f: U de Rn -> R · f máximo local en a si existe B(a,delta) de U tal que f(x)==f(a) para todo x de B(a,delta) · Si grad(f(a))=0 => a punto estacionario (crÃ−tico). · f presenta un extremo local en a => Dif(a)=0, i=1,2,...,n. (pero no al revés) · Q(x)=(x^t)*A*x => · >0 => definida positiva sii deltai>0 · <0 => definida negativa sii deltai alternan · semidefinida en otro caso. (D11f(a) .. D1nf(a)) · H(f,a)=(matriz hessiana)=(..................) (Dn1f(a) .. Dnnf(a)) |A B| (B está 2 veces pq las derivadas cruzadas (por Schwarz) son iguales) · delta=det(H(f,a))=(con n=2 (2 variables))=|B C|=> · delta>0 => si A (=delta1=D11) >0 a mÃ−nimo relativo ; si A<0 a máximo relativo. · delta<0 => a pto de silla. · delta=0 => dudoso. · Q(h)=(h=(x,y,z),por ejemplo)=(1/2)*(h^t)*H(f,a)*h, a pto estacionario => · Q(h)>0 => a mÃ−nimo. · Q(h)<0 => a máximo. · Q(h1)>0 y Q(h2)<0 => a pto de silla. · Valores propios de H(f,a) =>

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· >0 => a mÃ−nimo. · <0 => a máximo. · >0 y <0 => a pto de silla. · Teorema de la función inversa: · f: U de Rn en Rn. existe V de U talque a es de V · U abierto, a de U => W tal que b=f(a) de W de froma que: · f de (C^1)(U) f:V->W es invertible y (f^(-1))'(b)=(f'(a))^(-1) ·det(f'(a)) distinto de cero => Para ver dónde una fc es invertible, se calcula su matriz de Jacobi y se el determinantes es distinto de cero, lo es. => La derivada de una función multivariable es su matriz de Jacobi. => Según el Teorema de la función inversa: (g')^(-1)=(g^(-1))' · Ejemplo de cálculo de una derivada a partir de su función inversa: · (d/dx)(ArcTg(x))? · y=Tg(x) · y'=1+(Tg(x))^2 · Sea y(x)=ArcTg(x) => (Tg(y(x)))'=x' => (1+((Tg(y))^2))*y'=1 => y'=1/(1+((Tg(y))^2)) => => y'=1/(1+((Tg(ArcTg(x)))^2)=1/(1+(x^2))=(d/dx)(ArcTg(x)). ****"

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