TEMA 1: NÚMEROS NATURALES

1. NÚMEROS NATURALES Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. Desde la prehistoria hasta nuestros días, egipcios, babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes, mayas… han manejado sistemas muy diversos, con similitudes y diferencias. Los sistemas de numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos. Piensa en el sistema de numeración romano (que ya conoces) e imagina cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Seguramente los agruparían en unidades, decenas, centenas,...

No parece fácil. Pues imaginemos lo complicado que tendría que ser multiplicar. Nosotros usamos el sistema de numeración decimal, que nació en la India en el siglo VII y llegó a Europa por medio de los árabes. Como sabes, utiliza solo diez símbolos o cifras: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los diferentes órdenes o categorías de unidades.

En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediato superior. Así, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional. 1 decena = 1 centena = 1 millar = 1 decena de millar =

1D= 1C= 1M= 1 DM =

10 unidades = 10 decenas = 10 centenas = 10 millares =

10 U 10 D 10 C 10 M

= 100 unidades = 1 000 unidades = 10 000 unidades

Ejemplo: El número 5 217 podemos descomponerlo de la siguiente manera: 5 217 = 5 000 + 200 + 10 + 7 = 5·1000 + 2·100 + 1·10 + 7 = 5 UM + 2 C + 1 D + 7 U Con este sistema de numeración formamos el conjunto de los números naturales, que nos sirven para contar, identificar, ordenar, medir,… = {1, 2, 3, 4, 5,………., 101, 102,……., 999, 1 000, …} Departamento de Matemáticas

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Los números naturales se pueden representar sobre una semirrecta. Para ello, se sitúa el 0 sobre el origen de la semirrecta y se escoge la longitud de la unidad, que se lleva hacia la derecha tantas veces como indique el número que se quiere representar:

1.1.- Comparar y aproximar Comparar El conjunto de los números naturales está totalmente ordenado, dados dos números naturales distintos siempre podemos determinar si uno es mayor (o menor) que otro. Para ordenar los números utilizaremos los símbolos “: mayor que” Ejemplo: 257 es menor que 1 340: 257 < 1 340 1 340 es mayor que 257: 1 340 > 257

Aproximar Para manejar ciertos datos, como distancias, número de habitantes de un país, tamaño de un planeta,… es frecuente realizar aproximaciones del número que expresa esos datos. Estas aproximaciones se pueden hacer de dos maneras, mediante truncamiento o mediante redondeo.  Para truncar un número natural en una de sus cifras, se sustituyen por ceros todas las cifras de orden inferior, esto es las situadas a la derecha de la deseada.  Para redondear un número natural a una de sus cifras, se sustituyen por ceros las cifras de orden inferior, y la cifra redondeada:  Se deja igual si la inmediatamente siguiente es menor que 5  Se aumenta una unidad si la inmediatamente siguiente es mayor o igual que 5 Ejemplo: Dado el número 145 693 294 Truncamiento a centenas → 145 693 200 Redondeo a centenas → 145 693 300 Truncamiento a decenas de millar → 145 690 000 Redondeo a decenas de millar → 145 690 000 Redondeo a unidades de millón → 146 000 000

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2. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES  Suma: Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir. Las cantidades que se suman reciben el nombre de sumandos. Recuerda con este ejemplo como se suman varios números 4 397 6 253 +

589

Se colocan los números en columnas de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas,…

10

4 397 6 253 +

589

Empezamos sumando las unidades, 7 + 3 + 9 = 19, o sea, decena y 9 unidades. Se escribe el 9 en la cifra de las unidades y “nos llevamos 1” a las decenas.

9 2 10

4 397 6 253 +

589

Continuamos sumando la cifra de las decenas, 1 + 9 + 5 + 8 = 23. Se escribe 3 debajo de las decenas y 2 encima de las centenas.

39 1 2 10

4 397 6 253 +

589

Ahora sumamos las centenas, 2 + 3 + 2 +5 = 12. Escribimos 2 debajo de las centenas y 1 encima de la unidad de millar.

239 1 2 10

4 397 6 253 +

589

Por último, sumamos las cifras de unidades de millar, 1 + 4+ 6 = 11, y como no hay más cifrase escribimos 11 y ya hemos terminado

11 239

Propiedades de la suma:  Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado: a + b = b + a

7  4  11 74  47 4  7  11

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 Propiedad asociativa. Si se suman tres o más sumandos, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a + b) + c = a + (b + c)

3  4  5  7  5  12   3  4   5  3  4  5 3  4  5  3  9  12   Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 0. a + 0 = a 7+0=7

15 + 0 = 15

 Resta: ¿En qué situaciones de la vida diaria se utiliza la resta?, por ejemplo, si tienes en el banco 948 euros y te cobran una factura de 325 euros, ¿cuánto te queda? Restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia. La cantidad inicial, que debe ser mayor, se llama minuendo, y la cantidad sustraída, sustraendo, el resultado de la resta es la diferencia. La resta es la operación opuesta a la suma. Recuerda con este ejemplo como se restan dos números: 8457

-6293 8457

-6293

Se colocan los números en columnas de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, etc.

