Tema 8: Torsión

Tema 8: TORSIÓN

1

2 G

G

T x

2´

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 1

Tema 8: Torsión

8.1.-INTRODUCCIÓN Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento resultante de las fuerzas interiores tiene la componente Mx = T

z T G

y

x

Fig..8.1.a

Criterios de signos para los Momentos Torsores T>0 → si su sentido es el de la normal saliente de la sección T

n T

n x

x

T 0 ⇒ B gira en sentido antihorario respecto a A (siempre que las secciones consideradas A y B, la sección A esté a la izquierda de la B)

Observación final: Según lo indicado en 8.1, las fórmulas obtenidas para las tensiones y las deformaciones serán válidas tanto para el caso de Torsión Uniforme como para el de Torsión no Uniforme.

12

Sección 8.3: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza no circulares

8.3.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA NO CIRCULARES La hipótesis de Coulomb: “……las secciones transversales permanecen planas durante la torsión…”, válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán.

T

T

T

T

Fig..8.15 No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo Ia es pequeño comparado con el módulo de torsión It y entonces, según lo indicado en 8.1, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a Torsión Uniforme, aunque se estuviera en el caso de Torsión no Uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes τ. La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint-Venant y forma parte de la Teoría de la Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.

CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR:

τ max =

T µ.b2 .h

(8.11)

se da en el punto medio del lado mayor τmax

h

b

ϑ=

T β .G.h.b3

(8.12)

Fig..8.16

Los valores de µ y de β dependen de la relación h/b: h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ µ 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 β 13

Tema 8: Torsión

8.4.-TENSIONES Y DEFORMACIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR

EN PIEZAS

DE

SECCIONES

Ya se indicó en 8.1 que este tipo de secciones no son apropiadas para el trabajo a Torsión y para los casos en que la torsión aparezca como efecto secundario, para evitar la excesiva deformación o rotura a la que pueda dar lugar, deberán emplearse disposiciones constructivas adecuadas para evitar el efecto de dichas consecuencias. En este tipo de secciones sólo se va a estudiar el caso de la Torsión Uniforme. Observación: Según se dijo anteriormente los casos de secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto, como sería el cado de las secciones en L o en simple T, aunque estén sometidas a Torsión no uniforme, su cálculo se hará como si fuera Torsión uniforme CASO DE TORSIÓN UNIFORME: Para conocer la distribución de tensiones cortantes τ a lo largo de la sección se utiliza el denominado “Método de analogía de la membrana”, propuesto por Prandtl y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello:

equivalente sm

sm t t

Fig..8.17

En virtud de ello, y en el caso de espesor constante t = cte, se podrán aplicar las mismas fórmulas (8.11) y (8.12) vistas anteriormente para el caso de sección rectangular:

τ max =

T T = 2 2 µ.b .h µ.t .sm

ϑ=

Mx Mx = 3 β .G.h.b β .G.sm .t 3

Y en este caso, como h >> b, es decir, sm >> t, los coeficientes µ y β valdrán (ver tabla en 8.3): µ = 0,333 = 1/3 β = 0,333 = 1/3 Así pues las formulas quedarán:

τ max =

14

T 1 2 .t .sm 3

(8.13)

ϑ=

T 1 .G.sm .t 3 3

(8.14)

Sección 8.4: Tensiones y deformaciones en piezas de sección abierta de pequeño espesor

La teoría de Prandtl también dice: “…las tensiones cortantes máximas se dan en los bordes del contorno, llevando en ambos lados sentidos opuestos y se admite que su variación es lineal a lo largo del espesor” τmax

τmax

equivalente

τmax

sm

τmax

τmax

τmax

τmax

τmax

sm

t t

Fig..8.18

Casos particulares: 1. En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , las ecuaciones anteriores se generalizarán de la siguiente forma:

τ max = t τmax(t)

sm

ϑ=

τmax(tmax) tmax

T sm

1 2 . t .dsm 3 ∫0

(8.15)

T sm

1 .G. ∫ t 3 .dsm 3 0

(8.16)

Fig..8.19 2. En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, las ecuaciones anteriores serían ahora: s1 t1 = tmax t2

τ max =

τmax(tmax)

s2

ϑ= τmax(t3)

T 1 .∑ ti2 .si 3

(8.17)

T 1 .G.∑ ti3 .si 3

(8.18)

t3 s3 Fig..8.20 La tensión cortante máxima para cualquier espesor t se obtendrá:

τ max (t ) =

T .t (8.19) It 15

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8.5.-TENSIONES Y DEFORMACIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR

EN PIEZAS

DE

SECCIONES

En este tipo de secciones, según lo que se indicó en la sección 8.1, el cálculo que haremos será válido tanto para la torsión uniforme como para la torsión no uniforme, por lo tanto las tensiones normales serán cero (σ = 0) y sólo habrá tensiones cortantes (τ).

A.- CÁLCULO DE TENSIONES Se considera una rebanada de una pieza de longitud dx sometida a un Momento Torsor T.

τ

a1

a2

T

d

c b

t

e dx

Fig..8.21

Se sabe que las tensiones cortantes en los puntos del contorno: a1a2 , han de ser tangentes al mismo y dado el pequeño espesor (t) de la sección, se admite que están distribuidas uniformemente a lo largo del mismo. Estableciendo el equilibrio de fuerzas del elemento bcde, que se representa a continuación ampliado: tc c τc

τc

τb b

τb

∑F

d

x

τ b .tb .dx = τ c .tc .dx → τ b .tb = τ c .tc ⇒ τ .t (flujo cortante)=cte “el flujo cortante: τ.t es constante a lo largo de la sección transversal”

e

tb

=0

dx

Fig..8.22 2 Como consecuencia de ello, las tensiones cortantes (τ), serán mayores donde el espesor (t) sea menor, (al revés de lo que ocurre en las secciones abiertas de pequeño espesor). tc c τc

τ b .t b = τ c .t c

τb b

si t b > t c

tb 16

e dx

Fig..8.23 2

→ τb