Tema 1. Cálculo diferencial

Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten formular de manera precisa la dependencia de una magnitud respecto de otra.

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Introducción. Por ejemplo, La presión P a que está sometido un gas depende (es función) de la temperatura T del gas, P = f(T) La dinámica de poblaciones estudia la evolución del número de individuos de una población, N, a lo largo (en función) del tiempo, N = N(t).

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Definición formal de función.

Definición. Llamaremos función real de variable real a cualquier aplicación (o correspondencia unívoca) definida en una parte, D, de R, que tome valores en R (o en una parte de R), lo que denotaremos por f : D ⊆ R −→ R. El conjunto D se llama dominio de la función.

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Gráfica de una función Sea f : D ⊆ R −→ R una función. Si para cada a ∈ D consideramos el punto del plano (a, f(a)), obtenemos una curva que se conoce como gráfica de la función.

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Estudio de funciones

Dominio. Simetrías. Continuidad. Asíntotas verticales. Asíntotas horizontales y oblicuas. Cortes con ejes. Signo de la función. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

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Dominio Dada una función f : D ⊆ R −→ R, el conjunto D se llama dominio de la función.

Salvo que expresamente se diga lo contrario, entenderemos que el dominio de una función definida mediante su expresión analítica es el mayor conjunto de números reales donde es posible definir la función. 6 / 57

Operaciones con funciones Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que Df ∩ Dg 6= ∅. Definimos la suma de f y g, f + g, y el producto de f por g, f · g, como las funciones (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f · g)(x) := f(x) · g(x), respectivamente, para cada x ∈ Df ∩ Dg , es decir, el dominio de la suma y del producto de f y g es Df+g = Df·g = Df ∩ Dg . 7 / 57

Operaciones con funciones Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que Df ∩ Dg 6= ∅. Definimos el cociente de f entre g, f/g, como la función (f/g)(x) := f(x)/g(x), para cada x ∈ (Df ∩ Dg ) \ {x ∈ Dg | g(x) = 0}, es decir, el dominio del cociente de f entre g, Df/g , es Df ∩ Dg excepto los valores de x que anulan al denominador, g.

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Operaciones con funciones

Sea f : Df ⊆ R −→ R. Definimos el producto de f por un número real λ, λ · f, como la función (λ · f)(x) := λ · f(x), para cada x ∈ Df .

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Operaciones con funciones

Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R dos funciones tales que Df ∩ g(Dg ) 6= ∅. Se define la composición de g con f, que se denota por f ◦ g, como: (f ◦ g)(x) := f (g(x)) , para cada x ∈ {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }, es decir, el dominio de la composición de g con f, Df◦g , lo forman aquellos números reales de Dg cuya imagen por g está en Df .

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Funciones elementales

Se llaman funciones elementales a las que se obtienen a partir de sumas, diferencias, productos, cocientes y composición de funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

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Simetrías Una función f : D ⊆ R −→ R, es par si f(−x) = f(x),

∀x ∈ D.

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Simetrías Una función f : D ⊆ R −→ R, es impar si f(−x) = −f(x),

∀x ∈ D.

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Continuidad

Una función f : D → R es continua en a ∈ D si existe el límite limx→a f(x) y limx→a f(x) = f(a) Diremos que la función f es continua en un intervalo I ⊆ D si es continua cada uno de los puntos del intervalo I.

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Teorema de Bolzano

Teorema. Sea f : D ⊆ R −→ R continua en [a, b] ⊆ D. Si f(a) < 0 < f(b) ó f(b) < 0 < f(a) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

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Teorema de Bolzano Geométricamente, esto significa que la gráfica de una función continua en un intervalo que cambia de signo en los extremos del intervalo, debe cruzar el eje OX en, al menos, un punto.

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Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano proporciona una condición suficiente para que la ecuación f(x) = 0 tenga al menos una solución en el intervalo [a, b] : Basta con que f sea continua en [a, b] y que el signo de f(a) sea distinto del signo de f(b) para tener la certeza de que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

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Signo. Puntos de corte con los ejes Los puntos de corte con el eje OX corresponden a las soluciones de la ecuación f(x) = 0 Si esta ecuación no tiene ninguna solución, entonces la gráfica no corta al eje OX. El punto de corte con el eje OY es (0, f(0)) si 0 ∈ D. Si el 0 no está en el dominio de la función, es decir, 0 6∈ D, entonces la gráfica no corta al eje OY. 18 / 57

Asíntotas Verticales Sea f : D ⊆ R −→ R una función. Definición. La recta x = a es asíntota vertical de f en a, si al menos uno de los dos límites laterales en a es infinito (más o menos infinito), es decir, si limx→a+ f(x) = ±∞ ó

limx→a− f(x) = ±∞.

