Tema 1: Tensiones

Tema 1 : TENSIONES

F1 S F4

∆S O

u σ τ

nS ρ ∆F

F2

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 1

Tema 1: Tensiones

1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓN Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que esté en equilibrio estático (no se mueve) y en equilibrio elástico (ya está deformado). F3 F1 S

F4

Fn

F5

F2

Fig. 1.1.a Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido las fuerzas interiores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al sólido a la posición que tenía inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos el sólido por la superficie S. F3

F1 S F4

∆F

O

S

∆F

O

∆S

F5

Fn

∆S

F2 Fig. 1.1.b

Fig. 1.1.c

Las dos partes en que ha quedado dividido el sólido no estarían ahora en equilibrio. Para reproducir dicho equilibrio se tendría que restablecer las acciones que cada parte del sólido ejercía sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (∆F), fuerzas que las partículas de un lado de la superficie S ejercían sobre las del otro lado Se denomina:

Tensión media en el punto O:

Tensión en el punto O:

2

ρ med



∆F = ∆S

ρ = lim ∆S →0



∆F ∆S

(1.1)

Sección 1.2: Tensiones normales y cortantes

1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES

F1 S

∆S O

F4

u σ τ

nS

ρ ∆F

F2 Fig. 1.2

ρ = lim ∆S →0

Tensión en el punto O:





∆F ∆S


es un vector de la misma dirección y sentido que ∆F pero de menor módulo (va dividido por ∆S)

Tensión normal (σ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la dirección normal a la superficie S. Se obtendrá:

σ = ρ .u

σ = σ .u











(1.2)




siendo u el vector unitario normal a la superficie S

Tensión cortante (τ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la propia superficie S Se cumplirá que:

ρ = σ +τ




ρ = σ 2 +τ 2

(1.3)

con lo cual:

τ = ρ −σ

τ = ρ2 −σ 2

(1.4)
















1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO Si se hubiese seccionado el sólido por diferentes superficies S que pasen por el punto O
se hubiesen obtenido diferentes valores de la tensión ρ en dicho punto, puesto que las acciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean no serían las mismas F3 F1

ρ2 F4 F2

ρ3 ρ4

ρ1

F5

Fn

ρn Fig. 1.3

3

Tema 1: Tensiones

Al conjunto de todos los valores de las tensiones ρ en un punto O, correspondientes a todas las superficies que pasen por él, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DEL PUNTO O Así, según se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionásemos por la superficie S1 actuaría la tensión ρ1, si seccionásemos por la superficie Sn actuaría la tensión ρn, etc..Luego cada tensión va asociada a una Superficie

F1

F1 S1

Sn

ρ1

F4

F4

F2

F2

ρn

Fig. 1.4.b

Fig. 1.4.a

COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO De todas las tensiones que puede haber en un punto, se verá cómo, si seleccionamos 6 de ellas, a las que denominaremos “Componentes del estado de tensiones en un punto”, a partir de ellas, se podrán conocer todas las demás. Sea O un punto del sólido cuyo “Estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos un elemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O, origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas del paralelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndole semejante a sí mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caras pasan por O, con lo cual se podrá considerar las tensiones sobre sus caras como tensiones en el punto O.

F3 F1

y O

F4 F2

z

Fig. 1.5

4

x

F5

Fn

Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto

Ampliemos el paralelepípedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dicho paralelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ. Si descomponemos ésta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, se tendrán 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre el paralelepípedo completo. σ´y

y

τ´yx

τ´yz

τxz

σx

σz τ´xy

τzx

dy τ´zy

dx

O dz

τ´xz

τ´zx

σ´z

τxy

σ´x

τzy

τyx

z

x

τyz

σy

Fig. 1.6

Nomenclatura utilizada Para las tensiones normales: σx → el subíndice “x”, indica que esta tensión está sobre una superficie normal al eje X Para las tensiones cortantes: τxy → el primer subíndice “x”, indica que está sobre una superficie normal al eje X y el segundo subíndice “y”, indica que lleva la dirección del eje Y Observación: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contienen a los ejes coordenados, las tensiones se las distingue con un “prima” en la parte superior: σ´x, τ´xy Convenios de signos para las tensiones Para las tensiones normales: σ → se consideran positivas, (σ > 0), cuando van dirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde está aplicada. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas). Para las tensiones cortantes: τ → se consideran positivas, (τ > 0), cuando las que están aplicadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por O llevan sentido contrario al de los ejes positivos y las que están aplicadas en las caras que no pasan por O llevan el mismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones cortantes dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas). 5

