Tema 4. Espacio Proyectivo. Definici´ on y modelos. *) El origen de la geometr´ıa proyectiva est´a relacionado con el estudio de la perspectiva, para conseguir cuadros o planos realistas del mundo 3-dimensional; cada punto representa una linea visual.

Definici´ on.- El espacio proyectivo n-dimensional es el conjunto de las rectas vectoriales de Rn+1 , esto es, RP n = {0 ∨ P / P ∈ Rn+1 − {0}}. En particular, se tiene la recta proyectiva RP 1 = {0 ∨ P / P ∈ R2 − {0}} y el plano proyectivo RP 2 , cuyos elementos o puntos proyectivos son las rectas 0 ∨ P ⊂ R3 que pasan por el origen 0 y otro punto P ∈ R3 . Adem´as, se puede decir que los planos vectoriales Π0 de R3 son las rectas proyectivas de RP 2 , ya que Π0 ≡ R2.

*) Hay distintos modelos para estudiarlo. Por un lado, f : Rn+1 − {0} −→ RP n P 7−→ 0 ∨ P es una aplicaci´on sobreyectiva, con f (P ) = f (Q) ⇐⇒ 0 ∨ P = 0 ∨ Q ⇐⇒ Q ∈ 0 ∨ P ⇐⇒ ∃λ ∈ R − {0} / Q = λP. Esto define una relaci´ on de equivalencia en Rn+1 − {0}, por P ∼ Q ⇐⇒ ∃λ ∈ R − {0} / Q = λP y un conjunto cociente Rn+1 − {0} = {[P ] / P ∈ Rn+1 − {0}}, ∼ con clases de equivalencia [P ] = {Q ∈ Rn+1 − {0} / Q ∼ P } = (0 ∨ P ) − {0}.

1

Asi, identificando [P ] con 0 ∨ P , se tiene el modelo cociente Rn+1 − {0} ≡ RP n , ∼ donde cada punto proyectivo, 0 ∨ P ∈ RP n , es una recta vectorial de Rn+1 , que se representa por cualquiera de sus puntos, ya que [Q] = [λP ] = [P ] ≡ 0 ∨ P, ∀ Q ∈ (0 ∨ P ) − {0} ⊂ Rn+1 − {0}. n

Por este camino, se obtiene RP n ≡ S∼ , con [P ] = [±P/|P |], y en particular RP 1 ≡ 2 pero RP 2 ≡ S∼ no se puede identificar con la esfera S 2 ⊂ R3 .

S1 ∼

≡ S 1,

*) Por otro lado, si r y r0 = 0 ∨ P0 ≡ [P0 ] son rectas paralelas en R2, entonces f : r ⊂ R2 − {0} −→ RP 1 − [P0] P 7−→ 0 ∨ P ≡ [P ] es una aplicaci´on biyectiva, ya que cada recta vectorial de R2, distinta de r0 , corta a r en un u ´nico punto. Por tanto, se puede identificar r con f (r) = RP 1 −[P0] y se obtiene el modelo af´ın ampliado RP 1 = f (r) ∪ [P0 ] ≡ r ∪ [P0 ], donde cada punto P de la recta af´ın r se identifica con el punto proyectivo f (P ) = 0 ∨ P ≡ [P ]. Como [P ] ≡ P = (0 ∨ P ) ∩ r, ∀P ∈ r, se interpreta [P0 ] ∈ RP 1 como el punto del infinito donde se cortan las rectas paralelas r0 = 0 ∨ P0 y r. Pero lo m´as importante son los siguientes resultados. 2

Consecuencia.- La recta proyectiva menos un punto proyectivo cualquiera es una recta af´ın.