Empezamos restando las unidades 7 – 3 = 4. Se escribe 4 debajo de las unidades.

4 8 315 7

-62 93 64 8357

-6293 164 8457

-6293

Continuamos con las decenas pero no se puede restar 9 de 5, cogemos una centena que son 10 decenas, y la añadimos a las decenas, ahora hay 15, menos 9 quedan 6. (En la práctica: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1) Ahora las centenas, me quedan 4 centenas y al quitar 3, queda una. (En la práctica en lugar de quitar una centena al 4 se la añadimos al 2 y hacemos 2 más 1 que me llevo, 3, de 3 a 4 va 1.Escribo 1) Por último las unidades de millar, 8 – 6 = 2 (En la práctica: de 6 a 8 van 2. Escribo 2)

2164

La resta no cumple las propiedades conmutativa, ni asociativa. Los paréntesis nos indican que operación hay que hacer primero.

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 Multiplicación: Imagina que vas a pagar 5 entradas para el cine y cada entrada cuesta 7 euros, para calcular el precio total puedes sumar 5 veces los 7 euros, 7+7+7+7+7=35 o bien multiplicar 5 · 7 = 35. Multiplicar es una forma abreviada de realizar una sumade sumandos iguales.Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto.Para indicar la multiplicación se emplea el símbolo "×", o bien un punto "·", situado entre los dos factores, se lee "por". Aquí emplearemos más a menudo el punto. Recuerda con este ejemplo como se multiplican dos números: 25783 x 346 154698 103132 77349 8920918

Primero se multiplica 25 783 · 6 = 154 698 unidades. Luego se multiplica 25 783 · 4 = 103 132 decenas y se coloca el resultado debajo de las decenas. Después 25 783 · 3 = 77 349 centenas, el resultado irá debajo de las centenas. Por último se suman los tres productos obtenidos.

Multiplicar por la unidad seguida de ceros: para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros se le añaden a dicho número tantos ceros como siguen a la unidad. 5 · 100 = 500

26 · 10 000 = 260 000

Propiedades de la multiplicación:  Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto: a · b = b · a

3  5  15    35  53 5  3  15   Propiedad asociativa. Si se multiplican tres o más factores, el resultado no depende de cómo se agrupen: (a · b) · c = a · (b · c)

2  5  3  10  3  30   2  5  3  2  5  3 2  5  3  2  15  30   Elemento neutro. El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera. El elemento neutro de la suma es el 1. a · 1 = a 7·1=7

15 · 1 = 15

 Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma o por una resta, es igual a la suma, o la resta, de los productos del número por cada uno de los sumandos: a · (b + c) = a · b + a · c a · (b - c) = a · b - a

3  2  5  3  7  21    3  2  5  3  2  3  5 3  2  3  5  6  15  21

2  4  1  2  3  6    2  4  1  2  4  2  1 2  4  2  1  8  2  6 Departamento de Matemáticas

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Sacar factor común: Sacamos factor común cuando aplicamos la propiedad distributiva en el sentido inverso. Es decir, la suma o la resta de productos que tienen un factor común es igual al producto de este factor por la suma o la resta de los otros factores a · b + a · c = a · (b + c)

a · b - a · c = a · (b - c)

Al sacar factor común, dentro de los paréntesis habrá tantos términos como había en la operación inicial. Si uno de los términos coincide con el factor común, podemos considerar que está multiplicado por 1 (aprovechando la propiedad del elemento neutro).

4  2  4  3  8  12  20    4  2  4  3  4  2  3 4  2  3  4  5  20 

 División: Recuerda que dividir es repartir en partes iguales. La cifra que se debe dividir es el dividendo; el número de partes en que se divide, el divisor, y el resultado de hacer la operación, el cociente, la parte no repartida es el resto. Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto: División exacta: el resto es cero Dividendo divisor → En la división exacta se cumple: D = d · c 0 cociente División entera: el resto es distinto de cero Dividendo divisor restocociente

→ En la división entera se cumple: D = d · c + r

Recuerda con este ejemplo como se dividen dos números: 4 8 0 5 52 9

Se divide 480 entre 52 obteniendo 9 de cociente. (En la práctica: el divisor tiene dos cifras, tomamos las dos primeras del dividendo, pero como 48 no se puede dividir entre 52, se toma una cifra más 480 : 52 que aproximadamente es 9)

