MATEMÁTICA 2do año A y B

Marzo, 2012

TEMA 1: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Ejercicio 1: Indica si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa: • • • • • •

Por un punto pasa una recta y una sola Dos puntos siempre están alineados. Tres puntos siempre están alineados. Dos puntos determinan un plano. Tres puntos siempre determinan un plano. Tres puntos no alineados determinan un plano.

“Determinan” significa que existe y es único

(I) “Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen” Usualmente se enuncia: “Dos puntos distintos determinan una recta que pasa por ellos”. r

A∈r, B∈r A

B

Notación: AB se lee: “la recta que A y B determinan” o simplemente “la recta AB”

(II) “Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen” Usualmente se enuncia: “Tres puntos no alineados determinan un plano” Notación: (ABC) se lee: “el plano que A, B y C determinan o “el plano ABC”

Ejercicio 2 Selecciona la o las opciones correctas, referidas al cubo ABCDEFGH: 1) El punto A es: i) vértice de una sola cara del cubo. ii) vértice del cubo. iii) vértice de más de una cara del cubo. 2)

AB

3)

AB es

es i) arista del cubo ii) lado del cubo iii) lado de sólo una cara del cubo iv) lado de más de una cara del cubo

4) (ABC) es

i) arista del cubo ii) contiene una arista del cubo iii) lado de una cara del cubo. i) ii) iii)

una cara del cubo está contenido en una cara del cubo contiene una cara del cubo

5) La cara ABCD es : i) un polígono ii) un plano iii) está contenida en (ABC).

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POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO SECANTES

PARALELOS

r ∩ α= {P}

s⊂α

ó

r ∩ α= ∅

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

COPLANARES

NO COPLANARES No existe un plano β tal que r⊂β y s⊂β

SECANTES

PARALELAS

r ∩ s ={P}

r∩s=∅

ó

r=s Se dice que r y s se cruzan.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO

SECANTES α ∩ β=r

PARALELOS α ∩ β=∅

ó α=β

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Ejercicio 3

Representa un cubo y llámale r a la recta que incluye una arista: • • • • • •

Nombra los vértices del cubo de la figura Nombra todas las caras incluidas en planos paralelos a la recta r ¿Con cuántas caras es secante r? Busca una recta secante a los planos de las seis caras ¿Cuántas hay en esas condiciones? Anota las aristas paralelas a r Busca aristas que no sean paralelas a r y que no tengan puntos en común con r

Ejercicio 4

Indica si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. En cada caso afirmativo, indica posición relativa de las figuras. • • • • • •

2 rectas pueden estar incluidas en un mismo plano y no tener puntos en común Dos rectas que no tienen puntos en común son paralelas Dos rectas secantes son coplanares. Se dice que dos rectas Si una recta tiene dos puntos en un plano está son coplanares si totalmente contenida en él. existe un plano que Si una recta no es secante a un plano, entonces no tiene ningún punto en común con él o tiene todos sus puntos en común con él. las contenga. Dos planos pueden tener un solo punto en común.

(III) Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces dicha recta está incluida en ese plano A∈α, B∈α A∈r, B∈r, A≠B ⇒ r ⊂ α

(IV) Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta en común.

Ejercicio 5

Se considera el cubo ABCDEFGH. Sea I, centro de la cara EFGH. Indica posiciones relativas de: i) recta IG con el plano (EFH) ii) AE con (CDH) iii) IB con (AEF) iv) IF con (CAE)

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Ejercicio 6

Considera este esquema. A, C y D determinan el plano que está representado, B no pertenece a ese plano.

Indica si es V o F, justifica: AD y DC determinan un plano que las contiene AD y DB determinan un plano que las contiene AB y BC determinan un plano que las contiene AB y DC determinan un plano que las contiene Considera ahora el tetraedro ABCD, y nombra a partir de él: dos planos secantes una recta y un plano secantes una recta y un plano tales que la recta está incluida en el plano dos rectas coplanares.

Ejercicio 7 La recta r está incluida en el plano α. Dibuja 4 rectas a, b, c y d tales que: a) b) c) d)

a∩r=∅ b∩r=∅ c∩r={P} d∩r={P}

y y y y

a⊂ b⊄ c⊂ d⊄

α α α α

En cada caso expresa la posición de la recta hallada con respecto a la recta r y al plano α . Uno de los ítems tiene dos posiciones relativas posibles, analízalas.

PARALELISMO

Definición: 1) Dos rectas son paralelas si son coplanares disjuntas, o coincidentes. 2) Una recta es paralela a un plano, si su intersección es vacía, o si está incluida en él. 3) Dos planos son paralelos, si su intersección es vacía, o si son coincidentes.