La recta x = a es asíntota vertical cuando la gráfica de la función f se acerca a la recta x = a cuando x tiende hacia a por la derecha o cuando x tiende hacia a por la izquierda. 19 / 57

Asíntotas Verticales

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Asíntotas Verticales

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Asíntotas Verticales

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Asíntotas Horizontales

Definición. La recta y = c es una asíntota horizontal de f si limx→+∞ f(x) = c

ó

limx→−∞ f(x) = c

La recta y = c es asíntota horizontal cuando la gráfica de la función f se confunde con la recta y = c cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende hacia −∞, respectivamente.

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Asíntotas Horizontales

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Asíntotas Horizontales Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas: una cuando x tiende a +∞ y otra cuando x tiende a −∞.

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Asíntotas Oblicuas

Definición. La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asíntota oblicua de f si limx→+∞ (f(x) − (bx + c)) = 0

ó

limx→−∞ (f(x) − (bx + c)) =

La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asíntota oblicua de f cuando gráfica de f se confunde con la recta y = bx+c cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende hacia −∞. respectivamente.

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Asíntotas Oblicuas

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Asíntotas Oblicuas

Si hay asíntota horizontal cuando x tiende hacia +∞ (respect. −∞) no puede haber asíntota oblicua cuando x tiende hacia +∞, (respect. −∞) y viceversa.

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Cálculo de Asíntotas Oblicuas

La recta y = bx + c (b 6= 0) es asíntota oblicua de f en +∞ si, y sólo si, b = limx→+∞

f(x) y c = limx→+∞ (f(x) − bx) . x

Análogamente para −∞

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Derivada

Definición. Sean f : D ⊆ R −→ R una función y a ∈ D. Se dice que f es derivable en a si limx→a

f(x) − f(a) ∈ R, x−a

es decir, si existe el límite de hacia a y no es infinito.

f(x)−f(a) x−a

cuando x tiende

Al valor de este límite se le llama derivada de f en a y se denota por f0 (a) o df dx (a)

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Significados de la derivada f0 (a) = limx→a

f(x) − f(a) x−a

Si f es derivable en a, entonces y = f0 (a)(x − a) + f(a) es la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)). Esta recta tangente es la gráfica de la función lineal que más se aproxima a f en dicho punto (a, f(a)). 31 / 57

Significados de la derivada f0 (a) = limx→a

f(x) − f(a) x−a

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Significados de la derivada

Desde un punto de vista físico, la derivada de f en a es la velocidad en el instante t = a de un móvil cuyo recorrido respecto del tiempo, t, viene dado por f(t).

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Derivadas de las funciones más sencillas

Funciones constantes y = k

y0 = 0

Funciones lineales

y = k · x y0 = k

Funciones potenciales

y = xn √ y= n x

y0 = n · xn−1 y0 =

1

n

√ n xn−1

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Álgebra de derivadas. Regla de la cadena (f + g)0 (a) = f0 (a) + g0 (a). (f · g)0 (a) = f0 (a) · g(a) + g0 (a) · f(a). (λ · f)0 (a) = λ · f0 (a).  0 f0 (a) · g(a) − g0 (a) · f(a) f (a) = g (g(a))2 Regla de la cadena: (f ◦ y)0 (a) = f0 (y(a)) · y0 (a), es decir, df dy df (y(a)) = (y(a)) · (a). dx dy dx 35 / 57

Tabla de derivadas.

Func. logarítmicas y = Loga (x) y = Ln(x) y = Loga (f(x))

y0 = y0 = y0 =

1 x 1 x

· Loga (e)

1 f(x)

· Loga (e) · f0 (x)

Func. exponenciales y = ax y0 = ax · Ln(a) y = ex y0 = ex f(x) y=a y0 = af(x) · Ln(a) · f0 (x)

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Tabla de derivadas.

Potencias de funciones y = f(x)g(x) y0 = g(x) · f(x)g(x)−1 · f0 (x) +f(x)g(x) · Ln(f(x)) · g0 (x)

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Tabla de derivadas Función seno y = sen(x) y = sen(f(x))

y0 = cos(x) y0 = cos(f(x)) · f0 (x)

Función coseno y = cos(x) y = cos(f(x))

y0 = −sen(x) y0 = −sen(f(x)) · f0 (x)

Función tangente y = tg(x) y0 =

y = tg(f(x))

y0 =

1 cos2 (x)

= 1 + tg2 (x)

1

cos2 (f(x))

· f0 (x)

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Teoremas Fundamentales Cálculo Diferencial

Teorema. Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua en a.