4 8 0 5 52 12 9

Se multiplica 9 · 52 = 468 y este resultado se resta de 480, 480 – 468 = 12 (En la práctica: se hace esta operación directamente 9 · 2 = 18, a 20 van , y llevamos 2, 9 · 2 = 45 más las 2 que llevamos 47, al 48 va 1)

4 8 0 5 52 125 9 21

Se baja el 5, y se repiten los pasos anteriores, 125 : 52 es aproximadamente 2. 52 · 2 = 104 , 125 – 104 =21. El cociente de la división es 9 y el resto 21

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 Potencia: Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. El factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.Baseexponente

3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243se lee “3 elevado a la quinta” o “3 elevado a 5” Base

Exponente

Ejemplos: a) 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256 c) 6 · 6 · 6 = 63 = 216

b) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 6 d) 15 · 15 = 152 = 225

El cuadrado de un número es la potencia de exponte 2.El cuadrado de 5 es: 5 2 = 5 · 5 = 25 El cubo de un número es la potencia de exponente 3. El cubo de 5 es: 53 = 5 · 5 · 5 = 125

Potencias de base 10. Aplicaciones Ya sabes que para multiplicar por 10 basta añadir un 0. Teniendo en cuenta esto el cálculo de las potencias de 10 resulta muy sencillo y has de procurar hacerlo mentalmente. Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente: 107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000 Recuerda que al principio de la unidad viste cómo se puede descomponer un número según el valor de posición de sus cifras, y observa cómo escribirlo utilizando las potencias de 10. 23 478 = 20 000 + 3 000 + 400 + 70 + 8 = 2 · 10 000 + 3 · 1 000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 8 = = 2 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 7 · 10 + 8 Esta descomposición de un número en la que cada orden de unidades está representado por una potencia de 10, se llama descomposición polinómica Los números con muchos ceros los podemos escribir utilizando las potencias de 10, por ejemplo, 100 000 000 000 000 = 1014. Esto nos permite escribir números muy grandes de una forma abreviada, como se indica en el siguiente ejemplo: Un año luz equivale, aproximadamente, a 9 500 000 000 000 kilómetros 9 500 000 000 000 = 95 · 100 000 000 000 = 95 · 1011 Descomposición en un producto por la unidad seguida de ceros

Transformación de la unidad seguida de ceros en potencia.

En los cursos siguientes veremos cómo utilizar las potencias de diez para escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica. Departamento de Matemáticas

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Propiedades de las potencias: Ejemplo 1.- Cualquier número puede escribirse en forma de potencia de base 1……

a1 = a

51 = 5

2.- Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a 1………………

a0 = 1

30 = 1

3.- El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la m n m+n a ·a =a misma base y el exponente es la suma de los exponentes………………

32 · 34 = 34+2 = 36

4.- El cociente de potencias de la misma base es igual a una potencia con la m n m-n a :a = a misma base y el exponente es la resta de los exponentes………………

75 : 73 = 75-3 = 72

5.- Una potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base (am)n = am·n y el exponente es el producto de los exponentes………………………..

(62)3 = 62·3 = 66

6.- La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los (a · b)n = an · bn factores…………………………………………………………………….............

(2 · 3)2 = 22 · 32

7.- La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del (a : b)n = an : bn dividendo entre la potencia del divisor………………………………………...

(15 : 3)3 = 153 : 33

Ejemplo: a) 23 · 22 · 2 = 23+2+1 = 25 = 32

b) 55 : 52 = 53 = 125

c) 93 : 93 = 93-3 = 90 = 1

d) (32)3 = 32·3 = 36 = 729

e) 74 : 73· 72 = 74-3+2 = 72 = 49

f) 152 : 32 = (15 : 3)2 = 52 = 25

La jerarquía de las operaciones A menudo tenemos que resolver varias operaciones combinadas. En estos casos es muy importante conocer la jerarquía de las operaciones, es decir, el orden que se debe seguir a la hora de resolverlas, ya que no siempre hay que hacer las operaciones en el orden en que aparecen. La regla general para resolver operaciones combinadas es la siguiente: 1.-Paréntesis. Si después de observar la operación en conjunto vemos que hay paréntesis, primero hay que resolver las operaciones que contengan. Una vez hecho esto, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo los paréntesis por los resultados correspondientes. 2.- Potencias. El segundo paso consiste en identificar las potencias y resolverlas de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes

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3.-Multiplicaciones y divisiones. El tercer paso consiste en identificar las multiplicaciones y divisiones y resolverlas, de izquierda a derecha. A continuación, se vuelve a escribir toda la operación pero sustituyendo estas operaciones por los resultados correspondientes. 4.- Sumas y restas. Finalmente hay que resolver las sumas y restas, que se pueden calcular en el orden en que aparezcan en la operación combinada inicial.