Tema 1: Tensiones

Las tensiones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por O ( σ´x, σ´y, σ´z, τ´xy, τ´yz, τ´zx ) se podrían expresar matemáticamente en función de las tensiones en las otras tres caras que pasan por O ( σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ) por desarrollo de Tylor:

∂σ x .dx ∂x

σ ´x = σ x +

σ ´y = σ y + σ ´z = σ z +

∂σ y ∂y

τ ´xy = τ xy +

∂x

τ ´yx = τ yx +

.dy

∂σ z .dz ∂z

∂τ xy

τ ´zx = τ zx +

τ ´xz = τ xz +

.dx

∂τ yx ∂y

.dy

∂τ zx .dz ∂z

∂τ xz .dx ∂x

τ ´yz = τ yz + τ zy´ = τ zy +

∂τ yz ∂y

∂τ zy ∂z

.dy

(1.5)

.dz

Si reduciésemos las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndose semejante a sí mismo, el paralelepípedo tendería al punto O y en el límite todas sus caras pasarían por O, con lo cual se podría considerar que:

σ ´x = σ x

τ ´xy = τ xy

τ ´xz = τ xz

σ ´y = σ y

τ ´yx = τ yx

τ ´yz = τ yz

σ ´z = σ z

τ ´zx = τ zx

τ ´zy = τ zy

(1.6)

Así pues, en este caso, serán sólo 9 las tensiones distintas que actúan sobre las caras de dicho paralelepípedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes. Por último si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo:Σ F = 0, Σ M = 0, se obtendría que:

τ xy = τ yx

τ yz = τ zy

τ zx = τ xz

(1.7 )

Conclusión: Serán sólo 6 las tensiones distintas que actúan sobre las caras del paralelepípedo, que serán:

σx

σy

σz

τ xy

τ yz

τ zx

a estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O

6

Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto

TENSOR DE TENSIONES Supuestamente conocidas las 6 componentes del estado de tensiones en un punto O cualquiera: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx , vamos a desarrollar una fórmula que permita conocer las tensiones sobre cualquier superficie que pase por O. Para ello tracemos una superficie S que cortará al paralelepípedo diferencial en un plano de área dS y aislemos del cuerpo el elemento de volumen diferencial que en forma de tetraedro con vértice en O se nos ha formado. F3 F1

y dS O

F4

x

F5

Fn

z

F2

Fig. 1.7

Ampliando dicho tetraedro y situando las tensiones sobre las caras del mismo será: y

σx

τxz τxy

dS τzx τ τzy u O τ

n σ

σy





siendo en general : ρ = ρ x .i + ρ y . j + ρ z .k

x

yz

τyx z

σz ρ

y estando la superficie dS definida por :
u ( cos α , cos β , cos γ )

Fig. 1.8

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro:

∑F

x

=0

ρ x .ds = σ x .ds.cos α + τ yx .ds.cos β + τ zx .ds.cos γ

dividiendo por ds : ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ y haciendo lo mismo en los otros ejes :

∑F ∑F ∑F

x

=0

ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ

y

=0

ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ

z

=0

ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γ

(1.8)

ecuaciones que expresadas en forma matricial quedará: 7

Tema 1: Tensiones

 ρ x  σ x τ yx τ zx  cos α    ρ  = τ   y   xy σ y τ zy .cos β   ρ z  τ xz τ yz σ z   cos γ 

ρ = T .u


y en forma abreviada: siendo:

σ x  T = τ xy τ xz 




τ yx τ zx   σ y τ zy  τ yz σ z 

(1.9)

(1.10)

"Tensor de Tensiones "

(1.11)

Conclusión: Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx y dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vector normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (1.9) la tensión ρ sobre dicha superficie. Una vez conocida la tensión ρ, se podrá obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3):

σ = ρ .u

σ = σ .u








τ = ρ −σ






(1.12)

τ = ρ 2 −σ 2




Caso Particular: TENSIONES PLANAS: Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0 (Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia) La ecuación matricial (1.9) sería:

o lo que es lo mismo:

ρ x  ρ  =  y  ρ z 

τ yx σy 0

 ρ x  σ x τ yx  cos α   ρ  = τ .  σ y xy y     cos β 

ρz = 0

8

σ x τ  xy  0

0 cos α  0.cos β  0  cos γ 

(1.13)