Ejercicio 8 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Dibuja un diagrama para ilustrar cada enunciado verdadero y un contraejemplo para cada afirmación falsa. • • • •

Si una recta está incluida en un plano, una recta paralela a ella es paralela al plano Si una recta y un plano son paralelos, toda recta del plano es paralela a la recta dada Si dos rectas son paralelas, todo plano que incluya a una de ellas, es paralelo a la otra Si una recta r es paralela a un plano α, siempre hay en α una recta paralela a r

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(V) Si una recta r es paralela a una recta s de un plano α, entonces r es paralela al plano α

s ⊂ α  ⇒ r // α r // s 

(VI) Si una recta r es paralela a un plano α, entonces existe en α una recta s, tal que s es paralela a r. r // α ⇒ ∃ s ⊂ α tal que s // r

Ejercicio 9 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Busca un ejemplo para cada afirmación verdadera y un contraejemplo para cada falsa. • Dos rectas paralelas a un plano. son paralelas entre sí • Algunas rectas paralelas a un plano, son paralelas entre sí • Dos rectas paralelas a un plano, son secantes entre sí

Ejercicio 10 Los planos α y β son paralelos y distintos. El plano π los corta en i y j respectivamente: ¿pueden ser i y j secantes? ¿por qué?

(VII) Si un plano π es secante a dos planos paralelos α y α ‘ , entonces las rectas intersección de π con α y α ‘ son paralelas α // α '   π ∩ α = r  ⇒ r // r ' π ∩ α ' = r '  Dibuja un diagrama que represente esta propiedad.

Ejercicio 11 D P C A B

Dada la pirámide ABCD, P∈ AD, se considera el plano α tal que α // (ABC), P∈α; α ∩ DB ={R}, α ∩ DC = {S} a) Nombra dos planos distintos que incluyen a PR b) ¿Cómo son las rectas RS y BC? ¿Por qué? y ¿las rectas PR y BC?

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PERPENDICULARIDAD

Definiciones previas → Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. → Un ángulo es recto si es igual a su adyacente

Definiciones: 1) Dos rectas son perpendiculares si contienen los lados de un ángulo recto. 2) Sean: una recta r y un plano α que se cortan en un punto O: r es perpendicular a α si y sólo si r es perpendicular a toda recta de α que pasa por O. 3) Dos planos son perpendiculares, si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro. Ejercicio 12 ¿Cuál de éstos enunciados es correcto? • Si una recta corta a un plano y es perpendicular a una recta del plano entonces es perpendicular al plano. • Si una recta corta a un plano y es perpendicular a dos rectas del plano entonces es perpendicular al plano. • Si una recta es perpendicular a dos rectas del plano entonces es perpendicular al plano.

(VIII) Para que una recta sea perpendicular a un plano es suficiente con que sea perpendicular a dos rectas distintas de ese plano que pasen por su pie.

Ejercicio 13 La figura representa un prisma recto. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones: a) EH ⊥ EA b) GE ⊥ FG c) GC ⊥ AC d) GC ⊥ (ABC) e) AC ⊥ (BCG) f) (ABF) ⊥ (FGC) g) (ECG) ⊥ (ABC)

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Ejercicio 14 J, K y H pertenecen al plano α, no están alineados y F∉α. Si HF⊥α, ¿qué ángulos deberán ser rectos? Justificar.

Ejercicio 15 Completa utilizando // o ⊥: a) b) c) d) e) f)

r⊥α α⊥π α∩β α∩β α⊥a α // β

y r ⊂ β ⇒ α…..β , β ⊥ π y α ∩ β = a ⇒ a…….π = ∅ ⇒ α…..β = α ⇒ α…..β y β ⊥ a ⇒ α……β . π ∩ α = a y π ∩ β = b ⇒ a……b

Ejercicio 16 Decir si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso, utilizando una figura cuando fuera necesario: a) Tres rectas pueden cortarse en un punto común de manera que cada recta sea perpendicular a las otras dos b) La intersección de dos planos puede ser un segmento c) Por un punto de un plano hay exactamente una recta perpendicular al plano d) Dados cuatro puntos cualesquiera hay un plano al que pertenecen. e) Si una recta es secante a un plano, hay al menos dos rectas en el plano que son perpendiculares a la recta dada f) Por un punto dado, podemos trazar solamente una recta perpendicular a una recta dada. g) Si tres rectas se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto que pertenezca a las tres, entonces las rectas son coplanares. h) Tres planos pueden determinar en el espacio ocho regiones. i) Tres planos determinan siempre ocho regiones.

Ejercicio 17 Si r es una recta incluida en un plano α, entonces ¿es V o F? • •

b α ⇒ b r b r ⇒ b α si, además, c es una recta no incluida en α: ¿es V o F?





c secante con r, entonces c secante con α c secante con α, entonces c secante con r c⊥ r ⇒ c⊥ α c⊥ α ⇒ c⊥ r

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