Tema 06: Derivación implícita, vector gradiente y derivadas direccionales Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica

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Derivadas direccionales

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Introducción Ejemplo Se ha estudiado la derivación hasta el momento para funciones explícitamente dependientes de dos o tres variables (por ejemplo: z = f (x, y) = y2 ex+y . Considerar el caso de una superficie cuádrica como la esfera: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Geométricamente, tiene sentido interpretar la razón de cambio de z respecto a x y y. Pero no puede calcularse con los métodos estudiados hasta el momento.

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Introducción (2)

No se puede despejar la variable z como función inequívoca en términos de x y y. Pero sí podríamos intuir que z varía conforme cambian estas otras variables.

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Metodología Método Se redefine la expresión de la esfera con una función auxiliar F(x, y, z), la cual se obtiene de mover todos los términos de la misma a un lado de la igualdad: 2

2

2

2

F(x, y, z) = (x − a) + (y − b) + (z − c) − R

=

F

0

x Podemos estudiar la dependencia de las funciones y variables con el método del árbol de dependencias.

y

z

x

y

Derivando a ambos lados la expresión F(x, y, z) = 0, se pueden obtener las expresiones buscadas para las derivadas parciales de z. MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Metodología

Respecto a x

Respecto a y

F(x, y, z)   ∂z ∂x   ∂z 2(x − a) + 2(z − c) ∂x

∂F ∂F = + ∂x ∂x



∂F ∂z

=

0

=

0

=

0

F(x, y, z)   ∂z ∂y   ∂z 2(y − b) + 2(z − c) ∂y

∂F ∂F = + ∂y ∂y



∂F ∂z

=

0

=

0

=

0

De las expresiones finales, es fácil despejar las expresiones requeridas ∂z ∂z para las derivadas ∂x y ∂y .

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Definición formal

Derivación implícita Sea F(x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ) = 0 una expresión que define implícitamente a la variable xi como función de otras variables cualesquiera xi = g(y1 , y2 , ..., yi , ..., yn ). La derivada parcial de xi respecto a yi se define como  ∂xi ∂yi

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= −

∂F ∂yi



∂F ∂xi



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Trucos y observaciones Debe entenderse bien la diferencia entre la cantidad de argumentos de una función, y la cantidad de variables de la que depende. Ejemplo: sea F(xz2 , y + log(z)) = 0 la expresión que define implícitamente a z como función de x y y. Entonces, la función F depende de dos argumentos y de tres variables. Para crear el árbol de dependencias en estos casos, se sugiere dar un nombre auxiliar a cada uno de estos argumentos. En el caso del ejemplo, F(u, v) = 0, con u = xz2 , v = y + log(z), y z = f (x, y). Tener precaución cuando se combinan expresiones de funciones no especificadas y expresiones algebraicas conocidas. Ejemplo: F(xz, yez , xyz) + 3xy2 z = 0. Dar un nombre de función auxiliar a toda la expresión que se encuentra a un mismo lado de la igualdad: G(x, y, z, F) = F(xz, yez , xyz) + 3xy2 z.

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Motivación

En la analogía de la altitud como función de la latitud y longitud, vimos como las derivadas parciales corresponden al cambio en la altitud conforme se avanza en dirección sur-norte o oeste-este. ¿Qué sucede si se decide avanzar en dirección sureste, o alguna otra dirección completamente arbitraria? La derivada direccional permite calcular la razón de cambio de un campo escalar respecto a una dirección arbitraria en el subespacio de las variables independientes. MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Formulación Se desea conocer la razón de cambio de la función z = f (x, y) para el punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) en la dirección del vector arbitrario ~v = (vx , vy ). Definamos la ecuación de la línea recta, en el plano de dos dimensiones, que pasa por el punto (x0 , y0 ) y lleva la dirección del vector ~v: (x, y) = (x0 , y0 ) + t(vx , vy ). Re-definamos esta recta normalizando el vector ~v, para que variaciones en el parámetro t no estén ligadas a la magnitud del vector director de la recta: (x, y) = (x0 , y0 ) + t(ux , uy ) v con ~u = |~~v| .

z

x

y

t

t

Ahora se puede estudiar la variación de la función z respecto al parámetro t, utilizando la teoría de derivación implícita. MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Definición De acuerdo con las consideraciones anteriores, podemos definir la derivada direccional de la siguiente forma:

Definición Se define la derivada direccional de la función z en la dirección del vector ~v como 

     ∂z dx ∂z dy D~u z(x, y) = + ∂x dt ∂y dt     ∂z ∂z = ux + uy ∂x ∂y

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Vector Gradiente Reacomodando la definición anterior, podemos escribir:    ∂z ∂z ux + uy D~u z(x, y) = ∂x ∂y   ∂z ∂z , · ~u = ∂x ∂y 

El vector gradiente para campos de dos variables − →  ∂z ∂z  Se define como vector gradiente al vector ∇z = ∂x , ∂y Entonces resumimos así la definición de derivada direccional − → D~u z(x, y) = ∇z · ~u MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Vector Gradiente: utilización De la definición de la derivada direccional, y re-expresando el producto punto, se obtiene: − → D~u f (x, y) = ∇f · ~u − → D~u f (x, y) = k∇f k cos θ − → Por lo tanto, el máximo valor de la derivada direccional se da cuando ∇f k ~u, − → y su valor es nulo cuando ∇f ⊥ ~u.

Vector gradiente y razón de cambio El vector gradiente indica la dirección en la cual la función posee la derivada máxima (creciente). La dirección opuesta al vector gradiente indica, por lo tanto, hacia dónde la función tiene el valor mínimo (decreciente). En las direcciones perpendiculares al vector gradiente, la función no presenta variación (derivada direccional nula). MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Vector gradiente y curvas de nivel

Los corolarios anteriores nos llevan inmediatamente a la siguiente conclusión: − →  ∂z ∂z  Para un campo escalar z = f (x, y), el vector gradiente ∇z = ∂x , ∂y evaluado en un punto P, será perpendicular a la curva de nivel que pasa por P. Ejemplo: demostrar que los corolarios también implican que los ríos siempre descienden de las montañas en la dirección opuesta al vector gradiente (y perpendiculares a las curvas de nivel). MA-1003 Cálculo III (UCR)

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Vector gradiente y superficies de nivel

Siguiendo el mismo razonamiento, se puede demostrar que el vector gradiente de un campo escalar de tres variables independientes es perpendicular a sus superficies de nivel:

Teorema −→  ∂f ∂f ∂f  Para un campo escalar w = f (x, y, z), el vector gradiente ∇w = ∂x , ∂y , ∂z evaluado en un punto P = (x0 , y0 , z0 ) es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por P.

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Vector normal a una superficie El resultado anterior se puede utilizar para obtener el vector normal a una superficie en R3 :

Gradiente y vector normal Sea S : f (x, y, z) = 0 la ecuación de una superficie en R3 y P un punto ubicado en dicha superficie. Entonces, − → ∇f P ⊥ S será el vector normal a la superficie que pasa por P. Esta derivación se basa en interpretar a la superficie S como una superficie de nivel particular de un campo escalar (auxiliar y desconocido) w = f (x, y, z). De esta forma puede obtenerse el plano normal a una superficie dada cualquiera. MA-1003 Cálculo III (UCR)

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