Tema2. Operaciones con números reales

Tema 2. Operaciones Operaciones con Números Reales 1. Operaciones con fracciones 1.1. Introducción 1.2. Suma y diferencia 1.3. Producto y división 1.4. Operaciones combinadas 2. Potencias 2.1. Exponente natural 2.2. Exponente entero (negativo) 3. Notación científica 4. Raíces. Potencias exponente fraccionario 4.1. Raíz de un número 4.2. Potencias de exponente fraccionario. Radicales 4.3. Radicales equivalentes 4.4. Operaciones con raíces 4.5. Introducción y extracción de factores de un radical 4.6. Suma de radicales

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Tema2. Operaciones con números reales

1. Operaciones con fracciones 1.1. Introducción


Recordemos que una fracción es un cociente indicado de dos números enteros , donde a siempre distinto de cero. El número situado debajo de la fracción, b, es el denominador y nos indica las partes en las que se divide la unidad; el situado debajo, a, es el numerador y nos indica las partes que tomamos. Si el valor absoluto del numerador es mayor que el numerador entonces el número es superior a la unidad. Como vimos en el tema anterior la expresión decimal de las fracciones puede ser exacta o periódica (pura o mixta). Centrémonos ahora en las operaciones con fracciones. 1.2. Suma y diferencia. Para sumar o restar dos o más fracciones es necesario que estas tengan el mismo denominador. Para obtener el común denominador se busca la fracción equivalente (multiplicando numerador y denominador por mismo número) cuyos denominadores sean un múltiplo de todos los denominadores iniciales (preferiblemente el mínimo común múltiplo para que esté lo más simplificado posible). Una vez que los denominadores sean los mismos sumamos y restamos los denominadores. Ejemplo: 3 2 7 11 3 15  2 12  7 30  11 10 341    4 5 2 6 60 60 1.3. Producto y división El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de los denominadores y el numerador el de los numeradores.    

    El cociente de dos fracciones es otra fracción en donde el numerador es igual al producto del numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y el denominador el producto del denominador de la primera con el numerador de la segunda. Regla nemotécnica: numerador producto de medios y denominador producto de extremos. Si la división viene expresada como una “torre” de fracciones la regla a aplicar es la misma. Se pueden entender la división de dos fracciones como un producto de la primera con la inversa1 de la segunda       :       Ejemplos:  

1



  

 



 






,





:  













,

! "





 






 



Inversa de una fracción es de forma que el producto de ambas es la unidad
1 




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2

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Regla de los signos en la multiplicación y división: +·+=+ ;

+:+=+

+·-=- ;

+:-=-

-·+=- ;

-:+=-

-·-=+ ;

-:-=+

1.4. Operaciones combinadas. Las reglas de las operaciones combinadas son las mismas que las de los números enteros, cuando hay varias operaciones se hacen en el siguiente orden:

Paréntesis

Potencias

Productos y divisiones

Sumas y restas

(de iquierda a derecha)

(de izquierda a derecha)

Notas: Si hay operaciones que no afectan a las otras aunque tengan menos prioridad se pueden realizar. Simplifica en cada paso, esto te permite operar con números más pequeños y que no tengas que simplificar tanto al final Ejemplo: # % ' & # '

 :    ( $ & $ $ $ & ')

&'



% ' & # #' #$ $ $ $ & #* (

 :    



'+ & &+ $

# $

   % &



' & & $

#)  $

   &



#+ ) $#$ #$ #$

  , &



&* #$

&

&*

%$

Ejercicio 1. Operar y simplificar: 2   1 5 15  1 1  a)  − 1· 2 − 3 :  −  − : · 5 2 3 9  2 3  1 b)  − 1 + 3

2 1 2 7   :  − + 3 − 2 + : 4 4 3 4 3 

9 4 1  1 3 2 c) 2· − :  −  − ·  − 3  2 5 10   3 4 3 

 4 5 d) 2 −  − +  3 6 e)

3   3  ·4 −  2 − + 1·10 2   5 

1 2 1  2  :  ·3 · − 2  − 2· − 3  3 5 6  5 

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f)

7  1 3  1 1  7  −  + · − 2·  :  − 1 4  2 5  3 3   30 

g)

7 2  1 1  3  4  :  · − 2 +  + −  5 + : 4  3 5  3 5  4  3 

5 5 7 · −  − 2 2 3 2 h) 2 12 − 5 5

i)

1 5 5 1 − : − :2 2 3 6 2  2  2  −  1 −  − 4  5  3  

j)