Sección 1.4: Tensiones Principales

1.4.- TENSIONES PRINCIPALES De las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un sólido, relativas a las infinitas superficies S que pasen por él, habrá unas que tengan los valores máximo y mínimo, a las que se denominará: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies S correspondientes se las denominará : SUPERFICIES PRINCIPALES y a las direcciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominará: DIRECCIONES PRINCIPALES. Para su cálculo se tendrá en cuenta, aunque no se demostrará, que en las Superficies


Principales se cumplirá: τ = 0 con lo cual : ρ = σ Existirán pues muchas superficies, como la dS1, (Fig.1.9 a), en las cuales habrá tensiones normales (σ1) y cortantes (τ1) y habrá algunas, como la dS2, (Fig.1.9 b), en las que no habrá tensiones cortantes y por tanto sólo habrá tensiones normales (σ2), con lo cual, en estos casos, la tensión total (ρ2) coincidirá con la tensión normal

F3

F1

F4 F2

y σ1 ρ1 dS1 u1 O x τ1 z

F3

F1 y

F5

ρ2 = σ2

dS2 u2 O

F4 F2

z

x

F5

τ2 = 0

Fig. 1.9.b (b) (b)b

Fig. 1.9.a dS1: Superficie cualquiera

dS2: Superficie Principal

CÁLCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES Supongamos conocidas las 6 componentes del Estado de Tensiones en un punto O: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por su vector normal unitario: u (cosα, cosβ , cosγ ). En función de lo dicho antes, se deberá cumplir:

ρ x = ρ . cos α

ρ y = ρ . cos β

ρ = ρ .u





ρ z = ρ . cos γ

con lo cual: (1.14)

y llevando estas expresiones a la ecuación (1.8) que da el valor de ρ, quedará:

9

Tema 1: Tensiones

ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos α ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos β ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos γ operando:

(σ x − ρ ). cos α + τ yx . cos β + τ zx . cos γ = 0

τ xy . cos α + (σ y − ρ ). cos β + τ zy . cos γ = 0

(1.15)

τ xz . cos α + τ yz . cos β + (σ z − ρ ). cos γ = 0 Y para que este sistema de ecuaciones homogéneo, tenga solución no nula, tendrá que verificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir:

σx − ρ τ yx τ zx τ xy σy −ρ τ zy = 0 τ xz τ yz σz −ρ

(1.16)

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se obtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2, ρ3 y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2, ρ3 = σ3

CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES Una vez obtenidas las tensiones principales: ρ1, ρ2, ρ3, para conocer las direcciones en las que éstas aparecen: direcciones principales, se resolverá el sistema de ecuaciones (1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en él la tensión ρ, para cada uno de los valores obtenidos de las tensiones principales. Así será:

(σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i + τ zx . cos γ i = 0

τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + τ zy . cos γ i = 0

(1.17.a)

τ xz . cos α i + τ yz . cos β i + (σ z − ρ i ). cos γ i = 0 y para que la dirección obtenida se exprese como un vector unitario: se auxiliará con la euación: cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1


ui = 1

(1.17.b)

Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1.17.a) y (1.17.b):

para para para 10

ρ i = ρ1 ρi = ρ 2 ρi = ρ3

→

cos α1 , cos β1 , cos γ 1

→

cos α 2 , cos β 2 , cos γ 2

→

cos α 3 , cos β 3 , cos γ 3

Sección 1.4: Tensiones Principales

CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS Para el caso de tensiones planas: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, le ecuación (1.16) que da el cálculo de las tensiones principales se verá reducida a la ecuación siguiente:

σx −ρ τ yx =0 τ xy σy −ρ

(1.18)

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado, se obtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2 y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2

ρ 2 − ρ .(σ x + σ y ) + (σ x .σ y − τ xy2 ) = 0

Desarrollando el determinante: siendo las raíces de esta ecuación:

ρ1 = ρ2 =

(σ x + σ y ) + (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy2 ) 2 (σ x + σ y ) − (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy2 ) 2

y operando:

ρ1 = σ 1 = ρ2 = σ 2 =

σx +σ y

+

2

σx +σ y 2

−

1 . (σ x − σ y ) 2 + 4 .τ xy2 2

(1.19)