Teorema.- El plano proyectivo menos una recta proyectiva cualquiera es un plano af´ın. Demostraci´ on.- Si [Π0] ⊂ RP 2 es una recta proyectiva y Π1 ⊂ R3 es un plano paralelo al plano vectorial Π0 ⊂ R3 , Π1 6= Π0 , entonces f : Π1 ⊂ R3 − {0} −→ RP 2 − [Π0] P 7−→ 0 ∨ P ≡ [P ] es una aplicaci´on biyectiva, ya que cada recta vectorial de R3 , no contenida en Π0, corta a Π1 en un u ´nico punto, que ser´a su preimagen mediante f . Por tanto, se puede identificar Π1 con f (Π1) y se concluye que RP 2 − [Π0] = f (Π1) ≡ Π1 [P ] ≡ 0 ∨ P ≡ P.

*) En este modelo af´ın ampliado del plano proyectivo, RP 2 ≡ Π1 ∪ [Π0], cada punto proyectivo es una recta vectorial de R3 , que se representa por su punto de corte con el plano af´ın Π1, salvo que sea paralela a este plano, por estar contenida en Π0. Analogamente, las rectas proyectivas [Π] ⊂ RP 2 , con Π plano vectorial de R3 , son la recta del infinito r∞ = [Π0]

3

y las rectas afines r = Π ∩ Π1 ⊂ Π1 , para Π 6= Π0 , extendidas con su punto del infinito ´nica recta vectorial de Π que no corta a r, esto es, [r0] ∈ r∞ , donde r0 = Π ∩ Π0 ⊂ Π0 es la u [Π] ≡ r ∪ [r0] ⊂ Π1 ∪ [Π0] ≡ RP 2 , con r y r0 paralelas. *) Como r y r0 tienen la misma direcci´on, cualquier recta r0 ⊂ Π1 paralela a r = Π ∩ Π1 tiene el mismo punto del infinito [r0] ∈ r∞ , con r0 = Π ∩ Π0 = Π0 ∩ Π0 = Π ∩ Π0, para el plano vectorial Π0 = 0 ∨ r0 . Asi, [Π] ≡ r ∪ [r0] y [Π0] ≡ r0 ∪ [r0] son rectas paralelas extendidas, que se cortan en su punto del infinito.

Comentarios sobre los modelos del plano proyectivo R3 − {0} ≡ RP 2 ≡ Π1 ∪ [Π0]. ∼ *) Se puede considerar el plano proyectivo RP 2 como el plano af´ın R2 ≡ Π1, ampliado con los puntos del infinito, donde se cortan las rectas paralelas. Pero estos puntos y rectas no son eneo por definici´on. especiales en RP 2 , que es homog´ *) Dos planos vectoriales distintos de R3 se cortan en una recta vectorial, por tanto, dos rectas proyectivas distintas siempre se cortan en un punto proyectivo, R3 − {0} [Π] ∩ [Π ] = [Π ∩ Π ] ∈ RP ≡ . ∼ 0

0

2

*) Cualquier recta [Π00] de RP 2 se convierte en recta del infinito, tomando un plano Π01 paralelo al plano vectorial Π00. Esto es, Π1 ∪ [Π0] ≡ RP 2 ≡ Π01 ∪ [Π00] y dependiendo de la recta del infinito que quitemos, veremos un corte Π1 o Π01 de RP 2 . 4

En consecuencia, cada situaci´on proyectiva tendr´a distintas versiones afines equivalentes. Por ejemplo, las rectas proyectivas anteriores se ven paralelas en Π1 y secantes en Π01, ya que su 0 intersecci´on est´a en r∞ = [Π0] y no en r∞ = [Π00].