Ejemplo: a) 5 + 2 · 3 = 5 + 6 = 1

b) (5 + 2) · 3 = 7 · 3 = 21

c)

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3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO 3.1.- Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural. Por ejemplo, 15 es múltiplo de 3, pues 15 = 3 · 5 Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica ese número por los números naturales. Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos. 3.2.- Divisores de un número Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta. Por ejemplo, 3 es divisor de 15, pues la división 15 : 3 = 5 es exacta; 5 es divisor de 30, pues la división 30 : 5 = 6 es exacta. Para obtener todos los divisores de un número, buscamos las divisiones exactas. Todo número es divisor se sí mismo, y 1 es divisor de todos los números. Los divisores de un número son finitos. 3.2.1.- Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para decidir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Estos son los criterios más utilizados:  Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si termina en cifra par.  Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.  Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.  Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.  Divisibilidad por 11: Un número es divisible entre 11 cuando la suma de las cifras que ocupan la posición par menos la suma de las cifras que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11. Ejemplo: Comprobamos que el número 80 729 es divisible por 11: -

Suma de las cifras de lugar par: 0 + 2 = 2

-

Suma de las cifras de lugar impar: 8 + 7 + 9 = 24

-

Diferencia de las sumas: 24 – 2 = 22, que es múltiplo de 11

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3.3.-Números primos y números compuestos Un número natural es primo cuando solo tiene como divisores el 1 y él mismo. Hay infinitos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Un número natural es compuesto si tiene tres o más divisores: el 1, él mismo y algún otro. Así, 4, 6, 9, 14,…son números compuestos porque tienen más divisores aparte del mismo número y el 1. El 1 no se considera número primo, ni tampoco un número compuesto, porque solo tiene un divisor. Por tanto, el número primo menor es el 2. 3.3.1.- Descomposición en factores primos Un número compuesto se puede expresar como un producto de diferentes factores. De todas las descomposiciones posibles, hay una en la que todos los factores son números primos, la llamada descomposición en factores primos. De hecho, cualquier número se puede expresar como un producto de números primos. Para ello, hay que recordar los criterios de divisibilidad y seguir este método: Se dibuja una raya vertical y, a continuación, a la izquierda se sitúa el número que se quiere descomponer en factores primos y a la derecha el factor primo menor que es divisor de este número. En la fila siguiente se escribe, en la columna de la izquierda, el cociente de la división entre el número y el factor primo, y en la columna de la derecha, el factor primo menor que es divisor de este cociente que tiene a la izquierda, y así sucesivamente: 60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 = 22 · 3 · 5

3.4. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 3.4.1. El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar los primeros múltiplos de cada uno de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el menor. Pero este método para obtener el m. c. m. no siempre es práctico, ya que puede resultar un número muy alto. Por ello conviene disponer de algún método más efectivo. Método para obtener el m. c. m. 1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores. 2. Tomar los factores, comunes o no comunes, elevados al mayor exponente. 3. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. m. buscado.

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Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de 12, 18 y 24

12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

12 = 22 · 3

18 = 2 ·32

24 12 6 3 1

2 2 2 3 24 = 23 · 3

m. c. m.(12, 18, 24) = 23 · 32 = 72 3.4.2. El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor divisor que tienen en común. Una manera de hallarlo consiste en buscar todos los divisores de cada uno de los números, mirar cuáles son comunes y seleccionar el mayor. Ahora bien, aunque el número de divisores de un número sea finito, no siempre es práctico encontrarlos todos, especialmente cuando el número es alto y tiene muchos divisores, ya que podríamos dejarnos alguno. Por ello es necesario disponer de algún método para obtener el máximo común divisor. Método para obtener el m. c. d. 1. Descomponer los diferentes números en factores primos y expresarlos como producto de estos factores. 2. Tomar los factores comunes a todos los números elevados al menor exponente. 3. Multiplicar los factores seleccionados. El producto resultante es el m. c. d. buscado. Ejemplo: Halla el mínimo común múltiplo de 12, 18 y 24 12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

12 = 22 · 3

18 = 2 ·32

24 12 6 3 1

2 2 2 3 24 = 23 · 3

m. c. d. (12, 18, 24) = 2 · 3 = 6 Cuando el máximo común divisor de dos o más números es la unidad, dichos números son primos entre sí Ejemplo: ¿Son primos entre si los números 84 y 55? Para saber si los números son primos entre sí, calculamos su máximo común divisor 84 42 21 7 1

2 2 3 7

55 5 11 11 1 55 = 5· 11

m. c. d. (84 , 55) = 1 → 84 y 55 son números primos entre sí porque su máximo común divisor es 1

84 = 22 · 3 ·7

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