Tema 1: Electrostática * Ley de Coulomb y campo eléctrico. - Ley de Coulomb - Concepto y definición de campo eléctrico * Distribuciones de carga. Aplicaciones - Dipolo - Hilo - Anillo - Disco * Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Aplicaciones - Lámina - Cilindro - Esfera * Potencial eléctrico. Aplicaciones - Dipolo - Esfera *Capacidad. Condensadores. Aplicaciones - Condensador plano-paralelo - Condensador cilíndrico - Condensador esférico. - Asociación de condensadores * Dieléctricos. * Energía electrostática.

Ley de Coulomb y campo eléctrico. La atracción electrostática de cuerpos cargados eléctricamente se conoce desde la antigua Grecia. Se observó que tras frotar el ámbar (elektron en griego), este material atraía pequeños objetos. Sabemos que hay dos clases de carga, positiva y negativa (en el SI se miden en coulomb, C). Cualquier fragmento de materia tiene aproximadamente cantidades iguales de cada clase. Al cargarlo (por frotamiento u otro procedimiento) esa situación de equilibrio se modifica.

Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806) estudió cuantitativamente la fuerza ejercida por una cuerpo cargado sobre otro. Los resultados de sus observaciones conducen al enunciado de la ley que lleva su nombre. Es análoga a la ley de la gravedad por la dependencia con la distancia, pero difiere en tanto en cuanto esta interacción puede ser atractiva o repulsiva según sea el tipo de carga de los cuerpos.

Campo eléctrico Como en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce el concepto de campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto del espacio, capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:

  F E q0

(q0 pequeña)

Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene  kq EiP  2 i rˆiP riP Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)‫‏‬

punto de campo P

posición de la fuente i

Distribuciones de carga. Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico. El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es:   kq EP   EiP   2 i rˆiP i i riP

Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico. Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p   p  qL  q  q EP  k  2 rˆP   2 rˆP   rP   rP   Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresión aproximada del campo es     3rP  p rP p  Edip  k   3  5 rP rP  

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos de dividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños. El diferencial de campo a que cada dq da lugar es  k dq dE  2 rˆ r

donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto de campo. El campo neto se obtiene mediante integración:   k rˆ E   dE   2 dq r

Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos de distribuciones de carga en línea, en superficie o en volumen.

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente . Se descompone el campo según x e y k  dx s  ˆ k  dx s cos  dE x  rˆ  i  r2 r2 k  dx s sen dE y  r2 Estas expresiones se integrarán a la longitud L, esto es de x=x1 a x2. Conviene cambiar de variable

r

yp sen

; dx s  y p csc 2  d

lo que conduce a:

Εx 

k k  sen 2 - sen1  ; Ε y   cos 1 - cos  2  yp yp

Para una línea muy larga se tendrá

θ1 → 0, θ 2 → 

Ex = 0 ; Ey =

2k yp

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Campo eléctrico en el eje de un anillo cargado uniformemente. En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de estar dirigido según el eje. Su magnitud se obtendrá operando del modo siguiente

dEz 

k dq k dq z k z dq cos    3 r2 r2 r r

Ez  

k z dq k z  3 r3 r

 E

kQz

z

2

a



2 3/ 2

kˆ

 dq 

kQz r3

Distribuciones de carga. Distribuciones continuas. Eje de un disco cargado uniformemente. Pasamos así a una distribución de carga en superficie. Vamos a aprovechar el resultado previo, y descomponemos el disco en anillos de radio a y anchura da. Estos producen un campo

 dE 

z

k dQ z 2



2 3/2

kˆ

a La carga en dicho anillo es dQ   dA  2ada

e integrando a toda la superficie se llega a

   z z kˆ E  2k  2 2 2  z b   z Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito. Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:

 z E  2k kˆ z

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como

    C   C  nˆ dA   C  dA S

S

donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, el flujo de un campo es proporcional a la magnitud de las fuentes del campo encerradas por la superficie. Para el caso específico del campo eléctrico dicha relación viene establecida por la ley de Gauss.

  Q E   E  dA   En dA  4kQ enc  enc 0 S S

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir al concepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del ángulo común.