*) Dos rectas vectoriales distintas de R3 est´an contenidas en un u ´nico plano vectorial. Por ´nica recta proyectiva P ∨ Q, que pasa tanto, dos puntos distintos P, Q ∈ RP 2 determinan una u por ellos. Notaci´ on.- Escribimos P en lugar de [P ] ≡ 0 ∨ P . *)Usando las identificaciones anteriores se puede demostrar un resultado proyectivo probando una de sus versiones afines, y adem´as se tendr´a demostrado para el resto de versiones. Ejemplo.- Un cuadriv´ ertice completo en RP 2 (o en R2 ) est´a formado por cuatro puntos P, Q, R, S, v´ ertices, no alineados tres a tres. Determinan seis rectas distintas, lados, que tienen un v´ertice en com´ un o se cortan en un punto diagonal, A, B o C. Cortando un cuadriv´ertice completo con planos afines se tienen distintas posibilidades:

5

Pero, en el plano af´ın RP 2 − A ∨ C, todas las versiones se reducen a un paralelogramo, ya que las rectas que se cortan en A o C, ahora se ven paralelas:

Entonces, como las diagonales de un paralelogramo siempre se cortan, se deduce que B no est´a en la recta A ∨ C, es decir, los puntos diagonales de un cuadriv´ertice completo nunca est´an alineados, Teorema de Fano.

*) Finalmente, si se quiere trabajar con coordenadas se tiene: Definici´ on.- Para cada (a, b, c) ∈ R3 − {0}, se dice que [a, b, c] son las coordenadas homog´ eneas del punto proyectivo 0 ∨ (a, b, c) ∈ RP 2 . *) Como la recta vectorial 0 ∨ (a, b, c) = 0 ∨ λ(a, b, c), para λ ∈ R − {0}, se deduce que [a, b, c] = [λa, λb, λc]. *) Si Π0 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0} y Π1 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 1} son planos paralelos, como en el modelo af´ın ampliado, entonces ∀(a, b, c) ∈ / Π0, se tiene un u ´nico (a/c, b/c, 1) ∈ Π1 con [a, b, c] = [a/c, b/c, 1], esto es, para cada punto de RP 2 − [Π0] hay un u ´nico representante en Π1. Pero, si (a, b, c) ∈ Π0, entonces [a, b, 0] = [λa, λb, 0], para λ ∈ R − {0}, no tiene representante (finito) en Π1. Asi, la geometr´ıa af´ın es un caso particular de la geometr´ıa proyectiva, con identificaciones del tipo R2 ←→ RP 2 − [Π0] (x, y) ←→ [x, y, 1] (a/c, b/c) ←→ [a, b, c], donde los puntos se van al infinito cuando c tiende a 0. 6

Ejercicio. 1. Determinar los puntos de la recta P ∨ Q ⊂ RP 2 , para P = [1/2, 0, 1/2] y Q = [1, 2, 3]. 2. Obtener P ∨ Q en Π1 ∪ [Π0]. 3. Calcular la recta r0 ⊂ RP 2 , tal que r0 ∩ P ∨ Q ∈ [Π0] y pasa por [3, 2, 1]. 4. Dibujar las rectas afines asociadas a r0 y P ∨ Q en Π1 ≡ z = 1 y Π5 ≡ y = 5.

Teoremas cl´ asicos. Teorema de Desargues.- Sean ABC, A0B 0 C 0 dos tri´angulos en RP 2 , con v´ertices distintos y tales que los pares de lados hom´ologos se cortan en tres puntos alineados, esto es, A∨B ∩A0 ∨B 0, A ∨ C ∩ A0 ∨ C 0 y B ∨ C ∩ B 0 ∨ C 0 est´an sobre una recta r. Entonces las rectas que unen los v´ertices hom´ologos son concurrentes (en un punto P ). *) Dibujo de una versi´ on af´ın en R2 ≡ RP 2 − r∞ , para r 6= r∞ , (se ve r). En este caso, P ∈ / r; pero tambi´en se puede hacer con P ∈ r.

Demostraci´ on.- Este teorema proyectivo es cierto por ser equivalente al siguiente resultado en el plano af´ın RP 2 − r, (demostrado en el Tema 1). Versi´ on af´ın del Teorema de Desargues.- Si ABC, A0 B 0C 0 son dos tri´angulos en R2 , con v´ertices distintos y lados hom´ologos paralelos, entonces las rectas que unen los v´ertices hom´ologos son concurrentes o paralelas. *) Hay dos posibilidades, ya que P puede estar en r o no.