2 1 2 1   − 1 +  :  − + 3 4 3 4 3   1 3  1 1  2 + 5 · 3 − 2· 3    

2. Potencias. En este apartado aprenderemos a usar la calculadora además de operar sin ella.

2.1. Potencias de exponente natural Definición: se llama potencia en base a∈R y exponente n∈N y se denota an al producto de n veces a: an=a·a…·a n veces

Ejemplo: 54=5·5·5·5=725 (-1,2)4=(-1,2)· (-1,2)· (-1,2)· (-1,2)=2,0736  + si n par (−a) n  − si n es impa

Propiedades:(demostrar por el alumno)

( )

n m

1) (a ) = a n·m
ej: (33)2=92=81=34 2) an·am=an+m
ej: 23·24=8·16=64=27 am 4 3 64 3) n = a m − n
ej: 2 = = 4 = 41 16 a 4 3 5 4) a0=1
ej: 5 0 = 3 = 1 5 5) a1=a
ej: 1,31=1,3 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón ([email protected])

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n

3

an 2 2 2 23 a 2 6)   = n
ej:   = · · = 3 333 3 b b 3 n n n 2 7) (a·b) =a ·b
ej: (2·3) =62=4·9=22·32

Nota: estas propiedades son ciertas también cuando el exponente no es natural 2.2. Exponente entero (negativo) En este apartado vamos a estudiar las potencias cuando el exponente es un número entero negativo. Veamos el significado de a-n: a −n =

1 an

Ejemplos: (-5)-3=

2   3

−2

1 1 =− 3 125 (−5) 2

9 3 = =  = 2 4 2 2   3 1

Ejercicio 2. Escribe como potencias de exponente positivo: a) 8

b) 5

 

c) 

 

d) 

e) 041

 

f)   

Ejercicio 3. Expresar como potencia única aplicando las propiedades de las potencias y calcula el resultado a) 5 5 5 5 b) 3 : 3 3 : 3 e) 02 1 02 1 : 02 1

c) 2 4 2 : 8 d)

2  ! :

3. Notación Científica Fíjate en los siguientes números: e(carga e-)=-0,00000000000000000016 C dpluton—Sol=59100000000000m gastoempresa=312600000000 € Cuando tenemos cantidades muy pequeñas o muy grandes se utiliza la notación científica, consiste en poner un número multiplicado por una potencia de 10. Así los números en notación científica constan de: - Parte entera formada por una sola cifra ≠0 (1ª cifra del número) - Parte decimal(formada por el resto de cifras del número) - Potencia en base 10 que nos informa del orden de magnitud. X=a,bcd…·10n

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En los ejemplos anteriores: e=-1,6·10-19C d=5,91·1012m gasto=3,126·1011€ La notación científica tiene las siguientes ventajas: a) Escribimos los números grades y pequeños de forma más abreviada b) Con una simple mirada al número podemos entender como es de grande o pequeño ese valor. Otra ventaja de la notación científica es que es muy útil para operar con esta clase de números, en especial cuando las operaciones son el producto o el cociente. Veamos algunos ejemplos: a) (5,24·106)·(6,3·108)=(5,24·6,3)·1014=33,012·1014=3,3012·1015 5,24·10 6 = (5,24 : 6,3)·1014 = 0,8317·1014 = 8,317·1013 b) −8 6,3·10 c) 5,83·109+6,932·1012-7,5·1010=5,83·109+6932·109-75·109=(5,83+6932-75)·109= =6862’83·109=6,86283·1012 Nota: correr la coma hacia la izquierda es como dividir, luego para no modificar el resultado tendremos que aumentar el exponente de 10 en tantas unidades como veces que corramos la coma. Al revés si corremos la coma hacia la derecha que es como multiplicar y por tanto tendremos que disminuir el exponente de 10 tantas veces como corramos la coma:

coma
== restar al exponente nº posiciones desplazada coma  == sumar al exponente nº posiciones desplazada

Ejercicio 4 : Calcular y expresar el resultado en notación científica. a) 7,823·10-5·1,84·1018 b) 2,35·108+1,43·107

Ejercicio 5: Expresar en notación científica: a) 4230000000 b) 0,00000004 c) 84300 d) -0,000572

Ejercicio 6: Calcular y expresar el resultado en notación científica: a) (3·10-7)·(8·1018) b) (5·1012):(2·10-3) c) (5·109)2 d) 3,1·1012+2·1010

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Ejercicio 7 Calcular y expresar el resultado en notación científica: 30·10 −4 + 7·10 −4 10·10 5 − 5·10 5 7,35·10 4 b) + 3,2·10 7 5·10 −3 c) (4,3·103-7,2·105)2

a)