A nˆ  rˆ A cos     2 r r2 Se mide en esterorradianes, y es el mismo para toda superficie que corte el cono de la figura. Su magnitud es la superficie de la esfera de radio unidad secada por el cono. Para el cono de apertura máxima, esfera:

4r 2   2  4 r mientras que al degenerar en una recta, se obtendría el valor mínimo, 0. Vayamos a la expresión del flujo eléctrico, y consideremos una sola carga puntual como fuente.

Flujo eléctrico. Ley de Gauss.

 kq A cos  ˆ E   2 r  dA   kq  kq   2 r Sr S s

k

1 4  0

Si la carga se encuentra dentro del volumen encerrado por la superficie, la apertura angular para abarcarla es la misma que para la esfera unidad, lo que llevaría a:

q E  4kq  0 Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría que estos atraviesan la superficie en dos ocasiones. Se tendrían dos contribuciones idénticas a la integral del ángulo sólido, salvo porque la componente normal del campo a la entrada y la salida de la superficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichas contribuciones se anulan. Resumiendo, se tiene:

E  

i , enc

qi

0

 0  j , ext

q

i ,enc

o

i



Qenc

o

 E 

Qenc

o

Ley de Gauss

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Lámina uniformemente cargada. Esta distribución es simétrica respecto al plano Z. Una traslación arbitraria según X o Y, no modifica la distribución de cargas y, además cualquier eje ortogonal al plano Z es también un elemento de simetría, por lo cual:

  E( r )  E( z )kˆ

;

  E( z )  E(  z )

Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica notablemente la resolución de este problema:

 E  2 E( z) A

Qenc    dv  A2 z , z  a ; V

Qenc    dv  A2a, z  a V

Para puntos externos a la distribución de carga, el campo será:

 a a z ˆ E( z  a)   kˆ  k 0 0 z

Mientras que en su interior

 z ˆ k E( z  a)  0

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Cilindro uniformemente cargado. Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la distribución de cargas.Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:

  E( r )  E(R ) Rˆ

Nuevamente, al tomar una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica notablemente la resolución de este problema:

E  E(R ) 2RL Qenc    dv  R 2L, R  a

;

Qenc  a2L, R  a

V

donde a es ahora el radio del cilindro cargado.

 R ˆ E(R  a)  R 20

 a 2 ˆ R E(R  a)  20R

a

R

Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Esfera uniformemente cargada. Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por el centro del sistema deja todo inalterado:

  E( r )  E(r ) rˆ

Las superficies de integración elegidas ahora serán esferas concéntricas a la distribución:

 E  E ( r ) 4r 2 4 4 Qenc    dv   r 3 , r  R ; Qenc   R 3 , r  R 3 3 V con R radio de la distribución de carga. Para el interior de esfera se tiene:

 r E(r  R )  rˆ 3 0 Y en el exterior

 R 3 E(r  R )  rˆ 2 30r

Potencial eléctrico. La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la fuerza gravitatoria, nos permite definir una función energía potencial U asociada a ella. Para un desplazamiento diferencial dl en el lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga puntual, la variación de la energía`potencial dU es:

    dU  F  d l  q E  d l

Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, de tal manera que podemos, definir la energía potencial por unidad e carga desplazada, que es lo que llamamos potencial elléctrico: b    

dV 

dU   E  d l  V  Vb  Va    E  d l q a

La unidad de potencial en el SI será J/C, que tiene por nombre volt (V). Consideremos el caso de una carga puntual. El origen de potencial se toma en el infinito. Entonces:

P

P  q q dr q ˆ VP  V        r d l  r 2 40rP 2  4 4  r 0 0  

Potencial eléctrico. Sistemas de caraggas puntuales. Dipolo. El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principio de superposición, es:

V  i

q 4 0 ri

donde ri es la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P. Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será:

V

q q q  r  r      40r 4 0r 40  rr  La expresión asintótica para puntos de campo muy distantes (respecto a la distancia entre las cargas del dipolo) es:

Vdip

  pr  4 0r 3

Potencial eléctrico. Distribuciones de carga. Esfera cargada uniformemente. El potencial debido a una distribución continua de carga es:

V 

dq 4 0 r

donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Para distribuciones de alta simetría, la integración directa del campo eléctrico será más sencilla. Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:

  r R 3 E(r  R )  rˆ ; E(r  R )  rˆ 2 3 0 30r

Con el origen de potenciales en infinito, evaluamos primero V fuera de la distribución: rP 3 3

R R ˆ r  2 30rP 3 r  0 

V(rP  R )   

Para el interior, se tendrá:

  rP r    R R 3 V ( rP  R )    Erˆ  dl    rˆ  dl   rˆ  dl    3 r 2  3 0  R  0  rP

2 R 2  Q Q  rp  2 2  3  2   R  rP      3 3 0 6 0 4 0 R 8 0 R  R 

Superficies equipotenciales

Capacidad. Condensadores. Conductores Se entiende por conductor un sistema que tiene cargas libres, susceptibles de moverse bajo la acción de un campo eléctrico. Por consiguiente cuando el conductor está en situación equilibrio el campo eléctrico en su interior debe anularse. Por tanto, el potencial es constante en un conductor.

Sea el conductor de la Fig. situamos una superficie gaussiana justo por dentro de la superficie del conductor. Si aplicamos la ley de Gauss a esa superficie,

  Qenc  E  dA  S

0

Como el conductor está en equilibrio, el campo tiene que ser nulo, y por consiguiente la carga en el interior de un conductor en equilibrio es cero. Por consiguiente, un conductor es un volumen equipotencial.

La carga se localizará sobre la superficie. Tendremos una densidad superficial de carga: 

Sobre la superficie En

E Et

En

Si la componente tangencial no fuera nula, las cargas se moverían y no habría equilibrio, por consiguiente Et=0, el campo es normal a la superficie

En

a 

a  SE  da  Ea   0 ;  E   0

Campo en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático

Vamos a considerar un sistema formado por un solo conductor (esférico por simplificar). La carga Q se distribuirá uniformemente sobre su superficie, lo que implicará:

 E(r  R ) 

Q Q ˆ r  V ( r  R )  40r 40r 2

Vconductor 

Q 40R

La razón entre la carga y el potencial que un conductor aislado es su capacidad

Q C   4  0 R V

adquiere

Capacidad. Condensadores. Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquieren cargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga de las placas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso del conductor aislado, constante para una geometría fija C

Q V

La unidad de capacidad en el SI es el faradio (F). Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esfera conductora debería tener un radio R9·109 m para que su capacidad fuese unitaria), por lo que habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfaradio (1 F=10-6 F), el nanofaradio (1 nF=10-9 F) y el picofaradio (1 pF=10-12 F). En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente la permitividad del vacío es un cociente entre capacidad y longitud. 0  8,854  10 12 F / m

Capacidad. Condensadores. Condensador plano-paralelo. En este tipo común de condensador, las placas son dos láminas metálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d) mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichas placas. Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planos cargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por tal distribución, vimos que es:

   u z   Q  u z  E  2k  u z   2 0 2 0 A Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la región entre placas: z0  d  z0  d Qdz Qd  Q Q  E u z  V   u z  dl   0 A  A  A 0 A 0 0 z0 z0

Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:

C

Q Q  A   0 V Qd d 0 A

Capacidad. Condensadores. Condensador cilíndrico. En este caso las placas son dos cilindros conductores coaxiales, uno de radio R1 y otro de radio interno R2, ambos de longitud L (L>>R1, R2). Con esta condición, las distribuciones de carga son prácticamente cilindros indefinidos cargados uniformemente en superficie. E  E(R ) 2Rl Qenc

l Q L

  E(R ) 

Q Rˆ 20RL

De aquí derivamos la diferencia de potencial entre las placas y la capacidad:

R1

Q

 Rˆ  dl  

V    2 0 RL R2 2 0 L Q  C V ln( R2 / R1 )

Q 2 0 L

R1 dR



R2

R



o la capacidad por unidad de longitud del cilindro

Q 2 0 L

ln( R2 / R1 )

C Q/L 20 = = L V ln(R2 / R1)

Capacidad. Condensadores. Condensador esférico.

Las placas son ahora dos esferas conductoras concéntricas, la interna de radio R 1 y la externa de radio interno R 2. Las distribuciones de carga son esferas cargadas uniformemente en superficie.