7

*) Dibujos de la versi´ on af´ın en RP 2 − r, (no se ve r), con P ∈ / r y P ∈ r respectivamente.

Definici´ on.- Un hex´ agono en RP 2 est´a formado por 6 puntos distintos P1 , ..., P6, v´ ertices, que determinan 6 rectas distintas P1 ∨ P2 , ..., P6 ∨ P1 , lados. Tiene tres pares de v´ ertices opuestos (P1 , P4 ), ..., (P3, P6 ) y tres pares de lados opuestos (P1 ∨ P2 , P4 ∨ P5 ), ..., (P3 ∨ P4 , P6 ∨ P1 ).

Teorema de Pappus.- Si los v´ertices de un hex´agono en RP 2 est´an alternativamente sobre dos rectas r, r0, entonces los 3 pares de lados opuestos se cortan en 3 puntos alineados (sobre r00).

Demostraci´ on.- Es equivalente a su versi´on en el plano af´ın RP 2 − r00 . Versi´ on af´ın del Teorema de Pappus.- Si los v´ertices de un hex´agono en R2 est´an alternativamente sobre dos rectas r, r0 ; y dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces el tercer par tambi´en es paralelo. 8

Demostraci´ on.- Consideramos P1 ∨ P2 //P4 ∨ P5 y P2 ∨ P3 //P5 ∨ P6 con P1 , P3 , P5 ∈ r y 0 P2 , P4 , P6 ∈ r . 1. Si r y r0 se cortan en P , entonces existen homotecias h, h0 de centro P , con h(P1 ) = P5 , h(P2 ) = P4 , h0 (P2 ) = P6 y h0(P3 ) = P5 , esto es, consevan r, r0 y aplican rectas en rectas paralelas.

Como son conmutativas, se tiene que f = h ◦ h0−1 = h0−1 ◦ h es otra homotecia de centro P con f (P1 ) = P3 y f (P6 ) = P4 . Por tanto, P1 ∨ P6 //P3 ∨ P4 . 2. Si r y r0 son paralelas, entonces se usan traslaciones.

Dualidad. En RP 2 se puede intercambiar el papel de puntos (alineados) y rectas (concurrentes): Ejemplo de resultados duales. 1. Dos puntos distintos de RP 2 determinan una u ´nica recta, que pasa por ellos, (esto es, siempre est´an alineados). 2. Dos rectas distintas de RP 2 siempre se cortan en un u ´nico punto. (En R2 pueden ser concurrentes o paralelas). 9

Definici´ on.- El plano proyectivo dual RP 2∗ es el conjunto de las rectas proyectivas de RP 2 , esto es RP 2∗ = {Q ∨ R / Q 6= R ∈ RP 2 }. *) Como cada plano vectorial Q ∨ R ⊂ R3 es ortogonal a una u ´nica recta vectorial P ⊂ R3, y viceversa, se puede denotar P ∗ = Q ∨ R ⇐⇒ P ⊥ Q, R. Entonces RP 2∗ = {P ∗ / P ∈ RP 2 } y la dualizaci´ on ∗ : RP 2 −→ RP 2∗ , ∗(P ) = P ∗ , es una aplicaci´on biyectiva. Adem´as, lleva puntos alineados en rectas concurrentes, ya que S ∈ P ∗ ⇐⇒ S ⊥ P ⇐⇒ P ∈ S ∗ y los puntos S de la recta proyectiva P ∗ se aplican en rectas S ∗ que concurren en P . Es decir, (P ∗ )∗ = {S ∗ / S ∈ P ∗ } = {S ∗ / P ∈ S ∗} es el haz de rectas que pasan por P . *) Identificando RP 2∗∗ con RP 2 , mediante la biyecci´on P ∗∗ ≡ P , se tiene que ∗ ≡ ∗−1 tambi´en lleva rectas concurrentes en (haces de rectas que pasan por) puntos alineados.