1 . (σ x − σ y ) 2 + 4.τ xy2 2

Por su parte las direcciones principales se obtendrán a partir de las ecuaciones (1.17.a) y (1.17.b) eliminando los términos representativos de la tercera dimensión y se verán reducidas a las expresiones:

(σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i = 0

τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + = 0 cos 2 α i + cos 2 β i = 1

(1.20.a)

(1.20.b)

Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1.20.a) y (1.20.b): para para

ρ i = ρ1 ρi = ρ 2

→

cos α1 , cos β1

→

cos α 2 , cos β 2 11

Tema 1: Tensiones

1.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR En los apartados anteriores se ha visto un método de cálculo analítico para el cálculo de Tensiones. En este apartado se verá un método gráfico.

CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS El método gráfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas, pues es el que mas se utilizará debido a su sencillez de aplicación y la gran ayuda de su aportación gráfica. Supongamos conocidas las tres componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensión (z), se podrá simplificar el dibujo y representar tan sólo la proyección del ele mento diferencial de volumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b) σy

y

y

τyx σx

τxy

τyx σ

σx

S

σx

τxy O

α

u

τxy

σx

τ

τxy x

τyx z

σy

O τ yx σy

x σy

Fig.1.10.a

Fig.1.10.b

Se desea conocer las tensiones correspondientes a una superficie S cualquiera, que pasa por O y definida por su vector normal unitario:u (cosα, cosβ, 0). Empleando las ecuaciones analíticas (1.13) y (1.12) para cada superficie S se obtendrán los valores de las tensiones σ y τ correspondientes. Así: para α = α1

→ superficie S1 → σ 1 ,τ 1

para α = α 2

→ superficie S 2

→ σ 2 ,τ 2

............................................................................. para α = α n

→ superficie S n

→ σ n ,τ n

Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el eje de abcisas llevásemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes y uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr” τ (σ2,τ2)

(σ1,τ1) σ

O (σn,τn) 12

Fig.1.11

Sección 1.5: Representación de Mohr

Se demuestra, aunque no se hará, que la circunferencia de Mohr obtenida al unir todos los puntos: (σ1τ1), (σ2τ2),…… (σnτn), es una circunferencia que tiene por Centro y Radio los siguientes valores:

σ +σ y  Centro :  x ,0 2  

 σ −σ y  2 Radio :  x  + τ xy 2   2

(1.21)

siendo: σx, σy, τxy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O.

Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el método gráfico de Mohr •

Tensiones normales (σ): se consideran positivas las tensiones normales cuyo sentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior a la superficie. Negativas en caso contrario

S

σ0

next

next Fig.1.12.a •

Fig.1.12.b

Tensiones cortantes (τ): se consideran positivas cuando su sentido deja a la derecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulación (en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) se representan las diferentes posiciones de τ > 0, con respecto a la superficie S. Las posiciones de τ < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b) τ τ S τ

τ>0

S S τ

S

S

τ τ

τ

S

S τ

S S

τ

τ

τ0, τxy0, τyx>0, por criterios de signos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto B. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la intersección de ésta con el eje de abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b)

σy

y

B

SB σx

τxy

SA τxy O

τ

τyx

σx

SA

O

τyx σy E

σx D σ

C

τxy

SB x

τyx

A

σy Fig.1.14.a

Fig.1.14.b

OC =

Efectivamente con la construcción realizada, el centro será:

y el radio será:

CA =

(CD ) + (DA ) 2

2

σ −σ y =  x 2 

OD + OE σ x + σ y = 2 2

2

  + τ xy2 

expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21).

14

Sección 1.5: Representación de Mohr

Cálculo de las tensiones σ y τ en una superficie S cualquiera: A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (σ, τ), la circunferencia de Mohr tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio Indiquemos a continuación cómo poder conocer gráficamente las tensiones σ y τ correspondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vector normal unitario: us (cosα, cosβ, 0).(Ver Fig.1.15.a)

SB σx

S

τ

τyx σ

τxy

uS τ S A uA

τxy O

β

σy

y

β

B

α σx

S τ

τyx O

σy

C

σ σx D σ H τxy

x

τyx

2α

A

σy Fig.1.15.a

Fig.1.15.b

El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a la superficie S (definida por uS), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo del estado de tensiones de la superficie SA), al punto S, (que representará el estado de tensiones de la superficie S), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2α (“ el doble del anterior ”). (Ver Fig.1.15.b) Mediante este procedimiento las tensiones en la superficie S serán pues: tensión normal: σ = OH = OC + CH = OC + CS .cos β tensión cortante: τ = SH = CS .sen β (los valores de OC “centro” y CS “radio” se han obtenido anteriormente de la circunferencia de Mohr) Observación: Como consecuencia del procedimiento anterior resultará, que dos superficies perpendiculares que pasen por O, estarán representadas gráficamente en la circunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dicha circunferencia. Véase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas en los puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y 1.15.b)