 E  E(r ) 4 r 2 Qenc  Q

 E(r ) 

Q rˆ 2 4 0r

De aquí pasamos a la diferencia de potencial y la capacidad

V 

R2



R1

C

R  Q Q dr Q  1 1  Q(R2  R1) ˆ   r  d l    40 R r 2 4  0  R1 R2  4 0R 2R1 4 0r 2

Q 4  0R 2R1  V (R 2  R1)

2

1

Capacidad. Condensadores. Asociaciones de condensadores. Asociación en paralelo Q1  C1 V Q 2  C 2 V

Q  Q1  Q2  (C1  C2 )V

De la definición de capacidad:

V 

Q Q   C eq   C i Ceq C1  C2 i

Asociación en serie V1 

Q C1

V2 

Q C2

 1 1   V  V1  V2  Q  C C  1 2

Y de la relación entre las tres magnitudes: V 

 1 Q 1  1 1    Q   Ceq Ceq  C1 C2  i Ci

1

Dieléctricos. En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se dispone de cargas libres capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campo eléctrico. Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para medios no conductores, bien apolares (izquierda) o polares. En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivas tienden a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden a hacer en el sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.

Dieléctricos. Vamos a analizar la influencia de su presencia en los fenómenos eléctricos. Consideramos para ello una situación sencilla, un condensador plano-paralelo y estudiaremos de forma semicuantitativa las variaciones que se producen en este sistema. En las proximidades de las placas, aparece una concentración relativa de cargas en exceso del tipo opuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga fija en las placas, en una disminución de la intensidad del campo dentro del condensador:

E0 E  donde es la constante dieléctrica del material.

+ + + + + + + + + + +

-

Dieléctricos. Si seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que la disminución de la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencial entre las placas:

der

E0d V0 V   E dl     izq Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador:

C

Q Q  C0  V V0

Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano:

C  C0 

0 A A  d d

donde , producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio, es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materiales aislantes, las expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán de modificar, de manera que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la del vacío. Así, por ejemplo, la ley de Gauss se expresará como:  

 E  dA 

S

Qenc 

Una memoria (DRAM-(Dynamic Random Access Memory) es la arquitectura más simple de un chip de memoria microelectrónica. Un célula sencilla que almacena un bit de información consta de un transistor y un condensador de almacenamiento. Cuando se aplica un voltage a la word line se activa el transistor lo que permite transferir la carga del condensador de almacenamiento a la bit line con una lectura de 0, ó 1, según que esté descargado, ó cargado.

Energía potencial electrostática. La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que se invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre sí hasta sus posiciones finales en el sistema de cargas. Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta su posición es: q1 W2  q2 V(r2 )  q2 40r12 Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será:

 q1 q2     W3  q3 V(r3 )  q3   40r13 40r23  El trabajo neto para juntar las tres cargas es:

q3  q1q3 q2 q3 1  q2 q1q2      q1   W 4 0 r12 4 0 r13 4 0 r23 2  4 0 r12 4 0 r13  q3  1  q1 1  q1 q2     q3    q2    2  4 0 r12 4 0 r23  2  4 0 r13 4 0 r23  1 q1V1  q2V2  q3V3  2

Energía potencial electrostática. La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales, generalizando, es:

1 n U   qi Vi 2 i1

Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemos puesto en práctica previamente:

1 U   dq V 2

Para una distribución de carga en volumen se tendría Si fuese en superficie

U

1 2S

  V dA

U

1 2V

  V dv

distribución

distribución

Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces

1 U 2S

1 1   V dA  2  Vj   jdA j  2  VjQ j j j S

distribuci ón

j

donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qj y potenciales Vj.

Energía potencial electrostática. Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendo en cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:

Ucondensado r

1 Q2 1 1 1 1 1 2 2   VjQ j  V1Q  V2 ( Q)  QV  CV    CV  2 2 2 2 C 2 2 j

Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo

U

1 1  A  1 2 2 CV    E d  E2 ( Ad) 2 2 d  2

La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por cierta expresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos, pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema de cargas se puede evaluar alternativamente como integral de dicha densidad de energía:

1 2 U  E dv  2 todo el espacio