RP 2

−→

RP 2∗

−→

RP 2∗∗ ≡ RP 2

Consecuencia.- La aplicaci´on ∗ : RP 2 −→ RP 2∗ intercambia puntos alineados y rectas concurrentes. 10

Ejemplo de figuras duales. 1. Un tri´ angulo en RP 2 est´a formado por tres puntos no alineados, que determinan tres rectas no concurrentes. 2. Un tri´ angulo dual en RP 2 est´a formado por tres rectas no concurrentes, que determinan tres puntos no alineados.

*) El dual de un tri´angulo es otro tri´angulo, y se dice que es una figura autodual.

Ejemplo de definiciones duales. 1. Dos tri´ angulos en RP 2 est´an en perspectiva central si las tres rectas que unen los v´ertices hom´ologos son concurrentes (en un punto P , centro). 2. Dos tri´ angulos en RP 2 est´an en perspectiva axial si los pares de lados hom´ologos se cortan en tres puntos alineados (sobre una recta P ∗ , eje). (P ∈ A ∨ A0 = Q∗ ⇐⇒ Q = A∗ ∩ A0∗ ∈ P ∗ )

Ejemplo de teoremas duales. 1. Teorema de Desargues.- Si dos tri´angulos en RP 2 est´an en perspectiva axial, entonces est´an en perspectiva central. 2. Teorema dual de Desargues.- Si dos tri´angulos T y T 0 en RP 2 est´an en perspectiva central, entonces est´an en perspectiva axial. Demostraci´ on.- Aplicando dualizaci´on, T y T 0 est´an en perspectiva central ⇐⇒ T ∗ y T 0∗ est´an en perspectiva axial. Entonces, por el Teorema de Desargues, T ∗ y T 0∗ est´an en perspectiva central ⇐⇒ T y T 0 est´an en perspectiva axial.

11

*) Al dualizar no siempre se obtiene la misma figura y el teorema rec´ıproco. En particular, para un cuadriv´ ertice completo, formado por 4 puntos que determinan 6 rectas, se obtiene un cuadril´ atero completo, con 4 rectas que se cortan en 6 puntos. No es una figura autodual como el tri´angulo o el hex´agono, que tiene 6 puntos ordenados y las 6 rectas que unen los v´ertices consecutivos. Teorema dual de Fano.- Las 3 rectas diagonales de un cuadril´atero completo nunca son concurrentes.

Teorema dual de Pappus.- Si los lados de un hex´agono en RP 2 pasan alternativamente por dos puntos distintos, entonces los tres pares de v´ertices opuestos determinan tres rectas concurrentes.

*) Hay una versi´on dual en RP 2 y distintas versiones afines en R2 ≡ RP 2 − r∞ , dependiendo de la recta proyectiva que se quite. En el resultado anterior, tomando r∞ = A ∨ B se tiene: Versi´ on af´ın del Teorema dual de Pappus.- Si los lados alternos de un hex´agono en R2 son dos ternas de rectas paralelas, entonces las diagonales son concurrentes o paralelas.

12

*) Dibujo con C ∈ r∞ = A ∨ B :

Cuaternas arm´ onicas. Se prob´o que el punto medio de un segmento AB ⊂ R2 ≡ RP 2 − r∞ , se puede construir usando cualquier recta r paralela a A ∨ B:

Entonces, pasando al plano proyectivo, aparece C = A ∨ B ∩ r = A ∨ B ∩ r0 ∈ r∞ , y se puede construir analogamente un punto D, que no depende de la recta que pasa por C:

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Definici´ on.- Una cuaterna arm´ onica en RP 2 est´a dada por cuatro puntos alineados A, B, C, D, tales que D es el punto medio del segmento AB en el plano af´ın RP 2 − r, para cualquier recta r que pasa por C. En tal caso, se dice que D es el conjugado arm´ onico de C respecto de A y B.