15

Tema 1: Tensiones

Cálculo de las tensiones principales: Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones máxima y mínima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, se cumple: ρ =σ, τ = 0. y

90º τ

σy

τyx

SB σ2=σmin σx

SM uA τxyσx SA x

τxy O

ϕ1

uM

SN

B

σ1=σmax

τyx

τyx σ2 O N σy

C

σx M D σ1 σ

τxy

2ϕ1

A

σy Fig.1.16.b

Fig.1.16.a

De la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b), se observa que los puntos M y N de dicha circunferencia cumplen dichas condiciones. Así pues las tensiones principales serán:

σ 1 = ρ1 = σ max = OM = OC + CM = Centro + Radio = σ 2 = ρ 2 = σ min = ON = OC − CN = Centro − Radio =

σx +σ y 2

σx +σ y 2

σ −σ y  2 +  x  + τ xy 2   2

σ −σ y  2 −  x  + τ xy 2   2

(1.22) (son las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analíticamente) Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de Mohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo del estado de tensiones de la superficie SA), al punto M, que es donde se dará la tensión principal: σ1 = σmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues para obtener la superficie principal: SM, sobre la que se dará dicha tensión principal, se deberá girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1. (Fig.1.16.a). τ xy AD tag 2ϕ1 = = ⇒ ϕ1 siendo: CD σ x − σ y (1.23) 2 La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la tensión principal mínima: σ2 = σmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver Fig.1.16.a), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la circunferencia). 16

Sección 1.5: Representación de Mohr

Cálculo de la tensión cortante máxima: Los puntos del círculo de Mohr donde la tensión cortante es máxima, son los puntos F y G, los de máxima ordenada. (Fig.1.17). τ

F B

τyx σ2 O N σy

τmax σx M D σ1 σ

C

τxy

2ϕ1

τmax

A

G Fig.1.17 El valor de la tensión cortante máxima será pues:

σ −σ y  2 = CF = Radio = ( por ecuación 1.21) =  x  + τ xy 2   2

τ max

o bien:

τ max = Radio =

Diámetro OM − ON σ 1 − σ 2 = = 2 2 2

(1.24)

(1.25)

Las superficies SF y SG, donde se darán las τmax, estarán a ± 45º de las superficies principales SM y SN, pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90º de los puntos M y N. (Fig.1.17).

CASO DE TENSIONES TRIAXIALES Se dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxial cuando está sometido a tensiones en los tres ejes coordenados. Supongamos un punto O, un paralelepípedo diferencial alrededor de él y sean los ejes 1, 2 y 3, los ejes principales 2 σ2 σ3

σ1

σ1

σ3 O 3

1 σ2

Fig.1.18

17

Tema 1: Tensiones

Si se corta por una superficie inclinada S, paralela al eje 3, las tensiones σ y τ sobre dicha superficie las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ2, similar a un estado de tensiones plano (pues las tensiones σ3 no afectarían a dicha superficie). 2

nS σ

S σ1

θ

τ

σ3

σ3

O

3

1

σ2 Fig.1.19

La misma conclusión general es válida si cortásemos por una superficie S paralela al eje 2 (en este caso las tensiones σ y τ sobre dicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (B), (ver fig.1.20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ3, similar a un estado de tensiones plano (pues las tensiones σ2 no afectarían a dicha superficie) o si cortásemos por una superficie S paralela al eje 1 (en este caso las tensiones σ y τ sobre dicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fig.1.20), correspondiente a las tensiones σ2 y σ3). Se ha supuesto en la construcción de los círculos que: σ1 > σ2 > σ3 B

τ

τMAX τ

A

C

O O

σ3

σ2

σ1

σ

Fig.1.20 En cada uno de los círculos podremos hallar la τmax correspondiente, siendo la τMAX absoluta la correspondiente al círculo de Mohr mayor (B) y valdría: σ −σ3 τ MAX = 1 2 En el análisis anterior hemos considerado el cálculo de las tensiones σ y τ sobre superficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otras superficies S cualquiera, (no paralelas a ningún eje principal), el análisis sería algo más complejo y no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientes de σ y τ darán puntos situados sobre el área limitada por las tres circunferencias de Mohr 18

Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones

1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓN. RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES FORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓN Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentra en equilibrio estático y elástico. F3

F1 S

F4

Fn

F5

F2 Fig. 1.21.a Según lo visto en el apartado 1.1, si se desea conocer las Fuerzas Internas o Tensiones que aparecen en una superficie determinada S, seccionamos el sólido por dicha superficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo F1 S

∆F

O

F4

∆S F2 Fig. 1.21.b El trozo de sólido seccionado no estará en equilibrio, a no ser que se restablezcan las acciones que el otro trozo ejercía sobre él. Estas acciones son precisamente las Fuerzas Internas o Tensiones que aparecerían sobre los puntos de la superficie S seccionada. Pues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente: F1 z

S F4

G

x

F2 y

Fig. 1.21.c

Tomemos un sistema de ejes coordenados con origen en G (centro de gravedad de la sección S), siendo el eje X perpendicular a la superficie S y con sentido positivo saliente de la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la sección S, con sus sentidos positivos de tal forma que formen un triedro directo 19

Tema 1: Tensiones

La acción de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del sólido, en el punto G, vendrán dadas por: Rext y Mext

F1

Rext

Mext S G

F4

z Rext = Resultante de las Fuerzas Exteriores Mext = Momento resultante de las Fuerzas Exteriores respecto de G

x

F2 y Fig. 1.21.d

Para que este trozo de sólido seccionado esté en equilibrio, el sistema de Fuerzas Interiores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partículas del otro lado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de la superficie S del lado del sólido que nos hemos quedado), producirán una acción en G dada por: Rint y Mint y se tendrá que cumplir que: Rint = - Rext Mint = - Mext F1 Rext Mext z S F4 F2

G

Mint

x

y

Rint

Fig. 1.21.e

Por último, si proyectamos Rint y Mint sobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darán 6 componentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz, F1 S Rz Mz F4

G

z Rx x

Mx My

F2

Mint

Ry

Rint

y Fig. 1.21.f 20

Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones

Cada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitación de la sección S: Rx (fuerza normal) → N (TRACCIÓN – COMPRESIÓN) Ry (fuerza cortante) → Vy (CORTADURA en eje Y) Rz (fuerza cortante) → Vz (CORTADURA en eje Z) Mx (momento torsor) → T (TORSIÓN) My (momento flector) → My (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y) Mz (momento flector) → Mz (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z) Ejemplos: TRACCIÓN

F1 S

z

G

F4

COMPRESIÓN

F

N

F

x

F2

y

x

F

F

S

z

G

x

F2

F1

y CORTADURA en eje Z z

z

Vz

S G

F4

x

Vy

y

x

CORTADURA en eje Y

F1

F4

F

x

x

F2

y

y

F TORSIÓN M

F1 S

z x

G

F4

x

T

F2

y

FLEXIÓN en plano XZ (alrededor eje y) z

F1 S F4

z

G

x

x

F2 y

My

F1

Mz

S F4

F

y

G

FLEXIÓN en el plano XY (alrededor eje Z)

z

F x

x

F2 y

Fig.1.22

y 21

Tema 1: Tensiones

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES Cada una de estas Solicitaciones así obtenidas serán resultado de las Tensiones (o Fuerzas Internas) distribuidas a lo largo de la sección S. Unas y otras estarán relacionadas de la siguiente manera: F1 S Mz F4 F2

G dS My

Vz T τ

Sección S

z N σ ρ

G

x

y z

Vy

τxy

y

S

T = ∫ (τ xz . y − τ xy .z ).dS S

z

τ

y Fig. 1.23.a

N = ∫ σ x .dS

τxz

Fig.1.23.b

V y = ∫ τ xy .dS S

V z = ∫ τ xz .dS S

(1.26) M y = ∫ σ x . z.dS S

M z = ∫ σ x . y.dS S

Estas ecuaciones se utilizarán para calcular las Tensiones o Fuerzas internas en cada uno de los puntos de una sección S, una vez conocidas las Solicitaciones (Resultante y Momento resultante de las Fuerzas interiores: N, Vy, Vz, T, My, Mz) .

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