4. Raíces. Potencias de exponente fraccionario 4.1. Raíz de un número. La raíz es la operación inversa de la potencia, y por tanto es la que se utiliza para despejar una ecuación de la forma xn=a, siendo el resultado x= n a . Veamos un ejemplo: calcular el lado de un depósito de agua de forma cúbica de 125dm3. Como el volumen del cubo es V=l3, buscamos un valor de l, tal que su cubo sea 125dm3, es decir resolver l3=125dm3, la solución está en la raíz cúbica
l= 3 125dm 3 = 5dm

Definición: la raíz enésima de un número a es aquel número b (b= n a ) tal que bn=a. índice raíz n

a =b

radicando Número de soluciones de una raíz según la paridad del índice y el signo del radicando: Signo a Paridad n n es par n es impar

Positivo (a>0)

Negativo (a √2

g) √2+2√2-4√2+1/2√2

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4.5. Introducción y extracción de factores en un radical. 1) Extracción: cuando podemos expresar el radical como producto de factores elevados a exponentes, de forma que algún exponente es mayor que el índice del radical, este factor se puede extraer de la raíz de la siguiente forma:

360 = 2 3 ·3 2 ·5 = 2 2 ·2·3 2 ·5 = 2·3 10 = 6 10 4

1536 = 4 2 9 ·3 = 4 2 8 ·2·3 = 2 2 4 6 = 44 6

3

6750 = 3 2·53 ·33 = 153 2

Ejercicio 18. Extraer todos los factores posibles: 512

a)

b)

3

216

c)

4

405

d)

6250

2)Introducción: para introducir factores dentro de una raíz tendremos que elevar este factor al índice de la raíz. Veamos algunos ejemplos:

53 3 = 3 3·5 3 = 3 375 2 2 5 = 2 4 ·5 = 80 3

81 3 81 3 = = 3 3 33

Ejercicio 19. Introducir dentro de los radicales: 3

a)

810 3

4

b)

320 2

c)

83 4

d) 53 2

4.6. Suma de radicales Para sumar o restar radicales es necesario que estos tengan mismo índice y mismo radicando, es decir sean iguales. Veamos cómo se suman o restan: a·n c ± b·n c = ( a ± b)·n c

Ejemplos:

a) 3· 3 − 2· 3 + 5· 3 = (3 − 2 + 5)· 3 = 6· 3 b) 3·3 2 − 4·3 16 + 3 54 = 3·3 2 − 4·3 2·2 3 + 3 2·33 = 3·3 2 − 8·3 2 + 3·3 2 = −2·3 2 Ejercicio 19. Operar: a) 12 − 27 + 3· 48

b) 3·3 24 − 3 375 + 3 648

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c) 3·4 32 − 5·4 162 + 4 512 11

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Soluciones a los ejercicios Ejercicio 1 a) f)

47 12

125 92

b)

− 301 204

c)

− 59 6

d)-30

e)

2533 540

g)

− 565 66

h)

79 24

i)

− 15 244

j)

10 51

Ejercicio 2. a) 8



?!

e) 041

b) 5 

012



2

 



2

c)  

 

f)   



 



 

 

 

 

 

d)   

4

 

Ejercicio 3. a) 5 5 5 5=50=1

c) 2 4 2 : 8=25=32 e) 02 1 02 1 : 02 1 =212=4096

b) 3 : 3 3 : 3 =36 =19683 d)

2  ! :

=6-1=1/6

Ejercicio 4. a) 7,823·10-5·1,84·1018=14,39432·1013=1,439432·1014 b) 2,35·108+1,43·107=23,5·107+1,43·107=24,93·107=2,493·108

Ejercicio 5 a) 4230000000=4,23·109 b) 0,00000004=4·10-8 c) 84300=8,43·104 d) -0,000572=-5,72·10-4

Ejercicio 6 a) (3·10-7)·(8·1018)=24·1011=2,4·1012 b) (5·1012):(2·10-3)=10·109=1010 c) (5·109)2=25·1018=2,5·1019 d) 3,1·1012+2·1010=310·1010+2·1010=312·1010=3,12·1012

Ejercicio 7 a) 7,4·10-9 b)4,67·107 c)5,12·1011

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Ejercicio 8 !



a) √125 5

b) √32=-2 7

c) √625 5

!

d) √1.000.000 ∉5

e) √216 6

Ejercicio 9. !



a) √1345

b) √4352

7

d) √13465

c) √1224

!

e) √2516

Ejercicio 10. !