Ejercicio.- Comprobar que el conjugado arm´onico de C = [λ, µ, 0], respecto de A = [1, 0, 0] y B = [0, 1, 0], es D = [λ, −µ, 0].

Definici´ on.- La raz´ on doble de cuatro puntos alineados A, B, C = λA+µB y D = αA+βB est´a dada por (A, B, C, D) = (µ/λ)/(β/α). *) Se puede comprobar que no depende de los vectores que representen a los puntos proyectivos, ni de los factores de proporcionalidad.

Ejercicio.- Probar que cuatro puntos alineados A, B, C, D forman una cuaterna arm´onica si y solo si (A, B, C, D) = −1. En este sentido, si ABC es un tri´angulo en R2 , con tri´angulo medio A0B 0C 0 y baricentro G, entonces A, G, A0, A00 es una cuaterna arm´onica.

Aplicaciones en el plano proyectivo RP 2 ≡

R3 − {0} . ∼

Definici´ on.- Una proyectividad de RP 2 es una aplicaci´on f : RP 2 −→ RP 2 dada por f ([P ]) = [f˜(P )], ∀P ∈ R3 − {0}, con f˜ : R3 −→ R3 isomorfismo vectorial, f˜(P ) = AP, A ∈ Gl(3, R). *) Est´a bien definida, ya que f˜ aplica la recta vectorial 0 ∨ P = {λP / λ ∈ R} ≡ [P ], con P 6= 0, en la recta 0 ∨ f˜(P ), con f˜(P ) 6= 0, por ser lineal y Kerf˜ = {0}. *) Se deduce que f˜ y µf˜ inducen la misma proyectividad f , ∀µ ∈ R − {0}. Adem´as, f es biyectiva, con f −1 asociada a f˜−1 , y conserva puntos alineados, esto es, lleva rectas proyectivas en rectas, ya que f˜ conserva planos vectoriales. 14

Ejercicio.- Probar que la u ´nica proyectividad de RP 2 que fija los puntos [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] y [1, 1, 1] es la identidad. Encontrar proyectividades que fijen los tres primeros puntos.

Definici´ on.- Un sistema de referencia en RP 2 es un subconjunto R = {P1 , P2 , P3 , U } formado por cuatro puntos no alineados 3 a 3, (esto es, un cuadriv´ertice).

Teorema.- Si R y R0 son sistemas de referencia en RP 2 , entonces existe una u ´nica proyectividad que aplica uno en otro. Demostraci´ on.- Sean P~i ∈ R3 tal que Pi = [P~i ], i = 1, 2, 3. Como no est´an alineados, {P~1 , P~2 , P~3 } forman una base de R3 y existen αi ∈ R − {0} tal que ~ = α1 P~1 + α2 P~2 + α3 P~3 . U ´nico isomorfismo f˜ : R3 −→ R3 tal que Entonces, para la base {α1 P~1 , α2 P~2 , α3 P~3 } existe un u f˜(ei) = αP~i , i = 1, 2, 3. ~ y la proyectividad f ([P~ ]) = [f˜(P~ )] aplica el sistema de referencia Asi f˜(e1 + e2 + e3) = U usual Ru = {[e1], [e2], [e3], [e1 + e2 + e3]} en R = {P1 , P2 , P3 , U }. Es u ´nica, ya que si g es otra proyectividad con g(Ru ) = R, entonces f −1 ◦ g fija Ru y tiene que ser la identidad, esto es, g = f . ´nica proyectividad f 0 con f 0 (Ru ) = R0 y se deduce que Analogamente, para R0 existe una u ´nica proyectividad que aplica R en R0 . f 0 ◦ f −1 es la u

Consecuencia.- Todos los cuadriv´ertices de RP 2 tienen las mismas propiedades proyectivas, esto es, propiedades invariantes por proyectividades.