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Teorema De Rolle

Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es continua en [a, b] ⊆ D, derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f0 (c) = 0. El teorema de Rolle proporciona una condición suficiente para que la ecuación f0 (x) = 0 tenga alguna solución en el intervalo [a, b].

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Teorema De Rolle Geométricamente, el teorema de Rolle viene a decir que si f está en las hipótesis de dicho teorema, entonces existe algún punto de su gráfica en el cual la tangente es horizontal (paralela al eje OX).

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Teorema del valor medio de Lagrange

Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es continua en [a, b] ⊆ D y derivable en (a, b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f0 (c) =

f(b) − f(a) . b−a

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Teorema del valor medio de Lagrange Geométricamente, el teorema del valor medio nos dice que la tangente en algún punto de la gráfica de una función f, continua en [a, b] y derivable en (a, b), es paralela a la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

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Regla de L’Hôpital.

Teorema. Sean f y g dos funciones derivables en algún intervalo simétrico de centro a tales que f(a) = g(a) = 0. 0

f(x) Entonces, si existe limx→a gf 0(x) (x) , también existe limx→a g(x) y coinciden, es decir,

limx→a

f0 (x) f(x) = limx→a . 0 g (x) g(x)

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Crecimiento y decrecimiento

Sean f : D ⊆ R −→ R e I ⊆ D. La función f es creciente en I si x < y ⇒ f(x) ≤ f(y). La función f es decreciente en I si x < y ⇒ f(x) ≥ f(y).

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Crecimiento y decrecimiento

Teorema. Sea f : D ⊆ R → R una función es derivable en un intervalo I ⊆ D. (a) Si f0 (x) > 0, para todo x ∈ I, entonces f es creciente en I. (b) Si f0 (x) < 0, para todo x ∈ I, entonces f es decreciente en I.

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Máximos y mínimos

Definición. La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D, se dice que f tiene un máximo absoluto en el punto (a, f(a)).

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Máximos y mínimos

Definición. La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Si f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ D, se dice que f tiene un mínimo absoluto en el punto (a, f(a)).

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Máximos y mínimos

Una función continua en a tiene un máximo relativo en ese punto si es creciente en (a − δ, a) y decreciente en (a, a + δ), para algún δ > 0, es decir, si es creciente a la izquierda de a y decreciente a su derecha. Una función continua en a tiene un mínimo relativo en ese punto si es decreciente en (a − δ, a) y creciente en (a, a + δ), para algún δ > 0, es decir, si es decreciente a la izquierda de a y creciente a su derecha.

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Máximos y mínimos

Teorema. Si f tiene n derivadas continuas en un entorno de a tales que f0 (a) = f00 (a) = . . . = fn−1) (a) = 0 y fn) (a) 6= 0 y n es par, entonces ( fn) (a) > 0 ⇒ f tiene un mínimo local en a fn) (a) < 0 ⇒ f tiene un máximo local en a

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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Definición. La función f es cóncava en I si para todo a y b ∈ I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) queda por encima de la porción de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b].

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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Definición. La función f es convexa en I si para todo a y b ∈ I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) queda por debajo de la porción de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b].

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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Definición. Se dice que (c, f(c)), c ∈ D, es punto de inflexión de f si existe δ > 0 tal que f es cóncava (ó convexa) en (c − δ, c) y convexa (ó cóncava) en (c, c + δ).

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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Teorema. Si f tiene segunda derivada en I, entonces, f es cóncava en I si, y sólo si, f00 (x) > 0, ∀x ∈ I y f es convexa en en I si, y sólo si, f00 (x) < 0, ∀x ∈ I. Si f tiene n derivadas continuas en un entorno de a tales que f00 (a) = . . . = fn−1) (a) = 0 y fn) (a) 6= 0 y n es impar y mayor o igual que 3, entonces f tiene un punto de inflexión en a. 54 / 57

Aproximación lineal

Definición. Si una función f(x) es derivable en un punto x = a, se llama aproximación por la recta tangente o aproximación lineal de f en x = a a la función lineal Lf(a) (x) = f(a) + f0 (a)(x − a)

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Aproximación polinómica (grado 2)

Definición. Sea f : D ⊆ R → R una función y sea a un punto de su dominio D. Si f es dos veces derivable en a, se llama polinomio de Taylor de segundo grado de f en a a la función P2 f(a) : R → R, definida por 0 P2 f(a) (x) = f(a) + f (a)(x − a) +

1 00 f (a)(x − a)2 2

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Aproximación polinómica (grado 2)

Ejemplo. El polinomio de Taylor de la función exponencial ex en el punto x = 0 es: 1 1 0 2 e x + · · · + e0 x n 2! n! x xn =1+x+ + ··· + 2! n!

Pn (x) = e0 + e0 x +

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