!

b) √2 =24/3

a) √7=71/4

c) √3 =36/3=32=9

!



f) 33/4= √3

e) 122/3=√12

d) 21/5=√2 Ejercicio 11 1 3

1 2

3

3· 3 = 3 ·3 = 3

a)

1 1 + 2 3

5 6

= 3 = 6 35 2

2

1

− 1− 1 1 = 2·3 2 = 2·3 2 − 2 = 2·2 3 = 2 3 = 2 3 = 3 2 b) 2· 4 2

3

c)

8 3

=

4

3

3

2

3

2

2

2

=

2 8 3

8

3 2 2 3

=2

3 2 − 2 3

8

5 6

= 2 = 6 25

2

−2 a a d) 2 = 2 = a 3 = a 3 = 3 a 2 a a 1

e)

3

1  1 3  1  =  =  a2  a2  a

2·

1

1 3

2

2

−  1 3 =  =a 3 a 1

− 1 = a a −1 = a·a 2 = a 2 = a f) a· a

Ejercicio 12 −

2

1 3

a)

5

9,5 = 2,46...

b)

3

− 173 = −5,57...

c)

4

 14    = 1,39... 9

h)

d)

4

5 −9 = 0,0267...

i)

f) 8

= 0,5

g) 0,03

3

(

5

−

3 2

= 192,45...

0,0025

)

−1

= 3,31...

− 2 → no existe

3 4

e) 28 = 12,17...

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Ejercicio 13: 1

a)

c)

e)

3

x2 = x

8

5

1  14  3 12   x = x =  x  = x = 12 x   3

3 4

3

3

2

b)

6  52    = a  = a5  

(a) 5

2 3

2

8

7

a ·a = a = a

7 8

d)

( a)

f)

(a)

−3

2

4

1 4

 12  =  a   

−3

=a

−

3 2

2

4  24    = a  = a 4 = a  

2

Ejercicio 14 1 2 3

2 3

5 −1 4

−

3

a) (a ) = a = a

 b)  a 

2

2 3

1 2

2 1 1 ·  3 2  = a = a3 = 3 a   10

c) ( x ) = x

5 4

1

=

x

 1 f)  a 5   

−4

=a

−

4 5

=

5 4

1 a

4 5

=

2 10 4 − · −  −2  3 1 1 d)  3 5  = 3 5 3 = 3 3 = 4 = 3 34   33

1 4

=

x5

1 5

)

4

g) 21, 3 = 2 3 = 3 2 4

a4

Ejercicio 15: a)

8

625 = 8 5 4 = 5

b)

12

64000 = 12 2 9 ·5 3 = 12 2 3 ·5

(

)

3

= 4 40

Ejercicio 16: a)

b)

6 , 3 , 3 2
mcm(4,3,2)=12

4

3

12

6 , 12 36 , 12 2 4

6

8 , 5 3 , 3 6
mcm(6,5,3)=30

30

85 ,

30

36 ,

30

610

Ejercicio 17: ! 7 a) 8 √4= √4

d1 √24 > √2= √24: 2 √6 

@2

!

@2

b1 √2 √3 √2 3 √432

!



!

c1 ; √2< √2

!

@" ! 7 A 7 @" e) 8 √2 · √3= √2· √3= √2 3 √108

f) ;√4< : √2= √4 : √2 √4 : 2 √8

g) √2+2√2-4√2+1/2√2=-1/2√2

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Ejercicio 18.

512 = 2 9 = 2 8 ·2 = 2 4 2

a) c)

4

405 = 4 3 4 ·5 = 3·4 5

b) d)

3

216 = 3 2 3 ·33 = 2·3 = 6

6250 = 2·55 · = 2·5·5 4 = 5 2 10 = 25 10

Ejercicio 19. 3

4

a)

810 3 810 3 = = 10 3 81

b)

320 4 320 4 = = 20 2 16

c)

83 83 = 4 16

d) 53 2 = 3 2·53 = 3 250

Ejercicio 19. a) 12 − 27 + 3· 48 = 2 2 ·3 − 33 + 3 3·2 4 = 2 3 − 3 3 + 3·2 2 3 = 11 3 b) 3·3 24 − 3 375 + 3 648 = 3·3 2 3 ·3 − 3 5 3 ·3 + 3 2 3 ·3 4 = 3·2·3 3 − 53 3 + 2·3·3 3 = 7·3 3 c) 3·4 32 − 5·4 162 + 4 512 = 3·4 2 5 − 5·4 34 ·2 + 4 2 9 = 3·2·4 2 − 5·3·4 2 + 2 2 ·4 2 = −5·4 2

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