Ejemplos de propiedades proyectivas. 1. Los puntos diagonales de un cuadriv´ertice completo nunca est´an alineados. Por tanto, es suficiente comprobar el Teorema de Fano para el cuadriv´ertice usual. 2. Las proyectividades conservan cuaternas arm´onicas, ya que se pueden determinar con cuadriv´ertices. 3. La raz´on doble de cuatro puntos alineados. 15

Relaci´ on entre afinidades y proyectividades. Si f : RP 2 −→ RP 2 es una proyectividad y RP 2 ≡ R2 ∪ r∞ , entonces f (R2 ) ≡ R2 ⇐⇒ f (r∞ ) = r∞ , ya que f es biyectiva. En particular, si r∞ = [Π0], con Π0 ≡ z = 0 ≡ L{e1, e2 }, entonces f˜(e1 ), f˜(e2) ∈ Π0 y f˜(e3) ∈ / Π0, para f˜ : R3 −→ R3 isomorfismo asociado a una proyectividad f , con f (r∞ ) = r∞ . Usando el factor de proporcionalidad, se puede tomar f˜(e3) ∈ Π1 ≡ z = 1, y se tiene 









x a c α x      ˜ f  y  =  b d β  y , z 0 0 1 z con ad − bc 6= 0. Asi ˜ y, 1)] = [ax + cy + α, bx + dy + β, 1] f ([x, y, 1]) = [f(x, da la afinidad f : R2 −→ R2 , f

x y

!

a c b d

=

!

x y

!

+

α β

!

,

∀(x, y) ∈ R2 ≡ Π1 . Consecuencia.- Una afinidad es una proyectividad que fija la recta del infinito. *)Los puntos de la recta fija no tienen que ser fijos. En particular, si a c b d

!

=

λ1 0 0 λ2

!

con λ1 λ2 6= 0, entonces f˜(e1) = λ1 e1 , f˜(e2 ) = λ2 e2, da que f ([e1]) = [e1] y f ([e2]) = [e2] son puntos fijos, pero f ([e1 + e2]) = [λ1 e1 + λ2 e2 ] es punto fijo si y solo si λ1 = λ2 y la afinidad es una homotecia o una traslaci´on. Solo en este caso, Π0 es un plano de vectores propios para 



λ1 0 α   f˜ ≡  0 λ2 β  0 0 1 16

y r∞ = [Π0] es una recta de puntos fijos para la proyectividad f . Adem´as, si λ 6= 1, entonces se puede comprobar que f tiene otro punto fijo, asociado al centro de la homotecia.

Definici´ on.- Una homolog´ıa de RP 2 es una proyectividad, distinta de la identidad, con una recta r de puntos fijos, (eje). Se llama general si tiene otro punto fijo P ∈ / r, (centro), y especial si no hay m´as puntos fijos.

*) Por lo anterior, se deduce que si una proyectividad fija tres puntos de una recta r, entonces es una homolog´ıa de eje r y en RP 2 − r, se tiene una homotecia de centro P o una traslaci´on (de centro P∞ ):

Las rectas A ∨ B y h(A) ∨ h(B) son paralelas en RP 2 − r, por tanto se cortan en Q ∈ r y h(Q) = Q. Adem´as, ∀C ∈ A ∨ B se tiene que P, C y h(C) est´an alineados o en perspectiva.

Definici´ on.- Una perspectividad con centro P entre dos rectas proyectivas r y r0 es una aplicaci´on f : r −→ r0 , tal que P, C y f (C) est´an alineados ∀C ∈ r.

Ejercicio.- Si f : RP 2 −→ RP 2 es una proyectividad, con un punto fijo Q ∈ A ∨ B, entonces induce una perspectividad de A ∨ B en f (A ∨ B) con centro P = A ∨ f (A) ∩ B ∨ f (B).

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